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专题九 圆锥曲线 ６１１
９．３ 椭圆
§
续表
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ
考点一 椭圆的定义及标准方程 顶点坐标 １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
Ｂ ｂ Ｂ ｂ Ｂ ｂ Ｂ ｂ
１．定义 １（０，－ ）， ２（０， ） １（－ ，０）， ２（ ，０）
范围 ｘ ａ ｙ ｂ ｘ ｂ ｙ ａ
平面内与两个定点Ｆ Ｆ 的距离的和 等于 常数 大于 ｜ ｜≤ ，｜ ｜≤ ｜ ｜≤ ，｜ ｜≤
１、 ２ ① （
｜ Ｆ １ Ｆ ２｜） 的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点 ， 两 长轴长 ｜ Ａ １ Ａ ２｜＝２ ａ
焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 短轴长 Ｂ Ｂ ｂ
｜ １ ２｜＝２
集合语言 Ｐ Ｍ ＭＦ ＭＦ ａ ａ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ
ｃ 其中ａ ｃ ： ＝ 且 ｛ ａ ｜ ｃ ｜ 为常 １｜ 数 ＋｜ ． ２｜＝２ ，２ ＞｜ １ ２｜｝，｜ １ ２｜ 焦距 ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜＝２ ｃ
＝２ ， ＞ ＞０， ，
注意 若 ａ Ｆ Ｆ 则动点的轨迹是线段Ｆ Ｆ 若 ａ ｃ ｂ２
Ｆ Ｆ 则 动点
２
的
＝
轨
｜
迹
１
不
２
存
｜，
在．
１ ２； ２ ＜ 离心率 ｅ ＝③ ａ ＝ １－ａ２ （０＜ ｅ ＜１），
｜ １ ２｜， ｅ越接近于 椭圆越扁 ｅ越接近于 椭圆越圆
２．标准方程 １， ； ０，
中心在坐标原点 焦点在ｘ轴上的椭圆的标准方程为
ｘ２
２．常用结论
（１） ， ａ２
（１）
设Ｐ
，
Ａ
，
Ｂ是中心在原点的椭圆上不同的三点
，
其中Ａ
，
Ｂ
ｙ２ ａ ｂ 两点关于原点对称 ， 且直线ＰＡ 、 ＰＢ的斜率都存在 ， 则ｋ ＰＡ· ｋ ＰＢ＝
＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）； ｂ２
．
ｙ２ －ａ２
中心在坐标原点 焦点在ｙ轴上的椭圆的标准方程为
（２） ， ａ２ 注意 适用于焦点在ｘ轴上
，
当焦点在ｙ轴上时
，
直线 ＰＡ
ｘ２
ａ ｂ ． 与ＰＢ的斜率之积为定值
ａ２
．
＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） －ｂ２
注意 焦点位置的判断 Ｐ是椭圆上一点 Ｆ为椭圆的焦点 则 ＰＦ ａ ｃ ａ
（１） （２） ， ， ｜ ｜∈［ － ， ＋
焦点在ｘ轴上
⇔
标准方程中含ｘ２ 项的分母较大
；
焦点在ｙ ｃ
］，
即椭圆上的点到焦点距离的最大值为ａ
＋
ｃ
，
最小值为ａ
－
ｃ．
轴上
⇔
标准方程中含ｙ２ 项的分母较大．
椭圆的通径 过焦点且垂直于长轴的弦 长为２
ｂ２
通径
ａ２ ｂ２ ｃ２ 即ａ最大． （３） （ ） ａ ，
（２） ＝ ＋ ， 是最短的焦点弦．
３．焦点三角形
Ｐ是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点 Ｆ Ｆ 为椭
（１） ， １， ２ 考点三 直线与椭圆的位置关系
θ
圆的两焦点
，
则Ｓ
△ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝
ｂ２
ｔａｎ ，
其中
∠
Ｆ
１
ＰＦ
２＝
θ． １．直线与椭圆的位置关系的判断
Ｐ是椭圆上不同于长轴
２
两端点的任意一点 Ｆ Ｆ 为椭 把椭圆方程
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 与直线方程ｙ ｋｘ ｈ联立消
（２） ， １， ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ＝ ＋
圆的两焦点 则 ＰＦ Ｆ 的周长为 ａ ｃ ．
， △ １ ２ ２（ ＋ ） 去ｙ 整理成Ａｘ２ Ｂｘ Ｃ Ａ 的形式 则
过焦点 Ｆ 的弦 ＡＢ 与椭圆另一个焦点 Ｆ 构成的 ， ＋ ＋ ＝０（ ≠０） ， ：
ＡＢ （ Ｆ ３） 的周长为 １ ａ． ２ Δ ＝ Ｂ２ －４ ＡＣ 直线与椭圆的位置关系
△ ２ ４
Δ 直线与椭圆相交 有两个公共点
＞０ ，
考点二 椭圆的几何性质
Δ 直线与椭圆相切 有一个公共点
＝０ ，
１．椭圆的方程与简单几何性质
Δ 直线与椭圆相离 无公共点
＜０ ，
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
知识拓展 点与椭圆的位置关系
标准方程
ｘ２ ｙ２
（ａ ｂ ）
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ ｘ２ ｙ２
② ａ２＋ｂ２ ＝１ ＞ ＞０ ａ２＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 已知点Ｐ
（
ｘ
０，
ｙ
０），
椭圆
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（
ａ
＞
ｂ
＞０），
则
一般方程 Ａｘ２ ＋ Ｂｙ２ ＝１（ Ａ ＞０， Ｂ ＞０， Ａ ≠ Ｂ ） ｘ２ ｙ２
点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆内 ０ ０
（１） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２＜１；
ｘ２ ｙ２
点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆上 ０ ０
图形
（２） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２ ＝１；
ｘ２ ｙ２
点Ｐ ｘ ｙ 在椭圆外 ０ ０ ．
（３） （ ０， ０） ⇔ａ２ ＋ｂ２＞１
２．弦长公式
焦点坐标 Ｆ １（－ ｃ ，０）， Ｆ ２（ ｃ ，０） Ｆ １（０，－ ｃ ）， Ｆ ２（０， ｃ ） 设直线ｌ
：
ｙ
＝
ｋｘ
＋
ｍ与椭圆交于Ａ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｂ
（
ｘ
２，
ｙ
２）
．
６１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
则 ｜ ＡＢ ｜＝ （ ｘ １－ ｘ ２） ２ ＋（ ｙ １－ ｙ ２） ２ ； 设Ａ （ ｘ １， ｙ
ｙ
１），
ｙ
Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２） 为弦端点坐标 ， Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 为线段ＡＢ
ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ ｋ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ 中点 其中ｋ １－ ２ ｘ ｘ ．
｜ ｜＝ １＋ ｜ １－ ２｜＝ １＋ （ １＋ ２） －４ １ ２； ， ＝ｘ ｘ （ １≠ ２）
１－ ２
｜
ＡＢ
｜＝ １＋ｋ
１
２ （
ｙ
１＋
ｙ
２）
２
－４
ｙ
１
ｙ
２（
ｋ
≠０）
．
若椭圆方程为
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 则ｋ
ｂ２ｘ
０．
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）， ＝－ａ２ｙ
Δ ０
注意 对于一元二次方程ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
＝０（
ａ
≠０），
Δ
≥０，｜
ｘ
１－
ｘ
２｜＝ ａ
．
若椭圆方程为
ｙ２ ｘ２
ａ ｂ 则ｋ
ａ２ｘ
０．
３．弦中点问题
｜ ｜ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）， ＝－ｂ２ｙ
０
考点二 椭圆的几何性质
ｘ２ ｙ２
６．设椭圆Ｅ ａ ｂ 的右顶点为Ａ 右焦点为Ｆ Ｂ为
考点一 椭圆的定义及标准方程 ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
ｙ２ ｘ２ ( ) 椭圆在第二象限上的点 直线ＢＯ交椭圆Ｅ于点Ｃ 若直线ＢＦ
１．已知椭圆 的一个焦点为 １ 则ｍ ， ，
ｍ＋ ＝１ ０， ， ＝ （ ） 平分线段ＡＣ于Ｍ 则椭圆Ｅ的离心率是
２ ２ ， （ ）
９ １ ２ １ １
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ２ ３ ３ ４
答案 Ｄ 答案 Ｃ
２．已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点为Ｆ Ｆ 离心率 ７．设椭圆的方程为
ｘ２ ｙ２ æ
çｂ ３ａ
ö
÷ 右焦点为Ｆ ｃ ｃ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 １、 ２， ａ２ ＋ｂ２ ＝１è ≥ ＞０ø， （ ，０）（ ＞
２
方程ａｘ２ ｂｘ ｃ 的两实根分别为ｘ ｘ 则ｘ２ ｘ２ 的取值
为 ３ 过Ｆ 的直线 ｌ 交 Ｃ 于 Ａ Ｂ 两点．若 ＡＦ Ｂ 的周长为 ０）， ＋ － ＝０ １， ２， １＋ ２
， ２ 、 △ １ 范围是
３ （ ）
则Ｃ的方程为 ( ] ( ] ( ] ( ]
４ ３， （ ） ３ ３ ３ ７
Ａ．
ｘ２
＋
ｙ２
＝１ Ｂ．
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
Ａ．
答
０
案
，
２
Ｄ
Ｂ． １，
２
Ｃ．
４
，１ Ｄ． １，
４
３ ２ ３
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
考点三 直线与椭圆的位置关系
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
１２ ８ １２ ４
答案 Ａ ｘ２
８．与椭圆 ｙ２ 有相同的焦点且与直线ｌ ｘ ｙ 相切的椭
３．已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左焦点为Ｆ 过点Ｆ ２
＋ ＝１ ： － ＋３＝０
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） １（－２，０）， １ 圆的离心率为 （ ）
作倾斜角为
３０
°的直线与圆ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｂ２ 相交
，
且弦长为
３
ｂ
，
则
２ ５ １ １
椭圆的标准方程为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ５ ２ ５
（ ） 答案 Ｂ
ｙ２ ｘ２ ｘ２ ｙ２
Ａ． ８ ＋ ４ ＝１ Ｂ． ８ ＋ ４ ＝１ ９．（多选题）已知椭圆 ｘ２ ｙ２ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｅ 直线ｘ
＋ ＝１ 、 、 ，
ｙ２ ｘ２ ｘ２ ｙ２ ４ ３
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ ｍ ｍ 与椭圆相交于点Ａ Ｂ 则
１６ １２ １６ １２ ＝ （－１＜ ＜１） 、 ， （ ）
答案 Ｂ 当ｍ 时 ＦＡＢ的面积为
Ａ． ＝０ ，△ ３
ｘ２ 不存在ｍ 使 ＦＡＢ为直角三角形
４．（多选题）设椭圆Ｃ ｙ２ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｐ是 Ｂ． ， △
： ＋ ＝１ 、 １、 ２， 存在ｍ 使四边形ＦＢＥＡ面积最大
２ Ｃ． ，
Ｃ上的动点 则下列结论正确的是 存在ｍ 使 ＦＡＢ的周长最大
， （ ） Ｄ． ， △
ＰＦ ＰＦ 答案 ＡＣ
Ａ．｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ２
ｘ２ ｙ２
离心率ｅ ６
１０．已知Ｐ
（１，１）
为椭圆
＋ ＝１
内一定点
，
经过Ｐ引一条弦
，
Ｂ． ＝ ４ ２
２ 使此弦被Ｐ点平分 且弦与椭圆交于Ａ Ｂ两点 则此弦所在
ＰＦ Ｆ 面积的最大值为 ， 、 ，
Ｃ．△ １ ２ ２ 直线的方程为 ．
以线段Ｆ Ｆ 为直径的圆与直线ｘ ｙ 相切
Ｄ． １ ２ ＋ － ２＝０ 答案 ｘ ｙ
答案 ＡＤ ＋２ －３＝０
ｘ２ ｙ２
( ) １１．设Ｆ Ｆ 分别是椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｍ
５．过点Ｐ １ 作圆 ｘ２ ｙ２ 的切线 ｌ 已知 Ａ Ｂ 分别为切 １， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
１，－ ＋ ＝１ ， ，
２ 是Ｃ上一点且ＭＦ 与ｘ轴垂直．直线ＭＦ 与Ｃ的另一个交点
点 直线ＡＢ恰好经过椭圆的右焦点和下顶点 则直线ＡＢ的方 ２ １
， ， 为Ｎ．
程为 椭圆的标准方程是 ．
；
ｘ２ ｙ２ 若直线ＭＮ的斜率为 ３ 求Ｃ的离心率
答案 ｘ ｙ （１） ， ；
２ － －２＝０； ＋ ＝１ ４
５ ４ 若直线ＭＮ在ｙ轴上的截距为 且 ＭＮ Ｆ Ｎ 求ａ ｂ．
（２） ２， ｜ ｜＝５｜ １ ｜， ，
专题九 圆锥曲线 ６１３
其中ｍ ｎ是常数且ｍ ｎ 若ｓ ｔ的最小值是 满足
＝１， 、 ＜ ， ＋ ３＋２ ２，
ｘ２ ｙ２
条件的点 ｍ ｎ 是椭圆 的一条弦的中点 则此弦所
（ ， ） ＋ ＝１ ，
考点一 椭圆的定义及标准方程 ４ １６
在直线的方程为
（ ）
（２０１８浙江“七彩阳光”联盟期初联考，１４）已知椭圆的方程
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ． －２ ＋３＝０ Ｂ．４ －２ －３＝０
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ｘ ｙ
为 过椭圆中心的直线交椭圆于Ａ Ｂ两点 Ｆ 是椭 Ｃ． ＋ －３＝０ Ｄ．２ ＋ －４＝０
９ ＋ ４ ＝１， ， ， ２ 答案 Ｄ ｍ ｎ ｓ ｔ为正数 ｍ ｎ ｍ ｎ ｓ ｔ的最
圆右焦点 则 ＡＢＦ 的周长的最小值为 ＡＢＦ 的 ∵ 、 、 、 ， ＋ ＝３， ｓ ＋ ｔ ＝１， ＋
， △ ２ ，△ ２
面积的最大值为 ．
小值是
３＋２ ２，
答案 (ｍ ｎ )
１０；２ ５ ｓ ｔ 的最小值是
解析 设Ｆ 为椭圆左焦点 连接ＡＦ ＢＦ 则由椭圆的中心 ∴ （ ＋） ｓ ＋ ｔ ３＋２ ２，
１ ， １， １，
对称性可得Ｃ ＡＦ ＢＦ ＡＢ ＡＦ ＡＦ ＡＢ ＡＢ (ｍ ｎ ) ｍｔ ｎｓ
△ ＡＢＦ ２ ＝ ２＋ ２＋ ＝ １＋ ２＋ ＝６＋ ≥６＋４ ｓ ｔ ｍ ｎ ｍ ｎ ｍｎ
∴ （ ＋） ｓ ＋ ｔ ＝ ＋ ＋ ｓ ＋ ｔ ≥ ＋ ＋２ ，
Ｓ Ｓ １ ．
＝１０， △ ＡＢＦ ２ ＝ △ ＡＦ １ Ｆ ２≤ ×２ ５×２＝２ ５ ｍｔ ｎｓ
２ 当且仅当 时等号成立
ｓ ＝ ｔ ，
此时ｍ ｎ ｍｎ 解得ｍｎ
＋ ＋２ ＝３＋２ ２， ＝２，
又ｍ ｎ ｍ ｎ ｍ ｎ ．
＋ ＝３， ＜ ，∴ ＝１， ＝２
ｘ２ ｙ２
设以 为中点的弦交椭圆 于Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
（１，２） ＋ ＝１ （ １， １）， （ ２， ２），
４ １６
由中点坐标公式知ｘ ｘ ｙ ｙ
１＋ ２＝２， １＋ ２＝４，
把Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 分别代入 ｘ２ ｙ２
（ １， １）， （ ２， ２） ４ ＋ ＝１６，
考点二 椭圆的几何性质 { ｘ２ ｙ２
得 ４ １＋ １＝１６，
（２０１８甘肃酒泉中学月考，９）已知椭圆 ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的 两式 ４ 相
ｘ２
２＋ 减
ｙ２
２ 得 ＝１６， ｘ ｘ ｙ ｙ
２（ １－ ２）＋（ １－ ２）＝０，
左顶点为Ｍ 上顶点为Ｎ 右焦点为Ｆ 若Ｎ→Ｍ Ｎ→Ｆ 则椭圆 ｙ ｙ
， ， ， · ＝０， ｋ ２－ １ 此弦所在直线的方程为ｙ ｘ
的离心率为 ∴ ＝ｘ ｘ ＝－２，∴ －２＝－２（ －１），
（ ） ２－ １
即 ｘ ｙ ．故选 ．
３ ２－１ ２ ＋ －４＝０ Ｄ
Ａ． Ｂ． ｘ２ ｙ２
２ ２ ２．（２０１９吉林实验中学高三第四次月考，１０）已知椭圆
ａ２ ＋ｂ２ ＝
３－１ ５－１ ａ ｂ 的左 右顶点分别为Ａ Ａ 点Ｍ为椭圆上不同于
Ｃ．
２
Ｄ．
２
１（ ＞ ＞０） 、 １， ２、
答案 Ｄ 椭圆 ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的左顶点为Ｍ （－ ａ ，０）， Ａ １， Ａ ２ 的一点 ， 若直线ＭＡ １ 与直线ＭＡ ２ 的斜率之积等于 － ２ １ ，
则椭圆的离心率为
上顶点为Ｎ ｂ 右焦点为Ｆ ｃ （ ）
（０， ）， （ ，０），
Ｎ→Ｍ Ｎ→Ｆ ＮＭ ＮＦ １ １ ２ ３
∵ · ＝０，∴ ⊥ ， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
ａ２ ｂ２ ｂ２ ｃ２ ａ ｃ ２ 又ａ２ ｂ２ ｃ２ ２ ３ ２ ３
∴ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ） ， ＝ ＋ ， 答案 Ｃ 由已知得Ａ ａ Ａ ａ 设Ｍ ｘ ｙ
所以ａ２ ｃ２ ａｃ １（－ ，０）， ２（ ，０）， （ ０， ０），
－ ＝ ， ｙ ｙ
则ｋ ０ ｋ ０
即ｅ２ ＋ ｅ －１＝０，∵ ｅ ∈（０，１），∴ ｅ ＝ ５－１． ＭＡ １ ＝ｘ ０＋ ａ， ＭＡ ２ ＝ｘ ０－ ａ，
２ ｙ２
故选 ． ｋ ｋ １ ０ １
方法总 Ｄ 结 求椭圆离心率的方法有两种 一是直接法 即ｅ ∵ ＭＡ １· ＭＡ ２ ＝－ ２ ，∴ ｘ２ ０－ ａ２ ＝－ ２ ，①
： ， ＝ ｘ２ ｙ２ ｂ２
ｃ ｂ２ 又 ０ ０ ｙ２ ａ２ ｘ２ ．
二是间接法 即利用方程求解． ∵ ａ２ ＋ｂ２ ＝１，∴ ０＝ａ２（ － ０） ②
ａ ＝ １－ａ２ ； ，
ｂ２
由 可得 １
考点三 直线与椭圆的位置关系 ①② ａ２ ＝ ２ ，
１．（２０１８广东清远模拟，１１）已知ｍ 、 ｎ 、 ｓ 、 ｔ ∈ Ｒ＋ ， ｍ ＋ ｎ ＝３， ｍ ｓ ＋ ｎ ｔ ∴ ｅ ＝ ａ ｃ ＝ ａ２ ａ － ２ ｂ２ ＝ １－ ( ａ ｂ ) ２ ＝ ２ ， 故选 Ｃ ．
２
６１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２
答案 （ ） （ ）
１ ＋ ＝１ ２ ８ ２
４ ３
考法一 与椭圆定义相关的问题
ｙ２
例１ （１） 已知点Ｐ是圆Ｆ １：（ ｘ ＋１） ２ ＋ ｙ２ ＝１６ 上任意一点 ， 例 （２０１９浙江高考数学仿真卷，３）以双曲线
３
－ ｘ２ ＝１ 的顶
点Ｆ 与点Ｆ 关于原点对称 线段ＰＦ 的垂直平分线ｍ分别与
ＰＦ ２ ＰＦ 交于 １ Ｍ Ｎ两点 则点 ， Ｍ的轨 ２ 迹方程为 ． 点为焦点 离心率为 ３的椭圆的标准方程为
１， ２ ， ， ， ３ （ ）
过点Ｍ 的直线ｌ交椭圆
ｘ２ ｙ２
于Ａ Ｂ两点 Ｆ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
（２） （０，１） ８ ＋ ４ ＝１ 、 ， Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
４ ３ ３ ４
为椭圆的右焦点 则 ＡＢＦ周长的最大值为 ．
， △ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
解题导引 由于Ｐ在圆上 故 ＰＦ 为定值 Ｍ在ＰＦ Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
（１） ， ｜ １｜ ； ２ ９ ６ ６ ９
的垂直平分线上 则 ＭＦ ＭＰ 结合图形可知 ＭＦ 解析 由题意得椭圆的焦点在ｙ轴上，且ｃ ，由椭圆的
， ｜ ２ ｜ ＝ ｜ ｜， ，｜ １ ｜＋ ＝ ３
