北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.2 函数的单调性与奇偶性
五年高考
考点1 函数的单调性
1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为 ( )
(2) x
A. f(x)=-x B. f(x)=
3
C. f(x)=x2 D. f(x)=√3 x
答案 D
2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (
)
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
答案 D
3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
答案 D
4.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=e−(x−1)2 .记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
,
2 2 2
则( )
A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
答案 A
5.(2020新高考Ⅰ,8,5分,难)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足
xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
答案 D
{−ax+1,x<a,
6.(2022北京,14,5分,难)设函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则a的一个取值为
(x−2) 2,x≥a.
;a的最大值为 .
1
答案 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
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考点2 函数的奇偶性
xex
1.(2023全国乙理,4,5分,易)已知f(x)= 是偶函数,则a= ( )
eax−1
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D
2x−1
2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( )
2x+1
1
A.-1 B.0 C. D.1
2
答案 B
1
3.(2022北京,4,4分,易)已知函数f(x)= ,则对任意实数x,有( )
1+2x
A. f(-x)+f(x)=0 B. f(-x)-f(x)=0
1
C. f(-x)+f(x)=1 D. f(-x)-f(x)=
3
答案 C
1−x
4.(2021全国乙理,4,5分,易)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( )
1+x
A. f(x-1)-1 B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1 D. f(x+1)+1
答案 B
5.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,
则 ( )
( 1)
A. f − =0 B. f(-1)=0
2
C. f(2)=0 D. f(4)=0
答案 B
6.(2020课标Ⅱ理,9,5分,难)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )
(1 )
A.是偶函数,且在 ,+∞ 单调递增
2
( 1 1)
B.是奇函数,且在 − , 单调递减
2 2
( 1)
C.是偶函数,且在 −∞,− 单调递增
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( 1)
D.是奇函数,且在 −∞,− 单调递减
2
答案 D
( π)
7.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin x+ 为偶函数,则a= .
2
答案 2
8.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3·(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
答案 1
三年模拟
综合基础练
1.(2024届广东普宁二中第一次月考,4)已知函数f(x)=2x2+ax+2,若f(x+1)是偶函数,则a=
( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
答案 A
2.(2024届湖北黄冈浠水一中开学质检,2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时
f(x)=log x,则f(-3)= ( )
3
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A
3.(2024届山东日照校际联考,3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是(
)
A.y=e-x-ex B.y=x-2
C.y=2|x| D.y=cos x
答案 C
4.(2023北京海淀模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
1
A.y=√xB.y=
x2
3x−3−x
C.y=lg|x| D.y=
2
答案 C
5.(2023江苏连云港一模,3)已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时, f(x)单调递增,则
f(-2), f(π), f(-3)的大小关系是 ( )
A. f(π)>f(-2)>f(-3)
B. f(π)>f(-3)>f(-2)
C. f(π)<f(-2)<f(-3)北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
D. f(π)<f(-3)<f(-2)
答案 B
6.(2024届辽宁大连八中适应测,3)若f(x)=x(x+1)(x+a)(a∈R)为奇函数,则a的值为 (
)
A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
答案 A
7.(2024届海南海口开学检测,2)函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2)
C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞)
答案 B
8.(多选)(2023山东临沂一模,10)已知f(x)=x3g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解
析式可以为 ( )
1+x
A.g(x)=lg
1−x
B.g(x)=3x-3-x
1 1
C.g(x)= +
2 2x+1
D.g(x)=ln(√x2+1+x)
答案 BD
(x+1) 2+sinx
9.(2024届广东佛山摸底考,14)设函数f(x)= 的最大值为M,最小值为m,则
x2+1
m+M= .
答案 2
√x2−x4
10.(2024届重庆渝北中学月考,15)关于函数f(x)= 的描述,正确的是 .①
|x−1|−1
f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1];②f(x)的值域为(-1,1);③f(x)为定义域内的增函数;④f(x)的图象
关于原点对称.
