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9.3 双曲线及其性质
基础篇
续表
考点 一 双曲线的定义及标准方程
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
1.
定义
把平面内与两个定点 Ｆ Ｆ 的距离之差的绝
１ꎬ ２
对值等于常数 ａ ａ Ｆ Ｆ 的点的轨迹
２ (０<２ <｜ １ ２｜) 图形
叫做双曲线.
2.
标准方程
ｘ２ ｙ２ 范围 ｘ ａ ｙ ａ
焦点在 ｘ 轴上 ａ ｂ ｜ ｜≥ ｜ ｜≥
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)ꎻ Ｆ ( ｃꎬ )、
焦点 １ － ０ Ｆ ( ꎬ ｃ)、Ｆ ( ꎬｃ)
ｙ２ ｘ２ Ｆ (ｃꎬ ) １ ０ － ２ ０
焦点在 ｙ 轴上 ａ ｂ . ２ ０
:ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
顶点
Ａ
１
(
－
ａꎬ
０
)、
Ａ ( ꎬ ａ)、Ａ ( ꎬａ)
3. 焦点三角形问题 Ａ (ａꎬ ) １ ０ － ２ ０
２ ０
Ｐ 为双曲线上的点 Ｆ Ｆ 为双曲线的两个焦 对称性 关于ｘ轴、ｙ轴对称ꎬ关于原点对称
１) ꎬ １ꎬ ２
ｂ２
点 且 Ｆ ＰＦ θ 则Ｓ ｃ ｙ . 实、虚
ꎬ ∠ １ ２ ＝ ꎬ △ Ｆ １ ＰＦ ２ ＝ θ ＝ ｜ Ｐ｜ 轴长 实轴长为 ２ ａꎬ虚轴长为 ２ ｂ
ｔａｎ
２
过焦点 Ｆ 的直线与双曲线的一支交于 Ａ Ｂ 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比ｅ ｃ
２) １ 、 ＝ ａ
两点 则 Ａ Ｂ 与另一个焦点 Ｆ 构成的
ꎬ 、 ２ 渐近线 ｂ ａ
ＡＢＦ 的周长为 ａ ＡＢ . ｙ ｘ ｙ ｘ
△ ２ ４ ＋２｜ ｜ 方程 ＝±ａ ＝± ｂ
若 Ｐ 是双曲线右支上一点 Ｆ Ｆ 分别为双
３) ꎬ １、 ２ 常见结论
曲线的左 右焦点 则 ＰＦ ａ ｃ ＰＦ
、 ꎬ ｜ １｜ｍｉｎ ＝ ＋ ꎬ｜ ２｜ｍｉｎ
１
.等轴双曲线:中心在原点ꎬ以坐标轴为对称轴ꎬ实轴长
ｃ ａ.
和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的
＝ －
ｘ２ ｙ２
离心率ｅ ꎬ两条渐近线互相垂直.
Ｐ 是双曲线 ａ ｂ 右支上不同 ＝ ２
４) ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０)
.共轭双曲线的性质:如果一条双曲线的实轴和虚轴分
２
于实轴端点的任意一点 Ｆ Ｆ 分别为双曲 别是另一条双曲线的虚轴和实轴ꎬ那么这两条双曲线互
ꎬ １、 ２
线的左 右焦点 Ｉ 为 ＰＦ Ｆ 内切圆的圆心 为共轭双曲线. 它们有共同的渐近线ꎻ 它们的四个
、 ꎬ △ １ ２ ꎬ ① ②
则圆心 Ｉ 的横坐标恒为定值 ａ. 焦点共圆ꎻ 它们的离心率的倒数的平方和等于 .
③ １
.焦点到渐近线的距离为ｂ.
