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第 3 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、单项选择题
1．(2022·丹东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|
AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A. B. C．1 D．2
2．(2022·衡水中学质检)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也
是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半
轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为
12π，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．(2022·宜宾模拟)已知双曲线C ：－＝1及双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)，且C 的离心率
1 2 1
为，若直线y＝kx(k>0)与双曲线C ，C 都无交点，则k的值可以为( )
1 2
A．2 B. C. D．1
4．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，D(2,1)是椭圆M的一条弦AB的中点，点P(4，－1)在直线
AB上，则椭圆M的离心率为( )
A. B. C. D.
5．(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)
自上而下顺次与上述两曲线交于M，M，M，M 四点，则下列各式结果为定值的是( )
1 2 3 4
A．|MM|·|MM|
1 2 3 4
B．|FM|·|FM|
1 4
C．|MM|·|MM|
1 3 2 4
D．|FM|·|MM|
1 1 2
6．(2022·杭州师大附中模拟)已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F ，F ，P(x ，y)(x>0，
1 2 0 0 0
y>0)为椭圆上一点，直线PF ，PF 分别交椭圆于M，N两点，则当直线MN的斜率为－时，
0 1 2
等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多项选择题
7．已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x ，y)，B(x ，y)两点，O为坐标原点，
1 1 2 2
直线OA，OB的斜率分别记为k，k，则( )
1 2
A．y·y 为定值
1 2
B．k·k 为定值
1 2
C．y＋y 为定值
1 2D．k＋k＋t为定值
1 2
8．(2022·广东大联考)已知双曲线C的方程为－＝1，A，B两点分别是双曲线C的左、右顶
点，点P是双曲线C上任意一点(与A，B两点不重合)，记直线PA，PB的斜率分别为k ，
1
k，则( )
2
A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线C的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度m(m>0)，则离心率变大
C．k·k 为定值
1 2
D．存在实数t使得直线y＝x＋t与双曲线左、右两支各有一个交点
三、填空题
9．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是______________．
10．(2022·江西大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C
交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．
11．(2022·湛江模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，过原点O的直线l交双
曲线C于A，B两点，且2|FO|＝|AB|，若∠BAF＝，则双曲线C的离心率是________．
12．(2022·新高考全国Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F ，
1
F ，离心率为.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是
2 1 2
________．
四、解答题
13．(2022·河北联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线x＝t，x＝t＋4与抛物线C分别交于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M.当t＝2时，直线AB
的斜率为1.
(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；
(2)求△ABM的面积．
