曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第十二章 概率与统计
12.1 随机事件、古典概型
三年模拟
一、选择题
1.(2022陕西质检,5)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则组成的五位数是奇数的概
率是( )
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 5 4 5
答案 D 由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,基本事件总数为 =120,这个五位数
A5
5
72 3
是奇数包含的基本事件个数为C1A4=72,∴这个五位数是奇数的概率P= = .
3 4 120 5
故选D.
2.(2022河南适应性检测,6)两个相同的正方体骰子,六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,同时
掷两个骰子,则两个骰子朝上的面上的数字之积能被6整除的概率为( )
11 5 5 1
A. B. C. D.
36 18 12 3
答案 C 易知基本事件总数为6×6=36,朝上的面上的数字之积能被6整除的基本事件
有(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6),共15个,
15 5
∴所求概率P= = .故选C.
36 12
3.(2022江西赣州一模,5)从3位女生、3位男生中选3人参加辩论赛,则既有男生又有女
生的概率为( )
3 1 7 9
A. B. C. D.
10 2 10 10
答案 D 从3位女生、3位男生中选3人参加辩论赛,选取的3人都为女生(或都为男
生)的概率为 C 3 3 = 1 ,所以既有男生又有女生的概率为1- 1 - 1 = 9 .故选D.
C3 20 20 20 10
6
4.(2022安徽江南十校一模,7)安徽省2021年高考综合改革实施方案中规定:高考考试科
目按照“3+1+2”的模式设置,“3”为语文、数学、外语3门必考科目;“1”为由考生在物理、
历史2门中选考1门作为首选科目;“2”为由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中
选考2门作为再选科目.现有甲、乙两位同学选择,若他们的首选科目均为物理,在再选科
目中,两人选择每科目的可能性相同,且他们的选择互不影响,则这两名同学的再选科目中
至多有一门相同的概率为( )
1 1
A. B.
6 2
2 5
C. D.
3 6
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答案 D 甲、乙两位同学在再选科目中没有相同科目的情况有 种,在再选科目中
C2C2
4 2
恰有一门相同科目的情况有
C1 A2 种,因此,他们的再选科目中至多有一门相同的概率是
C2
4
C
2
2+C1
4
A
3
2
=
5.故
4 3 (C2)2 6
4
选D.
5.(2022宁夏吴忠模拟,5)踢毽子是中国民间传统的运动项目之一,起源于汉朝,至今已有
两千多年的历史,是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛,把10人平均分成
甲、乙两组,其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26,29,32,45,51;乙组每人在1
分钟内踢毽子的数目分别为28,31,38,42,49.从甲、乙两组中各随机抽取1人,则这两人踢
毽子的数目之和为奇数的概率是( )
5 4
A. B.
9 9
13 12
C. D.
25 25
答案 C 从甲、乙两组中各随机抽取1人,基本事件总数n= =25,这两人踢毽子的
C1C1
5 5
数目之和为奇数包含的基本事件个数m= +
C1C1
3 3
m 13
C1C1=13,这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率P= = .故选C.
2 2 n 25
6.(2022西安五区县二模,11)抛掷一枚质地均匀的骰子,若事件A表示“出现小于5的偶
数点”,事件B表示“出现不小于5的点数”,则在一次试验中,事件A和事件B至少有
一个发生的概率为( )
2 1 1 5
A. B. C. D.
3 3 2 6
2 1 2 1
答案 A 由题意可得P(A)= = ,P(B)= = ,
6 3 6 3
因为小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6,所以事件A和事件B为互斥事件,
则在一次试验中,事件A和事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=
1 1 2
+ = ,故选A.
3 3 3
7.(2022密云二模,9)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(大于1的自然数中,除
了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数),如36=5+31.在不超过36的素数
中,随机选取两个不同的数,其和等于36的概率是( )
4 4 2 4
A. B. C. D.
11 55 33 45
答案 B 不超过36的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,共11个,随机选取两个不同的
数有
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4 4
C2 种等可能的情况,设选出的两数和等于36为事件A,事件A包含(5,31),(7,29),(13,23),(17,19),共4种等可能的情况,所以P(A)= =
11 C2 55
11
故选B.
8.(2022东城二模,5)《周髀算经》中对圆周率π有“径一而周三”的记载.已知圆周率π
小数点后20位数字分别为14159265358979323846.若从这20个数字的前10个数字和后
10个数字中各随机抽取一个数字,则这两个数字均为奇数的概率为( )
3 33
A. B.
5 95
21 7
C. D.
100 20
答案 D 前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字,共有10×10=100种取法.
由于前10个数字中有7个奇数,后10个数字中有5个奇数,所以从这20个数字的前10
个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字,这两个数字均为奇数共有7×5=35种取法,
35 7
所以概率P= = ,故选D.