ＭＦ ＭＦ ＭＰ ＰＦ 为定值 且大于 Ｆ Ｆ 则Ｍ的轨
迹 ｜ 是 ２ 椭 ｜＝ 圆 ｜ 进 １ 而 ｜＋ 求 ｜ 出方 ｜＝ 程 ｜ ． １｜ ， ｜ １ ２｜， 离心率 ｃ ３ ａ ，所以所求椭圆的标准方程为 ｘ２ ｙ２ ，
， ａ ＝ ⇒ ＝３ ＋ ＝１
要求 ＡＢＦ周长最值 一种方法是找到取最值的几何位 ３ ６ ９
（２） △ ， 故选 ．
置 另一种方法是建立周长关于变量的函数 从而求最值 结合 Ｄ
， ， ； 答案 Ｄ
本题 三边均变化 同时Ａ Ｂ在椭圆上 考虑位置 由于 ＡＢ
， ， ， ， ， ｜ ｜≤
ＡＦ ＢＦ 当ＡＢ过Ｆ 时取 因此 ＡＢＦ的周长 ＡＢ
｜ １｜＋｜ １｜， １ “＝”， △ ｜ ｜＋
ＢＦ ＡＦ ＡＦ ＢＦ ＡＦ ＢＦ ａ ａ为椭圆长半轴
的
｜
长
｜＋
．
｜ ｜≤｜ １｜＋｜ １｜＋｜ ｜＋｜ ｜＝４ （
考法二 椭圆离心率问题的求法
）
解析 （ ）如图所示，连接ＭＦ ，由题意知Ｆ（ ， ）． 例２ （２０１９江西南康中学第二次大联考，１０）椭圆
１ ２ ２ １ ０ （１）
ｘ２ ｙ２
Ｇ ａ ｂ 的两个焦点为Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｍ是椭
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） １（－ ，０）， ２（ ，０），
圆上的一点 且满足Ｆ→Ｍ Ｆ→Ｍ 则椭圆离心率ｅ的取值范围为
， １ · ２ ＝０，
（ ）
æ ù æ ö æ ö é ö
ç ２úú ç ２÷ ç ２ ÷ êê ２ ÷
Ａ．è０， û Ｂ．è０， ø Ｃ．è ，１ø Ｄ．ë ，１ø
２ ２ ２ ２
（２０２０山东济南６月模拟，１４）已知Ｆ Ｆ 分别是椭圆
∵ ∴ 直 ｜ Ｍ Ｍ 线 Ｐ Ｆ ｜ ｍ ＝ 是 ｜ Ｍ Ｍ 线 Ｆ Ｆ ２ 段 ｜ ，又 ＰＦ 知 ２ 的 ｜ Ｆ Ｍ 垂 Ｆ Ｐ 直 ｜＋ 平 ｜ Ｍ 分 ． Ｆ １ 线 ｜＝ ， ４ ， Ｃ ：ａ ｘ２ ２ （ ＋ ２ ｙ ｂ ） ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的左 、 右焦点 ， Ａ ， Ｂ是椭圆 １ 上 ， 关 ２ 于ｘ轴对称
∴ ｜ １｜＋｜ ２｜＝４＞｜ １ ２｜＝２
点Ｍ的轨迹是以Ｆ ，Ｆ 为焦点的椭圆，且 ａ ， ｃ ． 的两点 ＡＦ 的中点Ｐ恰好落在ｙ轴上 若Ｂ→Ｐ Ａ→Ｆ 则椭圆Ｃ
∴ １ ２ ２ ＝４ ２ ＝２ ， ２ ， · ２＝０，
ｘ２ ｙ２ 的离心率为 ．
ｂ２ ． 点Ｍ的轨迹方程为 ．
∴ ＝３∴ ４ ＋ ３ ＝１ 解析 （ ）解法一：设点Ｍ的坐标为（ｘ ，ｙ ）， Ｆ→Ｍ·Ｆ→Ｍ
（ ）设椭圆的左焦点为Ｆ ．如图所示，连接ＡＦ ，ＢＦ ， １ ０ ０ ∵ １ ２
２ １ １ １ ，Ｆ（ ｃ， ），Ｆ（ｃ， ）， （ｘ ｃ）·（ｘ ｃ） ｙ２ ，
＝０ １ － ０ ２ ０ ∴ ０＋ ０－ ＋ ０＝０
ｘ２ ｙ２
即ｘ２ ｙ２ ｃ２ ，又知点Ｍ在椭圆Ｇ上， ０ ０ ，
０＋ ０＝ ① ∴ ａ２ ＋ｂ２ ＝１②
ａ２（ｃ２ ｂ２）
由 联立结合ａ２ ｂ２ ｃ２ 解得ｘ２ － ，由椭圆的性
①② － ＝ ０＝ ｃ２
ì
ï
ａ２（ｃ２
－
ｂ２）
，
ï ｃ２ ≥０ {ｃ２ ｂ２，
质可得 ｘ２ ａ２，即í 即 ≥ 所以 ｃ２
０≤ ０≤ ïａ２（ｃ２ ｂ２） ｃ２ ｂ２ ｃ２， ≥
ï － ａ２， － ≤
由题意，可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 Ｆ
１
（
－２
，
０
）， î ｃ２ ≤
Ｆ（ ， ），ａ ，
２ ０ ＝２ ２ ｂ２，又知ｂ２ ａ２ ｃ２， ｃ２ ａ２ ｃ２，即 ｃ２ ａ２，解得ｅ２ １ ，又知
又由椭圆的定义可得 ＡＦ ＡＦ ， ＢＦ ＝ － ∴ ≥ － ２ ≥ ≥ ２ ０
｜ ｜ ＝４ ２－｜ １ ｜ ｜ ｜ ＝４ ２－
｜ ＢＦ １｜ ，所以 △ ＡＢＦ的周长为 ｜ ＡＦ ｜＋｜ ＢＦ ｜＋｜ ＡＢ ｜ ＝８ ２＋｜ ＡＢ ｜－
＜
ｅ
＜１
，
∴
２
≤
ｅ
＜１
，故选
Ｄ
．
（ ＡＦ ＢＦ ）， ２
｜ １｜＋｜ １｜
显然 ＡＦ ＢＦ ＡＢ ，当且仅当Ａ，Ｂ，Ｆ 三点共线时周 解法二： Ｆ→Ｍ·Ｆ→Ｍ ， ＭＦ ＭＦ ，即 ＭＦ Ｆ 是以Ｍ
｜ １｜＋｜ １｜≥｜ ｜ １ ∵ １ ２ ＝０ ∴ １⊥ ２ △ １ ２
长最大，最大值为 ． 为直角顶点的直角三角形， ＭＦ ＭＦ ａ， Ｆ Ｆ ｃ，
８ ２ ∵ ｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ｜ １ ２｜＝２
专题九 圆锥曲线 ６１５
ｃ Ｆ Ｆ
椭圆的离心率ｅ ２ ｜ １ ２｜ ， 为坐标平面内的一点 且 Ｏ→Ｐ ３ Ｐ→Ｆ Ｐ→Ｆ ３ Ｏ为坐标
∴ ＝ ａ＝ ＭＦ ＭＦ ， ＝ ， １· ２＝－ ，
２ ｜ １｜＋｜ ２｜ ２ ４
又知（ ＭＦ ＭＦ ）２ （ ＭＦ ２ ＭＦ ２） Ｆ Ｆ ２ 原点．
｜ １｜＋｜ ２｜ ≤２ ｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＝２｜ １ ２｜ ＝ 求椭圆Ｃ的方程
Ｆ Ｆ ｃ （１） ；
ｃ２， ＭＦ ＭＦ ｃ， ｅ ｜ １ ２｜ ２ ２， 设Ｍ为椭圆Ｃ的左顶点 Ａ Ｂ是椭圆Ｃ上两个不同的
８ ∴ ｜ １｜＋｜ ２｜≤２ ２ ∴ ＝ ＭＦ ＭＦ ≥ ｃ＝ （２） ， ，
｜ １｜＋｜ ２｜ ２ ２ ２
当且仅当 ＭＦ ＭＦ ｃ时，等号成立， 点 ， 直线ＭＡ ， ＭＢ的倾斜角分别为α ， β ， 且α ＋ β ＝ π．证明 ： 直线
｜ １｜＝｜ ２｜＝ ２ ２
é ö ＡＢ恒过定点 并求出该定点的坐标．
又知 ｅ ， ｅ êê ２， ÷．故选 ． ，
０＜ ＜１ ∴ ∈ë １ø Ｄ 解析 （ ）设Ｐ点坐标为（ｘ ，ｙ ），Ｆ（ ｃ， ），Ｆ（ｃ， ），
２ １ ０ ０ １ － ０ ２ ０
（ ）由于ＡＦ 的中点Ｐ恰好落在ｙ轴上，Ａ，Ｂ是椭圆上关于
２ ２ 则Ｐ→Ｆ （ ｃ ｘ ， ｙ ），Ｐ→Ｆ （ｃ ｘ ， ｙ ），
ｘ轴对称的两点，所以ＡＢ过左焦点Ｆ ，且ＡＢ Ｆ Ｆ ，则不妨令 １＝ － － ０ － ０ ２＝ － ０ － ０
Ａ ( － ｃ， ｂ ａ ２ ) ，Ｂ ( － ｃ， － ｂ ａ ２ ) ．因为Ｐ是ＡＦ １ ２ 的中点 ⊥ ，则 １ Ｐ ２ ( ０ ， ２ ｂ ａ ２ ) ．又 由题意得 ì í ï ï ï ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝ ４ ９ ， 解得ｃ２ ＝３ ． ∴ ｃ ＝ ３ ．
Ｆ（ｃ， ），所以Ａ→Ｆ
(
ｃ，
ｂ２ )
．因为Ｂ→Ｐ
(
ｃ，３
ｂ２ )
，Ｂ→Ｐ·Ａ→Ｆ ，
î ï（ｘ ０＋ ｃ）（ｘ ０－ ｃ） ＋ ｙ２ ０＝－
４
３ ，
２ ０ ２＝ ２ － ａ ＝ ａ ２＝０
２ ｃ
又ｅ ３， ａ ， ｂ２ ａ２ ｃ２ ，
ｂ４ ｂ２ ＝ ａ ＝ ∴ ＝２ ∴ ＝ － ＝１
所以 ｃ２ ３ ，即 ｃ ３ ．又 ｂ２ ａ２ ｃ２，所以 ａｃ （ａ２ ２
２ －
２
ａ２ ＝０ ２ ＝ ａ ＝ － ２ ＝ ３ －
所求椭圆Ｃ的方程为
ｘ２
ｙ２ ．
∴ ＋ ＝１
ｃ２），即
３
ｅ２
＋２
ｅ
－ ３＝０
，解得ｅ
＝
３或ｅ
＝－ ３
（舍去）．
（ ）由题可知直线ＡＢ的斜
４
率存在，则设直线ＡＢ方程为ｙ
３ ２ ＝
{ｘ２
答案 （
１
）Ｄ （
２
）
３
３ ｋｘ
＋
ｍ，Ａ（ｘ
１
，ｙ
１
），Ｂ（ｘ
２
，ｙ
２
）．联立得
ｙ ４
＋
ｋｘ
ｙ２
＝
ｍ
１
，
，
消去ｙ得，（
４
ｋ２
＋
＝ ＋
ｋｍ ｍ２
例 （２０２０四川南充顺庆月考，１５）设点Ｐ是椭圆Ｃ ｘ２ ｙ２ １
）ｘ２
＋８
ｋｍｘ
＋４
ｍ２
－４＝０
，
∴
ｘ
１＋
ｘ
２＝－ ４
８
ｋ２ ＋１
，ｘ
１
ｘ
２＝
４
４ ｋ２ ＋
－
１
４，
∵
α
＋
β
＝
： ＋ ＝
８ ４
上的动点 Ｆ为Ｃ的右焦点 定点Ａ 则 ＰＡ ＰＦ 的取 π， ∴ ｔａｎ α· ｔａｎ β ＝１ ，
１ ， ， （２，１）， ｜ ｜＋｜ ｜ ２
值范围是 ． 设直线ＭＡ，ＭＢ的斜率分别为ｋ ，ｋ ，则ｋ ｋ ，
１ ２ １ ２＝１
解析 如图，设椭圆左焦点为Ｆ′， ｙ ｙ
１ · ２ ，即（ｘ ）（ｘ ） ｙ ｙ ，可化为（ｘ ）
∴ ｘ ｘ ＝１ １＋２ ２＋２ ＝ １ ２ １＋２
１＋２ ２＋２
·（ｘ ） （ｋｘ ｍ）（ｋｘ ｍ），
２＋２ ＝ １＋ ２＋
（ｋ２ ）ｘ ｘ （ｋｍ ）（ｘ ｘ ） ｍ２ ，
∴ －１ １ ２＋ －２ １＋ ２ ＋ －４＝０
ｍ２ æ ｋｍ ö
（ｋ２ ）４ －４ （ｋｍ ）ç ８ ÷ ｍ２ ，
∴ －１ ｋ２ ＋ －２ è－ ｋ２ ø＋ －４＝０
４ ＋１ ４ ＋１
化简得 ｋ２ ｋｍ ｍ２ ，解得ｍ ｋ或ｍ １０ｋ．
２０ －１６ ＋３ ＝０ ＝２ ＝
ｘ２ ｙ２ ３
由椭圆方程 ＋ ＝１ ，得ａ ＝２ ２ ， 当ｍ ＝２ ｋ时，ｙ ＝ ｋｘ ＋２ ｋ，过点（ －２ ， ０ ），不合题意（舍去）；
８ ４ ( )
ＰＦ ａ ＰＦ′ ＰＦ′ ， 当ｍ １０ｋ时，ｙ ｋｘ １０ｋ，过点 １０， ， 直线ＡＢ恒过定
∴ ｜ ｜＝２ －｜ ｜＝４ ２－｜ ｜ ＝ ＝ ＋ － ０ ∴
则 ＰＡ ＰＦ （ ＰＡ ＰＦ′ ） （ ＰＦ′ ＰＡ ）． ( ) ３ ３ ３
｜ ｜＋｜ ｜＝４ ２＋ ｜ ｜－｜ ｜ ＝４ ２－ ｜ ｜－｜ ｜
连接ＡＦ′，当Ｐ在ＡＦ′的延长线上时， ｜ ＰＡ ｜－｜ ＰＦ′ ｜ 最大为 ｜ 点 － １０， ０ ．
３
ＡＦ′ （ ）２ （ ）２ ， 方法总结 １．判断直线与椭圆的位置关系 可通过讨论直
｜＝ －２－２ ＋ ０－１ ＝ １７ ，
ＰＡ ＰＦ 的最大值为 ； 线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解组数来确定．一般通过
∴ ｜ ｜＋｜ ｜ ４ ２＋ １７
当Ｐ在Ｆ′Ａ的延长线上时， ＰＦ′ ＰＡ 最大为 ＡＦ′ 消元得关于ｘ 或ｙ 的一元二次方程 若Δ 则直线与椭圆相
｜ ｜－｜ ｜ ｜ ｜ ＝ （ ） ， ＞０，
（
－２－２
）２
＋
（
０－１
）２
＝ １７
， 交
；
若Δ
＝０，
则直线与椭圆相切
；
若Δ
＜０，
则直线与椭圆相离．
２．弦长公式 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为直线与椭圆的两个交
∴ ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＦ ｜ 的最小值为 ４ ２－ １７ ． 点 直线ＡＢ的斜 ： 率存 （ 在 １， 设 １ 为 ）， ｋ （ ｋ ２， ２）
ＰＡ ＰＦ 的取值范围为［ ， ］． ， ， （ ≠０），
∴ ｜ ｜＋｜ ｜ ４ ２－ １７ ４ ２＋ １７
答案 ［ ， ］ 则 ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ 或 ＡＢ １ ｙ ｙ ．
４ ２－ １７ ４ ２＋ １７ ｜ ｜＝ １＋ ｜ １－ ２｜ ｜ ｜＝ １＋ｋ２ ｜ １－ ２｜
ｘ２ ｙ２
３．设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 为椭圆 ａ ｂ 上两点
（ １， １）， （ ２， ２） ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ，
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法 ｘ ｘ ｙ ｙ
弦ＡＢ的中点为Ｐ ｘ ｙ 则ｘ １＋ ２ ｙ １＋ ２ 可通过根与
ｘ２ （ ０， ０）， ０＝ ， ０＝ ，
例３ （２０２０山东临沂、枣庄考前练，２１）已知椭圆Ｃ ２ ２
：ａ２ 系数的关系来解决弦中点问题 解题方法就是常说的 设而不
， “
ｙ２
ａ ｂ 的离心率为 ３ 其左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｐ
＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， 、 １， ２，
２
６１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ì
ï
ｘ２
１
ｙ２
１ ｘ２ ｙ２
求 整体代入 也可以由í
ïａ２ ＋ｂ２ ＝１①，
用 将问题转化为
联立 ｙ
＝
ａｘ 与
＋ ＝１，
消去 ｙ 得 ｘ２
＝ ａ
４
２
５
，
则 ｙ２
， ”； ïｘ２ ｙ２ ①－② ９ ５ ９ ＋５
ï ２ ２ ａ２
îａ２ ＋ｂ２ ＝１②，
＝
４
ａ
５
２
．
斜率与中点坐标的关系来解决 称为点差法 ． ９ ＋５
（ ）
４．在直线与椭圆的位置关系问题中 常涉及变量的求值和 因为 ＰＡＢ的内心到ｘ轴的距离为３ ３０ 所以 ＰＡＢ的
， △ ， △
最值 范围 问题 通常要用方程和函数的思想方法 而恰当地选 ２０
（ ） ， ，
择函数的自变量至关重要． 内切圆的半径ｒ ３ ３０ 所以 ＰＡＢ的面积为 １ ＡＢ ｙ
＝ ， △ ×｜ ｜×｜ ｜＝
２０ ２
ａ２
例 （２０２０陕西汉中一模，１６）设Ａ （－２，０）， Ｂ （２，０）， 若直线ｙ ２
１
×
ｒ
×（｜
ＡＢ
｜＋｜
ＰＡ
｜＋｜
ＰＢ
｜），
即
｜
ｙ
｜＝ ２
５ ｒ
，
则ｙ２
＝ ９
４
ａ
５
２ ＋５ ＝
２
４
５ｒ２
＝
ａｘ ａ 上存在一点Ｐ满足 ＰＡ ＰＢ 且 ＰＡＢ的内心
＝ （ ＞０） ｜ ｜＋｜ ｜＝６， △ ２５ ２７ 解得ａ２ 又ａ 则ａ ．
× ， ＝３， ＞０， ＝ ３
到ｘ轴的距离为３ ３０ 则ａ ． ４ ４０
， ＝ 答案
２０ ３
解析 由题意可得点Ｐ为直线ｙ ａｘ（ａ ）与椭圆 ｘ２ ｙ２ 方法总结 （ ）解析几何中涉及三角形内切圆问题，常
＝ ＞０ ＋ １
９ ５ 利用内切圆的圆心与三角形三个顶点连线构成的小三角形的
的交点，
＝１ 面积和等于原三角形的面积求解；（ ）焦点三角形包含着很多
２
关系，解题时要多从椭圆或双曲线的定义和三角形的几何条件
入手．
的左焦点为Ｆ 上顶点为Ａ 右顶点为Ｂ 若 ＡＦＢ是直角三角
， ， ， △
形 则椭圆Ｃ的离心率为
， （ ）
考法一 与椭圆定义相关的问题 ２ ３ ３－１ ５－１
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ２
１．（２０２０北京师范大学附属实验中学月考，６） ＡＢＣ的两个顶 答案 Ｄ
△
点坐标为Ａ Ｂ 它的周长是 则顶点Ｃ的轨迹 ６．（２０２０湘赣皖十五校第二次联考，１５）已知直线ｘ ｙ 与
（－４，０）， （４，０）， １８， ＋２ －３＝０
方程是
（ ） 椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 相交于Ａ Ｂ两点 且线段ＡＢ的中点在
ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２
ｙ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
Ａ． ２５ ＋ ９ ＝１ Ｂ． ２５ ＋ ９ ＝１（ ≠０） 直线 ｘ ｙ 上 则此椭圆的离心率为 ．
３ －４ ＋１＝０ ，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｙ ｙ
Ｃ． ＋ ＝１（ ≠０） Ｄ． ＋ ＝１（ ≠０） 答案 ２
１６ ９ ２５ ９
答案 Ｄ ２
７．（２０２０浙江温州中学３月模拟，１９）已知直线ｌ ｙ ｋｘ ｍ与椭
ｘ２ ： ＝ ＋
２．（２０１９豫东豫北十校４月联考，８）椭圆Ｃ ｙ２ ａ 的 ｘ２ ｙ２
：ａ２ ＋ ＝１（ ＞０） 圆 ａ ｂ 恰有一个公共点Ｐ ｌ与圆ｘ２ ｙ２ ａ２ 相交
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ＋ ＝
左 右焦点分别为 Ｆ Ｆ Ｐ 为椭圆上异于端点的任意一点
、 １， ２， ， 于Ａ Ｂ两点．
ＰＦ ＰＦ 的中点分别为Ｍ Ｎ Ｏ为坐标原点 四边形ＯＭＰＮ的 ，
１， ２ ， ， ， 求ｋ与ｍ的关系式
周长为 则 ＰＦ Ｆ 的周长是 （１） ；
２ ３， △ １ ２ （ ） 点Ｑ与点Ｐ关于坐标原点Ｏ对称．当ｋ １ 时 ＱＡＢ的
（２） ＝－ ，△
Ａ．２（ ２＋ ３） Ｂ．４＋２ ３ ２
面积取到最大值ａ２ 求椭圆的离心率．
Ｃ． ２＋ ３ Ｄ． ２＋２ ３ ，
答案 Ａ
３．（２０２０湖南长沙长郡中学月考，７）设 Ｐ Ｑ 分别是圆 ｘ２ ｙ
， ＋（ －
ｘ２
２ 和椭圆 ｙ２ 上的点 则Ｐ Ｑ两点间的最大距离是
６） ＝２ ＋ ＝１ ， ，
１０
（ ）
Ａ．５ ２ Ｂ． ４６＋ ２
Ｃ．６ ２ Ｄ．７＋ ２
答案 Ｃ
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法
４．（２０２０浙江杭州４月模拟，１０）已知方程 ｋ ｘ２ ｋ ｙ２
（ －１） ＋（９－ ） ＝
若该方程表示椭圆的方程 则ｋ的取值范围是 ． ｘ２ ｙ２
１， ， ８．（多选题）（２０２０山东潍坊６月模拟，１１）已知椭圆Ｃ
答案 ｋ ｋ 或 ｋ ： ａ ＋ ｂ
｛ ｜１＜ ＜５ ５＜ ＜９｝
ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 且 Ｆ Ｆ 点Ｐ
＝１（ ＞ ＞０） 、 １， ２ ｜ １ ２｜＝２， （１，
考法二 椭圆离心率问题的求法 在椭圆内部 点Ｑ在椭圆上 则以下说法正确的是
１） ， ， （ ）
ｘ２ ｙ２ ＱＦ ＱＰ 的最小值为 ａ
５．（２０２０福建龙岩质量检查，８）已知椭圆Ｃ ａ ｂ Ａ．｜ １｜＋｜ ｜ ２ －１
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 椭圆Ｃ的短轴长可能为
Ｂ． ２
专题九 圆锥曲线 ６１７
æ ö 求椭圆Ｃ的方程
椭圆Ｃ的离心率的取值范围为ç ５－１÷ （１） ；
Ｃ． è０， ø 点Ｄ为ｘ轴上一点 过Ｄ作ｘ轴的垂线交椭圆Ｃ于不同的
２ （２） ，
Ｄ． 答 若 案 Ｐ→Ｆ １＝ Ａ Ｆ Ｃ → １ Ｄ Ｑ ， 则椭圆Ｃ的长轴长为 ５＋ １７ 两 与 点 Ｂ Ｍ Ｄ ， Ｎ Ｎ 的 ， 过 面 Ｄ 积 作 之比 ＡＭ 为 的垂线 ． 交ＢＮ于点 Ｅ．求证 ：△ ＢＤＥ
△ ４ ∶ ５
９．（２０１７北京，１９，１４分）已知椭圆Ｃ的两个顶点分别为Ａ
（－２，
Ｂ 焦点在ｘ轴上 离心率为 ３．
０）， （２，０）， ，
２
ｘ２ ｙ２
所以椭圆的方程为 故选 ．
＋ ＝１， Ａ
２５ ９
考法一 与椭圆定义相关的问题 考法二 椭圆的离心率问题的求法
１．（２０１８山东青岛城阳期末，７）若椭圆
ｘ２ ｙ２
的焦距为
１．（２０１８ 豫南九校 ３ 月联考，９）已知两定点 Ａ
（－１，０）
和
＋ ａ ＝１ ４， Ｂ 动点Ｐ ｘ ｙ 在直线ｌ ｙ ｘ 上移动 椭圆Ｃ以Ａ Ｂ
５ （１，０）， （ ， ） ： ＝ ＋３ ， ，
则实数ａ的值为 为焦点且经过点Ｐ 则椭圆Ｃ的离心率的最大值为
（ ） ， （ ）
５ １０ ２ ５ ２ １０
或 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．１ Ｂ．２１ Ｃ．４ Ｄ．１ ９ ５ ５ ５ ５
答案 Ｄ 当焦点在ｘ轴上时 ，２＝ ５－ ａ ， 解得ａ ＝１； 答案 Ａ 不妨设椭圆方程为 ｘ２ ｙ２ ａ
当焦点在ｙ轴上时 ａ 解得ａ ．故选 ．
ａ２ ＋ａ２
－１
＝１（ ＞１），
２．（２０１９湖北“荆、荆
，
、
２
襄
＝
、宜
－
”
５
四
，
地七校
＝
考
９
试联盟
Ｄ
联考，４）已知
{ｘ２ ｙ２
与直线ｌ的方程联立得 ａ２ ＋ａ２ ＝１，
ｘ２ ｙ２ －１
椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率 ｙ ｘ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 １， ２， ＝ ＋３，
消去ｙ得 ａ２ ｘ２ ａ２ｘ ａ２ ａ４
（２ －１） ＋６ ＋１０ － ＝０，
为 １
，
过Ｆ
２
的直线与椭圆Ｃ交于Ａ
，
Ｂ两点．若
△
Ｆ
１
ＡＢ的周长 由题意易知Δ
＝３６
ａ４
－４（２
ａ２
－１）（１０
ａ２
－
ａ４
）≥０，
２
为 则椭圆方程为 解得ａ
８， （ ） ≥ ５，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｃ
所以ｅ １ ５
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１ ＝ ａ ＝ ａ ≤ ，
４ ３ １６ １２ ５
ｘ２ ｘ２ ｙ２
ｙ２ 所以ｅ的最大值为 ５．故选 ．
