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2025新教材数学高考第一轮复习
9.3 双曲线
五年高考
考点1 双曲线的定义和标准方程
x2 y2
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线 − =1的离心率为2,且过点(√2,√3),则双曲线的方程
a2 b2
为( )
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. − =1
2 6
x2 y2 √5
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分,易)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y= x,
a2 b2 2
x2 y2
且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
12 3
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
5 4 4 3
x2 y2
3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F 、F .过F
a2 b2 1 2 2
√2
作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF |=2,直线PF 的斜率为 ,则双曲线的方程为
2 1 4
( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
4 2 2 4
x2 y2
4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线 − =1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为 F ,F ,抛物线
a2 b2 1 2
π
y2=4√5x的准线l经过F ,且l与双曲线的一条渐近线交于点 A.若∠F F A= ,则双曲线的
1 1 2 4
方程为 ( )x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
16 4 4 16
x2 y2
C. −y2=1D.x2− =1
4 4
y2
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P
1 2 3
在C上且|OP|=2,则△PF F 的面积为( )
1 2
7
A. B.3
2
5
C. D.2
2
考点2 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2018课标Ⅱ理,5,5分,易)双曲线 − =1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为(
a2 b2
)
A.y=±√2xB.y=±√3x
√2 √3
C.y=± xD.y=± x
2 2
x2 y2
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为√5,C的一条渐近
a2 b2
线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( )
√5 2√5
A. B.
5 5
3√5 4√5
C. D.
5 5
x2 y2
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,离
a2 b2 1 2
心率为√5.P是C上一点,且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
x2 y2
4.(2020 课标Ⅱ,文 9,理 8,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C: −
a2 b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
y2
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为线段
9
AB中点的是 ( )
A.(1,1) B.(-1,2)
C.(1,3) D.(-1,-4)
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,10,5分,中)双曲线C: − =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,
4 2
O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
3√2 3√2
A. B.
4 2
C.2√2D.3√2
7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为
.
x2 y2
8.(2021 全国乙文,14,5 分,易)双曲线 − =1 的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为
4 5
.
x2 y2
9.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的
a2 b2
渐近线方程为 , .
答案 y=√3x;y=-√3x
x2
10.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C
m
的焦距为 .
x2 y2
11.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C: − =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的
6 3
焦点到其渐近线的距离是 .
x2 y2
12.(2023 新课标Ⅰ,16,5 分,中)已知双曲线 C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
a2 b2
2
F ,F ,点A在C上,点B在y轴上,⃗F A⊥⃗F B,⃗F A=− ⃗F B,则C的离心率为 .
1 2 1 1 2 3 2x2 y2
13.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
x2 y2
14.(2019课标Ⅰ,16,5分,难)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
a2 b2 1 2
过F 的直线与C的两条渐近线分别交于 A,B两点.若⃗F A=⃗AB,⃗F B·⃗F B=0,则C的离心
1 1 1 2
率为 .
三年模拟
综合基础练
x2 y2
1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y=√2x是双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条渐近
a2 b2
线,且点(2√3,2√3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
3 4 3 6
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
6 12 12 24
2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点在坐标轴上,且虚轴比实轴
长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为 ( )
5 4 5 7
A. B. C. D.
4 3 3 4
3.(2023山东威海一模)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,M为C上一点,M
− 1
a2 b2
关于原点的对称点为N,若∠MF N=60°,且|F N|=2|F M|,则C的渐近线方程为( )
1 1 1
√3
A.y=± xB.y=±√3x
3
√6
C.y=± xD.y=±√6x
6
4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与双曲线Γ:x2 y2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的
−
a2 b2
离心率e= ( )
