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１ ４０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
微专题二 衍生数列问题
学生用书P253
类型一：数列中的去项、插项问题 数列｛ｂ ｎ ｝的通项公式为ｂ ｎ＝４×２ ｎ －２ ＝２ ｎ．
解决插项 去项问题的关键是要弄清楚插入或去掉的项 （ ）由（ ）可知，当ｎ 时，ａ ．
、 ２ １ ＝１００ １００＝３０１
数 同时还要分析这些项的特征 以及这些项与原数列各项之 因为ｂ ｎ，所以ｂ ，ｂ ，ｂ ，ｂ ，ｂ ，ｂ ，ｂ
， ， ｎ＝２ １＝２ ２＝４ ３＝８ ４＝１６ ５＝３２ ６＝６４ ７＝
间的关系 然后利用分组或并项法求和． ，ｂ ，ｂ ，
， １２８ ８＝２５６ ９＝５１２＞３０１
例1 （ 广东广州华南师大附中一模， ）在数列 ａ 中的
２０２４ ５ ｛ ｎ｝ 令 ｎ ，解得ｎ １ ，令 ｎ ，解得ｎ ，令 ｎ ，解
２＝３ ＋１ ＝ ４＝３ ＋１ ＝１ ８＝３ ＋１
相邻两项ａ
ｎ
与ａ
ｎ ＋１（
ｎ
∈
Ｎ
）
之间分别插入一个首项为ａ
ｎ－ ｎ
１
，
得ｎ ７ ，令 ｎ
３
，解得ｎ ，令 ｎ ，解得ｎ ３１，令
＝ １６＝３ ＋１ ＝５ ３２＝３ ＋１ ＝
公差为 １ 的等差数列的前ｎ项 记构成的新数列为 ｂ 若ａ ３ ３
－ ｎ ， ｛ ｎ｝， ｎ
ｎ ，解得ｎ ，令 ｎ ，解得ｎ １２７，令 ｎ
６４＝３ ＋１ ＝２１ １２８＝３ ＋１ ＝ ２５６＝３ ＋
２ 则 ｂ 的前 项的和为 Ａ ３
＝ｎ ， ｛ ｎ｝ ６５ （ ） ，解得ｎ ，
＋１ １ ＝８５
所以数列｛ａ ｝的前 项中与数列｛ｂ ｝中相同的项共有 项，
２５ ２７ ｎ １００ ｎ ４
Ａ．－ Ｂ．－１３ Ｃ．－ Ｄ．－１４ 即 ， ， ， ，即为｛ｂ ｝的前 项中的偶数项．将｛ａ ｝，｛ｂ ｝
２ ２ ４ １６ ６４ ２５６ ｎ ８ ｎ ｎ
中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排
解析 依题意知数列｛ｂ ｝为ａ ，ａ ，ａ ，ａ １ ，ａ ，ａ ，ａ
ｎ １ １－１ ２ ２－ ２－１ ３ ３ 列构成数列｛ｃ ｝，则｛ｃ ｝的前 项为数列｛ａ ｝的前 项中
２ ｎ ｎ １００ ｎ １００
ｎ 剔除与数列｛ｂ ｝相同的 项后剩余的 项与｛ｂ ｝的前 项中
－
３
１
，ａ
，ａ ３
，
－
… ３
２
，
，
设
ａ ３－
ａ
１ ，
及
…
其
，ａ
后
ｎ ，
面
ａ ｎ
插
－
入
ｎ １ ，
ｎ
ａ
项
ｎ－
的
ｎ ２
和
，ａ
为
ｎ－
Ｓ
ｎ ３
，
，
则
…
Ｓ
，ａ ｎ
（
－
ｎ
－ ｎ １
）
，ａ
ａ
ｎ 剔除与数列｛ａ ｎ
ｎ
｝相同的 ４
４
项后剩余的
４
９６ 项， ｎ ８
－ － ｎ １ （ｎ ｎ ＋ ＋１ １ ） × ｎ １ ＝２ ｎ － ｎ ＋１ ＝ １ （ ３－ ｎ）， ｎ ｎ＝ ＋１ ｎ 所以｛ｃ ｎ ｝的前 １００ 项和为 （ ４＋３０１ ２ ） ×１００ ＋ ２ １ － － ２ ２ ９ －２× （ ４＋１６＋６４＋
