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第十二章 概率与统计 ６ ５１
§１２．３ 二项分布与正态分布
比赛结束 且这 个球的得分情况为 前两球是甲 乙各得
条件概率、相互独立事件及二项分布 ， ４ ： 、 １
分 后两球均为甲得分．
，
学生用书Ｐ２２０ 因此所求概率为 ． ． ． ． ． ． ． ．
［０５×（１－０４）＋（１－０５）×０４］×０５×０４＝０１
１．（２０２１新高考 ，８，５分）有 个相同的球 分别标有数字 思路分析 （ ）Ｘ ，即要么甲得 分，要么乙得 分，分类
Ⅰ ６ ， １，２， １ ＝２ ２ ２
３，４，５，６，
从中有放回地随机取两次
，
每次取
１
个球．甲表示事
求出独立事件的概率，求和即可．
件 第一次取出的球的数字是 乙表示事件 第二次取出的
“ １”， “ （ ）Ｘ 且甲获胜，即又打了 个球，且后两球甲得分，前两个
球的数字是 丙表示事件 两次取出的球的数字之和是 ２ ＝４ ４
２”， “ ８”，
球甲、乙各得 分，由独立事件的概率公式可求解．
丁表示事件 两次取出的球的数字之和是 则 １
“ ７”， （ ） ７．（２０１９天津理，１６，１３ 分）设甲 乙两位同学上学期间 每天
甲与丙相互独立 甲与丁相互独立 、 ，
Ａ． Ｂ．
乙与丙相互独立 丙与丁相互独立 之前到校的概率均为 ２ ．假定甲 乙两位同学到校情况互
Ｃ． Ｄ． ７：３０ 、
３
１． 答案 Ｂ
不影响 且任一同学每天到校情况相互独立．
２．（２０１８课标 理，８，５分）某群体中的每位成员使用移动支付 ，
Ⅲ
用Ｘ表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天
（１） ７：３０
的概率都为ｐ 各成员的支付方式相互独立．设Ｘ为该群体的
， 数 求随机变量Ｘ的分布列和数学期望
， ；
位成员中使用移动支付的人数 ＤＸ ． Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
１０ ， ＝２ ４， （ ＝４）＜ （ ＝ 设Ｍ为事件 上学期间的三天中 甲同学在 之前到校
（２） “ ， ７：３０
则ｐ
６）， ＝ （ ） 的天数比乙同学在 之前到校的天数恰好多 求事
７：３０ ２”，
． ． ． ．
Ａ．０７ Ｂ．０６ Ｃ．０４ Ｄ．０３ 件Ｍ发生的概率．
２． 答案 Ｂ
７． 解析 因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独
３．（２０２０天津，１３，５分）已知甲 乙两球落入盒子的概率分别为 （１） ( )
、
立 且每天 之前到校的概率均为 ２ 故Ｘ Ｂ ２ 从
１ 和 １ ．假定两球是否落入盒子互不影响 则甲 乙两球都落 ， ７：３０ ， ～ ３， ，
３ ３
， 、 ( )ｋ( ) ｋ
入 ２ 盒子 ３ 的概率为 甲 乙两球至少有一个落入盒子的 而Ｐ Ｘ ｋ ｋ ２ １ ３－ ｋ ．
； 、 （ ＝ ）＝Ｃ３ ， ＝０，１，２，３
３ ３
概率为 ．
所以 随机变量Ｘ的分布列为
，
３． 答案 １ ２ Ｘ
； ０ １ ２ ３
６ ３
４．（２０１９课标 理，１５，５分）甲 乙两队进行篮球决赛 采取七场
Ⅰ 、 ， Ｐ １ ２ ４ ８
四胜制 当一队赢得四场胜利时 该队获胜 决赛结束 ．根据 ２７ ９ ９ ２７
（ ， ， ）
前期比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客主 ．
， “ ” 随机变量Ｘ的数学期望Ｅ Ｘ ２ ．
设甲队主场取胜的概率为 ． 客场取胜的概率为 ． 且各场 （ ）＝３× ＝２
０６， ０ ５， ３
比赛结果相互独立 则甲队以 获胜的概率是 ． 设乙同学上学期间的三天中 之前到校的天数为Ｙ 则
， ４ ∶ １ （２） ７：３０ ，
４． 答案 ． ( )
０１８ Ｙ Ｂ ２ 且Ｍ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ ．
５．（２０１７课标 理，１３，５分）一批产品的二等品率为 ． 从这 ～ ３， ， ＝｛ ＝３， ＝１｝∪｛ ＝２， ＝０｝
Ⅱ ０ ０２， ３
批产品中每次随机取一件 有放回地抽取 次 Ｘ表示抽到 由题意知事件 Ｘ Ｙ 与 Ｘ Ｙ 互斥 且事件 Ｘ
， １００ ， ｛ ＝３， ＝１｝ ｛ ＝２， ＝０｝ ， ｛ ＝
的二等品件数 则ＤＸ ． 与 Ｙ 事件 Ｘ 与 Ｙ 均相互独立
， ＝ ３｝ ｛ ＝１｝， ｛ ＝２｝ ｛ ＝０｝ ，
５． 答案 ． 从而由 知 Ｐ Ｍ Ｐ Ｘ Ｙ Ｘ Ｙ
１９６ （１） （ ）＝ （｛ ＝３， ＝１｝∪｛ ＝２， ＝０｝）＝
６．（２０１９课标 理，１８，１２分） 分制乒乓球比赛 每赢一球得 Ｐ Ｘ Ｙ Ｐ Ｘ Ｙ Ｐ Ｘ Ｐ Ｙ Ｐ Ｘ
Ⅱ １１ ， １ （ ＝３， ＝１）＋ （ ＝２， ＝０）＝ （ ＝３） （ ＝１）＋ （ ＝
分 当某局打成 平后 每球交换发球权 先多得 分的
， １０ ∶ １０ ， ， ２ Ｐ Ｙ ８ ２ ４ １ ２０．
一方获胜 该局比赛结束．甲 乙两位同学进行单打比赛 假设 ２） （ ＝０）＝
２７
×
９
＋
９
×
２７
＝
２４３
， 、 ，
甲发球时甲得分的概率为 ． 乙发球时甲得分的概率为 ． 思路分析 （ ）观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”，
０ ５， ０４， １
各球的结果相互独立．在某局双方 平后 甲先发球 两 判断 Ｘ Ｂ（ｎ，ｐ），从而利用二项分布求出分布列与期望．
１０ ∶ １０ ， ， ～
人又打了Ｘ个球该局比赛结束． {Ｘ ，
（ ）先将“天数恰好多 ” 用数学语言表示，即 ＝３ 或
求Ｐ Ｘ ２ ２ Ｙ
（１） （ ＝２）； ＝１
求事件 Ｘ 且甲获胜 的概率． {Ｘ ，
（２） “ ＝４ ” ＝２ 从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解．
６． 解析 本题主要考查独立事件概率的求解．考查学生的逻辑推 Ｙ ．
＝０
理及数据处理能力 考查的核心素养是数据分析和逻辑推理． ８．（２０１８课标 理，２０，１２分）某工厂的某种产品成箱包装 每箱
； Ⅰ ，
Ｘ 就是 平后 两人又打了 个球该局比赛结束 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如检验
（１） ＝２ １０ ∶ １０ ， ２ ， ２００ ， ，
则这 个球均由甲得分 或者均由乙得分．因此Ｐ Ｘ ． 出不合格品 则更换为合格品．检验时 先从这箱产品中任取
２ ， （ ＝２）＝０５× ， ，
． ． ． ． ． 件作检验 再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作
０４＋（１－０５）×（１－０４）＝０５ ２０ ，
Ｘ 且甲获胜 就是 平后 两人又打了 个球该局 检验．设每件产品为不合格品的概率都为ｐ ｐ 且各件产
（２） ＝４ ， １０ ∶ １０ ， ４ （０＜ ＜１），
６ ５２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
品是不是不合格品相互独立． 轮猜对 记事件Ｃ 甲第二轮猜对 记事件Ｄ 乙第二轮
”， ：“ ”， ：“
记 件产品中恰有 件不合格品的概率为ｆ ｐ 求ｆ ｐ 猜对 记事件Ｅ 星队 至少猜对 个成语 ．
（１） ２０ ２ （ ）， （ ） ”， ：“‘ ’ ３ ”
的最大值点ｐ
０； 由题意
，
Ｅ
＝
ＡＢＣＤ
＋
ＡＢＣＤ
＋
ＡＢＣＤ
＋
ＡＢＣＤ
＋
ＡＢＣＤ
，
现对一箱产品检验了 件 结果恰有 件不合格品 以
（２） ２０ ， ２ ， 由事件的独立性与互斥性 得
，
中确定的ｐ 作为ｐ的值．已知每件产品的检验费用为
（１） ０ Ｐ Ｅ Ｐ ＡＢＣＤ Ｐ ＡＢＣＤ Ｐ ＡＢＣＤ Ｐ ＡＢＣＤ Ｐ ＡＢＣ
元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合 （ ）＝ （ ）＋ （ ）＋ （ ）＋ （ ）＋ （
２ ， ，
格品支付 元的赔偿费用． Ｄ
２５ ）
若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ
（ｉ） ， ＝ （ ） （ ） （ ） （ ）＋ （ ） （ ） （ ） （ ）＋ （ ）· （ ）
用与赔偿费用的和记为Ｘ 求ＥＸ
， ； Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ｄ
以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否 （ ） （ ）＋ （ ） （ ） （ ） （ ）＋ （ ） （ ） （ ）· （ ）
( )
（ｉｉ） ，
该对这箱余下的所有产品作检验 ３ ２ ３ ２ １ ２ ３ ２ ３ １ ３ ２
？
＝ × × × ＋２× × × × ＋ × × ×
８． 解析 件产品中恰有 件不合格品的概率为ｆ ｐ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３
（１）２０ ２ （ ）＝
２ｐ２ ｐ １８．因此ｆ′ ｐ ２ ｐ ｐ １８ ｐ２ ｐ １７ ２ｐ ＝ ２ ．
Ｃ２０ （１－ ） （ ）＝Ｃ２０［２ （１－ ） －１８ （１－ ） ］＝２Ｃ２０ （１－ ３
ｐ １７ ｐ ．令ｆ′ ｐ 得ｐ ． 当ｐ ． 时 ｆ′ ｐ
） ·（１－１０ ） （ ）＝０， ＝０１， ∈（０，０１） ， （ ）＞０； 所以 星队 至少猜对 个成语的概率为 ２ ．
当ｐ ． 时 ｆ ′ ｐ ．所以ｆ ｐ 的最大值点为ｐ ． ． “ ” ３
∈（０１，１） ， （ ）＜０ （ ） ０＝０１ ３
由 知 ｐ ． 由题意 随机变量Ｘ可能的取值为 ．
（２） （１） ， ＝０１， （２） ， ０，１，２，３，４，６
令Ｙ表示余下的 件产品中的不合格品件数 依题意知 由事件的独立性与互斥性 得
（ｉ） １８０ ， ，
Ｙ Ｂ ． Ｘ Ｙ 即Ｘ Ｙ 所以ＥＸ Ｅ
～ （１８０，０１）， ＝２０×２＋２５ ， ＝４０＋２５ ， ＝ （４０ Ｐ Ｘ １ １ １ １ １
Ｙ ＥＹ ． （ ＝０）＝ × × × ＝ ，
＋２５ ）＝４０＋２５ ＝４９０ ４ ３ ４ ３ １４４
如果对余下的产品作检验 则这一箱产品所需要的检验费 ( )
（ｉｉ） ， Ｐ Ｘ ３ １ １ １ １ ２ １ １ １０ ５
为 元．由于ＥＸ 故应该对余下的产品作检验． （ ＝１）＝２× × × × ＋ × × × ＝ ＝ ，
４００ ＞４００， ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ １４４ ７２
以下为教师用书专用（１—１４） Ｐ Ｘ ３ １ ３ １ ３ １ １ ２ １ ２ ３ １
（ ＝２）＝ × × × ＋ × × × ＋ × × ×
１．（２０１５课标理，４，５分）投篮测试中 每人投 次 至少投中 次 ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３
Ⅰ ， ３ ， ２
才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 ． 且各次 ＋ １ × ２ × １ × ２ ＝ ２５ ，
０６，
４ ３ ４ ３ １４４
投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为
， （ ）
Ｐ Ｘ ３ ２ １ １ １ １ ３ ２ １２ １
． ． ． ． （ ＝３）＝ × × × ＋ × × × ＝ ＝ ，
Ａ．０６４８ Ｂ．０４３２ Ｃ．０３６ Ｄ．０３１２ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ １４４ １２
答案 Ａ 该同学通过测试的概率Ｐ ２ ． ２ ． ． ３ ( )
＝Ｃ３×０ ６ ×０ ４＋０ ６ Ｐ Ｘ ３ ２ ３ １ ３ ２ １ ２ ６０ ５
． ． ． 故选 ． （ ＝４）＝２× × × × ＋ × × × ＝ ＝ ，
＝０４３２＋０２１６＝０６４８， Ａ ４ ３ ４ ３ ４ ３ ４ ３ １４４ １２
２．（２０１４课标 理，５，５分）某地区空气质量监测资料表明 一
Ⅱ ， Ｐ Ｘ ３ ２ ３ ２ ３６ １ ．
天的空气质量为优良的概率是 ． 连续两天为优良的概率 （ ＝６）＝ × × × ＝ ＝
０７５， ４ ３ ４ ３ １４４ ４
是 ． 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量 可得随机变量Ｘ的分布列为
０６， ，
为优良的概率是
（ ） Ｘ
０ １ ２ ３ ４ ６
． ．
Ａ．０８ Ｂ．０７５
． ． Ｐ １ ５ ２５ １ ５ １
Ｃ．０６ Ｄ．０４５
１４４ ７２ １４４ １２ １２ ４
．
答案 Ａ 由条件概率可得所求概率为０６ ． 故选 ．
． ＝０８， Ａ 所以数学期望ＥＸ １ ５ ２５ １ ５
０７５ ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＋４× ＋６×
３．（２０１５广东理，１３，５分）已知随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ｎ １４４ ７２ １４４ １２ １２
（ ，
ｐ ．若Ｅ Ｘ Ｄ Ｘ 则ｐ ． １ ２３．
） （ ）＝３０， （ ）＝２０， ＝ ＝
４ ６
答案 １ 评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量
３ 的分布列与数学期望，确定随机变量可能的取值是解题的关
解析 因为Ｘ Ｂ ｎ ｐ 所以Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ｎｐ
～ （ ， ）， （ ）＝ ＝３０， （ ）＝ （１ 键．属于中档题．
－
ｐ
）＝２０，
解得ｎ
＝９０，
ｐ
＝
１ ． ５．（２０１５湖南理，１８，１２分）某商场举行有奖促销活动
，
顾客购
３
４．（２０１６山东理，１９，１２分）甲 乙两人组成 星队 参加猜成语 买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有
４
个红
、 “ ”
球 个白球的甲箱和装有 个红球 个白球的乙箱中 各
活动 每轮活动由甲 乙各猜一个成语．在一轮活动中 如果
、６ ５ 、５ ，
， 、 ，
两人都猜对 则 星队 得 分 如果只有一人猜对 则 星
随机摸出 个球．在摸出的 个球中 若都是红球 则获一等
１ ２ ， ，
， “ ” ３ ； ， “
队 得 分 如果两人都没猜对 则 星队 得 分．已知甲每
奖
；
若只有
１
个红球
，
则获二等奖
；
若没有红球
，
则不获奖．
” １ ； ， “ ” ０
求顾客抽奖 次能获奖的概率
轮猜对的概率是 ３ 乙每轮猜对的概率是 ２ 每轮活动中 （１） １ ；
， ； 若某顾客有 次抽奖机会 记该顾客在 次抽奖中获一
４ ３ （２） ３ ， ３
甲 乙猜对与否互不影响 各轮结果亦互不影响．假设 星队 等奖的次数为Ｘ 求Ｘ的分布列和数学期望．
、 ， “ ” ，
参加两轮活动 求 解析 记事件Ａ 从甲箱中摸出的 个球是红
， ： （１） １＝｛ １
星队 至少猜对 个成语的概率 球
（１）“ ” ３ ； ｝，
星队 两轮得分之和Ｘ的分布列和数学期望ＥＸ． Ａ 从乙箱中摸出的 个球是红球
（２）“ ” ２＝｛ １ ｝，
解析 记事件Ａ 甲第一轮猜对 记事件Ｂ 乙第一 Ｂ 顾客抽奖 次获一等奖
（１） ：“ ”， ：“ １＝｛ １ ｝，
第十二章 概率与统计 ６ ５３
Ｂ 顾客抽奖 次获二等奖 个且另一天销售量低于 个 ．因此
２＝｛ １ ｝， １００ ５０ ”
Ｃ 顾客抽奖 次能获奖 ． Ｐ Ａ ． ． ． ．
＝｛ １ ｝ （ １）＝（０００６＋０００４＋０００２）×５０＝０６，
Ｐ Ａ ． ．
由题意
，
Ａ
１
与Ａ
２
相互独立
，
Ａ
１
Ａ
２
与Ａ
１
Ａ
２
互斥
，
Ｂ
１
与 Ｂ
２ Ｐ
（
Ｂ
２）＝０
．
００３
．
×５０＝
．
０１５，
． ．
互斥 且Ｂ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｂ ． （ ）＝０６×０６×０１５×２＝０１０８
， １＝ １ ２， ２＝ １ ２＋ １ ２， ＝ １＋ ２ Ｘ可能取的值为 相应的概率为