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ Ａ
２ ４ ２ ５
答案 Ａ 由椭圆的定义可知
，△
Ｆ
１
ＡＢ的周长为
４
ａ
， ２．（２０１９四川第一次诊断，６）设椭圆
ｘ２ ｙ２
ｍ ｎ 的一
ａ ａ 又离心率为 １ 即
ｃ
１ ｃ 则ｂ２
ｍ２ ＋ｎ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
∴４ ＝８， ＝２， ， ａ ＝ ，∴ ＝１， ＝３，
ｘ２ ｙ２
２ ２ 个焦点与抛物线ｘ２
＝８
ｙ的焦点相同
，
离心率为 １
，
则ｍ
－
ｎ
＝
故椭圆方程为 故选 ２
＋ ＝１， Ａ．
４ ３ （ ）
３．（２０１９江西五校协作体４ 月联考，１１）已知点 Ｆ Ｆ 是椭圆
１， ２ Ａ．２ ３－４ Ｂ．４－３ ３ Ｃ．４ ３－８ Ｄ．８－４ ３
ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的左 右焦点 Ｐ为椭圆上的动点 动点Ｑ 答案 Ａ 抛物线ｘ２ ｙ的焦点为 椭圆的焦点在ｙ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ， ， ＝８ （０，２），∴
轴上 由离心率 ｅ １ 可得 ２ １ 则ｎ ｍ 故ｍ
满足Ｆ→Ｐ Ｐ→Ｑ Ｆ→Ｐ Ｐ→Ｑ 且 Ｐ→Ｑ Ｐ→Ｆ 其中Ｆ→Ｐ ０ Ｐ→Ｑ ， ＝ ， ｎ ＝ ， ＝４，∴ ＝２ ３， －
１ · ＝｜ １ ｜｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ２｜， １ ≠ ， ２ ２
≠
０
，
若
｜
Ｐ→Ｑ
｜
的最小值为
１，
最大值为
９，
则椭圆的方程为 ｎ
＝２ ３－４
．故选
Ａ
．
ｘ２ ｙ２
（ ） ３．（２０１８湖南湘东五校联考，１１）已知椭圆 ａ ｂ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋
ｙ２
＝１ 的左 右焦点分别为 Ｆ Ｆ Ｐ 是椭圆上一点 ＰＦ Ｆ 是以
２５ ９ ９ 、 １、 ２， ，△ １ ２
Ｃ．
ｘ２
＋
ｙ２
＝１ Ｄ．
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
Ｆ
离
２
心
Ｐ为
率
底
的
边
取
的
值
等
范
腰
围
三
是
角形
，
且
６０
°
＜∠
ＰＦ
１
Ｆ
２＜１２０
°
，
则该椭圆的
２５ １６ ８１ （ ）
答案 Ａ 由Ｆ→
１
Ｐ
·
Ｐ→Ｑ
＝｜
Ｆ→
１
Ｐ
｜ ｜
Ｐ→Ｑ
｜
知点Ｆ
１，
Ｐ
，
Ｑ共线
，
且
Ａ．
æ
è ç ３－１ ，１
ö
ø ÷ Ｂ．
æ
è ç ３－１ ， １
ö
ø ÷
Ｆ→Ｐ与Ｐ→Ｑ同向．由椭圆的定义知 Ｆ→Ｐ Ｐ→Ｆ ａ 又 Ｐ→Ｆ ２ ２ ２
１ ｜ １ ｜＋｜ ２｜＝２ ， ｜ ２｜＝ ( ) ( )
｜ Ｐ→Ｑ ｜， 所以 ｜ Ｆ→ １ Ｐ ｜＋｜ Ｐ→Ｑ ｜＝｜ Ｆ→ １ Ｑ ｜＝２ ａ ， 所以动点Ｑ在以Ｆ １ 为 Ｃ． １ ２ ，１ Ｄ． ０， １ ２
圆心 ，２ ａ为半径的圆上．由平面几何知识知当点Ｐ位于左顶点 答案 Ｂ 由题意可得 ，｜ ＰＦ ２｜ ２ ＝｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ２ ＋｜ ＰＦ １｜ ２ －２｜ Ｆ １ Ｆ ２｜
时 Ｐ→Ｑ 取得最大值ａ ｃ 当点Ｐ位于右顶点时 Ｐ→Ｑ 取得最 ＰＦ ＰＦ Ｆ ｃ２ ｃ２ ｃ ｃ ＰＦ Ｆ 即
，｜ ｜ ＋ ， ，｜ ｜ ·｜ １｜ｃｏｓ∠ １ ２＝４ ＋４ －２·２ ·２ ·ｃｏｓ∠ １ ２，
{ａ ｃ {ａ ＰＦ ＰＦ
小值ａ ｃ 所以 ＋ ＝９，解得 ＝５，所以ｂ２ ａ２ ｃ２ ＰＦ ｃ ＰＦ Ｆ 所以 ａ ｜ １｜＋｜ ２｜ ｃ
－ ， ａ ｃ ｃ ＝ － ＝２５－１６＝９， ｜ ２｜＝２ ２ · １－ｃｏｓ∠ １ ２， ＝ ＝ ＋
－ ＝１， ＝４， ２
６１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ２
ｃ ＰＦ Ｆ 又 ° ＰＦ Ｆ ° １ 将 代入 化简得ｂ２ ．
２ · １－ｃｏｓ∠ １ ２， ６０ ＜∠ １ ２ ＜ １２０ ，∴ － ＜ ① ②， ＝ ａ２
２ ２ －１
ｃ
ｃｏｓ∠ ＰＦ １ Ｆ ２＜ ２ １ ， 所以 ２ ｃ ＜ ａ ＜（ ３＋１） ｃ ， 则 ３ １ ＋１ ＜ ａ ＜ ２ １ ， 即 又因为ｅ ＝ ａ ｃ ＝ １－ａ ｂ２ ２ ＝ １－ ２ ａ２ １ －１ ∈ é ë êê １ ３ ， １ ２ ù û úú ，
３－１ ｅ １ ．故选 ． 所以 ５ ａ ６ ａ 故选 ．
＜ ＜ Ｂ ≤ ≤ ⇒ ５≤２ ≤ ６， Ｃ
２ ２ ２ ２
思路分析 首先根据余弦定理求出等腰三角形底边 ＰＦ 的 小题巧解 根据椭圆的性质 原点Ｏ到直线ｙ ｘ 的距离ｄ
２ ， ＝－ ＋１
长
，
进而根据椭圆的定义可得椭圆的长半轴长 ａ
＝
ｃ
＋ ２
ｃ
· 满足 １ １ １ 又ｄ １ 所以
ｂ２
１ ．
ＰＦ Ｆ 结合 ° ＰＦ Ｆ °可得出 ａ 的范围 ｄ２ ＝ａ２ ＋ｂ２， ＝ ， ａ２ ＝ ａ２
１－ｃｏｓ∠ １ ２， ６０ ＜∠ １ ２＜１２０ ， ２ ２ －１
再根据椭圆离心率的定义进行运算 即可得出椭圆离心率的取 ｃ２ ｂ２ [ ]
， 又ｅ２ １ ｅ２ １ １ 所以 ａ２
值范围． ＝ａ２ ＝１－ａ２ ＝１－ ａ２ ， ∈ ， ， ４ ∈［５，６］，
２ －１ ３ ２
４．（２０１８四川达州模拟，７）以圆ｘ２ ｙ２ 与ｘ轴的交点为焦点 所以 ａ ．故选 ．
＋ ＝４ ， ２ ∈［ ５， ６］ Ｃ
以抛物线ｙ２
＝１０
ｘ的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的
知识拓展 已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 上的两点Ｍ Ｎ满足
离心率是
（ ）
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ，
ＯＭ ＯＮ 且原点Ｏ到直线 ＭＮ 的距离为 ｄ 则椭圆有如下性
１ ２ ４ １ ⊥ ， ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
５ ５ ５ １０ 质 １ １ １ ．
答案 Ｃ ｘ２
＋
ｙ２
＝４
与ｘ轴的交点为
（±２，０），
抛物线ｙ２
＝１０
ｘ ：ｄ２ ＝ａ２ ＋ｂ２
( ) ( ( ) ( ) )
的焦点为 ５ 证明 设Ｍ ｒ θ ｒ θ Ｎ ｒ θ π ｒ θ π
２
，０ ，
( )
： （ １ｃｏｓ ， １ｓｉｎ ）， ２ｃｏｓ ＋
２
， ２ｓｉｎ ＋
２
为椭圆上满足题意的两个点
即椭圆的焦点为 椭圆的一个顶点为 ５ ，
（±２，０）， ，０ ，
２ ｒ２ ２θ ｒ２ ２θ ｒ２ ２θ
将两点坐标分别代入椭圆方程得 １ｃｏｓ １ｓｉｎ ２ｓｉｎ
则椭圆中ｃ ａ ５ ａ２ ＋ ｂ２ ＝１， ａ２ ＋
＝２， ＝ ，
２
ｃ
ｒ２
２ｃｏｓ
２θ
所以 １ １ ｃｏｓ
２θ
ｓｉｎ
２θ
ｓｉｎ
２θ
ｃｏｓ
２θ
１ １
所以椭圆的离心率ｅ
＝ ａ ＝
２
＝
４
，
故选
Ｃ
． ｂ２ ＝１， ｒ２
１
＋ｒ２
２
＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＋ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ａ２ ＋ｂ２，
５ ５
根据几何意义可知 １ １ １ 命题得证．
５．（２０２０浙江“七彩阳光”联盟
２
期初联考，１５）已知Ｆ是椭圆Ｃ
，ｒ２ ＋ｒ２ ＝ｄ２，
： １ ２
ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的一个焦点 ， Ｐ 为 Ｃ 上一点 ， Ｏ 为坐标原
２．如图
，
把椭圆
２
ｘ
５
２
＋ １
ｙ
６
２
＝１
的长轴ＡＢ分成
８
等份
，
过每个分点作
ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于点Ｐ Ｐ Ｐ Ｆ是椭圆的
点
，
若
△
ＰＯＦ为等边三角形
，
则Ｃ的离心率为 ．
一个焦点 则 Ｐ Ｆ Ｐ Ｆ Ｐ Ｆ
１， ２，…， ７，
．
答案 ， ｜ １ ｜＋｜ ２ ｜＋…＋｜ ７ ｜＝
３－１
解析 本题考查椭圆的概念其性质 考查学生数学运算的能
；
力和数形结合的思想 考查了数学运算的核心素养．
；
不妨令Ｆ为椭圆Ｃ的右焦点 Ｐ为椭圆Ｃ在第一象限内的点
， ，
æ ｃ ｃö ｃ２ ｃ２
由题意可知Ｐç ３ ÷ 代入椭圆方程中得 ３
è ， ø， ａ２ ＋ ｂ２ ＝１，
２ ２ ４ ４
ｅ２
即ｅ２ ３ ｅ２ ｅ ．
＋ ｅ２ ＝４⇒ －４＝－２ ３⇒ ＝ ３－１ 答案
１－
３５
解析 设椭圆的右焦点为Ｆ′ 由椭圆的对称性知 Ｐ Ｆ
考法三 直线与椭圆位置关系问题的解法 ， ，｜ １ ｜＝｜
Ｐ Ｆ′ Ｐ Ｆ Ｐ Ｆ′ Ｐ Ｆ Ｐ Ｆ′ 原式 Ｐ Ｆ Ｐ Ｆ′
１．（２０１９浙江宁波期末，９）已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心
７ ｜，
Ｐ
｜
Ｆ
２ ｜＝
Ｐ
｜
Ｆ
６
′
｜，｜
Ｐ
３
Ｆ
｜＝｜
Ｐ
５
Ｆ′
｜，∴
Ｐ Ｆ
＝（
ａ
｜ ７ ｜
．
＋｜ ７
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ｜
疑
）＋
难
（
突
｜
破
６ ｜＋
椭
｜
圆
６
中
｜
经
）＋
常
（｜
使
５
用
｜
对
＋｜
称
５
性转
｜）＋
化
｜
线
４
段
｜＝
再
７
搭
＝３
配
５
定义解
é ù ，
率ｅ的取值范围为êê １ １ úú 直线ｙ ｘ 交椭圆于点Ｍ Ｎ Ｏ 决问题．
ë ， û， ＝－ ＋１ 、 ，
３ ２
３．（２０１８四川泸州适应性考试，１６）设椭圆的中心在坐标原点
为坐标原点且ＯＭ ⊥ ＯＮ ， 则椭圆长轴长的取值范围是 （ ） Ａ Ｂ 是它的两个顶点 直线ｙ ｋｘ ｋ 与ＡＢ相交 ，
（２，０）， （０，１） ， ＝ （ ＞０）
Ａ．［ ７，２ ２］ Ｂ．［ ６， ７］ 于点Ｄ 与椭圆相交于 Ｅ Ｆ 两点．若Ｅ→Ｄ Ｄ→Ｆ 则 ｋ 的值为
， 、 ＝６ ，
．
Ｃ．［ ５， ６］ Ｄ．［２ ２，３］
答案 Ｃ 设Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ
{ｘ２ ｙ２ （ １， １）， （ ２， ２）， 答案 ２ 或 ３
３ ８
由 ａ２ ＋ｂ２ ＝１，得
（
ａ２
＋
ｂ２
）
ｘ２
－２
ａ２ｘ
＋
ａ２
－
ａ２ｂ２
＝０， 解析 依题意得椭圆的方程为
ｘ２
ｙ２ 直线ＡＢ ＥＦ的方
ｙ ｘ ＋ ＝１， ，
＝－ ＋１ ４
ａ２ ａ２ ａ２ｂ２ 程分别为ｘ ｙ ｙ ｋｘ ｋ ．如图 设 Ｄ ｘ ｋｘ Ｅ ｘ
则ｘ ｘ ２ ｘ ｘ － ． ＋２ ＝２， ＝ （ ＞０） ， （ ０， ０）， （ １，
１＋ ２＝ａ２
＋
ｂ２， １ ２＝ ａ２
＋
ｂ２ ① ｋｘ
１），
Ｆ
（
ｘ
２，
ｋｘ
２），
其中ｘ
１＜
ｘ
２，
易知ｘ
１，
ｘ
２
满足方程
（１＋４
ｋ２
）
ｘ２
＝
由ＯＭ
⊥
ＯＮ得Ｏ→Ｍ
·
Ｏ→Ｎ
＝０，
即ｘ
１
ｘ
２＋
ｙ
１
ｙ
２＝０，
即
２
ｘ
１
ｘ
２－（
ｘ
１＋
ｘ
２） ４， 故ｘ ２＝－ ｘ １＝ ２ ｋ２ ．由Ｅ→Ｄ ＝６ Ｄ→Ｆ知 ｘ ０－ ｘ １＝６（ ｘ ２－ ｘ ０）， 得
＋１＝０，② １＋４
专题九 圆锥曲线 ６１９
答案
ｘ １ ｘ ｘ ５ ｘ １０ ． ３－２ ２
０＝ ７ （６ ２＋ １）＝ ７ ２＝ ７ １＋４ ｋ２ 解析 解法一 ： 因为Ｂ ， Ａ ， Ｐ三点共线 ， 设直线ＡＰ的倾斜角
为θ ＯＡ ｒ ＯＰ ｒ 则 Ａ ｒ θ ｒ θ Ｐ ｒ θ
，｜ ｜ ＝ １， ＝ ２， （ １ｃｏｓ ， １ｓｉｎ ）， （ ２ｃｏｓ ，
ｒ θ
２ｓｉｎ ），
因为点Ａ在椭圆
ｘ２
ｙ２ 上 所以
ｒ２
１ｃｏｓ
２θ
ｒ２ ２θ 即ｃｏｓ
２θ
＋ ＝１ ， ＋ １ ｓｉｎ ＝１，
４ ４ ４
由 Ｄ 在 ＡＢ 上知 ｘ
０ ＋２
ｋｘ
０ ＝ ２，
得 ｘ
０ ＝
１＋
２
２
ｋ
．所以
１＋
２
２
ｋ ＝ ＋ｓｉｎ
２θ
＝ ｒ
１
２，
１
１０ ， 化简得 ２４ ｋ２ －２５ ｋ ＋６＝０， 解得ｋ ＝ ２ 或ｋ ＝ ３ ． 同理得 ｃｏｓ ２θ ｓｉｎ ２θ １ 两式相除可得 ｒ２ ２ 即 ｒ ２
７ １＋４ ｋ２ ３ ８ ， ８ ＋ ２ ＝ ｒ２ ２ ， ｒ２ １ ＝２， ｒ １ ＝ ２，
ｘ２ ｒ
４．（ ｘ ８ ２ ２ ０ ＋ １ ｙ ２ ９ ２ ＝ 浙 １ 江 ．点 三 Ｐ 校 为 联 椭 考 圆 ，１ Ｃ ７ ２ ） 上 如 一 图 点 ， 椭 ， 直 圆 线 Ｃ １ Ｐ ： Ｏ ４ 与 ＋ ｙ 椭 ２ ＝ 圆 １， Ｃ 椭 １ 交 圆 于 Ｃ 点 ２： 所以 ｜ ｜ Ｐ Ｐ Ｂ Ａ ｜ ｜ ＝ ｒ ｒ ２ ２ － ＋ ｒ ｒ １ １ ＝ ｒ ｒ ｒ ２ １ ２ － ＋ １ １ ＝ ２ ２ ＋ － １ １ ＝３－２ ２ ．
ＰＡ １
Ａ Ｂ 则｜ ｜ ． 解法二 易知椭圆Ｃ Ｃ 的离心率相等 故可设两个椭圆的离
， ， ＰＢ ＝ ： １， ２ ，
｜ ｜ 心角为θ 则Ａ θ θ Ｂ θ θ Ｐ θ
， （２ｃｏｓ ，ｓｉｎ ）， （－２ｃｏｓ ，－ｓｉｎ ）， （２ ２ｃｏｓ ，
ＰＡ
θ 显然｜ ｜ ．
２ｓｉｎ ）， ＰＢ ＝３－２ ２
｜ ｜
考点一 椭圆的定义及标准方程 求Ｃ的方程
（１） ；
１．（多选题）（２０２０新高考Ⅰ，９，５分）已知曲线Ｃ
：
ｍｘ２
＋
ｎｙ２
＝１
．
（２）
若点Ｐ在Ｃ上
，
点Ｑ在直线ｘ
＝６
上
，
且
｜
ＢＰ
｜＝｜
ＢＱ
｜，
ＢＰ
⊥
ＢＱ 求 ＡＰＱ的面积．
（ ） ， △
若ｍ ｎ 则Ｃ是椭圆 其焦点在ｙ轴上
Ａ． ＞ ＞０， ， 考点二 椭圆的几何性质
若ｍ ｎ 则Ｃ是圆 其半径为 ｎ
Ｂ． ＝ ＞０， ， ｘ２ ｙ２
６．（２０１７浙江，２，４分）椭圆 的离心率是
若ｍｎ 则Ｃ是双曲线 其渐近线方程为ｙ ｍ ｘ ＋ ＝１ （ ）
Ｃ． ＜０， ， ＝± － ｎ ９ ４
若ｍ ｎ 则Ｃ是两条直线 １３ ５ ２ ５
Ｄ． ＝０， ＞０， Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 ＡＣＤ ３ ３ ３ ９
答案 Ｂ
２．（２０１９课标Ⅰ，１０，５ 分）已知椭圆 Ｃ 的焦点为 Ｆ
Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ
１（－１
Ｆ
，０
Ｂ
），
７．（２０１８课标Ⅱ，１２，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
２（１，０）， ２ ， ｜ ２｜＝２｜ ２ ｜， １， ２ ：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
ＡＢ ＢＦ 则Ｃ的方程为
｜ ｜＝｜ １｜， （ ）
ｘ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｂ 的左 右焦点 Ａ是Ｃ的左顶点 点Ｐ在过Ａ且斜率为 ３
ｙ２ ＞０） 、 ， ，
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１ Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１ ６
２ ３ ２ ４ ３ ５ ４ 的直线上 ＰＦ Ｆ 为等腰三角形 Ｆ Ｆ Ｐ ° 则Ｃ的离
答案 Ｂ ，△ １ ２ ，∠ １ ２ ＝１２０ ，
心率为
ｘ２ ｙ２ （ ）
３．（２０２１新高考适应卷，４，５分）椭圆 ｍ 的焦
ｍ２ ＋ｍ２ ＝１（ ＞０） ２ １ １ １
＋１ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ３ ４
点为Ｆ Ｆ 上顶点为Ａ 若 Ｆ ＡＦ π 则ｍ 答案 Ｄ
１， ２， ， ∠ １ ２＝ ， ＝ （ ）
３ ｘ２ ｙ２
８．（２０１７课标Ⅲ，１０，５分）已知椭圆 Ｃ ａ ｂ 的
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
答案 Ｃ 左 右顶点分别为Ａ Ａ 且以线段Ａ Ａ 为直径的圆与直线ｂｘ
４．（２０１９课标Ⅲ，１５，５分）设Ｆ １， Ｆ ２ 为椭圆Ｃ ： ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ 的两 － ａ 、 ｙ ＋２ ａｂ ＝０ 相切 ， 则 １， Ｃ ２ 的 ， 离心率为 １ ２ （ ）
３６ ２０
个焦点 Ｍ为Ｃ上一点且在第一象限．若 ＭＦ Ｆ 为等腰三角 ６ ３ ２ １
形 则Ｍ ， 的坐标为 ． △ １ ２ Ａ． ３ Ｂ． ３ Ｃ． ３ Ｄ． ３
， 答案 Ａ
答案
（３， １５） ９．（２０１６课标Ⅲ，１１，５分）已知Ｏ为坐标原点 Ｆ是椭圆Ｃ
ｘ２
５．（２０２０课标Ⅲ，文２１，理２０，１２分）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２ ， ：ａ２ ＋
：
２５
＋ｍ２ ＝１（０ ｙ２
ａ ｂ 的左焦点 Ａ Ｂ分别为Ｃ的左 右顶点．Ｐ为Ｃ
ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ， ，
ｍ 的离心率为 １５ Ａ Ｂ分别为Ｃ的左 右顶点．
＜ ＜５） ， ， 、 上一点 且ＰＦ ｘ轴．过点Ａ的直线ｌ与线段ＰＦ交于点Ｍ 与ｙ
４ ， ⊥ ，
６２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
轴交于点Ｅ．若直线ＢＭ经过ＯＥ的中点 则Ｃ的离心率为 求 ＡＦ Ｆ 的周长
， （１） △ １ ２ ；
在ｘ轴上任取一点Ｐ 直线ＡＰ与椭圆Ｅ的右准线相交于
（ ） （２） ，
１ １ ２ ３
点Ｑ 求Ｏ→Ｐ Ｑ→Ｐ的最小值
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， · ；
３ ２ ３ ４ 设点Ｍ 在椭圆 Ｅ 上 记 ＯＡＢ 与 ＭＡＢ 的面积分别为
答案 Ａ （３） ， △ △
Ｓ Ｓ 若Ｓ Ｓ 求点Ｍ的坐标．
ｘ２ ｙ２ １， ２， ２＝３ １，
１０．（２０１８北京，１４，５分）已知椭圆Ｍ ａ ｂ 双曲
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
ｘ２ ｙ２
线Ｎ ．若双曲线Ｎ的两条渐近线与椭圆Ｍ的四个
：ｍ２ －ｎ２ ＝１
交点及椭圆Ｍ的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭圆
，
Ｍ的离心率为 双曲线Ｎ的离心率为 ．
；
答案
３－１；２ 考点三 直线与椭圆的位置关系
１１．（２０１９江苏，１７，１４分）如图 在平面直角坐标系ｘＯｙ中 椭
， ，
圆Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的焦点为Ｆ Ｆ ．过Ｆ １４．（２０２０天津，１８，１５分）已知椭圆 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的一个
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） １（－１，０）， ２（１，０） ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
作 于点 ｘ轴 Ａ 的 与 垂 椭 线 圆 ｌ ， Ｃ 在 交 ｘ 于 轴 点 的 Ｄ 上 ．连 方 接 ， ｌ与 ＡＦ 圆 并 Ｆ ２ 延 ：（ 长 ｘ － 交 １ 圆 ） ２ ＋ Ｆ ｙ２ 于 ＝４ 点 ａ２ Ｂ 交 顶 原 点 点 为 ． Ａ （０，－３）， 右焦点为 Ｆ ， 且 ｜ ＯＡ ｜ ＝ ｜ ＯＦ ｜， 其中 Ｏ 为
， １ ２ ， 求椭圆的方程
连接ＢＦ 交椭圆Ｃ于点Ｅ 连接ＤＦ ．已知ＤＦ ５ ． （１） ；
２ ， １ １＝
２ （２）
已知点Ｃ满足
３
Ｏ→Ｃ
＝
Ｏ→Ｆ
，
点Ｂ在椭圆上
（
Ｂ异于椭圆的
求椭圆Ｃ的标准方程 顶点 直线ＡＢ与以Ｃ为圆心的圆相切于点Ｐ 且Ｐ为线
（１） ； ）， ，
求点Ｅ的坐标． 段ＡＢ的中点．求直线ＡＢ的方程．
（２）
ｘ２ ｙ２
１５．（２０１９天津，１８，１３分）设椭圆 ａ ｂ 的左焦点
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
为Ｆ 上顶点为Ｂ．已知椭圆的短轴长为 离心率为 ５．
， ４，
５
求椭圆的方程
（１） ；
设点Ｐ在椭圆上 且异于椭圆的上 下顶点 点Ｍ为直线
（２） ， 、 ，