２ ２ ２ ） ．
２５６ ＝１５０８０
所以数列｛Ｓ ｝是以 为首项， １ 为公差的等差数列．所以｛ｂ ｝ 类型二：数列中的公共项问题
ｎ １ － ｎ
２ 数列公共项问题是指在给定数列中 找出满足特定条件的
的前 项（｛ａ ｝中的前 项与插入的 项）的和为Ｓ Ｓ … ，
６５ ｎ １０ ５５ １＋ ２＋ 公共项或多项．解决数列公共项问题的关键是观察数列的规律．
( )
７ 在找到数列规律后 可以利用相应的数学公式进行计算．
１０× １－ ，
＋ Ｓ １０＝ ２ ＝－ ２５，故选 Ａ． 例3 （ ２０２４ 广东珠海一中期末， １４ ）将数列 ｛２ ｎ －１｝ 与数列 ｛ ｎ２
２ ２
例2 记等差数列 ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ 公差为 ｄ 等比数列 １０
｛ ｎ｝ ｎ， ， －１｝ 的公共项从小到大排列得到新数列 ｛ ａ ｎ｝， 则 ∑ｋ＝ １ ａ １ ｋ ＝ １ ２ ０ １ ．
｛ ｂ ｎ｝ 的公比为ｑ （ ｑ ＞０）， 已知ａ １＝ ｂ ２＝４， ｑ ＝ ２ ｄ ， Ｓ ９＝９ ｂ ４ ． 解析 显然 ２ ｎ －１ 是奇数，故两个数列的公共项必为奇数，对
３
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝，｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式 ； 于数列｛ｎ２ －１ ｝，当ｎ为奇数时，设ｎ ＝２ ｋ －１ （ｋ ∈ Ｎ ），则ｎ２ －１＝
（２） 将 ｛ ａ ｎ｝，｛ ｂ ｎ｝ 中相同的项剔除后 ， 两个数列中余下的项按从 （ ２ ｋ －１ ）２ －１＝４ ｋ·（ｋ －１ ）为偶数；当ｎ为偶数时，设ｎ ＝２ ｋ（ｋ ∈
小到大的顺序排列 ， 构成数列 ｛ ｃ ｎ｝， 求 ｛ ｃ ｎ｝ 的前 １００ 项和． Ｎ ），则ｎ２ －１＝４ ｋ２ －１ 为奇数．故 ａ ｎ＝４ ｎ２ －１ ， ａ １
ｎ
＝
４
ｎ２ １
－１
＝
２
１
解析 （
１
）由Ｓ
９＝９
ｂ
４
，得
９
ａ
１＋
９×８ｄ
＝９×
ｂ
２
ｑ２，因为ａ
１＝
ｂ
２＝４
，
( ) æ
２ １ １ ， １ １ … １ １ ç １ １ １ １ …
ｎ － ｎ ∴ ａ ＋ａ ＋ ＋ａ ＝ è － ＋ － ＋ ＋
所以 ｄ ｑ２．结合ｑ ２ ｄ，可得 ３ ｑ ｑ２，（ ｑ ）（ｑ ） ， ２ －１ ２ ＋１ １ ２ ｎ ２ １ ３ ３ ５
１＋ ＝ ＝ ３ １＋ ２ ＝ ２ ＋１ －２ ＝０ ö ( ) ｎ
由ｑ
＞０
，解得ｑ
＝２
，则ｄ
＝３
，所以数列｛ａ
ｎ
｝的通项公式为ａ
ｎ＝４＋ ２ ｎ
１
－１ － ２ ｎ
１
＋１ ø
÷
＝ ２
１
１－ ２ ｎ
１
＋１ ＝ ２ ｎ ＋１
，
∴ ａ
１
１ ＋ａ
１
２ ＋
…
＋ａ
１
１０ ＝ ２
１
１
０．
（ｎ ） ｎ ，
３ －１ ＝３ ＋１
学生用书P86
１．（多选）（ 黑龙江哈尔滨六中二模， ）已知等差数列 ａ 差为ｄ 的等差数列 在数列 ｄ 中是否存在不同三项ｄ ｄ
