北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.3 双曲线及其性质
基础篇 固本夯基
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2021河北衡水中学联考(二),6)已知双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)的焦点F(c,0)到渐近线的距离为√3c,且点
a2 b2 2
(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
9 3 12 3
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
3 12 3 9
答案 D
2.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,离心率为 .P是C上
1 2 √5
a2 b2
一点,且FP⊥FP.若△PFF 的面积为4,则a=( )
1 2 1 2
A.1 B.2
C.4 D.8
答案 A
3.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3 图象上的点,
√4-x2
则|OP|=( )
√22 4√10
A. B. C.√7 D.√10
2 5
答案 D
y2
4.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F,F 是双曲线C:x2- =1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则
1 2
3
△PFF 的面积为( )
1 2
7 5
A. B.3 C. D.2
2 2
答案 B
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5.(2017天津文(理),5,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4)两点
√2
a2 b2
的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 4 8 8
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
4 8 8 4
答案 B
6.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√5x,且与椭圆x2 +y2
a2 b2 2 12 3
=1有公共焦点,则C的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
5 4 4 3
答案 B
x2
7.(2022届湖北部分学校11月质检,13)已知双曲线C的中心在坐标原点,一个焦点与抛物线y= 的焦点相
12
2√5
同,且它的一条渐近线方程为y= x,则C的方程为 .
5
y2 x2
答案 - =1
4 5
8.(2022届湖南岳阳一中入学考试,14)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线
√5
a2 b2
与直线2x+y=0垂直,则该双曲线的方程为 .
x2
答案 -y2=1
4
考点二 双曲线的几何性质
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1.(2022届河北邢台入学考,3)如果双曲线x2 -y2 =1的离心率为√5+1,那么称该双曲线为黄金分割双曲线,
a2 b2 2
简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C:
x2 -y2
=1(b>0),则该黄金双曲线C的虚轴长为( )
√5-1 b2
A.2 B.4 C.√2 D.2√2
答案 D
x2 y2
2.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线 - =1的一条渐近线的距离为( )
16 9
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 A
x2 y2
3.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C: - =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|
4 2
=|PF|,则△PFO的面积为 ( )
3√2 3√2
A. B. C.2√2 D.3√2
4 2
答案 A
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别
a2 b2
交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
5.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线的方程可能是(
)
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
y2 x2
C.x2- =1 D. -y2=1
4 4
答案 ABD
6.(2022届河北邯郸一中开学考,8)已知双曲线x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为5,O为坐标原点,右焦点为F,过
a2 b2 4
点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,若△OPF的周长为12,则双曲线的实轴长为( )
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A.8 B.4 C.2√2 D.2
答案 A
7.(2022届湖北部分重点中学开学联考,13)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±2x,则C的
a2 b2
离心率为 .
答案 √5
8.(2022届长沙雅礼中学月考一,15)已知F为双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作与x轴垂直的直线
a2 b2
交双曲线于A,B两点,若以AB为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为 .
√5+1
答案
2
9.(2022届浙南名校联盟联考一,12)已知点(3,0)是双曲线x2-y2
=1(b>0)的一个焦点,则b= ,顶点到渐近
b2
线的距离为 .
2√2
答案 2√2;
3
10.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为
a2 b2
.
答案 y=±√3x
x2
11.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则C的焦距为 .
m
答案 4
x2 y2
12.(2020北京,12,5分)已知双曲线C: - =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的焦点到其渐近线的距
6 3
离是 .
答案 (3,0);√3
x2 y2
13.(2021全国乙文,14,5分)双曲线 - =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
4 5
答案 √5
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考点三 直线与双曲线的位置关系
1.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,10)已知双曲线x2 -y2
=1(b>0)的一条渐近线方程为 x-y=0,右焦点
√3
4 b2
为F,点M在双曲线的左支上运动,点N在圆x2+(y+3)2=1上运动,则|MN|+|MF|的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 C
x2
2.(2022届河北沧州一中月考,8)已知F,F 分别是双曲线C: -y2=1的左,右焦点,点M在直线x-y+3=0上,则|
1 2
3
MF|+|MF|的最小值为( )
1 2
A.2√13 B.6 C.√26 D.5
答案 C
x2 y2
3.(2020河北衡水中学七调,4)已知双曲线C: - =1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两
12 4
条渐近线的交点分别为P,Q,若△POQ为直角三角形,则|PQ|=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 C
x2 y2
4.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C: - =1的右焦点为F,过原点O的直线与双曲线C交于A,B
16 9
两点,且∠AFB=60°,则△OBF的面积为( )
9 9√3 3 3√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 D
5.(2022届广东11月大联考,20)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,且过点P(2,3).