ＰＢ与ｘ 轴的交点 点 Ｎ 在 ｙ 轴的负半轴上．若 ＯＮ
， ｜ ｜ ＝
ｘ２ ｙ２ ＯＦ Ｏ为原点 且ＯＰ ＭＮ 求直线ＰＢ的斜率．
１２．（２０２０课标Ⅱ理，１９，１２分）已知椭圆Ｃ ａ ｂ ｜ ｜（ ）， ⊥ ，
１：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞ ｘ２ ｙ２
１６．（２０１８天津，１９，１４分）设椭圆 ａ ｂ 的右顶点
０）
的右焦点Ｆ与抛物线Ｃ
２
的焦点重合
，
Ｃ
１
的中心与Ｃ
２
的顶 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
点重合．过Ｆ且与ｘ轴垂直的直线交Ｃ 于Ａ Ｂ两点 交Ｃ 于
１ ， ， ２ 为Ａ 上顶点为Ｂ．已知椭圆的离心率为 ５ ＡＢ ．
Ｃ ， Ｄ两点 ， 且 ｜ ＣＤ ｜＝ ４ ｜ ＡＢ ｜ ． 求 ， 椭圆的方程 ３ ，｜ ｜＝ １３
３
（ （ １ ２ ） ） 求 设 准方 Ｃ Ｍ １ 程 是 的 ． 离 Ｃ １ 心 与 率 Ｃ ； ２ 的公共点．若 ｜ ＭＦ ｜＝５， 求Ｃ １ 与Ｃ ２ 的标 （ （ １ ２ ） ） 设 交 直 于 ＢＰ 线 点 Ｑ面 ｌ Ｍ ： ｙ ， 积 且 ＝ 的 ｋ 点 ｘ ； （ ｋ Ｐ 倍 ＜ ， ０ Ｍ ） 求 与 均 ｋ 椭 在 的 圆 第 值 交 四 ． 于 象限 Ｐ ， ． Ｑ 若 两 △ 点 ＢＰ ， Ｍ ｌ与 的 直 面 线 积 Ａ 是 Ｂ
１３．（２０２０江苏，１８，１６分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知椭圆 △ ２ ，
Ｅ ： ｘ ４ ２ ＋ ｙ ３ ２ ＝１ 的左 ， 右焦点分别为Ｆ １， Ｆ ２， 点Ａ在椭
，
圆Ｅ上且
１７．（
过
２０
Ｆ
１
的
８
直
课
线
标
ｌ
Ⅰ
与
，１
Ｃ
９
交
，１
于
２分
Ａ
）
Ｂ
设
两
椭
点
圆
点
Ｃ
： Ｍ
ｘ
２ 的
２
＋ 坐
ｙ２
标 ＝ 为 １
的右焦
．
点为Ｆ
，
在 点 第 Ｂ． 一象限内 ， ＡＦ ２⊥ Ｆ １ Ｆ ２， 直线 ＡＦ １ 与椭圆 Ｅ 相交于另一 （１） 当 设 ｌ Ｏ 与 为 ｘ 坐 轴 标 垂 原 直 点 时 证 ， 求 ， 明 直线 Ｏ Ａ Ｍ ， Ｍ Ａ 的方 Ｏ 程 Ｍ ； Ｂ． （２，０）
（２） ， ：∠ ＝∠
考点一 椭圆的定义及标准方程 ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
１．（２０１５广东文，８，５分）已知椭圆 ｘ２ ｙ２ ｍ 的左焦点 ３ ４ ４ ３
＋ｍ２ ＝１（ ＞０） ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
２５
为Ｆ 则ｍ Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
１（－４，０）， ＝ （ ）
答
４
案
２
Ｄ 由右焦点为Ｆ
４
可知
３
ｃ 因为离心率等于
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．９ （１，０） ＝１，
答案 Ｂ 依题意有
２５－
ｍ２
＝１６，∵
ｍ
＞０，∴
ｍ
＝３
．选
Ｂ
．
１ 即
ｃ
１ 故ａ 由ａ２ ｂ２ ｃ２ 知ｂ２ 故椭圆Ｃ的方程
２．（２０１３广东文，９，５分）已知中心在原点的椭圆Ｃ的右焦点为 ， ａ ＝ ， ＝２， ＝ ＋ ＝３，
２ ２
ｘ２ ｙ２
Ｆ （１，０）， 离心率等于 １ ， 则Ｃ的方程是 （ ） 为 ＋ ＝１ ．故选 Ｄ ．
２ ４ ３
专题九 圆锥曲线 ６２１
ｘ２ ｙ２ 疑难突破 利用椭圆的定义 ＰＦ ＰＦ ａ 结合题意得到
３．（２０１４辽宁，理１５，文１５，５分）已知椭圆Ｃ 点Ｍ ｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ，
： ＋ ＝１， ａ与ｃ的等量关系是求解的关键 也是难点的突破口．
９ ４ ，
与Ｃ的焦点不重合．若Ｍ关于Ｃ的焦点的对称点分别为Ａ
，
Ｂ
， ３．（２０１７课标Ⅰ文，１２，５分）设Ａ Ｂ是椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
长轴
线段ＭＮ的中点在Ｃ上 则 ＡＮ ＢＮ ． ， ： ＋ｍ ＝１
， ｜ ｜＋｜ ｜＝ ３
答案 的两个端点．若Ｃ上存在点Ｍ满足 ＡＭＢ ° 则ｍ的取值
１２ ∠ ＝１２０ ，
解析 根据已知条件画出图形 如图．设ＭＮ的中点为Ｐ Ｆ 范围是
， ， １、 （ ）
Ｆ 为椭圆Ｃ的焦点 连接ＰＦ ＰＦ ．显然ＰＦ 是 ＭＡＮ的中位
２ ， １、 ２ １ △
线 ＰＦ 是 ＭＢＮ的中位线 ＡＮ ＢＮ ＰＦ ＰＦ Ａ．（０，１］∪［９，＋∞） Ｂ．（０， ３］∪［９，＋∞）
， ２ △ ，∴ ｜ ｜＋｜ ｜＝２｜ １｜＋２｜ ２｜
＝２（｜ ＰＦ １｜＋｜ ＰＦ ２｜）＝２×６＝１２ ． Ｃ．
答
（０
案
，１］∪
Ａ
［４
本
，＋
题
∞
考
）
查圆锥曲线
Ｄ
的
．（０
几
，
何
３
性
］∪
质
［
．
４，＋∞）
当 ｍ 时 椭圆Ｃ的长轴在ｘ轴上 如图 Ａ
０＜ ＜３ ， ， （１）， （－ ３，０），
Ｂ Ｍ ．
（ ３，０）， （０，１）
评析 本题考查了椭圆的定义和方程，考查了数形结合的思
想．连接ＰＦ 、ＰＦ 利用椭圆的定义是求解的关键．
图
１ ２ （１）
当点Ｍ运动到短轴的端点时 ＡＭＢ取最大值 此时 ＡＭＢ
考点二 椭圆的几何性质 ，∠ ， ∠ ≥
° 则 ＭＯ 即 ｍ
ｘ２ ｙ２ １２０ ， ｜ ｜≤１， ０＜ ≤１；
１．（２０１８课标Ⅰ文，４，５分）已知椭圆Ｃ
：ａ２ ＋
４
＝１
的一个焦点
当ｍ
＞３
时
，
椭圆 Ｃ 的长轴在 ｙ 轴上
，
如图
（２），
Ａ
（０，
ｍ
），
为 则Ｃ的离心率为 Ｂ ｍ Ｍ ．
（２，０）， （ ） （０，－ ）， （ ３，０）
１ １ ２ ２ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
３ ２ ２ ３
答案 Ｃ 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质．
由题意可知ｃ ｂ２
＝２， ＝４，
ａ２ ｂ２ ｃ２ ２ 则ａ
∴ ＝ ＋ ＝４＋２ ＝８， ＝２ ２，
ｃ
ｅ ２ ２ 故选 ．
∴ ＝ ａ ＝ ＝ ， Ｃ
２ ２ ２ 图
方法总结 求椭圆离心率的常用方法 （２）
： 当点Ｍ运动到短轴的端点时 ＡＭＢ取最大值 此时 ＡＭＢ
ｃ ，∠ ， ∠ ≥
求得ａ ｃ的值 直接代入ｅ 求解．
（１） ， ， ＝ ａ ° 则 ＯＡ 即 ｍ 即ｍ ．
１２０ ， ｜ ｜≥３， ≥３， ≥９
列出关于ａ ｂ ｃ的齐次方程 结合ｂ２ ａ２ ｃ２ 消去ｂ 从而转 综上 ｍ 故选 ．
（２） ， ， ， ＝ － ， ， ∈（０，１］∪［９，＋∞）， Ａ
化为关于ｅ的方程求解． 易错警示 在求解本题时 要注意椭圆的长轴所在的坐标轴
， ，
２．（２０１８课标Ⅱ文，１１，５分）已知Ｆ Ｆ 是椭圆Ｃ的两个焦点 题目中只说Ａ Ｂ为椭圆长轴的两个端点 并未说明椭圆长轴
１， ２ ， 、 ，
Ｐ是Ｃ上的一点．若ＰＦ
１⊥
ＰＦ
２，
且
∠
ＰＦ
２
Ｆ
１＝６０
°
，
则Ｃ的离心 所在的坐标轴
，
因此
，
要根据ｍ与
３
的大小关系
，
讨论椭圆长
率为
（ ）
轴所在的坐标轴．
４．（２０１６课标Ⅰ文，５，５分）直线ｌ经过椭圆的一个顶点和一个
３
Ａ．１－ Ｂ．２－ ３
２ 焦点 若椭圆中心到ｌ的距离为其短轴长的 １ 则该椭圆的离
， ，
３－１ ４
Ｃ． Ｄ． ３－１ 心率为
２ （ ）
答案 Ｄ 本题主要考查椭圆的定义和几何性质．
１ １ ２ ３
ｘ２ ｙ２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
不妨设椭圆方程为 ａ ｂ ． ３ ２ ３ ４
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 答案 Ｂ 如图 ＯＢ 为椭圆中心到 ｌ 的距离 则 ＯＡ
在 Ｆ ＰＦ 中 因为 ＰＦ Ｆ ° Ｆ Ｆ ｃ ，｜ ｜ ， ｜ ｜·
Ｒｔ△ １ ２ ， ∠ ２ １＝６０ ，｜ １ ２｜＝２ ， ＯＦ ＡＦ ＯＢ 即ｂｃ ａ ｂ 所以ｅ ｃ １ ．故选 ．
所以 ＰＦ ｃ ＰＦ ｃ． ｜ ｜＝｜ ｜·｜ ｜， ＝ · ， ＝ ａ ＝ Ｂ
｜ ２｜＝ ，｜ １｜＝ ３ ２ ２
由椭圆的定义得 ＰＦ ＰＦ ａ
｜ １｜＋｜ ２｜＝２ ，
即 ｃ ｃ ａ
３ ＋ ＝２ ，
ｃ
所以椭圆的离心率ｅ ２ ．故选 ．
＝ ａ ＝ ＝ ３－１ Ｄ
３＋１
ｂ
易错警示 椭圆中心到直线ｌ的距离为 １ ｂ 容易将短
×２ ＝ ，
４ ２
轴长误认为ｂ．
评析 本题考查椭圆的基本知识，利用三角形的面积建立等量
关系是求解的关键．
６２２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ ２ ２ ｘ２
５．（２０１５福建文，１１，５分）已知椭圆Ｅ ａ ｂ 的右 答案 Ｂ 如图 设 ＡＦ ｘ 则 ＡＢＦ ８ ＋１０ － ４ ．
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ｜ ｜＝ ， ｃｏｓ∠ ＝
２×８×１０
＝
５
焦点为Ｆ 短轴的一个端点为Ｍ 直线ｌ ｘ ｙ 交椭圆Ｅ于
， ， ：３ －４ ＝０
Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ ＢＦ 点Ｍ到直线ｌ的距离不小于 ４
， ｜ ｜＋｜ ｜＝４， ，
５
则椭圆Ｅ的离心率的取值范围是
（ ）
æ ù ( ] é ö [ )
ç ３úú ３ êê ３ ÷ ３ 解得 ｘ ＡＦＢ ° 由椭圆及直线关于原点对称可知
Ａ．è０， û Ｂ． ０， Ｃ．ë ，１ø Ｄ． ，１ ＝６，∴∠ ＝９０ ，
２ ４ ２ ４ ＡＦ 且 ＦＡＦ ＦＡＢ ＦＢＡ ° ＦＡＦ 是直角三
答案 Ａ 直线ｌ ｘ ｙ 过原点 从而Ａ Ｂ两点关于原点 ｜ １｜＝８， ∠ １＝∠ ＋∠ ＝９０ ，△ １
：３ －４ ＝０ ， ， ｃ
对称 于是 ＡＦ ＢＦ ａ 所以ａ ．不妨令Ｍ ｂ 则 角形 Ｆ Ｆ 故 ａ ｃ ５ ．故选 ．
， ｜ ｜＋｜ ｜＝２ ＝４， ＝２ （０， ）， ，∴ ｜ １ ｜＝１０， ２ ＝８＋６＝１４，２ ＝１０，∴ ａ ＝ Ｂ
ｂ ７
由点Ｍ ｂ 到直线ｌ 的距离不小于 ４ 得 ４ ４ 评析 本题考查余弦定理，椭圆的几何性质，考查了数形结合
（０， ） ， ≥ ，
５ ３ ２ ＋（－４） ２ ５ 思想及运算求解能力．
即ｂ
≥１
．所以 ｅ２
＝ａ
ｃ２
２ ＝
ａ２
ａ
－
２
ｂ２
＝
４－
４
ｂ２
≤
３
４ ，
又
０＜
ｅ
＜１，
所以 ｅ
∈ ９．（２０１２课标理，４，５分）设Ｆ １， Ｆ ２ 是椭圆Ｅ ：ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞
æ ù
è ç ０， ２ ３ û úú ， 故选 Ａ ． ０） 的左 ， 右焦点 ， Ｐ 为直线 ｘ ＝ ３ ２ ａ 上一点 ，△ Ｆ ２ ＰＦ １ 是底角为
评析 本题考查了椭圆的定义及性质．考查数形结合的思想． °的等腰三角形 则Ｅ的离心率为
３０ ， （ ）
解题关键在于发现Ａ，Ｂ两点关于原点对称，从而得出 ＡＦ
｜ ｜＋｜ １ ２ ３ ４
ＢＦ ａ． Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
｜＝２ ２ ３ ４ ５
ｘ２ ｙ２
６．（２０１３课标Ⅱ文，５，５分）设椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 答案 Ｃ 设直线 ｘ ３ ａ 与 ｘ 轴交于点 Ｑ 由题意得
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ＝ ，
２
右焦点分别为 Ｆ Ｆ Ｐ 是 Ｃ 上的点 ＰＦ Ｆ Ｆ ＰＦ Ｆ
１， ２， ， ２⊥ １ ２，∠ １ ２＝ ＰＦ Ｑ ° Ｆ Ｐ Ｆ Ｆ ｃ Ｆ Ｑ ３ ａ ｃ ３ ａ ｃ
° 则Ｃ的离心率为 ∠ ２ ＝６０ ，｜ ２ ｜＝｜ １ ２｜＝２ ，｜ ２ ｜＝ － ，∴ － ＝
３０ ， （ ） ２ ２
ｃ
３ １ １ ３ １ ｃ ｅ ３ 故选 ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ×２ ，∴ ＝ ａ ＝ ， Ｃ
６ ３ ２ ３ ２ ４
答案 Ｄ 在 ＰＦ Ｆ 中 令 ＰＦ 因为 ＰＦ Ｆ 评析 本题考查了椭圆的基本性质，考查了方程的思想，灵活
Ｒｔ△ ２ １ ， ｜ ２｜ ＝
ｃ
１，
Ｆ
∠
Ｆ
１ ２＝ 解三 角形对求解至关重要．
３０ ° ， 所以 ｜ ＰＦ １｜＝２，｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ＝ ３ ．所以ｅ ＝
２
２ ａ＝
｜
ＰＦ ｜
１｜
１
＋｜
２ Ｐ ｜ Ｆ
２｜
＝ １０．（２０１１课标全国文，４，５分）椭圆 ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的离心率为
１６ ８
３．故选 ．
Ｄ （ ）
３
７．（２０１３四川文，９，５分）从椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 上一点Ｐ向 １ １ ３ ２
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） Ａ． ３ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
ｘ轴作垂线
，
垂足恰为左焦点Ｆ
１，
Ａ是椭圆与ｘ轴正半轴的交 答案 Ｄ 在 ｘ２
＋
ｙ２
＝１
中
，
ａ２
＝１６，
ｂ２
＝８，
ｃ２
＝
ａ２
－
ｂ２
＝１６－８
点 Ｂ是椭圆与 ｙ 轴正半轴的交点 且 ＡＢ ＯＰ Ｏ 是坐标原 １６ ８
， ， ∥ （
点 则该椭圆的离心率是 ＝８，
）， （ ）
ｃ
ｃ ｅ ２ ２ ２ 故选 ．
２ １ ２ ３ ∴ ＝２ ２，∴ ＝ ａ ＝ ＝ ， Ｄ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ４ ２
４ ２ ２ ２
答案 Ｃ 左焦点为Ｆ
１（－
ｃ
，０），
ＰＦ
１⊥
ｘ轴
，
１１．（２０１８浙江，１７，４分）已知点Ｐ
（０，１），
椭圆
ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｍ
（
ｍ
＞１）
当ｘ ＝－ ｃ时 ，ａ
ｃ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２Ｐ
２ ＝１⇒ ｙ２Ｐ＝ ｂ２
æ
è ç １－ａ
ｃ２
２
ö
ø ÷ ＝ａ
ｂ４
２⇒ ｙ Ｐ＝
ｂ
ａ
２
（ 负值不 上两点Ａ ， Ｂ满足→ＡＰ ＝２ Ｐ→Ｂ ， 则当ｍ ＝
４
时 ， 点Ｂ横坐标
( ｂ２ ) 的绝对值最大．
合题意 已舍去 点Ｐ ｃ
， ）， － ， ａ ， 答案
５
由斜率公式得ｋ
ｂ
ｋ
ｂ２
．
解析 本小题考查椭圆的标准方程
，
向量的坐标运算
，
二次
ＡＢ＝－ ａ ， ＯＰ＝－ａｃ 函数的最值．
∵ ＡＢ ∥ ＯＰ ，∴ ｋ ＡＢ＝ ｋ ＯＰ⇒－ ａ
ｂ
＝－ａ
ｂ２
ｃ⇒ ｂ ＝ ｃ．
设Ｂ
（
ｔ
，
ｕ
），
由→ＡＰ
＝２
Ｐ→Ｂ
，
易得Ａ
（－２
ｔ
，３－２
ｕ
）
．
ｃ２ ｃ
ì
ï
ï
ｔ２
＋
ｕ２
＝
ｍ
，
ａ２ ｂ２ ｃ２ ｃ２ １ ｅ ２．故选 ． 点Ａ Ｂ都在椭圆上 í４
∵ ＝ ＋ ＝２ ，∴ ａ２ ＝ ２ ⇒ ＝ ａ ＝ ２ ｘ２ ｙ２ Ｃ ∵ ， ，∴ î ï ï４ ｔ２ ＋（３－２ ｕ ） ２ ＝ ｍ ，
８．（２０１３辽宁文，１１，５分）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的左 ４
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ｔ２ ｔ２
从而有３ ｕ２ ｕ 即 ｕ２ ｕ ．
焦点为Ｆ Ｃ与过原点的直线相交于Ａ Ｂ两点 连接ＡＦ ＢＦ．若 ＋３ －１２ ＋９＝０， ＋ ＝４ －３
， 、 ， ， ４ ４
ｍ
ＡＢ ＢＦ ＡＢＦ ４ 则Ｃ的离心率为 即有 ｕ ｍ ｕ ＋３
｜ ｜＝１０，｜ ｜＝８，ｃｏｓ∠ ＝ ， （ ） ４ －３＝ ⇒ ＝ ，
５ ４
ｔ２ ｍ ２
３ ５ ４ ６ （ ＋３） ｍ ｔ２ １ ｍ２ ５ ｍ ９ １ ｍ ２ ．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∴ ＋ ＝ ，∴ ＝－ ＋ － ＝－ （ －５） ＋４
５ ７ ５ ７ ４ １６ ４ ２ ４ ４
专题九 圆锥曲线 ６２３
当ｍ 时 ｔ２ 即 ｔ 答案
∴ ＝５ ，（ ）ｍａｘ＝４， ｜ ｜ｍａｘ＝２， ３－１
即当ｍ 时 点Ｂ横坐标的绝对值最大．
＝５ ， 解析 由已知得直线ｙ ｘ ｃ 过Ｍ Ｆ 两点 所以直线
思路分析 设出点Ｂ的坐标 利用向量的坐标运算得点 ＝ ３（ ＋ ） 、 １ ，
（１） ， ＭＦ 的斜率为 所以 ＭＦ Ｆ ° 则 ＭＦ Ｆ °
Ａ的坐标． １ ３， ∠ １ ２ ＝ ６０ ， ∠ ２ １ ＝ ３０ ，
（２） 利用点Ａ ， Ｂ都在椭圆上得方程组 ， 求得点Ｂ的横 、 纵坐标 ∠ Ｆ １ ＭＦ ２＝９０ ° ， 如图 ， 故ＭＦ １＝ ｃ ， ＭＦ ２＝ ３ ｃ ， 由点Ｍ在椭圆Γ
满足的关系式． 上知 ｃ ｃ ａ 故ｅ ｃ ．
： ＋ ３ ＝２ ， ＝ ａ ＝ ３－１
利用 中的关系式及点Ｂ在椭圆上 把点Ｂ的横坐标的
（３） （２） ，
平方表示为关于ｍ的函数．
利用二次函数的最值得结论．
（４）
ｘ２ ｙ２
１２．（２０１５浙江文，１５，４分）椭圆 ａ ｂ 的右焦点
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
ｂ
Ｆ ｃ 关于直线ｙ ｘ的对称点Ｑ在椭圆上 则椭圆的离
（ ，０） ＝ ｃ ， ｘ２ ｙ２
１５．（２０１２江西理，１３，５分）椭圆 ａ ｂ 的左 右顶
心率是 ． ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、
点分别是 Ａ Ｂ 左 右焦点分别是 Ｆ Ｆ ．若 ＡＦ Ｆ Ｆ
答案 ２ 、 ， 、 １、 ２ ｜ １｜，｜ １ ２｜，
Ｆ Ｂ 成等比数列 则此椭圆的离心率为 ．
２ ｜ １ ｜ ，
æｘ ｃ ｙ ö
解析 令Ｑ的坐标为 ｘ ｙ ＦＱ的中点为Ｍç ０＋ ０÷ 答案 ５
（ ０， ０）， è ， ø，
２ ２ ５
ｂ 解析 ＡＦ ａ ｃ ＢＦ ａ ｃ Ｆ Ｆ ｃ
由点Ｍ在直线ｙ ＝ ｃ ｘ上得ｂｘ ０－ ｃｙ ０＋ ｂｃ ＝０① ．又因为直线ＦＱ 则有 ｃ ２ ∵ ａ ｜ ｃ １｜＝ ａ ｃ － ，｜ １｜＝ ＋ ，｜ １ ２｜＝２ ，
４ ＝（ － ）（ ＋ ），
ｂ ｙ ｃ
垂直于直线ｙ
＝ ｃ
ｘ
，
所以
ｘ
０－
０
ｃ＝－ ｂ ，
即ｃｘ
０＋
ｂｙ
０－
ｃ２
＝０②，
联立
得ｅ
＝ ａ
ｃ
＝
５．
①②
得点Ｑ æ
è
ç２ ｃ３
ａ
－
２
ａ２ｃ
，
２
ａ
ｂｃ
２
２ö
ø
÷
，
把点Ｑ的坐标代入
ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１
并 评
基
析
本性 质
本
．
题 ５ 考查了椭圆的离心率的概念，椭圆和等比数列的
化简得ａ６ ｃ６ ａ４ｃ２ 两边同除以ａ６ 得 ｅ６ ｅ２ 令ｔ ｅ２
＝４ ＋ ， ４ ＋ －１＝０， ＝ ，
则 ｔ 则 ｔ３ ｔ ｔ 则 ｔ ｔ ｔ 解得 考点三 直线和椭圆的位置关系
０＜ ＜１， ４ － ＋２ －１＝０， ［ （２ ＋１）＋１］（２ －１）＝０，
ｔ １ 因为 ｅ 所以ｅ ２． １．（２０１３课标Ⅰ理，１０，５分）已知椭圆Ｅ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
＝
２
， ０＜ ＜１， ＝
２
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
１３．（２０１４江西文，１４，５分）设椭圆Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左
右焦点为Ｆ
（３，０），
过点Ｆ的直线交Ｅ于Ａ
，
Ｂ两点．若ＡＢ的中
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， 点坐标为 则Ｅ的方程为
（１，－１）， （ ）
右焦点为Ｆ Ｆ 过Ｆ 作ｘ轴的垂线与Ｃ相交于Ａ Ｂ两点
１， ２， ２ ， ， ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｆ Ｂ与ｙ轴相交于点Ｄ 若ＡＤ Ｆ Ｂ 则椭圆Ｃ的离心率等于 Ａ． ＋ ＝１ Ｂ． ＋ ＝１
