北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
版》
§2.3 二次函数与幂函数
— 五年高考 —
考点1 二次函数
2
1.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤ ,则实数a的最
3
大值是 .
4
答案
3
2.(2019上海春,10,5分)如图,正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x2的图象交AB于点Q,函
数y= - 1 的图象交BC于点P,则当|AQ|+|CP|最小时,a的值为 .
x 2
答案 √3
3.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)={x2+2x+a-2,x≤0,
若对任意x∈[-3,+∞),
-x2+2x-2a,x>0.
f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是 .
答案 [1 ]
,2
8
4.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)={ x2+2ax+a,x≤0, 若关于x的方程
-x2+2ax-2a, x>0.
f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .
答案 (4,8)
考点2 幂函数
1.(2019上海春,13,5分)下列函数中,值域为[0,+∞)的是 ( )
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A.y=2x B.y= 1 C.y=tan x D.y=cos x
x2
答案 B
2.(2018上海,7,5分)已知α∈ -2,-1,-1,1,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,
2 2
则α= .
答案 -1
以下为教师用书专用
(2016课标Ⅲ文,7,5分)已知a= 4,b= 2,c=2 1,则 ( )
23 33 53
A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b
答案 A a= 4= 2,c=2 1= 2,而函数y= 2 在(0,+∞)上单调递增,所以 2< 2< 2,即b<a<c,故
23 43 53 53 x3 33 43 53
选A.
评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.
— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 二次函数
1.(2021江苏南京秦淮中学开学考,3)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 (
)
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0
C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
答案 A
2.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上述条件
的二次函数可以为f(x)= .
1
答案 x2+ (答案不唯一)
4
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3.(2020湖南炎陵一中仿真考试)已知f(x)=x+a-1为奇函数,则g(x)=x2+ax+b的单调递增区间
√1-x2
为 .
答案 ( 1 )
- ,+∞
2
考点2 幂函数
1.(2021河北唐山二模,3)不等式(1) x ≤ 的解集是 ( )
√x
2
A.[ 1] B.[1 ) C.[ √2] D.[√2 )
0, ,+∞ 0, ,+∞
2 2 2 2
答案 B
1 1 g
2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)设a=ln
2
,b=-
5
-
2
,c=lo
3
12,则 ( )
A.c<b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c
答案 B
3.(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分
1
别取±2,± 四个值,与曲线C ,C ,C ,C 相应的n依次为 ( )
1 2 3 4
2
1 1 1 1
A.2, ,- ,-2 B.2, ,-2,-
2 2 2 2
1 1 1 1
C.- ,-2,2, D.-2,- , ,2
2 2 2 2
答案 A
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1
4.(2021上海松江一模,10)从以下七个函数:y=x,y= ,y=x2,y=2x,y=log x,y=sin x,y=cos x中选取
2
x
两个函数记为f(x)和g(x),构成函数F(x)=f(x)+g(x),若F(x)的图象如图所示,则F(x)= .
答案 2x+sin x
B组 综合应用题组
时间 : 50 分钟 分值 : 60 分
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020湖北武汉3月质量检测)已知a=0.80.4,b=0.40.8,c=log 4,则 ( )
8
A.b<a<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a
答案 D
2.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测,7)已知函数f(x)=log (x2-ax+a)在(1 )上
1 ,+∞
2 2
为减函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.[ 1 ] C.( 1 ] D.( 1 )
- ,1 - ,1 - ,+∞
2 2 2
答案 B
3.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数.当x<0时,g(x)=-ln(1-x),
且f(x)={-x2,x≤0, 若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围为 ( )
g(x),x>0.
A.(-1,2) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-2,1)
答案 D
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4.(2021河北石家庄一模,8)若f(x)的图象上存在两点A,B关于原点对称,则点对[A,B]称为函数
{x3
,x≥0,
f(x)的“友情点对”(点对[A,B]与[B,A]视为同一个“友情点对”).若f(x)= ex 恰有两
ax2,x<0
个“友情点对”,则实数a的取值范围是 ( )
A.( 1 ) B.( 1)
- ,0 0,
e e
C.(0,1) D.(-1,0)
答案 A
二、多项选择题(共5分)
5.(2021辽宁百校联盟质检,9)下列函数中,在区间(2,4)上是减函数的是 ( )
A.y=(1) x B.y=log
2
(x2+3x)
3
1
C.y= D.y=cos x
x-2
答案 AC
三、填空题(每小题5分,共10分)
6.(2021上海黄浦一模,12)已知a、b∈R,函数f(x)=x2+ax+b+|x2-ax-b|(x∈R),若函数f(x)的最小值
为2b2,则实数b的取值范围是 .
答案 [0,1]
7.(2020上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数 a的
所有可能值.几位同学提供了自己的想法.
甲:解含参不等式,其解集包含正实数集;
乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1);
丙:分别研究两个函数y=(a-1)x-1与y=x2-ax-1;
1 2
丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.
你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 .
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3
答案
2
四、解答题(共25分)
8.(2021江苏南通海门一中期末,21)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4
和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)若存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,求m的取值范围;
g(x)
(3)设f(x)= ,若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.
x
解析 (1)g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2+1+b-a.
∵a>0,∴g(x)在[2,3]上单调递增,
{g(2)=1, { 1+b=1, {a=1,
∴ ⇒ ⇒
g(3)=4 9a-6a+1+b=4 b=0.