（２） ０，１，２，３，
因为Ｐ Ａ ４ ２ Ｐ Ａ ５ １ Ｐ Ｘ ０ ． ３ ．
（ １）＝ ＝ ， （ ２）＝ ＝ ， （ ＝０）＝Ｃ３·（１－０６） ＝００６４，
１０ ５ １０ ２ Ｐ Ｘ １ ． ． ２ ．
（ ＝１）＝Ｃ３·０６（１－０６） ＝０２８８，
所以Ｐ （ Ｂ １）＝ Ｐ （ Ａ １ Ａ ２）＝ Ｐ （ Ａ １） Ｐ （ Ａ ２）＝
５
２ ×
２
１ ＝
５
１ ， Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ３·０ ． ６ ２ （１－０ ． ６）＝０ ． ４３２，
Ｐ Ｘ ３ ． ３ ． ．
Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ａ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ａ （ ＝３）＝Ｃ３·０６ ＝０２１６
（ ２）＝ （ １ ２＋ １ ２）＝ （ １ ２）＋ （ １ ２） 分布列为
Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ
＝ （ １） （ ２）＋ （ １） （ ２） Ｘ
Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ ０ １ ２ ３
＝ （ １ ( ）［１－ ) （ ( ２）］＋［ ) １－ （ １）］ （ ２） Ｐ ０ ． ０６４ ０ ． ２８８ ０ ． ４３２ ０ ． ２１６
２ １ ２ １ １ ．
＝ × １－ ＋ １－ × ＝ 因为Ｘ Ｂ ． 所以期望Ｅ Ｘ ． ． 方差Ｄ Ｘ
５ ２ ５ ２ ２ ～ （３，０６）， （ ）＝３×０６＝１８， （ ）
． ． ． ．
故所求概率为Ｐ Ｃ Ｐ Ｂ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ １ ＝３×０６×（１－０６）＝０７２
（ ）＝ （ １＋ ２）＝ （ １）＋ （ ２）＝ ＋ ７．（２０１４安徽理，１７，１２分）甲乙两人进行围棋比赛 约定先连
５ ，
胜两局者直接赢得比赛 若赛完 局仍未出现连胜 则判定
１ ７ ． ， ５ ，
＝
２ １０ 获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ２ 乙获
顾客抽奖 次可视为 次独立重复试验 由 知 ，
（２） ３ ３ ， （１） ， ３
( )
顾客抽奖 次获一等奖的概率为 １ 所以Ｘ Ｂ １ ． 胜的概率为 １ 各局比赛结果相互独立．
１ ， ～ ３， ，
５ ５ ３
( ) ( ) 求甲在 局以内 含 局 赢得比赛的概率
０ ３
于是Ｐ Ｘ ０ １ ４ ６４ （１） ４ （ ４ ） ；
（ ＝０）＝Ｃ３ ＝ ， 记Ｘ为比赛决出胜负时的总局数 求Ｘ的分布列和均值
５ ５ １２５ （２） ，
( ) １ ( ) ２ 数学期望 ．
Ｐ Ｘ １ １ ４ ４８ （ ）
（ ＝１）＝Ｃ３ ＝ ， 解析 用Ａ表示 甲在 局以内 含 局 赢得比赛 Ａ
５ ５ １２５ “ ４ （ ４ ） ”， ｋ
( ) ２ ( ) １ 表示 第ｋ局甲获胜 Ｂ 表示 第ｋ局乙获胜
Ｐ Ｘ ２ １ ４ １２ “ ”， ｋ “ ”，
（ ＝２）＝Ｃ３ ＝ ，
５ ５ １２５ 则Ｐ Ａ ２ Ｐ Ｂ １ ｋ ．
( ) ３ ( ) ０ （ ｋ）＝ ， （ ｋ）＝ ， ＝１，２，３，４，５
Ｐ Ｘ ３ １ ４ １ ． ３ ３
（ ＝３）＝Ｃ３ ＝ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ａ
５ ５ １２５ （１） （ ）＝ （ １ ２）＋ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３ ４）
故Ｘ的分布列为 Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ａ
＝ （ １） （ ２）＋ （ １） （ ２） （ ３）＋ （ １） （ ２） （ ３） （ ４）
( ) ( ) ( )
２ ２ ２
Ｘ ２ １ ２ ２ １ ２ ５６．
０ １ ２ ３ ＝ ＋ × ＋ × × ＝
３ ３ ３ ３ ３ ３ ８１
所以甲在 局以内 含 局 赢得比赛的概率为５６．
Ｐ ６４ ４８ １２ １ ４ （ ４ ）
１２５ １２５ １２５ １２５ ８１
Ｘ的可能取值为 ．
（２） ２，３，４，５
Ｘ的数学期望为Ｅ Ｘ １ ３ ． Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ｂ Ｂ
（ ）＝３× ＝ （ ＝２）＝ （ １ ２）＋ （ １ ２）
５ ５
６．（２０１４辽宁理，１８，１２分）一家面包房根据以往某种面包的 Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ ５
＝ （ １） （ ２）＋ （ １） （ ２）＝ ，
销售记录 绘制了日销售量的频率分布直方图 如图所示． ９
， ， Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｂ Ｂ
（ ＝３）＝ （ １ ２ ３）＋ （ １ ２ ３）
Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ ２
＝ （ １） （ ２） （ ３）＋ （ １） （ ２） （ ３）＝ ，
９
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ｐ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ
（ ＝４）＝ （ １ ２ ３ ４）＋ （ １ ２ ３ ４）
Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ
＝ （ １） （ ２） （ ３） （ ４）＋ （ １） （ ２） （ ３） （ ４）
１０
＝ ，
８１
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ８ ．
将日销售量落入各组的频率视为概率 并假设每天的销售 （ ＝５）＝１－ （ ＝２）－ （ ＝３）－ （ ＝４）＝
， ８１
量相互独立． 故Ｘ的分布列为
求在未来连续 天里 有连续 天的日销售量都不低 Ｘ
（１） ３ ， ２ ２ ３ ４ ５
于 个且另 天的日销售量低于 个的概率
１００ １ ５０ ； Ｐ ５ ２ １０ ８
用Ｘ表示在未来 天里日销售量不低于 个的天
（２） ３ １００ ９ ９ ８１ ８１
数 求随机变量Ｘ的分布列 期望Ｅ Ｘ 及方差Ｄ Ｘ ．
， ， （ ） （ ） ＥＸ ５ ２ １０ ８ ２２４．
解析 设Ａ 表示事件 日销售量不低于 个 ＝２× ＋３× ＋４× ＋５× ＝
（１） １ “ １００ ”， ９ ９ ８１ ８１ ８１
Ａ 表示事件 日销售量低于 个 评析 本题考查了独立事件同时发生，互斥事件至少有一个
２ “ ５０ ”，
Ｂ表示事件 在未来连续 天里有连续 天日销售量不低于 发生、分布列、均值等概率知识；考查应用意识、运算求解能
“ ３ ２
６ ５４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
力；准确理解题意是解题的关键；准确运算求解是得分的
１ １１
关键． × ＝ ，
５ ３０
８．（２０１４山东理，１８，１２分）乒乓球台面被球网分隔成甲 乙两
、 Ｐ ξ Ｐ Ａ Ｂ １ １ １ ．
部分 如图 甲上有两个不相交的区域Ａ Ｂ 乙被划分为两个 （ ＝６）＝ （ ３ ３）＝ × ＝
， ， ， ， ２ ５ １０
不相交的区域Ｃ Ｄ 某次测试要求队员接到落点在甲上的来 可得随机变量ξ的分布列为
， ， ：
球后向乙回球．规定 回球一次 落点在Ｃ上记 分 在Ｄ上 ξ
： ， ３ ， ０ １ ２ ３ ４ ６
记 分 其他情况记 分．对落点在Ａ上的来球 队员小明回
１ ， ０ ， Ｐ １ １ １ ２ １１ １
球的落点在Ｃ上的概率为 １ 在Ｄ上的概率为 １ 对落点在 ３０ ６ ５ １５ ３０ １０
， ；
２ ３ 所以数学期望Ｅξ １ １ １ ２ １１ １
＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＋４× ＋６×
Ｂ上的来球 小明回球的落点在Ｃ上的概率为 １ 在Ｄ上的 ３０ ６ ５ １５ ３０ １０
， ，
５
９１．
＝
概率为 ３ ．假设共有两次来球且落在Ａ Ｂ上各一次 小明的 ３０
， ， ９．（２０１４大纲全国理，２０，１２分）设每个工作日甲 乙 丙 丁
５
、 、 、 ４
两次回球互不影响．求
人需使用某种设备的概率分别为 ． ． ． ． 各人是否
：
０６、０ ５、０ ５、０ ４，
小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率
需使用设备相互独立．
（１） ；
两次回球结束后 小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
求同一工作日至少 人需使用设备的概率
（２） ，
（１） ３ ；
Ｘ表示同一工作日需使用设备的人数 求Ｘ的数学期望．
（２） ，
解析 记Ａ 表示事件 同一工作日乙 丙中恰有ｉ人需使
ｉ ： 、
用设备 ｉ
， ＝０，１，２，
解析 记Ａ 为事件 小明对落点在Ａ上的来球回球的 Ｂ表示事件 甲需使用设备
（１） ｉ “ ： ，
得分为ｉ分 ｉ Ｃ表示事件 丁需使用设备
”（ ＝０，１，３）， ： ，
Ｄ表示事件 同一工作日至少 人需使用设备．
则Ｐ Ａ １ Ｐ Ａ １ Ｐ Ａ １ １ １ ： ３
记 ｉ Ｂ （ ｉ 为 ３ 事 ）＝ 件 ２ “ ， 小明 （ 对 １） 落 ＝ 点 ３ 在 ， Ｂ （ 上 ０） 的 ＝ 来 １－ 球 ２ 回 － 球 ３ 的 ＝ 得 ６ 分 ； 为ｉ分 ” （ Ｐ １ （ ） Ｂ Ｄ ）＝ ＝ Ａ ０ １ ． ６ · ， Ｐ Ｂ （ · Ｃ Ｃ ） ＋ ＝ Ａ ０ ２ ． · ４， Ｂ Ｐ ＋ （ Ａ Ａ ２ ｉ · ）＝ Ｂ Ｃ · ２ ｉ × Ｃ ０ ， ． ５ ２ ， ｉ ＝０，１，２， （３ 分 ）
（ ＝０，１，３）， 所以Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｂ Ｃ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｃ
（ ）＝ （ １· · ＋ ２· ＋ ２· · ）
则Ｐ Ｂ １ Ｐ Ｂ ３ Ｐ Ｂ １ ３ １ ．
（ ３）＝
５
， （ １）＝
５
， （ ０）＝１－
５
－
５
＝
５ ＝
Ｐ
（
Ａ
１·
Ｂ
·
Ｃ
）＋
Ｐ
（
Ａ
２·
Ｂ
）＋
Ｐ
（
Ａ
２·
Ｂ
·
Ｃ
）
记Ｄ为事件 小明两次回球的落点中恰有 次的落点在乙 Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ
“ １ ＝ （ １） （ ） （ ）＋ （ ２） （ ）＋ （ ２） （ ） （ ）
上 ． ． ． 分
” ＝０３１ （６ ）
由题意 Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｘ的可能取值为 则
， ＝ ３ ０＋ １ ０＋ ０ １＋ ０ ３， （２） ０，１，２，３，４，
由事件的独立性和互斥性
， Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ａ Ｃ
Ｐ Ｄ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ （ ＝０）＝ （ · ０· ）
（ ）＝ （ ３ ０＋ １ ０＋ ０ １＋ ０ ３） Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ
＝ Ｐ Ｐ （ Ａ Ａ ３ Ｂ Ｐ ０）＋ Ｂ Ｐ （ Ａ １ Ｐ Ｂ ０ Ａ ）＋ Ｐ Ｐ （ Ａ Ｂ ０ Ｂ １） Ｐ ＋ Ｐ Ａ （ Ａ ０ Ｐ Ｂ ３） Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ＝ ＝（１ （ －０ ） ． ６） （ × ０ ０ ） ． ５ ２ （ ×（ ） １－０ ． ４）
＝ （ ３） （ ０）＋ （ １） （ ０）＋ （ ０） （ １）＋ （ ０） （ ３）
．
＝００６，
１ １ １ １ １ ３ １ １ ３
＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ ， Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ
２ ５ ３ ５ ６ ５ ６ ５ １０ （ ＝１）＝ （ · ０· ＋ · ０· ＋ · １· ）
所以小明两次回球的落点中恰有 次的落点在乙上的概率
１ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｃ
＝ （ ） （ ０） （ ）＋ （ ） （ ０） （ ）＋ （ ） （ １） （ ）
为 ３ ． ． ． ２ ． ． ． ２ ． ． ． ２
＝０６×０５ ×（１－０４）＋（１－０６）×０５ ×０４＋（１－０６）×２×０５ ×
１０ ． ．
由题意 随机变量ξ可能的取值为 （１－０４）＝０２５，
（２） ， ０，１，２，３，４，６， Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ｂ Ｃ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｃ ． ２ ． ．
由事件的独立性和互斥性 得 （ ＝４）＝ （ ２· · ）＝ （ ２） （ ） （ ）＝０５ ×０６×０４
， ．
＝００６，
Ｐ ξ Ｐ Ａ Ｂ １ １ １ Ｐ Ｘ Ｐ Ｄ Ｐ Ｘ ．
（ ＝０）＝ （ ０ ０）＝ × ＝ ， （ ＝３）＝ （ ）－ （ ＝４）＝０２５，
６ ５ ３０ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
（ ＝２）＝１－ （ ＝０）－ （ ＝１）－ （ ＝３）－ （ ＝４）
Ｐ ξ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ １ １ １ ． ． ． ． ． 分
（ ＝１）＝ （ １ ０＋ ０ １）＝ （ １ ０）＋ （ ０ １）＝ × ＋ ＝１－００６－０２５－０２５－００６＝０３８， （１０ ）
３ ５ ６ 数学期望ＥＸ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
＝０× （ ＝０）＋１× （ ＝１）＋２× （ ＝２）＋３×
３ １ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． ． ． ． ．
× ＝ ， （ ＝３）＋４× （ ＝４）＝０２５＋２×０３８＋３×０２５＋４×００６＝２
５ ６ 分
（１２ ）
Ｐ
（
ξ
＝２）＝
Ｐ
（
Ａ
１
Ｂ
１）＝
１
×
３
＝
１
，
１０．（２０１３陕西理，１９，１２分）在一场娱乐晚会上
，
有
５
位民间歌
３ ５ ５
手 至 号 登台演唱 由现场数百名观众投票选出最受
（１ ５ ） ，
Ｐ ξ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ １ １ １
（ ＝３）＝ （ ３ ０＋ ０ ３）＝ （ ３ ０）＋ （ ０ ３）＝ ２ × ５ ＋ ５ 欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 ３ 名歌手 ， 其
中观众甲是 号歌手的歌迷 他必选 号 不选 号 另在
１ ２ １ ， １ ， ２ ， ３
× ＝ ， 至 号中随机选 名．观众乙和丙对 位歌手的演唱没有
６ １５ ５ ２ ５
偏爱 因此在 至 号中随机选 名歌手．
Ｐ ξ Ｐ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ １ ３ １ ， １ ５ ３
（ ＝４）＝ （ ３ １＋ １ ３）＝ （ ３ １）＋ （ １ ３）＝ × ＋ 求观众甲选中 号歌手且观众乙未选中 号歌手的
２ ５ ３ （１） ３ ３
第十二章 概率与统计 ６ ５５
概率
； Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ １ 则Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
Ｘ表示 号歌手得到观众甲 乙 丙的票数之和 求Ｘ的 （ ＝２）＝ （ １· ３）＝ ， （ ＝１）＝１－ （ ＝０）－ （
（２） ３ 、 、 ， ４
分布列及数学期望．
１ １ ５ ．
解析 设Ａ表示事件 观众甲选中 号歌手 Ｂ表 ＝２）＝１－ － ＝
（１） “ ３ ”， ８ ４ ８
示事件 观众乙选中 号歌手 Ｘ的分布列为
“ ３ ”， ∴
１ ２ Ｘ
则Ｐ Ａ Ｃ２ ２ Ｐ Ｂ Ｃ４ ３ ． ０ １ ２
（ ）＝ ２ ＝ ， （ ）＝ ３ ＝
Ｃ３ ３ Ｃ５ ５ Ｐ １ ５ １
事件Ａ与Ｂ相互独立
∵ ， ８ ８ ４
观众甲选中 号歌手且观众乙未选中 号歌手的概率为
∴ ３ ３ Ｅ Ｘ １ ５ １ ９ ．
∴ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝
Ｐ ＡＢ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ８ ８ ４ ８
（ ）＝ （ ）· （ ）＝ （ ）·［１－ （ ）］ １２．（２０１３福建理，１６，１３ 分）某联欢晚会举行抽奖活动 举办
æ １ ３ ö ，
２ ２ ４ ．ç或Ｐ ＡＢ Ｃ２·Ｃ４ ４ ÷
＝ × ＝ è （ ）＝ ２ ３ ＝ ø 方设置了甲 乙两种抽奖方案 方案甲的中奖率为 ２ 中奖
３ ５ １５ Ｃ３·Ｃ５ １５ 、 ， ，
设Ｃ表示事件 观众丙选中 号歌手 ３
（２） “ ３ ”，
２ 可以获得 分 方案乙的中奖率为 ２ 中奖可以获得 分
则Ｐ Ｃ Ｃ４ ３ ２ ； ， ３ ；
（ ）＝ ３ ＝ ， ５
Ｃ５ ５ 未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中
Ｘ可能的取值为 且取这些值的概率分别为 ，
∵ ０，１，２，３， 奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品．
，
Ｐ Ｘ Ｐ ＡＢ Ｃ １ ２ ２ ４ 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们
（ ＝０）＝ （ ）＝ × × ＝ ， （１） ， ，
３ ５ ５ ７５ 的累计得分为Ｘ 求Ｘ 的概率
， ≤３ ；
Ｐ Ｘ Ｐ ＡＢＣ Ｐ ＡＢＣ Ｐ ＡＢＣ
（ ＝１）＝ （ ）＋ （ ）＋ （ ） 若小明 小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行
（２） 、
抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计得分的数学期
２ ２ ２ １ ３ ２ １ ２ ３ ２０
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ， ， ： ，
３ ５ ５ ３ ５ ５ ３ ５ ５ ７５ 望较大
？
Ｐ Ｘ Ｐ ＡＢＣ Ｐ ＡＢＣ Ｐ ＡＢＣ
（ ＝２）＝ （ ）＋ （ ）＋ （ ） 解析 解法一 由已知得 小明中奖的概率为 ２ 小
：（１） ， ，
２ ３ ２ ２ ２ ３ １ ３ ３ ３３ ３
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ ，
３ ５ ５ ３ ５ ５ ３ ５ ５ ７５ 红中奖的概率为 ２ 且两人中奖与否互不影响．
，
Ｐ Ｘ Ｐ ＡＢＣ ２ ３ ３ １８ ５
（ ＝３）＝ （ ）＝ × × ＝ ， 记 这 人的累计得分Ｘ 的事件为Ａ
３ ５ ５ ７５ “ ２ ≤３” ，
Ｘ的分布列为 则事件Ａ的对立事件为 Ｘ
∴ “ ＝５”，
Ｘ 因为Ｐ Ｘ ２ ２ ４ 所以Ｐ Ａ Ｐ Ｘ １１
０ １ ２ ３ （ ＝５）＝ × ＝ ， （ ）＝１－ （ ＝５）＝ ，
３ ５ １５ １５
Ｐ ４ ２０ ３３ １８
即这 人的累计得分Ｘ 的概率为１１．
７５ ７５ ７５ ７５ ２ ≤３
１５
Ｘ的数学期望ＥＸ ４ ２０ ３３ １８ １４０ ２８． 设小明 小红都选择方案甲抽奖中奖次数为Ｘ 都选择
∴ ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝ ＝ （２） 、 １，
７５ ７５ ７５ ７５ ７５ １５ 方案乙抽奖中奖次数为Ｘ 则这两人选择方案甲抽奖累计
１１．（２０１３大纲全国理，２０，１５分）甲 乙 丙三人进行乒乓球练 ２，
、 、 得分的数学期望为Ｅ Ｘ 选择方案乙抽奖累计得分的数
习赛 其中两人比赛 另一人当裁判 每局比赛结束时 负的 （２ １），
， ， ， ， 学期望为Ｅ Ｘ ．
（３ ２）
一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为 １ 各 ( ) ( )
， 由已知可得 Ｘ Ｂ ２ Ｘ Ｂ ２
２ ， １～ ２， ， ２～ ２， ，
局比赛的结果相互独立 第 局甲当裁判． ３ ５
， １
求第 局甲当裁判的概率 所以Ｅ Ｘ ２ ４ Ｅ Ｘ ２ ４
（１） ４ ； （ １）＝２× ＝ ， （ ２）＝２× ＝ ，
３ ３ ５ ５
用Ｘ表示前 局中乙当裁判的次数 求Ｘ的分布列和
（２） ４ ，
数学期望． 从而Ｅ （２ Ｘ １）＝２ Ｅ （ Ｘ １）＝ ８ ， Ｅ （３ Ｘ ２）＝３ Ｅ （ Ｘ ２）＝ １２．
３ ５
解析 记Ａ 表示事件 第 局结果为甲胜
因为Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ
Ａ 表示 事
（
件
１）
第
１
局结果为甲
“
负
２ ”，
所以他
（
们
２
都
１）
选
＞
择
（
方
３
案
２）
甲
，
进行抽奖时 累计得分的数学期望
２ “ ３ ”， ，
Ａ表示事件 第 局甲当裁判 ． 较大．
“ ４ ”
则Ａ Ａ Ａ ．
＝ １· ２ 解法二 由已知得 小明中奖的概率为 ２ 小红中奖的
：（１） ， ，
则Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ １ ． ３
（ ）＝ （ １· ２）＝ （ １） （ ２）＝
４ 概率为 ２ 且两人中奖与否互不影响．
Ｘ的可能取值为 ． ，
（２） ０，１，２ ５
记Ａ 表示事件 第 局乙和丙比赛时 结果为乙胜丙 记 这 人的累计得分Ｘ 的事件为Ａ 则事件Ａ包含有
３ “ ３ ， ”， “ ２ ≤３” ，
Ｂ 表示事件 第 局结果为乙胜丙 Ｘ Ｘ Ｘ 三个两两互斥的事件 因为Ｐ Ｘ
１ “ １ ”， “ ＝０”“ ＝２”“ ＝３” ， （ ＝０）
Ｂ 表示事件 第 局乙和甲比赛时 结果为乙胜甲 ( ) ( ) ( )
２ “ ２ ， ”， ２ ２ １ Ｐ Ｘ ２ ２ ２
Ｂ 表示事件 第 局乙参加比赛时 结果为乙负 ． ＝ １－ × １－ ＝ ， （ ＝２）＝ × １－ ＝ ，
３ “ ３ ， ” ３ ５ ５ ３ ５ ５
( )
则Ｐ Ｘ Ｐ Ｂ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ Ｐ Ａ １ Ｐ Ｘ ２ ２ ２ 所以Ｐ Ａ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ
（ ＝０）＝ （ １· ２· ３）＝ （ １） （ ２） （ ３）＝ ， （ ＝３）＝ １－ × ＝ ， （ ）＝ （ ＝０）＋ （ ＝
８ ３ ５ １５
６ ５６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
先胜 局者获得比赛的胜利 比赛随即结束．除第五局甲队
２ Ｐ Ｘ １１ ３ ，
）＋ （ ＝３）＝ ，
１５ 获胜的概率是 １ 外 其余每局比赛甲队获胜的概率都是
，
即这 人的累计得分Ｘ 的概率为１１． ２
２ ≤３
１５ ２ ．假设各局比赛结果相互独立．
设小明 小红都选择方案甲所获得的累计得分为Ｘ 都
（２） 、 １， ３
选择方案乙所获得的累计得分为 Ｘ 则 Ｘ Ｘ 的分布列 分别求甲队以 胜利的概率
２， １， ２ （１） ３ ∶ ０，３ ∶ １，３ ∶ ２ ；
如下 若比赛结果为 或 则胜利方得 分 对方得
： （２） ３ ∶ ０ ３ ∶ １， ３ 、 ０
分 若比赛结果为 则胜利方得 分 对方得 分．
Ｘ ； ３ ∶ ２， ２ 、 １
１ ０ ２ ４ 求乙队得分Ｘ的分布列及数学期望．
Ｐ １ ４ ４ 解析 记 甲队以 胜利 为事件Ａ 甲队以
（１） “ ３ ∶ ０ ” １，“ ３
９ ９ ９ 胜利 为事件Ａ 甲队以 胜利 为事件Ａ
∶ １ ” ２，“ ３ ∶ ２ ” ３，
Ｘ 由题意 各局比赛结果相互独立
２ ０ ３ ６ ， ，
( )
３
Ｐ ９ １２ ４ 故Ｐ Ａ ２ ８
（ １）＝ ＝ ，
２５ ２５ ２５ ( ３ ) ( ２７ )
２
Ｐ Ａ ２ ２ ２ ２ ８
所以Ｅ Ｘ １ ４ ４ ８ Ｅ Ｘ ９ （ ２）＝Ｃ３ １－ × ＝ ，
（ １）＝０× ＋２× ＋４× ＝ ， （ ２）＝ ０× ＋３× ３ ３ ３ ２７
９ ９ ９ ３ ２５ ( ) ( )
２ ２
Ｐ Ａ ２ ２ ２ １ ４ ．
１２ ４ １２．因为Ｅ Ｘ Ｅ Ｘ 所以他们都选择方案 （ ３）＝Ｃ４ １－ × ＝
＋６× ＝ （ １）＞ （ ２）， ３ ３ ２ ２７
２５ ２５ ５
甲进行抽奖时 累计得分的数学期望较大． 所以 甲队以 胜利 以 胜利的概率都为 ８ 以
， ， ３ ∶ ０ 、 ３ ∶ １ ， ３
评析 本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、 ２７
数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、 胜利的概率为 ４ ．
∶ ２
应用意识． ２７
设 乙队以 胜利 为事件Ａ
１３．（２０１３辽宁理，１９，１２分）现有 道题 其中 道甲类题 （２） “ ３ ∶ ２ ” ４，
１０ ， ６ ，４ 由题意 各局比赛结果相互独立 所以
道乙类题 张同学从中任取 道题解答． ， ，
， ３ ( ) ２ ( ) ２ ( )
求张同学至少取到 道乙类题的概率 Ｐ Ａ ２ ２ ２ １ ４ ．
（１） １ ； （ ４）＝Ｃ４ １－ × × １－ ＝
已知所取的 道题中有 道甲类题 道乙类题．设张同 ３ ３ ２ ２７
（２） ３ ２ ，１ 由题意 随机变量Ｘ的所有可能的取值为 ．
， ０，１，２，３
学答对每道甲类题的概率都是 ３ 答对每道乙类题的 根据事件的互斥性得
，
５
Ｐ Ｘ Ｐ Ａ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ １６．
概率都是 ４ 且各题答对与否相互独立．用Ｘ表示张同 （ ＝０）＝ （ １＋ ２）＝ （ １）＋ （ ２）＝
， ２７
５
学答对题的个数 求Ｘ的分布列和数学期望． 又Ｐ Ｘ Ｐ Ａ ４ Ｐ Ｘ Ｐ Ａ ４
， （ ＝１）＝ （ ３）＝ ， （ ＝２）＝ （ ４）＝ ，
解析 设事件Ａ 张同学所取的 道题至少有 道 ２７ ２７
（１） ＝“ ３ １
Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ３
乙类题 则有Ａ 张同学所取的 道题都是甲类题 ． （ ＝３）＝１－ （ ＝０）－ （ ＝１）－ （ ＝２）＝ ，
”， ＝“ ３ ” ２７
３ 故Ｘ的分布列为
因为Ｐ Ａ Ｃ６ １ 所以Ｐ Ａ Ｐ Ａ ５ ． 分
Ｘ所 （ 有 ） 的 ＝ Ｃ 可 ３ １０ 能 ＝ 取 ６ 值 ， 为 （ ）＝ ． １－ （ ）＝ ６ （６ ） Ｘ ０ １ ２ ３
（２） ０，１，２，３
( ) ０ ( ) ２ Ｐ １６ ４ ４ ３
Ｐ Ｘ ０ ３ ２ １ ４
（ ＝０）＝Ｃ２· · · ＝ ； ２７ ２７ ２７ ２７
５ ５ ５ １２５
( ) ( ) ( ) ( )
１ １ ０ ２ 所以ＥＸ １６ ４ ４ ３ ７ ．
Ｐ Ｘ １ ３ ２ １ ０ ３ ２ ＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝
（ ＝１）＝Ｃ２· · · ＋Ｃ２ · · ２７ ２７ ２７ ２７ ９
５ ( ５ ) ( ５ ) ５ ( ５ ) 评析 本题考查古典概型、相互独立、互斥、分类讨论思想
２ ０ １
４ ＝ ２８ ； Ｐ （ Ｘ ＝２）＝Ｃ ２ ２· ３ · ２ · １ ＋Ｃ １ ２ ３ · 等基础知识和基本技能，考查逻辑推理能力，运算求解能
５ １２５ ５ ５ ５ ５
( ) 力，以及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．
１
２ ４ ５７
· ＝ ；
５ ５ １２５
( ) ２ ( ) ０ 正态分布 学生用书Ｐ２２１
Ｐ Ｘ ２ ３ ２ ４ ３６．
（ ＝３）＝Ｃ２· · · ＝
５ ５ ５ １２５ （２０１７课标 理，１９，１２ 分）为了监控某种零件的一条生产
所以Ｘ的分布列为 Ⅰ
线的生产过程 检验员每天从该生产线上随机抽取 个零
， １６
Ｘ
０ １ ２ ３
件 并测量其尺寸 单位 ．根据长期生产经验 可以认为
， （ ：ｃｍ） ，
这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
Ｐ ４ ２８ ５７ ３６
１２５ １２５ １２５ １２５
Ｎ
（
μ
，
σ２
）
．
分 假设生产状态正常 记Ｘ表示一天内抽取的 个零件
（１０ ） （１） ， １６
中其尺寸在 μ σ μ σ 之外的零件数 求Ｐ Ｘ
所以Ｅ Ｘ ４ ２８ ５７ ３６ ． 分 （ －３ ， ＋３ ） ， （ ≥１）
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝２ （１２ ） 及Ｘ的数学期望
１２５ １２５ １２５ １２５ ；
１４．（２０１３山东理，１９，１２分）甲 乙两支排球队进行比赛 约定 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在 μ σ μ σ
、 ， （２） ， （ －３ ， ＋３ ）
第十二章 概率与统计 ６ ５７
之外的零件 就认为这条生产线在这一天的生产过程可
，
能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查．
，
试说明上述监控生产过程方法的合理性
（ｉ） ；
下面是检验员在一天内抽取的 个零件的尺寸
（ｉｉ） １６ ：
． ． ． ． ． ． ． ．
９９５ １０１２ ９９６ ９９６ １００１ ９９２ ９９８ １００４
． ． ． ． ． ． ． ．
１０２６ ９９１ １０１３ １００２ ９２２ １００４ １００５ ９９５
１６ １６
经计算得ｘ ＝ １ １ ６ ∑ｉ＝ １ ｘ ｉ ＝ ９ ． ９７， ｓ ＝ １ １ ６ ∑ｉ＝ １ （ ｘ ｉ － ｘ ） ２ ＝ Ａ． Ｐ （ Ｙ ≥ μ ２）≥ Ｐ （ Ｙ ≥ μ １）
( ) Ｐ Ｘ σ Ｐ Ｘ σ
１ １ ６ ∑ｉ １ ＝ ６ １ ｘ２ｉ － １６ ｘ２ ≈０ ． ２１２， 其中ｘ ｉ 为抽取的第ｉ个零 Ｂ Ｃ ． ． 对 对 （ 任 任 ≤ 意 意 正 正 ２） 数 数 ≤ ｔ ｔ ， Ｐ Ｐ （ （ Ｘ Ｘ ≤ ≤ ｔ ｔ １ ） ） ≥ Ｐ Ｐ （ Ｙ Ｙ ≤ ｔ ｔ ）
件的尺寸 ｉ ． Ｄ． ， （ ≥）≥ （ ≥）
， ＝１，２，…，１６ 答案 Ｃ 由题图可知μ μ σ σ
用样本平均数ｘ作为μ的估计值μ＾ 用样本标准差ｓ作为σ的估 １＜０＜ ２， １＜ ２，
， Ｐ Ｙ μ Ｐ Ｙ μ 故 错
计值σ＾
，
利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔
∴
Ｐ Ｘ
（ ≥
σ
２）
Ｐ
＜
Ｘ
（ ≥
σ
１）
故
， Ａ
错
；
（ ≤ ２）＞ （ ≤ １）， Ｂ ；
除
（
μ＾－３ σ＾
，
μ＾＋３ σ＾
）
之外的数据
，
用剩下的数据估计μ和σ
（
精确 当ｔ为任意正数时
，
由题图可知Ｐ
（
Ｘ
≤
ｔ
）≥
Ｐ
（
Ｙ
≤
ｔ
），
到 ． ． 而Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｙ ｔ Ｐ Ｙ ｔ
００１） （ ≤）＝１－ （ ≥）， （ ≤）＝１－ （ ≥），