１ ， ⊥ １ ， ４５ ３６ ３６ ２７
． ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． ＋ ＝１ Ｄ． ＋ ＝１
答案 ３ ２７ １８ １８ ９
３ 答案 Ｄ 直线ＡＢ的斜率ｋ ０＋１ １
解析 不妨设Ａ在ｘ轴上方 由于ＡＢ过Ｆ 且垂直于ｘ轴 ＝ ＝ ，
， ２ ， ３－１ ２
( ｂ２ ) ( ｂ２ ) 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
因此可得Ａ ｃ Ｂ ｃ 由ＯＤ Ｆ Ｂ Ｏ为Ｆ Ｆ 的中 （ １， １）， （ ２， ２），
， ａ ， ，－ ａ ， ∥ ２ ， １ ２ ì
ï
ｘ２ ｙ２
点可得 Ｄ ( ｂ２ ) 所以Ａ→Ｄ ( ｃ ３ ｂ２ ) Ｆ→Ｂ ( ｃ ｂ２ ) 则í ïａ １ ２ ＋ｂ １ ２ ＝１， ①
０，－ ２ ａ ， ＝ － ，－ ２ ａ ， １ ＝ ２ ，－ ａ ， ïｘ２ ｙ２
又ＡＤ Ｆ Ｂ 所以Ａ→Ｄ Ｆ→Ｂ ｃ２ ３
ｂ４
即 ｂ４ ａ２ｃ２ 又ｂ２ î
ï
ａ
２
２ ＋ｂ
２
２ ＝１， ②
⊥ １ ， · １ ＝－２ ＋ ａ２ ＝０， ３ ＝４ ，
＝ ａ２ － ｃ２ ， 所以可得 ３（ ａ２ － ｃ２ ）＝２ ａｃ ，
２
两边同时除以ａ２ ， 得 ３ ｅ２ ①－② 得
ｙ
ｘ １ １ － －
ｙ
ｘ ２ ２ ＝－ａ
ｂ２
２·
ｘ
ｙ １ １ ＋ ＋
ｘ
ｙ ２ ２ ．
＋２ ｅ － ３＝０， 解得ｅ ＝ ３ ３或 － ３， 又ｅ ∈（０，１）， 故椭圆Ｃ的离心 即ｋ ＝－ａ ｂ２ ２ × － ２ ２ ，
率为 ３．
ｂ２
１ ．
３
∴ ａ２ ＝
２
③
评析 本题考查椭圆的几何性质、两直线垂直的充要条件．考查
又ａ２
－
ｂ２
＝
ｃ２
＝９， ④
学生的运算求解能力以及知识的转化应用能力．根据已知条件建
由 得ａ２ ｂ２ ．
③④ ＝１８， ＝９
立起关于ａ、ｂ、ｃ的等量关系式是求解本题的关键．
ｘ２ ｙ２
所以椭圆Ｅ的方程为 故选 ．
１４．（２０１３福建理，１４，４分）椭圆Γ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的左 右 １８ ＋ ９ ＝１， Ｄ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系，考查了线段的中点
焦点分别为Ｆ Ｆ 焦距为 ｃ．若直线 ｙ ｘ ｃ 与椭圆 Γ 问题．本题也可利用根与系数的关系解决中点问题．
１， ２， ２ ＝ ３（ ＋ ）
的一个交点Ｍ满足 ＭＦ Ｆ ＭＦ Ｆ 则该椭圆的离心率
∠ １ ２＝２∠ ２ １， ２．（２０１４江西理，１５，５分）过点Ｍ 作斜率为 １ 的直线与
等于 ． （１，１） －
２
６２４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ 因为圆Ｃ与ｘ轴相切 所以圆的半径长为 又由圆Ｃ与ｌ相
椭圆Ｃ ａ ｂ 相交于Ａ Ｂ两点 若Ｍ是线段ＡＢ ， ２，
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
３ ｃ
的中点 则椭圆Ｃ的离心率等于 ． （４＋ ）－２
， 切 得 ４ 可得ｃ ．
， ( ) ＝２， ＝２
２
答案 ２ ３
１＋
２ ４
解析 设Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２）， 则 ａ ｘ２ １ ２ ＋ ｙ ｂ ２ １ ２ ＝１①， 所以 ， 椭圆的方程为 １ ｘ ６ ２ ＋ １ ｙ ２ ２ ＝１ ．
ｘ２ ｙ２ 思路分析
（１）
由已知条件
，
得ａ与ｂ的比例关系
，
代入ａ２
＝
ｂ２
ａ ２ ２ ＋ｂ ２ ２ ＝１② ． ＋ ｃ２ ， 得ａ与ｃ的齐次关系 ， 进而求得离心率． （２） 设出直线方程
①、② 两式相减并整理得 ｙ ｘ １ １ － － ｙ ｘ ２ ２ ＝－ａ ｂ２ ２· ｘ ｙ １ １ ＋ ＋ ｘ ｙ ２ ２ ． （ 标 由 含 （ 圆 参 含 心 数 参 到 数 ｃ 直 ） ｃ ， 线 ） 联 ， 距 由 立 离 直 ｋ 等 ＡＰ 线 ＝ 于 与 ｋ Ｏ 半 椭 Ｃ， 径 求 圆 列 得 方 出 程 Ｃ 关 点 （ 含 于 坐 参 标 ｃ 数 的 以 方 及 ｃ ） 程 圆 ， 得 的 求 交 半 得 点 径 ｃ Ｐ ｒ 的 ， 的 最 值 坐 后
ｂ２ ， ，
把已知条件代入上式得
，－
１
＝－ａ２ ×
２
，
最终确定椭圆方程．
２ ２
４．（２０１８课标Ⅲ理，２０，１２分）已知斜率为ｋ的直线ｌ与椭圆Ｃ
ｂ２ ｂ２ ：
１ 故椭圆的离心率ｅ ２． ｘ２ ｙ２
∴ ａ２ ＝ ， ＝ １－ａ２ ＝ 交于Ａ Ｂ两点 线段ＡＢ的中点为Ｍ ｍ ｍ ．
２ ２ ＋ ＝１ ， ， （１， ）（ ＞０）
评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系．考查了线段的中点 ４ ３
问题，利用整体运算的技巧是求解的关键．本题也可以利用韦 证明 ｋ １
（１） ： ＜－ ；
达定理求解． ２
设Ｆ为Ｃ的右焦点 Ｐ为Ｃ上一点 且Ｆ→Ｐ →ＦＡ Ｆ→Ｂ ０．证
ｘ２ ｙ２ （２） ， ， ＋ ＋ ＝
３．（２０１９天津文，１９，１４分）设椭圆 ａ ｂ 的左焦
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 明 →ＦＡ Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｂ 成等差数列 并求该数列的公差．
：｜ ｜，｜ ｜，｜ ｜ ，
点为Ｆ 左顶点为Ａ 上顶点为Ｂ．已知 ＯＡ ＯＢ Ｏ为原 解析 本题考查椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系
， ， ３｜ ｜＝２｜ ｜（ 、 、
点 ． 等差数列的概念及其运算．
）
求椭圆的离心率 证明 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
（１） ； （１） ： （ １， １）， （ ２， ２），
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
设经过点Ｆ且斜率为 ３ 的直线ｌ与椭圆在ｘ轴上方的交 则 １ １ ２ ２ ．
（２） ＋ ＝１， ＋ ＝１
４ ４ ３ ４ ３
点为Ｐ 圆Ｃ同时与ｘ轴和直线ｌ相切 圆心Ｃ在直线ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ
， ， ＝４ 两式相减 并由 １－ ２ ｋ得 １＋ ２ １＋ ２ ｋ ．
上 且ＯＣ ＡＰ．求椭圆的方程． ， ｘ ｘ ＝ ＋ · ＝０
， ∥ １－ ２ ４ ３
解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方 ｘ ｘ ｙ ｙ
、 由题设知 １＋ ２ １＋ ２ ｍ
程 圆等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查 ＝１， ＝ ，
、 ２ ２
运算求解能力 以及用方程思想 数形结合思想解决问题的能
， 、 于是ｋ ３ ．
力．满分 分． ＝－ ｍ ①
１４ ４
设椭圆的半焦距为ｃ 由已知有 ａ ｂ．
（１） ， ３ ＝２ 由题设得 ｍ ３ 故ｋ １ ．
０＜ ＜ ， ＜－
æ ö２ ｃ ２ ２
又由ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ， 消去ｂ得ａ２ ＝è ç ２ ３ａ ø ÷ ＋ ｃ２ ， 解得 ａ ＝ ２ １ ． （２） 由题意得Ｆ （１，０） ．设Ｐ （ ｘ ３， ｙ ３）， 则 （ ｘ ３－１， ｙ ３）＋（ ｘ １－１， ｙ １）＋
ｘ ｙ ．
所以 ， 椭圆的离心率为 １ ． （ 由 ２－１， 及 ２ 题 ）＝ 设 （ 得 ０，０ ｘ ） ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｍ ．
２ （１） ３＝３－（ １＋ ２）＝１， ３＝－（ １＋ ２）＝－２ ＜０
由 知 ａ ｃ ｂ ｃ 故椭圆方程为
ｘ２ ｙ２
．
又点Ｐ在Ｃ上
，
（２） （１） ， ＝２ ， ＝ ３ ，
４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１
所以ｍ ３
＝ ，
由题意 Ｆ ｃ 则直线ｌ的方程为ｙ ３ ｘ ｃ ． ( ４ )
， （－ ，０）， ＝ （ ＋ ）
４ 从而Ｐ ３ Ｆ→Ｐ ３ ．
ì ï ｘ２ ｙ２ １，－ ２ ，｜ ｜＝ ２
点Ｐ的坐标满足í
ï
ï ４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１，
消去ｙ并化简 ， 得到 ７ ｘ２ ＋６ ｃｘ － 于是 ｜ →ＦＡ ｜＝ （ ｘ １－１） ２ ＋ ｙ２ １ ＝ （ ｘ １－１） ２ ＋３
æ
è ç １－
ｘ２
１
ö
ø ÷ ＝２－
ｘ
１．
ïｙ ３ ｘ ｃ ４ ２
î ＝ （ ＋ ）， ｘ
４
１３ ｃ２ ＝０， 解得ｘ １＝ ｃ ， ｘ ２＝－ １３ ｃ ．
同理
，｜
Ｆ→Ｂ
｜＝２－ ２
２．
７
所以 →ＦＡ Ｆ→Ｂ １ ｘ ｘ ．
代入到ｌ的方程 解得ｙ ３ ｃ ｙ ９ ｃ． ｜ ｜＋｜ ｜＝４－ （ １＋ ２）＝３
， １＝ ， ２＝－ ２
２
(
１
)
４ 故
２｜
Ｆ→Ｐ
｜＝｜
→ＦＡ
｜＋｜
Ｆ→Ｂ
｜，
因为点Ｐ在ｘ轴上方 所以Ｐ ｃ ３ ｃ ．
， ， 即 →ＦＡ Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｂ 成等差数列．
２ ｜ ｜，｜ ｜，｜ ｜
由圆心Ｃ在直线ｘ 上 可设Ｃ ｔ ． 设该数列的公差为ｄ 则
＝４ ， （４，） ，
３ ｃ ｄ Ｆ→Ｂ →ＦＡ １ ｘ ｘ １ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ ．
ｔ ２｜ ｜＝｜｜ ｜－｜ ｜｜＝ ｜ １－ ２｜＝ （ １＋ ２） －４ １ ２ ②
因为ＯＣ ＡＰ 且由 知Ａ ｃ 故 ２ 解得ｔ ．则 ２ ２
∥ ， （１） （－２ ，０）， ＝ｃ ｃ， ＝２
４ ＋２ 将ｍ ３ 代入 得ｋ ．
Ｃ ． ＝ ① ＝－１
（４，２） ４
专题九 圆锥曲线 ６２５
得 ｘ ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ｘ ｙ２ ｘ ２ ．
所以ｌ的方程为ｙ ｘ ７ 代入Ｃ的方程 并整理得 ｘ２ ｘ ［（ １＋２） ＋３ １］ ＋１２ １ ＋１２ １－３（ １＋２） ＝０
＝－ ＋ ， ， ７ －１４ ＋ 设Ｃ ｘ ｙ ．
４ （ Ｃ， Ｃ）
４ １ ＝０ ． 所以ｘ Ｃ＋ ｘ １＝ （ ｘ １＋ － ２ １ ） ２ ｙ ２ ＋ ２ １ ３ ｙ２ １ ＝ ４ ４ ｘ ｘ ２ １ １ － ＋ １ ７ ２．
故ｘ １＋ ｘ ２＝２， ｘ １ ｘ ２＝ ２ １ ８ ， 代入 ② 解得 ｜ ｄ ｜＝ ３ ２８ ２１． 所以ｘ Ｃ＝ ４ ｘ ｘ ２ １－１２ － ｘ １＝ －１ ｘ ２－７ ｘ １．
４ １＋７ ４ １＋７
ｙ ｙ
所 思 以 路 该 分析 数列 的 （１ 公 ） 利 差 用 为 “ ３ 点 ２８ ２ 差 １ 法 或 ” － 建 ３ ２ 立 ８ ２１ ｋ ． 与ｍ的关系式 ， 由ｍ的 所 设 以 Ｄ （ ｙ ｘ Ｃ Ｄ ＝ ， ｘ ｙ １ Ｄ ＋ ） １ ２ ． （ ｘ Ｃ＋２）＝ ４ ｘ １ １ ＋７ ．
范围得到ｋ的范围．
ｘ ｙ
同理得ｘ －１２－７ ２ ｙ ２ ．
根据题设Ｆ→Ｐ →ＦＡ Ｆ→Ｂ ０及点Ｐ在Ｃ上 确定ｍ的值．进一 Ｄ＝ ｘ ， Ｄ＝ ｘ
（２） ＋ ＋ ＝ ， ４ ２＋７ ４ ２＋７
步得出 Ｆ→Ｐ →ＦＡ Ｆ→Ｂ 的关系 再求公差． 记直线ＣＱ ， ＤＱ的斜率分别为ｋ ＣＱ， ｋ ＤＱ，
｜ ｜、｜ ｜、｜ ｜ ，
解后反思 解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先 ｙ ｙ
（１） １ １ ２ １
把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后利用根与系数的 ｘ － ｘ －
关系建立方程 （ 组 ）， 解决相关 ， 问题 、 ． ， 则ｋ ＣＱ－ ｋ ＤＱ＝ － ４ １２ １ － ＋ ７ ７ ｘ １ ４ ７ － － ４ １２ ２ － ＋ ７ ７ ｘ ２ ４ ７ ＝４（ ｙ １－ ｙ ２－ ｘ １＋ ｘ ２） ．
题中涉及弦的中点坐标时 可以采用 点差法 求解 设出 ｘ ＋ ｘ ＋
（２） ， “ ” ， ４ １＋７ ４ ４ ２＋７ ４
弦端点Ａ Ｂ的坐标 分别代入圆锥曲线方程并作差 变形后可 因为Ｃ Ｄ Ｑ三点共线
、 ， ， ， ， ，
出现弦ＡＢ的中点坐标和直线ＡＢ的斜率． 所以ｋ ＣＱ－ ｋ ＤＱ＝０ ．
５．（２０１８北京文，２０，１４分）已知椭圆Ｍ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
故ｙ
１－
ｙ
２＝
ｘ
１－
ｘ
２
．
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
所以直线ｌ的斜率ｋ
ｙ
１－
ｙ
２ ．
＝ｘ ｘ ＝１
离心率为 ６ 焦距为 ．斜率为ｋ的直线ｌ与椭圆Ｍ有两个 １－ ２
３ ， ２ ２ ６．（２０１８天津理，１９，１４分）设椭圆 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的左焦
不同的交点Ａ Ｂ． ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
，
求椭圆Ｍ的方程
（１） ； 点为Ｆ 上顶点为 Ｂ．已知椭圆的离心率为 ５ 点 Ａ 的坐标为
若ｋ 求 ＡＢ 的最大值 ， ，
（２） ＝１， ｜ ｜ ； ３
设Ｐ 直线ＰＡ与椭圆Ｍ的另一个交点为Ｃ 直线 ｂ 且 ＦＢ ＡＢ ．
（３） （－２，０）， ， （ ，０）， ｜ ｜·｜ ｜＝６ ２
( ) 求椭圆的方程
ＰＢ与椭圆Ｍ的另一个交点为Ｄ．若Ｃ Ｄ和点Ｑ ７ １ （１） ；
， － ， 设直线ｌ ｙ ｋｘ ｋ 与椭圆在第一象限的交点为Ｐ 且ｌ
４ ４ （２） ： ＝ （ ＞０） ，
共线 求ｋ．
， ＡＱ
ì ï ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ， 与直线ＡＢ交于点Ｑ．若｜ ＰＱ ｜ ＝ ５ ２ ｓｉｎ∠ ＡＯＱ （ Ｏ为原点 ），
｜ ｜ ４
ïｃ
求ｋ的值．
解析 由题意得í ６
（１） ïａ ＝ ， 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方
ï ３ 、
î ｃ 程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运
２ ＝２ ２，
解得ａ ｂ ． 算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力．
＝ ３， ＝１ ，
所以椭圆Ｍ的方程为
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
．
（１）
设椭圆的焦距为
２
ｃ
，
由已知有
ａ
ｃ２
２ ＝
５
，
３ ９
设直线ｌ的方程为ｙ ｘ ｍ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ． 又由ａ２ ｂ２ ｃ２ 可得 ａ ｂ．
（２
{
）
ｙ ｘ ｍ
＝ ＋ ， （ １， １）， （ ２， ２）
由已知可
＝
得
＋
Ｆ
，
Ｂ ａ
２
Ａ
＝
Ｂ
３
ｂ
＝ ＋ ， ，｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ２ ，
由 ｘ２ 由 ＦＢ ＡＢ 可得ａｂ 从而ａ ｂ ．
＋ ｙ２ ＝１ ｜ ｜·｜ ｜＝６ ２， ＝６， ＝３， ＝２
３ ｘ２ ｙ２
得 ４ ｘ２ ＋６ ｍｘ ＋３ ｍ２ －３＝０ ． 所以 ， 椭圆的方程为 ９ ＋ ４ ＝１ ．
所以ｘ ｘ ３ ｍ ｘ ｘ ３ ｍ２ －３． 设点Ｐ的坐标为 ｘ ｙ 点Ｑ的坐标为 ｘ ｙ ．
１＋ ２＝－ ２ ， １ ２＝ ４ （ 由 ２ 已 ） 知有ｙ ｙ 故 （ Ｐ １， Ｑ １）， ＡＯＱ ｙ ｙ ． （ ２， ２）
１＞ ２＞０， ｜ ｜ｓｉｎ∠ ＝ １－ ２
ＡＢ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ ｘ ｘ ２ ｙ
｜ ｜＝ （ ２－ １） ＋（ ２－ １） ＝ ２（ ２－ １） 又因为 ＡＱ ２ 而 ＯＡＢ π 故 ＡＱ ｙ ．
ｘ ｘ ２ ｘ ｘ １２－３
ｍ２
．
｜ ｜＝
ｓｉｎ∠
ＯＡＢ， ∠ ＝
４
， ｜ ｜＝ ２ ２
＝ ２［（ １＋ ２） －４ １ ２］ ＝ ＡＱ
２ 由｜ ｜ ５ ２ ＡＯＱ 可得 ｙ ｙ ．
当ｍ 即直线ｌ过原点时 ＡＢ 最大 最大值为 ． ＰＱ ＝ ｓｉｎ∠ ， ５ １＝９ ２
＝０， ，｜ ｜ ， ６ ｜ ｜ ４
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ． {ｙ ｋｘ
（３） （ １， １）， （ ２， ２） ＝ ， ｋ
由题意得ｘ２
１＋３
ｙ２
１＝３，
ｘ２
２ ｙ ＋３
ｙ２
２＝３
． 由方程组 ｘ２
＋
ｙ２
＝１，
消去ｘ
，
可得ｙ
１＝ ９
６
ｋ２ ＋４
．
直线ＰＡ的方程为ｙ ＝ｘ １ （ ｘ ＋２） ． 易知直线ＡＢ ９ 的方 ４ 程为ｘ ｙ
{ ｙ
１＋２
{ｙ ｋｘ
＋ －２＝０，
ｋ
由方程组 ＝ ， 消去ｘ 可得ｙ ２ ．
由 ｙ ＝ｘ １＋ １ ２ （ ｘ ＋２）， ｘ ＋ ｙ －２＝０， ， ２＝ｋ ＋１
ｘ２
＋３
ｙ２
＝３，
由
５
ｙ
１＝９
ｙ
２，
可得
５（
ｋ
＋１）＝３ ９
ｋ２
＋４，
两边平方
，
６２６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
失分警示 由于忽略点 Ｍ Ｎ 位置的转换性 使直线 ＢＭ
整理得 ｋ２ ｋ 解得ｋ １ 或ｋ １１． （１） ， ，
５６ －５０ ＋１１＝０， ＝ ， ＝ 方程缺失 从而导致失分
２ ２８ ， ；
由于不能将 ＡＢＭ ＡＢＮ 正确转化为 ｋ ｋ 进
所以 ｋ的值为 １ 或１１． （２） “∠ ＝∠ ” “ ＢＭ＋ ＢＮ＝０”
， 行证明 从而思路受阻 无法完成后续内容．
２ ２８ ， ，
ＡＱ ｘ２ ｙ２
解题关键 利用平面几何知识将｜ ｜ ５ ２ ＡＯＱ转化为 ８．（２０１７天津文，２０，１４分）已知椭圆 ａ ｂ 的左
ＰＱ ＝ ｓｉｎ∠ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
｜ ｜ ４
点Ｐ Ｑ坐标间的关系是解决第 问的关键． 焦点为Ｆ ｃ 右顶点为Ａ 点Ｅ的坐标为 ｃ ＥＦＡ的
、 （２） （－ ，０）， ， （０， ），△
方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法 ｂ２
面积为 ．
定义法 根据椭圆的定义 确定ａ２ ｂ２ 的值 结合焦点位置
（１） ： ， ， ， ２
写出椭圆方程 求椭圆的离心率
； （１） ；
待定系数法 这是求椭圆方程的常用方法 基本步骤为
（２） ： ， ① 设点Ｑ在线段ＡＥ上 ＦＱ ３ ｃ 延长线段ＦＱ与椭圆交
根据已知条件判断焦点的位置 根据焦点的位置设出所求椭 （２） ，｜ ｜＝ ，
；② ２
圆的方程
；③
根据已知条件
，
建立关于ａ
、
ｂ
、
ｃ的方程组
，
注意ｃ２ 于点Ｐ
，
点Ｍ
，
Ｎ在ｘ轴上
，
ＰＭ
∥
ＱＮ
，
且直线ＰＭ与直线ＱＮ
＝
ａ２
－
ｂ２ 的应用
；④
解方程组
，
求得ａ
、
ｂ的值
，
从而得出椭圆的 间的距离为ｃ
，
四边形ＰＱＮＭ的面积为
３
ｃ．
方程． 求直线ＦＰ的斜率
（ｉ） ；
７．（２０１８课标Ⅰ文，２０，１２分）设抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｘ
，
点Ａ
（２，０），
Ｂ
（ｉｉ）
求椭圆的方程．
过点Ａ的直线ｌ与Ｃ交于Ｍ Ｎ两点． 解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程
（－２，０）， ， 、
当ｌ与ｘ轴垂直时 求直线ＢＭ的方程 等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思
（１） ， ；
证明 ＡＢＭ ＡＢＮ． 想．考查运算求解能力 以及综合分析问题和解决问题的能力．
（２） ：∠ ＝∠ ，
解析
（１）
当ｌ与ｘ轴垂直时
，
ｌ的方程为ｘ
