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第十章 圆锥曲线 ５ ０３
§１０．２ 双曲线
双曲线的定义和标准方程 学生用书Ｐ１７２ 则点Ａ与点Ｂ到直线 ｘ ｙ 的距离分别为ｄ ｜２ ３ ａ －３ ａ ｜
３ － ＝０ １＝
２
１．（２０２０浙江，８，４分）已知点Ｏ Ａ Ｂ ．设点Ｐ
（０，０）， （－２，０）， （２，０） ａ ａ
２ ３－３ａ ｄ ｜２ ３ ＋３ ｜ ２ ３＋３ａ 又 ｄ ｄ ２ ３－３ａ
满足 ＰＡ ＰＢ 且Ｐ为函数ｙ ｘ２图象上的点 则 ＝ ， ２＝ ＝ ， ∵ １＋ ２＝６，∴
｜ ｜－｜ ｜＝２， ＝３ ４－ ， ２ ２ ２ ２
｜
ＯＰ
｜＝ （ ） ２ ３＋３ａ 解得ａ ｂ２ ． 双曲线的方程为
ｘ２ ｙ２
＋ ＝６， ＝ ３，∴ ＝９∴ － ＝
２２ ４ １０ ２ ３ ９
Ａ． Ｂ． Ｃ． ７ Ｄ． １０ 故选 ．
２ ５ １， Ｃ
１． 答案 Ｄ 解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点
ｘ２ ｙ２ Ａ与点Ｂ的坐标是求解本题的关键．
２．（２０２０天津，７，５分）设双曲线Ｃ的方程为 ａ ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ 方法归纳 求双曲线标准方程的方法
过抛物线ｙ２ ｘ的焦点和点 ｂ 的直线为ｌ．若Ｃ的一条 （ ）定义法：根据题目的条件，若满足双曲线的定义，求出ａ，ｂ
０）， ＝４ （０， ） １
渐近线与ｌ平行 另一条渐近线与 ｌ 垂直 则双曲线 Ｃ 的方 的值，即可求得方程．
， ，
程为 （ ）待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所
（ ） ２
ｘ２ ｙ２ ｙ２ 求双曲线的标准方程，利用题目条件构造关于 ａ，ｂ 的方程
ｘ２
Ａ．
４
－
４
＝１ Ｂ． －
４
＝１ （组），解得ａ，ｂ的值，即可求得方程．
Ｃ． ｘ ４ ２ － ｙ２ ＝１ Ｄ． ｘ２ － ｙ２ ＝１ ２．（２０１７课标 Ⅲ 理，５，５分）已知双曲线Ｃ ：ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０）
２． 答案 Ｄ
ｘ２ ｙ２
３．（２０１９课标 文，１０，５分）已知Ｆ是双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
的一
的一条渐近线方程为 ｙ
＝
５ｘ
，
且与椭圆
＋ ＝１
有公共焦
Ⅲ ： － ＝１ ２ １２ ３
４ ５ 点 则Ｃ的方程为
个焦点 点Ｐ在Ｃ上 Ｏ为坐标原点．若 ＯＰ ＯＦ 则 ＯＰＦ ， （ ）
， ， ｜ ｜＝｜ ｜， △ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
的面积为
（ ） Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
８ １０ ４ ５ ５ ４ ４ ３
３ ５ ７ ９ 答案 Ｂ 本题考查双曲线的方程．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ２ ２ ２ ｘ２ ｙ２
３． 答案 Ｂ 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为 ｋ ｋ
－ ＝ （ ＞０），
４ ５
以下为教师用书专用（１—１０） ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
即 双曲线与椭圆 有公共焦点 ｋ ｋ
ｋ－ ｋ＝１，∵ ＋ ＝１ ，∴ ４ ＋５
ｘ２ ｙ２ ４ ５ １２ ３
１．（２０１８天津理，７，５分）已知双曲线
ａ２ －ｂ２ ＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的离
解得ｋ 故双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
．故选 ．
＝１２－３， ＝１， － ＝１ Ｂ
心率为 过右焦点且垂直于ｘ轴的直线与双曲线交于Ａ Ｂ两 ４ ５
２， ， ｘ２ ｙ２
点．设Ａ Ｂ到双曲线的同一条渐近线的距离分别为ｄ 和ｄ 且 一题多解 椭圆 的焦点为（ ， ），双曲线与
， １ ２， ∵ ＋ ＝１ ±３ ０
ｄ ｄ 则双曲线的方程为 １２ ３
１＋
ｘ２
２＝
ｙ
６
２
，
ｘ２ ｙ２
（ ）
椭圆
ｘ２
＋
ｙ２
＝１ 有公共焦点， ∴ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ （ ±３ ）２ ＝９① ， ∵ 双曲线
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ １２ ３
４ １２ １２ ４ ｂ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ 的一条渐近线为ｙ ５ｘ， ５ ，联立 可解得ａ２ ，
＝ ∴ ａ ＝ ② ①② ＝４
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ ２ ２
３ ９ ９ ３ ｘ２ ｙ２
答案 Ｃ 本题主要考查双曲线的方程 几何性质以及点到 ｂ２ ． 双曲线Ｃ的方程为 ．
、 ＝５∴ － ＝１
直线的距离公式的应用． ４ ５
ｙ２
双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离心率为
３．（２０１７课标
Ⅰ
文，５，５分）已知Ｆ是双曲线Ｃ
：
ｘ２
－ ＝１
的右焦
∵ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ２，
点 Ｐ是Ｃ上一点 且ＰＦ与ｘ轴垂直 点Ａ的坐标
３
是 则
∴
ｅ２
＝１＋ａ
ｂ２
２ ＝４， △
，
ＡＰＦ的面积为
， ， （１
（
，３ ） ，
）
∴ ａ
ｂ２
２ ＝３，
即ｂ２
＝３
ａ２
，
Ａ．
答
１
３ 案 Ｄ 本
Ｂ
题
．
１
２ 考查双曲线的
Ｃ．
几
２
３ 何性质．
Ｄ．
３
２
∴
ｃ２
＝
ａ２
＋
ｂ２
＝４
ａ２
， 易知Ｆ 不妨取Ｐ点在ｘ轴上方 如图．
（２，０）， ，
由题意可设Ａ ａ ａ Ｂ ａ ａ
（２ ，３ ）， （２ ，－３ ），
ｂ２
渐近线方程为ｙ ｘ
∵ ａ２ ＝３，∴ ＝± ３ ，
５ ０４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｍ２ ｎ ｍ２ ｎ ．故选 ．
∴ － ＜ ＜３ ，∴ －１＜ ＜３ Ａ
解法二 原方程表示双曲线 且焦距为
：∵ ， ４，
{ｍ２ ｎ
＋ ＞０，
ｍ２ ｎ
∴ ３ － ＞０， ①
ｍ２ ｎ ｍ２ ｎ
＋ ＋３ － ＝４，
{ｍ２ ｎ
＋ ＜０，
ＰＦ ｘ轴 或 ｍ２ ｎ
∵ ⊥ ， ３ － ＜０， ②
Ｐ ＰＦ 又Ａ ｍ２ ｎ ｍ２ ｎ
∴ （２，３），｜ ｜＝３， （１，３）， －（３ － ）－（ ＋ ）＝４，
ＡＰ ＡＰ ＰＦ 由 得ｍ２ ｎ ． 无解．故选 ．
∴ ｜ ｜＝１， ⊥ ， ① ＝１， ∈（－１，３） ② Ａ
知识拓展 对于方程ｍｘ２ ｎｙ２ ，若表示椭圆，则ｍ、ｎ均
Ｓ １ ３ ．故选 ． ＋ ＝１
∴ △ ＡＰＦ＝ ×３×１＝ Ｄ 为正数且ｍ ｎ；若表示双曲线，则ｍ·ｎ ．
２ ２ ≠ ＜０
４．（２０１５安徽理，４，５分）下列双曲线中
，
焦点在ｙ轴上且渐近线
８．（２０１６天津，６，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ｂ 以原点为圆
方程为ｙ
＝±２
ｘ的是
（ ） ４
－ｂ２ ＝１（ ＞０），
ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ 心 双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ，
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ 相交于Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四点 四边形ＡＢＣＤ的面积为 ｂ 则双曲线的
４ ４ ４ ４ ， ， ， ， ２ ，
答案 Ｃ 由于焦点在ｙ轴上 故排除 ．由于渐近线方程 方程为
， Ａ、Ｂ （ ）
为ｙ ＝±２ ｘ ， 故排除 Ｄ ．故选 Ｃ ． ｘ２ ３ ｙ２ ｘ２ ４ ｙ２
ｘ２ ｙ２ Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
５．（２０１４天津理，５，５分）已知双曲线 ａ ｂ 的一 ４ ４ ４ ３
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
条渐近线平行于直线ｌ ｙ ｘ 双曲线的一个焦点在直线ｌ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
： ＝２ ＋１０， ４ ４ ４ １２
上 则双曲线的方程为 答案 Ｄ 设Ａ ｘ ｙ 不妨令其在第一象限
， （ ） （ ０， ０）， ，
Ａ
． ｘ２
－
ｙ２
＝１ Ｂ
． ｘ２
－
ｙ２
＝１ Ｃ
．３ ｘ２
－
３ ｙ２
＝１ Ｄ
．３ ｘ２
－
３ ｙ２
＝１
{ｘ２ ０＋ ｙ２ ０＝２ ２ ，
５ ２０ ２０ ５ ２５ １００ １００ ２５ 由题意得 ｂ
答案 Ａ 由题意得
ａ
ｂ
＝２
且ｃ
＝５
．故由ｃ２
＝
ａ２
＋
ｂ２
，
得
２５＝
ａ２ ｙ ０＝
２
ｘ ０，
ｂ２ ｂ２
＋４
ａ２
，
则ａ２
＝５，
ｂ２
＝２０，
从而双曲线方程为 ｘ２
－
ｙ２
＝１
． 可得ｘ２ ０＝
４
１
＋
６ ｂ２， ｙ２ ０＝
４
×
４
１
＋
６ ｂ２ ＝
４
４
＋
ｂ２，
５ ２０ 结合 ｘ ｙ ｂ 可得ｂ２ ．
ｘ２ ｙ２ ２ ０·２ ０＝２ ， ＝１２
６．（２０１４江西文，９，５分）过双曲线Ｃ 的右顶点作ｘ轴 ｘ２ ｙ２
：ａ２ －ｂ２ ＝１ 所以双曲线的方程为 ．故选 ．
－ ＝１ Ｄ
的垂线 与Ｃ的一条渐近线相交于点Ａ．若以Ｃ的右焦点为圆 ４ １２
， ｙ２
心 半径为 的圆经过Ａ Ｏ两点 Ｏ为坐标原点 则双曲线Ｃ ９．（２０１５课标 文，１６，５分）已知Ｆ是双曲线Ｃ ｘ２ 的右
、 ４ ， （ ）， Ⅰ ： － ＝１
的方程为 ８
（ ） 焦点 Ｐ是Ｃ的左支上一点 Ａ ．当 ＡＰＦ周长最小时
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ， ， （０，６ ６） △ ，
． ． ． ． 该三角形的面积为 ．
Ａ － ＝１ Ｂ － ＝１ Ｃ － ＝１ Ｄ － ＝１
４ １２ ７ ９ ８ ８ １２ ４
答案 Ａ 由双曲线方程知右顶点为 ａ 不妨设其中一 答案
（ ，０）， １２ ６
ｂ
解析 由已知得双曲线的右焦点Ｆ ．设双曲线的左焦
条渐近线方程为ｙ ｘ 因此可设点Ａ的坐标为 ａ ｂ ．设右 （３，０）
＝ ａ ， （ ， ） 点为Ｆ′ 则Ｆ′ ．由双曲线的定义及已知得 ＰＦ ａ
， （－３，０） ｜ ｜ ＝２ ＋
焦点为Ｆ （ ｃ ，０）， 由已知可知ｃ ＝４， 且 ｜ ＡＦ ｜ ＝４， 即 （ ｃ － ａ ） ２ ＋ ｂ２ ＝ ｜ ＰＦ′ ｜＝２＋｜ ＰＦ′ ｜ ． △ ＡＰＦ的周长最小 ， 即 ｜ ＰＡ ｜＋｜ ＰＦ ｜ 最小． ｜ ＰＡ ｜
１６， 所以有 （ ｃ － ａ ） ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２ ， 得ａ２ －２ ａｃ ＋ ｂ２ ＝０， 又知ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ， 所 ＋｜ ＰＦ ｜＝｜ ＰＡ ｜＋２＋｜ ＰＦ′ ｜≥｜ ＡＦ′ ｜＋２＝１７， 即当Ａ 、 Ｐ 、 Ｆ′三点共线
ｃ 时 ＡＰＦ的周长最小．
以得ａ２ ａｃ ｃ２ ａ２ 即ａ 所以ｂ２ ｃ２ ａ２ ２ ２ ，△
