北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第九章 直线和圆的方程
§9.1 直线方程与圆的方程
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京延庆一模,6)在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为y=k(x+1)+3,以点(1,1)为圆心且
与直线l相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为( )
A.2 B.2√2
C.4 D.8
答案 B 本题考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系,考查数形结合的思
想方法,考查学生分析问题与解决问题的能力,渗透数学运算与直观想象的核心素养.
直线l过点(-1,3),则点(1,1)到直线l的最大距离为 =2 ,因而半径最大的圆
√(1+1)2+(1-3)2 √2
半径为2√2.故选B.
思路分析 数形结合,半径最大即圆心到直线的距离最大,此时过定点的直线l与定点和圆心的连
线垂直,从而得最大半径即是定点与圆心的距离.
2.(2021北京顺义二模,8)已知圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点,则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为
( )
A.2√2 B.√2+2
C.√2+1 D.√2
答案 B ∵圆(x-a)2+(y-b)2=1经过原点,∴a2+b2=1,则动圆(x-a)2+(y-b)2=1的圆心在以原点为圆心,以
1为半径的圆上,如图.
|2|
原点O到直线y=x+2的距离d= =√2,则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为√2+2.故选B.
√2
3.(2021吉林第三次调研考试,5)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相
切,则该圆的标准方程是 ( )
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A.(x-3)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y-3)2=1
C.(x-2)2+(y-1)2=1 D.(x-3)2+(y-2)2=1
答案 C 因为圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴均相切,所以圆心的纵
坐标为1,半径为1,从而设圆心坐标为(a,1),a>0,则有 |4a-3| =1,解得a=2或a=-1(舍去),所以
√42+(-3)2 2
圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1,故选C.
4.(2021广西玉林、柳州重点中学联考,9)已知抛物线C:x2=4y的准线为l,记l与y轴交于点M,过点
M作直线l 与抛物线C相切,切点为N,则以MN为直径的圆的方程为( )
0
A.(x+1)2+y2=4或(x-1)2+y2=4
B.(x+1)2+y2=16或(x-1)2+y2=16
C.(x+1)2+y2=2或(x-1)2+y2=2
D.(x+1)2+y2=8或(x-1)2+y2=8
答案 C 依题意知M(0,-1),切线l 的斜率一定存在,设其方程为y=kx-1,联立方程{ x2=4 y, 得
0
y=kx-1,
x2-4kx+4=0,由于直线l 与抛物线C相切,所以Δ=16k2-16=0,解得k=±1,故x =±2,则N(2,1)或N(-2,1),
0 N
所以以MN为直径的圆的方程为(x+1)2+y2=2或(x-1)2+y2=2,故选C.
2 1
5.(2021山西大同重点中学3月模拟,7)若直线l:ax-by+2=0(a>0,b>0)过点(-1,2),则当 + 取最小值
a b
时直线l的斜率为 ( )
1
A.2 B. C.√2 D.2√2
2
答案 A 因为直线l过点(-1,2),所以-a-2b+2=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以2+1=(2 1)·
+
2 a b a b
(a
+b
)=1(
4+
4b
+
a)≥1(
4+2
√a
·
4b)=4,当且仅当 4b=a ,即a=2b时取等号,所以当 2
2 2 a b 2 b a a b a
1 a
+ 取最小值时直线l的斜率为 =2,故选A.
b b
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6.(2021四川内江二诊,9)已知过点(0,2)的直线l与圆C:(x-2)2+(y-1)2=10相交于A,B两点,当△ABC面
积最大时,直线l的方程为 ( )
A.2x-y+2=0
B.2x-y+2=0或2x+y-2=0
C.x=0
D.x=0或2x+y-2=0
答案 A 当△ABC的面积最大时,CA⊥CB,又知圆C:(x-2)2+(y-1)2=10的半径为√10,所以圆心C到
直线AB的距离d=√5,当直线l的斜率不存在时,经检验不满足题意,所以直线l的斜率存在,设为k,
则l的方程为y=kx+2,可化为kx-y+2=0,则圆心C(2,1)到直线l的距离d=
|2k-1+2|
= ,解得
√5
√k2+1
k=2,所以当△ABC的面积最大时直线l的方程为y=2x+2,即2x-y+2=0,故选A.
7.(2021天一大联考顶尖计划第三次联考,10)若圆x2+y2=6上的两个动点A,B满足|⃗AB|=2√2,点M
在圆x2+y2=16上运动,则|⃗MA+⃗MB|的最小值是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 C 由x2+y2=6可知圆心为坐标原点O(0,0),半径为r=√6,因为|⃗AB|=2√2,所以圆心到直线
1
AB的距离d=√
r2-
(2√2) 2 =2,设AB的中点为N,则|ON|=d=2,所以N点在以原点为圆心,以r=2为
2
半径的圆上,所以N点的轨迹方程为x2+y2=4,因为N为AB的中点,所以⃗MA+⃗MB=2⃗MN,因为点
M在圆x2+y2=16上运动,圆x2+y2=16的半径r=4,所以|⃗MN| =r-r=2,所以|⃗MA+⃗MB| =2|⃗MN|
2 min 2 1 min
=4.
min
8.(2021安徽宣城质检,9)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)在第一象限内的点,以点M为圆心的圆M
恰好经过抛物线C的焦点F,若圆M与直线x=-1相切于点N,且△MFN的面积为10,则圆M的标准
方程为 ( )
A.(x-4)2+(y-4)2=25 B.(x-2)2+(y-2)2=9
C.(x-4)2+(y-4)2=16 D.(x-3)2+(y-3)2=16
p
答案 A 由题意及抛物线的定义可知直线x=-1为抛物线C的准线,得- =-1,即p=2,所以抛物线
2
C的标准方程为y2=4x,设点N(-1,y),M(x,y),由△MFN的面积为10,且点M在抛物线上,得
0 0 0
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{ y2=4x ,
1
0 0
因为x 0 ,y 0 为正数,所以得
{x
0
=4,
所以圆M的圆心为M(4,4),半径r=4+1=5,
(x +1)y =10, y =4,
2 0 0 0
于是圆M的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=25,故选A.