＝２，
可得Ｍ的坐
设椭圆的离心率为ｅ．由已知 可得 １ ｃ ａ ｃ
ｂ２
．
标为 或 ． （１） ， ２ （ ＋ ） ＝ ２
（２，２） （２，－２） 又由ｂ２ ａ２ ｃ２ 可得 ｃ２ ａｃ ａ２ 即 ｅ２ ｅ ．
所以直线ＢＭ的方程为ｙ １ ｘ 或ｙ １ ｘ ． ＝ － ， ２ ＋ － ＝０， ２ ＋ －１＝０
＝
２
＋１ ＝－
２
－１
又因为 ｅ 解得ｅ １ ．所以 椭圆的离心率为 １ ．
当ｌ与ｘ轴垂直时 ＡＢ为ＭＮ的垂直平分线 所以 ＡＢＭ ０＜ ＜１， ＝ ２ ， ２
（２） ， ， ∠ 依题意 设直线ＦＰ的方程为ｘ ｍｙ ｃ ｍ 则直线
ＡＢＮ． （２）（ｉ） ， ＝ － （ ＞０），
＝∠
当ｌ与ｘ轴不垂直时 设ｌ的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ Ｍ ｘ ＦＰ的斜率为 １ ．
， ＝ （ －２）（ ≠０）， （ １， ｍ
ｙ Ｎ ｘ ｙ 则ｘ ｘ ．
１） { ， ｙ （ ｋ ２ ｘ ， ２）， １＞０， ２＞０ 由 知ａ ｃ 可得直线ＡＥ的方程为 ｘ ｙ 即ｘ ｙ ｃ
由 ＝ （ －２）， （１） ＝２ ， ｃ＋ ｃ ＝１， ＋２ －２
ｙ２ ｘ ２
＝２ ｍ ｃ ｃ
与直线ＦＰ的方程联立 可解得ｘ （２ －２） ｙ ３ 即
得ｋｙ２
－２
ｙ
－４
ｋ
＝０，
可知ｙ
１＋
ｙ
２＝
２
ｋ ，
ｙ
１
ｙ
２＝－４
． ＝０，
( ｍ ｃ
，
ｃ )
＝ ｍ
＋２
， ＝ｍ
＋２
，
直线ＢＭ ＢＮ的斜率之和为 点Ｑ 的坐标为 （２ －２） ３ ．由已知 ＦＱ ３ ｃ 有
， ｍ ，ｍ ｜ ｜ ＝ ，
ｙ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｙ ｙ ＋２ ＋２ ２
ｋ ＢＭ＋ ｋ ＢＮ＝ｘ １ ＋ｘ ２ ＝ ２ １＋ ｘ １ ２＋２ ｘ （ １＋ ２）． ① [ （２ ｍ －２） ｃ ｃ ] ２ ( ３ ｃ ) ２ ( ３ ｃ) ２ 整理得 ｍ２ ｍ 所以ｍ
１＋２ ２＋２ （ １＋２）（ ２＋２） ｍ
＋２
＋ ＋ ｍ
＋２
＝
２
， ３ －４ ＝０，
ｙ ｙ
将ｘ １＝ ｋ １ ＋２， ｘ ２＝ ｋ ２ ＋２ 及ｙ １＋ ｙ ２， ｙ １ ｙ ２ 的表达式代入 ① 式分子 ， ＝ ４ ， 即直线ＦＰ的斜率为 ３ ．
３ ４
可得
ｘ２ ｙ２
由ａ ｃ 可得ｂ ｃ 故椭圆方程可以表示为 ．
ｘ ｙ ｘ ｙ ｙ ｙ ２
ｙ
１
ｙ
２＋４
ｋ
（
ｙ
１＋
ｙ
２） －８＋８ ．
（ｉｉ） ＝２ ， ＝ ３ ，
４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１
２ １＋ １ ２＋２（ １＋ ２）＝ ｋ ＝ ｋ ＝０ 由 得直线ＦＰ的方程为 ｘ ｙ ｃ 与椭圆方程联立得
（ｉ） ３ －４ ＋３ ＝０，
所以ｋ ＢＭ＋ ｋ ＢＮ ＝０， 可知 ＢＭ ， ＢＮ 的倾斜角互补 ， 所以 ∠ ＡＢＭ { ３ ｘ －４ ｙ ＋３ ｃ ＝０，
＝∠ ＡＢＮ． ｘ２ ｙ２ 消去ｙ ，
综上
，∠
ＡＢＭ
＝∠
ＡＢＮ．
４
ｃ２ ＋
３
ｃ２ ＝１，
方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题 整理得
７
ｘ２
＋６
ｃｘ
－１３
ｃ２
＝０，
策略 ｃ ( ｃ)
： 解得ｘ １３ 舍去 或ｘ ｃ．因此可得点Ｐ ｃ ３ 进而可得
求直线方程．先寻找确定直线的两个条件．若缺少一个可设 ＝－ （ ）， ＝ ， ， ｜
（１） ７ ２
出此量
，
利用题设条件寻找关于该量的方程
，
解方程即可．
( ｃ) ２ ｃ ｃ
（２）
求线段长度或线段之积
（
和
）
的最值．可依据直线与圆锥曲 ＦＰ
｜＝ （
ｃ
＋
ｃ
）
２
＋
３
＝
５
，
所以
｜
ＰＱ
｜ ＝｜
ＦＰ
｜－｜
ＦＱ
｜ ＝
５
－
２ ２ ２
线相交 利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数 然
， ， ｃ
３ ｃ．
后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值 也可利用圆锥 ＝
； ２
曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离． 由已知 线段ＰＱ的长即为ＰＭ与ＱＮ这两条平行直线间的距
，
证明题．圆锥曲线中的证明问题多涉及定点 定值 角相等 离 故直线ＰＭ和ＱＮ都垂直于直线ＦＰ．
（３） 、 、 、 ，
线段相等 点在定直线上等 有时也涉及一些否定性命题 常采
ｃ ｃ
、 ， ， 因为ＱＮ ＦＰ 所以 ＱＮ ＦＱ ＱＦＮ ３ ３ ９ 所
用直接法或反证法给予证明．借助于已知条件 将直线与圆锥 ⊥ ， ｜ ｜＝｜ ｜·ｔａｎ∠ ＝ × ＝ ，
， ２ ４ ８
曲线联立
，
寻找待证明式子的表达式
，
结合根与系数的关系及
以 ＦＱＮ的面积为 １ ＦＱ ＱＮ ２７
ｃ２
同理 ＦＰＭ的面积等
整体代换思想化简即可得证． △ ｜ ｜｜ ｜＝ ， △
２ ３２
专题九 圆锥曲线 ６２７
ｃ２ ｃ２ ｃ２ 求椭圆Ｅ的方程及点Ｔ的坐标
于７５ 由四边形ＰＱＮＭ的面积为 ｃ 得７５ ２７ ｃ 整理得 （１） ；
， ３ ， － ＝３ ， 设Ｏ是坐标原点 直线ｌ′平行于ＯＴ 与椭圆Ｅ交于不同
３２ ３２ ３２ （２） ， ，
ｃ２ ｃ 又由ｃ 得ｃ ． 的两点Ａ Ｂ 且与直线ｌ交于点Ｐ．证明 存在常数λ 使得
＝２ ， ＞０， ＝２ ， ， ： ，
所以 椭圆的方程为 ｘ２ ｙ２ ． ｜ ＰＴ ｜ ２ ＝ λ ｜ ＰＡ ｜·｜ ＰＢ ｜， 并求λ的值．
， ＋ ＝１
１６ １２ 解析 由已知 ａ ｂ
方法点拨 ．求离心率常用的方法 直接求ａ ｃ 利用定义 （１） ， ＝ ２ ，
１ ：（１） ， ， ｘ２ ｙ２
求解 ；（２） 构造 ａ ， ｃ 的齐次式 ， 利用方程思想求出离心率 ｅ 则椭圆Ｅ的方程为 ｂ２ ＋ｂ２ ＝１ ．
的值． {ｘ２ ｙ２ ２
．求直线斜率的常用方法 公式法 ｋ ｙ １－ ｙ ２ ｘ ｘ 其中 由方程组 ２ ｂ２ ＋ｂ２ ＝１，得 ３ ｘ２ －１２ ｘ ＋（１８－２ ｂ２ ）＝０ ． ①
２ ：（１） ： ＝ｘ １－ ｘ ２ （ １≠ ２）， ｙ ＝－ ｘ ＋３，
两点坐标分别为
（
ｘ
１，
ｙ
１），（
ｘ
２，
ｙ
２）；（２）
利用导数的几何意义求 方程
①
的判别式为Δ
＝２４（
ｂ２
－３），
由Δ
＝０，
得ｂ２
＝３，
解 直线的方向向量ａ ｍ ｎ 则 ｋ
ｎ
ｍ 点
此时方程
①
的解为ｘ
＝２，
；（３） ＝（ ， ）， ＝ ｍ（ ≠０）；（４）
ｘ２ ｙ２
差法． 所以椭圆Ｅ的方程为 ＋ ＝１ ．
６ ３
．解决四边形或三角形的面积问题时 注意弦长公式与整体代 点Ｔ坐标为 ．
３ ， （２，１）
换思想的应用．
由已知可设直线ｌ′的方程为ｙ １ ｘ ｍ ｍ
ｘ２ ｙ２ （２） ＝ ＋ （ ≠０），
９．（２０１６课标Ⅱ文，２１，１２分）已知Ａ是椭圆Ｅ 的左 ２
： ＋ ＝１ ì ｍ
４ ３ { ïｘ ２
顶点 斜率为ｋ ｋ 的直线交Ｅ于Ａ Ｍ两点 点Ｎ在Ｅ上 ｙ １ ｘ ｍ ï ＝２－ ，
， （ ＞０） ， ， ， 由方程组 ＝ ＋ ，可得í ３
ＭＡ ＮＡ． ２ ï ｍ
⊥ ｙ ｘ ïｙ ２ ．
当 ＡＭ ＡＮ 时 求 ＡＭＮ的面积 ＝－ ＋３， î ＝１＋
（１） ｜ ｜＝｜ ｜ ， △ ； ３
（２） 当 ２｜ ＡＭ ｜＝｜ ＡＮ ｜ 时 ， 证明 ： ３＜ ｋ ＜２ ． 所以Ｐ点坐标为 ( ２ ｍ ２ ｍ) ＰＴ ２ ８ ｍ２．
解析 设Ｍ ｘ ｙ 则由题意知ｙ ． ２－ ３ ，１＋ ３ ，｜ ｜ ＝ ９
（１） （ １， １）， １＞０ 设点Ａ Ｂ的坐标分别为Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
由已知及椭圆的对称性知 直线ＡＭ的倾斜角为π．
， （ １， １）， （ ２， ２）
， ì ï ｘ２ ｙ２
又 将 Ａ ｘ （ ＝ － ｙ － ２， ２ ０ 代 ）， 入 因 ｘ 此 ２ ＋ 直 ｙ 线 ２ ＝ Ａ １ Ｍ 得 的 ７ 方 ｙ２ 程 －１ 为 ２ ｙ ＝ ｙ ＝ ０ ． ｘ ＋２ ． ４ （２ 分 ） 由方程组 î í ï ï ïｙ ６ ＝ ＋ ２ １ ３ ｘ ＋ ＝ ｍ １ ， ， 可得 ３ ｘ２ ＋４ ｍｘ ＋（４ ｍ２ －１２）＝０ ． ②
４ ３ 方程 的判别式为Δ ｍ２
解得ｙ 或ｙ １２ 所以ｙ １２． ② ＝１６（９－２ ），
＝０ ＝ ， １＝
７ ７ 由Δ 解得 ３ ２ ｍ ３ ２．
＞０， － ＜ ＜
因此 ＡＭＮ的面积Ｓ １ １２ １２ １４４． 分 ２ ２
△ △ ＡＭＮ＝２× ２ × ７ × ７ ＝ ４９ （４ ） 由 得 ｘ ｘ ４ ｍ ｘ ｘ ４ ｍ２ －１２． 所 以 ＰＡ
将直线ＡＭ的方程ｙ ｋ ｘ ｋ 代入
ｘ２ ｙ２
得
② １ ＋ ２ ＝ －
３
， １ ２ ＝
３
｜ ｜ ＝
（２） ＝ （ ＋２）（ ＞０） ４ ＋ ３ ＝１ ( ２ ｍ ｘ ) ２ ( ２ ｍ ｙ ) ２ ５ ２ ｍ ｘ
（３＋４ ｋ２ ） ｘ２ ＋１６ ｋ２ｘ ＋１６ ｋ２ －１２＝０ ． ２－ ３ － １ ＋ １＋ ３ － １ ＝ ２ ２－ ３ － １ ，
由ｘ １·（－２）＝ １ ３ ６ ＋ ｋ２ ４ － ｋ １ ２ ２得ｘ １＝ ２（ ３ ３ ＋ － ４ ４ ｋ ｋ ２ ２ ） ， 同理 ｜ ＰＢ ｜＝ ２ ５ ２－ ２ ３ ｍ － ｘ ２ ．
故
｜
ＡＭ
｜＝｜
ｘ
１＋２｜ １＋
ｋ２
＝
１２
３＋４
１
ｋ
＋
２
ｋ２
． 所以
｜
ＰＡ
｜·｜
ＰＢ
｜＝ ４
５
(
２－
２
３
ｍ
－
ｘ
１
)(
２－
２
３
ｍ
－
ｘ
２
)
( ｍ)
２
( ｍ)
由题设 直线ＡＮ的方程为ｙ １ ｘ ５ ２ ２ ｘ ｘ ｘ ｘ
， ＝－ ｋ （ ＋２）， ＝ ２－ － ２－ （ １＋ ２）＋ １ ２
４ ３ ３
故同理可得 ＡＮ １２
ｋ
１＋
ｋ２
． 分 ＝
５ (
２－
２ ｍ) ２
－
(
２－
２ ｍ)(
－
４ ｍ)
＋
４ ｍ２ －１２
＝
１０ｍ２．
｜ ｜＝ ｋ２ （７ ） ４ ３ ３ ３ ３ ９
３ ＋４
ｋ 故存在常数λ ４ 使得 ＰＴ ２ λ ＰＡ ＰＢ ．
由 ＡＭ ＡＮ 得 ２ 即 ｋ３ ｋ２ ｋ ． 分 ＝ ， ｜ ｜ ＝ ｜ ｜·｜ ｜
２｜ ｜＝｜ ｜ ｋ２ ＝ ｋ２ ， ４ －６ ＋３ －８＝０ （９ ） ５
３＋４ ３ ＋４ 评析 本题考查了直线与圆锥曲线相交的问题，这类题中常
设ｆ ｔ ｔ３ ｔ２ ｔ 则ｋ是ｆ ｔ 的零点 ｆ′ ｔ ｔ２ ｔ
（ ）＝４ －６ ＋３ －８， （ ） ， （ ）＝１２ －１２ ＋３ 用的方法是方程法，并结合根与系数的关系，两点间距离公
ｔ ２ 所以ｆ ｔ 在 内单调递增．
＝３（２ －１） ≥０， （ ） （０，＋∞） 式，难点是运算量比较大，注意运算技巧．
又ｆ ｆ 因此ｆ ｔ 在 内有
（ ３）＝１５ ３－２６＜０， （２）＝６＞０， （ ） （０，＋∞）
１１．（２０１６天津文，１９，１４分）设椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ 的右焦
唯一的零点 且零点ｋ在 内 所以 ｋ ． 分 ａ２ ＋ ＝１（ ＞ ３）
， （ ３，２） ， ３＜ ＜２ （１２ ） ３
评析 本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了设而不求， ｅ
点为Ｆ 右顶点为Ａ．已知 １ １ ３ 其中Ｏ为原点 ｅ
整体运算的技巧，考查了函数的思想方法，属难题． ， ＯＦ ＋ ＯＡ ＝ ＦＡ ， ，
｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜
ｘ２ ｙ２ 为椭圆的离心率．
１０．（２０１６四川理，２０，１３分）已知椭圆Ｅ ａ ｂ 的
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 求椭圆的方程
（１） ；
两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点 直线 设过点Ａ的直线ｌ与椭圆交于点Ｂ Ｂ不在ｘ轴上 垂直
， （２） （ ），
ｌ ｙ ｘ 与椭圆Ｅ有且只有一个公共点Ｔ． 于ｌ的直线与ｌ交于点Ｍ 与ｙ轴交于点Ｈ．若ＢＦ ＨＦ 且
： ＝－ ＋３ ， ⊥ ，
６２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
∠ ＭＯＡ ＝∠ ＭＡＯ ， 求直线ｌ的斜率． ｅ ì ï ï ｂ ＝ ２， ì ïï ａ ＝２，
解析 （１） 设 Ｆ （ ｃ ，０）， 由 ｜ Ｏ １ Ｆ ｜ ＋ ｜ Ｏ １ Ａ ｜ ＝ ｜ Ｆ ３ Ａ ｜ ， 即 １ ｃ ＋ ａ １ ＝ 解析 解法一 ：（１） 由已知得í ïａ ｃ ＝ ２ ， 解得í ïï ｂ ＝ ２，
ｃ ï ２ îｃ ．
ａ ａ
３
ｃ ，
可得ａ２
－
ｃ２
＝３
ｃ２
，
îａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２． ＝ ２
（ － ） ｘ２ ｙ２
又ａ２
－
ｃ２
＝
ｂ２
＝３，
所以ｃ２
＝１，
因此ａ２
＝４
． 所以椭圆Ｅ的方程为
＋ ＝１
．
所以 椭圆的方程为
ｘ２ ｙ２
． 设点Ａ ｘ ｙ Ｂ
４
ｘ ｙ
２
ＡＢ的中点为Ｈ ｘ ｙ ．
，
４
＋
３
＝１ （２
{
）
ｘ ｍｙ
（ １， １）， （ ２， ２）， （ ０， ０）
设直线ｌ的斜率为ｋ ｋ ＝ －１，
（
则
２
直
）
线ｌ的方程为ｙ ｋ
（
ｘ
≠０
．
）， 由 ｘ２ ｙ２ 得
（
ｍ２
＋２）
ｙ２
－２
ｍｙ
－３＝０，
＝ （ －２） ＋ ＝１
{ｘ２ ｙ２ ４ ２
ｍ ｍ
设Ｂ ｘ ｙ 由方程组 ＋ ＝１，消去ｙ 所以ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ３ 从而ｙ ．
（ Ｂ， Ｂ）， ４ ３ ， １＋ ２＝ｍ２ ， １ ２＝－ｍ２ ， ０＝ｍ２
ｙ ｋ ｘ ＋２ ＋２ ＋２
＝ （ －２） ( ) ２ ( ) ２
整理得
（４
ｋ２
＋３）
ｘ２
－１６
ｋ２ｘ
＋１６
ｋ２
－１２＝０
． 所以
｜
ＧＨ
｜
２
＝
ｘ
０＋
９
＋
ｙ２
０＝
ｍｙ
０＋
５
＋
ｙ２
０＝（
ｍ２
＋１）
ｙ２
０＋
ｋ２ ｋ２ ｋ ４ ４
解得ｘ 或ｘ ８ －６ 由题意得ｘ ８ －６ 从而ｙ －１２ ．
＝２， ＝
４
ｋ２
＋３
， Ｂ＝
４
ｋ２
＋３
， Ｂ＝
４
ｋ２
＋３
５ ｍｙ
０＋
２５．
２ １６
由 （１） 知 ， Ｆ （１，０）， 设 Ｈ （０， ｙ Ｈ）， 有Ｆ→Ｈ ＝ （－１， ｙ Ｈ）， Ｂ→Ｆ ｜ ＡＢ ｜ ２ （ ｘ １－ ｘ ２） ２ ＋（ ｙ １－ ｙ ２） ２ （１＋ ｍ２ ）（ ｙ １－ ｙ ２） ２
æ ｋ２ ｋ ö ＝ ＝
ç９－４ １２ ÷． ４ ４ ４
＝è ｋ２ ， ｋ２ ø ｍ２ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ
４ ＋３ ４ ＋３ （１＋ ）［（ １＋ ２） －４ １ ２］ ｍ２ ｙ２ ｙ ｙ
由ＢＦ ＨＦ 得Ｂ→Ｆ Ｆ→Ｈ 所以４ ｋ２ －９ １２ ｋｙ Ｈ 解得 ｙ ＝ ４ ＝（１＋ ）（ ０－ １ ２），
⊥ ， · ＝０，
４
ｋ２
＋３
＋
４
ｋ２
＋３
＝０， Ｈ
故 ＧＨ ２ ｜
ＡＢ
｜
２
５ ｍｙ ｍ２ ｙ ｙ ２５ ５
ｍ２
９－４
ｋ２
．
｜ ｜ －
４
＝
２
０＋（１＋ ） １ ２＋
１６
＝
２（
ｍ２
＋２）
－
＝ ｋ ｍ２ ｍ２ ＡＢ
１２ ３（１＋ ） ２５ １７ ＋２ 所以 ＧＨ ｜ ｜．
ｋ２ ｍ２ ＋ ＝ ｍ２ ＞０， ｜ ｜＞
因此直线ＭＨ的方程为ｙ １ ｘ ９－４ ． ＋２ １６ １６（ ＋２） ２
＝－ ｋ ＋ ｋ ( )
１２ 故点Ｇ ９ 在以ＡＢ为直径的圆外．
{ｙ ｋ ｘ － ，０
＝ （ －２）， ４
设Ｍ
（
ｘ
Ｍ，
ｙ
Ｍ），
由方程组
ｙ １ ｘ ９－４
ｋ２ 消去ｙ
，
解法二
：（１）
同解法一．
＝－ ｋ ＋ ｋ ( )
１２ 设点Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则→ＧＡ ｘ ９ ｙ
ｋ２ （２） （ １， １）， （ ２， ２）， ＝ １＋ ， １ ，
解得ｘ ２０ ＋９ ． ４
Ｍ＝ ｋ２ ( )
１２（ ＋１） Ｇ→Ｂ ｘ ９ ｙ ．
在 △ ＭＡＯ中 ，∠ ＭＯＡ ＝∠ ＭＡＯ ⇔｜ ＭＡ ｜＝｜ ＭＯ ｜， 即 （ ｘ Ｍ－２） ２ ＋ ｙ２Ｍ { ＝ ｘ ｍ ２＋ ｙ ４ ， ２
ｋ２ ＝ －１，
＝ ｘ２Ｍ＋ ｙ２Ｍ， 化简得 ｘ Ｍ＝１， 即 ２０ ｋ２ ＋９ ＝ １， 解得 ｋ ＝－ ６ ， 或 ｋ 由 ｘ２ ｙ２ 得 （ ｍ２ ＋２） ｙ２ －２ ｍｙ －３＝０，
１２（ ＋１） ４ ＋ ＝１
４ ２
６． ｍ
＝ 所以ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ３
４ １＋ ２＝ｍ２ ， １ ２＝－ｍ２ ，
＋２ ＋２
所以 直线ｌ的斜率为 ６或 ６． ( )( )
， － 从 而 →ＧＡ Ｇ→Ｂ ｘ ９ ｘ ９ ｙ ｙ
４ ４ · ＝ １＋ ２＋ ＋ １ ２ ＝
评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ４ ４
( )( )
等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算 ｍｙ ５ ｍｙ ５ ｙ ｙ ｍ２ ｙ ｙ ５ ｍ ｙ ｙ ２５
１＋ ２＋ ＋ １ ２＝（ ＋１） １ ２＋ （ １＋ ２）＋ ＝
求解能力以及用方程思想解决问题的能力． ４ ４ ４ １６
１２．（２０１５福建理，１８，１３分）已知椭圆Ｅ ：ａ ｘ２ ２ ＋ ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 过 －３（ ｍ ｍ ２ ２ ＋１） ＋ｍ ２
５
２
ｍ２
＋ ２５ ＝ １７ ｍ ｍ ２ ２ ＋２ ＞０，
＋２ ＋２ １６ １６（ ＋２）
点 且离心率ｅ ２． 所以 →ＧＡ Ｇ→Ｂ ．又→ＧＡ Ｇ→Ｂ不共线 所以 ＡＧＢ为锐角．
（０， ２）， ＝ ｃｏ ( ｓ〈 ， ) 〉＞０ ， ， ∠
２
求椭圆Ｅ的方程 故点Ｇ ９ 在以ＡＢ为直径的圆外．
（１） ； － ，０
（２）
设直线ｌ
：
ｘ
＝
ｍｙ
－１（
ｍ
∈
Ｒ
）
交椭圆Ｅ于Ａ
，
Ｂ两点
，
判断点 评析 本小 ４ 题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基
( )
Ｇ ９ 与以线段ＡＢ为直径的圆的位置关系 并说明 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思
－ ，０ ，
４ 想、化归与转化思想、函数与方程思想．
理由．
ｘ２ ｙ２
１３．（２０１５安徽理，２０，１３分）设椭圆Ｅ的方程为 ａ ｂ
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
点Ｏ为坐标原点 点Ａ的坐标为 ａ 点Ｂ的坐标为
＞０）， ， （ ，０），
ｂ 点Ｍ在线段ＡＢ上 满足 ＢＭ ＭＡ 直线ＯＭ的斜
（０， ）， ， ｜ ｜＝２｜ ｜，
率为 ５．
１０
求Ｅ的离心率ｅ
（１） ；
专题九 圆锥曲线 ６２９
设点Ｃ的坐标为 ｂ Ｎ为线段ＡＣ的中点 点Ｎ关于 设过点Ａ的动直线ｌ与Ｅ相交于Ｐ Ｑ两点．当 ＯＰＱ的
（２） （０，－ ）， ， （２） ， △
面积最大时 求ｌ的方程．
直线ＡＢ的对称点的纵坐标为 ７ 求Ｅ的方程． ，
，
２ ( ) 解析 设Ｆ ｃ 由条件知 ２ ２ ３ 得ｃ ．
解析 由题设条件知 点Ｍ的坐标为 ２ ａ １ ｂ （１） （ ，０）， ， ｃ ＝ ３ ， ＝ ３
（１） ， ， ，
３ ３ ｃ
又ｋ ＯＭ＝ ５ ， 从而 ｂ ａ＝ ５．
又
ａ ＝ ２
３
，
所以ａ
＝２，
ｂ２
＝
ａ２
－
ｃ２
＝１
．
１０ ２ １０ 故Ｅ的方程为 ｘ２ ｙ２ ．
ｃ ＋ ＝１
进而得ａ ｂ ｃ ａ２ ｂ２ ｂ．故ｅ ２ ５． ４
＝ ５ ， ＝ － ＝２ ＝ ａ ＝ 当 ｌ ｘ 轴时不合题意 故设 ｌ ｙ ｋｘ Ｐ ｘ
５ （２） ⊥ ， ： ＝ － ２， （ １，
ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ ．
由题设条件和 的计算结果可得 直线ＡＢ的方程为 １）， （ ２， ２）
（２） （１） ， ｂ ｘ２
５ 将ｙ ｋｘ 代入 ｙ２ 得 ｋ２ ｘ２ ｋｘ ．
ｙ æ ö ＝ －２ ＋ ＝１ （１＋４ ） －１６ ＋１２＝０
点Ｎ的坐标为ç ５ｂ １ ｂ÷． ４
设
＋ ｂ
点
＝
Ｎ
１，
关于直线ＡＢ的
è
对
２
称
，
点
－
２
Ｓ的
ø
