北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§3.7 函数与方程
专题检测
2
1.(2018豫西南部分示范性高中联考,7)函数f(x)=ln x- 的零点所在的区间为 ( )
x2
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
2
答案 B 易知f(x)=ln x- 的定义域为(0,+∞),且在定义域上单调递增.
x2
1
∵f(1)=-2<0, f(2)=ln 2- >0,
2
2
∴f(1)·f(2)<0,∴根据零点存在性定理知f(x)=ln x- 的零点所在的区间为(1,2).故选B.
x2
2.(2018内蒙古呼和浩特质量普查)函数f(x)=ln x-(1) x-2 的零点所在的区间是 ( )
2
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案 C ∵f(1)=-(1) -1 =-2<0,f(2)=ln 2-(1) 0 =-1+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0.∴f(2)f(3)<0.
2 2 2
∴函数的零点所在的区间是(2,3).选C.
3.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ( )
A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案 A ∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)·(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0,
由函数零点存在性定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点;
又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,
因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选A.
{a,a-b≤1,
4.(2017甘肃兰州高考实战模拟)已知a,b∈R,定义运算“”:ab= 函数f(x)=(x2-
b,a-b>1,
2)(x-1),x∈R,若方程f(x)-a=0只有两个不同实数根,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-2,-1]∪(1,2) B.(-2,-1]∪(1,2]
C.[-2,-1]∪[1,2] D.(-2,-1]∪(1,2)
答案 B 由x2-2-(x-1)≤1,解得x∈[-1,2],故f(x)={x2-2,x∈[-1,2],函数图象如图所示,可知f(x)=a有
x-1,x∉[-1,2],
两个不同实数根时,a的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].
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2
5.(2018辽宁朝阳一模)方程4sin πx= 在[-2,4]内根的个数为( )
1-x
A.6 B.7 C.5 D.8
1 1
答案 D 由原方程得2sin πx= ,在同一直角坐标系中作出函数y=2sin πx与y= 的图象,如图,由
1-x 1-x
图象可知,在区间[-2,4]内,两函数图象共有8个交点,故选D.
6.(2017北京朝阳一模,5)已知函数f(x)={-x2+4x,x≤2,
有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 (
log x-a,x>2
2
)
A.[-1,0) B.(1,2]
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案 C 当x≤2时,令f(x)=-x2+4x=0,得x=0或x=4(舍去),故x≤2时, f(x)有一个零点.
当x>2时, f(x)=logx-a是增函数,
2
由题意知x>2时, f(x)必有一个零点,
故a=logx(x>2),∴a>1.故选C.
2
7.(2018河北保定第一次模拟,12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=-2x+1,设函数
g(x)=(1) |x-1| (-1<x<3),则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为 ( )
2
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),所以f(x)的周期为2.又f(x)为偶函数,∴f(1-
x)=f(x-1)=f(x+1),故f(x)的图象关于直线x=1对称.函数g(x)=(1) |x-1| 的图象关于直线x=1对称,在同一平面
2
直角坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1,3)上的图象,如图,由图可知四个交点的横坐标关于x=1对称,其和为2×2=4,
选B.
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8.(2017辽宁锦州质检(二))若方程|ln x|=a有两个不等的实根x 和x,则x+x 的取值范围是 ( )
1 2 1 2
A.(1,+∞) B.(√2,+∞)
C.(2,+∞) D.(0,1)
{ lnx,x≥1,
答案 C 令f(x)=|ln x|=
-lnx,0<x<1,
∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
∵方程|ln x|=a有两个不等的实根x 和x,不妨设x<x,则0<x<1<x,
1 2 1 2 1 2
且-ln x=ln x=a,∴ln x+ln x=ln xx=0,∴xx=1,
1 2 1 2 1 2 1 2
1
∴x+x=x+ >2,故选C.
