文档文本内容
考点 26 概率、二项分布与正态分布（核心考点讲与练）
1.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 .
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) .
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝ 1 － P ( B ) .
2.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
3.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概
率都是；如果某个事件 A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
4.古典概型的概率公式
P(A)＝.
5.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A，A，…，A 是样本空间的一个划分，满足：
1 2 n
①A∪A∪…∪A＝Ω.
1 2 n
②A，A，…，A 两两互不相容，则称事件A，A，…，A 组成样本空间Ω的一个完备事件组.
1 2 n 1 2 n
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A ，A ，…，A 是两两互斥的事件，且有P(A)>0，i＝1，2，…，n，∪A＝
1 2 n i i
S，则对任一事件B，有P(B)＝(A)P(B|A)称满足上述条件的A，A，…，A 为完备事件组.
i i 1 2 n
6.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立
重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率
为P(k)＝ C p k (1 － p ) n － k(k＝0，1，2，…，n).
n
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝ C p k q n － k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布
列：
X 0 1 … k … n
P C p 0 q n C pq n － 1 … Cpkqn－k … C p n q 0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) .
7.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为
参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称；
③曲线在 x ＝ μ 处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682__6；
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954__4；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997__4.
1.求古典概型概率的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)＝ ，求出P(A)．
2.求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．3.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
①X的取值为0，1，2，…，n；
②P(X＝k)＝C pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n，p为试验成功的概
率)．
[提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进
而判定是否服从二项分布．
4.超几何分布的特点
(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上
是古典概型．
5.正态分布下的概率计算常见的两类问题
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，
及曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属
于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
概率
1.（2021重庆市九龙坡区高三上学期期中）有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现
准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开
锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：①前三把都能开锁，②第
一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
由此能求出恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率．【详解】有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁．
现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况为3种：
①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，
③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，
恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：
．
故选：B．
2.（2021重庆市第一中学高三下学期第二次月考）我国占代图书之一的《周髀算经》中指出：某地的冬至、
小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次是一个
等差数列．已知立春与惊蛰两个节气的日影长分别为11尺和10尺，现在随机选出3个节气，至少有一个
节气的日影长大于9尺的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
的
【分析】令冬至影长为 ，公差为 ，则 ，进而确定十二节气 日影长，再应用组合数及对立事件
的概率求法求概率即可.
【详解】由题意，令冬至影长为 ，公差为 ，则 ，故 .
∴冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷肉、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依
次为 ，
∴随机选出3个节气至少有一个节气的日影长大于9尺的概率 .
故选：C
3.（2021新疆乌鲁木齐市第八中学高三检测）我国古代的一些数字诗精巧有趣，又饱含生活的哲学，如清
代郑板桥的《题画竹》：“一两三枝竹竿，四五六片竹叶，自然淡淡疏疏，何必重重叠叠．”现从1，2，
3，4，5，6中随机选取2个不同的数字组成 ，则恰好能使得 的概率是
____________．【答案】
【分析】列举基本事件，直接求概率即可.
【详解】1，2，3，4，5，6这6个数字中满足 的数对有：
， ，4，5，6，
， ，5，6；
， ，6；
， ，共10种，
而 ， ，3，4，5，6，
， ，2，4，5，6，
， ，2，3，5，6，
， ，2，3，4，6，
， ，2，3，4，5，共有25种，
所求概率为 ．
故答案为： ．
4. 事件 A,B,C相互独立,如果P(AB)= ,P( C)= ,P(AB )= ,则P (B)=____;P B)=____.
【答案】 ①. ②.
【解析】【详解】分析：根据独立事件的概率公式可得 结合对立事件概率公式可得结果.
详解：由题意得
得 ,
所以
点睛：本题主要考查独立事件、对立事件的概率，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件
的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若
干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事
件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.
二项分布
1.（多选）（2022年高考数学一轮复习）若随机变量 服从参数为 ， 的二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.
【详解】由题意，根据二项分布中概率的计算公式 ， ，则 ，
，
，
，
，
因此 ， ，
．
故选：BD．
2． 设X为随机变量， ，若随机变量 的期望为 ，则 ______.
【答案】
【分析】利用二项分布的数学期望计算公式求出 ，再根据二项分布
的概率计算公式求解即可.
