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６５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
９．５ 抛物线
§
考点三 直线与抛物线的位置关系
１．点Ｐ（ｘ ，ｙ ）与抛物线ｙ２ ｐｘ（ｐ ）的位置关系
考点一 抛物线的定义及标准方程 ０ ０ ＝２ ＞０
点Ｐ ｘ ｙ 在抛物线内 ｙ２ ｐｘ
１．抛
平
物
面
线
内
的
与
定
一
义
个定点Ｆ和一条定直线ｌ Ｆ ｌ 的距离相
（
（
１
２
）
）
点Ｐ
（
（
ｘ
０
０
，
，
ｙ
０
０
）
）
在抛物线上
⇔
⇔
ｙ
０
２
０
＜
＝
２
２
ｐｘ
０
０
；
；
（１） （ ∉ ） 点Ｐ ｘ ｙ 在抛物线外 ｙ２ ｐｘ ．
等的点的轨迹叫做抛物线 定点Ｆ叫做抛物线的焦点 定直线ｌ （３） （ ０， ０） ⇔ ０＞２ ０
， ， ２．直线与抛物线的位置关系
叫做抛物线的准线．
设直线ｌ ｙ ｋｘ ｂ 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 直线与抛物线
定义的实质可归结为 一动三定一转化 一个动点Ｐ （１） ： ＝ ＋ ， ＝２ （ ＞０），
（２） “ ”： ， {ｙ ｋｘ ｂ
一个定点Ｆ 抛物线的焦点 一条定直线ｌ 抛物线的准线 一 交点的个数等价于方程组 ＝ ＋ ，解的组数 也等价于方程ｋｙ２
（ ）， （ ）， ｙ２ ｐｘ ，
个定值 抛物线的离心率 一个转化 抛物线上的点与焦点的 ＝２
１（ ）， （ ｐｙ ｂｐ 解的个数．
距离可转化成该点到准线的距离 ． －２ ＋２ ＝０
） 当ｋ 时 若Δ 则直线和抛物线相交 有两个公共点
定义中定点与定直线的位置关系为 定点Ｆ不能在定直 ａ． ≠０ ， ＞０， ， ；
（３） ： 若Δ 则直线和抛物线相切 有一个公共点 若Δ 则直线和
线ｌ上．若定点Ｆ在定直线ｌ上 则动点的轨迹为过点Ｆ且垂直 ＝０， ， ； ＜０，
， 抛物线相离 无公共点．
于ｌ的一条直线 因此在用抛物线定义解决动点轨迹问题前 应 ，
首先判断定点与
，
定直线的位置关系．
，
ｂ．
当ｋ
＝０
时
，
直线ｙ
＝
ｂ与抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
相交
，
有一个
公共点．特别地 当直线ｌ的斜率不存在时 设ｌ ｘ ｍ 则当ｍ
２．抛物线的标准方程 ， ， ： ＝ ， ＞０
时 ｌ与抛物线相交 有两个公共点 当ｍ 时 ｌ与抛物线相切
在抛物线中 记焦点Ｆ到准线ｌ的距离为ｐ 以抛物线的焦 ， ， ； ＝０ ， ，
， ， 有一个公共点 当ｍ 时 ｌ与抛物线相离 无公共点．
点Ｆ到准线ｌ的垂线段的中点为坐标原点 以抛物线的轴为坐标 ； ＜０ ， ，
， 直线与抛物线相离 无交点 时 常求抛物线上的点到
轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程ｙ２ （２） （ ） ，
， 此直线的距离的最小值．方法有两种 一是将距离ｄ写成一个变
ｐｘ ｘ２ ｐｙ 其中ｐ ． ，
＝±２ ， ＝±２ ， ＞０ 量的函数 利用函数求之 二是利用切线法求．
， ，
考点二 抛物线的几何性质 相切时 求切线斜率 一种方法是利用Δ 求 另一种
（３） ， ， ＝０ ，
１．抛物线的标准方程与几何性质 方法是利用导数求．
３．焦点弦的性质
标准 ｙ２ ｐｘ ｙ２ ｐｘ ｘ２ ｐｙ ｘ２ ｐｙ
＝２ ＝－２ ＝２ ＝－２
方程 （ ｐ ＞０） （ ｐ ＞０） （ ｐ ＞０） （ ｐ ＞０） 以抛物线ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 为例 ， 设ＡＢ是抛物线的过焦点的一
条弦 焦点弦 Ｆ是抛物线的焦点 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ａ Ｂ在
（ ）， ， （ １， １）， （ ２， ２）， 、
图形 准线上的射影为Ａ Ｂ 则有以下结论
１、 １， ：
ｐ２
对称轴 ① ｘ轴 ② ｙ轴 （１）
ｘ
１
ｘ
２＝ ４ ，
ｙ
１
ｙ
２＝－
ｐ２
；
顶点 Ｏ
（０，０）
若直线ＡＢ的倾斜角为θ 且Ａ位于ｘ轴上方 Ｂ位于ｘ
( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) ( ｐ ) （２） ， ，
几 焦点 Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ ｐ ｐ