坐标为
(
ｘ ７
)
则线段
当Δ
＝１６（４
ｋ２
－３）＞０，
即ｋ２
＞
４
３ 时
，
ｘ
１，２＝
８
ｋ
±２
４
ｋ２
＋
４
１
ｋ２
－３．
１， ，
２ ｋ２ ｋ２
ＮＳ的中点 Ｔ 的坐标为 æ è ç ５ｂ ＋ ｘ １ ，－ １ ｂ ＋ ７ ö ø ÷．又点 Ｔ 在直线 从而 ｜ ＰＱ ｜＝ ｋ２ ＋１｜ ｘ １－ ｘ ２｜＝ ４ ＋ ４ １ ｋ · ２ ＋１ ４ －３．
４ ２ ４ ４
又点Ｏ到直线ＰＱ的距离ｄ ２
ì ï ï ５ｂ ＋ ｘ １ － １ ｂ ＋ ７ ＝ ｋ２ ＋１ ，
４ ２ ４ ４ 所以 ＯＰＱ的面积
ï ï ｂ ＋ ｂ ＝１， △
ＡＢ上 且ｋ ｋ 从而有í
５
Ｓ １ ｄ ＰＱ ４ ４
ｋ２
－３．
， ＮＳ· ＡＢ＝－１， ï７ １ ｂ △ ＯＰＱ＝ ·｜ ｜＝ ｋ２
＋ ２ ４ ＋１
ï２ ２ ｔ
î
ï
ïｘ
１－
２
５ｂ
＝ ５， 设
４
ｋ２
－３＝
ｔ
，
则ｔ
＞０，
Ｓ
△ ＯＰＱ＝ｔ２
４
＋４
＝
ｔ
＋
４
４
ｔ
．
解得ｂ ．
＝３
ｘ２ ｙ２ 因为ｔ ４ 当且仅当ｔ 即ｋ ７时等号成立 且满足
所以ａ 故椭圆Ｅ的方程为 ． ＋ ｔ ≥４， ＝２， ＝± ，
＝３ ５， ＋ ＝１ ２
４５ ９ Δ
评析 本题考查椭圆的方程、几何性质以及对称问题，利用方 ＞０，
程思想解决点关于直线的对称问题，考查利用待定系数法求 所以 当 ＯＰＱ的面积最大时 ｌ 的方程为 ｙ ７ｘ 或 ｙ
， △ ， ＝ －２ ＝
椭圆的方程，考查学生的运算求解能力和化归思想的应用． ２
１４．（２０１４课标Ⅰ理，２０，１２分）已知点Ａ 椭圆Ｅ
ｘ２
７ｘ ．
（０，－２）， ：ａ２ ＋ －
２
－２
评析 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，直线的方程
ｙ２
ａ ｂ 的离心率为 ３ Ｆ是椭圆Ｅ的右焦点 直线ＡＦ 以及直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研
ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ，
２ 究圆锥曲线综合问题，考查方程思想、函数思想、整体代换以
的斜率为２ ３ Ｏ为坐标原点． 及换元法的应用．考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力．
，
３
求Ｅ的方程
（１） ；
时间： 分钟 分值： 分
８０ ９１
一、单项选择题 每题 分 共 分 答案 Ｄ
（ ５ ， ３０ ）
１．（２０１９湖北重点中学第一次调研，１１）点Ｐ是椭圆
ｘ２ ｙ２
３．（２０２１届河北衡水中学期中考试，１０）已知椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ
９
＋
５
＝１ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
上的点 Ｆ Ｆ 是椭圆的左 右焦点 则 ＰＦ Ｆ 的周长是 ｂ 上一点Ａ关于原点的对称点为点Ｂ Ｆ为其右焦点 若ＡＦ
， １、 ２ 、 ， △ １ ２ ＞０） ， ，
[ ]
（ ） ＢＦ 设 ＡＢＦ α 且α π π 则该椭圆的离心率ｅ的
⊥ ， ∠ ＝ ， ∈ ， ，
Ａ．１２ Ｂ．１０ Ｃ．８ Ｄ．６ ６ ４
答案 Ｂ 取值范围是
（ ）
２．（２０２１届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，８）已知斜率存在 é ö é ù
êê ２ ÷ êê ２ úú
的直线ｌ交椭圆Ｃ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
于Ａ
，
Ｂ两点
，
点Ｐ是弦ＡＢ的中 Ａ．ë
２
，１ø Ｂ．ë
２
， ３－１û
９ ４ é ù é ù
点 ， 点Ｍ （１，０）， 且Ｍ→Ｐ ·（ Ｍ→Ｂ － Ｍ→Ａ ）＝０，｜ ＭＰ ｜＝１， 则直线ＭＰ的 Ｃ．ë êê ２ ， ３ û úú Ｄ．ë êê ３ ， ６ û úú
斜率为 ２ ２ ３ ３
（ ） 答案 Ｂ
４ ３ ４．（２０２１届河南新高三学期初第一次摸底考试，１１）在平面直角
Ａ．２ ２ Ｂ．４ ２ Ｃ．± Ｄ．±
３ ４
６３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２ 答案 ＡＤ
坐标系ｘＯｙ中 以椭圆 ａ ｂ 上的一点Ａ为圆心
， ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
的圆与ｘ轴相切于椭圆的一个焦点 与ｙ轴相交于Ｂ Ｃ两点 三、填空题 每题 分 共 分
， ， ， （ ５ ， １５ ）
若 ＡＢＣ是锐角三角形 则该椭圆的离心率的取值范围是 ｘ２
△ ， ９．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，１５）已知椭圆Ｅ
：ａ２
（ ）
æ ö æ ö ｙ２
ç ６－ ２ ５－１÷ ç ６－ ２ ÷ ａ ｂ 的右焦点为Ｆ ｃ 若点Ｆ到直线ｂｘ ａｙ
Ａ．è ， ø Ｂ．è ，１ø ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） （ ，０）， － ＝０
２ ２ ２
æ ö æ ö
ç ５－１ ÷ ç ５－１÷ 的距离为 ３ｃ 则Ｅ的离心率为 ．
Ｃ．è ，１ø Ｄ．è０， ø ，
２ ２ ３
答案 Ａ
答案 ２
５．（２０２１届江苏南京航空航天大学附属高级中学期中，６）已知
２
ｘ２ ｙ２ １０．（２０２１届浙江杭州高级中学１１ 月期中，１４）在平面直角坐
Ｐ是椭圆 ａ ｂ 上的一点 Ｆ Ｆ 分别是椭圆的
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， １、 ２ 标系ｘＯｙ中 点Ｍ的坐标为 且Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ０ 动点Ｐ与
， （－１，２）， ＋ ＝ ，
左 右焦点 点Ｐ到原点 Ｏ 的距离为焦距的一半 且 ＰＦ
、 ， ， ｜ １｜－ Ｍ Ｎ连线的斜率之积为 １ 则动点Ｐ的轨迹方程为
ＰＦ ａ 则椭圆的离心率为 ， － ，
｜ ２｜＝ ， （ ） ２
ＰＭＮ面积的取值范围是 ．
６ １０ ３ ２ ，△
Ａ．
答 ４ 案 Ｂ
Ｂ．
４
Ｃ．
２
Ｄ．
２ 答案
ｘ２
＋ ２
ｙ２
＝１（ ｘ ≠±１）；
æ
è ç ０， ９ ２
ù
û úú
９ ９ ２
ｘ２ ｙ２ １１．（２０２１届浙江之江教育评价联盟返校联考，１４）已知椭圆Ｃ
６．（２０１９广东七校４月联考，１１）已知点Ｐ为椭圆 上
：
＋ ＝１
１６ １２ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ ．直线ｌ过椭圆
的动点 ＥＦ为圆Ｎ ｘ２ ｙ ２ 的任一直径 则Ｐ→Ｅ Ｐ→Ｆ的最 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， １， ２
， ： ＋（ －１） ＝１ ， ·
大值和最小值分别是 Ｃ的左顶点且与椭圆 Ｃ 相切 Ｐ 为直线 ｌ 上任意一点 若
（ ） ， ，
Ａ．１６，１２－４ ３ Ｂ．１７，１３－４ ３ Ｆ ＰＦ 的最大值为π 则椭圆Ｃ的离心率是 ．
∠ １ ２ ，
６
Ｃ．１９，１２－４ ３ Ｄ．２０，１３－４ ３
答案 Ｃ 答案 １
２
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， １０ ） 四、解答题 共 分
７．（２０２１届河北邯郸摸底考试，１１）如图 已知Ｆ Ｆ 分别是椭 （ ３６ ）
， １， ２ ｘ２ ｙ２
圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点 点Ｐ是该椭圆在第一象限
１２．（２０２１届河北衡水中学期中，１０）已知椭圆Ｃ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（
ａ
＞
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） 、 ，
内的点 ，∠ Ｆ １ ＰＦ ２ 的平分线交ｘ轴于Ｑ点 ， 且满足Ｏ→Ｆ ２＝４ Ｏ→Ｑ ， ｂ ＞０） 的离心率ｅ ＝ ２ ３ ， 原点到过点Ａ （ ａ ，０）， Ｂ （０，－ ｂ ） 的直线
则椭圆的离心率ｅ可能是
（ ）
的距离是４ ５．
５
求椭圆Ｃ的方程
（１） ；
如果直线ｙ ｋｘ ｋ 交椭圆Ｃ于不同的两点Ｅ Ｆ 且
（２） ＝ ＋１（ ≠０） ， ，
Ｅ Ｆ都在以Ｂ为圆心的圆上 求ｋ的值．
， ，
ｘ２ ｙ２
１３．（２０２０安徽淮北、宿州一模，２１）已知椭圆Ω ａ ｂ
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞
的焦距是 且椭圆过点Ｐ ．
１ １ １ ３ ＞０） ２ ２， （－ ２，１）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 求椭圆Ω的标准方程
８ ４ ２ ４ （１） ；
答案 ＣＤ Ａ Ｂ是抛物线Γ ｘ２ ｙ上的两点 且在点Ａ Ｂ处的切线
（２） ， ： ＝４ ， ，
ｘ２ ｙ２ 相互垂直 直线ＡＢ与椭圆Ω相交于Ｃ Ｄ两点 Ｏ为坐标
８．（２０２０山东泰安第五次模拟，１１）已知椭圆Ｃ ａ ｂ ， ， ，
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ 原点 求 ＯＣＤ的面积的最大值．
， △
的右焦点为Ｆ 点Ｐ在椭圆Ｃ上 点Ｑ在圆Ｅ ｘ ２ ｙ １４．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，２２）设椭圆Ｃ
＞０） ， ， ：（ ＋３） ＋（ ：
－４）
２
＝４
上
，
且圆Ｅ上的所有点均在椭圆Ｃ外
，
若
｜
ＰＱ
｜－｜
ＰＦ
｜
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心率ｅ １ 过椭圆Ｃ上一点Ｐ
的最小值为 且椭圆Ｃ的长轴长恰与圆Ｅ的直径长相 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ＝ ， （２，３）
２ ５－６， ２
等 则下列说法正确的是 作两条不重合且倾斜角互补的直线ＰＡ ＰＢ 分别与椭圆Ｃ交
， （ ） 、 ，
椭圆Ｃ的焦距为 于Ａ Ｂ两点 且ＡＢ的中点为Ｍ．
Ａ． ２ 、 ，
椭圆Ｃ的短轴长为
（１）
求椭圆Ｃ的方程
；
Ｂ． ３ 椭圆Ｃ上是否存在不同于Ｐ的定点Ｎ 使得 ＭＮＰ的面
ＰＱ ＰＦ 的最小值为 （２） ， △
Ｃ．｜ ｜＋｜ ｜ ２ ５ 积为定值 如果存在 求定点Ｎ的坐标 如果不存在 说
？ ， ； ，
过点Ｆ的圆Ｅ的切线斜率为－４± ７ 明理由．
Ｄ．
３
专题九 圆锥曲线 ６３１
１．在矩形ＡＢＣＤ中 ＡＢ ＢＣ 则以Ａ Ｂ为焦点 且过Ｃ ｘ２ ｙ２
，｜ ｜＝４，｜ ｜＝３， ， ， ， ５．（２０１８广东惠州三调，１６）设Ａ Ｂ为椭圆 ａ ｂ
Ｄ两点的椭圆的短轴的长为 、 ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
（ ）
的左 右顶点 若在椭圆上存在异于Ａ Ｂ的点Ｐ 使得Ｐ→Ｏ Ｐ→Ｂ
Ａ．２ ３ Ｂ．２ ６ Ｃ．４ ２ Ｄ．４ ３ 、 ， ， ， ·
答案 Ｄ 依题意得 ＡＣ 椭圆的焦距 ｃ ＡＢ 长轴 其中 Ｏ 为坐标原点 则椭圆的离心率 ｅ 的取值范围是
｜ ｜＝５， ２ ＝｜ ｜＝４， ＝０， ，
长
２
ａ
＝｜
ＡＣ
｜＋｜
ＢＣ
｜＝８，
所以短轴长
２
ｂ
＝２
ａ２
－
ｃ２
＝２ １６－４＝
．
æ ö
． 答案 ç ２ ÷
４ ３ è ，１ø
２．（２０１８广西桂林、柳州联考，１０）已知点Ｐ是以Ｆ Ｆ 为焦点 ２
１， ２
的椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 上一点 若ＰＦ ＰＦ ＰＦ Ｆ
解析 由题意知Ａ
（－
ａ
，０），
Ｂ
（
ａ
，０），
设Ｐ
（
ｘ
，
ｙ
），
则Ｐ→Ｏ
＝（－
ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， １⊥ ２，ｔａｎ∠ ２ １＝ ｘ ｙ Ｐ→Ｂ ａ ｘ ｙ 又Ｐ→Ｏ Ｐ→Ｂ ａ ｘ ｘ ｙ２
，－ ）， ＝（ － ，－ ）， · ＝０，∴ （ － ）（－ ）＋ ＝０，
２，
则椭圆的离心率ｅ
＝ （ ） 得ｙ２ ａｘ ｘ２ ｘ ａ．将ｙ２ ａｘ ｘ２ 代入
ｘ２ ｙ２
整理得
＝ － ＞０，∴０＜ ＜ ＝ － ａ２ ＋ｂ２ ＝１，
５ １ ２ １
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｂ２ ａ２ ｘ２ ａ３ｘ ａ２ｂ２ 由题意知该方程在 ａ 上有解．
３ ３ ３ ２ （ － ） ＋ － ＝０， （０， ）
答案 Ａ 依题意 设 ＰＦ ｍ 则有 ＰＦ ｍ Ｆ Ｆ 设ｆ ｘ ｂ２ ａ２ ｘ２ ａ３ｘ ａ２ｂ２ ｆ ａ２ｂ２ ｆ ａ
， ｜ ２｜ Ｆ ＝ Ｆ ， ｜ ｍ １｜＝２ ，｜ １ ２｜ ＝ （ ） { ＝ Δ （ － ） ＋ － ，∵ （０）＝－ ＜０， （ ）＝０，
ｍ 则椭圆的离心率ｅ ｜ １ ２｜ ５ ５．故选 ． ≥０，
５ ， ＝ ＰＦ ＰＦ ＝ ｍ ＝ Ａ 只需 ａ３ 解得ａ２ ｂ２
３．（２０１８湖北重点中学４月
｜
联考
１｜
，
＋
７
｜
）已
２
知
｜
椭
３
圆
ｘ２ ３ ｙ２
的左
∴ ０＜－
２（
ｂ２
－
ａ２
）
＜ ａ ， ＞２ ，
＋ ＝１ 、 ｃ２
４ ３ 又ｂ２ ａ２ ｃ２ １
右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 且垂直于长轴的直线交椭圆于Ａ ＝ － ，∴ ａ２＞ ，
１、 ２， ２ ， ２
Ｂ两点 则 ＡＢＦ 内切圆的半径为
， △ １ （ ） 又 ｅ ２ ｅ ．
０＜ ＜１，∴ ＜ ＜１
４ ４ ３ ２
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ． 解题关键 求出点Ｐ的轨迹方程 并将问题转化为一元二次
３ ５ ４ ，
答案 Ｄ 不妨设Ａ点在Ｂ点上方 由题意知 Ｆ 将 方程在一区间上有解的问题是解题的关键．
， ： ２（１，０），
Ｆ 的横坐标代入椭圆方程
ｘ２ ｙ２
中 可得 Ａ点纵坐标为
６．（２０１７湖南东部六校４月联考，１５）设Ｐ
，
Ｑ分别是圆ｘ２
＋（
ｙ
－
２ ＋ ＝１ ， ｘ２
４ ３ ２ 和椭圆 ｙ２ 上的点 则Ｐ Ｑ两点间的最大距离是
Ｓ １） ＝３ ＋ ＝１ ， 、
３ 故 ＡＢ 所以内切圆半径 ｒ ２ ６ ３ 其中 Ｓ 为 ４
， ｜ ｜＝３， ＝ Ｃ ＝ ＝ （ ．
２ ８ ４
ＡＢＦ 的面积 Ｃ为 ＡＢＦ 的周长 ．故选 ．
△ １ ， △ １ ） Ｄ 答案 ７ ３
ｂ２
一题多解 由椭圆的通径公式得 ＡＢ ２ 则Ｓ １ ３
｜ ｜＝ ａ ＝３， △ ＡＢＦ １ ＝ × 解析 依据圆的性质可知 Ｐ Ｑ两点间的最大距离可以转化
２ ， ，
２×３＝３， 又易得 △ ＡＢＦ １ 的周长Ｃ ＝４ ａ ＝８， 则由Ｓ △ ＡＢＦ １ ＝ ２ １ Ｃ · ｒ 为 ｙ 圆 则 心 圆 到 心 椭圆上点的 到 距 椭 离 圆 的 上 最 点 大 的 值 距 加 离 上 为 圆 ｄ 的半径 ｘ２ ３， ｙ 设Ｑ （ ２ ｘ ，
）， （０，１） ＝ ＋（ －１） ＝
可得ｒ ３ ．故选 ． ( )
＝ ４ Ｄ ｙ２ ｙ ｙ １ ２ １６ ｙ 当ｙ １
－３ －２ ＋５＝ －３ ＋ ＋ ，∵ －１≤ ≤１，∴ ＝－
ｘ２ ｙ２ ３ ３ ３
４．（２０２０陕西百校联盟９月联考，１０）已知椭圆Ｃ 的
： ＋ ＝１
８ ２ 时 ｄ取最大值４ ３ 所以 Ｐ Ｑ 两点间的最大距离为 ｄ
左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 直线ｌ过点Ｆ 且与椭圆Ｃ交于Ｍ Ｎ ， ， 、 ｍａｘ＋ ３
、 １， ２， ２ ， ３
两点 ， 且Ｍ→Ａ ＝ Ａ→Ｎ ， 若 ｜ ＯＡ ｜＝｜ ＡＦ ２｜， 则直线ｌ的斜率为 （ ） ＝ ７ ３．
３
１ １ １ 解题关键 通过圆的性质把Ｐ Ｑ两点间的最大距离转化为圆
Ａ．±１ Ｂ．± Ｃ．± Ｄ．± 、
２ ３ ４
心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径是求解本题的
ì
ï
ｘ２ ｙ２
ï １ ＋ １ ＝１， 关键．
答案 Ｂ 设Ｍ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｎ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
则í
ïｘ
８
２ ｙ
２
２
两式相减
７．（２０１８江苏高邮高三期初）已知椭圆
ｘ２ ｙ２
上一点Ｐ到其
ï ２ ２ ＋ ＝１
î ＋ ＝１， １６ ９
８ ２ 右焦点Ｆ 的距离为 则点Ｐ到其左准线的距离为 ．
ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ２ ５，
可得（ １－ ２）（ １＋ ２） （ １－ ２）（ １＋ ２） 又由题意知Ａ为线
＋ ＝０， 答案 １２ ７
８ ２
æｘ ｘ ｙ ｙ ö ７
段ＭＮ 的中点 故 Ａç １＋ ２ １＋ ２÷ 故 ｋ ｋ １ 因为
， è ２ ， ２ ø， ＯＡ· ＭＮ＝－ ４ ， 解析 易知ｅ ｃ２ ７ 设椭圆的左焦点为Ｆ 则 ＰＦ
＝ ａ２ ＝ ， １， ｜ １｜＝
ＯＡ ＡＦ 所以ｋ ｋ 所以ｋ １ 故直线ｌ的斜率 ４
｜ ｜＝｜ ２｜， ＯＡ＝－ ＭＮ， ＭＮ＝±
２
，
２
ａ
－｜
ＰＦ
２｜＝８－５＝３，
设点Ｐ到左准线的距离为ｄ
，
ＰＦ
为 １ ． 由椭圆的第二定义可得｜ １｜ ３ ７ 解得ｄ １２ ７．
± ｄ ＝ ｄ ＝ ， ＝
２ ４ ７
６３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 设 ＰＦ ｍ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ｍ
即点Ｐ到左准线的距离为１２ ７． { ｍ ａ ｜ ２｜＝ ，∵ ｜ １｜＝３｜ ２｜，∴ ｜ １｜＝３ ，
７ 由 ４ ＝２ ，
ｘ２ ｃ２ ｍ２ ｍ２ ｍ ｍ °
８．（２０２０ 吉林梅河口五中４ 月月考，１６）椭圆 Ｃ ｙ２ 的 ４ ＝ ＋９ －２× ×３ ｃｏｓ１２０ ，
左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 点Ｍ为其上的动点 当
：
４
Ｆ
＋
ＭＦ
＝
为
１
钝
可得
４
ｃ２
＝１３×
ａ２
，∴
离心率ｅ
＝ ａ
ｃ
＝
１３．
， １， ２， ， ∠ １ ２ ４ ４
角时 点Ｍ的纵坐标的取值范围是 ． １２．（２０１９江苏淮阴中学期初）若椭圆上存在三点 使得这三点
， ，
é ö æ ù 与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点 则该椭圆的离心
答案 êê ３÷ ç ３ úú ，
ë－１，－ ø∪è ，１û 率为 ．
３ ３
解析 设 Ｍ ｘ ｙ ．由题意知 Ｆ Ｆ
（ ， ） １（－ ３，０）， ２（ ３，０）， 答案 ６
∠ Ｆ １ ＭＦ ２ 为钝角 ⇔ｃｏｓ∠ Ｆ １ ＭＦ ２＝ ｜ ＭＦ １｜ ２ Ｍ ＋ Ｆ ｜ ＭＦ ２｜ ２ Ｍ － Ｆ ｜ Ｆ １ Ｆ ２｜ ２ ＜０ 解析 不 ３ 妨设椭圆的方程为 ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 根据椭圆
２｜ １｜·｜ ２｜ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
ＭＦ ２ ＭＦ ２ Ｆ Ｆ ２ ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
⇔｜ １｜ ＋｜ ２｜ ＜｜ １ ２｜ ⇔（ ＋ ３） ＋ ＋（ － ３） ＋ ＜１２， 与正方形的对称性 可画出满足题意的图形 如图所示 因为
ｘ２ ， ， ，
因为点Ｍ ｘ ｙ 在椭圆上 所以 ｙ２ ｙ 可解得点 ( ａ ａ )
（ ， ） ， ＋ ＝１，－１≤ ≤１， ＯＢ ａ 所以 ＯＡ ２ａ 所以点Ａ的坐标为 又点
４ ｜ ｜＝ ， ｜ ｜＝ ， ， ，
é ö æ ù ２ ２ ２
Ｍ纵坐标ｙ的取值范围为êê ３÷ ç ３ úú． ａ２ ａ２
ë－１，－ ø∪è ，１û Ａ在椭圆上 所以 所以ａ２ ｂ２ 所以ａ２ ａ２
３ ３ ， ａ２ ＋ ｂ２ ＝１， ＝３ ， ＝３（ －
ｘ２ ｙ２ ４ ４
９．（２０１７江苏仪征中学期初检测，１２）已知椭圆Ｃ
ｃ
：
９
＋