100 20
9.(2020天津塘沽一中二模,8)袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个小球,从袋子
中一次性摸出两个球,记下号码并放回,如果两个号码的和是3的倍数,则获奖,若有5人
参与摸球,则恰好2人获奖的概率是( )
40 70
A. B.
243 243
80 38
C. D.
243 243
答案 C 由题意,从6个球中摸出2个,共有
C2 种结果,“两个号码的和是3的倍数”包含的基本事件有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)共5种,∴摸一次中奖的概率P= 5 = 1 ,5人参与摸球,相当于5次独立重复试验,且每次中奖发生的概率是 1 ,记X为获奖人数,则X~B ( 5, 1)
6 C2 3 3 3
6
∴5人参与摸球,恰好2人获奖的概率是P(X=2)= C2(1) 2 ×(2) 3
=
80 .
5 3 3 243
10.(多选)(2022河北张家口宣化一中考试,11)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n∈N*)
1
局,且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 ,如果某人获胜的局数多于另一人,则此人
2
赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n),则( )
1
A.P(2)=
8
11
B.P(3)=
32
C.P(n)=1(
1-
C
2
n
n
)
2 22n
1
D.P(n)的最大值为
4
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答案 BC 若甲、乙比赛4局甲获胜,则甲在4局比赛中至少胜3局,∴P(2)=
C3(1) 3 (
1-
1)+ C4(1) 4
=
5 ,故A错误;若甲、乙比赛6局甲获胜,则甲在6局比赛中至
4 2 2 4 2 16
少胜4局,∴P(3)= C4(1) 4 (
1-
1) 2 + C5(1) 5 ·(
1-
1)+ C6(1) 6
=
11,故B正确;在2n局比
6 2 2 6 2 2 6 2 32
赛中甲获胜,则甲胜的局数至少为(n+1)局,∴P(n)= Cn+1(1) 2n + Cn+2(1) 2n +…+ C2n(1) 2n
2n 2 2n 2 2n 2
=( Cn+1+ Cn+2+…+ C2n)·(1) 2n = 1 (22n- Cn )·(1) 2n = 1( 1- C 2 n n ),故C正确;
2n 2n 2n 2 2 2n 2 2 22n
∵P(n)=
1(
Cn
) 1 5 1
1- 2n ,∴当n=1时,P(1)= ,当n=2时,P(2)= ,∴P(n)的最大值不是
2 22n 4 16 4
,故D不正确.故选BC.
二、填空题
11.(2021四川南充重点高中月考,14)甲乙两人进行乒乓球比赛,约定先连胜两局者赢得比
3 2
赛,假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛相互独立,则恰好进行了4
5 5
局结束比赛的概率为 .
78
答案
625
解析 有两种情况:
3 2 3 3 54
(1)甲第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时P = × × × = ;
1
5 5 5 5 625
2 3 2 2 24
(2)乙第一局赢,第二局输,第三、四局赢,此时P = × × × = .
2
5 5 5 5 625
54 24 78
所以恰好进行了4局结束比赛的概率为P +P = + = .
1 2
625 625 625
12.(2022北京市陈经纶中学开学考试,12)抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或
6时,两颗骰子的点数之积大于20的概率是 .
1
答案
3
解析 抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或6时有(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)(第一个数字代表红色骰子的点数,第二个数字代表黄
色骰子的点数),共12种等可能的情况,两颗骰子的点数之积大于20的有(4,6),(6,4),(6,5),
(6,6),共4种,根据概率公式得,两颗骰子的点数之积大于20的概率P=
4 1 1
= ,故答案为 .
12 3 3
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13.(2022密云二模,13)银行储蓄卡的密码由6位数字组成,某人在银行自助取款机上取钱
时,忘记了密码的最后1位数字,如果记得密码的最后1位是偶数,则第2次按对的概率是
.
1
答案
5
解析 连续按两个不同的偶数共有5×4=20种不同的按法,其中第2次才按对的按法有4
4 1
种,所以所求概率P= = .
20 5
14.(2022天津市实验中学月考三,14)某医院派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如
下:
医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
派出至少2名医生的概率为 .
答案 0.74
解析 设“派出至少2名医生”为事件A,则P(A)=1-0.1-0.16=0.74.
三、解答题
15.(2022东城期末,18)2020年9月22日,中国政府在第七十五届联合国大会上提出:“中
国将提高国家自主贡献力度,采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力争于2030年
前达到峰值,努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少
处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放,助力碳中和.某校环保社团为了解
本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式,随机抽取了200名学生进行调查,样本调查结
果如下表:
高中部 初中部
男生 女生 男生 女生
清楚 12 8 24 24
不清楚 28 32 38 34
假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.