何 ，０ － ，０ ０， ０，－ 轴下方 则 ＡＦ ＢＦ
２ ２ ２ ２ ， ｜ ｜＝ θ，｜ ｜＝ θ；
性 准线 ｐ ｐ ｐ ｐ １－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
质 ｘ ｘ ｙ ｙ ｐ
方程 ＝－ ③ ＝ ＝－ ④ ＝ ＡＢ ｘ ｘ ｐ ２ 其中θ为直线ＡＢ的倾斜角 抛
范围 ｘ ≥０， ｙ ∈
２
Ｒ ｘ ≤０， ｙ ∈
２
Ｒ ｙ ≥０， ｘ ∈
２
Ｒ ｙ ≤０， ｘ ∈
２
Ｒ
（３）｜ ｜＝ １＋ ２＋ ＝
ｓｉｎ
２θ（ ），
离心率 ｅ 物线的通径长为 ｐ 通径是最短的焦点弦
＝１ ２ ， ；
２
抛
．抛
物
物
线
线
上任
的
意
焦
一
半
点
径
Ｐ
与焦
ｘ
点
ｙ
弦
到焦点Ｆ的距离称为焦半径 过抛 （４）
Ｓ
△ ＡＯＢ＝ ２ｓ
ｐ
ｉｎ
２
θ（
其中θ为直线ＡＢ的倾斜角
）；
（ ０， ０） ，
物线焦点的直线与抛物线相交形成的线段称为抛物线的焦点弦．
１ １ ２ 为定值
（５） ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ ；
设两交点分别为Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则有以下结论 ｜ ｜ ｜ ｜
（ １， １）， （ ２， ２）， ： 以ＡＢ为直径的圆与抛物线的准线相切
标准 （６） ；
ｙ２ ｐｘ ｐ ｙ２ ｐｘ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ ｘ２ ｐｙ ｐ 以ＡＦ 或ＢＦ 为直径的圆与ｙ轴相切
方程 ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０） ＝２ （ ＞０） ＝－２ （ ＞０） （７） （ ） ；
焦半 ｐ ｐ ｐ ｐ 以Ａ Ｂ 为直径的圆与直线ＡＢ相切 切点为Ｆ Ａ ＦＢ
ｘ ｘ ｙ ｙ （８） １ １ ， ，∠ １ １
径长 ⑤ ＋ ０ － ０ ⑥ ＋ ０ － ０ °
２ ２ ２ ２ ＝９０ ；
焦点 Ａ Ｏ Ｂ 三点共线 Ｂ Ｏ Ａ 三点也共线．
弦长 ｐ ＋（ ｘ １＋ ｘ ２） ⑦ ｐ － （ｘ １＋ ｘ ２ ） ｐ ＋（ ｙ １＋ ｙ ２） ⑧ ｐ － （ｙ １＋ ｙ ２ ） （９） ， ， １ ， ， ， １
知识拓展 １．如图所示 ＡＢ是抛物线ｘ２ ｐｙ ｐ 的过焦
， ＝２ （ ＞０）
点的一条弦 焦点弦 分别过Ａ Ｂ作抛物线的切线 交于点Ｐ
（ ）， ， ， ，
连接ＰＦ 则有以下结论
， ：
专题九 圆锥曲线 ６５５
已知直线ｌ与抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 交于 Ａ Ｂ 两点 若
（１） ＝２ （ ＞０） 、 ，
ＯＡ ＯＢ 则直线ｌ过定点 ｐ 反之亦成立
⊥ ， （２ ，０）， ；
已知Ｍ ｘ ｙ 是抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上任意一点 点
（２） （ ０， ０） ＝２ （ ＞０） ，
Ｎ ａ 是 抛 物 线 的 对 称 轴 上 一 点 则 ＭＮ
（ ，０） ， ｜ ｜ｍｉｎ
{ ａ ａ ｐ
｜ ｜（ ≤ ），
ｐ ＝ ｐａ ｐ２ ａ ｐ ．
点Ｐ的轨迹是一条直线 即抛物线的准线ｌ ｙ ２ － （ ＞ ）
（１） ， ： ＝－ ； ３．弦中点
２
两切线互相垂直 即ＰＡ ＰＢ 设ＡＢ为抛物线的一条弦 ＡＢ中点为Ｍ ｘ ｙ ．
（２） ， ⊥ ； ， （ ０， ０）
ＰＦ ＡＢ ｐ
（３） ⊥ ；
æｘ ｘ ｐ ö （１）
若抛物线为ｙ２
＝２
ｐｘ
，
则ｋ
ＡＢ＝ｙ ；
点Ｐ的坐标为ç Ａ＋ Ｂ ÷． ０
（４） è ，－ ø ｘ
２．非焦点弦性质
２ ２
（２）
若抛物线为ｘ２
＝２
ｐｙ
，
则ｋ
ＡＢ＝ ｐ
０．
（
其中ｐ
≠０，
ｙ
０≠０）
８．已知点Ｆ是抛物线ｙ２ ｘ的焦点 Ｍ Ｎ是该抛物线上的两点
＝２ ， ， ，
若 ＭＦ ＮＦ 则线段ＭＮ中点的横坐标为
｜ ｜＋｜ ｜＝４， （ ）
３ ５
考点一 抛物线的定义及标准方程 Ａ． Ｂ．２ Ｃ． Ｄ．３
２ ２
１．设抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点为Ｆ
，
若Ｆ到直线ｙ
＝ ３
ｘ的距 答案 Ａ
离为 则ｐ为 ９．Ｏ为坐标原点 Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 Ｐ为Ｃ上一点