【详解】由题意可知， ，所以 ，
因为随机变量 的期望为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .故答案为： .
3. 已知 ，且 ，求Y的分布列．
【分析】列举Y的可能取值，求概率即可求解
【详解】 故X可能取值为0,1,2,3，则 的可能取值为1,3,5,7
，
，
故分布列为：
1 3 5 7
P
超几何分布
1.（2021江苏省镇江中学高三检测）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品
的个数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】 ，然后算出即可.
【详解】故选：D
【点睛】本题考查的是利用组合数解决超几何分布的问题，较简单.
2.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】直接利用超几何分布概率求解.
【详解】在含有3件次品的50件产品中，任取2件，
则至少取到1件次品的概率为 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查超几何分布概率的求法，属于基础题.
3.（2021辽宁省锦州市第二高级中学高三检测）学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，
设抽取的人中女教师的人数为X，求 ________．
【答案】
【分析】本题主要考查了超几何分步的概率计算，属于基础题．
根据题意，X的取值为0或1，代入超几何分布公式求出对应概率，再相加即可．
【详解】解：由题意可得
，
，
所以 ．
故答案为： ．
正态分布1.（多选）（2021广东省普宁市华侨中学高三上学期期中）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分
制)分别服从正态分布 ， ，其正态分布的密度曲线如图所示，
则下列说法中正确的是（ ）
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 .
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若 ，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
【答案】ACD
【分析】利用正态分布曲线与参数的关系、参数的意义、正态曲线的对称性，对四个选项逐一分析判断即
可．
【详解】解：由图象可知，甲的图象关于 对称，乙的图象关于 对称，
所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，
故选项A正确，B错误；
因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，
所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，
则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，
故选项C正确；
若 ，则甲同学成绩高于80分的概率约为 ，
故选项D正确．
故选：ACD．
2.（2021广西桂林普通高中高三检测）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则__________．
【答案】
【分析】根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得 ．
【详解】∵随机变量 服从正态分布 ，
∴正态曲线的对称轴是 ．
又 ，∴ ，
由对称性可知，
．
故答案为： ．
1.（2021年全国高考乙卷数学）在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.
【详解】设 “区间 随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为 ，
“取到的数小于 ”， 对应集合为： ，区间长度为 ，
所以 ．
故选：B．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于 ”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确
求出．
2．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
【答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A， 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，所以测量结果落在
内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，
故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结
果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，
每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙
表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】 ，故选：B
【点睛】判断事件 是否独立，先计算对应概率，再判断 是否成立
4.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两
场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，
负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另
一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；
（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概
率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.
【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ；
（2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，
则四局内结束比赛的概率为
，
所以，需要进行第五场比赛的概率为 ；
（3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输，记事件 甲赢，记事件 丙赢，
则甲赢的基本事件包括： 、 、 、
、 、 、 、 ，
所以，甲赢的概率为 .
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为 .
【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属
于中等题.
5. （2017全国高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽
取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零
件的尺寸服从正态分布 .
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求
及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
10.1 10.0 10.0
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
2 1 4
10.2 10.1 10.0 10.0 10.0
9.91 9.22 9.95
6 3 2 4 5
经计算得 ， ，其中x为抽取的第
ii个零件的尺寸， .
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的
生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布 ，则 ， ，
.
【答案】（1） ， （2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在 之内的概率，可知尺寸在 之外
的概率为0.0026，而 ，进而可以求出 的数学期望.
（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在
之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；
（ii）计算 ，剔除 之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为 的估计值，剔除
之外的数据，剩下数据的样本方差，即为 的估计值.
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在 之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在 之外的概率为0.0026，
故 .
因此 .
的数学期望为 .
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在 之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，
可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由 ，
得 的估计值为 ， 的估计值为 ，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在 之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的平均数为 ，
因此 的估计值为 .
，
剔除 之外的数据 ，
剩下数据的样本方差为 ，
因此 的估计值为 .
【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤
其是正态分布的 原则，审清题意，细心计算，属中档题.一、单选题
1．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））中国习俗讲究“十全十美､红红火火”.某次元宵节游园
会中有这么一个活动：一个不透明的箱子中装有15个质地均匀且大小相同的小球，其中有5个红球，10
个黑球，每次随机取出一球（取出后不放回），取出的第10个球为红球则获得小礼品一份，每人只能参与
该游戏一次.则小明参与该游戏获奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型的概率求解.