－２ ＋ － ＝０， ＝ ＝２， ＝ － ＝４ －２ ＝ ìｘ ｙ
ï
２ ０ ０
１２
．故双曲线的方程为 ｘ
４
２
－ １
ｙ
２
２
＝１，
故选
Ａ
． 设Ｐ点坐标为
（
ｘ
０，
ｙ
０），
ｙ
０＞０，
由í ï
ï
－３ ＋
ｙ
６
２
６ ＝１， 得ｙ２
０＋６ ６
ｙ
０－９６
评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性 î ïｘ２ ０－ ０ ＝１
８
质以及圆的定义，考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力．
所以ｙ 或ｙ 舍去 ．
ｘ２ ｙ２ ＝０， ０＝２ ６ ０＝－８ ６（ ）
７．（２０１６课标 ，５，５分）已知方程 表示双曲线
Ⅰ ｍ２
＋
ｎ－
３
ｍ２
－
ｎ＝１ ， 所以当
△
ＡＰＦ的周长最小时
，
该三角形的面积Ｓ
＝
１
×６×６ ６－
且该双曲线两焦点间的距离为 则ｎ的取值范围是 ２
４， （ ）
１ ．
×６×２ ６＝１２ ６
Ａ．（－１，３） Ｂ．（－１， ３） ２
１０．（２０１５课标 文，１５，５分）已知双曲线过点 且渐近线
Ｃ．（０，３） Ｄ．（０， ３） Ⅱ （４， ３），
答案 Ａ 解法一 由题意可知 ｃ２ ｍ２ ｎ ｍ２ ｎ
： ： ＝（ ＋ ）＋（３ － ）＝ 方程为ｙ １ ｘ 则该双曲线的标准方程为 ．
ｍ２ 其中ｃ为半焦距 ｃ ｍ ｍ 方程 ＝± ，
４ ， ，∴ ２ ＝２×２｜ ｜ ＝４，∴ ｜ ｜ ＝１，∵ ２
ｘ２ ｙ２ ｘ２
ｍ２ ｎ－ ｍ２ ｎ＝１
表示双曲线
，∴ （
ｍ２
＋
ｎ
）·（３
ｍ２
－
ｎ
）＞０，
答案
－
ｙ２
＝１
＋ ３ － ４
第十章 圆锥曲线 ５ ０５
解析 根据渐近线方程为ｘ ｙ 可设双曲线方程为ｘ２
±２ ＝０， － ８． 答案 ３
ｙ２ λ λ ．因为双曲线过点 所以 ２ ２ ２
４ ＝ （ ≠０） （４， ３）， ４ －４×（ ３） ＝
ｘ２ ９．（２０２０课标 理，１５，５分）已知Ｆ为双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ
λ
，
即λ
＝４
．故双曲线的标准方程为
－
ｙ２
＝１
． Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞
４
ｂ 的右焦点 Ａ为Ｃ的右顶点 Ｂ为Ｃ上的点 且ＢＦ垂直
０， ＞０） ， ， ，
于ｘ轴．若ＡＢ的斜率为 则Ｃ的离心率为 ．
双曲线的几何性质 学生用书Ｐ１７２ ３，
９． 答案
２
１．（２０２０课标
Ⅱ
，文９，理８，５分）设Ｏ为坐标原点
，
直线ｘ
＝
ａ与
１０．（２０２０北京，１２，５分）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
则Ｃ的右焦
ｘ２ ｙ２ ： － ＝１，
双曲线Ｃ ａ ｂ 的两条渐近线分别交于Ｄ Ｅ ６ ３
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， 点的坐标为 Ｃ 的焦点到其渐近线的距离
；
两点．若 ＯＤＥ的面积为 则Ｃ的焦距的最小值为 是 ．
△ ８， （ ）
１０． 答案
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１６ Ｄ．３２ （３，０）； ３
１． 答案 Ｂ
１１．（２０１９课标 理，１６，５分）已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
２．（２０２０课标 理，１１，５分）设双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
Ⅲ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 过Ｆ 的直线与Ｃ的两条渐近
０） 、 １、 ２， １
的左
、
右焦点分别为Ｆ
１，
Ｆ
２，
离心率为
５
．Ｐ是Ｃ上一点
，
且Ｆ
１
Ｐ 线分别交于Ａ
，
Ｂ两点．若Ｆ→
１
Ａ
＝
→ＡＢ
，
Ｆ→
１
Ｂ
·
Ｆ→
２
Ｂ
＝０，
则Ｃ的离心
Ｆ Ｐ．若 ＰＦ Ｆ 的面积为 则ａ 率为 ．
⊥ ２ △ １ ２ ４， ＝ （ ）
１１． 答案
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ２
２． 答案 Ａ
１２．（２０１８北京理，１４，５分）已知椭圆Ｍ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 双
３．（２０２０课标 文，１１，５分）设Ｆ Ｆ 是双曲线Ｃ ｘ２
ｙ２
的
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０），
Ⅰ １， ２ ： －
３
＝１
曲线Ｎ
ｘ２ ｙ２
．若双曲线Ｎ的两条渐近线与椭圆Ｍ的四
两个焦点
，
Ｏ为坐标原点
，
点Ｐ在Ｃ上且
｜
ＯＰ
｜＝２，
则
△
ＰＦ
１
Ｆ
２
：ｍ２ －ｎ２ ＝１
的面积为 个交点及椭圆Ｍ的两个焦点恰为一个正六边形的顶点 则椭
（ ） ，
圆Ｍ的离心率为 双曲线Ｎ的离心率为 ．
７ ５ ；
Ａ． ２ Ｂ．３ Ｃ． ２ Ｄ．２ １２． 答案
３． 答案 Ｂ １３．（２０２１新 高 ３ 考 －１；２ ，２１，１２分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知
Ⅰ ，
ｘ２ ｙ２
４．（２０１９课标 文，１０，５分）双曲线Ｃ ａ ｂ 的 点Ｆ Ｆ 点Ｍ满足 ＭＦ ＭＦ ．
Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） １（－ １７，０）， ２（ １７，０）， ｜ １｜－｜ ２｜＝２
记Ｍ的轨迹为Ｃ．
一条渐近线的倾斜角为 ° 则Ｃ的离心率为
１３０ ， （ ） 求Ｃ的方程
（１） ；
° ° １ １
Ａ．２ｓｉｎ４０ Ｂ．２ｃｏｓ４０ Ｃ． ° Ｄ． ° 设点Ｔ在直线ｘ １ 上 过Ｔ的两条直线分别交Ｃ于Ａ Ｂ
ｓｉｎ５０ ｃｏｓ５０ （２） ＝ ， ，
４． 答案 Ｄ ２
两点和Ｐ Ｑ两点 且 ＴＡ ＴＢ ＴＰ ＴＱ 求直线
５．（２０１９课标 理，１０，５分）双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
的右焦点为Ｆ ＡＢ的斜率
，
与直线
，
ＰＱ
｜
的斜
｜·
率
｜
之和
｜
．
＝｜ ｜·｜ ｜，
Ⅲ ： － ＝１ ，
４ ２ １３． 解题指导 （ ）先判断出Ｍ的轨迹Ｃ为双曲线的右支，并
点Ｐ在Ｃ的一条渐近线上 Ｏ为坐标原点．若 ＰＯ ＰＦ 则 １
， ｜ ｜ ＝ ｜ ｜， 设出双曲线的标准方程，然后结合双曲线的定义，利用待定
ＰＦＯ的面积为
△ （ ） 系数法确定其标准方程；（ ）设出Ｔ点坐标和直线ＡＢ的方
２
３ ２ ３ ２ 程，然后联立方程并利用根与系数的关系表示 ＴＡ · ＴＢ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ．２ ２ Ｄ．３ ２ ｜ ｜ ｜ ｜
４ ２ 同理得到 ＴＰ · ＴＱ ，结合 ＴＡ · ＴＢ ＴＰ · ＴＱ 得到
５． 答案 Ａ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜
结果．
ｘ２ ｙ２
６．（２０２１新高考 ，１３，５分）已知双曲线Ｃ ａ ｂ
Ⅱ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ 以下为教师用书专用（１—２２）
离心率ｅ 则双曲线Ｃ的渐近线方程为 ． ｘ２ ｙ２
０）， ＝２， １．（２０１９课标 文，１０，５分）双曲线Ｃ ａ ｂ 的
６． 答案 ｙ ｘ Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
＝± ３
一条渐近线的倾斜角为 ° 则Ｃ的离心率为
７．（２０２１全国乙理，１３，５分）已知双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ｍ 的一 １３０ ， （ ）
：ｍ－ ＝１（ ＞０）
° ° １ １
Ａ．２ｓｉｎ４０ Ｂ．２ｃｏｓ４０ Ｃ． ° Ｄ． °
条渐近线为 ｘ ｍｙ 则Ｃ的焦距为 ． ｓｉｎ５０ ｃｏｓ５０
３ ＋ ＝０， 答案 Ｄ 本题主要考查双曲线的性质 同角三角函数的基
７． 答案 ，
４ 本关系式及诱导公式 考查考生的运算求解能力和逻辑思维
解题指导 根据题设，由双曲线方程写出其渐近线方程，再 ；
能力 考查的核心素养是数学运算．
结合题设列出关于ｍ的方程，求解出ｍ，再求出焦距． ；
ｘ２ ｙ２
８．（２０２０江苏，６，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 若双曲线 ｘ２ 由双曲线Ｃ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 可知渐近线方程为 ｙ ＝±
， ａ２ －
ｂ
ｘ
ｙ２ ａ ，
ａ 的一条渐近线方程为ｙ ５ｘ 则该双曲线的离心
＝１（ ＞０） ＝ ， ｂ
５ ２ 由题意知 °
率是 ． － ａ ＝ｔａｎ１３０ ，
５ ０６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
又 ° ° æ ö
ｔａｎ１３０ ＝－ｔａｎ５０ ， ç ３ ３÷．故选 ．
ｂ è－ ， ø Ａ
° ３ ３
∴ ａ ＝ｔａｎ５０ ， ５．（２０１５课标 理，１１，５分）已知Ａ Ｂ为双曲线Ｅ的左 右顶点
Ⅱ ， ， ，
ｃ ｂ２ 点Ｍ在Ｅ上 ＡＢＭ为等腰三角形 且顶角为 ° 则Ｅ的离
双曲线的离心率 ｅ ２ ° ，△ ， １２０ ，
∴ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋ｔａｎ ５０ ＝ 心率为
（ ）
２ °
ｓｉｎ ５０ １ １ 故选 ． Ａ． ５ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ． ２
１＋ ２ °＝ ２ °＝ °， Ｄ ｘ２ ｙ２
ｃｏｓ ５０ ｃｏｓ ５０ ｃｏｓ５０ 答案 Ｄ 设双曲线 Ｅ 的标准方程为 ａ ｂ
ｘ２ ｙ２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
方法总结 求双曲线 （ａ ，ｂ ）的离心率的常
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０ 则Ａ ａ Ｂ ａ 不妨设点 Ｍ 在第一象限内 则易得
０）， （－ ，０）， （ ，０）， ，
见方法：
ａ ２ ａ ２
Ｍ ａ ａ 又Ｍ点在双曲线Ｅ上 于是（２ ） （ ３ ）
ｃ ｃ ｂ２ （２ ， ３ ）， ， ａ２ － ｂ２ ＝１，
（ ）定义法：ｅ ２ ；（ ）公式法：ｅ ２θ（θ
１ ＝
２
ａ＝ ａ ２ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋ｔａｎ
ｂ２
为渐近线的倾斜角）；（
３
）方程思想：利用题中条件得出关于
解得ｂ２
＝
ａ２
，∴
ｅ
＝ １＋ａ２ ＝ ２
．
ａ，ｂ，ｃ的方程，利用ｂ２
＝
ｃ２
－
ａ２ 转化为关于ａ，ｃ的方程，最后利
６．（２０１５湖南文，６，５分）若双曲线 ｘ２ ｙ２ 的一条渐近线经过
用ｅ ｃ 转化为关于ｅ的方程，从而得出离心率ｅ． ａ２ －ｂ２ ＝１
＝ ａ
点 则此双曲线的离心率为
（３，－４）， （ ）
ｘ２
２．（２０１９北京文，５，５分）已知双曲线 ｙ２ ａ 的离心率是
ａ２ － ＝１（ ＞０） ７ ５ ４ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
则ａ ３ ４ ３ ３
５， ＝ （ ） ｘ２ ｙ２ ｂ
答案 Ｄ 双曲线 的两条渐近线方程为ｙ ｘ
１ ａ２ －ｂ２ ＝１ ＝± ａ ，
Ａ． ６ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．
