文档内容
第九章 平面直角坐标系
9．1 用坐标描述平面内点的位置
9．1.1 平面直角坐标系的概念
教学目标
课题 9.1.1 平面直角坐标系的概念 授课人
1.认识平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴和象限.
素养目标 2.能正确画出平面直角坐标系，经历由点写出坐标、由坐标描点，体会数形
结合思想.
教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标、由坐标描点．
教学难点 平面内点的坐标的有序性.
教学活动
教学步骤 师生活动
【问题引入】
(1)生活中如何确定一个具体位置？如图是一个小组进
行表演训练的模拟情形，有一个人的动作不规范，你能表
示出他的位置吗？
活动一：创 可用小学学过的有序数对确
设情境，新课 定．这个人位于第2行第3列，若
导入 把行数、列数编号，可用有序数对 【教学建议】
记为(2，3)． 学生回忆并作
【设计意图】
(2)什么是数轴？ 答，为本课的学
提出问题引
规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数 习提供迁移或类
导学生回顾旧
知，为引入平 轴． 比方法．
面直角坐标系 (3)如图，数轴上的点A表示数1.反过来，数1就是点
做铺垫. A的位置．我们说数1是点A在数轴上的坐标．同理可
知，点B在数轴上的坐标是 － 3 ；点C在数轴上的坐标是
2.5；点D在数轴上的坐标是0.
(4)数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系．
活动二：
探究点1 平面直角坐标系 【教学建议】
交流合作，探
问题1 (教材P64思考)类似于上面利用数轴确定直线 教师引导学生
究新知
上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位 自主思考，可以进
置呢(请以图①中的点A为例说明)? 行讨论交流，教师
【设计意图】
如图①，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重 最后进行总结并引
通过与数
合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或 入平面直角坐标系
轴类比的实例
进行引入，在 横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵 的概念．注意引导轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面
直角坐标系的原点．
学生学会利用有序
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序 数对表示出点的坐
数对来表示了．如图②，由点A分别向x轴和y轴作垂 标．通过与数轴类
此基础上抽象
线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上, 的坐标 比可以更好地理解
出平面直角坐
是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对 点与坐标的对应关
标系的概念．
(3，4)就叫作点A的坐标，记作A(3，4). 系，从而实现一维
问题2 结合图②和上面的知识，请你写出B，C，D，E 到二维的过渡．注
的坐标. 意强调平面直角坐
B(－3，－4)，C(0，2)，D(0，－3)，E(－2，0). 标系的画法规则．
【对应训练】
1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（D）
2.教材P66练习第1题.
【教学建议】
教师引导学
生思考，对于回
探究点2 平面直角坐标系中的点的坐标特征
答不完善的地方
【设计意图】 问题1 (教材P65思考)原点O的坐标是什么？x轴和y
予以补充，注意
使学生进 轴上的点的坐标有什么特点？
引导学生学会画
一步了解平面 原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的纵坐标为0，例
出用坐标表示的
直角坐标系， 如(1，0)，(－1，0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例如
加深理解. (0，1)，(0，－1)，….如图①，A(3，0)，B(－2，0)， 点的位置，对于
各象限的点的坐
C(0，2)，D(0，－3)．
标特点有清晰的
了解．注意强调
表示坐标时横、概念引入：
建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(如图②)，每个部分称为象限，它们分
别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．
问题2 各部分及坐标轴上的点的坐标有什么特点？ 纵坐标顺序不可
颠倒，及位于坐
标轴上的点不属
于任何象限．
注意：坐标轴上的点不属于任何象限．
例1 (教材P65例1)在平面直角坐标系中描出下列各
点：
A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，
E(0，－4)．
解：如图①，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找
出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线
的交点就是点A.
类似地，可在图中描出点B，C，D，E.归纳总结：如图②，类比数轴上的点与实数是一一对应
的，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实
数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意
一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点
M(即坐标为(x，y)的点)和它对应．也就是说，坐标平面内
的点与有序实数对是一一对应的．这样，利用坐标平面内
点的坐标，可以确定平面内点的位置.
拓展：平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x
轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点
横坐标的绝对值.
【对应训练】
教材P66练习第2，3题.
例2 已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.
如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴
上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是（B）
A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2)
例3 (1)如果点M(－5，2＋b)在x轴上，那么b＝ － 2.
(2)如果点N(a－3，2a)在y轴上，那么点N的坐标是 【教学建议】
(0 ， 6) ． 当题目涉及平
(3)平面直角坐标系中有点M(a，b)． 面直角坐标系的各
活动三：
①当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？ 个象限内的点的符
重点突破，巩
②当ab＞0时，点M位于第几象限？ 号特征时，注意不
固提升
③当a为任意有理数，且b＜0时，点M位于第几象 要混淆正负号，如
限？ 例3中ab>0可得
【设计意图】
解：①点M位于第四象限；②点M位于第一象限(a＞ 同正或同负，注意
针对平面
0，b＞0)或者第三象限(a＜0，b＜0)；③点M位于第三象 不要漏掉后一种情
直角坐标系中
限(a＜0，b＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0)或者y轴负半轴 况．而根据点到坐
的点的坐标特
上． 标轴的距离解题
征出题，加深
【对应训练】 时，若不确定点所
学生对于概念
的理解和相应 若点P(m，m－4)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b. 在的象限，则绝对
的运用能力. (1)当m＝3时，a＋b＝4； 值符号不可省略，
(2)若a＋b＝10，求出点P的坐标； 于是不可忽视分类
(3)若点P在第三象限，且3a＋kb＝12(k为常数)，求出 讨论．
k的值．
解：(2)因为a＋b＝10，所以|m|＋|m－4|＝10.
