北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题检测练
一、单项选择题
1.(2024届湖南长沙长郡中学校考,5)已知等差数列{a }的前n项和为S ;等比数列{b }的前
n n n
n项和为T ,且a =b =1,b =2a =8,则S +T =( )
n 1 1 4 4 5 5
A.22 B.34 C.46 D.50
答案 C
2.(2024届湖南常德一中校考,4)设等差数列{a }的前n项和为S ,满足2a -a =7,a +S =12,则
n n 3 5 2 7
S 的最大值为 ( )
n
A.14 B.16 C.18 D.20
答案 B
3.(2024届湖南湘东九校联考,3)设S 为等差数列{a }的前n项和,若甲:a <0,乙:{S }是递减数
n n n n
列,则 ( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
答案 A
S 1 a
4.(2024届湖南岳阳开学考,4)设等比数列{a }的前n项和为S , 2 = ,则 2 = (
n n S +S 4 a +a
2 4 2 4
)
1 1 1
A. B. C. D.3
3 4 2
答案 A
5.(2024届湖南师大附中第4次月考,4)已知数列{a }为等比数列,S 为{a }的前n项和,且
n n n
S =1,S =3,则a +a +a = ( )
3 6 10 11 12
A.8 B.5 C.6 D.7
答案 A
6.(2024届浙江杭州教学质量检测,6)设等比数列{a }的公比为q,前n项和为S ,则“q=2”是
n n
“{S +a }为等比数列”的 ( )
n 1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1
{ 2a ,0≤a < ,
n n 2 2
7.(2024届湖南长沙长郡中学阶段练,5)数列{a }满足a = 若a1= ,
n n+1 1 5
2a −1, ≤a <1,
n 2 n
则a 等于 ( )
2 023
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 C
8.(2024届江苏苏州开学考,7)螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠
卷”,平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线,如图(1)所示.如图(2)
所示的阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案,它的画法是这样的:正方形ABCD的边
长为4,取正方形ABCD各边的四等分点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形
EFGH各边的四等分点M,N,P,Q,作第3个正方形MNPQ,依此方法一直继续下去,就可以
得到阴影部分的图案.设正方形ABCD的边长为a ,后续各正方形边长依次为
1
a ,a ,…,a ,…;如图(2)阴影部分,设直角三角形AEH的面积为b ,后续各直角三角形面积依
2 3 n 1
次为b ,b ,…,b ,….下列说法错误的是 ( )
2 3 n
129
A.从正方形ABCD开始,连续3个正方形的面积之和为
4
n−1
(√10)
B.a =4×
n
4
1
C.使得不等式b > 成立的n的最大值为4
n 2
D.数列{b }的前n项和S <4
n n
答案 C
二、多项选择题
9.(2023广东深圳耀华实验学校阶段练,10)设等差数列{a }的前n项和为S ,a >0,公差为
n n 1
d,a +a >0,a <0,则下列结论正确的是 ( )
8 9 9北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.d<0
B.当n=8时,S 取得最大值
n
C.a +a +a <0
4 5 18
D.使得S >0成立的最大自然数n是15
n
答案 ABC
2
10.(2024届江苏省沭阳高级中学模拟,9)设S 是数列{a }的前n项和,且a >0,a =
n n 1 2 21
,3a =2S S ,则 ( )
n+1 n n+1
1
A.a =
1 3
{1 } 2
B.数列 是公差为 的等差数列
S 3
n
{1 }
C.数列 的前5项和最大
S
n
6
D.a =
n (2n−11)(2n−13)
答案 AC
三、填空题
11.(2023河北邢台二中校考,13)已知数列{a },{b }都是等差数列,且a -3b =4,a -3b =9,则
n n 1 1 6 6
a -3b = .
2 022 2 022
答案 2 025
12.(2024届湖南常德一中校考,15)在等比数列{a }中,若a +a =60,a +a =30,则当a a ·…·a
n 1 3 2 4 1 2 n
取得最大值时,n= .
答案 6
13.(2024届湖南长沙长郡中学校考,15)已知等差数列{a }和正项等比数列{b }满足
n n
a =b =2,a =b =2a ,则数列{(a2-2)b }的前n项和为 .
