北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.2 等差数列
五年高考
考点1 等差数列及其前n项和
1.(2019课标Ⅰ理,9,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =0,a =5,则 ( )
n n 4 5
A.a =2n-5 B.a =3n-10
n n
1
C.S =2n2-8n D.S = n2-2n
n n 2
答案 A
2.(2023全国甲文,5,5分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则S =(
n n 2 6 4 8 5
)
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C
3.(2022新高考Ⅱ,3,5分,中)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻
桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中
DD
DD ,CC ,BB ,AA 是举,OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步,相邻桁的举步之比分别为 1 =0.5,
1 1 1 1 1 1 1 1 OD
1
CC BB A A
1=k , 1=k , 1=k .已知k ,k ,k 成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为
DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3
1 1 1
0.725,则k = ( )
3
A.0.75 B.0.8
C.0.85 D.0.9
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4.(2021北京,6,4分,中)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党
党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长
a ,a ,a ,a ,a (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b ,b ,b ,b ,b (单位:cm),且长与宽之比都相等.
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
已知a =288,a =96,b =192,则b = ( )
1 5 1 3
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
5.(2022全国乙文,13,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
答案 2
6.(2020课标Ⅱ文,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =-2,a +a =2,则S =
n n 1 2 6 10
.
答案 25
7.(2019课标Ⅲ,14,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a =5,a =13,则S = .
n n 3 7 10
答案 100
8.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{a }的前n项和为S .若a =-3,S =-10,则a =
n n 2 5 5
,S 的最小值为 .
n
答案 0;-10
9.(2019课标Ⅰ文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和.已知S =-a .
n n 9 5
(1)若a =4,求{a }的通项公式;
3 n
(2)若a >0,求使得S ≥a 的n的取值范围.
1 n n
解析 (1)设{a }的公差为d.
n
由S =-a 得a +4d=0.由a =4得a +2d=4.
9 5 1 3 1
于是a =8,d=-2.
1
因此{a }的通项公式为a =10-2n.
n n
n(n−9)d
(2)由(1)得a =-4d,故a =(n-5)d,S = .由a >0知d<0,故S ≥a 等价于n2-11n+10≤0,
1 n n 1 n n
2
解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.
10.(2023全国乙文,18,12分,中)记S 为等差数列{a }的前n项和,已知a =11,S =40.
n n 2 10
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求数列{|a |}的前n项和T .
n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,
n
{ a +d=11, {a =13,
则 1 解得 1 ∴a =13-2(n-1)=15-2n.
10a +45d=40, d=−2, n
1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)由a =15-2n知,当n≤7,n∈N*时,a >0,当n≥8,n∈N*时,a <0,
n n n
n(28−2n)
∴当n≤7,n∈N*时,T =|a |+|a |+…+|a |=a +a +…+a =S = =-n2+14n,
n 1 2 n 1 2 n n
2
当n≥8,n∈N*时,T =(a +a +…+a )-(a +a +…+a )
n 1 2 7 8 9 n
=2S -S =98-(-n2+14n)=n2-14n+98.
7 n
{ −n2+14n(n≤7且n∈N∗),
∴T =
n n2−14n+98(n≥8且n∈N∗).
11.(2021全国乙理,19,12分,中)记S 为数列{a }的前n项和,b 为数列{S }的前n项积,已知
n n n n
2 1
+
=2.
S b
n n
(1)证明:数列{b }是等差数列;
n
(2)求{a }的通项公式.
n
解析 (1)证明:由b =S ·S ·…·S 可得,
n 1 2 n
b ,n=1,
{
1 2 1
S = b 由 + =2知,
n n ,n≥2. S b
b n n
n−1
2 1 2 1 3
当n=1时, + =2,即 + =2,所以b =S = ,
S b b b 1 1 2
1 1 1 1
2 1
+
1 3 1
当n≥2时, b b =2,即2b =2b +1,即b -b = ,故数列{b }是首项为 ,公差为 的等差
n n n n-1 n n-1 2 n 2 2
b
n−1
数列.
