北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§10.2 双曲线
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京朝阳质量检测一,5)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,则双曲线C的渐近
a2 b2
线方程为( )
√3
A.y=±√3x B.y=± x
3
1
C.y=± x D.y=±2x
2
答案 A 本题考查双曲线的离心率与渐近线,通过双曲线的几何性质考查学生分析问题与解决
问题的能力,渗透数学运算的核心素养,试题体现综合性.
c b
离心率e= =2,设a=k,则c=2k,b=√3k,故渐近线方程为y=± x=±√3x,故选A.
a a
一题多解 由离心率e=c=√ b2 =2,得 b= ,从而有渐近线方程y=±bx=± x,故选A.
1+ √3 √3
a a2 a a
2.(2021北京西城二模,6)若直线y=2x与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线C的离心
a2 b2
率可能是( )
√3
A. B.1 C.2 D.2√3
2
{x2 y2
答案 C 由
a2
-
b2
=1 得(b2-4a2)x2=a2b2,从而有b2-4a2≤0,即 b ≤2,所以e=√
1+
(b) 2 ≤
√1+22
=
a a
y=2x,
√5,因为双曲线的离心率e>1,所以1<e≤√5.因此双曲线的离心率可能是2,故选C.
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3.(2021天津南开中学第四次月考,7)已知a>b>0,椭圆C
的方程为x2 +y2
=1,双曲线C 的方程为
1 2
a2 b2
x2 -y2 =1,C 与C 的离心率之积为2√2,则C 的渐近线方程为 ( )
1 2 2
a2 b2 3
A.x±3y=0 B.3x±y=0
C.x±√3y=0 D.√3x±y=0
答案 C 椭圆C 的离心率e=√a2-b2,
1 1
a
双曲线C 的离心率e=√a2+b2,
2 2
a
由e
1
e
2
=√a2-b2 ·√a2+b2 =√
1-
(b) 2 ×√
1+
(b) 2 =2√2,解得(b) 2 =1 ,所以 b=√3,所以双曲线
a a a a 3 a 3 a 3
√3
C 的渐近线方程为y=± x,即x±√3y=0,故选C.
2
3
4.(2021天津河东二模,8)设双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为3,且直线x=-a2(c是双曲线的半
a2 b2 c
焦距)与抛物线y2=4x的准线重合,则此双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
12 24 48 96
x2 y2 x2 2y2
C. - =1 D. - =1
3 6 3 3
c
{ =√3,
答案 C 由题意得 a 解得{a=√3, ∴b= = ,
√9-3 √6
a2 c=3,
=1,
c
x2 y2
∴双曲线的方程为 - =1.
3 6
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5.(2021浙江稽阳联谊4月模考,9)过双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)上的任意一点P,作双曲线渐近线的
a2 b2
1
平行线,分别交渐近线于点M,N,如图,若⃗OM·⃗ON≥ b2,则双曲线离心率的取值范围是 ( )
4
A.[√6 ) B.( √6]
,+∞ 1,
2 2
C.[√30 ) D.( √30]
,+∞ 1,
5 5
b
答案 B 解法一:设点P(x,y),则过点P且与双曲线的渐近线平行的直线方程为y-y=± (x-x),由
0 0 0 0
a
b
{ y= x,
a 得M(bx +a y bx +a y ),
0 0, 0 0
b 2b 2a
y- y =- (x-x )
0 a 0
b
{ y=- x,
由 a 得N(bx -a y bx -a y ),
0 0,- 0 0
b 2b 2a
y- y = (x-x )
0 a 0
b2x2-a2y2 b2x2-a2y2
则 ⃗OM · ⃗ON = 0 0 - 0 0 .
4b2 4a2
∵
x2
0
-y2
0 =1,即b2 x2 -a2 y2 =a2b2,
a2 b2 0 0
a2-b2
∴⃗OM·⃗ON= .
4
由题意得a2-b2 ≥b2 ,即a2≥2b2=2(c2-a2),∴e∈( √6].
1,
4 4 2
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解法二:设M( b ),N( b ),
m, m n,- n
a a
所以P( b ).
m+n, (m-n)
a
因为点P在双曲线上,所以(m+n)2 -(m-n)2
=1,
a2 a2
即4mn=a2,
所以 · =mn-b2 mn=a2-b2 mn=a2-b2 ×a2=a2-b2 ≥b2 ,即a2≥2b2=2(c2-a2),
⃗OM ⃗ON
a2 a2 a2 4 4 4
所以c2 ≤3,又e>1,所以e∈( √6],故选B.
1,
a2 2 2
6.(2021浙江嘉兴二模,7)如图,已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,以OF
1 2 2
a2 b2
为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为P,线段PF 与另一条渐近线交于点Q,且
1
△OPF 的面积是△OPQ面积的2倍,则该双曲线的离心率为( )
2
3 3√2
A. B.
2 2
C.√2 D.√3
答案 C 解法一:因为 = =2S ,所以Q为PF 的中点,又O为FF 的中点,所以
S S △OPQ 1 1 2
△OPF △OPF
2 1
OQ∥PF.