考点 二 双曲线的几何性质 ３
焦点在ｘ轴上 焦点在ｙ轴上
考点 三 直线与双曲线的位置关系
ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２ 直线与双曲线的位置关系主要是指公共
标准方程 ａ２ －ｂ２ ＝１ ａ２ －ｂ２ ＝１
点问题 相交弦问题及其他综合问题 常用下
(ａ ꎬｂ ) (ａ ꎬｂ ) ꎬ ꎬ 专
>０ >０ >０ >０ 题
面的方法解题
九
:
ｘ２ ｙ２ 平
联立双曲线 Ｃ 的方程 ａ ｂ 面
ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 解
析
与直线 ｌ 的方程 ｙ ｋｘ ｍ ｍ 消去 ｙ 整理 几
＝ ＋ ( ≠０)ꎬ ꎬ 何
３０９
得 ｂ２ ａ２ｋ２ ｘ２ ａ２ｍｋｘ ａ２ｍ２ ａ２ｂ２ . 当 Δ 时 直线与双曲线有两个公共点
( － ) －２ － － ＝０ ① >０ ꎬ
ｂ Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ 则可结合根与系数的
当 ｂ２ ａ２ｋ２ 即 ｋ 时 直线 ｌ 与双曲线 ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
１) － ＝０ꎬ ＝±ａ ꎬ
关系 利用 ＭＮ ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２
Ｃ 的一条渐近线平行 直线 ｌ 与双曲线 Ｃ 只 ꎬ ｜ ｜ ＝ ( ２ － １) ＋( ２ － １) ＝
ꎬ ｋ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ 求弦长
有一个交点. (１＋ )[( １ ＋ ２) －４ １ ２] ꎻ
若 Δ 则 ｌ 与 Ｃ 相切
ｂ ② ＝０ꎬ ꎻ
当ｂ２ ａ２ｋ２ 即ｋ 时 一元二次方程根
若 Δ 则 ｌ 与 Ｃ 相离.
２) － ≠０ꎬ ≠±ａ ꎬ
③ <０ꎬ
的判别式为 Δ
ꎬ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３１０
综合篇
考法 一 求双曲线的标准方程 ｙ２ ｘ２
所以双曲线方程为 .
－ ＝１
1. 定义法 由已知条件 若所求轨迹满足双曲线 １６ ９
: ꎬ ｙ２ ｘ２
的定义 则利用双曲线的定义求出参数 ａ ｂ 答案
ꎬ ꎬ － ＝１
１６ ９
的值 从而得到所求的轨迹方程 求轨迹方程
ꎬ ꎬ 例2 ( 广东茂名调研三ꎬ )若双曲线经
时 满足条件 ＰＦ ＰＦ ａ ａ ２０２２ １４
ꎬ “ ｜ １ ｜ － ｜ ２ ｜ ＝ ２ (０<２ < 过点( ꎬ )ꎬ其渐近线方程为 ｙ ｘꎬ则双曲
Ｆ Ｆ 的轨迹为双曲线的一支 应注意合 １ ３ ＝±２
｜ １ ２｜)” ꎬ 线的方程是 .
理取舍
ꎻ
2.
待定系数法 根据题目条件确定焦点的位置 解析 若双曲线的焦点在 ｘ 轴上ꎬ则设
ｘ２
: ꎬ ① ａ２ －
从而设出所求双曲线的标准方程 利用题目
ꎬ
ｙ２ ｂ
条件构造关于 ａ ｂ 的方程 组 解得 ａ ｂ 的 (ａ ꎬｂ )ꎬ则１ ３ 且 ꎬ联立解
ꎬ ( )ꎬ ꎬ ｂ２ ＝１ >０ >０ ａ２ －ｂ２ ＝１ ａ ＝２
值 即可求得方程.
ꎬ
方程的常见设法 得 ａ １ꎬｂ ꎬ则双曲线的方程为 ｘ２ ｙ２ ꎻ
: ＝ ＝１ ４ － ＝１
２
ｘ２ ｙ２
与双曲线 ａ ｂ 渐近线相同的 ｙ２ ｘ２
１) ａ２ －ｂ２ ＝１( >０ꎬ >０) 若双曲线的焦点在ｙ 轴上ꎬ则设 (ａ
② ａ２ －ｂ２ ＝１ >
ｘ２ ｙ２
双曲线方程可设为 λ λ ａ
ａ２ －ｂ２ ＝ ( ≠０)ꎻ ꎬｂ )ꎬ则３ １ ꎬ且 ꎬ此时无解.
０ >０ ａ２ －ｂ２ ＝１ ｂ ＝２
过两个已知点的双曲线方程可设为 ｍｘ２ ｎｙ２
２) ＋ 综上ꎬ双曲线的方程为 ｘ２ ｙ２ .