3 1 n+2
(2)由(1)知,b = +(n-1)× = ,
n 2 2 2
b n+2
故当n≥2时,S = n = ,S 也符合该式,
n b n+1 1
n−1
n+2 3
即S = (n∈N*),从而a =S = ,
n n+1 1 1 2
3
{ ,n=1,
n+2 n+1 1 2
当n≥2时,a =S -S = − =− ,a 不符合该式,所以a =
n n n-1 n+1 n n(n+1) 1 n 1
− ,n≥2.
n(n+1)
n2+n
12.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为d,且d>1,令b = ,记S ,T 分别
n n a n n
n
为数列{a },{b }的前n项和.
n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99
解析 (1)∵3a =3a +a ,∴3(a +d)=3a +a +2d,
2 1 3 1 1 1
∴a =d>1,∴S =a +a +a =a +a +d+a +2d=6a ,
1 3 1 2 3 1 1 1 1
n2+n 2 6 6 3 12 12 4 9
又∵b = ,∴b = ,b = = = ,b = = = ,∴T =b +b +b = ,
n a 1 a 2 a a +d a 3 a a +2d a 3 1 2 3 a
n 1 2 1 1 3 1 1 1
9 1
∴S +T =6a + =21,解得a =3或a = (舍),∴a =3n.
3 3 1 a 1 1 2 n
1
12 2 12
(2)∵{b }为等差数列,∴2b =b +b ,即 = + ,
n 2 1 3 a a a
2 1 3
6 1 6
即 = + ,即a2 -3a d+2d2=0,
a +d a a +2d 1 1
1 1 1
∴a =2d或a =d.
1 1
n
当a =2d时,a =(n+1)d,b = ,
1 n n d
(2d+100d)×99
∴S = =99×51d,
99 2
1 (1+99)×99 99×50
T = · = ,
99 d 2 d
1
又∵S -T =99,∴99×51d-99×50· =99,
99 99 d
50 50
∴51d- =1,解得d=1或d=- ,
d 51
又∵d>1,∴a ≠2d.
1
n+1 (1+99)×99d
当a =d时,a =nd,b = ,∴S = =50×99d,
1 n n d 99 2
1 (2+100)×99 51×99
T = · = ,
99 d 2 d
51×99
又∵S -T =99,∴50×99d- =99,
99 99 d
51 51 51
∴50d- =1,解得d= 或d=-1,又∵d>1,∴d= .
d 50 50
51
综上,d= .
50
考点2 等差数列的性质北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
a
1.(2020浙江,7,4分,中)已知等差数列{a }的前n项和为S ,公差d≠0,且 1≤1.记
n n
d
b =S ,b =S -S ,n∈N*,下列等式不可能成立的是 ( )
1 2 n+1 2n+2 2n
A.2a =a +a B.2b =b +b
4 2 6 4 2 6
C.a2=a2a8D.b2=b b
4 4 2 8
答案 D
2.(2020新高考Ⅰ,14,5分,中)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a },则
n
{a }的前n项和为 .
n
答案 3n2-2n
3.(2022浙江,20,15分,中)已知等差数列{a }的首项a =-1,公差d>1.记{a }的前n项和为
n 1 n
S (n∈N*).
n
(1)若S -2a a +6=0,求S ;
4 2 3 n
(2)若对于每个n∈N*,存在实数c ,使a +c ,a +4c ,a +15c 成等比数列,求d的取值范围.
n n n n+1 n n+2 n
解析 (1)易得a =(n-1)d-1,n∈N*,S =a +a +a +a =4a +6d=6d-4.
n 4 1 2 3 4 1
又S -2a a +6=0,∴6d-4-2(d-1)(2d-1)+6=0,
4 2 3
∴d=3或d=0(舍),则a =3n-4,n∈N*,
n
3n(n+1)−8n 3n2−5n
故S =3(1+2+…+n)-4n= = ,n∈N*.
n
2 2
(2)由(1)知a =(n-1)d-1,n∈N*,依题意得[c +(n-1)d-1][15c +(n+1)d-1]=(4c +nd-1)2,
n n n n
即15c2
+[(16n-14)d-16]c
+(n2-1)d2-2nd+1=16c2
+8(nd-1)c
+n2d2-2nd+1,故c2
+[(14-
n n n n n
8n)d+8]c +d2=0,
n
故[(14-8n)d+8]2-4d2=[(12-8n)d+8][(16-8n)d+8]≥0,故[(3-2n)d+2][(2-n)d+1]≥0对任意正整数n
恒成立,n=1时,显然成立;n=2时,-d+2≥0,则d≤2;
n≥3时,[(2n-3)d-2][(n-2)d-1]>(2n-5)(n-3)≥0.
综上所述,1<d≤2.
4.(2021新高考Ⅱ,17,10分,中)记S 为公差不为零的等差数列{a }的前n项和,若
n n
a =S ,a ·a =S .