３， （ ） ， ： ＝４ ２ ， ，
若 ＰＦ 则 ＰＯＦ的面积为
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ３ ｜ ｜＝４ ２， △ （ ）
答案 Ｂ
Ａ．２ Ｂ．２ ２
２．已知抛物线ｙ２ ｘ上一点Ｐ到准线的距离为ｄ 到直线ｌ ｘ
＝４ １， ：４ － Ｃ．２ ３ Ｄ．４
ｙ 的距离为ｄ 则ｄ ｄ 的最小值为 答案 Ｃ
３ ＋１１＝０ ２， １＋ ２ （ ）
１０．抛物线ｘ２ ｙ的焦点Ｆ的坐标为 若该抛物线上有
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ． ５ Ｄ． ７ ＝ ，
答案 Ａ
一点Ｐ满足 ＰＦ ５ 且 Ｐ 在第一象限 则点 Ｐ 的坐标为
３．已知抛物线的顶点在原点 焦点在ｙ轴上 ＡＢＣ三个顶点都 ｜ ｜ ＝ ， ，
， ，△ ４
在抛物线上 且 ＡＢＣ的重心为抛物线的焦点 若ＢＣ边所在 ．
， △ ，
直线的方程为ｘ ｙ 则抛物线的方程为 ( )
＋４ －２０＝０， （ ） 答案 １
Ａ
．ｙ２
＝１６
ｘ
Ｂ
．ｙ２
＝８
ｘ ０，
４
；（１，１）
．ｘ２ ｙ ．ｘ２ ｙ
Ｃ ＝１６ Ｄ ＝８ 考点三 直线与抛物线的位置关系
答案 Ｃ
４．抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ Ｏ为坐标原点 Ｍ为抛物线 １１．已知点Ａ （－２，３） 在抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ的准线上 ， 过点Ａ的直
＝２ （ ＞０） ， ， 线与Ｃ在第一象限相切于点Ｂ 记Ｃ的焦点为Ｆ 则直线ＢＦ
上一点 且 ＭＦ ＯＦ ＭＦＯ的面积为 则抛物线方 ， ，
， ｜ ｜＝４｜ ｜，△ ４ ３， 的斜率为
程为 （ ）
（ ）
１ ２ ３ ４
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ １５ｘ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ． ＝６ Ｂ． ＝８ Ｃ． ＝１６ Ｄ． ＝ ２ ３ ４ ３
２ 答案 Ｄ
答案 Ｂ
１２．已知Ｆ为抛物线ｙ２ ｘ的焦点 点Ａ Ｂ在该抛物线上且位于ｘ
５．已知抛物线Ｃ ｙ ｍｘ２ ｍ Ｒ ｍ 过点Ｐ 则抛物线 ＝ ， ，
： ＝ （ ∈ ， ≠０） （－１，４），
Ｃ的准线方程为 ． 轴的两侧 ， Ｏ→Ａ · Ｏ→Ｂ ＝２（ 其中 Ｏ 为坐标原点 ）， 则 △ ＡＢＯ 与
ＡＦＯ面积之和的最小值是
答案 ｙ １ △ （ ）
＝－
１６ １７ ２
６．抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 点Ａ Ｐ为抛物线上一点 且Ｐ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ． Ｄ． １０
＝８ ， （６，３）， ， ８
不在直线ＡＦ上 则 ＰＡＦ周长的最小值为 ． 答案 Ｂ
， △
答案 １３．平面上一机器人在行进中始终保持与点Ｆ 的距离和到
１３ （１，０）
７．已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 点Ｐ为抛物线上的动 直线ｘ 的距离相等．若机器人接触不到过点Ｐ 且
＝２ （ ＞０） ， ＝－１ （－１，０）
点 点Ｍ为其准线上的动点 若 ＦＰＭ是边长为 的等边三角 斜率为ｋ的直线 则ｋ的取值范围是 ．
， ， △ ６ ，
形 则此抛物线的方程为 ． 答案
， （－∞，－１）∪（１，＋∞）
答案 ｙ２ ｘ
＝６
考点二 抛物线的几何性质
６５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３ 所以Ｓ ９ 选 ．
， △ ＡＯＢ＝ ， Ｄ
２ ４
( )
考点一 抛物线的定义及标准方程 解法二 易知直线ＡＢ的方程为ｙ ３ ｘ ３ 与ｙ２ ｘ联立
： ＝ － ， ＝３
３ ４
１．（ 作 ２ 直 ０１ 线 ７ 交 辽 抛 宁 物 鞍 线 山 于 铁东 Ｐ 四 Ｑ 模 两 ， 点 ７）过 若 抛 线 物 段 线 ＰＱ ｙ２ 中 ＝ 点 ２ ｐｘ 的 （ 横 ｐ ＞ 坐 ０） 标 的 为 焦点 并消去ｘ得 ４ ｙ２ －１２ ３ ｙ －９＝０ ．设Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２）， 则ｙ １＋ ｙ ２