２ ｂ ｂ
答案 Ｄ 本题主要考查双曲线的几何性质 考查学生运算 则点 在直线ｙ ｘ上 即 ３ 所以 ａ ｂ 即
， （３，－４） ＝－ ａ ， －４＝－ ａ ， ４ ＝３ ，
求解的能力以及方程的思想 考查的核心素养为数学运算．
， ｂ ｂ２
ｃ ｂ２ ｃ２ ａ２ ４ 所以ｅ ５ ．故选 ．
由题意得ｅ
＝ ａ ＝ ５，
又ａ２
＋
ｂ２
＝
ｃ２
，∴ ａ２ ＝ ａ
－
２ ＝
ｅ２
－１＝４，
ａ ＝
３
， ＝ １＋ａ２ ＝
３
Ｄ
ｘ２ ｙ２
７．（２０１５重庆文，９，５分）设双曲线 ａ ｂ 的右焦
∵
ｂ２
＝１，∴
ａ２
＝
１ ．
∵
ａ
＞０，∴
ａ
＝
１ ． ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
４ ２ 点是Ｆ 左 右顶点分别是Ａ Ａ 过Ｆ作Ａ Ａ 的垂线与双曲线
ｂ２ ， 、 １， ２， １ ２
易错警示 把双曲线的离心率错认为ｅ 而出错． 交于Ｂ Ｃ两点．若Ａ Ｂ Ａ Ｃ 则该双曲线的渐近线的斜率为
＝ １－ａ２ ， １ ⊥ ２ ，
ｘ２ （ ）
３．（２０１８浙江，２，４分）双曲线 ｙ２ 的焦点坐标是
－ ＝１ （ ）
３ １ ２
Ａ．± Ｂ．± Ｃ．±１ Ｄ．± ２
２ ２
Ａ．（－ ２，０），（ ２，０） Ｂ．（－２，０），（２，０） 答案 Ｃ 不妨令Ｂ在ｘ轴上方 因为ＢＣ过右焦点Ｆ ｃ
， （ ，
Ｃ．（０，－ ２），（０， ２） Ｄ．（０，－２），（０，２） 且垂直于 ｘ 轴 所以可求得 Ｂ Ｃ 两点的坐标分别为
答案 Ｂ 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质． ０）， ， ，
( ｂ２ ) ( ｂ２ )
ｃ ｃ 又Ａ Ａ 的坐标分别为 ａ ａ
∵ ａ２ ＝３， ｂ２ ＝１，∴ ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝２ ．又 ∵ 焦点在ｘ轴上 ，∴ 双曲线 ， ａ ， ，－ ａ ， １， ２ （－ ，０），（ ，０），
的焦点坐标为 ．
（－２，０），（２，０）
易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点
（ ）焦点在ｘ轴上还是ｙ轴上，容易判断错误；
１
（ ）双曲线与椭圆的标准方程中ａ，ｂ，ｃ的关系式容易混淆．
２
ｘ２
４．（２０１５课标 理，５，５分）已知Ｍ ｘ ｙ 是双曲线Ｃ ｙ２
Ⅰ （ ０， ０） ： ２ － ＝１ ( ｂ２ ) ( ｂ２ )
所以Ａ→Ｂ ｃ ａ Ａ→Ｃ ｃ ａ
上的一点 Ｆ Ｆ 是Ｃ的两个焦点．若Ｍ→Ｆ Ｍ→Ｆ 则ｙ 的取 １ ＝ ＋ ， ａ ， ２ ＝ － ，－ ａ ，
， １， ２ １· ２＜０， ０
值范围是
（ ） 因为Ａ Ｂ Ａ Ｃ 所以Ａ→Ｂ Ａ→Ｃ
æ ö æ ö １ ⊥ ２ ， １ · ２ ＝０，
Ａ．è ç － ３ ， ３ ø ÷ Ｂ．è ç － ３ ， ３ ø ÷ 即 （ ｃ ＋ ａ ）（ ｃ － ａ ）－ ｂ ａ ２ · ｂ ａ ２ ＝０，
３ ３ ６ ６
æ ö æ ö
Ｃ．è
ç
－
２
３
２
，
２
３
２
ø
÷
Ｄ．è
ç
－
２
３
３
，
２
３
３
ø
÷ 即ｃ２
－
ａ２
－ａ
ｂ４
２
＝０，
所以ｂ２
－ａ
ｂ４
２
＝０，
答案 Ａ 若Ｍ→Ｆ Ｍ→Ｆ 则点Ｍ在以原点为圆心 半焦 ｂ２ ｂ ｂ
１· ２ { ＝ ｘ ０ ２ ， ｙ２ ， 故 ａ２ ＝１， 即 ａ ＝１， 又双曲线的渐近线的斜率为 ± ａ ， 故该双曲
０＋ ０＝３，
距ｃ ＝ ３ 为半径的圆上 ， 则 ｘ２ ０ － ｙ２ ０＝１， 解得ｙ２ ０＝ ３ １ ．可知 ： Ｍ→Ｆ １ ８． 线 （２ 的 ０１ 渐 ４课 近 标 线 Ⅰ 的 理 斜 ， 率 ４， 为 ５ ± 分 １ ） ．故 已 选 知 Ｃ Ｆ ． 为双曲线Ｃ ： ｘ２ － ｍｙ２ ＝３ ｍ （ ｍ ＞
２ 的一个焦点 则点Ｆ到Ｃ的一条渐近线的距离为
０） ， （ ）
Ｍ→Ｆ 点 Ｍ 在圆 ｘ２ ｙ２ 的内部 ｙ２ １ ｙ
· ２＜０⇒ ＋ ＝ ３ ⇒ ０＜ ⇒ ０∈ ｍ ｍ
３ Ａ． ３ Ｂ．３ Ｃ． ３ Ｄ．３
第十章 圆锥曲线 ５ ０７
答案 Ａ 由题意知 双曲线的标准方程为
ｘ２ ｙ２
其中
ｂ２ ｂ２
１
， ｍ－ ＝１， ａ ａ
３ ３ ３ ｂ２ ２ａｃ ｃ２ ａ２ ｂ２ ｂ２ ｃ２ ａ２ ｃ２ ａ２
ａ２ ＝３ ｍ ， ｂ２ ＝３， 故ｃ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ３ ｍ ＋３， 不妨设Ｆ为双曲线的 ２ ｃ，∴ ２ ｃ＝ ２ ２ ，∴ ＝ ２ ，∵ ＝ ＋ ⇒ ＝ － ，∴ －
右焦点 故Ｆ ｍ ．其中一条渐近线的方程为ｙ １ ｘ ３
， （ ３ ＋３，０） ＝ ｍ ，
２ａｃ ｅ２ ２ｅ ｅ ．故选 ．
－ ＝０⇒ － －１＝０，∴ ＝ ２ Ａ
ｍ ２ ２
即ｘ － ｍｙ ＝０， 由点到直线的距离公式可得ｄ ＝ ｜ ３ １＋ · （－ ｍ ＋ ） １ ２ ｜ 解法二 ： 不妨设Ｍ在第二象限 ， 由ＭＦ １⊥ ｘ轴 ， 得Ｍ ( － ｃ ， ｂ ａ ２ ) ，
＝ ３，
故选
Ａ
．
ＭＦ
ｂ２
由双曲线的定义可得 ＭＦ ａ ＭＦ ａ
评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公 ∴ ｜ １｜＝ ａ ， ｜ ２｜＝２ ＋｜ １｜＝２ ＋
式等基础知识，考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解 ｂ２
能力． ｂ２
又 ＭＦ Ｆ ｜
ＭＦ
１｜
ａ
１ ａ２ ｂ２ ａ ｂ ｅ
９．（２０１４课标 文，４，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ 的离心
ａ ， ｓｉｎ∠ ２ １＝
｜
ＭＦ
２｜
＝
ａ
ｂ２ ＝
３
⇒ ＝ ⇒ ＝ ，∴ ＝
Ⅰ ａ２ － ＝１（ ＞０） ２ ＋ ａ
３
率为 则ａ ( ｂ ) ２
２， ＝ （ ） ．故选 ．
１＋ ａ ＝ ２ Ａ
． ． ６ ． ５ ．
Ａ２ Ｂ Ｃ Ｄ１ ｘ２
２ ２ １３．（２０１６浙江，７，５分）已知椭圆Ｃ ｙ２ ｍ 与双曲线
答案 Ｄ 由双曲线方程知ｂ２ 从而ｃ２ ａ２ 又ｅ 因 １：ｍ２ ＋ ＝１（ ＞１）
＝３， ＝ ＋３， ＝２，
此 ａ ｃ２ ２ ＝ ａ２ ａ ＋ ２ ３ ＝４， 又ａ ＞０， 所以ａ ＝１， 故选 Ｄ ． Ｃ ２：ｎ
ｘ２
２ － ｙ２ ＝１（ ｎ ＞０） 的焦点重合 ， ｅ １， ｅ ２ 分别为Ｃ １， Ｃ ２ 的离心
率 则
１０．（２０１３课标 理，４，５分）已知双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ ， （ ）
Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
Ａ．
ｍ
＞
ｎ且ｅ
１
ｅ
２＞１ Ｂ．
ｍ
＞
ｎ且ｅ
１
ｅ
２＜１
ｍ ｎ且ｅ ｅ ｍ ｎ且ｅ ｅ
Ｃ． ＜ １ ２＞１ Ｄ． ＜ １ ２＜１
的离心率为 ５ 则Ｃ的渐近线方程为
０） ， （ ） ｍ２
２ 答案 Ａ 在椭圆中 ａ ｍ ｃ ｍ２ ｅ －１．在
， １＝ ， １＝ －１， １＝ ｍ
ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ ｙ ｘ
Ａ． ＝±
４
Ｂ． ＝±
３
Ｃ． ＝±
２
Ｄ． ＝±
双曲线中 ａ ｎ ｃ ｎ２ ｅ
ｎ２
＋１．因为ｃ ｃ 所以ｎ２
ｂ ， ２＝ ， ２＝ ＋１， ２＝ ｎ １＝ ２，
答案 Ｃ ｅ２ ５ １ Ｃ的渐近线方
∵ ａ ＝ －１＝ －１＝ ，∴ ｍ２ ｎ２ ｍ２ ２
４ ２ ｍ２ ．从而ｅ２ ｅ２ （ －１）（ ＋１） （ －１） 令ｔ ｍ２
＝ －２ １· ２＝ ｍ２ ｎ２ ＝ｍ２ ｍ２ ， ＝
程为ｙ １ ｘ．故选 ． · ·（ －２）
＝± Ｃ ｔ２
２ 则ｔ ｅ２ ｅ２ 即ｅ ｅ ．结合图形易知ｍ ｎ 故
１１．（２０１１课标全国理，７，５分）设直线ｌ过双曲线Ｃ的一个焦点 －１， ＞１， １· ２＝ｔ２ ＞１， １ ２＞１ ＞ ，
， －１
且与Ｃ的一条对称轴垂直 ｌ与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ 为Ｃ 选 ．
， ， ，｜ ｜ Ａ
的实轴长的 倍 则Ｃ的离心率为 思路分析 根据焦点重合可得ｍ２ 与ｎ２ 之间的关系，进而
２ ， （ ）
建立ｅ２ｅ２ 关于ｍ的解析式，然后判定范围即可．
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．３ １ ２
答案 Ｂ 不妨设双曲线Ｃ为
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 并设 １４．（２０１８ 上海，２，４ 分）双曲线
ｘ２
ｙ２ 的渐近线方程为
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０），
４
－ ＝ １
ｌ过Ｆ ｃ 且垂直于ｘ轴 则易求得 ＡＢ ２
ｂ２ ．
２（ ，０） ， ｜ ｜＝ ａ ，
答案 ｙ １ ｘ
＝±
ｂ２ ｃ ｂ２ ２
２ ａ ｂ２ ａ２ 离心率 ｅ 故 解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程．
∴ ａ ＝２×２ ， ＝２ ，∴ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ ３，
ｘ２
选 ． 解法一 由双曲线 ｙ２ 知ａ２ ｂ２
Ｂ ： － ＝１ ＝４， ＝１，
ｘ２ ｙ２ ４
１２．（２０１６课标 ，１１，５分）已知Ｆ Ｆ 是双曲线Ｅ 的
Ⅱ １， ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１ ａ ｂ 该双曲线的渐近线方程为ｙ １ ｘ．
∴ ＝２， ＝１，∴ ＝±
２
左 右焦点 点Ｍ在Ｅ上 ＭＦ 与ｘ轴垂直 ＭＦ Ｆ １ ｘ２
， ， ， １ ，ｓｉｎ∠ ２ １＝ ， 解法二 令双曲线 ｙ２ 中的 为 即可得到双曲线
３ ： － ＝１ “１” “０”，
则Ｅ的离心率为 ４
（ ） ｘ２
的渐近线方程 即 ｙ２ 该双曲线的渐近线方程为ｙ
３ ， － ＝０，∴ ＝
Ａ． ２ Ｂ． Ｃ． ３ Ｄ．２ ４
２
答案 Ａ 解法一 不妨设Ｍ在第二象限 由ＭＦ ｘ轴 １ ｘ．
可得 Ｍ ( － ｃ ， ｂ ａ ２ ) ，∴ ： ｜ ＭＦ １｜ ＝ ｂ ａ ２ ．由 ｓｉｎ∠ ＭＦ ， ２ Ｆ １ ＝ １ ３ １ ⊥ ， 可得 ， １５．（ ± ２ ２ ０１８江苏，８，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 ， 若双曲线 ａ ｘ２ ２ －
ＭＦ Ｆ ( １ ) ２ ２ ２ 又 ＭＦ Ｆ ｜ ＭＦ １｜ ｙ２ ａ ｂ 的右焦点Ｆ ｃ 到一条渐近线的距离为
ｃｏｓ∠ ２ １＝ １－
３
＝
３
， ｔａｎ∠ ２ １ ＝
｜
Ｆ
１
Ｆ
２｜
＝ ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） （ ，０）
５ ０８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ２ ｙ２
３ｃ 则其离心率的值是 ． １９．（２０１６山东理，１３，５ 分）已知双曲线 Ｅ ａ ｂ
， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
２
答案 ．若矩形ＡＢＣＤ的四个顶点在Ｅ上 ＡＢ ＣＤ的中点为Ｅ的
２ ０） ， ，
解析 本题考查双曲线的性质． 两个焦点 且 ＡＢ ＢＣ 则Ｅ的离心率是 ．
， ２｜ ｜＝３｜ ｜，
双曲线的一条渐近线方程为ｂｘ ａｙ 则Ｆ ｃ 到这条渐近 答案
－ ＝０， （ ，０） ２
ｂｃ 解析 由已知得 ＡＢ ＣＤ ２
ｂ２
ＢＣ ＡＤ Ｆ Ｆ