1 2 1 x
1
9.(2017甘肃高台一中四模)设函数f(x)={|x+2|,x≤0,
若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解
|log x|,x>0,
2
1
x,x,x,x,且x<x<x<x,则x(x+x)+ 的取值范围是 ( )
1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2
x2x
3 4
A.(-3,+∞) B.(-∞,3) C.[-3,3) D.(-3,3]
答案 D 由题意得x+x=-2×2=-4,-logx=logx⇒xx=1,
1 2 2 3 2 4 3 4
所以x(x+x)+ 1 =-4x+ 1 ,又易知1≤x<1,
3 1 2 3 3
x2x x 4
3 4 3
所以x(x+x)+ 1 =-4x+ 1 ∈(-3,3],故选D.
3 1 2 3
x2x x
3 4 3
10.(2018安徽黄山一模,12)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x2.
令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.( 1] C.( 1] D.[1 1]
0, 0, ,
2 4 4 3
答案 C ∵f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x2,∴当x∈[-1,0],即-x∈[0,1]时, f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即当x∈[-1,0]时,
f(x)=x2,则当x∈[-1,1]时, f(x)=x2.∵f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.由g(x)=0,得f(x)-kx-k=0,得f(x)=kx+k=k(x+1),作出
y=f(x)在[-1,3]上的函数图象如图所示:
1
设直线y=k(x+1)经过点(3,1),则k= .
1 1
4
1
∵直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,∴0<k≤ .故选C.
4
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11.(2017甘肃肃南一中模拟)已知函数f(x)={ 4x-4,x≤1, g(x)=ln x,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为
x2-4x+3,x>1,
.
答案 3
解析 由y=f(x)-g(x)=0,得f(x)=g(x),所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数f(x)与函数g(x)的图象的交点个数,
在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)与函数g(x)的图象(如图所示),结合图象可知,函数f(x)与函数g(x)的图
象有三个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)有三个零点.
12.(2017广东肇庆二模,16)若偶函数y=f(x),x∈R,满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[0,2]时, f(x)=2-x2,则方程f(x)=sin|x|
在[-10,10]内的根的个数为 .
答案 10
解析 ∵函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
∴函数y=f(x)是周期为4的函数,
由x∈[0,2]时, f(x)=2-x2及f(x)是偶函数可作出函数f(x)在[-10,10]上的图象,同时作出函数y=sin|x|在[-10,10]上
的图象,交点个数即为所求.
13.(2018浙江绍兴上虞二模(5月),17)设函数f(x)=| 1 |-4x+a+1有两个零点,则实数a的值是 .
-a
x-1
1 7
答案 - 或 或4
2 2
1 1 4 4
解析 令 =t,则x= +1,问题直接转化为函数g(t)=|t-a|- +a-3有两个零点,等价于y=|t-a|+a与y= +3有
x-1 t t t
两个交点.
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由于折线y=|t-a|+a的顶点在直线y=t上运动,
4 4
直线y=t与y= +3的交点坐标为A(4,4),D(-1,-1),由图可知,y=|t-a|+a与y= +3有两个交点.
t t
(1)由y=|t-a|+a折线顶点为A(4,4),得a=4;
4 1 7
(2)y=-t+2a与y= +3相切时,t2+(3-2a)t+4=0,令Δ=0,知a=- 或a= .
t 2 2
1 7
综上,实数a的值为- 或 或4.
2 2
14.(2018重庆酉阳一中期末)定义域为R的偶函数f(x)满足∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,
f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-log(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,则a的取值范围是 .
a
答案 (√5 )∪(1,+∞)
,1
5
解析 ∵f(x+2)=f(x)-f(1),∴f(-1+2)=f(-1)-f(1),又f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-1)=f(1),∴f(1)=0,则有
f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为2的偶函数.当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18=-2(x-3)2,函数的图象为开口向下、顶点为
(3,0)的抛物线.∵函数y=f(x)-log(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,令g(x)=log(|x|+1),∴f(x)的图象和g(x)的图象
a a
在(0,+∞)上至多有3个交点.可以分两种情况:其一是有交点,其二是一个交点也没有,当一个交点都没有时,
a>1.当有交点时,∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得0<a<1,要使函数y=f(x)-log(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点,
a
则有g(4)<f(4),可得log(4+1)<f(4)=-2,
a
即log5<-2,∴5> 1 ,解得a>√5或a<-√5,又0<a<1,∴√5<a<1,故答案为(√5 )∪(1,+∞).
a ,1
a2 5 5 5 5
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