， ， ３，
ｙ ｙ ９ ． Ｓ １ ＯＦ ｙ ｙ １
｜ ＰＱ ｜＝１０， 则抛物线的方程是 （ ） ＝ ３ ３， １ ２ ＝ － ４ △ ＯＡＢ ＝ ２ ｜ ｜ · ｜ １ － ２ ｜ ＝ ２ ×
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ
Ａ． 答案 ＝４ Ｃ 设 Ｂ． 抛物 ＝２ 线 ｙ２ ＝２ Ｃ ｐ ． ｘ （ ＝ ｐ ＞ ８ ０） 的焦 Ｄ 点 ． 为 ＝６ Ｆ ， Ｐ （ ｘ １， ４ ３ （ ｙ １＋ ｙ ２） ２ －４ ｙ １ ｙ ２ ＝ ４ ９ ．故选 Ｄ ．
ｙ Ｑ ｘ ｙ ２．（２０１９广东佛山一中高三期中，５）已知正六边形ＡＢＣＤＥＦ的
１）， （ ２， ２），
ｐ ｐ 边长是 一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点
ＰＱ ＰＦ ＱＦ ｘ ｘ ｘ ｘ ｐ ２， ，
∴ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋ ＋ ２＋ ＝ １＋ ２＋ ， 则抛物线的焦点到准线的距离是
２ ２ （ ）
线段ＰＱ中点的横坐标为 ＰＱ
∵ ３，｜ ｜＝１０，
ｐ 得ｐ ３ ３
∴１０＝６＋ ， ＝４， Ａ． Ｂ． Ｃ． ３ Ｄ．２ ３
４ ２
∴ 抛物线方程为ｙ２ ＝８ ｘ ， 故选 Ｃ ． 答案 Ｂ 如图所示
，
２．（２０１８云南昆明质检，７）已知点Ｍ是抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
ｘ轴过正六边形的中心Ｏ′ 且平分其一组对边
， ，
上一点 Ｆ为Ｃ的焦点 ＭＦ的中点坐标是 则ｐ的值为
， ， （２，２），
（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
( ｐ )
答案 Ｄ 抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ 的焦点为 Ｆ 设
： ＝ ２ ，０ ，
２
æｙ２ ö ｐ ｙ２
Ｍç １ ｙ ÷ 由中点坐标公式可知 １ ｙ 解得ｐ
è ｐ， １ ø， ＋ ｐ＝２×２， １＝２×２， 设Ｂ ｘ 则Ａ ｘ
２
故选 ．
２ ２ （ ０，１）， （ ０＋ ３，２），
{ ｐｘ
３．（ ＝ ２ ４ ０ ， １８江 Ｄ 苏南京、盐城高三一模，６）若抛物线ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 的 设抛物线方程为ｙ２ ＝２ ｐｘ ， ｐ ＞０， 则 １＝２ ｐ ０ ｘ ，
ｘ２ ｙ２ ４＝２ （ ０＋ ３），
焦点与双曲线 的右焦点重合 则实数 ｐ 的值
－ ＝ １ ， 解得ｐ ３ 因此焦点到准线距离为 ３ 故选 ．
４ ５ ＝ ， ， Ｂ
为 ． ２ ２
答 案
３．（２０２０北师大附中期中，１３）已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦
６ 点为Ｆ 准线与 ｘ 轴的交点为 Ｍ Ｎ 为抛物线上一点 且满足
ｐ ， ， ，
解析 ｃ２ 故双曲线的右焦点为 所以 ＭＮ ＮＦ 则 ＮＭＦ ．
＝４＋５＝９， （３，０）， ＝３， ｜ ｜＝２｜ ｜， ∠ ＝
２
解得ｐ ． 答案 π
＝６
３
考点二 抛物线的几何性质 解析 本题考查抛物线的定义 考查学生运用数形结合的思
，
想方法分析问题与解决问题的能力 体现直观想象与数学运算
１．（２０１９云南曲靖一中１月月考，１０）设Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ ，
： ＝３ 的核心素养．
的焦点 过Ｆ且倾斜角为 °的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两点 Ｏ为坐
， ３０ ， ， 过点Ｎ作ＮＨ 准线ｌ 垂足为Ｈ 由抛物线的定义可得 ＮＦ
标原点 则 ＯＡＢ的面积为 ⊥ ， ， ｜ ｜＝
， △ （ ） ＮＨ 在直角三角形 ＮＭＨ 中 由 ＭＮ ＮＨ 可得
｜ ｜， ， ｜ ｜ ＝ ２ ｜ ｜，
３ ３ ９ ３ ６３ ９ ＮＨ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＭＮＨ ｜ ｜ １ 故 ＮＭＦ ＭＮＨ π．
４ ８ ３２ ４ ｃｏｓ∠ ＝ ＭＮ ＝ ， ∠ ＝∠ ＝
ｐ２ ｜ ｜ ２ ３
答案 Ｄ 解法一 由公式得Ｓ 其中θ ° ｐ
： △ ＡＯＢ＝ θ， ＝３０ ， ＝
２ｓｉｎ