线的距离为 ｂ２ ｜ ＋（－ ｜ ａ ） ２ ＝ ２ ３ｃ ，∴ ｂ ＝ ２ ３ｃ ，∴ ｂ２ ＝ ４ ３ ｃ２ ， 又ｂ２ ＝ ｜ ｜＝｜ ｂ ｜ ２ ＝ ａ ，｜ ｜＝｜ ｜＝｜ １ ２｜＝
ｃ ｃ．因为 ＡＢ ＢＣ 所以４ ｃ 又ｂ２ ｃ２ ａ２ 所以 ｅ２
ｃ２ ａ２ ｃ２ ａ２ ｅ ． ２ ２｜ ｜＝３｜ ｜， ａ ＝６ ， ＝ － ， ２ －
－ ，∴ ＝４ ，∴ ＝ ａ ＝２
ｘ２ ｙ２ ｅ 解得ｅ 或ｅ １ 舍去 ．
１６．（２０１７课标 理，１５，５分）已知双曲线Ｃ ａ ｂ ３ －２＝０， ＝２， ＝－ （ ）
Ⅰ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ ２
评析 本题考查了双曲线的基本性质，利用 ＡＢ ＢＣ 和
的右顶点为Ａ 以Ａ为圆心 ｂ为半径作圆Ａ 圆Ａ与双曲线 ２｜ ｜＝３｜ ｜
０） ， ， ， ｂ２ ｃ２ ａ２ 构造关于离心率ｅ的方程是求解的关键．
Ｃ的一条渐近线交于Ｍ Ｎ两点．若 ＭＡＮ ° 则Ｃ的离心 ＝ －
， ∠ ＝６０ ， ｘ２ ｙ２
率为 ． ２０．（２０１６北京理，１３，５分）双曲线 ａ ｂ 的渐近
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
答案 ２ ３ 线为正方形ＯＡＢＣ的边ＯＡ ＯＣ所在的直线 点Ｂ为该双曲线
， ，
３ 的焦点．若正方形ＯＡＢＣ的边长为 则ａ ．
解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质． ２， ＝
答案
ｂ ２
不妨设点Ｍ Ｎ在渐近线 ｙ ｘ 上 如图 ＡＭＮ 为等边三 解析 由ＯＡ ＯＣ所在直线为渐近线 且ＯＡ ＯＣ 知两条
、 ＝ ａ ， ，△ 、 ， ⊥ ，
渐近线的夹角为 ° 从而双曲线为等轴双曲线 则其方程为
角形 且 ＡＭ ｂ ９０ ， ，
， ｜ ｜＝ ， ｘ２ ｙ２ ａ２．ＯＢ是正方形的对角线 且点Ｂ是双曲线的焦点 则
－ ＝ ， ，
ｃ 根据ｃ２ ａ２ 可得ａ ．
＝２ ２， ＝２ ＝２
评析 本题考查等轴双曲线及其性质．
ｘ２
２１．（２０１５北京理，１０，５分）已知双曲线 ｙ２ ａ 的一条渐
ａ２ － ＝１（ ＞０）
近线为 ｘ ｙ 则ａ ．
３ ＋ ＝０， ＝
ｂ ｂ
则Ａ点到渐近线ｙ ｘ的距离为 ３ｂ 又将ｙ ｘ变形为一 答案 ３
＝ ａ ， ＝ ａ
２ ３
般形式为ｂｘ
－
ａｙ
＝０，
则Ａ
（
ａ
，０）
到渐近线ｂｘ
－
ａｙ
＝０
的距离ｄ
＝ 解析 由双曲线
ｘ２
ｙ２ ａ 知其渐近线方程为 ｙ
ｂａ ａｂ ａｂ ａ ａ２ － ＝１（ ＞０） ＝
｜ ｜ ｜ ｜ 所以｜ ｜ ３ｂ 即 ３
ａ２
＋
ｂ２ ＝ ｃ ， ｃ ＝
２
， ｃ ＝
２
，
１ ｘ 又因为ａ 所以 １ 解得ａ ３．
± ａ ， ＞０， ａ ＝ ３， ＝
ｃ ３
所以双曲线离心率ｅ ＝ ａ ＝ ２ ３ ３． ２２．（２０１４浙江理，１６，４分）设直线ｘ －３ ｙ ＋ ｍ ＝０（ ｍ ≠０） 与双曲线
１７．（２０１７课标 Ⅲ 文，１４，５分）双曲线 ａ ｘ２ ２ － ｙ２ ＝１（ ａ ＞０） 的一条渐 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 的两条渐近线分别交于点 Ａ ， Ｂ．若点
９
Ｐ ｍ 满足 ＰＡ ＰＢ 则该双曲线的离心率是 ．
近线方程为ｙ ３ ｘ 则ａ ． （ ，０） ｜ ｜＝｜ ｜，
＝ ， ＝
５ 答案 ５
答案
５ ２
{ｘ ｙ ｍ
解析 由题意可得 ３ ３ 所以ａ ． －３ ＋ ＝０， ( ａｍ ｂｍ )
ａ ＝ ， ＝５ 解析 由 ｂ 得Ａ
５ ｙ ｘ ｂ ａ， ｂ ａ ，
ｙ２ ＝ ａ ３ － ３ －
１８．（２０１７北京理，９，５分）若双曲线ｘ２
－ｍ ＝１
的离心率为
３，
则
{ｘ ｙ ｍ
－３ ＋ ＝０， ( ａｍ ｂｍ )
实数ｍ ． 由 ｂ 得Ｂ 则线段 ＡＢ 的中点为 Ｍ
＝ ｙ ｘ － ｂ ａ， ｂ ａ ，
答案 ＝－ ａ ３ ＋ ３ ＋
２
解析 本题考查双曲线的性质． æ ａ２ｍ ｂ２ｍ ö
由题意 知
，
ａ２
＝１，
ｂ２
＝
ｍ． è
ç
９
ｂ２
－
ａ２，
９
３
ｂ２
－
ａ２ ø
÷．由题意得ＰＭ
⊥
ＡＢ
，∴
ｋ
ＰＭ＝－３，
得ａ２
＝４
ｂ２
＝
ｅ
ｃ ｂ２ ｍ
ｍ ． ｃ２ ａ２ 故ｅ２ ５ ｅ ５．
∵ ＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝ １＋
１
＝ ３，∴ ＝２ ４ －４ ， ＝
４
，∴ ＝
２
第十章 圆锥曲线 ５ ０９
学生用书Ｐ１７３
1 １．通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长
考点 双曲线的定义和标准方程
ｂ２
为２ ．
ａ
１．双曲线的定义
２．焦点三角形的面积：Ｐ为双曲线上的点，Ｆ ，Ｆ 为双曲
双曲线的定义用符号表示为 ＭＦ ＭＦ ａ 其中 ａ １ ２
Ｆ Ｆ ．
｜｜ １｜－｜ ２｜｜＝２ ， ２
线的两个焦点，且 Ｆ ＰＦ θ，则 Ｆ ＰＦ 的面积为
ｂ２
．
＜｜ １ ２｜ ∠ １ ２＝ △ １ ２ θ
上式中 当 ＭＦ ＭＦ ａ ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹为焦点
， ｜ １｜－｜ ２｜＝２ （２ ＜｜ １ ２｜） ， ｔａｎ
Ｆ 所在一侧的双曲线的一支 ２
２ ；
当 ＭＦ ＭＦ ａ ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹为焦点Ｆ 所
｜ １｜－｜ ２｜＝－２ （２ ＜｜ １ ２｜） ， １
在一侧的双曲线的一支
；
当 ａ Ｆ Ｆ 时 轨迹是分别以Ｆ Ｆ 为端点的 两条射线
２ ＝｜ １ ２｜ ， １、 ２ ① ；
当 ａ Ｆ Ｆ 时 动点轨迹 不存在 ．
２ ＞｜ １ ２｜ ， ②
２．双曲线的标准方程
ｘ２ ｙ２
焦点在ｘ轴上 ａ ｂ
（１） ：③ ａ２ －ｂ２ ＝１ （ ＞０， ＞０）；
ｙ２ ｘ２
焦点在ｙ轴上 ａ ｂ ．
（２） ：④ ａ２ －ｂ２ ＝１ （ ＞０， ＞０）
３．双曲线的一般方程 ｍｘ２ ｎｙ２ ｍｎ ． ： ＋ ＝１（ ＜０）
2
考点 双曲线的几何性质
ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２
标准方程 ａ ｂ ａ ｂ
ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ａ２－ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
图
形
范围 ｘ ａ ｙ Ｒ ｙ ａ ｘ Ｒ
｜ ｜≥ ， ∈ ｜ ｜≥ ， ∈
焦点 Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ Ｆ ｃ １（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
顶点 Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ Ａ ａ
１（－ ，０）， ２（ ，０） １（０，－ ）， ２（０， ）
对称性 关于ｘ轴 ｙ轴对称 关于原点对称
、 ，
几 实、虚 线段Ａ １ Ａ ２ 叫做双曲线的实轴 ， 它的长 ｜ Ａ １ Ａ ２｜＝２ ａ ； 线段
何 Ｂ Ｂ 叫做双曲线的虚轴 它的长 Ｂ Ｂ ｂ ａ叫做双
性 轴长 １ ２ ， ｜ １ ２｜＝２ （
质 曲线的实半轴长 ｂ叫做双曲线的虚半轴长
， ）
焦距 焦距 Ｆ Ｆ 为 ｃ ｃ是半焦距
｜ １ ２｜ ２ ，
离心率 ｅ
ｃ ｂ２
ｅ
＝ ａ ＝ １＋ａ２ （ ＞１）
渐近线 ｂ ａ
ｙ ｘ ｙ ｘ
方程 ⑤ ＝± ａ ⑥ ＝± ｂ
-@
３．焦点到渐近线的距离为ｂ．
４．等轴双曲线
（ ）概念：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双
１
曲线．
（ ）性质：双曲线离心率ｅ 两条渐近线互相垂直． ２ ＝ ２⇔
（ ）一般方程：ｘ２ ｙ２ λ（λ ）．
３ － ＝ ≠０
５．设Ｐ，Ａ，Ｂ是双曲线上的三个不同的点，其中Ａ，Ｂ关于
ｂ２
原点对称，则直线ＰＡ与ＰＢ的斜率之积为 （适用于焦点在
ａ２
ｘ轴上的双曲线）．
６．若Ｐ是双曲线右支上一点，Ｆ 、Ｆ 分别为双曲线的左、
１ ２
右焦点，则 ＰＦ ａ ｃ， ＰＦ ｃ ａ．
｜ １｜ｍｉｎ＝ ＋ ｜ ２｜ｍｉｎ＝ －
７．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴
ｂ２
的弦），其长为２ ，异支的弦中最短的为实轴，其长为 ａ．
ａ ２
ｘ２ ｙ２
８．Ｐ是双曲线 （ａ ，ｂ ）右支上不同于实轴端
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＞０ ＞０
点的任意一点，Ｆ 、Ｆ 分别为双曲线的左、右焦点，Ｉ 为
１ ２
ＰＦ Ｆ 内切圆的圆心，则圆心Ｉ的横坐标恒为定值ａ．
△ １ ２
９．共轭双曲线的概念与性质：
（ ）它们有共同的渐近线；
１
（ ）它们的四个焦点共圆；
２
（ ）它们的离心率的倒数的平方和等于 ．
３ １
５ １０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
学生用书Ｐ１７４
一、有关双曲线定义和方程问题的解题策略 ｘ２ ｙ２
双曲线Ｃ 的渐近线方程为ｂｘ ａｙ 和ｂｘ
１．涉及双曲线上的点到焦点的距离问题 可能到一个焦点 （２） ：ａ２ －ｂ２ ＝１ － ＝０ ＋
（
的距离 常常用到定义 利用定义也可以求双曲线的标准方程． ａｙ 则 ｘ ａ 与双曲线 Ｃ 的两条渐近线交于 Ａ ａ ｂ Ｂ ａ
） ， ＝０， ＝ （ ， ）， （ ，
２．待定系数法求双曲线标准方程的步骤 ｂ 由 ＯＡＢ是边长为 的等边三角形 有 ｂ 即ｂ 且ａ
： － ）， △ ２ ， ２ ＝２， ＝１，
ｘ２
３ 可得双曲线的方程为 ｙ２ 故选 ．
＝ ×２＝ ３， － ＝１， Ａ
２ ３
答案 Ｃ Ａ
（１） （２）
ｘ２ ｙ２
１－１ （２０１７课标 理，５，５分）已知双曲线Ｃ ａ
Ⅲ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞
ｘ２ ｙ２
ｂ 的一条渐近线方程为ｙ ５ｘ 且与椭圆 有公
０， ＞０） ＝ ， ＋ ＝１
２ １２ ３
共焦点 则Ｃ的方程为
， （ ）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
例１ （２０１８天津理，７，５分）已知双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ
Ａ．
８
－
１０
＝１ Ｂ．
４
－
５
＝１
（１） ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｂ 的离心率为 过右焦点且垂直于ｘ轴的直线与双曲线 Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
０， ＞０） ２， ５ ４ ４ ３
交于Ａ Ｂ两点．设Ａ Ｂ到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 １－１． 答案 Ｂ
， ，
ｄ １ 和ｄ ２ ｘ ， ２ 且 ｙ ｄ ２ １＋ ｄ ２＝６， 则双曲线的方程 ｘ 为 ２ ｙ２ （ ） １－２ （多选题）（２０２０山东滨州期末）已知双曲线Ｃ ：ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 则能使
４ １２ １２ ４ ＝１（ ＞０， ＞０） ， １（－５，０）， ２（５，０），
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
双曲线Ｃ的方程为
ｘ２ ｙ２
的是
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ － ＝１ （ ）