附 若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｚ μ Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｙ ｔ 故 正确 错．
： （ ， ）， （ －３ ＜ ＜ ∴ （ ≥）≤ （ ≥）， Ｃ ，Ｄ
σ ． ． ２．（２０１５山东理，８，５分）已知某批零件的长度误差 单位 毫米
＋３ ）＝０９９７４ （ ： ）
０ ． ９９７４ １６ ≈０ ． ９５９２， ０ ． ００８≈０ ． ０９ ． 服从正态分布Ｎ （０，３ ２ ）， 从中随机取一件 ， 其长度误差落在区
解析 抽取的一个零件的尺寸在 μ σ μ σ 之内的 间 内的概率为
（１） （ －３ ， ＋３ ） （３，６） （ ）
概率为 ． 从而零件的尺寸在 μ σ μ σ 之外的概率 （附：若随机变量ξ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ σ ξ μ
０９９７４， （ －３ ， ＋３ ） － ＜ ＜ ＋
为 ． 故Ｘ Ｂ ． ． σ） ． ％，Ｐ（μ σ ξ μ σ） ． ％．）
０００２６， ～ （１６，０００２６） ＝６８２６ －２ ＜ ＜ ＋２ ＝９５４４
因此Ｐ （ Ｘ ≥１）＝１－ Ｐ （ Ｘ ＝０）＝１－０ ． ９９７４ １６ ≈０ ． ０４０８ ． Ａ．４ ． ５６ ％ Ｂ．１３ ． ５９ ％ Ｃ．２７ ． １８ ％ Ｄ．３１ ． ７４ ％
Ｘ的数学期望为ＥＸ ． ． ． 答案 Ｂ Ｐ ξ ． ％ Ｐ ξ ． ％ 则
＝１６×０００２６＝００４１６ （－３＜ ＜３）＝６８ ２６ ， （－６＜ ＜６）＝９５ ４４ ，
如果生产状态正常 一个零件尺寸在 μ σ μ σ 之
（２）（ｉ） ， （ －３ ， ＋３ ） Ｐ ξ １ ． ％ ． ％ ． ％．
外的概率只有 ． 一天内抽取的 个零件中 出现尺寸 （３＜ ＜６）＝ ×（９５４４ －６８２６ ）＝１３５９
０００２６， １６ ， ２
在 μ σ μ σ 之外的零件的概率只有 ． 发生的概率
３．（２０１４课标 理，１８，１２分）从某企业生产的某种产品中抽取
（ －３ ， ＋３ ） ０ ０４０ ８， Ⅰ
很小．因此一旦发生这种情况 就有理由认为这条生产线在这一天 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下
， ５００ ， ，
的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 频率分布直方图
， ， ：
可见上述监控生产过程的方法是合理的．
（ｉｉ）
由ｘ
＝９
．
９７，
ｓ
≈０
．
２１２，
得μ的估计值为μ＾＝９ ．
９７，
σ的估计值
为σ＾
＝０
．
２１２，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
（
μ＾－
３
σ＾
，
μ＾＋３ σ＾
）
之外
，
因此需对当天的生产过程进行检查．
剔除
（
μ＾－３ σ＾
，
μ＾＋３ σ＾
）
之外的数据
９
．
２２，
剩下数据的平均数为 １
１５
． ． ． 因此μ的估计值为 ． ． 求这 件产品质量指标值的样本平均数ｘ和样本方差ｓ２
×（１６×９９７－９２２）＝１００２， １００２ （１） ５００
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
１６
∑ｉ＝
１
ｘ２ｉ
＝１６×０
．
２１２
２
＋１６×９
．
９７
２
≈１５９１
．
１３４，
（２）
（
由直方图可以认为
，
这种产品的质量指标值Ｚ服
）
从
；
正态分布
剔除
（
μ＾－３ σ＾
，
μ＾＋３ σ＾
）
之外的数据
９
．
２２，
剩下数据的样本方差为 Ｎ
（
μ
，
σ２
），
其中μ近似为样本平均数ｘ
，
σ２近似为样本方差ｓ２．
利用该正态分布 求Ｐ ． Ｚ ．
１ ． ． ２ ． ２ ． （ｉ） ， （１８７８＜ ＜２１２２）；
×（１５９１１３４－９２２ －１５×１００２ ）≈０００８， 某用户从该企业购买了 件这种产品 记Ｘ表示这
１５ （ｉｉ） １００ ，
因此σ的估计值为 ． ． ． 件产品中质量指标值位于区间 ． ． 的产品
０００８≈００９ １００ （１８７ ８，２１２ ２）
方法总结 正态分布：若变量Ｘ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）， 件数．利用
（ｉ）
的结果
，
求ＥＸ．
其中μ为样本的均值，正态分布曲线的对称轴为ｘ μ；σ为样 附 ． ．
＝ ： １５０≈１２２
本数据的标准差，体现了数据的稳定性． 若Ｚ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｚ μ σ ． Ｐ μ σ
～ （ ， ）， （ － ＜ ＜ ＋ ）＝０６８２ ６， （ －２ ＜
Ｚ μ σ ． ．
以下为教师用书专用（１—３） ＜ ＋２ ）＝０９５４４
解析 抽取产品的质量指标值的样本平均数ｘ和样本方
１．（２０１５湖北理，４，５分）设Ｘ
～
Ｎ
（
μ
１，
σ２
１），
Ｙ
～
Ｎ
（
μ
２，
σ２
２），
这两个
差ｓ２ 分 别
（
为
１）
正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是
（ ） ｘ ． ． ． ． ．
＝１７０×００２＋１８０×００９＋１９０×０２２＋２００×０３３＋２１０×０ ２４＋２２０×
． ．
００８＋２３０×００２＝２００，
ｓ２ ２ ． ２ ． ２ ． ． ２
＝（－３０） ×００２＋（－２０） ×００９＋（－１０） ×０ ２２＋０×０ ３３＋１０ ×
． ２ ． ２ ． ．
０２４＋２０ ×００８＋３０ ×００２＝１５０
由 知 Ｚ Ｎ
（２）（ｉ） （１） ， ～ （２００，１５０），
６ ５８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
从而 Ｐ ． Ｚ ． Ｐ ． Ｚ ． 依题意知Ｘ Ｂ ． 所以ＥＸ ． ． ．
（１８７ ８＜ ＜２１２ ２）＝ （２００－１２ ２＜ ＜２００＋１２ ２） ～ （１００，０６８２６）， ＝１００×０６８２６＝６８２６
． ． 评析 本题主要考查了频率分布直方图、正态分布及二项分
＝０６８２６
由 知 一件产品的质量指标值位于区间 ． ． 布等知识，考查学生的识图能力及阅读理解能力，理解和掌握
（ｉｉ） （ｉ） ， （１８７ ８，２１２ ２）
的概率为 ． 基础知识是解题关键．
０６８２６，
学生用书Ｐ２２２
1 二项分布的均值与方差
（２）
考点 条件概率、相互独立事件及二项分布 若Ｘ Ｂ ｎ ｐ 则Ｅ Ｘ ｎｐ Ｄ Ｘ ｎｐ（ ｐ） ．
～ （ ， ）， （ ）＝④ ， （ ）＝⑤ １－
１．条件概率及其性质
2
对于任何两个事件 Ａ和 Ｂ 在已知事件 Ａ 发生的条件 考点 正态分布
（１） ，
下 事件Ｂ发生的概率叫做条件概率 用符号Ｐ Ｂ Ａ 来表示 其
， ， （ ｜ ） ，
Ｐ（ＡＢ） １．正态曲线及其特点
公式为Ｐ Ｂ Ａ ．
（ ｜ ）＝① Ｐ（Ａ） 正态曲线的定义
（１）
条件概率具有的性质 （ ｘ － μ ）２
（２）
Ｐ Ｂ Ａ
函数φ
μ ， σ（
ｘ
）＝
１
σ·ｅ
－ ２σ２
，
ｘ
∈（－∞，＋∞），
其中实数μ
（ｉ）０≤ （ ｜ ）≤１； ２π
如果 Ｂ 和 Ｃ 是两个互斥事件 则 Ｐ Ｂ Ｃ Ａ 和σ σ 为参数 我们称φ ｘ 的图象为正态分布密度曲线
（ｉｉ） ， （ ∪ ｜ ）＝ （ ＞０） ， μ ， σ（ ） ，
Ｐ（Ｂ Ａ） Ｐ（Ｃ Ａ） ． 简称正态曲线．
② ｜ ＋ ｜
２．相互独立事件的概率 正态曲线的特点
（２）
对于事件Ａ Ｂ 若Ａ的发生与Ｂ的发生互不影响 则称 曲线位于ｘ轴上方且与ｘ轴不相交
（１） 、 ， ， （ｉ） ；
Ａ Ｂ是相互独立事件． 曲线是单峰的 它关于直线 ｘ μ 对称
、 （ｉｉ） ， ⑥ ＝ ；
若Ａ 与 Ｂ 相互独立 则 Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ ＡＢ
（２） ， （ ｜ ）＝ （ ）， （ ）＝ 曲线在ｘ μ处达到峰值 １
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｐ Ｂ ． （ｉｉｉ） ＝ σ ；
（ ｜ ）· （ ）＝ （ ）· （ ） ２π
若Ａ与Ｂ相互独立 则Ａ与Ｂ Ａ与Ｂ Ａ与Ｂ也都相互 曲线与ｘ轴之间的面积为
（３） ， ， ， （ｉｖ） １；
独立． 当σ一定时 曲线的位置由μ确定 曲线随着μ的变化
（ｖ） ， ，
若Ｐ ＡＢ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） 则Ａ与Ｂ相互独立． 而沿ｘ轴平移
（４） （ ）＝③ ， ；
３．二项分布 当μ一定时 曲线的形状由σ确定 σ越小 曲线越 瘦
（ｖｉ） ， ， ， “
独立重复试验与二项分布 高 σ越大 曲线越 矮胖 ．
（１） ”； ， “ ”
２．正态分布
独立重复试验 二项分布
正态分布的定义及表示
一般地
，
在ｎ次独立重复试验
（１）
一般地 在相同条件下 中 设事件Ａ发生的次数为Ｘ 如果对于任何实数ａ ｂ ａ ｂ 随机变量Ｘ满足Ｐ ａ Ｘ ｂ
， ， ， ， （ ＜ ）， （ ＜ ≤ ）
定义 重
为
复
ｎ次
做
独
的
立
ｎ
重
次
复
试
试
验
验
称 在
率
每
为
次
ｐ
试
此
验
时
中
称
事
随
件
机变
Ａ
量
发生
Ｘ
的
服
概
从 ＝ ∫
ｂ
ａ
φ
μ ， σ（
ｘ
）ｄ
ｘ
，
则称Ｘ的分布为正态分布
，
记作Ｘ
～
Ｎ
（
μ
，
σ２
）
．
， 正态分布的三个常用数据
二项分布 记作Ｘ Ｂ ｎ ｐ （２）
， ～ （ ， ）
Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
用Ａ ｉ（ ｉ ＝１，２，…， ｎ ） 表 在ｎ次独立重复试验中 ， 事件Ａ （ｉ） （ － ＜ ≤ ＋ ）≈０６８２７；
Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
计算公式 示 Ｐ （ 第 Ａ １ Ａ ｉ ２ 次 … 试 Ａ ｎ 验 ）＝ 结 Ｐ 果 （ ， Ａ 则 １） 恰 ｋ ） 好 ＝ Ｃ 发 ｋ ｎ ｐ 生 ｋ （ ｋ １ 次 － ｐ 的 ） ｎ 概 －ｋ （ 率 ｋ 为 ＝０ Ｐ ， （ １， Ｘ ２ ＝ ， （ （ ｉ ｉ ｉ ｉｉ ） ） Ｐ （ （ μ － － ２ ３ σ ＜ ＜ Ｘ ≤ ≤ μ ＋ ＋ ２ ３ σ ） ） ≈ ≈ ０ ０ ． ９ ９ ５ ９ ４ ７ ５ ３ ； ．
Ｐ Ａ Ｐ Ａ ｎ
（ ２）… （ ｎ） …， ）
学生用书Ｐ２２２
一、条件概率的解题策略 后 不放回 再取一球 则已知第一个球为红色的情况下第二个
（ ）， ，
Ｐ ＡＢ 球为黄色的概率为
１．利用定义 分别求Ｐ Ａ 和Ｐ ＡＢ 得Ｐ Ｂ Ａ （ ）． （ ）
， （ ） （ ）， （ ｜ ）＝ Ｐ Ａ
（ ） １ ３ １ ３
２．当基本事件适合有限性和等可能性时 可借助古典概型 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
， ３ １０ ３０ １００
概率公式 先求事件Ａ包含的基本事件数ｎ Ａ 在事件Ａ发生 解析 依题意 在第一个球取得红球的条件下 坛子中还有
， （ ）， ， ，
的条件下求事件 Ｂ 包含的基本事件数 即 ｎ ＡＢ 得 Ｐ Ｂ Ａ 个黄球 而坛子中此时共有 个球 故再取一球取得黄球的概
， （ ）， （ ｜ ） ３ ， ９ ，
ｎ ＡＢ
（ ）． 率为Ｐ ３ １ ．
＝ ｎ Ａ ＝ ＝
（ ） ９ ３
例１ 在一个坛子中装有 个除颜色外完全相同的玻璃球 答案 Ａ
１０ ，
其中有 个红球 个蓝球 个黄球 个绿球．现从中任取一球 １－１ 甲 乙 丙 丁四名同学报名参加假期社区服务活动
１ ，２ ，３ ，４ 、 、 、 ，
第十二章 概率与统计 ６ ５９
社区服务活动共有关怀老人 环境监测 教育咨询 交通宣传等 个次品 的结果恰好发生 次的概率是
、 、 、 ” ３ （ ）
四个项目 每人限报其中一项 记事件Ａ为 名同学所报项目
， ， “４ ３ ５ ７ ９
各不相同 事件 Ｂ 为 只有甲同学一人报关怀老人项目 则 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
”， “ ”， １６ １６ １６ １６
Ｐ Ａ Ｂ ２－２． 答案 Ｂ
（ ｜ ）＝ （ ）
１ ３ ２ ５ 三、正态分布区间与性质的应用
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ４ ９ ９
１－１． 答案 Ｃ １．对于正态分布Ｎ （ μ ， σ２ ）， 由ｘ ＝ μ是正态曲线的对称轴知
Ｐ Ｘ μ Ｐ Ｘ μ ．
二、二项分布 （１） （ ≥ ）＝ （ ≤ ）＝０５；
对任意的ａ有Ｐ Ｘ μ ａ Ｐ Ｘ μ ａ
（２） （ ＜ － ）＝ （ ＞ ＋ ）；
１．独立重复试验与二项分布的判断 Ｐ Ｘ ｘ Ｐ Ｘ ｘ
（３） （ ＜ ０）＝１－ （ ≥ ０）；
独立重复试验满足的两个条件 一是在同样的条件下重 Ｐ ａ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ｂ Ｐ Ｘ ａ ．
（１） ： （４） （ ＜ ＜ ）＝ （ ＜ ）－ （ ≤ ）
复进行 二是各次试验之间相互独立． ２．服从Ｎ μ σ２ 的随机变量Ｘ在某个区间内取值的概率的求法
； （ ， ） ：
二项分布满足的条件 利用Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ Ｘ μ σ Ｐ μ σ
（２） （１） （ － ＜ ≤ ＋ ）， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）， （ －３
在每次试验中 事件发生的概率是相同的 Ｘ μ σ 的值直接求
① ， ； ＜ ≤ ＋３ ） ；
各次试验中的事件是相互独立的 充分利用正态曲线的对称性和曲线与ｘ轴之间的面积
② ； （２）
每次试验只有两种结果 事件要么发生 要么不发生 为 这些特殊性质求解．
③ ： ， ； １
随机变量是这ｎ次独立重复试验中事件发生的次数． 例３ 在我市的高二期末考试中 理科学生的数学成绩 Ｘ
④ ， ～
２．ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率求法 Ｎ σ２ 已知Ｐ Ｘ ． 则从全市理科生中任选
（９０， ）， （７０≤ ≤９０）＝ ０ ３５，
ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次可看作 ｋ 个互斥 一名学生 他的数学成绩小于 分的概率为 ．
Ｃｎ ， １１０
解题思路
事件的和 其中每一个事件都可看作ｋ个Ａ事件与 ｎ ｋ 个Ａ事
， （ － ）
件同时发生 只是发生的次序不同 其发生的概率都是 ｐｋ 欲求该生的数学成绩小于 分的概率 需先求出Ｐ Ｘ
， ， （１－ １１０ ， （ ≥
ｐ ｎ － ｋ 其中ｐ为在一次试验中事件Ａ发生的概率 ．因此 ｎ次独 ．依据ｘ μ是正态曲线的对称轴可知 欲求Ｐ Ｘ 只
） （ ） ， １１０） ＝ ， （ ≥１１０），
立重复试验中事件Ａ恰好发生ｋ次的概率为 Ｃ ｋ ｎ ｐｋ （１－ ｐ ） ｎ － ｋ． 需通过Ｐ （７０≤ Ｘ ≤９０）＝ ０ ． ３５， 求出 Ｐ （９０≤ Ｘ ＜１１０）， 再依据
例２ 某项羽毛球单打比赛规则是 局 胜 运动员甲和乙 Ｐ Ｘ ． 即可求解．
３ ２ ， （ ≥９０）＝０５
解析 Ｘ Ｎ σ２ μ 即正态曲线关于直线ｘ
进入了男子羽毛球单打决赛 假设甲每局获胜的概率为 ２ 则由 ∵ ～ （９０， ），∴ ＝９０， ＝
， ， 对称． Ｐ Ｘ ． Ｐ Ｘ ．
３ ９０ ∵ （７０≤ ≤９０）＝０３５，∴ （９０≤ ＜１１０）＝０３５，
此估计甲获得冠军的概率为 ． Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ ． ．
∴ （ ≥１１０）＝ （ ≥９０）－ （９０≤ ＜１１０）＝ ０ ５－０ ３５＝
解析 甲获胜的方式有 和 两种 则甲获得冠军 ． 则Ｐ Ｘ ． ． ．
２ ∶ ０ ２ ∶ １ ， ０１５， （ ＜１１０）＝１－０１５＝０８５
( ) ２ 答案 ．
的概率Ｐ ２ １ ２ １ ２ ２０． ０８５