2
又知∠OPF=90°,所以∠POQ=90°.
2
b b
结合两渐近线关于y轴对称可知,直线y= x的倾斜角为45°,所以 =1,所以e=√2,故选C.
a a
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解法二:由题可知,点P的坐标为(a2 ab).
,
c c
a2
易知点Q为PF 的中点,所以Q ( -c ) ,即Q(-b2 ab).
1 c ab ,
, 2c 2c
2 2c
b ab b -b2
而点Q在渐近线y=- x上,所以 =- × ,所以a=b,从而e=√2.
a 2c a 2c
7.(2021江西南昌NCS20210607项目第一次联考,9)许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予
建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成
立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底直
径AB=20√10米,上底直径CD=20√2米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处
的直径等于CD,则最细部分处的直径为 ( )
A.10米 B.20米
C.10√3米 D.10√5米
答案 B 取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,
如图所示.因为点G处的直径等于CD,所以由双曲线的对称性可知,点O即双曲线的对称中心,
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设双曲线的标准方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),由题意可知,C(10 ,20),B(10 ,-60),代入双曲线的标
√2 √10
a2 b2
200 400
{ - =1,
a2 b2 {a2=100,
准方程得 解得 所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.
1 000 3 600 b2=400,
- =1,
a2 b2
8.(2021山西顶级名校4月联考,11)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(-
1
a2 b2
c,0),F(c,0),点N的坐标为(
3b2
).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF|+|MN|>4b,则
2 -c, 2
2a
双曲线C的离心率的取值范围为 ( )
A.(√13 ) B.( , )
,√5 √5√13
3
C.( √13)∪( ,+∞) D.(1, )∪( ,+∞)
1, √5 √5 √13
3
答案 C 设FN与双曲线的交点为H.由已知可得|MF|-|MF|=2a,|MF|+|MN|>4b,即|MF|+|MN|
1 2 1 2 1
+2a>4b,如图所示,当点M位于H点时,|MF|+|MN|最小,
1
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3b2
故 +2a>4b,即3b2+4a2>8ab,
2a
∴3b2-8ab+4a2>0,
∴(2a-b)(2a-3b)>0,
∴2a>3b或2a<b,
∴4a2>9b2或4a2<b2,
∴9c2<13a2或c2>5a2,
c √13 c
∴1< < 或 >√5,
a 3 a
∴双曲线C的离心率的取值范围为( √13)∪( ,+∞),故选C.
1, √5
3
方法点拨 在解决与双曲线焦点三角形有关的最值问题时,常利用双曲线的定义以及三角形的性
质进行求解.
9.(2021浙江嘉兴高三上期末,9)如图,已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,O
1 2
a2 b2
为坐标原点,点P是其右支上第一象限内的一点,直线PO,PF 分别交该双曲线左、右支于另两点
2
A,B,若|PF|=2|PF|,且∠AFB=60°,则该双曲线的离心率是 ( )
1 2 2
2√3 √5
A.√3 B.√2 C. D.
3 2
答案 A ∵|PF|=2|PF|,|PF|-|PF|=2a,
1 2 1 2
∴|PF|=4a,|PF|=2a.
1 2
连接AF,根据双曲线的对称性可得四边形PFAF 为平行四边形.
1 1 2
∵∠AFB=60°,∴∠FPF=60°,
2 1 2
c
在△PFF 中,由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2a·cos 60°,∴c=√3a,∴e= =√3,故选A.
1 2
a
方法点拨 (1)当双曲线中出现双曲线上一点到两焦点的距离时,多数情况下要结合定义解决;
(2)当双曲线中出现双曲线上一点与原点连线且延长交双曲线于另一点时,考虑这两点与双曲线的
焦点连线会构成平行四边形去解决.
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二、多项选择题
10.(2021届广东茂名五校联盟第一次联考,11)双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的焦点在圆O:x2+y2=13
a2 b2
上,圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点,点E(0,a)满足⃗EO+⃗EM+⃗EN
=0(其中O为坐标原点),则正确的说法是 ( )
A.双曲线C的一条渐近线方程为3x-2y=0
B.|⃗OE|=1
√13
C.双曲线C的离心率为
2
D.△OMN的面积为6
答案 ACD 如图,双曲线C的焦距2c=2√13,|OM|=c=√13,
2
则P(0,b),由⃗EO+⃗EM+⃗EN=0得点E是△OMN的重心,可得|OE|= |OP|,
3
2 √13
即a= b,解得a=2,b=3,e= .