３ ９ ９ ３ １６ ９
已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
Ｏ为坐标原点 直线ｘ ａ与 离心率为 ５ 双曲线过点
(
９
)
（２） ：ａ２ －ｂ２ ＝１， ， ＝ Ａ．
４
Ｂ． ５，
４
双曲线Ｃ的两条渐近线交于Ａ Ｂ两点 点Ａ在点 Ｂ 上方 若 渐近线方程为 ｘ ｙ 实轴长为
， （ ）， Ｃ． ３ ±４ ＝０ Ｄ． ４
ＯＡＢ是边长为 的等边三角形 则双曲线Ｃ的方程为 １－２． 答案 ＡＢＣ
△ ２ ， （ ）
ｘ２
ｙ２ ｘ２
ｙ２
二、双曲线的离心率的值（或其取值范围）的求法
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
３ ３
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ １．求ａ及ｂ或ｃ的值 由ｅ２
ｃ２ ａ２
＋
ｂ２ ｂ２
求ｅ．
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１ ， ＝ａ２ ＝ ａ２ ＝１＋ａ２
１２ ４ ４ １２
解析 解法一 双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的离
２．列出含有ａ
，
ｂ
，
ｃ的齐次方程
（
或不等式
），
借助于ｂ２
＝
ｃ２
－
（１） ：∵ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ａ２ 消去ｂ
，
然后转化成关于ｅ的方程
（
或不等式
）
求解．
心率为
２，∴
ｅ２
＝１＋ａ
ｂ２
２ ＝４，∴ ａ
ｂ２
２ ＝３，
即 ｂ２
＝３
ａ２
，∴
ｃ２
＝
ａ２
＋
ｂ２
＝
例２ （２０１９课标
Ⅱ
理，１１，５分）设Ｆ为双曲线Ｃ
：ａ
ｘ２
２ －
ｙ
ｂ
２
２ ＝１
４
ａ２
，
由题意可设Ａ
（２
ａ
，３
ａ
），
Ｂ
（２
ａ
，－３
ａ
）， （
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的右焦点
，
Ｏ为坐标原点
，
以ＯＦ为直径的圆与圆ｘ２
＋
ｂ２
渐近线方程为ｙ ｘ
ｙ２
＝
ａ２ 交于Ｐ
，
Ｑ两点．若
｜
ＰＱ
｜＝｜
ＯＦ
｜，
则Ｃ的离心率为
（ ）
∵ ａ２ ＝３，∴ ＝± ３ ，
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ． ５
则点 Ａ 与点 Ｂ 到直线 ｘ ｙ 的距离分别为 ｄ 解析 如图 连接 ＯＰ． ＰＱ ＯＦ ｃ ＰＱ 过点
３ － ＝ ０ １ ＝ ( ｃ ) ( ｃ ， ｃ ) ∵ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ，∴
｜２ ３ ａ －３ ａ ｜ ＝ ２ ３－３ａ ， ｄ ２＝ ｜２ ３ ａ ＋３ ａ ｜ ＝ ２ ３＋３ａ ， 又 ∵ ｄ １＋ ｄ ２＝６， ２ ，０ ． ∴ Ｐ ２ ， ２ ．
２ ２ ２ ２ ( ｃ ) ２ ( ｃ ) ２ ｃ２
２ ３－３ａ ２ ３＋３ａ 解得ａ ｂ２ ． 双曲线的方程为
又
∵ ｜
ＯＰ
｜＝
ａ
，∴
ａ２
＝ ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝６， ＝ ３，∴ ＝９ ∴ ２ ２ ２
２ ２ ( ｃ ) ２ ｃ
ｘ２ ｙ２ ｅ ．故选 ．
故选 ． ∴ ａ ＝２，∴ ＝ ａ ＝ ２ Ａ
－ ＝１， Ｃ
３ ９
解法二 由题意可知 焦点Ｆ到渐近线的距离ｂ
： ， ＝３，
ｃ
又 ａ２ ｂ２ ｃ２ 所以ａ２
ａ ＝２， ＋ ＝ ， ＝３，
ｘ２ ｙ２
双曲线的方程为
∴ － ＝１，
３ ９
故选 ．
Ｃ
第十章 圆锥曲线 ５ １１
ｘ２ ｙ２
解析 由题意 双曲线Ｃ ａ ｂ 的一条渐近
， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
ｂ
线方程为ｙ ｘ 即ｂｘ ａｙ 则直线ｂｘ ａｙ ａ 与直线ｂｘ
＝ ａ ， － ＝０， － ＋４ ＝０ －
ａ ａ
ａｙ 的距离ｄ ４ ４ 圆 ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ 与双曲
＝０ ＝ ａ２ ｂ２ ＝ ｃ ，∵ （ － ０） ＋（ － ０） ＝１
＋
ａ ｃ
线Ｃ的右支没有公共点 则ｄ ４ 即ｅ 又ｅ
， ≥１，∴ ｃ ≥１， ＝ ａ ≤４， ＞１，
答案 Ａ 故ｅ的取值范围为 故选
（１，４］， Ｂ．
２－１ （２０２０山东德州期末）双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的
答案 Ｂ
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ２－２ （２０２０福建３月质量检测，７）若双曲线上存在四点
，
使
得以这四点为顶点的四边形恰好是菱形 则该双曲线的离心率
右焦点为Ｆ 点Ａ的坐标为 点Ｐ为双曲线左支 ，
１（２ ２，０）， （０，１）， 的取值范围为
上的动点 且 ＡＰＦ 周长的最小值为 则双曲线的离心率为 （ ）
， △ １ ８，
Ａ．（１， ２） Ｂ．（１， ３）
（ ）
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ Ｄ．２ ２
Ｃ．（ ２，＋∞） Ｄ．（ ３，＋∞）
２－１． 答案 Ｄ ２－２． 答案 Ｃ
例３ 已知双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 点Ｐ ｘ ｙ 是
２－３ （２０２１湖南六校４月联考，７）已知Ｆ
１，
Ｆ
２
分别是双曲
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）， （ ０， ０）
线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点 点Ｐ是该双曲线上一点且
直线ｂｘ ａｙ ａ 上任意一点 若圆 ｘ ｘ ２ ｙ ｙ ２ 与双 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 ，
－ ＋４ ＝０ ， （ － ０） ＋（ － ０） ＝１
曲线Ｃ的右支没有公共点 则双曲线离心率的取值范围是 在第一象限内 ＰＦ Ｆ ＰＦ Ｆ 则双曲线离心率的取
， ，２ｓｉｎ∠ １ ２＝ｓｉｎ∠ ２ １，
值范围为
（ ） （ ）
Ａ．（１，２］ Ｂ．（１，４］ Ａ．（１，２） Ｂ．（１，３） Ｃ．（３，＋∞） Ｄ．（２，３）
２－３． 答案 Ｂ
Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．［４，＋∞）
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１７５
双曲线的定义和标准方程
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
３ １２ ３ ９
１．（２０２０山东百师联盟测试五，５）已知圆Ｃ ｘ ２ ｙ２ 圆 ３． 答案 Ｄ
１：（ －４） ＋ ＝２５，
Ｃ ｘ ２ ｙ２ 动圆Ｍ与Ｃ Ｃ 都外切 则动圆圆心Ｍ的
轨 ２ 迹 ：（ 方 ＋ 程 ４） 为 ＋ ＝１， １， ２ ， 双曲线的几何性质
（ ）
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ ｘ ｘ２ ｙ２
Ａ． － ＝１（ ＜０） Ｂ． － ＝１（ ＞０） １．（２０２０湖南长沙明德中学月考，１０）已知双曲线 ａ ｂ
４ １２ ４ １２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
ｘ ｘ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｍ为双曲线上一点 若 Ｆ ＭＦ
Ｃ． － ＝１（ ＜０） Ｄ． － ＝１（ ＞０） ０） ， １， ２， ， ｃｏｓ∠ １ ２
３ ５ ３ ５
１． 答案 Ａ １ ＭＦ ＭＦ 则此双曲线的渐近线方程为
＝ ，｜ １｜＝２｜ ２｜， （ ）
ｘ２ ｙ２ ４
２．（２０２０广东湛江网络教学测试（二），５）椭圆 的两焦
＋ ＝１ ｙ ｘ ｙ ３ｘ
６ ４ Ａ． ＝± ３ Ｂ． ＝±
点分别为Ｆ Ｆ 以椭圆短轴的两端点为焦点 Ｆ Ｆ 为虚轴 ３
１， ２， ，｜ １ ２｜ ｙ ｘ ｙ ｘ
长的双曲线方程为 Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±２
（ ） １． 答案 Ａ
Ａ．
ｘ２
－
ｙ２
＝２ Ｂ．
ｙ２
－
ｘ２
＝２ Ｃ．
ｘ２
－
ｙ２
＝ ２ Ｄ．
ｙ２
－
ｘ２
＝ ２ ２．（多选题）（２０２１广东揭阳４ 月联考，９）已知一组直线ｘ ｙ
２． 答案 Ｂ ±２ ＝
则以该组直线为渐近线的双曲线有
０， （ ）
３．（２０２１河北衡水中学全国高三第二次联考，６）已知双曲线
ｘ２
ｘ２ ｙ２ ｙ２ ｘ２
ａ２ － Ａ． －４
ｙ２
＝１ Ｂ．４
ｘ２
－ ＝１
ｘ２ ｙ２
ｙ２ Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
ａ ｂ 的焦点Ｆ ｃ 到渐近线的距离为 ３ｃ 且点 ４ ４
ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） （ ，０） ， ２． 答案 ＡＢＤ
２
在双曲线上 则双曲线的方程为 ３．（２０２１ 山东济南十一学校联考，６）椭圆与双曲线共焦点 Ｆ
（２， ３） ， （ ） １，
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ Ｆ ２， 它们的交点 Ｐ 对两公共焦点 Ｆ １， Ｆ ２ 的张角为 ∠ Ｆ １ ＰＦ ２＝
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１ θ 椭圆与双曲线的离心率分别为ｅ ｅ 则
９ ３ １２ ３ ２ ， １， ２， （ ）
５ １２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２θ ２θ ２θ ２θ 的右焦点 Ａ Ｂ是双曲线Ｃ的一条渐近线上关于原点对称的
ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ０） ， ，
Ａ． ｅ２ ＋ ｅ２ ＝１ Ｂ． ｅ２ ＋ ｅ２ ＝１ 两点 ＡＦ ＢＦ 且ＡＦ的中点在双曲线Ｃ上 则Ｃ的离心率为
１ ２ １ ２ ， ⊥ ， ，
ｅ２ ｅ２ ｅ２ ｅ２
１ ２ １ ２ （ ）
Ｃ． ２θ＋ ２θ＝１ Ｄ． ２θ＋ ２θ＝１
ｃｏｓ ｓｉｎ ｓｉｎ ｃｏｓ ３＋１ ５＋１
３． 答案 Ｂ Ａ． ５－１ Ｂ． Ｃ． Ｄ． ３＋１
２ ２
ｘ２ ５． 答案 Ａ
４．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，７）设 Ｆ Ｆ 是双曲线 Ｃ
１， ２ ： － ｘ２ ｙ２
４ ６．（２０２１河北二轮复习联考（一），６）已知双曲线Ｃ ｂ
ｙ２ ： －ｂ２ ＝１（
的两个焦点 Ｏ 为坐标原点 点 Ｐ 在 Ｃ 的左支上 且 ２
＝１ ， ， ，
８ 的离心率为ｅ 若ｅ 则Ｃ的焦点到一条渐近
＞０） ， ∈（ ５， １０），
Ｏ→Ｆ Ｏ→Ｐ Ｆ→Ｐ Ｏ→Ｐ 线的距离的取值范围为
１· １ · 则 ＰＦ Ｆ 的面积为 （ ）
Ｏ→Ｐ ＋ Ｏ→Ｐ ＝２ ３， △ １ ２ （ ）
｜ ｜ ｜ ｜ Ａ．（１，３ ２） Ｂ．（ ２，＋∞）
Ａ．８ Ｂ．８ ３ Ｃ．４ Ｄ．４ ３ Ｃ．（２ ２，３ ２） Ｄ．（ ２，３ ２）
４． 答案 Ａ ６． 答案 Ｃ
ｘ２ ｙ２
５．（２０１９广东佛山二模，１１）已知Ｆ为双曲线Ｃ ａ ｂ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞ ＞