２０２４ １０ ｛ ｎ｝ ｎ ， ｛ ｎ｝ ｍ， ｋ，
的首项ａ 公差ｄ 在 ａ 中每相邻两项之间都插入ｋ ｄ 其中ｍ ｋ ｐ成等差数列 成等比数列 若存在 求出这样
１＝１， ＝６， ｛ ｎ｝ ｐ（ ， ， ） ？ ，
个数 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ｂ 的三项 若不存在 请说明理由．
， ｛ ｎ｝， ； ，
下列说法正确的有 ＡＢＤ 解析 当ｎ 时 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ
（ ） （１） ≥２ ， ｎ ＋１＝３ ｎ＋１， ｎ＝３ ｎ －１＋１，
ａ ｎ 两式相减得ａ ａ ｎ
Ａ． ｎ＝６ －５ ｎ ＋１＝３ ｎ（ ≥２），
当ｋ 时 ｂ ｎ 又因为 ａ 是等比数列 所以公比为
Ｂ． ＝２ ， ｎ＝２ －１ ｛ ｎ｝ ， ３，
当ｋ 时 ｂ 不是数列 ａ 中的项 由Ｓ Ｓ 知 ａ ａ ａ 即ａ ａ ．
Ｃ． ＝２ ， １９ ｛ ｎ｝ ｎ ＋１＝３ ｎ＋１ ， １＋ ２＝３ １＋１， ２＝２ １＋１
Ｄ．
若ｂ
８
是数列
｛
ａ
ｎ｝
中的项
，
则ｋ的值可能为
６
因为ａ
２＝２
ａ
１＋１＝３
ａ
１，
所以ａ
１＝１，
所以ａ
ｎ＝３
ｎ －１．
２．（ ２０２４ 东北三省三校第二次联考， １７ ）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 （２） 由 （１） 可知ａ ｎ＝３ ｎ －１ ， ａ ｎ ＋１＝３ ｎ ，
ｎ项和为Ｓ
ｎ，
且Ｓ
ｎ ＋１＝３
Ｓ
ｎ＋１，
其中ｎ
∈
Ｎ ．
因为ａ ａ ｎ ｄ 所以ｄ ２×３
ｎ
－１
（１）
求数列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式
；
ｎ ＋１＝ ｎ＋（ ＋２－１） ｎ， ｎ＝ ｎ
＋１
，
在ａ 与ａ 之间插入ｎ个数 使这ｎ 个数组成一个公 假设在数列 ｄ 中存在三项ｄ ｄ ｄ 其中ｍ ｋ ｐ成等差数
（２） ｎ ｎ ＋１ ， ＋２ ｛ ｎ｝ ｍ， ｋ， ｐ（ ， ，
专题六 数列 １ ４１
列 成等比数列 ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
） ， ｃ ２ （ ＋１） ２
则ｄ２ｋ＝ ｄ
ｍ·
ｄ
ｐ，
即 ( ２·
ｋ ＋
３
１
ｋ －１ ) ２
＝
２·
ｍ ＋
３
１
ｍ －１
·
２·
ｐ ＋
３
１
ｐ －１
，
∴ ∑ｋ＝ １ ｎｋ＝ ３ ｎ －１ － ３ ｎ （ ｎ ＋１） · ２ ＝ ３
æ
ｎ，
ｎ ö
所以４·３ ２ ｋ －２ ４·３ ｍ ＋ ｐ －２ Ｔ ｎ＝ ｃ １１＋ ｃ ２１＋ ｃ ２２＋…＋ ｃ ｎ １＋ ｃ ｎ ２＋…＋ ｃ ｎｎ＝２è ç １ ３ ＋ ３ ２ ２ ＋…＋ ３ ｎ ø ÷ ⑤ ．
（ ｋ ＋１） ２ ＝ （ ｍ ＋１）（ ｐ ＋１） （∗）， æ ｎ ö
