北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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9.3 双曲线
考点1 双曲线的定义及标准方程
1.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线x2 y2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 、F .
− 1 2
a2 b2
√2
过F 作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF |=2,直线PF 的斜率为 ,则双曲线
2 2 1
4
的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
4 2 2 4
答案 D 由题意知|PF |=b(双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长)又|PF |
2 2
=2,∴b=2.
在Rt POF 中,|PF |=b,|PO|=a,|OF |=c,
2 2 2
1 1 ab
∴ a △ b= |y |c,即|y |= ,
P P
2 2 c
又∵ √2>0,∴点P在第一象限,点P所在渐近线方程为 y=bx,∴P(a2 ab),∵
k = ,
PF 1 4 a c c
ab
c √2
k = = ,即4ab=√2(a2+c2),∴8a=√2(2a2+4),即a2-2√2a+2=0,
PF 1 a2 4
+c
c
x2 y2
∴a=√2,∴双曲线的方程为 − =1,故选D.
2 4北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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2.(2021北京,5,4分)若双曲线x2 y2
=1的离心率为2,且过点( ),则双曲线的方程为( )
− √2,√3
a2 b2
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. − =1
2 6
2 3
{ − =1,
a2 b2
答案 {a2=1, y2
B 设双曲线的半焦距为c,由题意可知 c 解得 则双曲线的方程为x2-
e= =2, b2=3, 3
a
c2=a2+b2,
=1.
3.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,且与椭圆x2 +y2
a2 b2 2 12 3
=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
5 4 4 3
答案 B 本题考查双曲线的方程.
x2 y2 x2 y2 x2 y2
由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 - =k(k>0),即 - =1,∵双曲线与椭圆 + =1有公共
4 5 4k 5k 12 3
x2 y2
焦点,∴4k+5k=12-3,解得k=1,故双曲线C的方程为 - =1.故选B.
4 5
x2 y2 x2 y2
一题多解 ∵椭圆 + =1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆 + =1有公共焦点,∴a2+b2=(±3)2=9①,∵双曲
12 3 12 3
√5 b √5 x2 y2
线的一条渐近线为y= x,∴ = ②,联立①②可解得a2=4,b2=5.∴双曲线C的方程为 - =1.
2 a 2 4 5北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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y2
4.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标
3
是(1,3),则△APF的面积为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 2
答案 D 本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
1 3
∴S = ×3×1= .故选D.
△APF
2 2
5.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )
y2 x2
A.x2- =1 B. -y2=1
4 4
y2 x2
C. -x2=1 D.y2- =1
4 4
答案 C 由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
6.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦
a2 b2
点在直线l上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2 3x2 3 y2 3x2 3 y2
A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1
5 20 20 5 25 100 100 25
b x2 y2
答案 A 由题意得 =2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为 - =1.
a 5 20
7.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:x2 -y2
=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C
a2 b2
的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为( )北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 7 9
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
8 8 12 4
b
答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y= x,因此可设点A的坐标为(a,b).
a
设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,
c x2 y2
所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a= =2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为 - =1,故选A.
2 4 12
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和
逻辑推理能力.
8.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程
x2
-
y2
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取
m2+n 3m2−n
值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,√3)
C.(0,3) D.(0,√3)
答案 A 解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,∴2c=2×2|m|=4,∴|m|=1,∵方程
x2
m2+n
-
y2
=1表示双曲线,∴(m2+n)·(3m2-n)>0,
3m2−n
∴-m2<n<3m2,∴-1<n<3.故选A.
解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
{
m2+n>0,
∴ 3m2−n>0, ①
m2+n+3m2−n=4,
{
m2+n<0,
或 3m2−n<0, ②
−(3m2−n)−(m2+n)=4,
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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知识拓展 对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且m≠n;若表示双曲线,则m·n<0.
9.(2016天津,6,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的
4 b2
两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
x2 3 y2 x2 4 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 4 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 4 4 12
答案 D 设A(x,y),不妨令其在第一象限,
0 0
{x2+ y2=22,
0 0
由题意得
b
y = x ,
0 2 0
可得 x2 = 16 , y2 =b2 × 16 = 4b2 ,
0 4+b2 0 4 4+b2 4+b2
结合2x·2y=2b,可得b2=12.
0 0
x2 y2
所以双曲线的方程为 - =1.故选D.
4 12
10.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的
方程为 .
x2 y2
答案 − =1
2 2
解析 由题意设双曲线C的标准方程为x2 y2 =1(a>0,b>0),由题知c=2,c ,则a=
− =√2
a2 b2 a
x2 y2
√2,又c2=a2+b2,∴b2=2,则C的方程为 − =1.
2 2
y2
11.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周
8
长最小时,该三角形的面积为 .
答案 12√6北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|
=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点
共线时,△APF的周长最小.
x y
{ 0 + 0 =1,
−3 6√6
设P点坐标为(x
0
,y
0
),y
0
>0,由 得y2+6√6y
0
-96=0,所以y
0
=2√6或y
0
=-8√6(舍去).
y2 0
x2− 0=1
0 8
1 1
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6√6- ×6×2√6=12√6.
2 2
1
12.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y=± x,则该双曲线的标准方程为
2
.
x2
答案 -y2=1
4
解析 根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3
x2
)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.
4
考点2 双曲线的几何性质
y2
1.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为
9
线段AB中点的是( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
y2
答案 D 由双曲线方程x2- =1知a=1,b=3,则其渐近线方程为y=±3x.
9
观察选项知,四个点均在双曲线外,所以点A,B分别在双曲线的两支上,所以-3<k <3.
AB
设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
{
y2
x2− 1=1,
1 9 y2−y2
则 作差得(x2−x2)- 1 2=0,
y2 1 2 9
x2− 2=1,
2 9北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A
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则k =y −y 9(x +x ).
AB 1 2= 1 2
x −x y + y
1 2 1 2
对于A,{x
1
+x
2
=2,则k
AB
=9,
y + y =2,
1 2
∵k =9>3,∴A不满足题意.
AB
对于B,{x
1
+x
2
=−2,则k
AB
=-9,
y + y =4, 2
1 2
9
∵k =- <-3,∴B不满足题意.
AB
2
对于C,{x
1
+x
2
=2,则k
AB
=3,∴C不满足题意.
y + y =6,
1 2
对于D,{x
1
+x
2
=−2,则k
AB
=9,
y + y =−8, 4
1 2
9
则直线AB的方程为y+4= (x+1),
4
9 7
即y= x− .
4 4
9 7
{y= x− ,
由 4 4 消去y,得63x2+126x-193=0,
y2
x2− =1
9
∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x x <0,
1 2
∴直线AB与双曲线的两支分别相交,∴D满足题意.故选D.
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为 ,C的一
√5
a2 b2
条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