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１７６ ７０分钟 ８５分
一、单项选择题（每小题５分，共３５分）
ｘ２ ｙ２
１．（２０２１百校大联考（六），８）若双曲线 的离心率等于
ａ２ －ｂ２ ＝１
１０ 则该双曲线的渐近线方程为
， （ ）
３
ｙ ｘ ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ ｙ ｘ
Ａ． ＝±３ Ｂ． ＝± Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±２
２ ３
１． 答案 Ｃ
ｘ２ ｙ２ Ａ． ３ Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ． ６
２．（２０２１湘豫名校４月联考，１０）已知双曲线Ｃ 的右 ５． 答案 Ａ
： － ＝１
１６ ９ ｙ２
焦点为Ｆ 过原点 Ｏ 的直线与双曲线 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 且 ６．（２０２１辽宁沈阳二模，８）已知点Ｆ Ｆ 分别是双曲线Ｃ ｘ２
， ， ， １， ２ ： －ｂ２
ＡＦＢ ° 则 ＯＢＦ的面积为
∠ ＝６０ ， △ （ ） ｂ 的左 右焦点 Ｏ为坐标原点 点Ｐ在双曲线Ｃ的右
＝１（ ＞０） ， ， ，
９ ９ ３ ３ ３ ３ 支上 且满足 Ｆ Ｆ ＯＰ ＰＦ Ｆ 则双曲线Ｃ的
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ， ｜ １ ２｜ ＝２｜ ｜，ｔａｎ∠ ２ １≥５，
２ ２ ２ ２ 离心率的取值范围为
２． 答案 Ｄ （ ）
æ ù æ ù
ｘ２ ｙ２ ç １７úú ç ２６úú
３．（２０２０河北衡水中学七调，４）已知双曲线Ｃ Ｏ为坐 Ａ．è１， û Ｂ．è１， û Ｃ．（１， ５］ Ｄ．（１， ２］
： － ＝１， ３ ４
１２ ４ ６． 答案 Ｂ
标原点 Ｆ为Ｃ的右焦点 过Ｆ的直线与Ｃ的两条渐近线的交
， ， ７．（２０２１ 江苏南通如皋二模，７）在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 点
点分别为Ｐ Ｑ 若 ＰＯＱ为直角三角形 则 ＰＱ ，
， ， △ ， ｜ ｜＝ （ ）
ｘ２ ｙ２
Ｆ Ｆ 分别是双曲线Ｃ ａ ｂ 的左 右焦点 过
３． Ａ．２ 答案 Ｃ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ １， ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， ，
４．（２０２１ 广东肇庆二模，８）已知 Ｆ Ｆ 点Ｆ 且与直线ｌ ｙ ｂ ｘ垂直的直线交Ｃ的右支于点Ｍ 设
１， ２ １ ： ＝－ ａ ，
ｘ２ ｙ２
分别为双曲线Ｃ ａ ｂ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞ 直线ｌ上一点 Ｎ
（
Ｎ 在第二象限
）
满足 Ｆ
１
Ｎ
⊥
Ｆ
２
Ｎ
，
且
（
Ｆ→
１
Ｎ
＋
曲 ０） 线
的左
Ｃ ， 上
右
存
焦
在
点
点 ，
Ｏ
Ｍ
为
使
坐
得
标原点
ＯＭ ，
在双 Ｆ
２
→Ｍ
）·
Ｍ→Ｎ
＝０，
则双曲线Ｃ的离心率为
（ ）
， ２｜ ｜ ＝｜
Ｆ Ｆ 设 Ｆ ＭＦ 的面积为Ｓ．若 Ｓ Ａ． ５ Ｂ． ３
１ ２｜， △ １ ２ １６
ＭＦ ＭＦ ２ 则该双曲线的离心率为 Ｃ． ２＋１ Ｄ．２
＝（｜ １｜＋｜ ２｜） ， （ ） ７． 答案 Ａ
Ａ．
６
Ｂ．
３
Ｃ．
３
Ｄ． ３
二、多项选择题（每小题５分，共１５分）
２ ２ ２
４． 答案 Ａ ｘ２ ｙ２
８．（２０２０全国统一模拟五，１２）设Ｆ Ｆ 为双曲线Ｃ
ｘ２ ｙ２ １、 ２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１
５．（２０１９湖南岳阳二模，１１）如图 设双曲线Ｃ ａ ｂ
， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０，
ａ ｂ 的左 右焦点 过左焦点Ｆ 且斜率为 １５的直线ｌ
的右焦点为Ｆ Ｏ为坐标原点 若双曲线及其渐近线上各存 （ ＞０， ＞０） 、 ， １
＞０） ， ， ７
在一点Ｑ Ｐ 使得四边形ＯＰＦＱ为矩形 则其离心率为 与Ｃ在第一象限相交于一点Ｐ 则下列说法正确的是
， ， ， （ ） ， （ ）
第十章 圆锥曲线 ５ １３
ｘ２
直线ｌ倾斜角的余弦值为 ７ １４．（２０２１山东日照一模，１６）已知 Ｆ Ｆ 分别为双曲线 Ｃ
Ａ． １， ２ ： －
８ ４
ｙ２
若 Ｆ Ｐ Ｆ Ｆ 则Ｃ的离心率ｅ ４ 的左 右焦点 Ｅ为双曲线Ｃ的右顶点 过Ｆ 的直线与
Ｂ． ｜ １ ｜＝｜ １ ２｜， ＝ ＝１ ， ， ， ２
３ １２
若 ＰＦ Ｆ Ｆ 则Ｃ的离心率ｅ 双曲线Ｃ的右支交于Ａ Ｂ两点 其中点Ａ在第一象限 设
Ｃ． ｜ ２｜＝｜ １ ２｜， ＝２ ， （ ），
ＰＦ Ｆ 不可能是等边三角形 Ｍ Ｎ分别为 ＡＦ Ｆ ＢＦ Ｆ 的内心 则 ＭＥ ＮＥ 的取值
Ｄ．△ １ ２ ， △ １ ２，△ １ ２ ， ｜ ｜－｜ ｜
８． 答案 ＡＤ 范围是 ．
ｘ２ ｙ２ æ ö
９．（２０２１山东烟台一模，１０）已知双曲线Ｃ ｍ Ｒ １４． 答案 ç ４ ３ ４ ３÷
：ｍ－ｍ ＝１（ ∈ ） è－ ， ø
＋７ ３ ３
的一条渐近线方程为 ｘ ｙ 则
４ －３ ＝０， （ ）
Ａ．（ ７，０）
为Ｃ的一个焦点 四、解答题（共１５分）
双曲线Ｃ的离心率为 ５ ｘ２ ｙ２
Ｂ． １５．（２０２１湖南岳阳一模，２１）已知双曲线Ｃ 的离心率
３ ：ａ２ －ｂ２ ＝１
过点 作直线与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 则满足 ＡＢ 的
Ｃ． （５，０） ， ， ｜ ｜＝１５
直线有且只有两条 为 ５ 点Ｐ 在Ｃ上．
， （４， ３）
设Ａ Ｂ Ｍ为Ｃ上三点且Ａ Ｂ关于原点对称 则ＭＡ ＭＢ斜 ２
Ｄ． ， ， ， ， ， 求双曲线Ｃ的方程
（１） ；
率存在时其乘积为１６ 设过点 的直线ｌ与双曲线Ｃ交于Ｍ Ｎ两点 问在ｘ
（２） （１，０） ， ，
９
９． 答案 ＢＤ
轴上是否存在定点Ｑ
，
使得Ｑ→Ｍ
·
Ｑ→Ｎ为常数
？
若存在
，
求
１０．（２０２１ 广东梅 州一模，１０）下列关于圆锥曲线的命题中 正确
出Ｑ点坐标及此常数的值
；
若不存在
，
说明理由．
，
ì
的是 ï１６ ３
（ ） ïａ２ －ｂ２ ＝１，
设Ａ Ｂ为两个定点 ｋ为非零常数 →ＰＡ Ｐ→Ｂ ｋ 则动点 ï
Ａ． 、 ， ，｜ ｜－｜ ｜＝ ， １５． 解析 由题意得 íｃ 解得ａ２ ｂ２ ．
Ｐ的轨迹为双曲线 （１） ，ï ５ ＝４， ＝１
ａ ＝ ，
Ｂ． 过定圆Ｃ上一定点Ａ作圆的动弦ＡＢ ， Ｏ为坐标原点 ， 若Ｏ→Ｐ î
ïï
ａ２ ｂ２
２
ｃ２
＋ ＝ ，
＝
１
（
Ｏ→Ａ
＋
Ｏ→Ｂ
），
则动点Ｐ的轨迹为椭圆
双曲线Ｃ的方程为
ｘ２
ｙ２ ．
２ ∴ － ＝１
４
Ｃ． 方程 ２ ｘ２ －５ ｘ ＋２＝０ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 假设存在定点Ｑ．设定点Ｑ ｔ
（２） （ ，０），
Ｄ． 双曲线 ２ ｘ ５ ２ － ｙ ９ ２ ＝１ 与椭圆 ３ ｘ ５ ２ ＋ ｙ２ ＝１ 有相同的焦点 { 当 ｘ 直 ２ 线斜率不为 ０ 时 ， 设直线 ｌ 的方程为 ｘ ＝ ｍｙ ＋１， 联立
１０． 答案 ＣＤ
４
－ ｙ２ ＝１，得
（
ｍ２
－４）
ｙ２
＋２
ｍｙ
－３＝０
．
三、填空题（每小题５分，共２０分） ｘ ｍｙ
＝ ＋１，
１１．（２０２０山东潍坊模拟，１５）双曲线Ｃ ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的 ∴
ｍ２
－４≠０，
且Δ
＝４
ｍ２
＋１２（
ｍ２
－４）＞０，
解得ｍ２
＞３
且ｍ２
≠４
．
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 设Ｍ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｎ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
ｍ
左 右焦点为Ｆ Ｆ 直线ｙ ｂ与Ｃ的右支相交于点Ｐ 若 ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ３
、 １、 ２， ＝ ３ ， ∴ １＋ ２＝－ｍ２ ， １ ２＝－ｍ２ ，
ＰＦ ＰＦ 则双曲线Ｃ的离心率为 若该双曲线 －４ －４
｜ １｜＝２｜ ２｜， ； ｍ２
的焦点到其渐近线的距离是 ５， 则双曲线的方程为 ． ∴ ｘ １＋ ｘ ２＝ ｍ （ ｙ １＋ ｙ ２）＋２＝－ｍ ２ ２ ＋２＝ｍ － ２ ８ ，
－４ －４
１１． 答案 ３
ｘ２ ｙ２
ｍ２
； － ＝１ ｘ ｘ ｍｙ ｍｙ ｍ２ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ ３
２ ４ ５ １ ２＝（ １＋１）（ ２＋１）＝ １ ２＋ （ １＋ ２）＋１＝－ｍ２ －
１２．（２０２１广东广州一模，１５）已知圆 （ ｘ －１） ２ ＋ ｙ２ ＝４ 与双曲线Ｃ ： ｍ２ ｍ２ －４
２ ４ ＋４ ２０ ．
ｘ２ ｙ２ ａ ｂ 的两条渐近线相交于四个点 按顺时针 ｍ２ ＋１＝－ｍ２ ＝－４－ｍ２
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ， －４ －４ －４
Ｑ→Ｍ Ｑ→Ｎ ｘ ｔ ｙ ｘ ｔ ｙ ｘ ｔ ｘ ｔ ｙ ｙ ｘ ｘ
排列依次记为Ｍ Ｎ Ｐ Ｑ 且 ＭＮ ＰＱ 则Ｃ的离心率为 · ＝（ １－， １）·（ ２－ ， ２）＝（ １－ ）（ ２－ ）＋ １ ２＝ １ ２
， ， ， ， ｜ ｜＝２｜ ｜， ｔ ｘ ｘ ｔ２ ｙ ｙ
． －（ １＋ ２）＋ ＋ １ ２
ｔ
２０ ｔ ８ ３ ｔ２ ｔ２ ８ －２３
１２． 答案 ２ ６ ＝－４－ｍ２ ＋·ｍ２ －ｍ２ ＋ ＝－４＋ ＋ｍ２ ，
－４ －４ －４ －４
３ 由Ｑ→Ｍ Ｑ→Ｎ为常数
ｘ２ · ，
１３．（２０２１湖南永州二模，１５）已知Ｏ为坐标原点 双曲线Ｃ
， ：ａ２ － 得 ｔ 即ｔ ２３
８ －２３＝０， ＝ ，
ｙ２ ８
ａ ｂ 的离心率为３ ５ 从双曲线Ｃ的右焦点Ｆ引
ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
５
， 此时Ｑ→Ｍ
·
Ｑ→Ｎ
＝
２７３．
６４
渐近线的垂线 垂足为Ａ 若 ＡＦＯ的面积为 则双曲线Ｃ
， ， △ ５， 当直线ｌ斜率为 时 Ｑ→Ｍ Ｑ→Ｎ ２７３．
的方程为 ． ０ ， · ＝
６４
ｘ２ ｙ２ ( )
１３． 答案 在ｘ轴上存在定点Ｑ ２３ 使得Ｑ→Ｍ Ｑ→Ｎ为常数．
－ ＝１ ∴ ，０ ， ·
５ ４ ８
５ １４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
方法总结 过ｘ轴上某一定点的直线方程的设法问题，常 讨论，若设其纵截距式直线方程，则需要针对其斜率是否存
设其横截距式直线方程，需要针对其斜率是不是 进行分类 在进行分类讨论．
０
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ｘ２ ｙ２
４．（２０２１天津河东二模，８）设双曲线 ａ ｂ 的离
ｘ２ ｙ２ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
１．（２０２１北京朝阳质量检测一，５）已知双曲线Ｃ ａ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ａ２
心率为 且直线ｘ ｃ是双曲线的半焦距 与抛物线ｙ２
ｂ 的离心率为 则双曲线Ｃ的渐近线方程为 ３， ＝－ ｃ （ ） ＝