＝ ＋Ｃ２× × × ＝ ３－１ 设随机变量ξ服从正态分布Ｎ 若Ｐ ξ ａ
３ ３ ３ ３ ２７ （３，４）， （ ＜２ －３）
答案 ２０ ＝ Ｐ （ ξ ＞ ａ ＋２）， 则ａ的值为 （ ）
２７
７ ５
２－１ 已知随机变量Ｘ服从二项分布Ｂ ｎ ｐ ．若Ｅ Ｘ Ａ． Ｂ． Ｃ．５ Ｄ．３
（ ， ） （ ）＝２， ３ ３
３－１． 答案 Ａ
Ｄ Ｘ ４ 则ｐ
（ ）＝
３
， ＝ （ ） ３－２ 某校有 人参加某次模拟考试 其中数学考试成
１０００ ，
３ ２ １ １ 绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ σ２ σ 试卷满分 分 统
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （１０５， ）（ ＞０）， １５０ ，
４ ３ ３ ４
２－１． 答案 Ｃ 计结果显示数学成绩优秀 高于 分 的人数占总人数的 １
（ １２０ ） ，
５
２－２ 某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线 现
， 则此次数学考试成绩在 分到 分之间的人数约为
９０ １０５ （ ）
对检测线进行上线的检测试验 从装有 个正品和 个次品的
： ５ １
Ａ．１５０ Ｂ．２００ Ｃ．３００ Ｄ．４００
同批次电子元件的盒子中随机取出
３
个
，
再将电子元件放回．重 ３－２． 答案 Ｃ
复 次这样的试验 那么 取出的 个电子元件中有 个正品
６ ， “ ３ ２ ，１
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ２２３
条件概率、相互独立事件及二项分布 概率为 １ ．用事件Ａ表示 甲同学答对第一道题 事件Ｂ表示
“ ”，
２
１．（２０２１广东二模，３） 年 月 日是第七个 国家宪法日 ． 甲同学答对第二道题 则Ｐ Ｂ Ａ
２０２０ １２ ４ “ ” “ ”， （ ｜ ）＝ （ ）
某中学开展主题为 学习宪法知识 弘扬宪法精神 的知识竞
“ ， ” １ １ ２ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
赛活动．甲同学答对第一道题的概率为 ２ 连续答对两道题的 ３ ２ ３ ４
， １． 答案 Ｄ
３
６ ６０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２．（多选题）（２０２１福建厦门外国语学校月考，１２）甲罐中有 个 分成 组 其频率分布直方图如图所示．
４ （２５，３０］ ６ ，
红球 个白球和 个黑球 乙罐中有 个红球 个白球和
，３ ３ ； ５ ，３ ２
个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别以Ａ Ａ 和
， １， ２
Ａ 表示由甲罐取出的球是红球 白球和黑球的事件 再从乙罐
３ ， ；
中随机取出一球 以Ｍ表示由乙罐取出的球是红球的事件 下
， ，
列结论正确的为
（ ）
Ｐ Ｍ １
Ａ． （ ）＝ 估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数
２ （１） ；
将网购消费金额在 千元以上者称为 网购迷 补全 列
Ｂ． Ｐ （ Ｍ ｜ Ａ １）＝
１
６
１
（２）
联表 并判断有多大
２
把
０
握认为 网购迷与
“
性别有
”
关
，
系
２×２
事件Ｍ与事件Ａ 不相互独立 ， “ ”；
Ｃ． １ 男 女 总计
Ａ Ａ Ａ 是两两互斥的事件
２． Ｄ． 答 １， 案 ２， Ｂ ３ ＣＤ 网购迷 ２０
非网购迷
４５
３．（２０２１湖北恩施高中、龙泉中学、宜昌一中４月联考，１６）已知 总计
１００
红箱内有 个红球 个白球 白箱内有 个红球 个白球 所
３ 、２ ， ２ 、３ ， 调查显示 甲 乙两人每次网购采用的支付方式相互独立
（３） ， 、 ，
有小球大小 形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放
、 两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网
回去 第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一
， 购的总次数与支付方式 所得数据如下表所示
球 然后再放回去 依次类推 第ｎ 次从与第ｎ次取出的球 ， ：
， ， ， ＋１ 网购 支付宝 银行卡 微信
颜色相同的箱子内取出一球 然后再放回去 则第 次取出的
， ， ４ 总次数 支付次数 支付次数 支付次数
球是红球的概率为 ．
甲
８０ ４０ １６ ２４
３． 答案 ３１３ 乙
９０ ６０ １８ １２
６２５ 将频率视为概率 若甲 乙两人在下周内各自网购 次 记
４．（２０２１湖南湘潭一模，１８）甲 乙是两名射击运动员 根据历史 ， 、 ２ ，
、 ， 两人采用支付宝支付的次数之和为ξ 求ξ的期望．
，
统计数据 甲一次射击命中 环的概率分别为 ２ ２ １
， １０、９、８ 、 、 ， ｎ ａｄ ｂｃ ２
５ ５ ５ 附 Ｋ２ （ － ） ｎ ａ ｂ ｃ ｄ．
： ＝ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ ， ＝ ＋ ＋ ＋
（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
乙一次射击命中 环的概率分别为 １ ５ ．一轮射击中 甲
１０、９ 、 ， 、 临界值表
６ ６ ：
乙各射击一次．甲
、
乙射击相互独立
，
每次射击也互不影响． Ｐ
（
Ｋ２
≥
ｋ
０） ０
．
１ ０
．
０５ ０
．
０２５ ０
．
０１０ ０
．
００５ ０
．
００１
在一轮射击中 求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率
（１） ， ； ｋ ０ ２ ． ７０６ ３ ． ８４１ ５ ． ０２４ ６ ． ６３５ ７ ． ８７９ １０ ． ８２８
记一轮射击中 甲 乙命中的环数之和为Ｘ 求Ｘ的分布列
（２） ， 、 ， ； ５． 解析 在频率分布直方图中 从左至右前 个小矩形的
进行三轮射击 求甲 乙命中的环数之和不低于 的概率． （１） ， ３
（３） ， 、 ５２ 面积之和为 ． ． ． ．
４． 解析 设一次射击后 甲命中的环数为ξ 乙命中的环数 （００１＋００２＋００４）×５＝０３５，
（１） ， ， 后 个小矩形的面积之和为 ． ． ．
为η 则甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率Ｐ ξ η ２ （００４＋００３）×５＝０３５，
， （ ≤ ）＝ 所以中位数位于区间 内．
（１５，２０］
Ｐ ξ Ｐ ξ Ｐ ξ Ｐ η １ ２ ２ １ ２ ． 设频率分布直方图的面积平分线为 ｘ 则 ． ｘ ．
（ ＝８）＋ （ ＝９）＋ （ ＝１０） （ ＝１０）＝ ＋ ＋ × ＝ １５＋ ， ０ ０６ ＝０ ５－
５ ５ ５ ６ ３ ． ． 解得ｘ ． 所以估计该社区居民网购消费金额的
由题意可知随机变量Ｘ的可能取值有 ０３５＝０１５， ＝２５，
（２） １７、１８、１９、２０， 中位数为 ． 千元．
１７５
Ｐ Ｘ １ ５ １ Ｐ Ｘ １ １ ２ ５ １１ 由频率分布直方图知 网购消费金额在 千元以上的频
（ ＝１７）＝ × ＝ ， （ ＝１８）＝ × ＋ × ＝ ， （２） ， ２０
５ ６ ６ ５ ６ ５ ６ ３０
数为 ． 所以 网购迷 共有 人 由列联表知 其
０３５×１００＝３５， “ ” ３５ ， ，
Ｐ Ｘ ２ １ ２ ５ ２ Ｐ Ｘ ２ １ １
（ ＝１９）＝ × ＋ × ＝ ， （ ＝２０）＝ × ＝ ， 中女性有 人 则男性有 人．
５ ６ ５ ６ ５ ５ ６ １５ ２０ ， １５
所以 随机变量Ｘ的分布列为 所以补全的列联表如下
， ：
Ｘ 男 女 总计
１７ １８ １９ ２０
Ｐ １ １１ ２ １ 网购迷 １５ ２０ ３５
６ ３０ ５ １５ 非网购迷
由 知 每轮射击后 甲 乙命中的环数之和为 的概率 ４５ ２０ ６５
（３） （２） ， ， 、 １７ 总计
６０ ４０ １００
为 １ 三轮射击后 甲 乙命中的环数之和最小为 因
， ， 、 １７×３＝５１， ２
６ 因为Ｋ２ １００×（４５×２０－１５×２０） ６００ ． ．
此 进行三轮射击 甲 乙命中的环数之和不低于 的概率为 ＝ ＝ ≈６５９３＞５０２４，
， ， 、 ５２ ６０×４０×３５×６５ ９１
( ) ３ 所以有 ． ％的把握认为 网购迷与性别有关系 ．
１ ２１５． ９７５ “ ”
１－ ＝ 由题表知 甲 乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分
６ ２１６ （３） ， ，
５．（２０２０山东济宁一中质量检测，２１）某社区消费者协会为了解
别为 １ ２ ．
本社区居民网购消费情况 随机抽取了 位居民 就最近一 ，
， １００ ， ２ ３
年来网购消费金额 单位 千元 网购次数和支付方式等进行 设甲 乙两人采用支付宝支付的次数分别为Ｘ Ｙ
（ ： ）， 、 ， ，
了问卷调查．经统计 这 位居民的网购消费金额均在区间 ( ) ( )
， １００ 由题意知 Ｘ Ｂ １ Ｙ Ｂ ２ ．
内 按 ， ～ ２， ， ～ ２，
［０，３０］ ， ［０，５］，（５，１０］，（１０，１５］，（１５，２０］，（２０，２５］， ２ ３
第十二章 概率与统计 ６ ６１
所以Ｅ Ｘ １ Ｅ Ｙ ２ ４ ． 由题意知Ｐ ξ μ Ｐ ξ μ １ 获赠话费Ｘ的可能取值
（ ）＝２× ＝１， （ ）＝２× ＝ （２） （ ＜ ）＝ （ ≥ ）＝ ，
２ ３ ３ ２
为
因为ξ Ｘ Ｙ 则Ｅ ξ Ｅ Ｘ Ｅ Ｙ ７ ２０，４０，５０，７０，１００，
＝ ＋ ， （ ）＝ （ ）＋ （ ）＝ ，
３ Ｐ Ｘ １ ３ ３ Ｐ Ｘ １ ３ ３ ９ Ｐ Ｘ
（ ＝２０）＝ × ＝ ， （ ＝４０）＝ × × ＝ ， （ ＝
所以ξ的期望为 ７ ． ２ ４ ８ ２ ４ ４ ３２
３ １ １ １
５０）＝ × ＝ ，
２ ４ ８
正态分布
Ｐ Ｘ １ ３ １ １ １ ３ ３
（ ＝７０）＝ × × ＋ × × ＝ ，
１．（２０２１山东济南十一学校联考，５）山东烟台苹果因 果形端 ２ ４ ４ ２ ４ ４ １６
“
正 色泽艳丽 果肉甜脆 香气浓郁 享誉国内外．据统计 烟台 Ｐ Ｘ １ １ １ １
、 、 、 ” ， （ ＝１００）＝ × × ＝ ，
苹果 把苹果近似看成球体 的直径 单位 服从正态分布 ２ ４ ４ ３２
（ ） （ ：ｍｍ） Ｘ的分布列为
Ｎ ２ 则直径在 内的概率为 ∴
（８０，５ ）， （７５，９０］ （ ）
附 若Ｘ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ ２０ ４０ ５０ ７０ １００
： ～ （ ， ）， （ － ＜ ≤ ＋ ）＝０６８２ ６， （ －２ ＜
Ｘ μ σ ． ．
≤ ＋２ ）＝０９５４４ Ｐ ３ ９ １ ３ １
． ． ． ． ８ ３２ ８ １６ ３２
Ａ．０６８２６ Ｂ．０８４１３ Ｃ．０８１８５ Ｄ．０９５４４
１． 答案 Ｃ
Ｅ Ｘ ３ ９ １ ３ １ １６５．
２．（２０２１广东深圳一模，５）已知随机变量ξ Ｎ μ σ２ 有下列四 ∴ （ ）＝２０× ＋４０× ＋５０× ＋７０× ＋１００× ＝
～ （ ， ）， ８ ３２ ８ １６ ３２ ４
个命题 ５．（２０２１山东泰安一模，２０）某市为了解本市初中生周末运动时
：
甲 Ｐ ξ ａ Ｐ ξ ａ ． 间 随机调查了 名学生 统计了他们的周末运动时间 制
： （ ＜ －１）＞ （ ＞ ＋２） ， ３０００ ， ，
乙 Ｐ ξ ａ ． ． 成如图所示的频率分布直方图．
： （ ＞ ）＝０５
丙 ξ ａ ． ．
：（ ≤ ）＝０５
丁 Ｐ ａ ξ ａ Ｐ ａ ξ ａ ．
： （ ＜ ＜ ＋１）＜ （ ＋１＜ ＜ ＋２）
如果只有一个假命题 则该命题为
， （ ）
甲 乙 丙 丁
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２． 答案 Ｄ
３．（２０２１江苏七市第二次调研，１３）已知随机变量Ｘ Ｎ σ２
～ （２， ），
Ｐ Ｘ ． 则Ｐ Ｘ ． 按照分层抽样 从 和 中随机抽取了 名学
（ ＞０）＝０９， （２＜ ≤４）＝ （１） ， ［４０，５０） ［８０，９０） ９
３． 答案 ． 生．现从已抽取的 名学生中随机推荐 名学生参加体能
０４ ９ ３
４．（２０２１广东韶关一模，２０）在一次大范围的随机知识问卷调查 测试．记推荐的 名学生来自 的人数为Ｘ 求Ｘ的
３ ［４０，５０） ，
中 通过随机抽样 得到参加问卷调查的 人的得分统计结 分布列和数学期望
， ， １００ ；
果如下表所示 由频率分布直方图可认为 周末运动时间ｔ服从正态分布
： （２） ：
得分 Ｎ μ σ２ 其中 μ为周末运动时间的平均数ｔ σ近似为样
［３０，４０） ［４０，５０） ［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００］ （ ， ）， ， ，
本的标准差ｓ 并已求得ｓ ． ．可以用该样本的频率估计
频数 ， ≈１４６
２ １３ ２１ ２５ ２４ １１ ４
总体的概率 现从本市所有初中生中随机抽取 名学生
由频数分布表可以大致认为 此次问卷调查的得分 ξ ， １２ ，
（１） ， ～ 记周末运动时间在 ． ． 之外的人数为 Ｙ 求
Ｎ μ μ近似为这 人得分的平均值 同一组中的 （４３ ９，８７ ７］ ，
（ ，１９６）， １００ （ Ｐ Ｙ 精确到 ． ．
数据用该组区间的左端点值作代表 ． （ ＝３）（ ０００１）
） 参考数据 当ｔ Ｎ μ σ２ 时 Ｐ μ σ ｔ μ σ ．
求μ的值 １： ～ （ ， ） ， （ － ＜≤ ＋ ）≈０６８２６，
① ； Ｐ μ σ ｔ μ σ ． Ｐ μ σ ｔ μ σ ． ．
若Ｐ ξ ａ Ｐ ξ ａ 求ａ的值 （ －２ ＜≤ ＋２ ）≈０９５４４， （ －３ ＜≤ ＋３ ）≈０９９７４
② （ ＞２ －５）＝ （ ＜ ＋３）， ； 参考数据 ９ ３
在 的条件下 为此次参加问卷调查的市民制定如下奖 ２：０．８１８５ ≈０．１６４９，０．１８１５ ≈０．００６０．
（２） （１） ， ５． 解析 运动时间在 的人数为 ．
励方案 （１） ［４０，５０） ３ ０００×０ ０２×１０
： ．
得分不低于μ的可以获赠 次随机话费 得分低于μ的 ＝６００
① ２ ， 运动时间在 的人数为 ． ．
可以获赠 次随机话费 ［８０，９０） ３０００×００１×１０＝３００
１ ； 按照分层抽样共抽取 人 则在区间 内抽取的人数为
每次获赠的随机话费和对应的概率为 ９ ， ［４０，５０）
② ： 在区间 内抽取的人数为 ．
赠送话费的金额 单位 元 ６， ［８０，９０） ３
（ ： ） ２０ ５０ 随机变量Ｘ的所有可能取值为 ．
∴ ０，１，２，３
概率 ３ １ Ｐ Ｘ Ｃ ０ ６Ｃ ３ ３ １ Ｐ Ｘ Ｃ １ ６Ｃ ２ ３ ３
４ ４ （ ＝０）＝ ３ ＝ ， （ ＝１）＝ ３ ＝ ，
现有市民甲参加此次问卷调查 记Ｘ 单位 元 为该市民
Ｃ９ ８４ Ｃ９ １４
， （ ： ） ２ １ ３ ０
参加问卷调查获赠的话费 求Ｘ的分布列与数学期望． Ｐ Ｘ Ｃ６Ｃ３ １５ Ｐ Ｘ Ｃ６Ｃ３ ５
， （ ＝２）＝ ３ ＝ ， （ ＝３）＝ ３ ＝ ，
４． 解析 由题意得 Ｃ９ ２８ Ｃ９ ２１
（１）① 所以随机变量Ｘ的分布列为
３０×２＋４０×１３＋５０×２１＋６０×２５＋７０×２４＋８０×１１＋９０×４ ＝６０ ． ５， Ｘ ０ １ ２ ３
１００
μ ． ．
∴ ＝６０５ Ｐ １ ３ １５ ５
由题意得 ａ ａ ． 解得ａ ． ８４ １４ ２８ ２１
② ２ －５＋ ＋３＝２×６０５， ＝４１
６ ６２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
． Ｐ ｔ μ σ或ｔ μ σ ． ．
Ｅ Ｘ １ ３ １５ ５ ． ０８１８５，∴ （ ≤ － ＞ ＋２ ）＝１－０８１８５＝０１８１５，
∴ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝２ Ｙ Ｂ ． ．
８４ １４ ２８ ２１ ∴ ～ （１２，０１８１５）