ｍｎ 或 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ . ４ － ＝１
＝１( <０) － ＝１( >０)
例1 ( 辽宁鞍山一中月考ꎬ )与椭圆 ｘ２
答案
４
ｘ２
－
ｙ２
＝１
２０２２ １３ 考法 二 求双曲线的离心率（或范围）
２４
ｙ２
有公共焦点ꎬ且离心率 ｅ ５ 的双曲线 求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法
＋ ＝１ ＝
４９ ４
方程为 . 1. ｃ ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２
利用公式 ｅ ＋
解析 由题意得焦点坐标为( ꎬ )ꎬ( ꎬ ).
＝ ａ ＝ ａ２ ＝ ａ２ ＝ １＋ａ２
０ －５ ０ ５
求解.
ｙ２ ｘ２
由题意设双曲线方程为 (ａ ꎬｂ )ꎬ
2.
ａ２ －ｂ２ ＝１ >０ >０ 列出含有 ａ ｂ ｃ 的齐次方程 或不等式 借
ꎬ ꎬ ( )ꎬ
ì
ï ï
ｃ
＝５
ꎬ
{ｃ ꎬ
助 ｂ２
＝
ｃ２
－
ａ２ 消去 ｂ
ꎬ
然后转化为关于 ｅ 的方
则íｃ 得 ＝５ 所以 ｂ２ ｃ２ ａ２ ꎬ 程 或不等式 求解.
ï ５ꎬ ａ ꎬ ＝ － ＝２５－１６＝９ ( )
ï
îａ ＝ ＝４
４
3. 构造焦点三角形 利用定义转
Ｆ→Ａ Ａ→Ｂꎬ 点 Ａ 为线段 Ｆ Ｂ 的中点ꎬ
ꎬ
∵ １ ＝ ∴ １
化为焦点三角形三边的关系
æａ ｃ ｂ ö ｂ ｂ ｂ
ꎬ
Ａç － ꎬ ÷ꎬ将其代入 ｙ ｘ 得
ｃ ｃ Ｆ Ｆ ∴ è ø ＝－ ａ ＝－ ａ
如图 ｅ ２ ｜ １ ２｜ ２ ２ ２
ꎬ ＝ ａ ＝ ａ＝ ＭＦ ＭＦ ａ ｃ ｃ
２ ｜ １｜－｜ ２｜ － .解得 ｃ ａꎬ故 ｅ .
Ｆ ＭＦ ＝２ ＝ ａ ＝２
ｓｉｎ∠ １ ２ . ２
＝ Ｆ Ｆ Ｍ Ｆ Ｆ Ｍ 答案
ｓｉｎ∠ １ ２ －ｓｉｎ∠ ２ １ ２
例3 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知双曲线
２０１９ Ⅰ １６ ５
ｘ２ ｙ２
Ｃ: (ａ ꎬｂ )的左、右焦点分别为
ａ２ －ｂ２ ＝ １ >０ >０
Ｆ ꎬＦ ꎬ过 Ｆ 的直线与 Ｃ 的两条渐近线分别交
１ ２ １
于 ＡꎬＢ 两点.若Ｆ→Ａ Ａ→ＢꎬＦ→ＢＦ→Ｂ ꎬ则 Ｃ 的
１
＝
１ ２
＝０
离心率为 .
ｂ
解析 双曲线 Ｃ 的渐近线方程为 ｙ ｘ.
＝± ａ
Ｆ→ＢＦ→Ｂ ꎬ Ｆ Ｂ
∵ １ ２ ＝ ０ ∴ １ ⊥
Ｆ Ｂꎬ 点 Ｂ 在 Ｏ:ｘ２ ｙ２
２ ∴ ☉ ＋
ｃ２ 上ꎬ如图所示ꎬ不妨设
＝
点 Ｂ 在第一象限ꎬ
ì ｂ
ï
ｙ ｘꎬ
ï ＝ ａ
ï
ï
由íｘ２ ｙ２ ｃ２ꎬ得点Ｂ(ａꎬｂ)ꎬ
＋ ＝
ï
ïａ２ ｂ２ ｃ２ꎬ
ï ＋ ＝
ï
îｘ
>０
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３１１
