北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第十一章 计数原理
§11.1 排列、组合
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021四川联合诊断,7)2022年北京冬季奥运会组委会招聘了5名志愿者,分别参与冰壶、冰球、
花样滑冰、自由式滑雪、越野滑雪五项比赛项目的前期准备工作,若每个人只能担任其中一项工
作,且志愿者甲不能在越野滑雪项目,则不同的派遣方法种数共有 ( )
A.120 B.96 C.48 D.24
答案 B 根据题意,甲有4种派法,其余4人共有24种派法,于是共有96种派遣方法.
2.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了
50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑
道,乙不在2跑道的不同安排方法有 ( )
A.12种 B.14种 C.16种 D.18种
答案 B 根据题意,分2种情况讨论:
①若甲在2跑道上,剩下3人任意安排在其他3个跑道上,有 =6种安排方法,
A3
3
②若甲不在2跑道上,则甲的安排方法有2种,乙的安排方法也有2种,剩下2人任意安排在其他2
个跑道上,有2种安排方法,此时有2×2×2=8种安排方法.
故有6+8=14种不同的安排方法.
3.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如
22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有 ( )
A.81个 B.90个 C.100个 D.900个
答案 B 4位回文数只需排列前两位数字,后面数字即可确定.因为最高位不能为0,因此最高位
有9种排法,百位有10种排法,所以回文数共有9×10=90个.
4.(2021河南顶级名校月考,11)甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她
们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩
一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有 ( )
A.12种 B.11种 C.10种 D.9种
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答案 B 设甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈的孩子分别为a、b、c、d、e,对五个小孩进行排列后
坐五位妈妈的车即可,由于甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,故戊与a对应,对其余的四个小孩按照
“不坐自己妈妈的车”进行排列,满足题意的排法为
bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,共有11种.
5.(2021四川宜宾重点高中二诊,8)受新冠病毒肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放
学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,
则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有 ( )
A.240种 B.120种
C.188种 D.156种
答案 B 根据题意,按甲班位置分3种情况讨论.
(1)甲班排在第一位,丙班和丁班排在一起的情况有4 =8种,将剩余的三个班全排列,安排到剩下
A2
2
的3个位置,有 =6种情况,此时有8×6=48种安排方案;
A3
3
(2)甲班排在第二位,丙班和丁班在一起的情况有3 =6种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的
A2
2
三个位置,有 =6种情况,此时有6×6=36种安排方案;
A3
3
(3)甲班排在第三位,丙班和丁班排在一起的情况有3 =6种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下
A2
2
的三个位置,有 =6种情况,此时有6×6=36种安排方案.
A3
3
由加法计数原理可知共有48+36+36=120种方案,故选B.
6.(2021安徽皖江名校联盟,9)有8位学生春游,其中小学生2名、初中生3名、高中生3名.现将他
们排成一列,要求2名小学生相邻、3名初中生相邻,3名高中生中任意两名都不相邻,则不同的排
法种数有( )
A.288种 B.144种
C.72种 D.36种
答案 B 第一步,先将2名小学生看成一个人,3名初中生看成一个人,然后排成一排有 种不同
A2
2
排法;
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第二步,将3名高中生插在这两个整体形成的3个空当中,有 种不同排法;
A3
3
第三步,排2名小学生有 种不同排法,排3名初中生有 种不同排法.
A2 A3
2 3
根据分步计数原理,共有 =144种不同排法.
A2A3A2A3
2 3 2 3
7.(2021浙江杭州二中高三下开学考,6)美国对华为实行禁令,为了突围实现技术自主,华为某分公
司抽调了含甲、乙的5个工程师到华为总部的4个不同技术部门参与研发,要求每个工程师只能
去一个部门,每个部门至少去一个工程师,且甲、乙两人不能去同一个部门,则不同的安排方式一
共有( )
A.96种 B.120种 C.180种 D.216种
答案 D 首先将5个工程师分成满足条件的4组,共有 + =9种;
C2 C1C1
3 3 2
再将4组分配到4个部门,共有 =24种分配方式.
A4
4
由分步乘法计数原理可知,共有9×24=216种不同的安排方式,故选D.
小题巧解 分组方式的计数也可考虑其反面,共 - =9种.再将4组分配到4个部门,共有 =24
C2 C2 A4
5 2 4
种分配方式.由分步乘法计数原理可知,共有9×24=216种不同的安排方式,故选D.
8.(2021浙江“9+1”联盟4月联考,7)国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开,这
是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时
间连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须
是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能相邻播放,则不同的播放方式有( )
A.120种 B.48种
C.36种 D.18种
答案 C 解法一(特殊元素优先排列):先考虑2个奥运宣传广告的位置,一个为最后播放,另一个
只能是在前三个中任意一个位置播放,共有 种情况;然后考虑3个不同的商业广告的位置,有
C1A2
3 2
种情况.因此,一共有 =36种情况.故选C.
A3 C1A2A3
3 3 2 3
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解法二(插空法):先考虑3个不同的商业广告的顺序,有 种情况;然后考虑2个奥运宣传广告的位
A3
3
置,一个为最后播放,另一个只能是插空放入前三个产生的3个空位中(只是不能放入最后),共有
种情况.因此,一共有 =36种情况.故选C.