(1)从该校学生中随机抽取一人,估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率;
(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生,以X表示这2人中清楚垃圾分
类后处理方式的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生,用“ξ=1”表示该男生清楚垃圾分类后的处理
方式,用“ξ=0”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式,用“η=1”表示该女生清楚垃圾
分类后的处理方式,用“η=0”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差
D(ξ)和D(η)的大小关系.(结论不要求证明)
解析 (1)样本中清楚垃圾分类后处理方式的学生有12+8+24+24=68人,
所以从该校学生中随机抽取一人,估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为
68 17
= .
200 50
(2)样本中高中部共有12+8+28+32=80名学生,其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有
12+8=20人,不清楚垃圾分类后处理方式的学生有28+32=60人,
样本中初中部共有24+24+38+34=120名学生,其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有
24+24=48人,不清楚垃圾分类后处理方式的学生有38+34=72人,
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X的所有可能取值有0,1,2,
60 72 9 20 72 60 48 9
P(X=0)= × = ,P(X=1)= × + × = ,
80 120 20 80 120 80 120 20
20 48 1
P(X=2)= × = ,
80 120 10
所以X的分布列为
X 0 1 2
9 9 1
P
20 20 10
9 9 1 13
所以X的数学期望为E(X)=0× +1× +2× = .
20 20 10 20
(3)D(ξ)>D(η).
16.(2022西城二模,17)2021年12月9日,《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》
发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分,总分值70分.其
中,过程性考核40分,现场考试30分.该评价方案从公布之日施行,分学段过渡、逐步推
开.现场考试采取分类限选的方式,把内容划分了四类,必考、选考共设置22项考试内容.
某区在九年级学生中随机抽取1 100名男生和1 000名女生作为样本进行统计调查,其
中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%,选考1分钟跳绳的比例分别为40%和
50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生,估计该学生选考乒乓球的概率;
(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有
2人选考1分钟跳绳的概率;
(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中,样本中选考乒乓球的男生有
60人得8分,40人得7.5分,其余男生得7分;样本中选考乒乓球的女生有40人得8分,其
余女生得7分.记这次模拟考试中,选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为μ ,
1
其中男生的乒乓球平均分的估计值为μ ,试比较μ 与μ 的大小.(结论不需要证明)
2 1 2
解析 (1)样本中男生选考乒乓球的人数为1 100×10%=110,
样本中女生选考乒乓球的人数为1 000×5%=50,
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生,该学生选考乒乓球为事件A,
110+50 8
则P(A)= = .
1 100+1 000 105
(2)设从该区九年级全体男生中随机抽取1人,选考1分钟跳绳为事件B,从该区九年级全
体女生中随机抽取1人,选考1分钟跳绳为事件C,
则P(B)=0.4,P(C)=0.5,
则从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有
2人选考1分钟跳绳的概率为 ×0.4×(1-0.4)×0.5+ ×0.42×(1-0.5)=0.32.
C1 C2
2 2
(3)μ >μ .
1 2
详解:样本中选考乒乓球的男生有1 100×10%=110人,选考乒乓球的女生有1
000×5%=50人,
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100×8+40×7.5+20×7 31 60×8+40×7.5+10×7 85
μ = = ,μ2= = ,
1
160 4 110 11
31 85
因为 > ,所以μ >μ .
1 2
4 11
17.(2022江西二模,18)某地的水果店老板记录了过去100天内A类水果的日需求量x(单
位:箱),整理得到如下表所示的数据.
x 22 23 24 25 26
频数 20 20 30 18 12
其中每箱A类水果的进货价为50元,出售价为100元,如果当天卖不完,就将剩下的A类
水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业.
(1)利用表中数据,从日需求量是25箱或26箱的天数中,采用分层抽样的方法抽取5天,再
从这5天中随机抽取2天进行调查,求其中恰有1天的日需求量为26箱的概率;
(2)已知该水果店在这100天中每天A类水果的进货量均为24箱,求这100天卖出A类
水果所获得的日平均利润.
解析 (1)依题意,从日需求量是25箱的天数中抽取
18 6 3
×5=3(天),分别记为1,2,3,从日需求量是26箱的天数中抽取2天,分别记为a,b.则从这5天中随机抽取2天,所有的情况为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种,其中恰有1天的日需求量为26箱的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共6种,故所求概率P= =
18+12 10 5
(2)若x=24,25或26,则日利润为24×50=1 200(元);
若x=23,则日利润为23×50+1×(-30)=1 120(元);
若x=22,则日利润为22×50+2×(-30)=1 040(元).
故这100天卖出A类水果所获得的日平均利润为
1 200×(30+18+12)+1 120×20+1 040×20
=1 152(元).
100
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