(2)由(1)得g(x)=x2-2x+1,
∵存在x∈[3,4],使g(x)<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,
∴g(x) =g(3)=4<2m2-tm+7对任意的t∈[0,5]都成立,
min
即-mt+2m2+3>0对任意的t∈[0,5]都成立,其中t看作自变量,m看作参数,
所以{ 2m2+3>0, 解得m∈(-∞,1)∪(3
,+∞
).
-5m+2m2+3>0, 2
g(x) x2-2x+1 1
(3)由(1)得f(x)= = =x+ -2,
x x x
1
∴f(2x)-k·2x=2x+ -2-k·2x≥0,
2x
令2x=t(1 ),
≤t≤2
2
1 2
则不等式可化为k≤1+ - ,
t2 t
∵不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,
∴k≤( 1+ 1 - 2) ,又∵1+1-2=(1 -1 ) 2 ,
t2 t t2 t t
max
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1≤t≤2⇒1≤1≤2,∴(
1+
1
-
2) =1,
2 2 t t2 t
max
∴k≤1,即实数k的取值范围是(-∞,1].
思路分析 (1)利用二次函数的性质,即可求出a,b的值;
(2)题目可转化为2m2-tm+7>g(x) =g(3)对任意的t∈[0,5]都成立,再利用变换主元的方法,把t
min
看作自变量,m看作参数,即可求解.
(3)由(1)得出了函数解析式,令2x=t(1 ),再分离参数k,即可求解.
≤t≤2
2
9.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f(x)满足f(x)=f(-4-x), f(0)=3,若x,x 是f(x)
1 2
的两个零点,且|x-x|=2.
1 2
(1)求f(x)的解析式;
x
(2)若x>0,求g(x)= 的最大值.
f (x)
解析 (1)∵二次函数满足f(x)=f(-4-x),
∴f(x)的图象的对称轴为直线x=-2,
∵x,x 是f(x)的两个零点,且|x-x|=2,
1 2 1 2
∴{x
1
=-3, 或{x
1
=-1,
x =-1 x =-3.
2 2
设f(x)=a(x+3)(x+1)(a≠0).
由f(0)=3a=3得a=1,
∴f(x)=x2+4x+3.
1
x x
(2)由(1)得g(x)= = = 3 (x>0),
f (x) x2+4x+3 x+ +4
x
1
1 √3 3
∵x>0,∴ 3 ≤ =1- ,当且仅当x= ,
x+ +4 4+2√3 2 x
x
即x=√3时等号成立.
√3
∴g(x)的最大值是1- .
2
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— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)2020年,新型冠状病毒肺炎在全球蔓延,防控形势异常严峻,佩戴口罩成为
最基础最必要的防护,正因为如此,口罩一度脱销,成了年度最紧俏商品.为了解决口罩供应问
题,某地区甲、乙两个口罩生产厂家不断扩大生产规模.已知2月份甲、乙厂家均月产口罩a
万个,此后甲厂产量逐月增加,并且增加量都是m(m>0)万个,乙厂产量也是逐月增加的,并且每
月增加的百分率都是x.若2020年8月份两厂的产量也相同,则关于5月份的产量,下列说法正
确的是 ( )
A.5月份甲厂产量高于乙厂
B.5月份甲厂产量低于乙厂
C.5月份甲、乙两厂产量相同
D.5月甲、乙两厂产量多少不能比较
答案 A
2.(多选题)(2021 5·3原创题)若函数y=x2-4x-4在区间[0,a)上既有最大值又有最小值,则正整数
a的值可能是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 BC
3.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=ax2-1x-3(a>0),且f(1)≥-15.
2 4 2 16
(1)是否存在实数a,使得f(x)最小值的最大值是-1?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由;
1
(2)在(1)的条件下,证明对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x,x,使|f(x)-f(x)|≥ 恒
1 2 1 2
4
成立.
解析 (1)因为f(x)=ax2-1x-3=a( x- 1 ) 2-(3 + 1 ),a>0,所以f(x) min =-3- 1 ,有-3- 1
2 4 4a 4 16a 4 16a 4 16a
1
≤-1,解得a≤ ,
4
由f(1)=a-1-3≥-15,解得a≥1,所以a=1.
2 4 4 4 16 4 4
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1 1
(2)证明:由(1)知,a= , f(x)= (x-1)2-1,设任意长度为2的闭区间为[t-1,t+1].
4 4
1
当t≥1时, f(x)= (x-1)2-1在[t,t+1]上单调递增,
4
1 1 1 3
则f(t+1)= t2-1, f(t)= t2- t- ,令x=t,x=t+1,
1 2
4 4 2 4
1 1 1
则|f(x)-f(x)|=f(t+1)-f(t)= t- ≥ .
1 2
2 4 4
1
当t<1时, f(x)= (x-1)2-1在[t-1,t]上单调递减,
4
1 1 1 3
则f(t-1)= t2-t, f(t)= t2- t- ,令x=t-1,x=t,
1 2
4 4 2 4
3 1 1
则|f(x)-f(x)|=f(t-1)-f(t)= - t> .
1 2
4 2 4
1
综上所述,对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x,x,使|f(x)-f(x)|≥ 恒成立.
1 2 1 2
4
9 / 9