Ａ Ｂ 且满足→ＡＦ Ｆ→Ｂ Ｅ为ＡＢ的中点 则点Ｅ到抛物线准线的
， ， ＝２ ， ，
距离为
（ ）
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法 １１ ９ ５ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
例１
（１）
（２０２０山东济宁６月三模，７）已知抛物线Ｃ
：
ｙ２ ４
（２０１９湖
４
南三湘名校联盟
２
第二次联考，９
４
）已知直线ｌ
ｘ的焦点为Ｆ 过点Ｆ的直线与抛物线Ｃ的两个交点分别为 （２） １：
＝４ ，
专题九 圆锥曲线 ６５７
ｘ ｌ ｘ ｙ Ｐ为抛物线ｙ２ ｘ上任意一点 则点Ｐ到直
＝－１，２： － ＋１＝０， ＝４ ， ５ ５
线ｌ 与ｌ 的距离之和的最小值为 Ａ． Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．２
１ ２ （ ） ３ ２
（２０２０新高考Ⅰ，１３，５ 分）斜率为 的直线过抛物线
２ （３） ３
Ａ．２ Ｂ． ２ Ｃ．１ Ｄ． Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 且与Ｃ交于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢ ．
２ ： ＝４ ， ， ， ｜ ｜＝
解析 （ ）由ｙ２ ｘ得抛物线的焦点坐标为（ ， ），准线方 解题导引 题设中直线斜率未知 结合四个选项中的
１ ＝４ １ ０ （１） ，
程为ｘ ＝－１ ，设Ａ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｂ（ｘ ２ ，ｙ ２ ）， ∵ →ＡＦ ＝２ Ｆ→Ｂ， 结 设出 果均 Ｐ 与 ｘ ｋ ｙ 无关 Ｑ ， 故 ｘ 可 ｙ 考虑 由 用 抛 特 物 值 线 法 的 求 定 解 义 ； 知 若用 ＦＰ 一般 ｘ 方法 ， 则 ＦＱ 先
∴ ｜ ＡＦ ｜＝２｜ ＢＦ ｜ ， ∴ ｘ １＋１＝２ （ｘ ２＋１ ）， ∴ ｘ １＝２ ｘ ２＋１ ， （ １， １）， （ ２， ２），
ｘ ｘ
｜ ｜＝ １＋２，｜ ｜
∵ ｜
ｙ
１｜＝２｜
ｙ
２｜
，
∴
ｙ２
１＝４
ｙ２
２
，
∴
ｘ
１＝４
ｘ
２
，
∴
ｘ
１＝２
，ｘ
２＝ ２
１ ．
＝
ｘ
２＋２，
观察所求式子
｜ Ｆ
１
Ｐ ｜ ＋ ｜ Ｆ
１
Ｑ ｜ ＝ｘ １ ｘ ２＋２
１
（
＋
ｘ １
２
＋
＋
ｘ
４
２）＋４ ，
联立直线
与抛物线方程消去ｙ后 再根据根与系数的关系 用整体代入的
线段ＡＢ的中点Ｅ 到抛物线准线的距离为 １ ［（ｘ ） ， ，
∴ １＋１ ＋ 技巧求解．
２
解析 （ ）解法一：不妨设ｋ ，则直线方程为ｙ ｘ ，
（ｘ ）］ ９ ．故选 １ ＝１ ＝ －２
２＋ （ １ ２ ）设 ＝ 抛 ４ 物线的 Ｂ 焦 ． 点为Ｆ．如图所 联立 {ｙ ｙ２ ＝ ｘ － ｘ ２ ， ， 消去ｙ，得ｘ２ －１２ ｘ ＋４＝０ ，设Ｐ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｑ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），
示，作ＰＭ ｌ 于点Ｍ，ＰＮ ｌ 于点Ｎ， ＝８
由抛 ，由 物 抛 线 物 ⊥ ｙ 线 ２ ＝ ２ 定 ４ ｘ 义 知 可 其 知 准 点 线 ⊥ Ｐ 方 到 １ 程 直 为 线 ｘ ｌ ＝ ： 则 由抛 ｘ １ 物 ＋ ｘ 线 ２＝ 定 １２ 义 ，ｘ 知 １ ｘ ｜ ２ Ｆ ＝ Ｐ ４ ｜ ， ＝ ｘ １＋２ ， ｜ ＦＱ ｜＝ ｘ ２＋２ ，
ｘ －１ 的距离 ＰＮ 等于点Ｐ到焦点 １ Ｆ 所以 １ １ １ １ ｘ １＋ ｘ ２＋４
＝－１ ｜ ｜ ＦＰ ＋ ＦＱ ＝ ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ ｘ （ｘ ｘ ） ＝
的距离 ＰＦ ， 点Ｐ到直线ｌ 的距离 ｜ ｜ ｜ ｜ １＋２ ２＋２ １ ２＋２ １＋ ２ ＋４
与点Ｐ ｜ 到直 ｜ 线 ∴ ｌ 的距离之和 １ ＰＭ １２＋４ ＝ １ ，故选 Ａ ．
２ ｜ ｜＋ ４＋２×１２＋４ ２
｜
ＰＮ
｜＝｜
ＰＭ
｜＋｜
ＰＦ
｜
，当 Ｐ，Ｍ，Ｆ 三点 解法二：由题意知ｋ
≠０
．由ｙ２
＝８
ｘ可得焦点Ｆ的坐标为（
２
，
共线时， ｜ ＰＭ ｜＋｜ ＰＦ ｜ 取得最小值，为点Ｆ（ １ ， ０ ）到直线ｌ ２ ：ｘ － ｙ ＋１ ０ ），因此直线ｙ ＝ ｋ（ｘ －２ ）过焦点．设Ｐ（ｘ １ ，ｙ １ ），Ｑ（ｘ ２ ，ｙ ２ ），则 ｜ ＦＰ ｜