√3 2√3 √21 √21
A. B. C. D.
2 3 7 3
5.(2024 届安徽摸底大联考,4)已知双曲线 C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
−
a2 b2
F ,F ,一条渐近线为l,过点F 且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF |=3|MF |,则双曲
1 2 2 1 2
线C的离心率为 ( )
A.√2B.√3C.√5 D.3
6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,
− √5
a2 b2
左,右焦点分别为F ,F ,F 关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF |=2,则△PF F 的面积
1 2 2 1 1 2
为 ( )
A.2 B.√5 C.3 D.4
7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C:y2 x2=1(a>0,b>0)内一点M(1,1)且斜率为1
−
a2 b2 2
的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为( )
√6 √5
A. B. C.√3D.√5
2 2
8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆
−
a2 b2
(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为 ( )
A.√3B.2C.√5D.√10
y2 x2
9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为 − =1,则 ( )
64 16
1
A.渐近线方程为y=± x
2
B.焦距为8√5
√5
C.离心率为
2
D.焦点到渐近线的距离为810.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C :x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别
1 +
a2 b2
为 F ,F ,M 是 C 上任意一点,△MF F 的面积的最大值为√3,C 的焦距为 2,则双曲线 C :
1 2 1 1 2 1 2
y2 x2=1的实轴长为 .
−
a2 b2
11.(2023江苏二模)设过双曲线 C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左焦点 F的直线l与C交于M,N
−
a2 b2
两点,若⃗FN=3⃗FM,且⃗OM·⃗FN=0(O为坐标原点),则C的离心率为 .
12.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距
为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为 .
13.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),直线
−
a2 b2
y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=√2|PQ|,则双曲
线C的离心率等于 .
综合拔高练1
1.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),斜率为- 的直线l过
− √3
a2 b2
原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲
线C的离心率为 ( )
√3+1
A. B.√3+1C.2√3−1D.2√3-2
2
2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),F为左焦点,A ,A 分
− 1 2
a2 b2
别为左、右顶点,P为C右支上的点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段A A
1 2
为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为 ( )
A.(1,√3) B.(√3,+∞)
C.(√5,+∞) D.(1,√5)
3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F ,F 分别为双曲线C:x2 y2=1(b>0)的左、右焦点,且
1 2 −
4 b2F 到渐近线的距离为1,过F 的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF ,则下
1 2 1
列说法正确的是 ( )
A.△AF F 的面积为2
1 2
B.双曲线C的离心率为√2
C.
⃗AF ·⃗BF =10+4√6
1 1
1 1
D. + =√6+2
|A F | |BF |
2 2
4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin α+y2cos α=1(0≤α<π),则下列说法
正确的是 ( )
A.若曲线C表示两条平行线,则α=0
π
B.若曲线C表示双曲线,则 <α<π
2
π
C.若0<α< ,则曲线C表示椭圆
2
π
D.若0<α< ,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
4
5.(多选)(2024届重庆第十一中学第一次质检,11)公元前300年前后,欧几里得撰写的《几
何原本》是最早有关黄金分割的论著,书中描述:把一条线段分割为两部分,使较大部分与
全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值即为“黄金分割比”,把离心率
为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”.黄金双曲线E:x2 y2=1(a>0,b>0)
−
a2 b2
的一个顶点为A,与A不在y轴同侧的焦点为F,E的一个虚轴端点为B,PQ为双曲线任意
一条不过原点且斜率存在的弦,M为PQ中点.设双曲线E的离心率为e,O为坐标原点,则
下列说法中,正确的有 ( )
√5+1
A.e=
2
B.|OA||OF|=|OB|2
C.k ·k =e
OM PQ
1 1
D.若OP⊥OQ,则 + =e恒成立
|OP|2 |OQ|2
6.(2023湖北襄阳四中模拟,15)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2 ,0),点A
− √6
a2 b2的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF的周长不小于18,则双曲线C的离心
率的取值范围为 .
7.(2024届广东普宁二中第一次月考,21)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)过点(2 ,1),渐
− √2
a2 b2
1
近线方程为y=± x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.
综合拔高练2
y2
1.(多选)(2024届湖北武汉硚口起点质检,11)已知双曲线C:x2- =1,F ,F 为双曲线的左、
1 2
3
右焦点,若直线l过点F ,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是 ( )
2
A.双曲线C的离心率为√3
B.若l的斜率为2,则弦MN的中点坐标为(8,12)
π
C.若∠F MF = ,则△MF F 的面积为3√3
1 2 1 2
3
D.使△MNF 为等腰三角形的直线l有3条
1
2.(2023浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,
−
a2 b2
点M(√5,√3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点 Q,P,且⃗OP·⃗OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最
小值.3.(2024届湖南永州一模,21)已知点A为圆C:x2+y2-2√10x-6=0上任意一点,点B的坐标为(-
√10,0),线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴分别交于A ,A 两点(A 在A 的左侧),过R(3,0)的直线l与轨迹E交于
1 2 1 2
M,N两点,直线A M与直线A N交于P,证明:P在定直线上.