3 5 2 4 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求使得S >a 的n的最小值.
n n
解析 (1)解法一:设等差数列{a }的公差为d(d≠0),则
n
a =S a +2d=5a +10d 4a +8d=0 a +2d=0 a =-2d,①
3 5 1 1 1 1 1
a 2 ·a 4 =⇒S 4 (a 1 +d)(a 1 +3d)⇒=4a 1 +6d,② ⇒ ⇒
将①代入 ⇒ ②得-d2=-2d d=0(舍)或d=2,∴a 1 =-2d=-4,∴a n =-4+(n-1)×2=2n-6.
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解法二:由等差数列的性质可得S =5a ,则a =5a ,∴a =0,
5 3 3 3 3
设等差数列的公差为d,
从而有a a =(a -d)(a +d)=-d2,
2 4 3 3
S =a +a +a +a =(a -2d)+(a -d)+a +(a +d)=-2d,
4 1 2 3 4 3 3 3 3
从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2,
所以数列{a }的通项公式为a =a +(n-3)d=2n-6.
n n 3
(2)由(1)知a =2n-6,a =2×1-6=-4.
n 1
n(n−1)
S =na + d=-4n+n(n-1)=n2-5n.
n 1 2
S >a n2-5n>2n-6 n2-7n+6>0 (n-1)(n-6)>0,
n n
解得
⇔
n<1或n>6,又
⇔
n∈N*,∴n的
⇔
最小值为7.
三年模拟
综合基础练
1.(2024届云南师大附中高考适应性考试,3)记S 为等差数列{a }的前n项和.若
n n
a +a =24,S =48,则a = ( )
4 5 6 9
A.4 B.24
C.30 D.32
答案 C
π π
2.(2024届湖北六校联考,5)若数列{a }为等差数列,且a = ,a = ,则sin a = ( )
n 1 6 3 2 2 023
1 √3 1 √3
A. B. C.− D.−
2 2 2 2
答案 C
3.(2024届福建华安一中开学模拟,7)S 是数列{a }的前n项和,则“数列{a }为常数列”是
n n n
“数列{S }为等差数列”的 ( )
n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2024届江苏、广东、福建大联考,9)设不全为0的等差数列{a }的前n项和为S ,
n n
若a +2a =a ,则下列结论正确的是 ( )
4 8 6
A.a =0 B.S 最大
7 7北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
C.S =S D.S =0
5 9 13
答案 AD
S
5.(2023江苏七市三模,14)设等差数列{a }的前n项和为S ,a ≠0,a +a =3a ,则 10 = .
n n 1 1 5 2 a
20
11
答案
4
S 3n−1
6.(2024届江苏淮阴联考,13)设等差数列{a },{b }的前n项和分别为S ,T ,且 n = ,则
n n n n T n+3
n
a
8
= .
b +b
5 11
11
答案
9
7.(2023广东广州二模,15)在数列{a }中,a =2,a =a +a ,若aa =440,则正整数k=
n 1 m+n m n k k+1
.
答案 10
8.(2024届福建厦门外国语学校适应性考试,14)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
S <S ,S =S ,S >S ,则符合题意的等差数列{a }的一个通项公式为a = .
6 7 7 8 8 9 n n
答案 8-n(答案不唯一)
9.(2024届湖南长沙一中月考,18)设各项均不为零的数列{a }的前n项和为S ,a =1,且对于
n n 1
任意n∈N*,满足2S =a ·a .
n n n+1
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1
(2)设b = ,求数列{b }的前99项和.
n √a +√a n
n n+1
a a
解析 (1)由题知a ≠0.当n=1时,a =S = 1 2,则a =2.
n 1 1 2
2
a a a a a
当n≥2,n∈N*时,a =S -S = n n+1− n−1 n= n(a -a ),所以a -a =2,
n n n-1 n+1 n-1 n+1 n-1
2 2 2
所以数列{a }是首项为1,公差为2的等差数列,
2n-1
数列{a }是首项为2,公差也为2的等差数列,
2n
则a =a +2(n-1)=2n-1,a =a +2(n-1)=2n,
2n-1 1 2n 2
所以a =n,n∈N*.
n
1
(2)由(1)得,b = =√n+1−√n,
n √n+√n+1
所以b +b +b +…+b =√2−1+√3−√2+…+√100−√99=10-1=9.
1 2 3 99