【详解】（方法一）从箱子中逐次取出15个球，一共有种 取法，
而第10个球确定为红球，有5种取法，其余14个球可以随机排列，共有 种方式，
所以取出的第10个球为红球的概率为
（方法二）可以类比为3个小球，2黑1红，
共有红黑黑､黑红黑､黑黑红3中取法，
则取出的第二个小球为红球是黑红黑1种取法，
所以取出的第二个小球为红球的概率为 .
故选：B
2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））七巧板是中国民间流传的智力玩具.据清代陆以湉《冷庐杂识》
记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为
拼图版玩具.到明代，七巧板已基本定型为由下面七块板组成；五块等腰直角三角形（其中两块小型三角
形､一块中型三角形和两块大型三角形）､一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物､动物､植物､房亭､
楼阁等1600种以上图案.现从七巧板的五块三角形中任意取出两块，则两块板恰好是全等三角形的概率为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型，结合组合数公式，即可求解.
【详解】五块三角形中有两组全等三角形，
所以从七巧板的五块三角形中任意取出两块，则两块板恰好是全等三角形的概率 .
故选：D
3．（2022·辽宁·二模）在北京时间2022年2月6日举行的女足亚洲杯决赛中，中国女足面对上半场0-2落
后的劣势，发扬永不言弃的拼搏精神，最终强势逆转，时隔16年再夺亚洲杯冠军！足球比赛中点球射门是
队员练习的必修课．己知某足球队员在进行点球射门时命中率为 ，由于惯用脚的原因，他踢向球门左
侧的概率为 ，踢向球门右侧的概率为 ．经统计，当他踢向球门左侧时，球进的概率为 ，那么
他踢向球门右侧时，球进的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】某足球队员在进行点球射门时命中率 =他踢向球门左侧的概率×他踢向球门左侧时球进的概率
+他踢向球门右侧的概率×他踢向球门右侧时球进的概率，据此即可列式求解．
【详解】设某队员踢向球门右侧时，球进的概率为x，则由题可知：
，解得 ．
故选：D．
4．（2022·江苏·南京市第一中学三模）柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率
分布．记随机变量 服从柯西分布为 ，其中当 ， 时的特例称为标准柯西分布，其
概率密度函数为 ．已知 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】由标准柯西分布的概率密度函数可知，其图象关于 轴对称，则 ，利用
条件求解即可.
【详解】由题，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
二、多选题
5．（2022·广东·三模）一部机器有甲乙丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多会出故障一次，
工程师统计了近100个生产周期内一部机器各类型故障发生的次数得到如下柱状图，由频率估计概率，在
一个生产周期内，以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个零件发生故障的概率为0.8
B．有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更大
C．乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率更大
D．已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率更大
【答案】AD
【分析】由统计图表得出各概率比较可判断各选项．
【详解】由图可得，在一个生产周期内，机器正常的概率为 ，则至少有一个零件发生故障的概率
为0.8，A正确；有两个零件发生故障的概率为 ，只有一个零件发生故障的概率为 ，则有
两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率更小，B错误；
乙零件发生故障的概率为 ，甲零件发生故障的概率为 ，则乙零件发
生故障的概率比甲零件发生故障的概率更小，C错误；
由图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.
故选：AD．
6．（2022·江苏南京·三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，
且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最
多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B独立
D．记C的对立事件为 ，则
【答案】BCD
【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可；
对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可；
对C，根据相互独立事件的公式判断即可；
对D，先求得 ，再利用条件概率公式求解即可
【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；
选项B： ，正确；
选项C： ，
故A与B独立，正确；
选项D： ， ，正确；
故选：BCD．7．（2022·全国·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．若事件A与B相互独立，且 ， ，则
B．设随机变量X服从正态分布 ，则
C．在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，当样本相关系数 越接近1时，
样本数据的线性相关程度越强
D．在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，若残差平方和越大，则模型的
拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好
【答案】ACD
【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A正确；根据正态分布曲线的对称性，可
判定B错误；根据相关系数的含义，可判定C正确；根据残差的含义，可判定D正确.