1 24.(2023 江苏南京、盐城一模,21)已知双曲线 C:x2 y2=1(a,b>0)的离心率为 ,直线
− √2
a2 b2
l :y=2x+4√3与双曲线C仅有一个公共点.
1
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l 平行于l ,且交双曲线C于M,N两点,求证:△AMN的垂
2 1
心在双曲线C上.
9.3 双曲线
五年高考
考点1 双曲线的定义和标准方程
1.(2021北京,5,4分,易)若双曲线x2 y2=1的离心率为2,且过点( , ),则双曲线的方程
− √2 √3
a2 b2
为( )
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. − =1
2 6
答案 B
2.(2017课标Ⅲ理,5,5分,易)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,
−
a2 b2 2x2 y2
且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
12 3
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
5 4 4 3
答案 B
3.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F 、F .过F
− 1 2 2
a2 b2
√2
作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF |=2,直线PF 的斜率为 ,则双曲线的方程为
2 1
4
( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 4 4 8
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
4 2 2 4
答案 D
4.(2022天津,7,5分,中)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>1)的左、右焦点分别为 F ,F ,抛物线
− 1 2
a2 b2
π
y2=4√5x的准线l经过F ,且l与双曲线的一条渐近线交于点 A.若∠F F A= ,则双曲线的
1 1 2
4
方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
16 4 4 16
x2 y2
C. −y2=1D.x2− =1
4 4
答案 D
y2
5.(2020课标Ⅰ文,11,5分,中)设F ,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P
1 2
3
在C上且|OP|=2,则△PF F 的面积为( )
1 2
7
A. B.3
2
5
C. D.2
2
答案 B考点2 双曲线的几何性质
1.(2018课标Ⅱ理,5,5分,易)双曲线x2 y2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则其渐近线方程为(
− √3
a2 b2
)
A.y=±√2xB.y=±√3x
√2 √3
C.y=± xD.y=± x
2 2
答案 A
2.(2023全国甲理,8,5分,中)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,C的一条渐近
− √5
a2 b2
线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= ( )
√5 2√5
A. B.
5 5
3√5 4√5
C. D.
5 5
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,11,5分,中)设双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,离
− 1 2
a2 b2
心率为√5.P是C上一点,且F P⊥F P.若△PF F 的面积为4,则a= ( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 A
4.(2020 课标Ⅱ,文 9,理 8,5 分,中)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C:x2 y2
−
a2 b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值
为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
y2
5.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2- =1上两点,下列四个点中,可以为线段
9
AB中点的是 ( )
A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)
答案 D
x2 y2
6.(2019课标Ⅲ理,10,5分,中)双曲线C: − =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,
4 2
O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
3√2 3√2
A. B.
4 2
C.2√2D.3√2
答案 A
7.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程为
.
x2 y2
答案 − =1
2 2
x2 y2
8.(2021 全国乙文,14,5 分,易)双曲线 − =1 的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为
4 5
.
答案 √5
9.(2021新高考Ⅱ,13,5分,易)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的
−
a2 b2
渐近线方程为 , .
答案 y=√3x;y=-√3x
x2
10.(2021全国乙理,13,5分,易)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C
m
的焦距为 .
答案 4
x2 y2
11.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C: − =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的
6 3
焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0);√3
12.(2023 新课标Ⅰ,16,5 分,中)已知双曲线 C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
−
a2 b2
2
F ,F ,点A在C上,点B在y轴上,⃗F A⊥⃗F B,⃗F A=− ⃗F B,则C的离心率为 .
1 2 1 1 2 3 23√5
答案
5
13.(2022全国甲文,15,5分,中)记双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件
−
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值: .
答案 2(答案不唯一,在(1,√5]范围内取值均可)
14.(2019课标Ⅰ,16,5分,难)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,
− 1 2
a2 b2
过F 的直线与C的两条渐近线分别交于 A,B两点.若 , =0,则C的离心
1 ⃗F A=⃗AB ⃗F B·⃗F B
1 1 2
率为 .