1 1 7 3 3 n n
答案 n2·2n+1
14.(2024届江西调研,15)已知数列的各项如下:
21,12,
31,22,13,
41,32,23,14,
51,42,33,24,15,
61,52,43,34,25,16,
…
则98是此数列的第 项.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 127
四、解答题
15.(2024届广东深圳二中校考,17)已知等差数列{a }的前n项和为S ,且满足a =8,S =2a .
n n 3 5 7
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若数列{b }满足b =(-1)na +2n+1,求数列{b }的前2n项和T .
n n n n 2n
解析 (1)设{a }的公差为d,
n
{ 5×4
5a + d=2(a +6d), {a =2,
依题意得 1 2 1 解得 1
d=3,
a +2d=8,
1
所以a =a +(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1(n∈N*).
n 1
(2)(分组求和法)因为b =(-1)na +2n+1(n∈N*),
n n
22×(1−22n
)
所以T =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+(22+23+…+22n+1)=3×n+ =3n+22n+2-
2n 2 1 4 3 2n 2n-1
1−2
4=3n+4n+1-4.
16.(2024届广东珠海二中阶段练,18)已知数列{a }满足a =1,a +a =λ·2n(n∈N*,λ是常数).
n 1 n n+1
(1)若λ=0,证明:{a }是等比数列;
n
(2)若λ≠0,且{a }是等比数列,求λ的值以及数列{(-1)nlog a }的前n项和S .
n 2 3n-1 n
解析 (1)证明:a +a =λ·2n(n∈N*),
n n+1
当λ=0时,a +a =0,a =-a ,
n n+1 n+1 n
所以数列{a }是首项为a =1,公比为-1的等比数列.
n 1
(2)(分类讨论法)因为a =1,a +a =λ·2n(n∈N*),λ≠0,且{a }是等比数列,
1 n n+1 n
所以a +a =1+a =λ·2,a =2λ-1,
1 2 2 2
a +a =2λ-1+a =λ·22,a =2λ+1,
2 3 3 3
3
所以(2λ-1)2=1×(2λ+1),而λ≠0,故解得λ= ,
2
则a =2,a =4,所以等比数列{a }的公比q=2,
2 3 n
则a =2n-1,a =23n-2,所以(-1)nlog a =(-1)nlog 23n-2=(-1)n(3n-2).
n 3n-1 2 3n-1 2
当n为偶数时,
n 3 6n
S =(-1)+4+(-7)+10+(-13)+16+…+[-(3n-5)]+(3n-2)=3× = n= ,
n 2 2 4
当n为奇数时,
3 −3n+1 −6n+2
S =S -(3n+1)= (n+1)-(3n+1)= = .
n n+1 2 2 4北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(6n−1)×(−1) n+1
综上所述,S = .
n
4
17.(2024届河北唐山期末,20)已知数列{a }中,a =4,a >0,前n项和为S ,若a =√S +√S
n 1 n n n n n−1
(n∈N*,n≥2).
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ 1 } 1 3
(2)若数列 的前n项和为T ,求证: ≤Tn< .
a a n 20 20
n n+1
解析 (1)若a =√S +√S (n∈N*,n≥2),a >0,
n n n−1 n
则由a =S -S =(√S −√S )(√S +√S ),
n n n-1 n n−1 n n−1
可得√S −√S =1,
n n−1
则数列{√S }是首项为2,公差为1的等差数列,
n
所以√S =2+n-1=n+1,即S =(n+1)2,
n n
当n≥2时,a =√S +√S =n+1+n=2n+1,
n n n−1
{ 4,n=1,
当n=1时,a =4不符合上式,则a =
1 n 2n+1,n≥2.
1 1 1( 1 1 )
(2)证明:当n≥2时, = = − ,
a a (2n+1)(2n+3) 2 2n+1 2n+3
n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1
+ × − + − +…+
则T n = 4×5 2 5 7 7 9 2n+1-2n+3
1 1 (1 1 ) 3 1
= + × − = - ,
20 2 5 2n+3 20 4n+6
3 1 3 1 1 3 1 3 1 3
由y= - 在n∈N*上递增,得最小值为 - = ,且 - < ,则 ≤T < .
20 4n+6 20 10 20 20 4n+6 20 20 n 20
