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3.2 函数的性质（精讲）一．函数单调性的定义
1.单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D，当x＜x 时
1 2 1 2
条件
都有f(x)f(x)
1 2 1 2
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
结论
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它
是增函数 是减函数
图示
2.单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区
间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性
相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
二．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M；
条件
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M (2)∃x∈I，使得f(x)＝M
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
三．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 f(－x)＝f(x) 关于y轴对称
一般地，设函数f(x)的定义域为
I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且
奇函数 f(－x)＝－f(x) 关于原点对称
四．函数的周期性1.周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称
函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
五．函数的对称性
1.对称性：若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2.对称中心：f(－x＋b)＋f(x＋b)＝2a，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,a)中心对称．
一．判断函数单调性常用的方法
1.定义法：一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论．
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间)．
4.性质法：
①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)的增减性进行判断；
②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(u)和u＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根
据复合函数“同增异减”的规则进行判断．
5．在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减，增－减＝增，减－增＝减．
6．复合函数y＝f[g(x)]的单调性判断方法：“同增异减”．
易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.
二．利用单调性求参数的范围(或值)
1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
2.若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．
3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
4.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
5.利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象
的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
三．判断函数的奇偶性
1，定义法
2.图象法3.性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D，D，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
1 2
f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
同性乘除为偶 复合函数有偶为
同性加减不变性，异性加减非奇偶
异性乘除为奇 偶，两奇为奇
四．函数奇偶性的应用
1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值．
2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性
得方程(组)，进而得出参数的值．
4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
考法一 具体函数的单调区间
【例1-1】（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为____________．
【例1-3】（1）（2023·江西）函数 的单调增区间是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
（2）（2022·广东）函数 的单调递增区间是（ ）A． B． 和
C． 和 D． 和
（3）（2022秋·河北廊坊·高三校考阶段练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）函数 的单调递增区间为__________.
2．（2023·西藏林芝）函数 的单调递增区间是
3．（2023·江西）函数 的单调减区间为______.
4．（2023北京）已知函数 ，则下列结论正确的是
①递增区间是 ②递减区间是 ③递增区间是 ④递增区间是
5（2022·山东）函数 的单调减区间是_______．
考法二 函数单调性的应用【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）设 ，则“ ”是“函数 在 为减函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【例2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数 ，在R上为严格增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．（1，3）； B．（2，3）；
C． ； D． ；
【例2-3】（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知函数 在 上是减函
数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·广西）已知函数 在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]
2．（2023·北京）使得“函数 在区间 上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是
（ ）
A． B． C． D．3．（2023·湖南）已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河北）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
考法三 判断函数的奇偶性
【例3】（2023安徽）判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ．
【一隅三反】
（2023·广东潮州）判断下列函数的奇偶性．
(1) ； (2) ； (3) (4)； (5) ． (6) ；
(7) ； (8) ．
考法四 函数奇偶性的应用
【例4-1】（1）（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知 为奇函数，当 时，
，则当 时，
（2）（2023山西）已知 是偶函数，当 时， ，则当 时， _________
【例4-2】（1）（2022·广东深圳 ）若 是奇函数，则实数 ___________.
（2）（2023·江西·校联考二模）设 ，则“ ”是“ 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（3）（2022·全国·模拟预测）已知函数 为偶函数，则 ______．【例4-3】（1）（2023·吉林）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2023·全国·模拟预测）定义在 上的函数 满足 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】（2022·江苏 ）已知函数 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
则函数 的解析式为_________．2．（2023·广东·高三统考学业考试）函数 是偶函数，当 时， ，则 ________.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，则“ ”是“函数 是偶函数”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知偶函数 在 上单调递增，则
的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 是自然对数的底数，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·陕西·统考一模）函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增， ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8（2022·江苏 ）已知函数 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考法五 函数的周期性和对称性
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）奇函数 满足 ，当 时， ，
则 =（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定义在 上的偶函数 满足 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且为偶函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·江西南昌·统考二模） 是以2为周期的函数，若 时， ，则 ________．
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）请写出一个图像关于点 对称的函数的解析式_________．
3．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数，若 为偶函数且 ，
则 （ ）
4．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为R，
为奇函数，且对 ， 恒成立，则（ ）
A． 为奇函数 B． C． D．
考法六 函数性质的综合运用
【例6-1】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）（多选）已知定义域为 的函数
在 上单调递增， ，且图像关于 对称，则 （ ）A． B．周期
C．在 单调递减 D．满足
【例6-2】（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数 在 上单调递减， ，
为偶函数，当 时， ，若 ， ， ，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）（多选）已知偶函数 与奇函数 的定义域均为R，且满
足 ， ，则下列关系式一定成立的是（ ）
A． B．f（1）=3
C．g（x）=-g（x+3） D．2．（2023·贵州黔西·校考一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于 对称．若
，则 （ ）
A．3 B．2 C．0 D．50
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数 满足，①对于互不相等的任意 ， 都有
，且当 时， ，② 对任意 恒成立，③
的图象关于直线 对称，则 ､ ､ 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）（多选）定义在 上的函数 满足 ，且当
时， ，则（ ）
A． B． 的一个周期为3
C． 在 上单调递增 D．