答案 2
三年模拟
综合基础练
1.(2024届四川成都阶段测,5)已知直线y= x是双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的一条渐近
√2 −
a2 b2
线,且点(2√3,2√3)在双曲线C上,则双曲线C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
3 4 3 6
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
6 12 12 24
答案 C
2.(2023广东佛山一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点,焦点在坐标轴上,且虚轴比实轴
长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直,则C的离心率为 ( )
5 4 5 7
A. B. C. D.
4 3 3 4
答案 C
3.(2023山东威海一模)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,M为C上一点,M
− 1
a2 b2
关于原点的对称点为N,若∠MF N=60°,且|F N|=2|F M|,则C的渐近线方程为( )
1 1 1
√3
A.y=± xB.y=±√3x
3√6
C.y=± xD.y=±√6x
6
答案 D
4.(2024届天津四十七中期中,6)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,抛物线C的准线与
双曲线Γ:x2 y2=1(a>0,b>0)的两条渐近线交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则Γ的
−
a2 b2
离心率e= ( )
√3 2√3 √21 √21
A. B. C. D.
2 3 7 3
答案 D
5.(2024 届安徽摸底大联考,4)已知双曲线 C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
−
a2 b2
F ,F ,一条渐近线为l,过点F 且与l平行的直线交双曲线C于点M,若|MF |=3|MF |,则双曲
1 2 2 1 2
线C的离心率为 ( )
A.√2B.√3C.√5 D.3
答案 B
6.(2024届湖南长郡湘府中学开学检测,8)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,
− √5
a2 b2
左,右焦点分别为F ,F ,F 关于C的一条渐近线的对称点为P.若|PF |=2,则△PF F 的面积
1 2 2 1 1 2
为 ( )
A.2 B.√5 C.3 D.4
答案 D
7.(2024届浙江宁波专题检测,7)过双曲线C:y2 x2=1(a>0,b>0)内一点M(1,1)且斜率为1
−
a2 b2 2
的直线交双曲线于A,B两点,弦AB恰好被M平分,则双曲线C的离心率为( )
√6 √5
A. B. C.√3D.√5
2 2
答案 C
8.(2024届福建漳州第一次教学质检,5)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆
−
a2 b2
(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线的离心率为 ( )A.√3B.2C.√5D.√10
答案 B
y2 x2
9.(多选)(2023湖南长沙适应性测试)已知双曲线的方程为 − =1,则 ( )
64 16
1
A.渐近线方程为y=± x
2
B.焦距为8√5
√5
C.离心率为
2
D.焦点到渐近线的距离为8
答案 BC
10.(2024届山东齐鲁名校第一次质检,14)已知椭圆C :x2 y2=1(a>b>0)的左、右焦点分别
1 +
a2 b2
为 F ,F ,M 是 C 上任意一点,△MF F 的面积的最大值为√3,C 的焦距为 2,则双曲线 C :
1 2 1 1 2 1 2
y2 x2=1的实轴长为 .
−
a2 b2
答案 4
11.(2023江苏二模)设过双曲线 C:x2 y2=1(a>0,b>0)的左焦点 F的直线l与C交于M,N
−
a2 b2
两点,若⃗FN=3⃗FM,且⃗OM·⃗FN=0(O为坐标原点),则C的离心率为 .
答案 √7
12.(2024届江西新高三第一次大联考,14)已知双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,焦距
为8,且C的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2,则C的标准方程为 .
x2 y2
答案 − =1
12 4
13.(2024届江苏南京师大附中、灌南二中联考,15)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),直线
−
a2 b2
y=a与双曲线C交于M,N两点,直线y=-b与双曲线C交于P,Q两点,若|MN|=√2|PQ|,则双曲
线C的离心率等于 .
2√3
答案
3
综合拔高练11.(2024届广东四校第一次联考,6)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),斜率为- 的直线l过
− √3
a2 b2
原点O且与双曲线C交于P,Q两点,且以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,则双曲
线C的离心率为 ( )
√3+1
A. B.√3+1C.2√3−1D.2√3-2
2
答案 B
2.(2024届福建福州四中专题检测,7)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0),F为左焦点,A ,A 分
− 1 2
a2 b2
别为左、右顶点,P为C右支上的点,且|OP|=|OF|(O为坐标原点).若直线PF与以线段A A
1 2
为直径的圆相交,则C的离心率的取值范围为 ( )
A.(1,√3) B.(√3,+∞)
C.(√5,+∞) D.(1,√5)
答案 D
3.(2023湖北恩施4月模拟,8)已知F ,F 分别为双曲线C:x2 y2=1(b>0)的左、右焦点,且
1 2 −
4 b2
F 到渐近线的距离为1,过F 的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且l⊥AF ,则下
1 2 1
列说法正确的是 ( )
A.△AF F 的面积为2
1 2
B.双曲线C的离心率为√2
C.