＝０ 的距离，即为 ｜
１
１ ２ －
＋
０ （ ＋
－
１
１
｜ ）２ ＝ ２ ．故选 Ｂ ． ＝ ｘ １＋
２
ｐ ＝ ｘ １＋２ ， ｜ ＦＱ ｜ ＝ ｘ ２＋２ ．联立 {ｙ ｙ２ ＝
＝
ｋ
８
（ ｘ ｘ ， －２ ）， 消去ｙ，得ｋ２ｘ２ －
答案 （
１
）Ｂ （
２
）Ｂ
（ ｋ２）ｘ ｋ２ ．则 ｘ ｘ ８＋４
ｋ２
，ｘ ｘ ． １ １
方法总结 抛物线中有关距离问题的求法 ８＋４ ＋４ ＝０ １＋ ２＝ ｋ２ １ ２＝４ ∴ ＦＰ ＋ ＦＱ ＝
｜ ｜ ｜ ｜
主要把握两个转化 一是把抛物线上的点到焦点的距离转 ｋ２
８＋４
化 线 为 的 抛 准 物 线 线 距 上 离 的 转化 点 为 到 抛 准 物 ： 线 线 的 上 距 的 离 点 ； 二 到 是 焦 把 点 抛 的 物 距离 线 ． 上 在 的 解 点 题 到 时 抛 要 物 准 ｘ １ １ ＋２ ＋ｘ ２ １ ＋２ ＝ｘ １ ｘ ２＋ ｘ ２ １ （ ＋ ｘ ｘ １ ２ ＋ ＋ ｘ ４ ２ ） ＋４ ＝ ２ （ ８ ｋ２ ＋４ ｋ ＋ ２ ４ ） ＝ ２ １ ．故选 Ａ ．
确把握题设条件 进行有效转化． ４＋ ｋ２ ＋４
， （ ）解法一：过Ａ，Ｂ作准线的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ，
２
由抛物线的定义可知， ＢＮ ＢＦ ， ＡＭ ＡＦ ，
例 （２０１９陕西榆林二模，７）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上的 ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜＝｜ ｜
＝２ （ ＞０） Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ， Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ ，令 Ｂ→Ｆ ａ（ａ ），则 Ｃ→Ｂ
∵ ＝４ ∴ ｜ ｜＝４｜ ｜ ｜ ｜＝ ＞０ ｜ ｜＝
点Ｍ到其焦点Ｆ的距离比点Ｍ到ｙ轴的距离大 １ 则抛物线 ＢＮ ＣＢ
， ａ， ＢＮ ａ． ＢＮ ＡＭ， ｜ ｜ ｜ ｜，
２ ４ ｜ ｜＝ ∵ ∥ ∴ ＡＭ ＝ ＣＡ
的标准方程为 ｜ ｜ ｜ ｜
（ ） ａ
ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ 又 ＣＡ ＣＢ ＢＦ ＡＦ ａ ａ ＡＭ ，
Ａ． ＝ Ｂ． ＝２ Ｃ． ＝４ Ｄ． ＝８ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜＋｜ ｜＋｜ ｜ ＝４ ＋ ＋｜ ｜ ∴ ＡＭ ＝
解析 抛物线ｙ２ ｐｘ（ｐ ）上的点Ｍ到其焦点Ｆ的距离 ｜ ｜
＝２ ＞０
５ ａ
ｐ ａ ＡＦ
比点Ｍ到ｙ轴的距离大 １ ，由抛物线的定义可得ｘ Ｍ＋ ＝ ｘ Ｍ＋ ａ ４ ＡＭ ，解得 ｜ ＡＭ ｜＝ ５ ａ，因此｜ ＢＦ ｜ ＝ ３ ａ ＝ ５ ，故选 Ａ ．
２ ２ ５ ＋｜ ｜ ３ ｜ ｜ ３
解法二：设 ＡＦ ａ（ａ ）， ＢＦ ｂ（ｂ ），
１ ， ｐ ， 抛物线方程为ｙ２ ｘ．故选 ｜ ｜＝ ＞０ ｜ ｜＝ ＞０
∴ ＝１ ∴ ＝２ Ｂ． 过Ａ，Ｂ作准线的垂线，垂足分别为Ｍ，Ｎ，
２
答案 Ｂ 则有 ＢＦ ＢＮ ｂ， ＡＦ ＡＭ ａ，
｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜＝｜ ｜＝
因为Ｃ→Ｂ Ｂ→Ｆ，所以 ＣＢ ＢＦ ，即 ＣＢ ＢＮ ．
＝４ ｜ ｜＝４｜ ｜ ｜ ｜＝４｜ ｜
又ＢＮ ＡＭ，所以 ＣＢＮ ＣＡＭ，
∥ △ ∽△
考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法 ＣＢ ＣＡ
所以｜ ｜ ｜ ｜，
例２
（１）
已知抛物线ｙ２
＝８
ｘ的焦点为Ｆ
，
直线ｙ
＝
ｋ
（
ｘ
－ ｜
ＢＮ
｜
＝
｜
ＡＭ
｜
所以 ＣＡ ＡＭ ，即有 ｂ ｂ ａ ａ，
与抛物线相交于Ｐ Ｑ两点 则 １ １ ｜ ｜＝４｜ ｜ ４ ＋ ＋ ＝４
２） ， ， ＦＰ ＋ ＦＱ ＝ （ ） ａ ＡＦ
｜ ｜ ｜ ｜ 变形可得 ５ ，即｜ ｜ ５ ，故选
ｂ ＝ ＢＦ ＝ Ａ．
１ ３ ｜ ｜ ３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４ （ ）解法一：在抛物线ｙ２ ｘ中， ｐ ， 斜率为 的直线