【详解】对于A中，若事件A与B相互独立，且 ， ，
可得 ，则 ，所以A正确；
对于B中，设随机变量X服从正态分布 ，可得 ，
根据正态分布曲线的对称性，可得 ，所以B错误；
对于C中，在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，根据相关系数的含义，
可得当样本相关系数 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强，
所以C正确；
对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据 而言，根据残差的含义，可得
残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D正确.
故选：ACD
8．（2022·全国·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A．频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值
B．已知一组数据的方差为5，则这组数据的每个数都加上3后方差为8
C．若随机变量 服从二项分布 ，则
D．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
【答案】AC
【分析】由频率分布直方图中众数的求解方法即可判断A；
将一组数据中的每一个数都加上同一常数后，方差不变即可判B；
由二项分布和均值的性质即可判C；
由正态分布的对称性即可判断D.
【详解】对于A，根据频率分布直方图中众数的求解方法知A正确.
对于B，由方差的计算公式知，将一组数据中每一个数都加上同一常数后，方差不变，故B错误.
对于C，由二项分布的性质得 ， ，故C正确.
对于D，易知 ， 又 ，所以 ，则
，故D错误.
故选：AC.
9．（2021·海南·模拟预测）设随机变量 服从正态分布 ，随机变量 服从正态分布 ，下
列判断正确的是（ ）
A． B．
C．存在 ，满足 D．存在 ，满足
【答案】BC
【分析】根据已知X、Y的正态分布，利用正态分布曲线的性质，即可判断各选项的正误
【详解】由题设知， 的正态分布的参数为 ， ， 的正态分布的参数为 ， .A： ， ，所以 ，错误；
B： ， ，所以 ，正确；
C：由 ，所以 ，正确；
D：大致作出 和 的正态曲线，如图所示，可知在 轴左侧， 的正态曲线总在 的正态曲线的下方，
的正态曲线下方的区域面积总小于 的正态曲线下方的区域面积，即 ，从而
，错误.
故选：BC
10．（2021·河北唐山·三模）下列说法正确的是（ ）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，
已知每次投中的概率为 ，，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为 ，则
D．若随机变量 ，且 .则 ，
【答案】AC
【分析】选项A 先求5次都没投中的概率，由对立事件的概率关系判断；选项B. 由其中至少有一名女生
分为：1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况，可判断; 选项C. 由分布列的性质先求 ，即可判断；选项C. 由正态分布的性质和期望的性质可判断.
【详解】选项A. 5次都没投中的概率为 .
所以游戏者闯关成功的概率为 ，故A正确.
选项B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有 种情况.而
所以其中至少有一名女生的概率为： .故B不正确.
选项C. 由 ，则 ，解得
所以 ，故C正确.
选项D. 由随机变量 ，则 ，
所以 ,故D不正确.
故选：AC
11．（2021·江苏江苏·二模）某中学为了研究高三年级学生的身高和性别的相关性问题，从高三年级800
名学生中随机抽取200名学生测量身高，测量数据的列联表如下：单位：人
身高
性别 合计
低于170 不低于170
女 80 16 96
男 20 84 104
合计 100 100 200
下列说法正确的有（ ）
附1： (其中 ).临界值表：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附2：若 ，则随机变量X取值落在区间 上的概率约为68.3%.A．从列联表可以
判断该样本是由分层抽样而得
B．从列联表可以看出该中学高三学生身高最高的是男生
C．有99.9%的把握认为该中学高三学生的身高与性别有关联
D．若该样本中男生身高 (单位： )服从正态分布 ，则该样本中身高在区间 内的男
生超过30人
【答案】CD
【分析】A.由分层抽样的特点判断；B.从列联表的特点判断；C.求出 判断；D.由正态分布求解判断.
【详解】A.高三年级学生没有差异，所以不用分层抽样，故错误；
B.从列联表可以看出该中学高三学生身高的人数，故错误；
C. ，故正确
D. ，故正确，
故选：CD.
三、填空题
12．（2022·福建莆田·三模）五一期间，某个家庭（一共四个大人，三个小孩）一起去旅游，在某景点站
成一排拍照留念，则小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率是_______．
【答案】
【分析】根据全排列求出7人总的排法种数，再利用插空法求出小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都
有大人的排法种数，根据古典概型求解.