（２） μ ＝ ｔ ＝３５×０ ． １＋４５×０ ． ２＋５５×０ ． ３＋６５×０ ． １５＋７５×０ ． １５＋８５×０ ． １ ∴ Ｐ （ Ｙ ＝ ３） ＝ Ｃ ３ １２ × ０ ． １８１５ ３ × ０ ． ８１８５ ９ ≈２２０× ０ ． ００６ ０×
． σ ｓ ． ． ． ． ．
＝５８５， ＝ ≈１４６ ０１６４９≈０２１８
． ． ． μ σ ． ． ． μ σ．
∴４３９＝５８５－１４６＝ － ，８７７＝５８５＋１４６×２＝ ＋２
． ．
Ｐ ． ｔ ． Ｐ μ σ ｔ μ σ ０６８２６＋０９５４４
∴ （４３９＜ ≤８７ ７）＝ （ － ＜ ≤ ＋２ ）≈ ＝
２
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ２２５ ５０分钟 ７０分
一、单项选择题（每小题５分，共１５分）
１．（２０２１湖南长郡十五校第二次联考，４）十二生
肖作为中国民俗文化的代表 是中国传统文化
，
的精髓 很多人把生肖作为春节的吉祥物 以
， ，
此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作
参考数据 若Ｚ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ Ｚ μ σ ．
了一个正十二面体模型 如图 并在十二个 ： ～ （ ， ）， （ － ≤ ≤ ＋ ）≈０ ６８２ ７，
（ ）， Ｐ μ σ Ｚ μ σ ． ．
面上分别雕刻了十二生肖的图案 作为春节的吉祥物． 年 （ －２ ≤ ≤ ＋２ ）≈０９５４５
， ２０２１ Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
春节前 兴趣小组的 个成员将模型随机抛出 希望能抛出牛 Ａ． （ １－ １＜ ＜ １＋２ １）≈０８１８６
， ２ ， Ｐ Ｙ μ Ｐ Ｙ μ
的图案朝上 即牛的图案在最上面 人各抛一次 则恰好出 Ｂ． （ ≥ ２）＜ （ ≥ １）
（ ），２ ， Ｐ Ｘ σ Ｐ Ｘ σ
现一次牛的图案朝上的概率为 Ｃ． （ ≤ ２）＜ （ ≤ １）
（ ） 对于任意的正数ｔ 有Ｐ Ｘ ｔ Ｐ Ｙ ｔ
Ｄ． ， （ ≤）＞ （ ≤）
１ １４３ １１ ２３ ５． 答案 ＡＢＤ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
１２ １４４ ７２ １４４ ６．（２０２１湖北八市３月调研，９）下列说法正确的是
１． 答案 Ｃ （ ）
已知直线ｌ 平面α 直线ｍ 平面β 则 α β 是 ｌ ｍ 的
２．（２０２１辽宁丹东质检，２） 张奖券中有 张 中奖 奖券 甲乙 Ａ． ⊥ ， ∥ ， “ ∥ ” “ ⊥ ”
１０ ４ “ ” ， 必要不充分条件
两人先后参加抽奖活动 每人从中不放回地抽取一张奖券 甲
， ， 若随机变量ξ服从正态分布 Ｎ σ２ Ｐ ξ ． 则
先抽 乙后抽 在甲中奖的条件下 乙没有中奖的概率为 Ｂ． （１， ）， （ ≤４）＝ ０ ７９，
， ， ， Ｐ ξ ．
（ ＜－２）＝０２１
( )
（ ）
若随机变量ξ Ｂ １ 则Ｅ ξ
Ｃ． ～ ４， ， （２ ＋３）＝５
３ ２ ３ ４ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 甲 乙 丙 丁 个人到 个景点旅游 每人只去一个景点 设
５ ３ ４ １５ Ｄ． 、 、 、 ４ ４ ， ，
２． 答案 Ｂ 事件Ｍ为 个人去的景点各不相同 事件Ｎ为 甲不去其
“４ ”， “
３．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟）一个袋中有大小 形状相
、 中的 景点 则Ｐ ＭＮ ２
同的小球 其中红球 个 黑球 个 现随机等可能取出小球 当 Ａ ”， （ ）＝
， １ 、 ２ ， ， ９
有放回依次取出两个小球时 记取出的红球数为ξ 当无放回依 ６． 答案 ＢＣ
， １；
次取出两个小球时 记取出的红球数为ξ 则
， ２， （ ） 三、填空题（共５分）
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ａ． （ １）＜ （ ２）， （ １）＜ （ ２） ７．（２０２１江苏南京秦淮中学开学考，１６）设随机变量ξ
～
Ｂ
（２，
ｐ
），
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｂ． （ １）＝ （ ２）， （ １）＞ （ ２） η Ｂ ｐ 若Ｐ ξ ５ 则Ｐ η 的值为 ．
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ ～ （４， ）， （ ≥１）＝ ， （ ≥２）
Ｃ． （ １）＝ （ ２）， （ １）＜ （ ２） ９
Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
Ｄ． （ １）＞ （ ２）， （ １）＞ （ ２） ７． 答案 １１
３． 答案 Ｂ
２７
二、多项选择题（每小题５分，共１５分） 四、解答题（共３５分）
４．（２０２１湖北重点中学４月调研，９）四张外观相同的奖券让甲 ８．（２０２０河北唐山４月六校联考，２１）世界军人运动会 简称 军
， ， “
乙 丙 丁四人各随机抽取一张 其中只有一张奖券可以中奖 运会 是国际军事体育理事会主办的全球军人最高规格的大
， ， ， ， ”，
则 型综合性运动会 每四年举办一届 会期 至 天 比赛设
（ ） ， ， ７ １０ ， ２７
四人中奖概率与抽取顺序无关 个大项 参赛规模约 多个国家 余人 规模仅次于奥
Ａ． ， １００ ８ ０００ ，
运会 是和平时期各国军队展示实力形象 增进友好交流 扩
在甲未中奖的条件下 乙或丙中奖的概率为 ２ ， 、 、
Ｂ． ， 大国际影响的重要平台 被誉为 军人奥运会 ．根据各方达成
３ ， “ ”
事件甲或乙中奖与事件丙或丁中奖互斥 的共识 第七届军运会于 年 月 日至 日在武汉举
Ｃ． ， ２０１９ １０ １８ ２７
事件甲中奖与事件乙中奖相互独立 行 赛期 天 共设置射击 游泳 田径 篮球等 个大项
Ｄ． ， １０ ， 、 、 、 ２７ ，３２９
４． 答案 ＡＢＣ 个小项．其中
，
空军五项
、
军事五项
、
海军五项
、
定向越野和跳伞
５．（２０２１广东肇庆二模，１１）已知两种不同型号的电子元件 分
５
个项目为军事特色项目
，
其他项目为奥运项目．现对某国在
（
射击比赛预赛中的得分数据进行分析 得到如下的频率分布
别记为Ｘ Ｙ 的使用寿命均服从正态分布 Ｘ Ｎ μ σ２ Ｙ ，
， ） ， ～ （ １， １）， ～ 直方图
Ｎ μ σ２ 这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正 ：
（ ２， ２），
确的是
（ ）
第十二章 概率与统计 ６ ６３
( )ｎ
＋１
１
( ) ( ) ２ ( )ｎ １－ －
１ １ １ ６
＝ １ ＋ － ＋ － ＋ … ＋ － ＝ ( ) ＝
６ ６ ６ １
１－ －
６
[ ( )ｎ ] [ ( ) ]
＋１ ４９
６ １ Ｐ １ Ｐ １ ６ １
１－ － ， ５０ ＝ ４８ ＝ × × １－ － ＝
７ ６ ６ ６ ７ ６
[ ( ) ]
４９
１ １ １ Ｐ Ｐ １
１＋ ＜ ， ４９＝１－ ５０＞ ，
７ ６ ２ ２
估计某国射击比赛预赛中得分的平均值ｘ 同一组中的数 故这种游戏方案客户参与中奖的可能性较大 对意向客户有
（１） （ ，
据用该组区间的中点值代表 吸引力．
）；
根据大量的射击成绩测试数据 可以认为射击成绩Ｘ近似 ９．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，１８）为贯彻 不忘
（２） ， “
地服从正态分布Ｎ(μ σ２ ) 经计算 第 问中样本标准差ｓ 立德树人初心 牢记为党育人 为国育才使命 的要求 某省推
， ， ， （１） ， 、 ” ，
的近似值为 用样本平均数ｘ作为μ的近似值ｕ 用样本标 出的高考新方案是 模式 是语文 外语 数学三科
５０， ， “３＋１＋２” ，“３” 、 、
准差ｓ作为σ的估计值 求射击得分Ｘ恰在 到 的概 必考 是在物理与历史两科中选择一科 是在化学 生
， ３５０ ４００ ，“１” ，“２” 、
率 参考数据 若随机变量ξ服从正态分布Ｎ(μ σ２ ) 则 物 政治 地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选
；［ ： ， ， 、 、
Ｐ μ σ ξ μ σ ． Ｐ μ σ ξ μ σ ． 课走班教学 给出三种可供选择的组合进行模拟选课 其中
（ － ＜ ≤ ＋ ）≈０６８２７， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）≈０９５４ ５， ， ， Ａ
Ｐ μ σ ξ μ σ ． 组合 物理 化学 生物 组合 历史 政治 地理 组合 物
（ －３ ＜ ≤ ＋３ ）≈０９９７３］ ： 、 、 ，Ｂ ： 、 、 ，Ｃ ：
某汽车销售公司在军运会期间推广一款新能源汽车 现面
（３） ， 理 化学 地理 根据选课数据得到 选择 组合的概率为 ３
向意向客户推出 玩游戏 送大奖 活动 客户可根据抛掷 、 、 ， ， Ａ ，
５
“ ， ” ，
骰子的结果 操控微型遥控车在方格图上行进 若遥控车 选择 组合的概率为 １ 选择 组合的概率为 １ 甲 乙 丙
， ， Ｂ ， Ｃ ， 、 、
最终停在 胜利大本营 则可获得购车优惠券．已知骰子 ５ ５
“ ”， 三位同学每人选课是相互独立的．
出现任意点数的概率都是 １ 方格图上标有第 格 第 求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率
， ０ ， １ （１） ；
６ 记η表示这三人中选择含地理的组合的人数 求η的分布
格 第 格 第 格．遥控车开始在第 格 客户每抛 （２） ，
， ２ ，……， ５０ ０ ， 列及数学期望．
掷一次骰子 遥控车向前移动一次 若抛掷出正面向上的
， ， ９． 解析 用Ａ 表示第ｉ位同学选择 组合 用Ｂ 表示第ｉ位
点数是 遥控车向前移动一格 从ｋ到ｋ 若 ｉ Ａ ， ｉ
１，２，３，４，５， （ ＋１）， 同学选择 组合 用Ｃ 表示第ｉ位同学选择 组合 ｉ ．
抛掷出正面向上的点数是 点 遥控车向前移动两格 从ｋ Ｂ ， ｉ Ｃ ， ＝１，２，３
６ ， （ 由题意可知 Ａ Ｂ Ｃ 互相独立
到ｋ 直到遥控车移动到第 格 胜利大本营 或第 ， ｉ， ｉ， ｉ ，
＋２）， ４９ （ ） ５０
格 失败大本营 时 游戏结束．设遥控车移动到第ｎ格的 且Ｐ Ａ ３ Ｐ Ｂ １ Ｐ Ｃ １ ．
（ ） ， （ ｉ）＝ ， （ ｉ）＝ ， （ ｉ）＝
概率为Ｐ 试证明 Ｐ Ｐ ｎ 是等比数列 并 ５ ５ ５
求Ｐ 以
ｎ
及
，
根据Ｐ
｛
的
ｎ
值
－
解
ｎ －１
释
｝（
这
１
种
≤
游
≤
戏
４
方
９）
案对意向客户
，
是 （１）
三位同学恰好选择不同的组合共有
Ａ
３
３＝６
种情况
，
每种情
否具 ５ 有 ０， 吸引力． ５０ 况的概率相同 ， 故三位同学恰好选择不同组合的概率Ｐ ＝６×
８． 解析 （１） ｘ ＝０ ． ００２×５０×２０５＋０ ． ００４×５０×２５５＋０ ． ００９×５０×３０５ Ｐ （ Ａ １ Ｂ ２ Ｃ ３）＝６ Ｐ （ Ａ １） Ｐ （ Ｂ ２） Ｐ （ Ｃ ３）＝６× ５ ３ × ５ １ × ５ １ ＝ １ １ ２ ８ ５ ．
． ． ． ( )
＋０００４×５０×３５５＋０００１×５０×４０５＝３００ 由题意知η的所有可能取值为 且η Ｂ ２
（２） ０，１，２，３， ～ ３， ，
因为 Ｘ Ｎ ２ 所以 Ｐ Ｘ １ ５
（２） ～ （３００，５０ ）， （３５０＜ ≤４００）＝ × ( ) ０ ( ) ３
２ 所以Ｐ η ０ ２ ３ ２７
． ． ． ． （ ＝０）＝Ｃ３ ＝ ，
（０９５４５－０６８２７）＝０１３５９ ５ ５ １２５
遥控车开始在第 格为必然事件 Ｐ 第一次掷骰子 正 ( ) １ ( ) ２
（３） ０ ， ０＝１， ， Ｐ
（
η
＝１）＝Ｃ
１
３
２ ３
＝
５４
，
面向上不出现 点 遥控车移动到第 格 其概率为 ５ 即Ｐ ( ５ ) ( ５ ) １２５
６ ， １ ， ６ ， １ Ｐ η ２ ２ ２ ３ １ ３６
（ ＝２）＝Ｃ３ ＝ ，
５ ５ １２５
５ 遥控车移到第ｎ格 ｎ 的情况是下列两种 而且 ( ) ( )
也 ＝ 只 ６ ； 有两种 （２≤ ≤４９） ， Ｐ （ η ＝３）＝Ｃ ３ ３ ２ ５ ３ ３ ５ ０ ＝ １２ ８ ５ ，
： 所以η的分布列为
遥控车先到第 ｎ 格 抛掷出正面向上的点数为 点 其
① （ －２） ， ６ ，
η
概率为 １ Ｐ ０ １ ２ ３
ｎ －２；
６ Ｐ ２７ ５４ ３６ ８
遥控车先到第 ｎ 格 抛掷骰子 正面向上不出现 点 其
② （ －１） ， ， ６ ， １２５ １２５ １２５ １２５
概率 为 ５ Ｐ 故 Ｐ １ Ｐ ５ Ｐ Ｐ Ｐ 所以Ｅ η ２７ ５４ ３６ ８ ６ ．
ｎ －１， ｎ ＝ ｎ －２ ＋ ｎ －１， ｎ － ｎ －１ ＝ （ ）＝０× ＋１× ＋２× ＋３× ＝
６ ６ ６ １２５ １２５ １２５ １２５ ５
１０．（２０２１湖南岳阳一模，２０）某商城玩具柜台元旦期间促销 购
１ Ｐ Ｐ ．故 ｎ 时 Ｐ Ｐ 是首项为Ｐ Ｐ ，
－ （ ｎ －１－ ｎ －２） １≤ ≤４９ ，｛ ｎ－ ｎ －１｝ １－ ０＝ 买甲 乙系列的盲盒 并且集齐所有的玩偶就可以赠送元旦
６ 、 ，
( )ｎ 礼品．每个甲系列盲盒可以开出玩偶 中的一个 每
－ １ ， 公比为 － １ 的等比数列 ， 故Ｐ ｎ－ Ｐ ｎ －１＝ － １ ， 个乙系列盲盒可以开出玩偶 中 Ａ 的 １， 一 Ａ２ 个 ，Ａ ． ３ ，
６ ６ ６ Ｂ１，Ｂ２
Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ Ｐ 记事件Ｅ 一次性购买ｎ个甲系列盲盒后集齐
ｎ＝ ０＋（ １－ ０）＋（ ２－ １）＋…＋（ ｎ－ ｎ －１） （１） ｎ： Ａ１，Ａ２，Ａ３
６ ６４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
玩偶 事件Ｆ 一次性购买ｎ个乙系列盲盒后集齐
玩偶
，
求概率
ｎ
Ｐ
：
Ｅ 及Ｐ Ｆ
Ｂ１，Ｂ２
（２）①
由题意可知
：
Ｑ
１＝
１
，
当 ｎ
≥２
时
，
Ｑ
ｎ＝
１ Ｑ
ｎ －１＋
１
（１－
， （ ６） （ ５）； ５ ４ ２
礼品店限量出售甲 乙两个系列的盲盒 每个消费者每天
（２） 、 ， Ｑ １ １ Ｑ
只有一次购买机会 且购买时 只能选择其中一个系列的 ｎ －１）＝ － ｎ －１，
， ， ２ ４ ( )
一个盲盒．通过统计发现 第一次购买盲盒的消费者购买
： ∴ Ｑ ｎ－ ２ ＝－ １ Ｑ ｎ －１－ ２ ， Ｑ １－ ２ ＝－ １ ，
５ ４ ５ ５ ５
甲系列的概率为 １ 购买乙系列的概率为 ４ 而前一次 { }
， ；
５ ５ 所以 Ｑ ｎ－ ２ 是以 － １ 为首项 ，－ １ 为公比的等比数列 ，
５ ５ ４
购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为 １ 购 ( )ｎ
， －１
４ ∴ Ｑ ｎ＝－ １ · － １ ＋ ２ ．
５ ４ ５
买乙系列的概率为 ３ 前一次购买乙系列的消费者下一
； 因为每天购买盲盒的 人都已购买过很多次 所以 对于
４ ② １００ ， ，
每一个人来说 某天来购买盲盒时 可以看作ｎ趋向无穷大
次购买甲系列的概率为 １ 购买乙系列的概率为 １ ．如此 ， ， ，
，
２ ２ 所以购买甲系列的概率近似于 ２ 设用ξ表示一天中购买甲
往复 记某人第ｎ次购买甲系列的概率为Ｑ ． ，
， ｎ ５
求Ｑ 系列盲盒的人数
① ｎ； ( ) ，
若每天购买盲盒的人数约为 且这 人都已购买
② １００， １００ 则ξ Ｂ ２ 所以Ｅ ξ ２ 即购买甲系列盲
～ １００， ， （ ）＝１００× ＝４０，
过很多次这两个系列的盲盒 试估计该礼品店每天应准
５ ５
，
盒的人数的期望值为
备甲 乙两个系列的盲盒各多少个．
４０，
、
所以礼品店应准备甲系列盲盒 个 乙系列盲盒 个．
２ ２ ２ ３ ２ １ ３ ４ ２ ４０ ， ６０
１０． 解析 由题意Ｐ Ｅ Ｃ６Ｃ４Ｃ２＋Ｃ６Ｃ３Ｃ１Ａ３＋３Ｃ６Ａ２ ２０
（１） （ ６）＝ ６ ＝ ，
３ ２７
Ｐ Ｆ １ １ １５．