４
＝１， ｃ２
），
所以
３
ｃ２
＝２
ａ２
，
所以椭圆的离心率ｅ
＝ ａ ＝
６．
设点Ｍ是与椭圆Ｃ的焦点不重合的一点．若点Ｍ关于椭圆Ｃ ３
的焦点的对称点分别为Ａ Ｂ 线段ＭＮ的中点在椭圆Ｃ上 则
， ， ，
ＡＮ ＢＮ ．
｜ ｜＋｜ ｜＝
答案
１２
解析 设椭圆的左 右焦点为Ｆ Ｆ 点Ｍ关于Ｆ Ｆ 的对
、 １， ２， １， ２
称点为Ｂ Ａ 如图 则由三角形中位线得 ＡＮ ＱＦ ＮＢ
， ， ， ｜ ｜＝２｜ ２｜，｜ ｜
ＱＦ ．
由
＝２
于
｜
Ｑ
１
Ｆ
｜
ＱＦ ａ 所以 ＡＮ ＮＢ ． １３．（２０１９江苏海安中学月考）设 Ｆ Ｆ 分别是椭圆
ｘ２ ｙ２
｜ ２｜＋｜ １｜＝２ ＝６， ｜ ｜＋｜ ｜＝１２ １， ２ ＋ ＝１
２５ １６
的左 右焦点 Ｐ为椭圆上任一点 点 Ｍ 的坐标为 则
、 ， ， （６，４），
ＰＭ ＰＦ 的最大值为 ．
｜ ｜＋｜ １｜
答案
１５
解析 如图 ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＭ
，｜ １｜＋｜ ２｜＝１０，｜ １｜＝１０－｜ ２｜，｜ ｜＋
ＰＦ ＰＭ ＰＦ 易知点Ｍ在椭圆外 连接ＭＦ 并
｜ １｜＝１０＋｜ ｜－｜ ２｜， ， ２
延长交椭圆于Ｐ点 此时 ＰＭ ＰＦ 取最大值 ＭＦ 故
思路分析 画出椭圆及对应点
，
利用椭圆定义求解． ， ｜ ｜－｜ ２｜ ｜ ２｜， ｜
１０．（２０１７江苏如东高级中学第二次学情调研）已知椭圆Ｃ
ｘ２ ＰＭ
｜＋｜
ＰＦ
１｜
的最大值为
１０＋｜
ＭＦ
２｜＝１０＋ （６－３）
２
＋４
２
＝１５
．
： ＋
２５
ｙ２
的左焦点为Ｆ 点Ｍ是椭圆Ｃ上一点 点Ｎ是ＭＦ的中
＝１ ， ，
９
点 Ｏ是椭圆的中点 ＯＮ 则点Ｍ到椭圆Ｃ的左准线的距
， ， ＝４，
离为 ．
答案 ５ １４．（２０１９北京丰台一模文，２０）已知椭圆Ｗ ｘ２ ｙ２ 直线ｌ
： ＋２ ＝２， １：
２ ｙ ｋｘ ｍ ｋｍ 与椭圆Ｗ交于Ａ Ｂ两点 直线ｌ ｙ ｋｘ ｍ
解析 设椭圆Ｃ的右焦点为Ｆ′ 则ＭＦ′ 由椭圆定 ＝ ＋ （ ≠０） ， ， ２： ＝ －
， ＝２×４＝８， 与椭圆Ｗ交于Ｃ Ｄ两点．
义可知ＭＦ 由圆锥曲线的统一定义得点Ｍ到椭圆 ，
＝１０－８＝２， 求椭圆Ｗ的离心率
ＭＦ （１） ；
Ｃ的左准线的距离为ｄ ２ ５ ． 证明 四边形ＡＢＣＤ不可能为矩形．
＝ ｅ ＝ ＝ （２） ：
思路分析 椭圆上一点到焦点
４
５ 的距
２
离问题可以联想椭圆定 解析 （１） 由题知
{ａ
ｂ２ ２ ＝ ＝ １ ２ ， ， 解得 { ａ ｃ ＝ ２，
义进行求解． ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
，
＝１，
１１．（２０１８新疆乌鲁木齐八一中学模拟，１６）已知点Ｐ是椭圆
ｘ２
则ｅ
ｃ
２ 所以椭圆Ｗ的离心率为 ２．
ａ２ ＋ ＝ ａ ＝
２
，
２
证明 由于两直线关于原点中心对称且椭圆是关于原点
ｙ２
ａ ｂ 上的一点 Ｆ Ｆ 分别为椭圆的左 右焦点 已知 （２） ：
ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， １， ２ 、 ， 的中心对称图形 ， 所以不妨设Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２）， Ｃ （－ ｘ １，－
Ｆ ＰＦ ° 且 ＰＦ ＰＦ 则椭圆的离心率为 ． ｙ Ｄ ｘ ｙ ｘ ｘ
∠ １ ２＝１２０ ， ｜ １｜＝３｜ ２｜， １） { ， ｘ２ （－ ｙ２ ２，－ ２）（ １≠± ２），
答案 １３ 则 １＋２ １＝２，①
ｘ２ ｙ２
４ ２＋２ ２＝２，②
专题九 圆锥曲线 ６３３
得 ｙ２ ｙ２ ｘ２ ｘ２ 因为Ｐ是椭圆上异于点Ｂ Ｂ 的点 所以ｘ
②－① ２（ ２－ １）＝－（ ２－ １）， １， ２ ， ０≠０，
所以ｋ ｋ （
ｙ
２－
ｙ
１） （－
ｙ
２－
ｙ
１）
ｙ２
２－
ｙ２
１ １ ． 从而ｘ １２
ｋ
．
ＡＢ· ＡＤ＝
（
ｘ
２－
ｘ
１）
·
（－
ｘ
２－
ｘ
１）
＝ｘ２
２－
ｘ２
１
＝－
２
≠－１ ０＝－
２
ｋ２
＋１
所以ＡＢ不垂直于ＡＤ． ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
因为Ｐ ｘ ｙ 在椭圆 上 所以 ０ ０
所以四边形ＡＢＣＤ不可能为矩形． （ ０， ０） ＋ ＝１ ， ＋ ＝１，
１８ ９ １８ ９
１５．（２０１８江苏南通高三调研测试，１７）如图 在平面直角坐标系 ｘ２
， 从而ｙ２ ０．
ｘＯｙ中 Ｂ Ｂ 是椭圆
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的短轴端点 Ｐ是椭
０－９＝－
２
， １， ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ，
所以ｋ ｋ′
ｙ
０－３
ｙ
０＋３
ｙ２
０－９ １ 得ｋ′ １ ．
圆上异于点 Ｂ Ｂ 的一动点．当直线 ＰＢ 的方程为 ｙ ｘ · ＝ ｘ · ｘ ＝ ｘ２ ＝－ ， ＝－ ｋ
１， ２ １ ＝ ＋３ ０ ０ ０ ２ ２
时 ， 线 求 段 椭圆 ＰＢ 的 １ 的 标 长 准 为 方程 ４ ２ ． 由ＱＢ ２⊥ ＰＢ ２， 得直线ＱＢ ２ 的方程为ｙ ＝－ｋ １ ′ ｘ －３＝２ ｋｘ －３ ．
（１） ； {
（２） 设点 Ｑ 满足 ： ＱＢ １⊥ ＰＢ １， ＱＢ ２⊥ ＰＢ ２， 求证 ：△ ＰＢ １ Ｂ ２ 与 联立 ｙ ＝－ １ ｋ ｘ ＋３，得ｘ ６ ｋ 即ｘ ６ ｋ ．
△
ＱＢ
１
Ｂ
２
的面积之比为定值．
ｙ ｋｘ
＝
２
ｋ２
＋１
， １＝
２
ｋ２
＋１
＝２ －３，
ｋ
１２
所以 Ｓ △ ＰＢ １ Ｂ ２ ｘ ０ － ２ ｋ２ ＋１ ．
Ｓ ＝ ｘ ＝ ｋ ＝２
△ ＱＢ １ Ｂ ２ １ ６
ｋ２
２ ＋１
评析 第（ ）问有两种解法，是选用不同的参数求解的，解法
２
解析 设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ ． 一是用点参数，解法二是用斜率作为参数表示其他量，这是两
在 ｙ ｘ
（
中
０，
令
０）
ｘ
， （
得
１，
ｙ
１）
从而ｂ ．
种常用方法．
（１） ＝ ＋３ ， ＝０， ＝３， ＝３
{ｘ２ ｙ２ １６．（２０１８江苏南京、盐城高三二模，１８）如图
，
在平面直角坐标
由
ｙ
ａ２ ＋
ｘ ９
＝１，得
ａ
ｘ２
２ ＋
（ ｘ ＋
９
３） ２
＝１
．
系ｘＯｙ中 ， 椭圆Ｅ ：ａ
ｘ２
２ ＋
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０） 的离心率为 ２ ， 上顶点
＝ ＋３ ２
ａ２ Ａ到右焦点的距离为 ．过点Ｄ ｍ ｍ 作不垂直于ｘ
所以ｘ ６ ． ２ （０， ）（ ≠０）
０＝－ ａ２ 轴 ｙ轴的直线ｌ交椭圆Ｅ于Ｐ Ｑ两点 Ｃ为线段ＰＱ的中点
９＋ ， ， ， ，
因为 ＰＢ ｘ２ ｙ ２ ｘ 且ＡＣ ＯＣ．
｜ １｜＝ ０＋（ ０－３） ＝ ２｜ ０｜， ⊥
所以
４ ２＝ ２·
９
６
＋
ａ
ａ
２
２，
解得ａ２
＝１８
． （
（
１
２
）
）
求
求
椭
实
圆
数
Ｅ
ｍ
的
的
方
取
程
值
；
范围
；
所以椭圆的标准方程为
ｘ２ ｙ２
． （３）
延长ＡＣ交椭圆Ｅ于点Ｂ
，
记
△
ＡＯＢ与
△
ＡＯＣ的面积分别
＋ ＝１ Ｓ
１８ ９ 为Ｓ Ｓ 若 １ ８ 求直线ｌ的方程．
ｙ １， ２， Ｓ ＝ ，
解法一 直线ＰＢ 的斜率为ｋ ０－３ ２ ３
（２） ： １ ＰＢ １ ＝ ｘ ，
０
ｘ
由ＱＢ ＰＢ 得直线ＱＢ 的斜率为ｋ ０ ．
１⊥ １， １ ＱＢ １ ＝－ｙ ０－３
ｘ
于是直线ＱＢ 的方程为ｙ ０ ｘ ．
１ ＝－ｙ ＋３
０－３
ｘ {
同理直线ＱＢ 的方程为ｙ ０ ｘ ． ｃ
２ ＝－ｙ －３ ２
０＋３ 解析 由题意得 ａ ＝ ，所以ｃ ｂ２ ａ２ ｃ２
ｙ２ （１） ２ ＝１， ＝ － ＝１，
联立两直线方程 消去ｙ 得ｘ ０－９． ａ
， ， １＝ ｘ ＝ ２，
０ ｘ２
ｘ２ ｙ２ 所以椭圆Ｅ的方程为 ｙ２ ．
因为Ｐ ｘ ｙ 在椭圆 上 ＋ ＝１
（ ０， ０） ＋ ＝１ ， ２
１８ ９ 解法一 由 得Ａ ．设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ Ｃ ｘ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ （２） ： （１） （０，１） （ １， １）， （ ２， ２）， （ ０，
所以 ０ ０ 从而ｙ２ ０． ｙ 其中ｘ ｙ 均不为 且ｘ ｘ ．
＋ ＝１， ０－９＝－ ０）， ０， ０ ０， １≠ ２
１８ ９ ２ 因为Ｐ Ｑ两点都在椭圆Ｅ上 所以ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ ， ， １＋２ １＝２， ２＋２ ２＝２，
所以ｘ ０． ｙ ｙ ｙ
１＝－ 两式相减得 ２－ １ ０ １ ．
２ ｘ ｘ ×ｘ ＝－
所以 Ｓ △ ＰＢ １ Ｂ ２ ｘ ０ ． ｙ ｙ ｙ ２ ｍ － １ ０ ｙ ｍ ２ ｙ
Ｓ △ ＱＢ １ Ｂ ２ ＝ ｘ １ ＝２ 又 ｘ ２－ ｘ １ ＝ ０ ｘ － ， 所以 ０ ｘ － ×ｘ ０ ＝－ １ ，
解法二 设直线ＰＢ ＰＢ 的斜率分别为ｋ ｋ′ 则直线ＰＢ 的 ２－ １ ０ ０ ０ ２
方程为
：
ｙ ｋｘ ．
１， ２ ， ， １ 即ｘ２
０＝２
ｙ
０（
ｍ
－
ｙ
０）
．
①
＝ ＋３ ｙ ｙ
由ＱＢ ＰＢ 得直线ＱＢ 的方程为ｙ １ ｘ ． 又ＡＣ ⊥ ＯＣ ， 所以 ０ ｘ －１ ×ｘ ０ ＝－１，
１⊥ １， １ ＝－ ｋ ＋３ ０ ０
将ｙ
＝
ｋｘ
＋３
代入 ｘ２
＋
ｙ２
＝１，
得
（２
ｋ２
＋１）
ｘ２
＋１２
ｋｘ
＝０，
即
由
ｘ２
０＝
ｙ
得
０（１
ｙ
－
ｙ
０）
ｍ
．
②
ｘ２ ｍ ｍ
１８ ９ ①② ０＝２ －１， ０＝（１－２ ）（２ －２）∈（０，２），
６３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｋ
所以 １ ｍ ． 与椭圆 Ｅ 的方程联立 解得 ｘ ８ 或 舍 即 ｘ
＜ ＜１ ， ＝－ ｋ２ ０（ ）， ３ ＝
２ １＋８
解法二 由 得Ａ ．设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ ． ｋ
： （１） （０，１） （ １， １）， （ ２， ２）， （ ０， ０） ８ ．
设直线ｌ的方程为ｙ ｋｘ ｍ ｋ － ｋ２
＝ ＋ （ ≠０）， １＋８
将其与椭圆Ｅ的方程联立 消去ｙ得 ｋ２ ｘ２ ｋｍｘ ｍ２ ｋｍ ｋ ｋ２ ｋ
， （１＋２ ） ＋４ ＋２ － 又因为ｘ －２ －２ ２ ＋１ －２
０＝ ｋ２ ＝ ｋ２ × ｋ２ ＝ ｋ２，
２＝０（∗）， １＋２ １＋２ ４ ＋１ １＋４
ｋｍ ｋ
所以ｘ ｘ －４ １ ＡＯ ｘ －８
１＋ ２＝
１＋２
ｋ２，
所以
Ｓ
１ ２
×｜ ３｜
１＋８
ｋ２
４＋１６
ｋ２
．
所以ｘ ０＝ ｘ １＋ ２ ｘ ２ ＝ １ － ＋ ２ ２ ｋ ｋ ｍ ２， ｙ ０＝ ｋｘ ０＋ ｍ ＝ １＋ ｍ ２ ｋ２， Ｓ ２ ＝ １ ２ ＡＯ ×｜ ｘ ０｜ ＝ １ － ＋ ２ ４ ｋ ｋ２ ＝ １＋８ ｋ２
即Ｃ æ è ç １ － ＋ ２ ２ ｋ ｋ ｍ ２， １＋ ｍ ２ ｋ２ ö ø ÷ ， 因为 Ｓ Ｓ １ ２ ＝ ３ ８ ， 所以４ １ ＋ ＋ １ ８ ６ ｋ ｋ ２ ２ ＝ ３ ８ ， 解得ｋ ＝± ２ １ ，
ｍ ｋ２ ( )
此时ｍ ２ ＋１ ３ Ｄ点坐标为 ３
所以ｋ
ｙ
０－１ １＋２
ｋ２
２
ｋ２
＋１－
ｍ
．
＝
４
ｋ２
＋１
＝
４
， ０，
４
，
ＡＣ＝ ｘ ＝ ｋｍ＝ ｋｍ
０ －２ ２ 所以直线ｌ的方程为ｙ １ ｘ ３ ．
１＋２
ｋ２ ＝±
２
＋
４
ｍ ｘ２ ｙ２
１７．（２０１９安徽黄山八校联考，２０）已知椭圆 ａ ｂ
ｙ ｋ２ ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０）
又因为ｋ ０ １＋２ １ 且ＡＣ ＯＣ
ＯＣ＝ｘ ＝ ｋｍ＝－ ｋ， ⊥ ，
０ －２ ２ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 离心率ｅ １ 点Ｐ是椭圆的上顶
１＋２
ｋ２ 、 １， ２， ＝
２
，
ｋ２ ｍ ( ) 点的一个动点 ＰＦ Ｆ 面积的最大值是 ．
所以ｋ ＡＣ× ｋ ＯＣ＝ ２ ＋ ｋ １ ｍ － × － １ ｋ ＝－１， 求椭圆的方 ，△ 程 １ ２ ４ ３
２ ２ （１） ；
ｋ２ 若Ａ Ｂ Ｃ Ｄ是椭圆上不重合的四点 ＡＣ与ＢＤ相交于点
整理得ｍ ２ ＋１． （２） ， ， ， ，
＝ ｋ２
４ ＋１ Ｆ →ＡＣ Ｂ→Ｄ 且 →ＡＣ Ｂ→Ｄ ９６ 求此时直线 ＡＣ 的
因为 ｋ 则 ｍ ２
ｋ２
＋１ ４
ｋ２
＋１－２
ｋ２
２
ｋ２
１
１， · ＝０， ｜ ｜＋｜ ｜ ＝
７
，
≠０， ＝ ｋ２ ＝ ｋ２ ＝１－ ｋ２ ＝１－ 方程．
４ ＋１ ４ ＋１ ４ ＋１ １
２＋ ｋ２ 解析 由题意知 当点Ｐ是椭圆的上顶点或下顶点时
２ （１） ， ，
( )
１ ＰＦ Ｆ 面积取得最大值 此时 Ｓ １ ｃ ｂ 又
∈ ２ ，１ ， △ １ ２ ， ， △ ＰＦ １ Ｆ ２ ＝ ２ ·２ · ＝４ ３，
此时Δ ｋ２ ｍ ｃ
＝８（２ ＋１－ ）＞０，
( )
ｅ
＝ ａ ＝
１
，
结合ａ２
＝
ｂ２
＋
ｃ２
，
所以实数ｍ的取值范围为 １ ． ２
２
，１
所以ａ ｂ ｃ ．所以所求椭圆的方程为
ｘ２ ｙ２
．
解法一 设Ｂ ｘ ｙ 点Ｂ在椭圆Ｅ上 所以ｘ２ ｙ２ ． ＝４， ＝２ ３， ＝２ ＋ ＝１
（３） ： （ ３， ３）， ， ３＋２ ３＝２ １６ １２
又ＡＣ
⊥
ＯＣ
，
所以 ｙ ３
ｘ
－１
×
ｙ
ｘ
０
＝－１，
即ｙ
３＝－
ｘ
ｙ
０ｘ
３＋１，
（２） 由 （１） 知Ｆ １（－２，０）， 由→ＡＣ · Ｂ→Ｄ ＝０ 得ＡＣ ⊥ ＢＤ．
３ ０ ０ 当直线ＡＣ与ＢＤ有一条直线的斜率不存在时 →ＡＣ Ｂ→Ｄ
ｘ ｙ ① ，｜ ｜＋｜ ｜
代入上式消去ｙ 得ｘ ４ ０ ０ 不符合题意
３， ３＝ｙ２
０＋２
ｘ２
０
， ＝１
设
４，
直线ＡＣ的斜
；
率为ｋ ｋ存在且不为 则直线ＢＤ的斜
② （ ０），
１ ＡＯ ｘ {ｙ ｋ ｘ
Ｓ ×｜ ３｜ ｘ ｙ ＝ （ ＋２），
所以
Ｓ
１
＝
２
＝ ｘ
３
＝ ｙ２
４ ０
ｘ２
． 率为
－
１
ｋ
．直线ＡＣ的方程为ｙ
＝
ｋ
（
ｘ
＋２），
联立 ｘ２ ｙ２ 消
２ １ ＡＯ ×｜ ｘ ０｜ ０ ０＋２ ０ １６ ＋ １２ ＝１，
２ 去ｙ得 ｋ２ ｘ２ ｋ２ｘ ｋ２
（３＋４ ） ＋１６ ＋１６ －４８＝０，
由
（２）
知ｙ
０＝２
ｍ
－１，
ｘ２
０＝（１－２
ｍ
）（２
ｍ
－２），
１
＜
ｍ
＜１， 设Ａ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ 则ｘ ｘ １６
ｋ２
ｘ ｘ １６
ｋ２
－４８
Ｓ ｍ
２ （ １， １）， （ ２， ２）， １＋ ２＝－
３＋４
ｋ２， １ ２＝
３＋４
ｋ２ ，
所以 Ｓ １
２
＝
（２
ｍ
－１）
２
＋
４
２
（
（
２
１－
－
２
１ ｍ ）
）（２
ｍ
－２）
＝
３－
４
２
ｍ ＝
３－
４
２
ｍ ． 所以
｜
→ＡＣ
｜＝ １＋
ｋ２
｜
ｘ
１－
ｘ
２｜＝
２４（１＋
ｋ
ｋ
２
２ ）．
Ｓ ３＋４
因为 １ ８ 所以 ４ ８ 解得ｍ ３ ｋ２
Ｓ ＝ ， ｍ＝ ， ＝ ， 同理可得 Ｂ→Ｄ ２４（１＋ ）
２ ３ ３－２ ３ ４ ｜ ｜＝ ｋ２ ，
４＋３
此时ｙ ０＝２ ｍ －１＝ １ ， ｘ２ ０＝（１－２ ｍ ）（２ ｍ －２）＝ １ ， 所以ｘ ０＝± １ ， 由 →ＡＣ Ｂ→Ｄ １６８（１＋ ｋ２ ） ２ ９６ 解得ｋ２
(
２
) (
４
)
２ ｜ ｜＋｜ ｜＝
（４＋３
ｋ２
）（３＋４
ｋ２
）
＝
７
， ＝１，
所以Ｃ点坐标为 １ １ Ｄ点坐标为 ３ 故直线ＡＣ的方程为ｙ ｘ ．
± ， ， ０， ， ＝±（ ＋２）
２ ２ ４
思路分析 根据离心率ｅ １ ＰＦ Ｆ 面积的最大值是
所以直线ｌ的方程为ｙ ＝± １ ｘ ＋ ３ ． （１） ＝ ２ ，△ １ ２
２ ４
解法二 设Ｂ ｘ ｙ ４ ３， 结合ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ， 即可求出ａ 、 ｂ ， 从而得结果 ；（２） 直线与
： （ ３， ３），
曲线方程联立 根据根与系数关系 弦长公式将 →ＡＣ Ｂ→Ｄ 用
ｋ １ ｋ 所以直线ＡＢ的方程为ｙ ｋｘ ， ， ｜ ｜＋｜ ｜
ＡＢ＝－ｋ ＝２ ， ＝２ ＋１， ｋ表示 解方程即可得ｋ的值．
ＯＣ ，
专题九 圆锥曲线 ６３５
件
方
确
法
定
点拨
关于
求
ａ ，
椭
ｂ ，
圆
ｃ的
标
方
准
程
方
组
程
，
时
解
一
出
般
ａ
利
， ｂ ，
用
即
待
可
定
得
系
到
数
椭
法
圆 ，
根
的
据
标
条
准
由
ａ
ｘ２
０＋
ｙ２
０ ｂ ＝５，
得Ａ
（ 椭 ２， 圆 １） 的 ，
将
方程
ｃ
＝ 为 ６ ｘ
代
２
入
ｙ２
椭圆
．
方程解得
方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题 其常规思路是 ＝２ ２， ＝ ２，∴ ＋ ＝１
， ８ ２
先把直线方程与椭圆方程联立 消元 化简 然后利用根与系
， 、 ， 由题意设ｌ′ ｙ １ ｘ ｍ ｍ
数的关系解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用 点差法 ： ＝ ＋ （ ≠０），
“ ” ２
解决． {ｘ２ ｙ２
＋４ ＝８，
ｘ２ ｙ２ 联立 整理得ｘ２ ｍｘ ｍ２
１８．（２０１８广东茂名模拟，２０）已知椭圆Ｃ ａ ｂ 的 ｙ １ ｘ ｍ ＋２ ＋２ －４＝０，
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ＝ ＋ ，
２
焦距为 设右焦点为Ｆ 过原点Ｏ的直线ｌ与椭圆Ｃ交于 Δ ｍ２ ｍ２ 即ｍ ．
２ ６， ，
＝４ －４（２ －４）＞０， ∈（－２，０）∪（０，２）
设直线ＡＰ ＡＱ的斜率分别为ｋ ｋ Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则
Ａ Ｂ两点 线段ＡＦ的中点为Ｍ 线段ＢＦ的中点为Ｎ 且Ｏ→Ｍ ， １， ２， （ １， １）， （ ２， ２），
， ， ， ， · ｙ ｙ
ｋ １－１ ｋ ２－１．
Ｏ→Ｎ ＝ 求 ４ １ 弦 ． ＡＢ的长 由 １＝ ｘ ｘ ２ １ ＋ － ２ ２ ｍ ， ｘ ＋ ２ ２ ＝ ｍ ｘ ２ ２ － － ４ ２ ＝０，
（１） ； 可得ｘ ｘ ｍ ｘ ｘ ｍ２
当直线ｌ的斜率ｋ １ 且直线ｌ′ ｌ时 ｌ′交椭圆于Ｐ Ｑ １＋ ２＝－２ ， １ ２＝２ －４，
（２） ＝ ， ∥ ， ， ， ｙ ｙ ｙ ｘ ｙ ｘ
２ 所以ｋ ｋ １－１ ２－１ （ １－１）（ ２－２）＋（ ２－１）（ １－２）
若点Ａ在第一象限 求证 直线ＡＰ ＡＱ与ｘ轴围成一个等 １＋ ２＝ｘ ＋ｘ ＝ ｘ ｘ
， ： ， ( １ ) －２ ２－２ ( （ １ ) －２）（ ２－２）
腰三角形．
１ ｘ ｍ ｘ １ ｘ ｍ ｘ
１＋ －１ （ ２－２）＋ ２＋ －１ （ １－２）
解析 由题意可知 ｃ ｃ Ｆ 设Ａ ｘ ２ ２
（１） ２ ＝２ ６， ＝ ６， （ ６，０）， （ ０， ＝ ｘ ｘ
ｙ Ｂ ｘ ｙ （ １－２）（ ２－２）
０）， （－ ０，－ ０）， ｘ ｘ ｍ ｘ ｘ ｍ
æｘ ｙ ö æ ｘ ｙ ö １ ２＋（ －２）（ １＋ ２）－４（ －１）
则Ｍ è ç ０＋ ６ ， ０ ø ÷ ， Ｎ è ç－ ０＋ ６ ，－ ０ ø ÷ ， ＝ （ ｘ １－２）（ ｘ ２－２）
２ ２ ２ ２ ｍ２ ｍ２ ｍ ｍ
由Ｏ→Ｍ · Ｏ→Ｎ ＝ ６－ ｘ ４ ２ ０－ ｙ２ ０ ＝ ４ １ ， 则ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝５， ＝ ２ 直线 －４ （ Ａ － ｘ Ｐ ２ １－ Ａ ２ Ｑ ） ＋ （ 与 ４ ｘ ２ ｘ － － 轴 ４ ２ （ ） 围 － 成 １） 一 ＝ 个 ０， 等 即 腰 ｋ 三 １＋ 角 ｋ ２ 形 ＝０ ． ．
∴ ，
则 ＡＢ ｘ２ ｙ２ ．
｜ ｜＝２ ０＋ ０ ＝２ ５
证明 直线ｌ的斜率ｋ １ 则ｌ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ
（２） ： ＝ ， ： ＝ ， ０＝ ０，
２ ２ ２