【详解】7个人全排列有 种排法，利用插空法，其中小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的
排法有 种，所以小孩不站在两端，且每个小孩左右两边都有大人的概率 .
故答案为：
13．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准
点的情况下，货车A晚点的概率为 ；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为 .若货车A､B准点
的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.
【答案】
【分析】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，由条件概率公式得 ，从而得到答案.
【详解】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，因为 ，所以 .
由条件概率公式得 ， ，
因此 ，可以求解得到 ，因此B晚点的概率为 .
故答案为：
14．（2022·江苏江苏·三模）抽样表明，某地区新生儿体重 近似服从正态分布 .假设随机抽取
个新生儿体检，记 表示抽取的 个新生儿体重在 以外的个数.若 的数学期望 ，
则 的最大值是___________.
【答案】16
【分析】根据正太分布的 原则进行计算.
【详解】根据正太分布的 原则可知： ，得： ，
因为 为正整数，故 的最大值为16.
故答案为：16
四、双空题
15．（2022·江苏南京·三模）19世纪，美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，
以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值 的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随
机数据中，以n开头的数出现的概率为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该
定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，
在某项大量经济数据（十进制）中，以6开头的数出现的概率为______；若 ,
，则k的值为__________．
【答案】 5
【分析】第一空，将 代入 即可求得答案；第二空，根据 得到
的表达式，结合 的值可得方程，解得答案.
【详解】由题意可得：
（1）
（2） ，而 ，故 ，则 ．
故答案为：
16．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）林锋家所在小区原本是开放式小区，停车难问题一直困扰着该小区
居民.今年当地政府积极进行老小区改造，通过竭力协调将闲置的空间改造成了绿色车位，受到居民的广泛
称赞，如今林锋家楼下原本堆满废墟的地方已经改造成了7个绿色车位.某天中午林锋家来了四位客人，这
四位客人各自驾驶一辆车，其中三辆黑色，一辆白色.此时这7个车位恰好均未使用，于是这四辆车随机规
范停入这7个车位.则恰好三辆黑色车相邻停放的概率为___________；记剩余的3个空车位中相邻的车位数最大者为 （若3个空车位均相邻则 ，若3个空车位有且仅有两个相邻则 ，若3个空车位均不
相邻则 ），则 的数学期望为___________.
【答案】
【分析】依据古典概型去求恰好三辆黑色车相邻停放的概率；依据离散型随机变量的数学期望的定义去求
的数学期望.
【详解】记“恰好三辆黑色车相邻停放”为事件M，则 .
随机变量 的取值为1，2，3，
则 ； ； ，
故 .
故答案为： ； .
17．（2022·安徽安庆·二模（理））立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100
分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决
定在分数段 内抽取学生，并确定m＝67，且 .在某班随机抽样得到20名学生的
分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段 内的人数为k，则k等于______；这k名学
生的人均分为______.
（附： ， ，
）【答案】 10 74分
【分析】由已知，测评分值 服从正态分布 ，根据图像，分别求解出 ， ，根据给的参考数据，
结合给定的范围，即可确定 的值，然后根据区间 的范围，在图②输出满足条件的数据，即可确定k
的值，并根据k的取值再去计算平均数即可.
【详解】有图像可知， 服从正态分布 ，其中 ， ，所以随机变量 ，
， ，
由 ，
可得 .
由图②可知，该班在 内抽取了10人；
所以，人均分为 分.
故答案为：10，74分.
五、解答题
18．（2022·四川南充·三模（文））某企业主管部门为了解企业某产品年营销费用x（单位：万元）对年销
售量）（单位：万件）的影响，对该企业近5年的年营销费用 和年销售量 做了初步处理，
得到的散点图及一些统计量的值如下：
150 525 1800 1200根据散点图判断，发现年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）之间可以用 进行回归分析．
(1)求y关于x的回归方程；
(2)从该产品的流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图：规定产品的质量
指标值在 的为劣质品，在 的为优等品，在 的为特优品，销售时劣质品每件亏损
0.8元，优等品每件盈利4元，特优品每件盈利6元，以这100件产品的质量指标值位于各区间的频率代替
产品的质量指标值位于该区间的概率．如果企业今年计划投入的营销费用为80万元，请你预报今年企业该
产品的销售总量和年总收益．
附：①收益＝销售利润－营销费用；
②对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ．
【答案】(1) ；
(2)今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元．【分析】（1）求出 ，再利用最小二乘法公式求解作答.