a2 b2
(1)求C的方程;
√5
(2)斜率为 的直线l与C交于P,Q两点,且与x轴交于点M,若Q为PM的中点,求l的方程.
5
解析 (1)因为e= c =√ (b) 2 =2,所以 b = ,即b= a.则双曲线方程可化为 x2 - y2 =1,
1+ √3 √3
a a a a2 3a2
4 9
将点P(2,3)代入得 - =1.
a2 3a2
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y2
解得a2=1,故C的方程为x2- =1.
3
(2)设P(x,y),Q(x,y),M(m,0),
1 1 2 2
因为Q为PM的中点,所以y=2y.
1 2
√5
因为直线l的斜率为 ,所以可设l的方程为x=√5y+t.
5
{
y2
联立
x2- =1,
得14y2+6 ty+3(t2-1)=0,
3 √5
x=√5 y+t,
Δ=(6√5t)2-4×14×3(t2-1)=12(t2+14)>0,
3√5t 3(t2-1)
由根与系数的关系可得y+y=- ,yy= ,
1 2 7 1 2 14
3√5t √5t
因为y=2y,所以y+y=3y=- ,解得y=- ,
1 2 1 2 2 2
7 7
y
1
y
2
=2
y2
=2×(
-
√5t) 2 =3(t2-1),解得t2=21,
2 7 14
即t=±√21,故l的方程为x-√5y±√21=0.
6.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,20)设双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别是F,F,
1 2
a2 b2
b2
渐近线分别为l,l,过F 作渐近线的垂线,垂足为P,且△OPF 的面积为 .
1 2 2 1
4
(1)求双曲线C的离心率;
(2)动直线l分别交直线l,l 于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8,是否存在总与直
1 2
线l有且只有一个公共点的双曲线C?若存在,求出双曲线C的方程;若不存在,说明理由.
ab b2 ab b2
解析 (1)由题意知,|PF|=b,|OP|=a,由PF⊥OP得 S = ,又因为 S =S = ,所以 = ,
2 2 △OPF 2 2 △OPF 1 △OPF 2 4 2 4
解得b=2a,则c=√5a,所以双曲线C的离心率e=√5.
(2)由(1)得渐近线l:y=2x,l:y=-2x,设双曲线的方程为x2
-
y2
=1,依题意得直线l的斜率不为零,因此设直线l
1 2
a2 4a2
1 1
的方程为x=my+t,- <m< ,t>0,
2 2
设直线l交x轴于点D(t,0),A(x,y)(x>0,y>0),B(x,y)(x>0,y<0),
1 1 1 1 2 2 2 2
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{x=my+t, 2t -2t
联立 得y= ,同理得y= .
y=2x, 1 1-2m 2 1+2m
则S =1|OD|·|y-y|=8,得1t| 2t 2t |=8,即t2=4|1-4m2|=4(1-4m2)>0,①
△OAB 1 2 +
2 2 1-2m 1+2m
{
x=my+t,
联立 x2 y2 得(4m2-1)y2+8mty+4(t2-a2)=0,
- =1,
a2 4a2
若直线l与双曲线C只有一个公共点,则Δ=0,即Δ=64m2t2-16(4m2-1)(t2-a2)=0,将①式代入可得a2=4,所以双曲
x2 y2
线的方程为 - =1,
4 16
x2 y2
因此,存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C,双曲线C的方程为 - =1.
4 16
7.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F(-√17,0),F(√17,0),点M满足|MF|-|MF|=2.