答案 ①②④
1
11.(2023山东枣庄三中质检,19改编)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足
2
x−1
f(x)-g(x)= ,求f(x),g(x)的解析式.
x2+1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 x−1 1 −x−1
解析 因为 f(x)-g(x)= ①,所以以-x代x可得 f(-x)-g(-x)= .因为f(x)是奇函数
2 x2+1 2 x2+1
1 −x−1
且g(x)为偶函数,所以- f(x)-g(x)= ②,
2 x2+1
1 2x
①+②得g(x)= ,①-②得f(x)= .
1+x2 x2+1
2x 1
从而f(x)= ,g(x)= .
x2+1 1+x2
综合拔高练
ln(eax+1)
3
1.(2024届广东深圳罗湖开学模考,4)已知函数f(x)= − 为奇函数,则a= (
x 2
)
1 1
A. B.2C. D.3
2 3
答案 D
( m )
2.(2023江苏连云港二模,4)已知函数f(x)=x 1+ 是偶函数,则m的值是 ( )
1−ex
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 A
3.(2023山东东营一中月考,4)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(-∞,0)上单调递增,设
a=0.30.2,b=1,c=log 0.2,则 ( )
3
A. f(c)>f(a)>f(b) B. f(a)>f(c)>f(b)
C. f(a)>f(b)>f(c) D. f(c)>f(b)>f(a)
答案 C
4.(2023江苏常州一模,5)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-
g(x)=ex,则有 ( )
A. f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)
C. f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)
答案 D
5.(2024届湖南师大附中摸底考,8)已知函数f(x)=x2+2x+2-x,若不等式f(1-ax)<f(2+x2)对任意
x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2√3,2) B.(-2,2√3)
C.(-2√3,2√3) D.(-2,2)
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
| 1 | [1 ]
6.(2024届湖南长沙市一中月考(一),8)设f(x)= x+ −a (a∈R),记f(x)在区间 ,4 上的
x 2
最大值为M(a),则M(a)的最小值为 ( )
9 15
A.0 B. C. D.2
8 8
答案 B
7.(2023福建厦门一模,5)已知函数f(x)=ax2+|x+a+1|为偶函数,则不等式f(x)>0的解集为(
)
A.
B.(-1,0)∪(0,1)
⌀
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
答案 B
8.(多选)(2024届湖南长沙周南中学入学考,10)济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏,柱
与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软
的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.如果建立适当的平面直角坐标系,
a x x
那么悬链线可以表示为函数f(x)=
2
( ea+e − a),其中a>0,则下列关于悬链线函数f(x)的性质
判断正确的是 ( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)为奇函数
C. f(x)的单调递减区间为(-∞,0)
D. f(x)的最大值是a
答案 AC
9.(多选)(2024届重庆南开中学开学考,9)下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增
的是 ( )
1
A.y= x3 B.y=x+sin x
C.y=xcos x D.y=log (√x2+1+x)
2
答案 ABD北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
| 20 |
10.(2024届山东日照校际联考,15)若f(x)=lg a+ +b是奇函数,则a+b= .
1−x
答案 -11
11.(2024届山东枣庄三中质检,21)已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时, f(x)=
(1) x x+3
− .
2 3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
解析 (1)当x<0时,-x>0,
(1) −x −x+3 x−3
则f(-x)= − =2x+ ,
2 3 3
x−3
又因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x)=2x+ ,
3
{(1) x x+3
− ,x≥0,
3−x 2 3
所以f(x)=-2x+ ,所以f(x)=
3 3−x
−2x+ ,x<0.
3
(1) x x+3 (1) x x+3
(2)因为当x≥0时, f(x)= − ,y= 单调递减,y=- 也单调递减,因此f(x)在
2 3 2 3
[0,+∞)上单调递减,(两个减函数的和仍为减函数)
又f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.
因为f(t2-2t)+f(2t2-k)<0在t∈R上恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k),又因为f(x)为奇函数,
所以f(t2-2t)<f(k-2t2),
1
所以t2-2t>k-2t2在t∈R上恒成立,即3t2-2t-k>0在t∈R上恒成立,所以Δ=4+12k<0,即k<- .
3
( 1)
故实数k的取值范围是 −∞,− .
3
解题关键
解决(2)的关键是根据奇函数的性质,推出f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,再将不等式f(t2-2t)
+f(2t2-k)<0恒成立,转化为t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0在t∈R上恒成立.