（ ５）＝１－ ５ － ５ ＝
２ ２ １６
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 解法二 因为ｎ Ａ １ １ ２ ｎ ＡＢ １ １ 所以Ｐ
： （ ）＝Ｃ３Ｃ５＋Ｃ３＝１８， （ ）＝Ｃ３Ｃ４＝１２，
１．（２０２１全国 卷地区３月联考，４）宋代著名类书 太平御览 ｎ ＡＢ
Ⅰ 《 》 Ｂ Ａ （ ） １２ ２ 选 ．
记载 伏羲坐于方坛之上 听八风之气 乃画八卦． 乾为天 （ ｜ ）＝ ｎ Ａ ＝ ＝ ， Ｄ
：“ ， ， ” ， （ ） １８ ３
坤为地 震为雷 坎为水 艮为山 巽为风 离为火 兑为泽 象 ２．（２０２１安徽蚌埠二模，６）已知随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ
， ， ， ， ， ， ， （２，
征八种自然现象 以类万物之情．如图所示为太极八卦图 八卦
， ， σ２ 且Ｐ Ｘ Ｐ Ｘ １ 则Ｐ Ｘ
分据八方 中绘太极 古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案． ）， （ ＜１）· （ ＞３）＝ ， （１＜ ＜２）＝ （ ）
， ， ９
八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成 其中 为
， “ ” １ １ １ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
阳爻 为阴爻．现从八卦中任取两卦 已知取出的两卦 ６ ４ ３ ２
，“ ” ，
中有一卦恰有一个阳爻 则另一卦至少有两个阳爻的概率为 答案 Ａ 由正态分布Ｘ ～ Ｎ （２， σ２ ） 知 ， 对称轴为μ ＝２， 由对
，
（ ） 称性 ， 知Ｐ （ Ｘ ＜１）＝ Ｐ （ Ｘ ＞３）＝ １ ， 则Ｐ （１＜ Ｘ ＜２）＝ １ Ｐ （１＜ Ｘ ＜
３ ２
( )
１ １ １ １ ．
３）＝ × １－ － ＝
２ ３ ３ ６
３．（２０２１四川顶级名校模拟，１０）下列正确命题的序号为
（ ）
( )
若随机变量Ｘ Ｂ ｐ 且Ｅ Ｘ 则Ｄ １ Ｘ ．
① ～ （１００， ）， （ ）＝２０， ＋１ ＝５
２
在一次随机试验中 彼此互斥的事件Ａ Ｂ Ｃ Ｄ发生的概率
② ， ， ， ，
分别为 ． ． ． ． 则Ａ与Ｂ Ｃ Ｄ是互斥事件 也是对
０２，０２，０３，０３， ∪ ∪ ，
立事件．
一只袋内装有ｍ个白球 ｎ ｍ个黑球 连续不放回地从袋中
③ ， － ，
４ ３ ５ ２ 取球 直到取出黑球为止 设此时取出了ξ个白球 Ｐ ξ 等
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， ， ， （ ＝２）
答 ７ 案 Ｄ 由八 ７ 卦图可知 八卦 ６ 中有 卦有三 ３ 个阳爻 有 于（ ｎ － ｍ ）Ａ ２ｍ．
， １ ， ３
卦恰有一个阳爻 有 卦恰有两个阳爻 有 卦没有阳爻．设取 Ａ ３ｎ
， ３ ， １
出的两卦中
“
有一卦恰有一个阳爻
”
为事件Ａ
，“
另一卦至少有 ④ 由一组样本数据 （ ｘ １， ｙ １），（ ｘ ２， ｙ ２），…，（ ｘ ｎ， ｙ ｎ） 得到回归直
两个阳爻 为事件Ｂ． 线方程ｙ ｂｘ ａ 那么直线ｙ ｂｘ ａ至少经过 ｘ ｙ ｘ ｙ
” ＾＝ ＋ ， ＾＝ ＋ （ １， １），（ ２， ２），
解法一 因为Ｐ Ａ Ｐ Ａ Ｃ ２ ５ ９ Ｐ ＡＢ Ｃ １ ３Ｃ １ ４ ３ …，（ ｘ ｎ， ｙ ｎ） 中的一个点．
： （ ）＝１－ （ ）＝１－ Ｃ ２ ８ ＝ １４ ， （ ）＝ Ｃ ２ ８ ＝ ７ ， Ａ．②③ Ｂ．①②
Ｐ ＡＢ
所以Ｐ Ｂ Ａ （ ） ２ 选 ． Ｃ．③④ Ｄ．①④
（ ｜ ）＝ Ｐ Ａ ＝ ， Ｄ 答案 Ａ 因为随机变量Ｘ Ｂ ｐ 且Ｅ Ｘ
（ ） ３ ① ～ （１００， ）， （ ）＝２０，
第十二章 概率与统计 ６ ６５
所以 ｐ 解得ｐ ．
１００ ＝２０， ＝０２， ６．（２０２１浙江湖丽衢三地市４月联考，７）设 ｐ ２ ．随机变量ξ
所以Ｄ Ｘ ． ． ０＜ ＜
（ ）＝１００×０２×（１－０２）＝１６， ３
( ) 的分布列是
所以Ｄ １ Ｘ １ Ｄ Ｘ １
＋１ ＝ （ ）＝ ×１６＝４， ξ
２ ４ ４ －１ ０ １
故 错误
① ； Ｐ ｐ １ ２ ｐ
－
因为在一次随机试验中 ３ ３
② ， ( )
彼此互斥的事件Ａ Ｂ Ｃ Ｄ发生的概率分别为 ． ． ． ． 则当ｐ在 ２ 内增大时
， ， ， ０ ２，０ ２，０３，０ ０， ， （ ）
四个事件的概率和为 ． ． ． ． ３
３， ０２＋０２＋０３＋０３＝１， ．Ｄ ξ 增大 ．Ｄ ξ 减小
所以当Ａ与Ｂ Ｃ Ｄ是互斥事件时 也是对立事件 Ａ （ ） Ｂ （ ）
∪ ∪ ， ， ．Ｄ ξ 先减小后增大 ．Ｄ ξ 先增大后减小
故 正确 Ｃ （ ） Ｄ （ ）
② ；
③
依题意
，
ξ
＝２
表示一共取出了
３
个球
，
且前两次取的都是白 答案 Ｄ 由题表得Ｅ
（
ξ
）＝
２
－２
ｐ
，
Ｅ
（
ξ２
）＝
２
，
则Ｄ
（
ξ
）＝
球 第三次取出的是黑球 ３ ３
， ， ( ) ( )
２ ２
因为袋中一共有ｍ ｎ ｍ ｎ 个 球 Ｅ ξ２ Ｅ ξ ２ ２ ２ ｐ ｐ １ ２ 所以
＋ － ＝ （ ） ， （ ）－［ （ ）］ ＝ － －２ ＝－４ － ＋ ，
从中任取出 ３ 个球有 Ａ ３ｎ 种不同的方法 ， ( ) ３ ３ ( ) ３ ３
前两次取出白球 ， 第三次取出黑球有 （ ｎ － ｍ ）Ａ ２ｍ 种不同的方法 ， Ｄ （ ξ ） 在 ０， １ 上递增 ， 在 １ ， ２ 上递减 ， 故选 Ｄ ．
３ ３ ３
所以Ｐ ξ （ ｎ － ｍ ）Ａ ２ｍ ７．（２０２１浙江新高考研究卷（三），８）一个袋中放有大小 、 形状均
（ ＝２）＝
Ａ
３ｎ ， 相同的小球 其中红球ｍ个 黑球ｎ个 ｍ ｎ Ｎ∗ ｍ ｎ ．
， 、 ， ， ∈ ， ≥２， ≥２
故 正确
现随机取出小球．当有放回依次取出两个小球时 记取出的红
③ ；
，
由回归直线过样本点的中心 ｘ ｙ 而不一定过样本数据中 球数为ξ 当无放回依次取出两个小球时 记取出的红球数为
④ （ ， ），
的各点
，
知
④
错误．
ξ 则
１； ，
故选 ．
２， （ ）
．Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
４．（２０２１
Ａ
天津河北二模，５）某小区为了解居民用水情况 通过随
Ａ （ １）＝ （ ２）， （ １）＞ （ ２）
， ．Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
机抽样得到部分家庭月均用水量 单位 将所得数据分为
Ｂ （ １）＜ （ ２）， （ １）＜ （ ２）
组
（ ：ｔ），
并整
６ Ｃ ．Ｅ （ ξ １）＝ Ｅ （ ξ ２）， Ｄ （ ξ １）＜ Ｄ （ ξ ２）
．Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ
：［４，６），［６，８），［８，１０），［１０，１２），［１２，１４），［１４，１６］，
理 机 得 抽 到 取 如 个 下 家 频 庭 率分 则 布 月 直 均 方 月 图 水 ， 量 若 在 以 区 频 间 率替代概 内 率 的 ， 从 家 该 庭 小 个 区 数 随 Ｘ Ｄ 答 （ 案 １） ＞ Ａ （ ２ 当 ）， 有 （ 放 １ 回 ）＞ 依 （ 次 ２ 取 ） 出两个小球时 ， Ｐ （ ξ １ ＝０）＝
５ ， ［８，１２） ｎ２ ｍｎ ｍ２
的数学期望为 （ ） ｍ ｎ ２， Ｐ （ ξ １＝１）＝ ｍ ２ ｎ ２， Ｐ （ ξ １＝２）＝ ｍ ｎ ２，
（ ＋ ） （ ＋ ） （ ＋ ）
ｍ ｍｎ
所以Ｅ ξ ２ Ｄ ξ ２ ．
（ １）＝ｍ ＋ ｎ， （ １）＝ （ ｍ ＋ ｎ ） ２
ｎ ｎ
当无放回依次取出两个小球时 Ｐ ξ （ －１）
， （ ２＝０）＝ ｍ ｎ ｍ ｎ ，
（ ＋ ）（ ＋ －１）
ｍｎ ｍ ｍ
Ｐ ξ ２ Ｐ ξ （ －１） 所
（ ２＝１）＝ ｍ ｎ ｍ ｎ ， （ ２＝２）＝ ｍ ｎ ｍ ｎ ，
（ ＋ ）（ ＋ －１） （ ＋ ）（ ＋ －１）
ｍ ｍｎ ｍ ｎ
以Ｅ ξ ２ Ｄ ξ ２ ＋ －２．
（ ２）＝ｍ
＋
ｎ， （ ２）＝
（
ｍ
＋
ｎ
）
２·ｍ
＋
ｎ
－１
综上 Ｅ ξ Ｅ ξ Ｄ ξ Ｄ ξ 故选 ．
， （ １）＝ （ ２）， （ １）＞ （ ２）， Ａ
小题巧解 利用赋值法，如取ｍ ｎ ，则Ｅ（ξ ） Ｅ（ξ ）
＝ ＝２ １ ＝ ２ ＝
． ． ．
Ａ．３６ Ｂ．３ Ｃ．１６ Ｄ．１５ ，Ｄ（ξ ） １ ，Ｄ（ξ ） １ ．Ｄ（ξ ） Ｄ（ξ ），故选 ．
答案 Ｂ 由题中频率分布直方图知一个家庭月均用水量 １ １ ＝ ２ ＝ １ ＞ ２ Ａ
２ ３
在 吨的概率为 ． ． ． ．
８～１２ （０１６＋０１４）×２＝０６ 二、多项选择题
Ｘ Ｂ ． Ｅ Ｘ ． ．故选 ．
～ （５，０６），∴ （ ）＝５×０６＝３ Ｂ ８．（２０２１届湖北荆州中学 ８ 月月考，１２）已知某校高三年级有
５．（２０２１浙江台州二模，７）已知ｍ ｎ 离散型随机变量ξ
， ∈（０，１）， 人参加一次数学模拟考试 现把这次考试的分数转换为
的分布列如下表 １０００ ，
： 标准分 标准分的分数转换区间为 若使标准分Ｘ服
ξ ｍ ， ［６０，３００］，
０ ３ ２ 从正态分布Ｎ 则
（１８０，９００）， （ ）
Ｐ ｍ ５ ｎ 参考数据 Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ
１２ （ ：① （ － ＜ ≤ ＋ ）＝０６８２ ７；② （ －２ ＜ ≤ ＋
( ) σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ σ ．
若Ｐ ξ １ １ 则Ｅξ ２ ）＝０９５４５；③ （ －３ ＜ ≤ ＋３ ）＝０９９７３）
≤ ＝ ， ＝ （ ） 这次考试标准分超过 分的约有 人
２ ３ Ａ． １８０ ４５０
这次考试标准分在 内的人数约为
． ３ ． ５ ．１１ ． ９ Ｂ． （９０，２７０］ ９９７
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
４ １２ １２ ５ 甲 乙 丙三人恰有 人的标准分超过 分的概率为 ３
( ) Ｃ． 、 、 ２ １８０
答案 Ｃ 因为Ｐ ξ １ １ 所以ｍ １ ． ８
≤ ＝ ， ＝ Ｐ Ｘ ．
２ ３ ３ Ｄ． （２４０＜ ≤２７０）＝００４２８
由ｍ ５ ｎ 可知ｎ １ 所以Ｅξ １ ５ １ １１ 答案 ＢＣ 由已知得 标准分超过 分的约有 １
＋ ＋ ＝１ ＝ ， ＝０× ＋１× ＋２× ＝ ， ： １８０ １０００×
１２ ４ ３ １２ ４ １２ ２
故选 ． 人 故 不正确．
Ｃ ＝５００ ， Ａ
６ ６６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
标准分在 内的人数约为 ． 故 １２．（２０２１天津河北一模，１２）袋子中有 个大小质地完全相同的
（９０，２７０］ ０ ９９７ ３×１０００≈９９７， Ｂ ５
正确． 小球 其中有 个红球 个黄球 从袋中一次性随机取出
， ３ ，２ ， ３
个小球后 再将小球放回．则 取出 个小球中有 个红球
因为每个人的标准分超过 分的概率为 １ 不超过 分 ， “ ３ ２ ，１
１８０ ， １８０ 个黄球 的概率为 记 取出的 个小球中有 个红
２ ” ， “ ３ ２
球 个黄球 发生的次数为Ｘ 若重复 次这样的实验 则Ｘ
的概率为 １ 所以甲 乙 丙三人恰有 人的标准分超过 ，１ ” ， ５ ，
， 、 、 ２ １８０ 的数学期望为 ．
２
( ) ( )
２
分的概率为 Ｃ ２ ３×
２
１ １－
２
１ ＝
８
３ ， 故 Ｃ 正确． 答案 ３
；３
５
Ｐ Ｘ ０ ． ９９７３－０ ． ９５４５ ． 故 不正确．故 解析 设事件Ａ为 取出的 个球中有 个红球 个黄
（２４０＜ ≤２７０）≈ ＝００２１４， Ｄ “ ３ ２ ，１
２ ２ １ ( )
选 ． 球 则Ｐ Ａ Ｃ３Ｃ２ ３ 由题意可得 Ｘ Ｂ ３ 则 Ｅ
ＢＣ ”， （ ）＝ ３ ＝ ， ， ～ ５， ，
Ｃ５ ５ ５
三、填空题
Ｘ ３ ．故答案为 ３ ．
９．（２０２１江西重点中学４月联考，１５）已知某农场某种植物高度 （ ）＝５× ＝３ ；３
５ ５
ξ Ｎ μ ． 且Ｐ ξ Ｐ ξ 如果这个农场有这种植
～ （ ，００４）， （ ＜６）＝ （ ≥６）， 四、解答题
物 棵 那么估计该农场这种植物高度在区间 ． ．
１００００ ， （６ ２，６ ４］ １３．（２０２１河南新乡一模，１８）某射击小组由两名男射手与一名女
上的棵数为 ．
射手组成 射手的每次射击都是相互独立的 已知每名男射
参考数据 若ξ Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ σ ξ μ σ ． Ｐ μ ， ，
： ～ （ ， ）， （ － ＜ ≤ ＋ ）＝０６８２ ７， （
σ ξ μ σ ． Ｐ μ σ ξ μ σ ． ． 手每次的命中率为 ２ 女射手每次的命中率为 １ ．
－２ ＜ ≤ ＋２ ）＝０９５４５， （ －３ ＜ ≤ ＋３ ）＝０９９７３ ，
答案 ３ ３
１３５９ 当每人射击 次时 求该射击小组共射中目标 次的
解析 由Ｐ ξ Ｐ ξ 得μ （１） ２ ， ４
（ ＜６）＝ （ ≥６）， ＝６， 概率
又ξ Ｎ μ ． ；
～ （ ，００４）， 当每人射击 次时 规定两名男射手先射击 如果两名男
σ ． （２） １ ， ，
∴ ＝０２， 射手都没有射中 那么女射手失去射击资格．一个小组共
则Ｐ ． ξ ． Ｐ μ σ ξ μ σ ，
（６２＜ ≤６４）＝ （ ＋ ＜ ≤ ＋２ ） 射中目标 次得 分 射中目标 次得 分 射中目标
３ １００ ， ２ ６０ ，
１ Ｐ μ σ ξ μ σ Ｐ μ σ ξ μ σ 次得 分 没有射中目标得 分．用随机变量Ｘ表示
＝ ［ （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）－ （ － ＜ ≤ ＋ ）］ １ １０ ， －５０
２ 这个射击小组的总得分 求Ｘ的分布列及数学期望．
，
１ ． ． ． 解析 记 该射击小组共射中目标 次 为事件Ａ
＝ ×（０９５４５－０６８２７）＝０１３５９， （１） “ ４ ” ，
２ ( ) ( ) ( ) ( )
∴ 估计该农场这种植物高度在区间 （６ ． ２，６ ． ４］ 上的棵数为 １０ 则Ｐ （ Ａ ）＝ ２ ４ × ２ ２ ＋Ｃ ３ ４ ２ ３ × １ ×Ｃ １ ２ １ × ２ ＋Ｃ ２ ４×
． ． ３ ３ ３ ３ ３ ３
０００×０１３５９＝１３５９ ( ) ( ) ( )
１０．（２０２１天津和平一模，１３）甲 乙两名同学进行篮球投篮练习 ２ ２ １ ２ １ ２ ２１６ ８ ．
、 ， × × ＝ ＝
３ ３ ３ ７２９ ２７
甲同学一次投篮命中的概率为 ３ 乙同学一次投篮命中的概 Ｘ的可能取值为
， （２） １００，６０，１０，－５０，
４ ( )
２
Ｐ Ｘ ２ １ ４
率为 ２ 假设两人投篮命中与否互不影响 则甲 乙两人各投 （ ＝１００）＝ × ＝ ，
， ， 、 ３ ３ ２７
３ ( )
篮一次 ， 至少有一人命中的概率是 ． Ｐ （ Ｘ ＝６０）＝Ｃ ２ ２ ２ ２ × ２ ＋Ｃ １ ２× ２ × １ × １ ＝ １２ ＝ ４ ，
３ ３ ３ ３ ３ ２７ ９
答案 １１
解析 甲
１２
乙两人各投篮一次 至少有一人命中的概率Ｐ
Ｐ （ Ｘ ＝１０）＝Ｃ １ ２×
３
２ ×
３
１ ×
３
２ ＝
２
８
７
，
、 ， ＝ ( )
( )( ) ２
Ｐ Ｘ １ １
３ ２ １１．故答案为１１． （ ＝－５０）＝ ＝ ，
１－ １－ １－ ＝ ３ ９
１１．（２０２１天
４
津十二校
３
一模
１
，
２
１３）一个盒子
１２
里有 个红 个绿 个黄
所以Ｘ的分布列为
１ １ ４
六个相同的球 每次拿一个 共拿三次 记拿到黄色球的个数 Ｘ
， ， ， １００ ６０ １０ －５０
为Ｘ．
Ｐ ４ ４ ８ １
若取球过程是无放回的 则事件 Ｘ 的概率为
（１） ， “ ＝２” ； ２７ ９ ２７ ９
若取球过程是有放回的 则Ｅ Ｘ ．
（２） ， （ ）＝
故Ｘ的数学期望 Ｅ Ｘ ４ ４ ８ １
答案 ３ （ ）＝ １００× ＋６０× ＋１０× －５０×