＞０） ２， （ ）
ｘ的准线重合 则此双曲线的方程为
４ ， （ ）
ｙ ｘ ｙ ３ｘ
Ａ． ＝± ３ Ｂ． ＝± ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
３
Ａ． － ＝１ Ｂ． － ＝１
１２ ２４ ４８ ９６
ｙ １ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±２ ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
２ ２
答案 Ａ 本题考查双曲线的离心率与渐近线 通过双曲线 Ｃ． － ＝１ Ｄ． － ＝１
， ３ ６ ３ ３
的几何性质考查学生分析问题与解决问题的能力 渗透数学 ì ï ｃ
运算的核心素养
，
试题体现综合性． ，
答案 Ｃ 由题意得í
ïａ ＝ ３，
解得
{ ａ
＝ ３， ｂ
ｃ ïａ２ ｃ ∴ ＝ ９－３
离心率ｅ ＝ ａ ＝２， 设ａ ＝ ｋ ， 则ｃ ＝２ ｋ ， ｂ ＝ ３ ｋ ， 故渐近线方程为ｙ î ï ｃ ＝１， ＝３，
ｂ
ｘ ｘ 故选 ＝ ６，
＝± ａ ＝± ３ ， Ａ． ｘ２ ｙ２
双曲线的方程为 ．
一题多解 由离心率ｅ
ｃ ｂ２
，得
ｂ
，从而
∴
３
－
６
＝１
＝ ａ ＝ １＋ａ２ ＝２ ａ ＝ ３
５．（２０２１浙江稽阳联谊４月模考，９）过双曲线
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ
ｂ ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞
有渐近线方程ｙ ｘ ｘ，故选
＝± ａ ＝± ３ Ａ． 上的任意一点Ｐ 作双曲线渐近线的平行线 分别交渐近线
０） ， ，
ｘ２ ｙ２
２．（２０２１北京西城二模，６）若直线ｙ ｘ与双曲线Ｃ 于点Ｍ Ｎ 如图 若Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ １ ｂ２ 则双曲线离心率的取值范
＝２ ：ａ２ －ｂ２ ＝１ ， ， ， · ≥ ，
４
ａ ｂ 无公共点 则双曲线Ｃ的离心率可能是 围是
（ ＞０， ＞０） ， （ ） （ ）
３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．２ ３
２
{ｘ２ ｙ２
答案 Ｃ 由 ａ２ －ｂ２ ＝１得 ｂ２ ａ２ ｘ２ ａ２ｂ２ 从而有 ｂ２
（ －４ ） ＝ ， －
ｙ ｘ é ö æ ù
＝２ ， ．êê ６ ÷ ．ç ６úú
ｂ ( ｂ ) ２
Ａ ë
２
，＋∞ø Ｂ è１，
２
û
４ ａ２ ≤０， 即 ａ ≤２， 所以ｅ ＝ １＋ ａ ≤ １＋２ ２ ＝ ５， 因为双 ． é êê ３０ ö ÷ ． æ ç ３０ ù úú
曲线的离心率ｅ 所以 ｅ ．因此双曲线的离心率可能是
Ｃ ë
５
，＋∞ø Ｄ è１，
５
û
＞１， １＜ ≤ ５
故选 答案 Ｂ 解法一 设点Ｐ ｘ ｙ 则过点Ｐ且与双曲线的
２， Ｃ． ： （ ０， ０），
３．（２０２１天津南开中学第四次月考，７）已知ａ ｂ 椭圆Ｃ 的方 ｂ
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２ ＞ ＞０， １ 渐近线平行的直线方程为 ｙ － ｙ ０ ＝ ± ａ （ ｘ － ｘ ０）， 由
程为 双曲线Ｃ 的方程为 Ｃ 与Ｃ 的离
ａ２ ＋ｂ２ ＝１， ２ ａ２ －ｂ２ ＝１， １ ２ ì ïｙ ｂ ｘ
ï ＝ ａ ， æｂｘ ａｙ ｂｘ ａｙ ö
í 得Ｍç ０＋ ０ ０＋ ０÷
心率之积为２ ２ 则Ｃ 的渐近线方程为 ï ｂ è ｂ ， ａ ø，
， ２ （ ） ïｙ ｙ ｘ ｘ ２ ２
３ î － ０＝－ ａ （ － ０）
ｘ ｙ ｘ ｙ
Ａ． ±３ ＝０ Ｂ．３ ± ＝０ ì ｂ
Ｃ． ｘ ± ３ ｙ ＝０ Ｄ． ３ ｘ ± ｙ ＝０ ï ï ｙ ＝－ ａ ｘ ， æｂｘ ａｙ ｂｘ ａｙ ö
由í 得Ｎç ０－ ０ ０－ ０÷
答案 Ｃ 椭圆Ｃ 的离心率ｅ ａ２ － ｂ２ ï ïｙ ｙ ｂ ｘ ｘ è ２ ｂ ，－ ２ ａ ø，
１ １＝ ａ ， î － ０＝ ａ （ － ０）
双曲线Ｃ 的离心率ｅ
ａ２
＋
ｂ２
则Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ
ｂ２ｘ２
０－
ａ２ｙ２
０
ｂ２ｘ２
０－
ａ２ｙ２
０．
２ ２＝ ａ ， · ＝ ｂ２ － ａ２
４ ４
ａ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ( ｂ ) ２ ( ｂ ) ２ ｘ２ ｙ２
由 ｅ ｅ － ＋ ０ ０ 即ｂ２ｘ２ ａ２ｙ２ ａ２ｂ２
１ ２ ＝ ａ · ａ ＝ １－ ａ × １＋ ａ ＝ ∵ ａ２ －ｂ２ ＝１， ０－ ０＝ ，
２ ２ 解得 ( ｂ ) ２ １ 所以 ｂ ３ 所以双曲线Ｃ 的渐近线 Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ａ２ － ｂ２ ．
， ａ ＝ ， ａ ＝ ， ２ ∴ · ＝
３ ３ ３ ４
方程为ｙ ３ｘ 即ｘ ｙ 故选 ． 由题意得
ａ２
－
ｂ２ ｂ２
即ａ２ ｂ２ ｃ２ ａ２ ｅ
æ
ç ６
ù
úú．
＝± ， ± ３ ＝０， Ｃ ≥ ， ≥２ ＝２（ － ），∴ ∈è１， û
３ ４ ４ ２
第十章 圆锥曲线 ５ １５
( ｂ ) ( ｂ )
解法二 设Ｍ ｍ ｍ Ｎ ｎ ｎ
： ， ａ ， ，－ ａ ，
( ｂ )
所以Ｐ ｍ ｎ ｍ ｎ ．
＋ ， ａ （ － ）
ｍ ｎ ２ ｍ ｎ ２
因为点Ｐ在双曲线上 所以（ ＋ ） （ － ）
， ａ２ － ａ２ ＝１，
即 ｍｎ ａ２
４ ＝ ，
ｂ２ ａ２ ｂ２ ａ２ ｂ２ ａ２ ａ２ ｂ２ ｂ２
所以Ｏ→Ｍ Ｏ→Ｎ ｍｎ ｍｎ － ｍｎ － －
· ＝ －ａ２ ＝ ａ２ ＝ ａ２ × ＝ ≥ ， 米 米
４ ４ ４ Ａ．１０ Ｂ．２０
即ａ２ ｂ２ ｃ２ ａ２ 米 米
≥２ ＝２（ － ）， Ｃ．１０ ３ Ｄ．１０ ５
所以
ｃ２
３ 又ｅ 所以ｅ
æ
ç ６
ù
úú 故选 ．
答案 Ｂ 取ＤＣ的中点Ｅ
，
以ＥＧ所在直线为ｙ轴
，
ＥＧ的中
ａ２≤ ， ＞１， ∈è１， û， Ｂ 点Ｏ为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示．因为点Ｇ处
２ ２ ，
ｘ２ ｙ２ 的直径等于ＣＤ 所以由双曲线的对称性可知 点Ｏ即双曲线
６．（２０２１浙江嘉兴二模，７）如图 已知双曲线Ｃ ａ ， ，
， ：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， 的对称中心
，
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ 以ＯＦ 为直径的圆与双曲线
＞０） 、 １， ２， ２
Ｃ的渐近线在第一象限的交点为Ｐ 线段ＰＦ 与另一条渐近线
， １
交于点Ｑ 且 ＯＰＦ 的面积是 ＯＰＱ面积的 倍 则该双曲
， △ ２ △ ２ ，
线的离心率为
（ ）
ｘ２ ｙ２
设双曲线的标准方程为 ａ ｂ 由题意可知 Ｃ
ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）， ，
Ｂ 代入双曲线的标准方程得
（１０ ２，２０）， （１０ １０，－６０），
ì
ï２００ ４００
ïａ２ － ｂ２ ＝１， {ａ２
í 解得 ＝１００，所以最细部分处的直径为 ａ
ï ｂ２ ２
ï１０００ ３６００ ＝４００，
Ａ
． ３
Ｂ
．３ ２ î ａ２ － ｂ２ ＝１，
２ ２ 米 ．故选 ．
． ． ＝２０（ ） Ｂ
Ｃ ２ Ｄ ３ ｘ２ ｙ２
答案 Ｃ 解法一 因为 Ｓ Ｓ Ｓ 所以 Ｑ 为 ８．（２０２１山西顶级名校４月联考，１１）已知双曲线Ｃ
： △ ＯＰＦ ２ ＝ △ ＯＰＦ １ ＝２ △ ＯＰＱ， ：ａ２ －ｂ２ ＝１
ＰＦ 的中点 又Ｏ为Ｆ Ｆ 的中点 所以ＯＱ ＰＦ ．
１ ， １ ２ ， ∥ ２ ａ ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ ｃ Ｆ ｃ 点Ｎ的坐
又知 ＯＰＦ ° 所以 ＰＯＱ °． （ ＞０， ＞０） 、 １（－ ，０）， ２（ ，０），
∠ ２＝９０ ， ∠ ＝９０ ( ｂ２ )
ｂ 标为 ｃ ３ ．若双曲线 Ｃ 左支上的任意一点 Ｍ 均满足
结合两渐近线关于 ｙ 轴对称可知 直线 ｙ ｘ 的倾斜角为 － ， ａ
， ＝ ａ ２
ＭＦ ＭＮ ｂ 则双曲线Ｃ的离心率的取值范围为
ｂ ｜ ２｜＋｜ ｜＞４ ， （ ）
° 所以 所以ｅ 故选 ．
４５ ， ａ ＝１， ＝ ２， Ｃ
(ａ２ ａｂ)
解法二 由题可知 点Ｐ的坐标为 ．
： ， ｃ ， ｃ
易知点Ｑ为ＰＦ 的中点 所以Ｑ
æ
ç ç
ａ
ｃ
２
－
ｃ
ａｂ
ö
÷ ÷ 即Ｑ
(
－
ｂ２ ａｂ)
．
１ ， ， ｃ， ｃ
è ， ｃø ２ ２
２ ２
ｂ ａｂ ｂ ｂ２
而点Ｑ在渐近线ｙ ｘ上 所以 － 所以ａ ｂ 从 æ ö
＝－ ａ ， ｃ＝－ ａ × ｃ， ＝ ， ç １３ ÷
２ ２ Ａ．è ， ５ø Ｂ．（ ５， １３）
而ｅ ． ３
＝ ２ æ ö
７．（２０２１江西南昌 ２０２１０６０７ 项目第一次联考，９）许多建筑 ç １３÷
ＮＣＳ Ｃ．è１， ø∪（ ５，＋∞） Ｄ．（１， ５）∪（ １３，＋∞）
融入了数学元素 更具神韵 数学赋予建筑活力 数学的美也 ３
， ， ， 答案 Ｃ 设Ｆ Ｎ与双曲线的交点为Ｈ．由已知可得 ＭＦ
被建筑表现得淋漓尽致．已知图 是单叶双曲面 由双曲线绕 １ ｜ ２｜－
１ （ ＭＦ ａ ＭＦ ＭＮ ｂ 即 ＭＦ ＭＮ ａ ｂ 如图
虚轴旋转形成立体图形 型建筑 图 是其中截面最细附近处 ｜ １｜＝２ ，｜ ２｜＋｜ ｜＞４ ， ｜ １｜＋｜ ｜＋２ ＞４ ，
） ， ２ 所示 当点Ｍ位于Ｈ点时 ＭＦ ＭＮ 最小
的部分图形 上 下底面与地面平行．现测得下底直径 ＡＢ ， ，｜ １｜＋｜ ｜ ，
， 、 ＝
米 上底直径 ＣＤ 米 ＡＢ 与 ＣＤ 间的距离为
２０ １０ ， ＝２０ ２ ，
米 与上 下底面等距离的Ｇ处的直径等于ＣＤ 则最细部分
８０ ， 、 ，
处的直径为
（ ）
５ １６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｂ２ ＯＭＮ的面积为
故３ ａ ｂ 即 ｂ２ ａ２ ａｂ Ｄ．△ ６
２ ａ＋２ ＞４ ， ３ ＋４ ＞８ ， 答案 ＡＣＤ 如图 双曲线Ｃ的焦距 ｃ ＯＭ ｃ
， ２ ＝２ １３，｜ ｜＝
ｂ２ ａｂ ａ２
∴３ －８ ＋４ ＞０，
ａ ｂ ａ ｂ ＝ １３，
∴ （２ － ）（２ －３ ）＞０，
ａ ｂ或 ａ ｂ 则Ｐ （０， ｂ ）， 由Ｅ→Ｏ ＋ Ｅ→Ｍ ＋ Ｅ→Ｎ ＝ ０得点Ｅ是 △ ＯＭＮ的重心 ， 可得
∴２ ＞３ ２ ＜ ，
ａ２ ｂ２ 或 ａ２ ｂ２
ＯＥ ２ ＯＰ
∴４ ＞９ ４ ＜ ， ｜ ｜＝ ｜ ｜，
ｃ２ ａ２ 或ｃ２ ａ２ ３
∴９ ＜１３ ＞５ ，
ｃ ｃ 即ａ ２ ｂ 解得ａ ｂ ｅ １３．
１３或 ＝ ， ＝２， ＝３， ＝
∴１＜ ａ ＜ ａ ＞ ５， ３ ２
３
从而得到 正确．
æ ö ＡＣＤ
双曲线Ｃ的离心率的取值范围为ç １３÷ 故
∴ è１， ø∪（ ５，＋∞），
３
选 ．
Ｃ
方法点拨 在解决与双曲线焦点三角形有关的最值问题
时，常利用双曲线的定义以及三角形的性质进行求解．
ｘ２ ｙ２
９．（２０２１浙江嘉兴高三上期末，９）如图 已知双曲线 ａ
， ａ２ －ｂ２ ＝１（
ｂ 的左 右焦点分别为Ｆ Ｆ Ｏ为坐标原点 点Ｐ是其
＞０， ＞０） 、 １， ２， ，
右支上第一象限内的一点 直线ＰＯ ＰＦ 分别交该双曲线左 １１．（２０２１届河北张家口、邢台、衡水摸底联考，１７）已知双曲线
， ， ２ 、
右支于另两点Ａ Ｂ 若 ＰＦ ＰＦ 且 ＡＦ Ｂ ° 则该双 ｘ２ ｙ２
曲线的离心率是 ， ， ｜ １｜＝２｜ ２｜， ∠ ２ ＝６０ ， Ｅ ：ｍ－ ＝１（ ｍ ＞０） 的一条渐近线方程为ｘ ＋３ ｙ ＝０， 则下列说