因为ｍ ， ｋ ， ｐ成等差数列 ， 所以ｍ ＋ ｐ ＝２ ｋ ， 则 １ Ｔ ｎ＝２è ç １ ２ ＋ ２ ３ ＋…＋ ｎ ＋１ ø ÷ ⑥， （９ 分 ）
３ ３ ３ ３
代入 （∗） 式整理得 （ ｋ ＋１） ２ ＝（ ｍ ＋１）（ ｐ ＋１）， æ ｎ ö
ｋ２ ＋２ ｋ ＋１＝ ｍｐ ＋ ｍ ＋ ｐ ＋１， ｋ２ ＝ ｍｐ ，
(ｍ
＋
ｐ)
２ ＝ ｍｐ ，（ ｍ － ｐ ） ２ ＝０， ⑤－⑥
得 ２
３
Ｔ
ｎ＝２è
ç １
３ ＋ ３
１
２ ＋…＋ ３
１
ｎ－ ３ ｎ ＋１ ø
÷
２ æ ö
所以ｍ ｋ ｐ 与题设矛盾． １ １ １
＝ ＝ ， ç － ｎ× ｎ ÷ ｎ
所以在数列 ｄ 中不存在三项ｄ ｄ ｄ 成等比数列． ç ３ ３ ３ ÷ ２ ＋３
｛ ｎ｝ ｍ， ｋ， ｐ ＝２ç － ｎ ＋１÷＝１－ ｎ ＋１ ，
３．（ ２０２４ 湖南九校联盟第二次联考， １８ ）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项 è １－ １ ３ ø ３
３
和为Ｓ 满足 Ｓ ａ 数列 ｂ 满足ｂ ｂ ｎ 其中
ｎ， ２ ｎ＋ ｎ＝３； ｛ ｎ｝ ｎ＋ ｎ ＋１＝２ ＋１，
Ｔ ３ ２
ｎ
＋３． 分
ｂ ． ∴ ｎ＝ － ｎ （１１ ）
１＝１ ２ ２×３
（１） 求
对
数
于
列
给
｛
定
ａ
的
ｎ｝
正
，｛
整
ｂ ｎ
数
｝ 的
ｉ
通
ｉ
项公式．
ｎ 在ａ 和ａ 之间插入 （ｉｉ）
由
（１）
知ａ
ｎ＝
( １ )ｎ －１
，
ｂ
ｎ＝
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
）
．Ｔ
ｎ＝
３
－
２ ｎ ＋３
ｎ，
（２） （ ＝１，２，…， ）， ｉ ｉ ＋１ ３ ２ ２×３
ｉ个数ｃ ｃ ｃ 使ａ ｃ ｃ ｃ ａ 成等差数列．
ｉ １， ｉ ２，…， ｉｉ， ｉ， ｉ １， ｉ ２，…， ｉｉ， ｉ ＋１ ｂ １
（ｉ） 求Ｔ ｎ＝ ｃ １１＋ ｃ ２１＋ ｃ ２２＋…＋ ｃ ｎ １＋ ｃ ｎ ２＋…＋ ｃ ｎｎ； ｍ－１＋ａ ｍ ＋２ ｍ －１＋３ ｍ ＋１
ｍ ＝ ｍ ｍ ，
ｂ １ ｂ ２ ＋３ －１＋３
ｍ－１＋ａ ｍ－１－ Ｔ
是否存在正整数ｍ 使得 ｍ ＋２ 恰好是数列 ａ 或 ２ ｍ－３
（ｉｉ） ， ｂ ２ ｍ ＋３ ｛ ｎ｝ 假设 ｍ －１＋３ ｍ ＋１ 是数列 ａ 或 ｂ 中的一项
ｍ－１－ ２ Ｔ ｍ－３ ｍ －１＋３ ｍ ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ，
｛
在
ｂ ｎ｝
说
中
明
的
理
项
由
？
．
若存在 ， 求出所有满足条件的 ｍ的值 ； 若不存 不妨设 ｍ
ｍ
－１＋３ ｍ
ｍ
＋１
＝
ｋ
（
ｋ
＞０，
ｍ
∈
Ｎ
），
， －１＋３
解析 由 Ｓ ａ 得ｎ 时 Ｓ ａ ｋ ｍ ｋ ｍ 分
（１） ２ ｎ＋ ｎ＝３①， ≥２ ，２ ｎ －１＋ ｎ －１＝３②， ∴ （ －１）（ －１）＝（３－ ）·３ ， （１３ ）
得 ａ ａ ａ ａ １ ａ ｎ ． 分 ∵
ｍ
－１≥０，３
ｍ
＞０（
ｍ
∈
Ｎ
），