9.(2021浙江百校3月联考,8)若平面上两点A(-2,0),B(1,0),则过点B的直线l上满足(⃗BA-⃗PB)·(⃗PA
+2⃗PB)=0的点P的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.与直线l的斜率有关
答案 C 由(⃗BA-⃗PB)·(⃗PA+2⃗PB)=0,得(⃗BP+⃗PA-⃗PB)·(⃗PA+2⃗PB)=0,可得(⃗PA-2⃗PB)·(⃗PA+2⃗PB
)=0,即|⃗PA|=2|⃗PB|,可得点P的轨迹为阿氏圆,方程为(x-2)2+y2=4,故点P的个数即为l与圆的交点个
数.由于直线l过定点(1,0),且点(1,0)在圆内,所以直线与圆有两个交点,故选C.
二、多项选择题
10.(2020山东聊城一中月考,10)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l方
程可能为( )
A.x-y+1=0 B.x+y-3=0
C.2x-y=0 D.x-y-1=0
2-0
答案 ABC 当直线经过原点时,斜率为k= =2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;
1-0
当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,解得k=-1或
k=3,故所求的直线方程为x-y+1=或x+y-3=0.综上知,所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或
x+y-3=0.
11.下列说法正确的是 ( )
x y
A.截距相等的直线都可以用方程 + =1表示
a a
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1)
D.经过两点P(x,y),P(x,y)的直线方程为(y-y)(x-x)-(x-x)(y-y)=0
1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1
x y
答案 BD 对于A,若直线过原点,横纵截距都为零,则不能用方程 + =1表示,所以A不正确;
a a
对于B,当m=0时,平行于y轴的直线方程为x=2,所以B正确;
对于C,若直线的倾斜角为90°,则该直线的斜率不存在,不能用y-1=tan θ(x-1)表示,所以C不正确;
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对于D,设点P(x,y)是经过两点P(x,y),P(x,y)的直线上的任意一点,根据 ∥ 可得(y-y)
1 1 1 2 2 2 ⃗P P ⃗P P 2 1
1 2 1
(x-x)-(x-x)(y-y)=0,所以D正确.
1 2 1 1
三、填空题
12.(2021豫西南五校3月联考,14)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0
的对称点也在圆上,则圆C的半径为 .
答案 2
解析 解法一:由题意知圆心C( a )在直线x+y-1=0上,从而有-a+1-1=0,解得a=0,又知点
- ,1
2 2
P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以有22+12+0×2-2×1+b=0,即b+3=0,解得b=-3,所以圆C的半径
r=√02+(-2)2-4×(-3)=2.
2
解法二:由解法一知a=0,∴C(0,1),又点P(2,1)在圆C上,∴圆C的半径为 =2.
√(0-2)2+(1-1)2
13.(2021河南、湖南两省顶级名校3月联考,16)已知过点A(2,2)作直线AB,AC与圆x2+(y-2)2=1相
切,且交抛物线x2=2y于B,C两点,则直线BC的方程为 .
答案 6x+3y+4=0
解析 设B(
x2
),C(
x2
),
x , 1 x , 2
1 2 2 2
∴l :(x+2)x-2y-2x=0,
AB 1 1
|-4-2x |
∵圆心到直线AB的距离d= 1 =1,
√(x +2)2+4
1
∴3 +12x+8=0⇒6x+3y+4=0,
x2 1 1 1
1
同理6x+3y+4=0,∴l :6x+3y+4=0.
2 2 BC
14.(2021天津河西一模,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),
则圆C的标准方程为 .
答案 x2+(y+2)2=5
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解析 由圆心与切点的连线与切线垂直,
m+1
得 ×2=-1,∴m=-2,
2
∴圆心(0,-2),则r= = .
√(0+2)2+(-2+1)2 √5
∴圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5.
15.(2021浙江“山水联盟”4月联考,16)已知过P(3,0)的直线与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4交于A,B两点
(点A在x轴上方),若|BP|=3|PA|,则直线AB的斜率为 .
答案 3-2√2
解析 如图,设直线AB的斜率为k,
则直线AB:y=k(x-3),即kx-y-3k=0,过点C作CM⊥AB于M,连接CP,CA,
则|CM|=d=
|-k-1|
,
√k2+1
所以d2=(k+1)2
①.
k2+1
又|BP|=3|PA|,
所以|AM|=2|PM|,即|AM|2=4|PM|2.
结合|CP|=√2,得|CA|2-d2=4(|CP|2-d2),
所以3d2=4②,
6±√36-4
将①代入②得k2-6k+1=0,解得k= =3±2√2,
2
又点A在x轴上方,结合图形可得k=3-2√2.
6 / 6