⃗AF ·⃗BF =10+4√6
1 1
1 1
D. + =√6+2
|A F | |BF |
2 2
答案 D
4.(多选)(2024届广东茂名信宜摸底,11)已知曲线C:x2sin α+y2cos α=1(0≤α<π),则下列说法
正确的是 ( )
A.若曲线C表示两条平行线,则α=0
π
B.若曲线C表示双曲线,则 <α<π
2
π
C.若0<α< ,则曲线C表示椭圆
2π
D.若0<α< ,则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
4
答案 BD
5.(多选)(2024届重庆第十一中学第一次质检,11)公元前300年前后,欧几里得撰写的《几
何原本》是最早有关黄金分割的论著,书中描述:把一条线段分割为两部分,使较大部分与
全长的比值等于较小部分与较大部分的比值,则这个比值即为“黄金分割比”,把离心率
为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”.黄金双曲线E:x2 y2=1(a>0,b>0)
−
a2 b2
的一个顶点为A,与A不在y轴同侧的焦点为F,E的一个虚轴端点为B,PQ为双曲线任意
一条不过原点且斜率存在的弦,M为PQ中点.设双曲线E的离心率为e,O为坐标原点,则
下列说法中,正确的有 ( )
√5+1
A.e=
2
B.|OA||OF|=|OB|2
C.k ·k =e
OM PQ
1 1
D.若OP⊥OQ,则 + =e恒成立
|OP|2 |OQ|2
答案 ABC
6.(2023湖北襄阳四中模拟,15)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2 ,0),点A
− √6
a2 b2
的坐标为(0,1),点P为双曲线左支上的动点,且△APF的周长不小于18,则双曲线C的离心
率的取值范围为 .
答案 ( √6]
1,
2
7.(2024届广东普宁二中第一次月考,21)已知双曲线C:x2 y2=1(a>0,b>0)过点(2 ,1),渐
− √2
a2 b2
1
近线方程为y=± x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.8 1
{ − =1,
解析 (1)由题设可知 a2 b2 {a=2,
解得
b 1 b=1,
= ,
a 2
x2
则C的方程为 -y2=1.
4
(2)设点M的横坐标为x ,x >0,当直线l的斜率不存在时,直线l:x=2,易知点M到y轴的距
M M
离为x =2;
M
当直线l的斜率存在时,设l:y=kx+m(
k≠±
1),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
2
{x2
联立 −y2=1,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,
4
y=kx+m,
Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,整理得4k2=m2+1.
{x2
联立 −y2=0,整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2=0,
4
y=kx+m,
8km 8km 8k x +x 4k
则x +x =- =− =− ,则x = 1 2=− >0,即km<0,
1 2 4k2−1 m2 m M 2 m
则 16k2 4(m2+1) 4 >4,即x >2,∴此时点M到y轴的距离大于2.综上所述,点M
x2 = = =4+ M
M m2 m2 m2
到y轴的距离的最小值为2.
综合拔高练2
y2
1.(多选)(2024届湖北武汉硚口起点质检,11)已知双曲线C:x2- =1,F ,F 为双曲线的左、
1 2
3
右焦点,若直线l过点F ,且与双曲线的右支交于M,N两点,则下列说法正确的是 ( )
2
A.双曲线C的离心率为√3
B.若l的斜率为2,则弦MN的中点坐标为(8,12)
π
C.若∠F MF = ,则△MF F 的面积为3√3
1 2 1 2
3
D.使△MNF 为等腰三角形的直线l有3条
1
答案 BCD2.(2023浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线x2 y2=1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心率e=2,
−
a2 b2
点M(√5,√3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点 Q,P,且⃗OP·⃗OQ=0,求|OP|2+|OQ|2的最
小值.
解析 (1)由离心率e=2,点M(√5,√3)在双曲线上,
c 5 3
可得 =2, − =1,结合a2+b2=c2,解得a=2,b=2√3,c=4,
a a2 b2
x2 y2
则双曲线的方程为 − =1.
