北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十一 概率与统计
11.1 随机事件、古典概型
应用创新题组
1.(2022届西南八省名校联考,7 数学成就与古典概型)哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难
题之一,自1742年提出至今,已经困扰数学界近三个世纪.哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个
质数的和”,如14=3+11.根据哥德巴赫猜想,拆分22的所有质数记为集合A,从A中随机选取两个不同的数,
其差大于8的概率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B 因为22=3+19=5+17=11+11,所以A={3,5,11,17,19},所以从A中任取两个不同的数,基本事件有
{3,5},{3,11},{3,17},{3,19},{5,11},{5,17},{5,19},{11,17},{11,19},{17,19},共10个,满足两数之差大于8的基本
4 2
事件为{3,17},{3,19},{5,17},{5,19},共4个,所以P= = .故选B.
10 5
2.(2022届云南大理统测,10 素材创新)某班级有40名同学,为庆祝中国共产党建党100周年,他们拟参加
“学习强国”平台上的党史知识竞赛,因为前期准备情况不同,所以他们获奖的概率也不同,其中,有20名同
学获奖概率为0.9,12名同学获奖概率为0.8,8名同学获奖概率为0.7,现从中随机选出一名同学,他获奖的概
率为( )
A.0.83 B.0.78 C.0.76 D.0.63
答案 A 由题意得获奖人数的均值为20×0.9+12×0.8+8×0.7=33.2,所以从40名同学中随机选出一名同学获
33.2
奖的概率为 =0.83,故选A.
40
3.(2022届北京市中关村中学开学测试,18)某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动.设置了四个箱子,分别写有
“厨余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”.另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.
每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张,按照自己的判断,将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确
投放一张卡片得5分,投放错误得0分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得5分,
放入其他箱子,得0分.从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],
(80,100]分组,绘成频率分布直方图,如图所示.
(1)分别求出所抽取的20人中得分落在[0,20]和(20,40]内的人数;
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(2)从所抽取的20人中得分落在[0,40]内的选手中随机选取3名选手,以X表示这3名选手中得分不超过20
分的人数,求X的分布列和数学期望;
(3)如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子,能否认为该选手不会得到100分?请说明理由.
解析 (1)由题意知,所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数为0.005 0×20×20=2,
得分落在(20,40]内的人数为0.007 5×20×20=3.
所以所抽取的20人中得分落在[0,20]内的人数为2,得分落在(20,40]内的人数为3.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
C3
1
C1C2
6
P(X=0)= 3= ,P(X=1)= 2 3= ,
C3 10 C3 10
5 5
C2C1
3
P(X=2)= 2 3= .
C3 10
5
∴X的分布列为
X 0 1 2
1 6 3
P
10 10 10
1 6 3 6
∴E(X)=0× +1× +2× = .
10 10 10 5
(3)答案不唯一.
答案示例1:可以认为该选手不会得到100分.
理由:该选手获得100分的概率是(1) 20 ,概率非常小,
4
故可以认为该选手不会得到100分.
答案示例2:不能认为该同学不可能得到100分.
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理由:该选手获得100分的概率是(1) 20 ,虽然概率非常小,但是也可能发生,故不能认为该选手不会得到100
4
分.
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