①当m＜0时，－m－m＋4＝10，解得m＝－3，所以
P(－3，－7)；
②当0≤m≤4时，m－m＋4＝10，无解 ，舍去；
③当m>4时，m＋m－4＝10，解得m＝7，所以P(7，3)．
综上所述，点P的坐标为(－3，－7)或(7，3)．
(3)因为点P在第三象限，所以m＜0，m－4＜0，
所以a＝|m－4|＝4－m，b＝|m|＝－m.
因为3a＋kb＝12，所以3(4－m)－km＝12，所以－3m－
km＝0，所以k＝－3.
【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子(或“随堂作业”册子)相应
课时随堂训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是平面直角坐标系？平面直角坐标系中的点具有哪些坐标特征？
2.在坐标平面内如何求一个点的坐标？已知点的坐标，如何在坐标平面内描
出这个点？
【知识结构】
活动四：
随堂训练，课
堂总结
【作业布置】
1.教材P69习题9.1第1，3，4，5，8题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．、
9.1.1 平面直角坐标系的概念
1.构成：在平面内由两条互相垂直、原点重合的数轴构成，通常横轴向右为
板书设计 正方向，纵轴向上为正方向.
2.平面直角坐标系中点的坐标特征
3.由点写出坐标 由坐标描点．
本节课通过类比数轴表示点的方法，让学生认识平面直角坐标系，在概
念及由点确定坐标的基础上，进一步探究了点的坐标特点．本节课主要以问
教学反思 题为载体，概念方面不要死记硬背，要留给学生充足的探索思考时间，自己
描点寻找规律，让学生大胆发言，总结规律，从而提高学生的“数感”，充
分体现新课标提出的“以学生为主体”的教学理念.解题大招 对平面直角坐标系中点的坐标的概念的理解
平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x
轴、y轴上对应的数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫
作点P的坐标，记作P(a，b)，如图．
我们可以这么理解：
(1)表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在
后，中间用“，”隔开．
(2)点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到
x轴的距离．
(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一个有序数对
(x，y)和它对应；反过来，对于任意一个有序数对(x，y)，在坐标平面内都有唯
一的一点和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
例 (1)若点(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分线上，求a的值；
(2)点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求点P的坐标．
分析：(1)第一、第三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；
(2)这样的点P有多个．解：(1)因为点(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分线上，所以5－
a＝a－3，所以a＝4.
(2)设点P的坐标为(x，y)，由已知条件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝
±4，
所以点P的坐标为(4，3)或(－4，3)或(4，－3)或(－4，－3)．
培优点一 平面直角坐标系中点的坐标运动规律
例1 如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，
1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，
则第2 025次运动到点B
A．(2 025，0) B．(2 025，1) C．(2 025，2) D．(2 024，0)
解析：由题意可知，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，
0)，第3次运动到点(3，2)，第4次运动到点(4，0)，第5次运动到点(5，
1)，第6次运动到点(6，0)……第4n次运动到点(4n，0)，第(4n＋1)次运动到
点(4n＋1，1)，第(4n＋2)次运动到点(4n＋2，0)，第(4n＋3)次运动到点(4n＋
3，2)．因为2 025÷4＝506……1，所以第2 025次运动到点(2 025，1)．故选
B.
培优点二 平面直角坐标系中的动点问题
例2 如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐
标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，且a，b满足＋|b－6|＝0，点
B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度
沿着O→A→B→C→O的线路移动(回到点O时停止移动)．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P移动4 s时，请求出点P的坐标；
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
分析：(1)利用非负数的性质可以求得a，b的值，根据长方形的性质，可以
求得点B的坐标；
(2)由点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O
的线路移动，可以得到当点P移动4 s时点P的大概位置，从而得到点P的坐
标；
(3)由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动
的时间即可．
解：(1)因为a，b满足＋|b－6|＝0，所以a－4＝0，b－6＝0，所以a＝4，b
＝6，所以点B的坐标是(4，6)．(2)因为点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O
的线路移动4 s，
所以点P移动的路程为2×4＝8.
因为OA＝4，AB＝OC＝6，
所以当点P移动4 s时，在线段AB上，AP＝8－4＝4.
所以当点P移动4 s时，此时点P的坐标是(4，4)．
(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存
在两种情况：
①当点P在AB上时，
点P移动的时间是(4＋5)÷2＝4.5(s)；
②当点P在OC上时，
点P移动的时间是[2×(4＋6)－5]÷2＝7.5(s)．
综上所述，当点P移动到距离 x轴5个单位长度时，点P移动的时间是4.5
s或7.5 s.