２ ３ ＝４ ２ ＝４ ∵ ３
过抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点Ｆ作斜率大于 的直线ｌ ｐ
（２） ＝２ （ ＞０） ０ 倾斜角θ π， 过焦点的弦长 ＡＢ ２ ４ ４ １６．
交抛物线于Ａ Ｂ两点 Ａ在Ｂ的上方 且ｌ与准线交于点Ｃ 若 ＝ ∴ ｜ ｜＝ ２θ＝ ＝ ＝
， （ ）， ， ３ ｓｉｎ ２ π ３ ３
ＡＦ ｓｉｎ
Ｃ→Ｂ
＝４
Ｂ→Ｆ
，
则｜
ＢＦ
｜
＝ （ ） 解法二：设Ａ（ｘ ，ｙ ），Ｂ（ｘ ，ｙ ），由已知可得抛
３
物线
４
ｙ２ ｘ的
｜ ｜ １ １ ２ ２ ＝４
６５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
焦点为Ｆ（ ， ），过点Ｆ且斜率ｋ 的直线方程为ｙ （ｘ ）， 分别为Ｅ，Ｄ，则 ＡＢ ＡＦ ＢＦ ＡＥ ＢＤ ｘ ｘ ｘ
１ ０ ＝ ３ ＝ ３ －１ ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ １＋１＋ ２＋１＝ １
{
联立 {ｙ
ｙ
２ ＝４ ｘ
（
，
ｘ ），
消去ｙ，得
３
ｘ２
－１０
ｘ
＋３＝０
，
∴
ｘ １＋ ｘ ２＝ １
３
０， ＋ ｘ ２＋２＝ １
３
６．
＝ ３ －１ ｘ １ ｘ ２＝１ ， 答案 （ １ ）Ａ （ ２ ）Ａ （ ３ ）１６
３
∴ ｜
ＡＢ
｜＝ １＋
ｋ２ （ｘ
１＋
ｘ
２
）２
－４
ｘ
１
ｘ
２ ＝ １＋３×
１
９
００
－４＝
１
３
６． 方法总结 １．求解与抛物线的焦点弦有关的问题时
，
应充
解法三： 直线ＡＢ过抛物线的焦点Ｆ（ ， ）且斜率为 ，
分利用抛物线焦点弦的性质．
∵ １ ０ ３ ２．熟练掌握与焦点弦有关的结论是快速解决与焦点弦有关
直线ＡＢ的方程为ｙ （ｘ ），代入抛物线方程ｙ２ ｘ
∴ ＝ ３ －１ ＝４ 的选择题与填空题的关键 如例 可利用焦点弦的性质
消去ｙ并化简得 ｘ２ ｘ ，Δ ．设Ａ（ｘ ，ｙ ）， ， ２（１）
３ －１０ ＋３＝０ ＝１００－３６＝６４＞０ １ １
１ １ ２ 求解．
Ｂ（ｘ ，ｙ ），则ｘ ｘ １０．过Ａ，Ｂ分别作准线ｘ 的垂线，垂足 ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ
２ ２ １＋ ２＝ ＝－１ ｜ ｜ ｜ ｜
３
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法
１．（２０１９湖南岳阳二模，４）过抛物线ｘ２ ｙ的焦点Ｆ作直线 交
＝４ ，
抛物线于Ｐ ｘ ｙ Ｐ ｘ ｙ 两点 若ｙ ｙ 则 Ｐ Ｐ
１（ １， １）， ２（ ２， ２） ， １＋ ２＝６， ｜ １ ２｜＝
（ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
答案 Ｃ
２．（２０２０山东滨州三模，７）已知抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 与圆 Ｅ ｘ
： ＝４ ：（ －
２ ｙ２ 相交于Ａ Ｂ两点 点Ｍ为劣弧ＡＢ
１） ＋ ＝９ ， ，
(
过点Ｐ与抛物线相切的直线方程为ｘ ｙ
Ｃ． －２ ＋１＝０
过点Ｐ作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于Ｍ Ｎ点
Ｄ． ， ，
则直线ＭＮ的斜率为定值
答案 ＢＣＤ
考法二 抛物线焦点弦问题的求解方法
５．（２０２０山东临沂、枣庄临考演练，６）已知Ｆ是抛物线ｙ２ ｐｘ
＝２
ｐ 的焦点 过Ｆ的直线与抛物线交于Ａ Ｂ两点 ＡＢ的中点
（ ＞０） ， ， ，
为Ｃ 过Ｃ作抛物线准线的垂线 交准线于Ｃ 若ＣＣ 的中点
， ， １， １
为Ｍ 则ｐ
（１，４）， ＝ （ ）
上不同Ａ Ｂ的一 Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．４ ２ Ｄ．８ ２
， 答案 Ｂ
个动点 平行于ｘ轴的直线ＭＮ交抛物线于点Ｎ 则 ＭＮＥ的
周长的
，
取值范围为
， △ ６．（多选题）（２０２０山东威海三模，１１）已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞
（ ） 上三点Ａ ｘ ｙ Ｂ Ｃ ｘ ｙ Ｆ为抛物线的焦点 则
Ａ．（３，５） Ｂ．（５，７） Ｃ．（６，８） Ｄ．（６，８］