C1A2 A3C1A2
3 2 3 3 2
解法三(先排特殊的位置上的元素):将位置按顺序记为1~5号,先考虑5号位,只能是2个奥运宣传
广告之一,共有 种情况;然后考虑与之相邻的4号位,只能是3个商业广告之一,共有 种情况;剩
C1 C1
2 3
下的1~3号位将剩余广告全排列放入即可,共有 种情况.因此,一共有 =36种情况.故选
A3 C1C1A3
3 2 3 3
C.
9.(2021浙江宁波十校3月联考,8)现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里,每个盒子至少一个
球,各盒子中球的个数互不相同,则不同放法的种数是 ( )
A.28 B.24 C.18 D.16
答案 C 本题属于经典的方程解的问题.
将9拆成互异的三个正整数之和,有如下3种情况:
9=1+2+6=1+3+5=2+3+4;
然后分配到三个不同的盒子中,有 种不同分配方式,
A3
3
由分步乘法计数原理可知,共有3 =18种放法,故选C.
A3
3
10.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,8)某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫,要求每位医生
只能去一所医院,每所医院至少安排一位医生.由于工作需要,甲、乙两位医生必须安排在不同的
医院,则不同的安排种数是 ( )
A.90 B.216 C.144 D.240
答案 B 先对5位医生进行分组,再排列.
设除甲、乙外的三位医生分别为A,B,C.
首先,将5位医生分4组,有以下三种分法:
①甲,乙,A,BC;②甲A,乙,B,C;③甲,乙A,B,C.
所以分组数为 + + =9.
C2 C1 C1
3 3 3
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将其安排到4所医院中,共有 =24种排法.
A4
4
所以由分步乘法计数原理可知,共有9×24=216种安排方法.
二、多项选择题
11.(2021届山东师大附中模拟)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类
最基本的符号:“——”和“— —”,其中“——”在二进制中记作“1”,“— —”在二进制
中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,则可以
组成的不同的十进制数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 ABCD 从两类符号中任取2个符号排列的情况可分为三类.
第一类:由两个“——”组成,二进制数为11,转化为十进制数,为3.
第二类:由两个“— —”组成,二进制数为00,转化为十进制数,为0.
第三类:由一个“——”和一个“— —”组成,二进制数为10或01,转化为十进制数,为2或1.
所以从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为0,1,2,3,故选ABCD.
12.(2021届江苏启东中学检测,9)在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中
任意抽出3件,则下列结论正确的有 ( )
A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C1C2
2 98
B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C1C2
2 99
C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有( + )种
C1C2 C2C1
2 98 2 98
D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有( - )种
C3 C3
100 98
答案 ACD 根据题意,若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品,即抽出的3件产品中有2件
合格品,1件不合格品,则合格品的抽法有 种,不合格品的抽法有 种,则恰好有1件是不合格品
C2 C1
98 2
的抽法有 种,则A正确,B错误;
C1C2
2 98
抽出的3件中至少有1件是不合格品,有2种情况;
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①抽出的3件产品中有2件合格品,1件不合格品,有 种抽法,
C1C2
2 98
②抽出的3件产品中有1件合格品,2件不合格品,有 种抽法,
C2C1
2 98
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有( + )种,C正确;
C1C2 C2C1
2 98 2 98
使用间接法:在100件产品中任选3件,有 种抽法,
C3
100
其中全部为合格品的抽法有 种,
C3
98
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有( - )种,D正确.故选ACD.
C3 C3
100 98
三、填空题
13.(2021浙江宁波二模,15)7个人分乘三辆不同的汽车,每辆车最多坐3人,则不同的乘车方法有
种(用数字作答).
答案 1 050
解析 分两类,先分组后排列.
C3C3C1
①三辆车分别坐3,3,1人: 7 4 1· A3=420.
A2 3
2
C3C2C2
②三辆车分别坐3,2,2人: 7 4 2· A3=630.
A2 3
2
综上,不同的乘车方法有420+630=1 050种.
14.(2021浙江温州二模,15)有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车
位中的四个内,要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列,则共有 种不同的停放方法.
(用数字作答)
A B C
D E F
答案 72
解析 先排第一行,有 =24种排法,则第2行用列举法可知有3种排法,所以总共有72种
C1C1A2
2 2 3
不同的停放方法.
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15.(2021黑龙江齐齐哈尔模拟,14)安排5个党员(含小吴)去3个不同小区(含M小区)做宣传活动,
每个党员只能去1个小区,且每个小区都有党员去宣传,其中至少安排2个党员去M小区,但是小
吴不去M小区,则不同的安排方法数为 .
答案 44
解析 M小区若安排3个,则有 =8种;M小区若安排2个,则有 =36种.故不同的方
C3A2 C2C2A2
4 2 4 3 2
法数为8+36=44.
思路分析 按照M小区安排2个党员和3个党员进行分类,再利用加法计数原理求解.
16.(2021吉林模拟,14)辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷模”“全国道德模
范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节,他们是“人民英雄”陈薇,“时代楷模”毛相林、张
连刚、林占禧,“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰、朱恒银,从中选出两位荣誉称号不同
的代表先后给全国人民拜年,则不同的发言情况有 种.
答案 38
解析 分三种情况:第一种,从“人民英雄”“时代楷模”中各选一位,有 =6种不同的发言
C1A2
3 2
情况;第二种,从“人民英雄”“全国道德模范”中各选一位,有 =8种不同的发言情况;第三
C1 A2
4 2
种,从“时代楷模”“全国道德模范”中各选一位,有 =24种不同的发言情况.故不同的
C1C1 A2
3 4 2
发言情况有6+8+24=38种.
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