２７ ９ ２７ ９
（１） （２）２
５
解析 （１） 无放回取球时 ，６ 个球任取三个 ， 有 Ｃ ３ ６ 种不同的 ＝ ３ ９ ５０．
取法
，
其中取到黄球的个数为
２
的取法有
Ｃ
２
４Ｃ
１
２
种
，
故Ｐ
（
Ｘ
＝
１４．（２０２１四川南充重点高中月考，１８）为了了解扬州市高中生周
２ １ 末运动时间 随机调查了 名学生 统计了他们的周末运
Ｃ４Ｃ２ ３ ． ， ３０００ ，
２）＝ ３ ＝ 动时间 制成如下的频率分布表
Ｃ６ ５ ， ：
有放回取球时 每次取到黄球的概率都是 ４ ２ 由题意 周末运动
（２） ， ＝ ，
６ ３ 时间ｔ 分钟 ［３０，４０） ［４０，５０） ［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０）［８０，９０］
( ) （ ）
得Ｘ Ｂ ２ Ｅ Ｘ ２ ． 人数
～ ３， ，∴ （ ）＝３× ＝２ ３００ ６００ ９００ ４５０ ４５０ ３００
３ ３
第十二章 概率与统计 ６ ６７
从周末运动时间在 的学生中抽取 人 在 若将频率视为概率 某人在该购物平台上进行的 次购
（１） ［７０，８０） ３ ， ［８０， （２） ， ５
的学生中抽取 人 现从这 人中随机推荐 人参加 物中 设对商品和服务都作出好评的次数为随机变量Ｘ．
９０］ ２ ， ５ ２ ，
体能测试 记推荐的 人中来自 的人数为Ｘ 求Ｘ 求对商品和服务都作出好评的次数Ｘ的分布列 概率
， ２ ［７０，８０） ， ① （
的分布列和数学期望 用组合数算式表示
； ）；
由频率分布表可认为 周末运动时间 ｔ 服从正态分布 Ｎ 求Ｘ的数学期望和方差．
（２） ： ②
（
μ
，
σ２
），
其中μ为周末运动时间的平均数ｔ
，
σ近似为样
Ｐ Ｋ２ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
（ ≥ ） ０１５ ０１０ ００５ ００２５ ００１０ ０００５ ０００１
本的标准差ｓ 并已求得ｓ ． ．可以用该样本的频率估
， ≈１４ ６ ｋ ． ． ． ． ． ． ．
计总体的概率 现从扬州市所有高中生中随机抽取 名 ２０７２ ２７０６ ３８４１ ５０２４ ６６３５ ７８７９ １０８２８
学生
，
记周末运 ， 动时间在
（４３
．
９，８７
．
７］
之外的人数为 １ Ｙ ０
，
求 ( Ｋ２
＝ ａ ｂ
ｎ
ｃ
（ ａ
ｄ
ｄ － ｂ
ａ
ｃ ）
ｃ
２
ｂ ｄ ，
其中ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＋
ｄ )
Ｐ Ｙ 的值． 精确到 ． （ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）（ ＋ ）
（ ＝２） （ ０００１） 解析 由题意可得关于商品和服务评价的 列
参考数据 当ｔ Ｎ μ σ２ 时 Ｐ μ σ ｔ μ σ ． Ｐ μ （１） ２×２
１： ～ （ ， ） ， （ － ＜ ＜ ＋ ）＝０６８２７， （ 联表
σ ｔ μ σ ． Ｐ μ σ ｔ μ σ ． ． ：
－２ ＜ ＜ ＋２ ）＝０９５４５， （ －３ ＜ ＜ ＋３ ）＝０９９７３
参考数据 ． ８ ． ． ２ ． ． 对服务好评 对服务不满意 合计
２：０８１８６ ≈０２０２，０１８１４ ≈００３３
解析 随机变量 Ｘ 的可能取值为 Ｐ Ｘ 对商品好评
（１） ０，１，２， （ ＝０）＝ ８０ ４０ １２０
Ｃ ０ ３Ｃ ２ ２ １ Ｐ Ｘ Ｃ １ ３Ｃ １ ２ ３ Ｐ Ｘ Ｃ ２ ３Ｃ ０ ２ ３ 对商品不满意 ７０ １０ ８０
２ ＝ ， （ ＝１）＝ ２ ＝ ， （ ＝２）＝ ２ ＝ ，
Ｃ５ １０ Ｃ５ ５ Ｃ５ １０ 合计
所以Ｘ的分布列为 １５０ ５０ ２００
２
Ｘ Ｋ２ 的观测值ｋ ２００×（８０×１０－４０×７０） ． ．
０ １ ２ ＝ ≈１１１１１＞１０８２８，
１５０×５０×１２０×８０
所以可以在犯错误概率不超过 ． ％的前提下 认为商品好评
Ｐ １ ３ ３ ０１ ，
１０ ５ １０ 与服务好评有关．
所以Ｅ Ｘ １ ３ ３ ６ ． 每次购物时 对商品和服务都好评的概率为 ２ 且Ｘ的
（ ）＝０× ＋１× ＋２× ＝ （２）① ， ，
１０ ５ １０ ５ ５
取值可以是 ．
μ ｔ １ ０，１，２，３，４，５
（２） ＝ ＝ ×（３５×３００＋４５×６００＋５５×９００＋６５×４５０＋７５×４５０ ( ) ( ) ( )
３０００ 其中Ｐ Ｘ ３ ５ Ｐ Ｘ １ ２ １ ３ ４ Ｐ Ｘ
＋８５×３００）＝５８
．
５，
（ ＝０）＝
５
； （ ＝１）＝Ｃ５
５ ５
； （ ＝２）
又 ４３ ． ９＝５８ ． ５－１４ ． ６＝ μ － σ ，８７ ． ７＝５８ ． ５＋１４ ． ６×２＝ μ ＋２ σ ， ２ ( ２ ) ２ ( ３ ) ３ Ｐ Ｘ ３ ( ２ ) ３ ( ３ ) ２ Ｐ Ｘ
． ． ＝Ｃ５ ； （ ＝３）＝Ｃ５ ； （ ＝４）＝
所以Ｐ ． ｔ ． Ｐ μ σ ｔ μ σ ０６８２７＋０９５４５ ５ ５ ５ ５
（４３９＜≤８７７）＝ （ － ＜ ≤ ＋２ ）＝ ( ) ４ ( ) １ ( ) ５
２ ４ ２ ３ Ｐ Ｘ ２ ．
． Ｃ５ ； （ ＝５）＝
＝０８１８６， ５ ５ ５
所以Ｐ ｔ μ σ或ｔ μ σ ． ． Ｘ的分布列为
（ ≤ － ＞ ＋２ ）＝１－０８１８６＝０１８１４， ：
所以Ｙ Ｂ ．
～ （１０，０１８１４）， Ｘ ０ １ ２
所以Ｐ Ｙ ２ ． ２ ． ８ ． ．
（ ＝２）＝Ｃ１０×０ １８１ ４ ×０ ８１８ ６ ≈４５×０ ０３３×０２０２≈ ( ) ５ ( ) １ ( ) ４ ( ) ２ ( ) ３
． ． Ｐ ３ １ ２ ３ ２ ２ ３
０３００ Ｃ５ Ｃ５
１５．（２０２１东北三省四市第二次模拟，１８）近年来我国电子商务行 ５ ５ ５ ５ ５
业迎来蓬勃发展的新机遇 特别在疫情期间 电子商务更被 Ｘ
， ， ３ ４ ５
群众广泛认可 年双 期间 某平台的销售业绩高达 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
３ ２ ４ １ ５
，２０２０ １１ ， ３ Ｐ ３ ２ ３ ４ ２ ３ ２
亿人民币．与此同时 相关管理部门推出了针对电商的商 Ｃ５ Ｃ５
５６８ ， ５ ５ ５ ５ ５
品和服务评价体系．现从评价系统中选出 次成功的交易 ( )
２００ ， 由于Ｘ Ｂ ２ 所以Ｅ Ｘ ２ Ｄ Ｘ ２
并对其评价进行统计 对商品的好评率为 ． 对服务的好评 ② ～ ５， ， （ ）＝ ５× ＝２， （ ）＝ ５× ×
， ０ ６， ５ ５ ５
率为 ． 其中对商品和服务都作出好评的交易为 次． ( )
０７５， ８０ ２ ６ ．
是否可以在犯错误概率不超过 ． ％的前提下 认为商品 １－ ＝
（１） ０１ ， ５ ５
好评与服务好评有关
？
学生用书Ｐ２２７
１．（２０２１ ５·３ 原创题）已知随机变量 Ｘ 服从正态分布 Ｎ 该游戏者本轮游戏的积分．某次活动期间 为了回馈顾客 游乐
（８０， ， ，
若Ｐ Ｘ ｍ ． 则ｍ等于 场临时补充新规则如下 若游戏者在一轮游戏中命中 次或
２５）， （７５＜ ≤ ）＝０８１８６， （ ） ：① ２
附 Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． 次 则所得积分为原规则下积分的 倍 若游戏者在一轮
（ ： （ － ＜ ≤ ＋ ）＝０６８２７， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）＝０９５４５） ３ ， ２ ；②
游戏中 次全部命中 则所得积分为原规则下积分的 倍
Ａ．８５ Ｂ．９０ Ｃ．９５ Ｄ．１００ ４ ， ３ ；③
１． 答案 Ｂ 若游戏者在一轮游戏中未命中或命中一次 则为按原规则下
，
２．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）游乐场有一个游戏项目 在一轮
， 的积分．已知某人每次射击命中目标的概率为 １ 在一轮游戏
游戏中 游戏者有 次机会向目标射击 最终命中的次数作为 ，
， ４ ， ２
６ ６８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
中 他在原规则下的积分与新规则下的积分分别为随机变量
，
Ｘ Ｙ 则下列说法正确的是 Ｐ ２ ７ １９ ２５ ２ １
， ， （ ）
Ｘ服从二项分布 Ｙ服从二项分布 ２７ ２７ ５４ １０８ ２７ １０８
Ａ． Ｂ．
ＥＹ ＤＹ 由题意 我们可以求一下可能增加的学生数的数学期望
（２） ， ，
Ｃ．２≤ＥＸ≤３ Ｄ．４≤ＤＸ≤６
即ＥＹ １ １ １ １ １ ３１ 所以根据现
２． 答案 ＡＣ ＝１× ＋２× ＋３× ＋４× ＋５× ＝ ≈２，
２ ４ ８ １６ １６ １６
３．（２０２１ ５·３原创题）某单位为了迎接建党 周年 举办了红 在的收费标准 差不多刚刚能抵消收费软件的费用 不仅如此 还
１００ ， ， ， ，
色革命歌曲演唱活动 推荐甲 乙 丙 丁四名歌手参加 备选 能让原来的学生体验到更好的线上教育 同时也是一种口碑的积
， 、 、 、 ， ，
歌曲有 我的祖国 映山红 团结就是力量 十送红军 每 累 所以建议他选择收费软件． 理由合理即可
《 》《 》《 》《 》， ， （ ）
名歌手只选择一首歌曲演唱 记事件Ａ为 名歌手演唱的歌 ５．（２０２１ ５·３原创题） 年新年伊始 蔓延全国的新冠肺炎病
， “４ ２０２０ ，
毒动态无时无刻不在牵动着大家的心 而在党中央的英明领
曲互不相同 事件Ｂ为 甲演唱 我的祖国 则Ｐ Ａ Ｂ
”， “ 《 》”， （ ｜ ）＝ ，
导下 这场抗疫战斗取得了初步的胜利 为了让广大市民更
．
， ！
好地了解新型冠状病毒肺炎的防控知识 进一步增强市民的
３． 答案 １ ，
自身防护安全意识 某市进行了一次有关新冠肺炎知识问卷
４ ，
４．（２０２１ ５·３原创题）由于疫情 学校推迟开学 所有学习改为线 调查 一位市民只能参加一次 通过随机抽样 得到参加问卷
， ， （ ）， ，
上 所以各个网上授课软件借此开拓市场 包括一些办公软件也加 调查的 人的得分统计 结果如下表所示
， ， １００ ， ：
入这个行列 这其中有免费的 也有收费的．某教育机构的主管为 组别
， ， ［３０，４０） ［４０，５０） ［５０，６０） ［６０，７０） ［７０，８０） ［８０，９０） ［９０，１００）
了解决线上上课的问题 决定测试一下几款软件的性能．他一共下 频数
， ２ １５ ２０ ２５ ２４ １０ ４
载了 款软件 其中有 款收费的 款免费的 假设每款收费软
由频数分布表 计算这 人得分的平均值和方差 同一
５ ， ２ ，３ ，
（１） ， １００ （
组中的数据用该组区间的中点值作代表
件通过测试的概率为１ 每款免费软件通过测试的概率为１ ． ）；
，
２ ３ 由频数分布表可以大致认为 此次调查的得分Ｚ服从正态
设Ｘ表示这 款软件通过测试的款数 求Ｘ的分布列 （２） ，
（１） ５ ， ； 分布Ｎ μ σ２ μ近似为这 人得分的平均值 σ２ 近似
如果使用免费软件 可以保证原来的班级学生数和相应的 （ ， ）， １００ ，
（２） ， 为这 人得分的方差 利用该正态分布 求 Ｐ Ｚ
１００ ， ， （５１＜ ≤
收益 但是如果使用收费软件 还可能带来更多的学生和
， ，
９３）；
收益 假设收费软件的收费标准是每节课 元 设可能
在 的条件下 市领导为此次参加调查问卷的市民制定
， ３００ ，
（３） （２） ，
增加的学生人数为Ｙ Ｙ服从分布列
如下奖励方案
， ：
：
Ｙ 得分不低于μ的可以随机获赠两袋医用口罩 得分低于
１ ２ ３ ４ ５ ① ，
μ的可以随机获赠一袋医用口罩
；
Ｐ １ １ １ １ １ 获赠的每袋口罩所含数量和对应的概率为
２ ４ ８ １６ １６ ② ：
现在每个学生的课时费为 元 请你帮他分析一下选择 每袋口罩的数量 单位 个
１５０ ， （ ： ） １５ ３０
收费软件是否合适．
４． 解析 Ｘ的所有可能取值为 ． 概率 ２ １
（１） ０，１，２，３，４，５
３ ３
Ｐ Ｘ ０ １ １ ０ ２ ２ ２ ２
（ ＝０）＝Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＝ ； 现有市民甲参加此次问卷调查 记 ξ 单位 个 为该市民
２ ２ ３ ３ ３ ２７ ， （ ： ）
参加问卷调查获赠的口罩数量 求ξ的分布列与数学期望．
Ｐ Ｘ １ １ １ ０ ２ ２ ２ ０ １ １ １ ２ ２ ，
（ ＝１）＝Ｃ２×
２
×
２
×Ｃ３×
３
×
３
×
３
＋Ｃ２×
２
×
２
×Ｃ３×
３
×
３ 附 参考数据与公式 若Ｘ服从Ｎ μ σ２ 则Ｐ μ
： ： １９８≈１４， （ ， ）， （ －
１ ７ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ Ｘ μ σ ． Ｐ μ σ
× ＝ ； ＜ ≤ ＋ ）＝０６８２７， （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）＝０９５４５， （ －３
３ ２７ Ｘ μ σ ． ．
＜ ≤ ＋３ ）＝０９９７３
Ｐ Ｘ ２ １ １ ０ ２ ２ ２ １ １ １ １ ２ ２ ５． 解析 由题意得μ ． ． ． ．
（ ＝２）＝Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＋Ｃ２× × ×Ｃ３× × （１） ＝３５×００２＋４５×０１５＋５５×０２＋６５×０２５
２ ２ ３ ３ ３ ２ ２ ３ ３ ． ． ．
＋７５×０２４＋８５×０１＋９５×００４＝６５，
１ ０ １ １ ２ ２ １ １ １９ ｓ２ ２ ． ２ ． ２ ．
× ＋Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＝ ； ＝（３５－６５） ×０ ０２＋（４５－６５） ×０ １５＋（５５－６５） ×０ ２＋（６５－
３ ２ ２ ３ ３ ３ ５４ ２ ． ２ ． ２ ． ２ ．
６５） ×０２５＋（７５－６５） ×０ ２４＋（８５－６５） ×０ １＋（９５－６５） ×０ ０４
Ｐ Ｘ ２ １ １ １ ２ ２ １ １ １ １ ２ ２ １ ．
（ ＝３）＝Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＋Ｃ２× × ×Ｃ３× × ＝１９８
２ ２ ３ ３ ３ ２ ２ ３ ３ Ｐ μ σ Ｚ μ σ Ｐ Ｚ ．
（２） （ － ＜ ≤ ＋ ）＝ （５１＜ ≤７９）＝０６８２７，
１ ０ １ １ ３ １ １ １ ２５ Ｐ μ σ Ｚ μ σ Ｐ Ｚ ．
× ＋Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＝ ； （ －２ ＜ ≤ ＋２ ）＝ （３７＜ ≤９３）＝０９５４５，
３ ２ ２ ３ ３ ３ １０８ Ｐ Ｚ Ｐ Ｚ
Ｐ Ｚ （３７＜ ≤９３）－ （５１＜ ≤７９） ．
Ｐ Ｘ １ １ １ ３ １ １ １ ２ １ １ ２ ２ １ （７９＜ ≤９３）＝ ＝０１３５９，
（ ＝４）＝Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＋Ｃ２× × ×Ｃ３× × ２
２ ２ ３ ３ ３ ２ ２ ３ ３ Ｐ Ｚ Ｐ Ｚ Ｐ Ｚ ．
（５１＜ ≤９３）＝ （５１＜ ≤７９）＋ （７９＜ ≤９３）＝ ０ ６８２ ７＋
１ ２ ． ． ．
× ＝ ； ０１３５９＝０８１８６
３ ２７
易知Ｐ Ｚ μ Ｐ Ｚ μ １
Ｐ Ｘ ２ １ １ ３ １ １ １ １ ． （３） （ ＜ ）＝ （ ≥ ）＝ ，
（ ＝５）＝Ｃ２× × ×Ｃ３× × × ＝ ２
２ ２ ３ ３ ３ １０８ 获赠口罩数量ξ的可能取值为
故Ｘ的分布列为 １５，３０，４５，６０，
Ｘ Ｐ ξ １ ２ １
０ １ ２ ３ ４ ５ （ ＝１５）＝ × ＝ ，
２ ３ ３
第十二章 概率与统计 ６ ６９
Ｐ ξ １ ２ ２ １ １ ７ ξ
（ ＝３０）＝ × × ＋ × ＝ ， １５ ３０ ４５ ６０
２ ３ ３ ２ ３ １８
Ｐ １ ７ ２ １
Ｐ ξ １ １ ２ １ ２
（ ＝４５）＝Ｃ２× × × ＝ ， ３ １８ ９ １８
２ ３ ３ ９
Ｐ ξ １ １ １ １ Ｅξ １ ７ ２ １ ．
（ ＝６０）＝ × × ＝ ， ＝１５× ＋３０× ＋４５× ＋６０× ＝３０
２ ３ ３ １８ ３ １８ ９ １８
ξ的分布列为