（2）求出产品的质量指标值在 、 、 的频率，由（1）估计销售总量，再由已知列
式计算作答.
(1)根据题意得 ， ，
， ，
y关于x的回归方程为 .
(2)由（1）可知：当 时， ，即营销费用为80万元，该产品的销售总量约为180
万件，
由频率分布直方图知，产品的质量指标值在 、 、 的频率分别为 、 、 ，
以频率为概率可以估计：销售的180万件产品中，劣质品约为180×0.25=45（万件），
优等品约为180×0.65＝117（万件），特优品约为180×0.1＝18（万件），
估计今年企业该产品的总收益为： （万元），
所以，今年企业该产品的销售总量估计为180万件，年总收益估计为460万元.
19．（2022·河南商丘·三模（文））大力开展体育运动，增强学生体质，是学校教育的重要目标之一．某
校组织全校学生进行了立定跳远训练，为了解训练的效果，从该校男生中随机抽出100人进行立定跳远达
标测试，成绩（单位：米）均在 内，整理数据得到如下频率分布直方图．学校规定男生立定跳
远2.05米及以上为达标，否则不达标．(1)若男生立定跳远的达标率低于60%，该校男生还需加强立定跳远训练．请你通过计算，判断该校男生是
否还需加强立定跳远训练；
(2)从该校随机抽取的100名立定跳远成绩在 和 内的男生中，用分层抽样的方法抽取7
人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人来自不同区间的概率．
【答案】(1)该校男生还需加强立定跳远训练．(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图求出男生立定跳远的达标率，即可判断；
（2）依题意抽取的7人应从立定跳远成绩在 内的男生中抽取4人，分别记为 ， ， ， ，
成绩在 内的男生中抽取3人，分别记为 ， ， ．用列举法列出所有可能结果，再找出符合
题意的基本事件，最后根据古典概型的概率公式计算可得；
(1)解：由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为
因为 ，所以该校男生还需加强立定跳远训练．
(2)解：由题意可知，抽取的7人应从立定跳远成绩在 内的男生中抽取 人，分别记
为 ， ， ， ，
成绩在 内的男生中抽取 人，分别记为 ， ， ．
从这7人中随机抽取2人的基本事件有： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，， ， ， ，
， ， ， ， ， ，共21个；
其中这2人来自不同区间的有： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， 共12个；
故这2人来自不同区间的概率为 ．
20．（2022·北京·模拟预测）2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国
际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪
人次（单位：万人次）数据如下表：
排名 省份 2020-2021 2019-2020 2018-2019
1 河北 221 136 235
2 吉林 202 123 207
3 北京 188 112 186
4 黑龙江 149 101 195
5 新疆 133 76 116
6 四川 99 52 69
7 河南 98 58 95
8 浙江 94 62 108
9 陕西 79 47 76
10 山西 78 39 100
(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人
次的概率；
(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万
人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望 ；
(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为 与 ，试判断 和 的大小． 结论不要求证明
【答案】(1) ；(2)分布列见解析， ;(3) .
【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可；
（2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可；
（3）根据方差的性质进行判断即可.
(1)由表格可知，滑雪人次排名前十的省份中2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的频率为 ．
设事件 从滑雪人次排名前十的省份中随机抽取1个省份，该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪
人次．
所以 ；
(2)由题意可知，X的可能取值是 ．
， ， ，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以X的数学期望为 = ；
(3)通过表格可以发现2020-2021，2019-2020两组数据中，2020-2021这一组数据比较分散不集中，
所以 ．
21．（2022·北京·二模）2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体
育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30
分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四
类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进
行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为 和 ，选考1分钟跳绳的比例分别为 和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟
跳绳的概率；
(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40
人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试
中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为 ，试比
较 与 的大小.（结论不需要证明）
【答案】(1) (2)0.32(3)
【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳
绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；
（3）根据平均数公式分别求出 ，即可得解.
(1)解：样本中男生的人数为 人，
样本中女生的人数为 人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件 ，
则该学生选考乒乓球的概率 ；
(2)解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
由题意 ，
则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟
跳绳的概率为 ；
(3)解： ，
，所以 .