（ ） ４
法正确的是
（ ）
Ｅ的焦点在ｘ轴上 ｍ ４
Ａ． Ｂ． ＝
９
Ｅ的实轴长为 Ｅ的离心率为 １０
Ｃ． ６ Ｄ．
３
答案 ＡＤ 由ｍ 可知双曲线Ｅ的焦点一定在ｘ轴上
＞０， ，
ｂ
故 正确 根据题意得 ２ １ 所以ｍ 故 错误
． ． ．２ ３ ． ５ Ａ ； ａ ＝ ｍ＝ ， ＝３６， Ｂ ；
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ Ｄ ３
３ ２
答案 Ａ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ＰＦ ａ 双曲线Ｅ的实轴长为 ｍ 故 错误
∵ ｜ １｜＝２｜ ２｜，｜ １｜－｜ ２｜＝２ ， ２ ＝１２， Ｃ ；
ＰＦ ａ ＰＦ ａ． ｃ ｍ
∴ ｜ １｜＝４ ，｜ ２｜＝２ 双曲线 Ｅ 的离心率 ｅ ＋４ １０ 故 正确．故
连接ＡＦ １， 根据双曲线的对称性可得四边形ＰＦ １ ＡＦ ２ 为平行四 ＝ ａ ＝ ｍ ＝ ３ ， Ｄ
边形．
选 ．
ＡＤ
∵ ∠ ＡＦ ２ Ｂ ＝６０ ° ，∴ ∠ Ｆ １ ＰＦ ２＝６０ ° ， １２．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，９）已知双曲线
在
△
ＰＦ
１
Ｆ
２
中
，
由余弦定理可得
４
ｃ２
＝１６
ａ２
＋４
ａ２
－２·４
ａ
·２
ａ
· 的方程为 ｘ２ ｙ２ 则下列说法正确的是
ｃ － ＝１， （ ）
° ｃ ａ ｅ 故选 ． １６ ９
ｃｏｓ６０ ，∴ ＝ ３ ，∴ ＝ ａ ＝ ３， Ａ
焦点为
方法点拨 （ ）当双曲线中出现双曲线上一点到两焦点的 Ａ． （± ７，０）
１ 渐近线方程为 ｘ ｙ
距离时，多数情况下要结合定义解决； Ｂ． ３ ±４ ＝０
（ ）当双曲线中出现双曲线上一点与原点连线且延长交双曲 离心率ｅ ５
２ Ｃ． ＝
线于另一点时，考虑这两点与双曲线的焦点连线会构成平行 ４
焦点到渐近线的距离为
四边形去解决． Ｄ． ４
ｘ２ ｙ２
答案 ＢＣ 已知双曲线的方程为
二、多项选择题 － ＝１，
１６ ９
１０．（２０２１届广东茂名五校联盟第一次联考，１１）双曲线 Ｃ
ｘ２ 得ａ２
＝１６，
ｂ２
＝９，
ｃ２
＝１６＋９＝２５，
：ａ２ －
∴
ａ
＝４，
ｂ
＝３，
ｃ
＝５，
焦点为
（±５，０），
渐近线方程为
３
ｘ
±４
ｙ
＝０，
ｙ
ｂ
２
２ ＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的焦点在圆Ｏ
：
ｘ２
＋
ｙ２
＝１３
上
，
圆Ｏ与双曲线 离心率为ｅ
＝ ４
５
，
焦点到渐近线的距离为｜３×（±
３
５
２
）
＋
－
４
４
２
×０｜
＝３，
Ｃ的渐近线在第一 二象限分别交于Ｍ Ｎ两点 点Ｅ ａ 满 因此 错误 正确．
、 、 ， （０， ） ＡＤ ，ＢＣ
足Ｅ→Ｏ Ｅ→Ｍ Ｅ→Ｎ ０ 其中Ｏ为坐标原点 则正确的说法是 三、填空题
＋ ＋ ＝ （ ），
（ ） ｘ２ ｙ２
Ａ． 双曲线Ｃ的一条渐近线方程为 ３ ｘ －２ ｙ ＝０ １３．（２０２１北京西城一模，１２）已知双曲线Ｃ ： － ＝１， 则Ｃ的
８ ４
Ｏ→Ｅ 渐近线方程是 过Ｃ的左焦点且与ｘ轴垂直的直线
Ｂ．｜ ｜＝１ ；
交其渐近线于Ｍ Ｎ两点 Ｏ为坐标原点 则 ＯＭＮ的面积是
双曲线Ｃ的离心率为 １３ ， ， ， △
Ｃ． ．
２
第十章 圆锥曲线 ５ １７
好为线段ＰＦ 的中点 Ｏ是Ｆ Ｆ 的中点 所以ＯＱ ＰＦ 所
答案 ｙ ２ｘ １ ， １ ２ ， ∥ ２，
＝± ；６ ２ ｂ
２ 以ＰＦ ＯＱ 因为直线ＯＱ的方程为ｙ ｘ 即ｂｘ ａｙ
解析 由题得ａ２ ｂ２ 从而得ａ ｂ 进而得双
１⊥ ， ＝－ ａ ， ＋ ＝０，
＝８， ＝４， ＝２ ２， ＝２， ｂｃ ｂｃ
ｂ 所以 ＱＦ ｜－ ｜ ｂ 则 ＰＦ ｂ 在 ＯＱＦ 中
曲线Ｃ的渐近线方程是ｙ
＝± ａ
ｘ
＝±
２ｘ．ｃ２
＝８＋４＝１２，
从而得 ｜ １｜＝ ａ２
＋
ｂ２ ＝ ｃ ＝ ， ｜ １｜＝２ ， Ｒｔ△ １ ，
２
ｃ ＝２ ３， 因而过Ｃ的左焦点且与ｘ轴垂直的直线方程是ｘ ＝－ ｜ ＯＱ ｜＝ ｜ ＯＦ １｜ ２ －｜ ＱＦ １｜ ２ ＝ ａ ， 则 ｜ ＰＦ ２｜＝２ ａ ， 由 ｜ ＰＦ １｜－｜ ＰＦ ２｜
ａ
根据对称性 不妨令Ｍ 与Ｎ ａ得 ｂ ａ 所以直线 ＰＦ 的斜率 ｋ ＯＦ Ｑ
２ ３， ， （－２ ３，－ ６） （－２ ３， ６）， ＝２ ＝２ ， １ ＰＦ １ ＝ｔａｎ∠ １ ＝ ｂ
所以Ｓ １ ＭＮ ｃ １ ．
△ ＯＭＮ＝ ｜ ｜· ＝ ×２ ６×２ ３＝６ ２ １ ．
２ ２ ＝
１４．（２０２１豫北名校联盟５月联考，１５）设Ｏ为坐标原点 直线ｘ ２
， ＝ １６．（２０２１浙江湖丽衢三地市４月联考，１７）已知Ｆ Ｆ 是双曲线
ｘ２ ｙ２ １， ２
ｃ与双曲线Ｃ
：ａ２ －ｂ２ ＝１（
ａ
＞０，
ｂ
＞０）
的两条渐近线分别交于
Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的左 右焦点 过Ｆ 的直线交双曲线
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） 、 ， ２
Ａ Ｂ两点 ｃ为双曲线Ｃ的半焦距 若 ＡＯＢ的周长为 ａ
， （ ）， △ ６ ， 的右支于Ａ Ｂ两点 且 ＡＦ ＡＦ ＡＦ Ｆ Ｆ ＢＦ
则双曲线Ｃ的离心率为 ． ， ， ｜ １｜ ＝２｜ ２｜，∠ １ ２＝∠ １ ２，
则下列结论正确的有 ． 请填正确的序号
（ ）
答案 ３ ５
双曲线Ｃ的离心率ｅ ２ ３
５ ① ＝ ；
ｂ ３
解析 不妨设直线ｘ ｃ与双曲线Ｃ的渐近线ｙ ｘ ｙ
＝ ＝ ａ ， ＝ 双曲线Ｃ的一条渐近线斜率是
② ３；
ｂ ｂ ｂｃ ＡＢ ａ
ｘ的交点分别为Ａ Ｂ．将ｘ ｃ代入ｙ ｘ 可得ｙ 则 ③｜ ｜＝６ ；
－ ａ ， ＝ ＝ ａ ， ＝ ａ ， ＡＦ Ｆ 的面积是 ａ２．
④△ １ ２ １５
Ａ ( ｃ
，
ｂ
ａ
ｃ)
，
故
｜
ＯＡ
｜＝
ｃ２
＋
(ｂ
ａ
ｃ) ２
＝
ｃ
ａ
２ ．
解
答
析
案 ②
如
④
图 由 ＡＦ ＡＦ ＡＦ ＡＦ ａ 可知
， ｜ １｜ ＝２｜ ２｜，｜ １｜－｜ ２｜ ＝２
ｃ２ ｂｃ ＡＦ ａ ＡＦ ａ．
由对称性可得 ＯＢ 又 ＡＢ ２ ｜ １｜＝４ ，｜ ２｜＝２
｜ ｜＝ ａ ， ｜ ｜＝ ａ ，
ｃ２ ｂｃ
则 ＡＯＢ的周长为 ＯＡ ＯＢ ＡＢ ２ ２ ａ
△ ｜ ｜＋｜ ｜＋｜ ｜＝ ａ ＋ ａ ＝６ ，
整理得ｂｃ ａ２ ｃ２ 即ｃ ｃ２ ａ２ ａ２ ｃ２．
＝３ － ， － ＝３ －
ｃ２
两边平方并整理得 ９
ａ２ ＝ ，
５
ｃ
故双曲线Ｃ的离心率ｅ ３ ５． 由于 ＡＦ Ｆ Ｆ ＢＦ Ｆ ＡＦ ＢＡＦ 故可得 ＡＦ Ｆ
＝ ａ ＝ ∠ １ ２＝∠ １ ２，∠ １ ２ ＝∠ １， △ ２ １
５ ＡＦ ＡＦ
１５．（２０２１四川成都二模，１５）设双曲线 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 的 ∽△ ＡＦ １ Ｂ ， 故可得｜ ｜ ＡＦ ２ １ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＡＢ １ ｜ ｜．
因而 ＡＢ ＡＦ ａ
左 、 右焦点分别为Ｆ １， Ｆ ２， 以Ｆ １ Ｆ ２ 为直径的圆与双曲线在第 所以 ｜ ＢＦ ｜＝４｜ ａ ２ Ｂ ｜ Ｆ ＝８ ， ａ
一象限内的交点为Ｐ ， 直线ＰＦ １ 与双曲线的渐近线在第二象 可知 ｜ Ｆ Ｆ ２｜＝６ ｃ ，｜ ａ １ 从 ｜＝ 而 ８ ｅ ， ．
限内的交点为Ｑ ， 若点Ｑ恰好为线段ＰＦ １ 的中点 ， 则直线ＰＦ １ ｜ ｂ １ ２｜＝２ ＝４ ， ＝２
的斜率为 ． 所以 可得其中一条渐近线的斜率为 ．
ａ ＝ ３， ３
答案 １ 在 ＡＦ Ｆ 中 ＡＦ ａ ＡＦ ａ Ｆ Ｆ ａ
２ △ １ ２ ，｜ １｜＝４ ，｜ ２｜＝２ ，｜ １ ２｜＝４ ，
解析 连接ＰＦ ．因为以Ｆ Ｆ 为直径的圆与双曲线在第一 可知 ＡＦ Ｆ 的面积是 ａ２．
象限交 于点Ｐ 所 ２ 以ＰＦ Ｐ １ Ｆ ２ 记Ｏ为坐标原点 因为Ｑ恰 综上 △ １ 正 ２ 确． １５
， １⊥ ２， ， ，②④
学生用书Ｐ１７７
ｘ２ ｙ２ ｘ２ ｙ２
１．（２０２１ ５·３原创题）已知双曲线 集合Ａ ｘ ｘ２ ｘ Ｃ ｂ 的左 右顶点 Ｍ Ｎ分别为椭圆和双曲线
ｍ－ ｎ ＝１， ＝｛ ｜ －２ ２： －ｂ２ ＝１（ ＞０） ， ， ，
４
ｘ Ｚ 若ｍ ｎ Ａ 则焦点在ｘ轴上的双曲线条数是 上不同于Ａ Ａ 的动点 且 Ｏ Ｍ Ｎ 三点共线 若直线 Ａ Ｍ
－８＜０， ∈ ｝， ， ∈ ， １， ２ ， ， ， ， １ ，
Ａ Ｍ Ａ Ｎ Ａ Ｎ的斜率之和为 则Ｃ 的渐近线方程是
（ ） ２ ， １ ， ２ ０， ２ （ ）
Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．１２ ｙ ｘ ｙ １ ｘ ｙ ２ ｘ ｙ ３ ｘ
１． 答案 Ａ Ａ． ＝±２ Ｂ． ＝± Ｃ． ＝± Ｄ． ＝±
２ ３ ２
ｘ２ ２． 答案 Ｂ
２．（２０２１５·３原创题）已知Ａ Ａ 是椭圆Ｃ ｙ２ 和双曲线
１， ２ １： ＋ ＝１ ｘ２ ｙ２
４ ３．（２０２１ ５·３原创题）已知双曲线Ｃ ａ ｂ 的离
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０）
５ １８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
心率为 左 右焦点分别是Ｆ Ｆ ．过Ｆ 的直线ｌ分别交Ｃ的 由于直线ｌ与双曲线Ｃ的右支相切于Ｐ点 Ｐ点不与右顶
２， 、 １、 ２ １ （２） （
两条渐近线于Ａ ， Ｂ两点 （ Ａ与Ｂ不重合 ）， 且满足→ＡＢ ·（ Ａ→Ｆ ２＋
点
设
重
直
合
线
）
ｌ
，
的
因
方
此
程
直
为
线
ｙ
ｌ的
ｋｘ
斜
ｍ
率存在
，
Ｂ→Ｆ
２）＝０，
则直线ｌ的斜率ｋ
＝
．
{ｙ ｋｘ ｍ
＝ ＋ ，
＝ ＋ ，
３． 答案
±
１５ 由 ｘ２
ｙ２
消去ｙ得
（４
ｋ２
－１）
ｘ２
＋８
ｋｍｘ
＋４
ｍ２
＋４＝０，
５ － ＝１
ｘ２ ｙ２ ４
４．（２０２１ ５·３原创题）已知双曲线Ｃ ａ ｂ 的一 由题意得Δ ｋ２ｍ２ ｋ２ ｍ２
：ａ２ －ｂ２ ＝１（ ＞０， ＞０） ＝６４ －４（４ －１）（４ ＋４）＝０，
整理得 ｋ２ ｍ２
４ ＝ ＋１，①
条渐近线方程是ｘ ｙ 且双曲线Ｃ过点 ．
－２ ＝０， （２ ２，１） ｍ
设ｌ与ｘ轴交于点Ｄ 则 ＯＤ
求双曲线Ｃ的方程 ， ｜ ｜＝ ｋ ，
（１） ；
如图 设直线ｌ与双曲线Ｃ的右支相切于Ｐ点 Ｐ点不与 ｍ
（２） ， （ Ｓ Ｓ Ｓ １ ＯＤ ｙ ｙ ｋ ｘ
右顶点重合 且ｌ分别交双曲线Ｃ的两条渐近线于Ｍ Ｎ △ ＯＭＮ＝ △ ＭＯＤ＋ △ ＮＯＤ＝ ｜ ｜×｜ Ｍ－ Ｎ｜＝ ｋ ·｜ ｜·｜ Ｍ－
）， 、 ２ ２
两点 Ｏ为坐标原点．问 ＭＯＮ的面积是不是定值 如果 ｘ
， ：△ ？ Ｎ｜，
是 请求出该定值 如果不是 请说明理由．
， ； ， 双曲线的两条渐近线方程为ｙ １ ｘ
＝± ，
２
{
ｙ １ ｘ ( ｍ ｍ )
联立 ＝ ， Ｍ ２
２ ⇒ ｋ， ｋ ，
ｙ ｋｘ ｍ １－２ １－２
＝ ＋
{
ｙ １ ｘ ( ｍ ｍ )
联立 ＝－ ， Ｎ －２
２ ⇒ ｋ ， ｋ ，
ｙ ｋｘ ｍ ２ ＋１ ２ ＋１
＝ ＋
ｍ ｍ ｍ ｍ
则Ｓ ｋ ２ ２ ｋ
△ ＭＯＮ ＝ ｋ · ｜ ｜ · ｋ＋ ｋ ＝ ｋ · ｜ ｜ ·
２ １－２ １＋２ ２
ｍ ｍ ｍ
ì ï ïａ ｂ ＝ １ ， {ａ２ １－ ４ ４ ｋ２ ＝ ２ １ · ｋ ·｜ ｋ ｜· － ４ ｍ２ ＝２（ 定值 ） ．
４． 解析 由题意得í ２ 解得 ＝４， 所以 ＭＯＮ的面积为定值 ．
（１） ï ｂ２ △ ２
ï８ １ ＝１，
îａ２ －ｂ２ ＝１，
ｘ２
所以双曲线Ｃ的方程为 ｙ２ ．
－ ＝１
４