1 2 1 2
记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB
2
的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 (1)由题意知|FF|=2√17,因为|MF|-|MF|=2<|FF|=2√17,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是
1 2 1 2 1 2
以F、F 为焦点的双曲线的右支.
1 2
设其方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=2 ,解得a=1,c= ,则b2=c2-a2=( )2-12=16,
√17 √17 √17
a2 b2
y2
所以M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1).
16
{ ( 1)
y=k x- +m,
(2)如图,设T(1 ,m ),直线AB的方程为y-m=k 1 ( x- 1),由 1 2 得(16-k2)x2+(k2
2 2 y2 1 1
x2- =1(x≥1),
16
1
-2km)x- k2+km-m2-16=0,
1 4 1 1
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设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
1
k2-2k m k2+m2-k m+16
则x 1 +x 2 = 1 1 ,x 1 x 2 = 4 1 1 ,
k2-16
1 k2-16
1
则|TA|= √1+k2(
x -
1),|TB|= √1+k2(
x -
1),
1 1 2 1 2 2
所以|TA|·|TB|=(1+ k2)·( x - 1)( x - 1)=
(m2+12)(1+k
1
2
) .
1 1 2 2 2 k2-16
1
设直线PQ的方程为y-m=k 2(
x-
1),
2
(m2+12)(1+k2
)
同理得|TP|·|TQ|= 2 ,
k2-16
2
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
(m2+12)(1+k2
)
(m2+12)(1+k2
)
所以 1 = 2 ,
k2-16 k2-16
1 2
1+k2 1+k2
所以 1 = 2 ,即 k2= k2,由题意知k 1 ≠k 2 ,所以k 1 +k 2 =0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为
k2-16 k2-16 1 2
1 2
0.
综合篇 知能转换
A组
考法一 求双曲线的标准方程
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1.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若
a2 b2
C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
x2 y2 y2
A. - =1 B.x2- =1
4 4 4
x2
C. -y2=1 D.x2-y2=1
4
答案 D
2.(2018天津理,7,5分)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线
a2 b2
交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 和d,且d+d=6,则双曲线的方程为( )
1 2 1 2
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
4 12 12 4
x2 y2 x2 y2
C. - =1 D. - =1
3 9 9 3
答案 C
3.(2021湖南永州二模,15)已知O为坐标原点,双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率为3√5,从双曲线C的
a2 b2 5
右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为√5,则双曲线C的方程为 .
x2 y2
答案 - =1
5 4
4.(2020山东潍坊模拟,15)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,直线y= b与C的右支
1 2 √3
a2 b2
相交于点P,若|PF|=2|PF|,则双曲线C的离心率为 ;若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是√5,则双曲
1 2
线的方程为 .
3 x2 y2
答案 ; - =1
2 4 5
考法二 求双曲线的离心率(或其范围)
1.(2022届江苏百校大联考,4)图1所示的为陕西历史博物馆收藏的国宝——金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线
内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线C:
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x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右支、y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到
a2 b2
10√3 2√39
的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为 ,下底座外直径为 ,杯高为6,且杯身最细之处
3 3
到上杯口的距离是到下底座距离的2倍,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.√2 C.3 D.4
答案 A
2.(2022届广州10月调研,5)双曲线C:x2 -y2
=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C的离心率为( )
a2 b2
√5
A. B.√3 C.2 D.√5
2
答案 A
3.(2022届江苏海门开学考,7)从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球
的外轮廓为圆O,将篮球表面的线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等
分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为( )
√6 3√5 4√7
A.√2 B. C. D.