3 2
从而得到ACD正确.
x2 y2
11.(2021届河北张家口、邢台、衡水摸底联考,17)已知双曲线E: - =1(m>0)的一条渐近线方
m 4
程为x+3y=0,则下列说法正确的是( )
4
A.E的焦点在x轴上 B.m=
9
√10
C.E的实轴长为6 D.E的离心率为
3
b 2 1
答案 AD 由m>0,可知双曲线E的焦点一定在x轴上,故A正确;根据题意得 = = ,所以
a √m 3
m=36,故B错误;
双曲线E的实轴长为2√m=12,故C错误;
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c √m+4 √10
双曲线E的离心率e= = = ,故D正确.故选AD.
a √m 3
x2 y2
12.(2021届广东佛山顺德第二次教学质量检测,9)已知双曲线的方程为 - =1,则下列说法正确
16 9
的是( )
A.焦点为(±√7,0)
B.渐近线方程为3x±4y=0
5
C.离心率e=
4
D.焦点到渐近线的距离为4
x2 y2
答案 BC 已知双曲线的方程为 - =1,
16 9
得a2=16,b2=9,c2=16+9=25,
5
∴a=4,b=3,c=5,焦点为(±5,0),渐近线方程为3x±4y=0,离心率为e= ,焦点到渐近线的距离为
4
|3×(±5)-4×0|
=3,因此AD错误,BC正确.
√32+42
三、填空题
x2 y2
13.(2021北京西城一模,12)已知双曲线C: - =1,则C的渐近线方程是 ;过C的左焦点
8 4
且与x轴垂直的直线交其渐近线于M,N两点,O为坐标原点,则△OMN的面积是 .
√2
答案 y=± x;6√2
2
b √2
解析 由题得a2=8,b2=4,从而得a=2√2,b=2,进而得双曲线C的渐近线方程是y=± x=±
a 2
x.c2=8+4=12,从而得c=2√3,因而过C的左焦点且与x轴垂直的直线方程是x=-2√3,根据对称性,不
1 1
妨令M(-2√3,-√6)与N(-2√3,√6),所以S = |MN|·c= ×2√6×2√3=6√2.
△OMN
2 2
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14.(2021豫北名校联盟5月联考,15)设O为坐标原点,直线x=c与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两
a2 b2
条渐近线分别交于A,B两点(c为双曲线C的半焦距),若△AOB的周长为6a,则双曲线C的离心率
为 .
3√5
答案
5
b b b
解析 不妨设直线x=c与双曲线C的渐近线y= x,y=- x的交点分别为A,B.将x=c代入y= x,可
a a a
得y=bc,则A(
c,
bc),故|OA|=√
c2+
(bc) 2 =c2 .
a a a a
c2 2bc
由对称性可得|OB|= ,又|AB|= ,
a a
2c2 2bc
则△AOB的周长为|OA|+|OB|+|AB|= + =6a,
a a
整理得bc=3a2-c2,即c =3a2-c2.
√c2-a2
两边平方并整理得c2 =9,
a2 5
c 3√5
故双曲线C的离心率e= = .
a 5
15.(2021四川成都二模,15)设双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,以FF 为直径
1 2 1 2
a2 b2
的圆与双曲线在第一象限内的交点为P,直线PF 与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为Q,若
1
点Q恰好为线段PF 的中点,则直线PF 的斜率为 .
1 1
1
答案
2
解析 连接PF.因为以FF 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P,所以PF⊥PF,记O为坐
2 1 2 1 2
标原点,因为Q恰好为线段PF 的中点,O是FF 的中点,所以OQ∥PF,所以PF⊥OQ,因为直线
1 1 2 2 1
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OQ的方程为y=-bx,即bx+ay=0,所以|QF|= |-bc| =bc=b,则|PF|=2b,在Rt△OQF 中,|OQ|=
1 1 1
a √a2+b2 c
=a,则|PF|=2a,由|PF|-|PF|=2a得b=2a,所以直线PF 的斜率
√|OF |2-|QF |2 2 1 2 1 k
1 1 PF 1
a 1
=tan∠OFQ= = .
1
b 2
16.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,17)已知F,F
是双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,
1 2
a2 b2
过F 的直线交双曲线的右支于A,B两点,且|AF|=2|AF|,∠AFF=∠FBF,则下列结论正确的有
2 1 2 1 2 1 2
.(请填正确的序号)
2√3
①双曲线C的离心率e= ;
3
②双曲线C的一条渐近线斜率是√3;
③|AB|=6a;
④△AFF 的面积是√15a2.
1 2
答案 ②④
解析 如图,由|AF|=2|AF|,|AF|-|AF|=2a可知|AF|=4a,|AF|=2a.
1 2 1 2 1 2
由于∠AFF=∠FBF,∠FAF=∠BAF,故可得△AFF∽△AFB,故可得
|AF |
=
|AF |
.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1
|AF | |AB|
1
因而|AB|=4|AF|=8a,
2
所以|BF|=6a,|BF|=8a,
2 1
可知|FF|=2c=4a,从而e=2.
1 2
b
所以 =√3,可得其中一条渐近线的斜率为√3.
a
在△AFF 中,|AF|=4a,|AF|=2a,|FF|=4a,
1 2 1 2 1 2
可知△AFF 的面积是√15a2.
1 2
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综上,②④正确.
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