①－② ２ ｎ＋ ｎ－ ｎ －１＝０，∴ ｎ＝
３
ｎ －１（ ≥２） （１ ）
ｋ 而ａ
(
１
)ｎ
－１
当ｎ 时 ａ ａ ａ 分 ∴１＜ ≤３， ｎ＝ ≤１，
＝１ ，２ １＋ １＝３，∴ １＝１， （２ ） ３
ａ 是首项为 公比为 １ 的等比数列
ｍ
－１＋３
ｍ ＋１
不可能是数列 ａ 中的项． 分
∴ ｛ ｎ｝ １， ， ∴ ｍ ｍ ｛ ｎ｝ （１４ ）
３ －１＋３
故ａ ｎ＝ ( １ )ｎ －１ （ ｎ ∈ Ｎ ）， （３ 分 ） 假设 ｍ ｍ －１＋３ ｍ ｍ ＋１ 是 ｛ ｂ ｎ｝ 中的项 ， 则ｋ ∈ Ｎ ．
３ －１＋３
由ｂ ｎ＋ ｂ ｎ ＋１＝２ ｎ ＋１③， ｂ １＝１ 得ｂ ２＝２， 又ｂ ｎ ＋１＋ ｂ ｎ ＋２＝２ ｎ ＋３④， 当ｋ 时 有ｍ ｍ 即 ｍ －１ 令ｆ ｍ ｍ －１ ｆ ｍ
得ｂ ｂ 分 ＝２ ， －１＝３ ， ｍ ＝１， （ ）＝ ｍ ， （ ＋１）－
④－③ ｎ ＋２－ ｎ＝２， （４ ） ３ ３
∴ ｛ ｂ ｎ｝ 的所有奇数项构成首项为 １， 公差为 ２ 的等差数列 ； 所 ｆ ｍ ｍ ｍ －１ －２ ｍ ＋３ 当ｍ 时 ｆ ｆ 当ｍ
有偶数项构成首项为 公差为 的等差数列 （ ）＝ ｍ ＋１ － ｍ ＝ ｍ ＋１ ， ＝１ ， （１）＜ （２）， ≥２
２， ２ ， ３ ３ ３
则ｂ ｎ ｎ ｂ ｎ ｎ 时 ｆ ｍ ｆ ｍ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
２ ｎ －１＝１＋（ －１）×２＝２ －１， ２ ｎ＝２＋（ －１）×２＝２ ， ， （ ＋１）－（ ）＜０， （１）＜（２）， （２）＞（３）＞（４）＞…，
∴
ｂ
ｎ＝
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
）
．
由ｆ ｆ １ 知
ｍ
－１ 无解． 分
( )ｎ （１）＝０， （２）＝ ｍ ＝１ （１６ ）
综上
，
ａ
ｎ＝
１ －１
，
ｂ
ｎ＝
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ
）
．
（６
分
）
９ ３
ｍ ｍ ＋１
３ 当ｋ 时 有ｍ 即ｍ 故存在ｍ 使得 －１＋３
在ａ 和ａ 之间插入ｎ个数ｃ ｃ ｃ 使ａ ｃ ＝３ ， －１＝０， ＝１， ＝１ ｍ ｍ ＝
（２）（ｉ） ｎ ｎ ＋１ ｎ １， ｎ ２，…， ｎｎ， ｎ， ｎ １， －１＋３
ｃ ｃ ａ 成等差数列 是数列 ｂ 中的第 项
ｎ ２，…， ｎｎ， ｎ ＋１ ， ３ ｛ ｎ｝ ３ ，
( )ｎ ( )ｎ
１ １
－１
ｂ １
ａ ａ － ｍ－１＋ａ
设公差为ｄ 则ｄ ｎ ＋１－ ｎ ３ ３ ２ 故存在正整数ｍ 使得 ｍ ＋２ 是数列 ｂ 中的第 项．
ｎ， ｎ＝ ｎ ＝ ｎ ＝－ ｎ ｎ ， ＝１ ｍ ｛ ｎ｝ ３
（ ＋２）－１ ＋１ ３ （ ＋１） ｂ ２ ＋３
（７ 分 ） ｍ－１－ ２ Ｔ ｍ－３
则ｃ ａ ｋｄ
(
１
)ｎ －１
２
ｋ
ｋ ｎ （１７
分
）
ｎｋ＝ ｎ＋ ｎ＝ － ｎ ｎ ， ＝１，２，…， ，
３ ３ （ ＋１）
