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人教A版数学--数列高考复习专题十五
知识点一 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应
用,
利用an与sn关系求通项或项
典例1、已知数列 的各项为正数，其前 项和 满足 ，设
．
（1）求证：数列 是等差数列，并求 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求 的最大值．
随堂练习：已知数列 的前 项和公式为
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和 的最小值．典例2、已知数列 的前 项和为 .
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求 的最大值及取得最大值时 的值.
随堂练习：已知正项数列 的首项为1，其前 项和为 ，满足 .
（1）求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ， 是 的前 项和，已知 对于 都成立，求 的取值
范围.知识点二 由递推关系证明数列是等差数列,求等差数列前n项和的最值,等比中项的应
用,
利用an与sn关系求通项或项
典例3、已知数列 的前 项和为 .
（1）求出 的通项公式；
（2）求数列 前n项和最小时n的取值
随堂练习：记 为公差不为0的等差数列 的前n项和，已知 ，且 ， ，
成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；（2）求 ，并求 的最小值．
典例4、设等比数列 的公比 ，且满足 ， ， ， 成等差
数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足：对任意正整数n， 均成立，求数列
的前n项和 的最大值.随堂练习：公差非零的等差数列 的前n项和为 ，若 是 ， 的等比中项，
．
（1）求 ；
（2）数列 为等差数列， ，数列 的公差为 ，数列 的前n项和为 ，
是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在请说明理
由．
典例5、已知等比数列 的各项均为正数，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的最大项.随堂练习：在数列{a}中， （n∈N*）， .
n
（1）求 ；
（2）设 为 的前n项和，求 的最小值．
典例6、已知数列 的前n项积 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前n项为 ，求 的最小值.随堂练习：已知正项数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 ；
（2）求证：数列 是等差数列.
（3）令 ，问数列 的前多少项的和最小？最小值是多少？
典例7、设数列满足 ．
（1）求的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 的最大值及此时的 值；（3）求数列 的前 项和．
随堂练习：在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充到下
面的问题中，
并解答．设等差数列 的前n项和为 ，且 , ．
（1）求 的最小值；
（2）若数列 满足____________，求数列 的前10项和．人教A版数学--数列高考复习专题十五答案
典例1、答案： （1）证明见解析， ；（2） .
解：（1）当 时， ，∴
当 时， ，即
∴ ，∴ ，∴
∴ ，所以 是等差数列，
（2） ， ，∵ ，∴ 是等差数列
∴ ，当 时，
随堂练习：答案： （1） ； （2）当 或 时， 的值最小，值为 .
解：（1）当 时， ，
当 时， =
经检验， 满足此式，所以
（2）由（1）可知，数列 为等差数列，
设 ，得 ，
当 或 时， 的值最小，值为 .
典例2、答案： （1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为 .
解：（1）证明：当 时， ，
又当 时， ，满足 ，故 的通项公式为 ，
∴ .
故数列 是以32为首项， 为公差的等差数列；
（2）令 ，即 ，解得 ，
故数列 的前16项或前17项和最大，
此时 .
随堂练习：答案： （1）证明见解析， （2） 或
解（1）∵ ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ ，
∴ ，又由 ，
∴ 是以1为首项，1为公差的等差数列；
所以 ，∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也符合，所以 .
（2） ， 时， ， ， ， ， ，
∴ 或5时， ，∴ 或 .
典例3、答案：（1） ；（2）当 或 时，数列 前n项和取得最小
值.解:（1）因为 ， 所以当 时， ；
当 时， ；
显然 是，也满足 ， 所以 ；
(2) 因为 ，
所以数列 为等差数列，其前n项和
又 ，所以当 或 时， 取得最小值.
随堂练习：答案：（1） （2） ，最小值为
解：（1）因为 ，且 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 即
（2）
当 或 时， 有最小值
典例4、答案：（1） ；（2）49.
解:（1）由题意，等比数列 满足 ， ， ， 成等差数列，
可得 ，两式相减得 ，即 ，
代入 ，可得 ，解得 或 （舍），
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）对任意正整数n， 均成立，
当 时，可得 ，
当 时，
两式相减得 ，
由（1）知 ，所以当 时， ，
当 时也满足此式，数列 为等差数列，
故数列 的前n项和 ，
所以当 时，数列 的前n项和 的最大值为49.
随堂练习：答案： （1）60 （2）存在最大值66
解：（1）记等差数列 的公差为 ，
由题知 ，整理得
因为 所以可解得 所以
（2）由（1）可知
因为数列 的公差为 ， 所以因为 的对称轴为 ，
所以当 时， 有最大值
典例5、答案： （1） ； （2） .
解：（1）设等比数列 的公比为 ，
由 得， ，解得： ，
；
（2） ；
当 取3或4时， 取得最大项 .
随堂练习：答案： （1）
（2）当n为偶数时， 取得最小值为－242；当n为奇数时， 取最小值为－243
解：（1）∵ （n∈N*），① ②
②－①得， .
又∵a＋a＝2－44，a＝－23， ∴a＝－19， 同理得，a＝－21，a＝－
2 1 1 2 3 4
17.
故a，a，a，…是以 为首项，2为公差的等差数列，
1 3 5
a，a，a，…是以 为首项，2为公差的等差数列．
2 4 6
从而（2）当n为偶数时，
故当n＝22时，S取得最小值为－242.
n
当n为奇数时，
.
故当n＝21或n＝23时，S取得最小值－243.
n
综上所述：当n为偶数时，S取得最小值为－242；当n为奇数时，S取最小值
n n
为－243.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1） .
当 时， ；
当 时， ，也符合 . 故 的通项公式为 .
（2） ， ，
是以 为首项，2为公差的等差数列，
， 当 时， 的最小值为 .
随堂练习：答案： （1） ， ；（2）证明见解析；
（3）数列 的前9或前10项的和最小，最小值为
解：（1）由已知得， ， ， ；， ，
化简得， ，又由已知得， ，
（2）由题意得， ，①
令 ，得 ，② 得， ，
化简得， ，进而得到，
，又由 为正项数列得， ，
故有， ，所以， ，故数列 是等差数列，
由（1）得， ，所以，
（3）由（2）得， ，明显地， 为等差数列，设 的前 项和为
，
故有， ，
根据二次函数的性质， 的对称轴为 ，因为 为正整数，
明显地，取 或 时， 有最小值，
故最小值为， ，所以，数列 的前9或前10项的和最小，最小值
为 .
典例7、答案：（1） ； （2）当 ， 取得最大值 ； （3） .解:（1）由题意知， ，
所以 所以 ，
当 时， 符合通项公式， 所以数列的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ，由等差数列的求和公式，
可得
∴当 ， 取得最大值，且 ；
（3）由（1）知，令 ， 为 的前 项和，则 ，
∴
．
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由题， ， ，所以 ，
则 ， 所以当 时， 的最小值为 .
（2）设数列 的前 项和为 ，
选①，由（1）， ，令 ，即 , 所以 ，
所以 ；选②，由（1）， ，
所以 ；
选③，由（1）， ， ，
所以