2 5 7
答案 D
4.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(
a2 b2
)
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A.2sin 40° B.2cos 40°
1 1
C. D.
sin50° cos50°
答案 D
5.(2021广东肇庆二模,8)已知F,F
分别为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O为坐标原点,在双曲线
1 2
a2 b2
C上存在点M,使得2|OM|=|FF|,设△FMF 的面积为S.若16S=(|MF|+|MF|)2,则该双曲线的离心率为 ( )
1 2 1 2 1 2
√6 √3 3
A. B. C. D.√3
2 2 2
答案 A
6.(2021全国甲理,5,5分)已知F,F 是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠FPF=60°,|PF|=3|PF|,则C的离
1 2 1 2 1 2
心率为( )
√7 √13
A. B. C.√7 D.√13
2 2
答案 A
7.(多选)(2020全国统一模拟五,12)设F、F
分别为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点F
1 2 1
a2 b2
√15
且斜率为 的直线l与C在第一象限相交于一点P,则下列说法正确的是 ( )
7
7
A.直线l倾斜角的余弦值为
8
4
B.若|FP|=|FF|,则C的离心率e=
1 1 2
3
C.若|PF|=|FF|,则C的离心率e=2
2 1 2
D.△PFF 不可能是等边三角形
1 2
答案 AD
8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2 -y2 =1(a>0)的一条渐近线方程为y=√5x,则该双
a2 5 2
曲线的离心率是 .
3
答案
2
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9.(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F为双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且
a2 b2
BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为 .
答案 2
10.(2021广州一模,15)已知圆(x-1)2+y2=4与双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时
a2 b2
针排列依次记为M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则C的离心率为 .
2√6
答案
3
11.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M:x2 +y2
=1(a>b>0),双曲线N:
x2 -y2
=1.若双曲线N的两条渐近线与椭
a2 b2 m2 n2
圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N
的离心率为 .
答案 √3-1;2
12.(2021东北三省三校第一次联考,15)双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,过F 的直线
1 2 1
a2 b2
与双曲线C的两条渐近线分别交于P、Q两点(P在第二象限,Q在第一象限), =2 , · =0,
⃗F P ⃗PQ⃗F Q ⃗F Q
1 1 2
则双曲线C的离心率为 .
答案 4
B组
1.(2022届长沙长郡中学月考一,8)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F,F,过点F 作倾斜
1 2 2
a2 b2
角为θ的直线l交双曲线C的右支于A,B两点,其中点A在第一象限,若|AB|=|AF|,且双曲线C的离心率为2,
1
则cos θ=( )
1 1 2 1
A. B. C. D.
4 3 3 2
答案 A
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2.(多选)(2022届广东珠海二中11月检测,11)设O为坐标原点,F、F
是双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右
1 2
a2 b2
焦点.若在双曲线的右支上存在点P,满足∠FPF=60°,|OP|=√7a,则( )
1 2
x2
A.双曲线的方程可以是 -y2=1
2
B.双曲线的渐近线方程是√2x±y=0
C.双曲线的离心率为√3
D.△PFF 的面积为√3a2
1 2
答案 BC
x2 y2
3.(2021沈阳市郊联体一模,7)设F,F 分别是双曲线C: - =1的焦点,O为坐标原点,点P在C的左支上,且
1 2
4 8
⃗OF ·⃗OP ⃗F P·⃗OP
1 + 1 =2 √3 ,则△PF 1 F 2 的面积为( )
|⃗OP| |⃗OP|
A.8 B.8√3 C.4 D.4√3
答案 A
4.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1.( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± - x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
答案 ACD
5.(多选)(2021江苏常州一模,10)已知O为坐标原点,F,F
分别为双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P
1 2
a2 b2
在双曲线右支上,则下列结论正确的有( )
A.若|PO|=|PF|,则双曲线的离心率e≥2
2
B.若△POF 是面积为√3的正三角形,则b2=2√3
2
C.若A 为双曲线的右顶点,PF⊥x轴,则|FA|=|FP|
2 2 2 2 2
D.若射线FP与双曲线的一条渐近线交于点Q,则||QF|-|QF||>2a
2 1 2
答案 AB
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北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
x2 y2
6.(多选)(2022届广州10月调研,10)已知曲线C: - =1(mn≠0),则下列命题中为真命题的是( )
m n
A.若m+n=0,则C是圆
B.若m>0,n<0,且m+n≠0,则C是椭圆
√ n
C.若mn>0,则C是双曲线,且渐近线方程为y=± x
m
√ n
D.若0<m<1,n<-1,则C是椭圆,其离心率为 1+
m
答案 BC
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