4 12
(2)由⃗OP·⃗OQ=0,可得OP⊥OQ,
1
设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=- x,
k
由{ y=kx, 12 ,y2=12k2 ,则|OP|2=12(1+k2 ),
解得x2=
3x2−y2=12 3−k2 3−k2 3−k2
将k换为-1,可得|OQ|2=12(1+k2 ),14,故点 D 的轨迹 E 是以 B,C 为焦点的双曲线,设 E 的方程为 x2 y2
√10 −
a2 b2
=1(a>0,b>0,c= ),
√a2+b2
则2a=4,a=2,又c=√10,所以b2=c2-a2=6,
x2 y2
故点D的轨迹E的方程为 − =1.
4 6
(2)证明:由题意知A (-2,0),A (2,0),若直线l的斜率为0,则其与双曲线的交点为双曲线的两
1 2
顶点,不合题意,故直线l的斜率不能为0,故设其方程为x=ty+3,
{
x=ty+3,
联立 消x得(3t2-2)y2+18ty+15=0,
x2 y2
− =1,
4 6
Δ=144t2+120>0,
−18t 15
设M(x ,y ),N(x ,y ),则y +y = ,y y = .
1 1 2 2 1 2 3t2−2 1 2 3t2−2
直线A
1
M的方程为y= y
1
(x+2),即y= y
1
(x+2)①,
x +2 t y +5
1 1
直线A
2
N的方程为y= y
2
(x-2),即y= y
2
(x-2)②,
x −2 t y +1
2 2
联立①②,消y得x+2 t y y +5 y ,
= 1 2 2
x−2 t y y + y
1 2 115t ( −18t ) 75t
+5 −y − −5 y
则x+2 3t2−2 3t2−2 1 3t2−2 1 =-5,即x+2=-5,解得x=4,
= =
x−2 15t 15t x−2 3
+ y + y
3t2−2 1 3t2−2 1
4
故直线A M与直线A N的交点P在定直线x= 上.
1 2
3
4.(2023 江苏南京、盐城一模,21)已知双曲线 C:x2 y2=1(a,b>0)的离心率为 ,直线
− √2
a2 b2
l :y=2x+4√3与双曲线C仅有一个公共点.
1
(1)求双曲线C的方程;
(2)设双曲线C的左顶点为A,直线l 平行于l ,且交双曲线C于M,N两点,求证:△AMN的垂
2 1
心在双曲线C上.
解析 (1)因为双曲线C的离心率为√2,
所以c ,即a2+b2=2,即a2=b2,
=√2
a a2
所以双曲线C的方程为x2-y2=a2,
联立{y=2x+4√3, x+a2+48=0,
消去y整理得3x2+16√3
x2−y2=a2,
因为l 与双曲线C仅有一个公共点,
1
所以Δ= -12(a2+48)=0,解得a2=16,
2
(16√3)
x2 y2
故双曲线C的方程为 − =1.
16 16
(2)证明:设l :y=2x+m(m≠4√3),M(x ,y ),N(x ,y ),
2 1 1 2 2
联立{ y=2x+m, 消去y得3x2+4mx+m2+16=0,
x2−y2=16,
4 m2+16
所以x +x =- m,x x = .
1 2 3 1 2 3
如图所示,过A(-4,0)作MN的垂线交C于另一点H,1
则AH的方程为y=- x-2,
2
代入x2-y2=16得3x2-8x-80=0,解得x=-4(舍去)或x=20 (20 16).
.所以点H的坐标为 ,−
3 3 3
( 16)
y y +
连接HM并延长,所以k k = 2 1 3
AN MH
( 20)
(x +4) x −
2 1 3
=3(2x +m)(2x +m)+16(2x +m)
1 2 2
(3x −20)(x +4)
1 2
=12x x +6m(x +x )+32x +3m2+16m
1 2 1 2 2
3x x +12(x +x )−32x −80
1 2 1 2 2
=
4(m2+16)−8m2+3m2+16m+32x
2
m2+16−16m−32x −80
2
=
−m2+16m+32x
2
+64
=-1,所以MH⊥AN,
m2−16m−32x −64
2
故H为△AMN的垂心,得证.
