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专题 05 平面解析几何
x2 y2 1
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A ,A 分别为C
a2 b2 3 1 2
→ →
的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA ⋅BA =-1，则C的方程为( )
1 2
x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2
A． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + y2=1
18 16 9 8 3 2 2
x2 y2
2．【2022年全国甲卷】椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，
a2 b2
1
且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为( )
4
√3 √2 1 1
A． B． C． D．
2 2 2 3
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若
|AF|=|BF|，则|AB|=( )
A．2 B．2√2 C．3 D．3√2
4．【2022年全国乙卷】(多选)双曲线C的两个焦点为F ,F ，以C的实轴为直径的圆记为
1 2
3
D，过F 作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F N F = ，则C的离心率为
1 1 2 5
( )
√5 3 √13 √17
A． B． C． D．
2 2 2 2
5．【2022年北京】若直线2x+ y-1=0是圆(x-a) 2+ y2=1的一条对称轴，则a=( )
1 1
A． B．- C．1 D．-1
2 2
6．【2022年新高考1卷】(多选)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线
C:x2=2py(p>0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则(
)A．C的准线为y=-1 B．直线AB与C相切
C．|OP|⋅|OQ|>|OA| 2 D．|BP|⋅|BQ|>|BA|2
7．【2022年新高考2卷】(多选)已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F
的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则
( )
A．直线AB的斜率为2√6 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．∠OAM+∠OBM<180°
8．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+ y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则
⊙M的方程为______________．
x2 y2
9．【2022年全国甲卷】记双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件
a2 b2
“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______________．
x2
10．【2022年全国甲卷】若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+ y2-4 y+3=0相切，
m2
则m=_________．
11．【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
____________．
12．【2022年新高考1卷】写出与圆x2+ y2=1和(x-3) 2+(y-4) 2=16都相切的一条直线
的方程________________．
x2 y2
13．【2022年新高考1卷】已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点
a2 b2
1
为F ，F ，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则
1 2 2 1 2
△ADE的周长是________________．
14．【2022年新高考2卷】设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆
(x+3) 2+(y+2) 2=1有公共点，则a的取值范围是________．x2 y2
15．【2022年新高考2卷】已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A，B两点，l与x
6 3
轴，y轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2√3，则l的方程为
___________．
x2 √3
16．【2022年北京】已知双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x，则m=__________．
m 3
x2 y2 b
17．【2022年浙江】已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为
a2 b2 4a
的直线交双曲线于点A(x ,y )，交双曲线的渐近线于点B(x ,y )且x <00)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直
线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3．
(1)求C的方程；
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β．
当α-β取得最大值时，求直线AB的方程．
19．【2022年全国乙卷】已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
(3 )
A(0,-2),B ,-1 两点．
2
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1,-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点
T，点H满足⃑MT=⃑TH．证明：直线HN过定点．
x2 y2
20．【2022年新高考1卷】已知点A(2,1)在双曲线C: - =1(a>1)上，直线l交C
a2 a2-1
于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．x2 y2
21．【2022年新高考2卷】已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐
a2 b2
近线方程为y=±√3x．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x ,y ),Q(x ,y )在C上，且
1 1 2 2
x >x >0,y >0．过P且斜率为-√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面
1 2 1
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
x2 y2
22．【2022年北京】已知椭圆：E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为
a2 b2
2√3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x
轴交于点M，N，当|MN|=2时，求k的值．
x2
23．【2022年浙江】如图，已知椭圆 + y2=1．设A，B是椭圆上异于P(0,1)的两点，
12
( 1) 1
且点Q 0, 在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=- x+3于C，D两点．
2 2
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求|CD|的最小值．1．(2022·全国·模拟预测)设M是椭圆C： 的上顶点，P是C上的一个动
点，当P运动到下顶点时， 取得最大值，则C的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．(2022·福建·三明一中模拟预测)已知圆 ，圆 ，若圆
M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得 ，则实数 的
取值范围是( )
A． B． C． D．
3．(2022·全国·模拟预测(文))已知双曲线 ( ， )一个虚轴的顶点为 ，
右焦点为 ，分别以 ， 为圆心作圆与双曲线的一条斜率为正值的渐近线相切于 ，
两点，若 ，则该渐近线的斜率为( )
A． B．1 C． D．
4．(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知 分别为双曲线 的
左焦点和右焦点，过 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 的内切圆半径为 ，的内切圆半径为 ，若 ，且直线l的倾斜角为 ，则 的值为( )
A．2 B．3 C． D．
5．(2022·贵州·贵阳一中模拟预测(文))已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左
焦点 作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直
线OP的斜率为 ，则b的值是( )
A．2 B． C． D．
6．(2022·全国·模拟预测(理))已知双曲线 的左、有焦点分别为 ， ，
实轴长为4，离心率 ，点Q为双曲线右支上的一点，点 ．当 取最小
值时， 的值为( )
A． B． C． D．
7．(2022·上海市七宝中学模拟预测)若双曲线 和双曲线
的焦点相同，且 给出下列四个结论：
① ；
② ；
③双曲线 与双曲线 一定没有公共点；④ ；
其中所有正确的结论序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
8．(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(理))已知双曲线 的左､右焦点分别
为 ， 为双曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且 ，
则该双曲线离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
9．(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，过点 的直线 与 的左、右两支分别交于点 ，若 是
边长为 的等边三角形，则 的离心率为( )
A． B． C． D．
10．(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))已知椭圆 的左右焦点
为 ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则椭圆C的离心
率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(文))已知椭圆 的两个焦点分别为 和 ，椭圆 上一点到 和 的距离之和为 ，且椭圆 的离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过左焦点 的直线 交椭圆于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 (不与 重合)，
是否存在实数 ，使 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说出理由.
12．(2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模(理))已知抛物线C： ，圆O：
.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为C和圆O的一个交点，求 ；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求 的最小值及相应p的值.
13．(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(文))生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的
一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y
轴上，中心在坐标原点，从下焦点 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点 ，这束光线
的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为 ，已知椭圆的离心率e .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线
上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点 ，试问，直线BM与直线AN能交于一
定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.
14．(2022·山西·太原五中二模(文))已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别与椭
圆交于 和 ，记得到的平行四边形 的面积为 ．
(1)设 ，用 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；(2)请从①②两个问题中任选一个作答
①设 与 的斜率之积 ，求面积 的值．
②设 与 的斜率之积为 ．求 的值，使得无论 与 如何变动，面积 保持不变．
15．(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))已知椭圆C： 的
离心率为 ，且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，
A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