０） （ １， １）， （１，２）， （ ２， ２）， ，
答案 Ｃ
（ ）
３．（２０１９吉林第三次调研测试，１２）已知抛物线 ｙ２ ＝４ ｘ 的焦点 Ａ．
抛物线的准线方程为ｘ
＝－１
为Ｆ 点Ａ Ｐ为抛物线上一点 且Ｐ不在直线ＡＦ上 则 若→ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ ０ 则 →ＦＡ Ｆ→Ｂ Ｆ→Ｃ 成等差数列
， （４，３）， ， ， Ｂ． ＋ ＋ ＝ ， ， ，
ＰＡＦ周长取最小值时 线段ＰＦ的长为 若Ａ Ｆ Ｃ三点共线 则ｙ ｙ
△ ， （ ） Ｃ． ， ， ， １ ２＝－１
若 ＡＣ 则ＡＣ的中点到ｙ轴距离的最小值为
１３ ２１ Ｄ． ＝６， ２
Ａ．１ Ｂ． Ｃ．５ Ｄ． 答案 ＡＢＤ
４ ４
答案 Ｂ ７．（２０２０山东仿真联考２，１４）已知抛物线ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
与直线
４．（多选题）（２０２０山东聊城二模，１０）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ ｌ ｘ ｙ ｐ 在第一 四象限分别交于Ａ Ｂ两点 Ｆ是抛物线
： ＝２ （ ：４ －３ －２ ＝０ 、 ， ，
过点Ｐ 则下列结论正确的是
＞０） （１，１）， （ ） 的焦点 若 →ＡＦ λ Ｆ→Ｂ 则λ ．
， ｜ ｜＝ ｜ ｜， ＝
点Ｐ到抛物线焦点的距离为 ３ 答案
Ａ． ４
２
过点Ｐ作过抛物线焦点的直线交抛物线于点 Ｑ 则 ＯＰＱ
Ｂ． ， △
的面积为 ５
３２
( ｐ )
Ｂ ｐ 所以Ｓ １ ｐ ｐ 则ｐ 即抛物线Ｃ
－ ，－ ， △ ＦＡＢ＝ ·２ · ＝１， ＝１， １
２ ２
的方程是ｘ２ ｙ．
＝２
考法一 求与抛物线定义有关问题的方法 ２．（２０１６ 江苏扬州中学月考，１２）已知抛物线的顶点在坐标原
１．（２０１９江苏盐城中学月考）已知抛物线Ｃ
１：
ｘ２
＝２
ｐｙ
（
ｐ
＞０）
的准 点
，
Ａ
焦
ＢＣ
点
的
在
重心
ｘ 轴
是
上
抛
，
物
△
线
Ａ
的
ＢＣ
焦
的
点
三
Ｂ
个
Ｃ
顶
边所
点
在
都
的
在
直
抛
线
物
方
线
程
上
为
，
并
ｘ
且
ｙ
线与抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ 交于Ａ Ｂ两点 Ｃ 的焦点为Ｆ △ ， ４ ＋
２： ＝－２ （ ＞０） ， ， １ ， 则抛物线的方程为 ．
若 ＦＡＢ的面积等于 则Ｃ 的方程是 ． －２０＝０，
△ １， １ 答案 ｙ２ ｘ
答案 ｘ２
＝２
ｙ ＝１６
{ ｘ ｙ
( ｐ ) ( ｐ ) 解析 设抛物线的方程为ｙ２ ｐｘ ｐ 由 ４ ＋ －２０＝０，可
解 析 由 题 意 得 Ｆ 不 妨 设 Ａ ｐ ＝２ （ ＞０）， ｙ２ ｐｘ
０， ， ，－ ， ＝２
２ ２
专题九 圆锥曲线 ６５９
ｐ ｐ ｐ
得 ｙ２ ｐｙ ｐ 设Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ 则ｙ ｙ 故 以ｘ １１ ｙ
２ ＋ －２０ ＝０， （ １， １）， （ ２， ２）， １＋ ２＝－ ， ３＝ －１０， ３＝ ，
２ ８ ２
ｙ ｙ ｐ ( ｐ ) ２ ( )
ｘ ｘ １ ２ １ ｙ ｙ ．设Ａ ｘ ｙ 由 因为Ａ在抛物线上 所以 ｐ １１ｐ 从而ｐ 所
１＋ ２＝５－ ＋５－ ＝１０－ （ １＋ ２）＝１０＋ （ ３， ３）， ， ＝２ －１０ ， ＝８，
４ ４ ４ ８ ２ ８
( ｐ ) ｘ ｘ ｘ ｐ ｙ ｙ ｙ 以所求抛物线方程为ｙ２ ｘ．
三角形重心为 Ｆ 可得 １＋ ２＋ ３ １＋ ２＋ ３ 所 ＝１６
，０ ， ＝ ， ＝０，
２ ３ ２ ３
考点一 抛物线的定义及标准方程 ( ) ( )
１ １
１．（２０２０课标Ⅰ理，４，５分）已知Ａ为抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 上一点 ， Ａ． ４ ，０ Ｂ． ２ ，０
点Ａ到Ｃ的焦点的距离为
１２，
到ｙ轴的距离为
９，
则ｐ
＝ （ ） Ｃ．（１，０） Ｄ．（２，０）
答案 Ｂ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９
答案 Ｃ
７．（２０１６课标Ⅰ，１０，５分）以抛物线Ｃ的顶点为圆心的圆交Ｃ
２．（２０２０北京，７，４分）设抛物线的顶点为Ｏ 焦点为Ｆ 准线为 于Ａ Ｂ两点 交Ｃ的准线于Ｄ Ｅ两点．已知 ＡＢ ＤＥ
， ， ， ， ， ｜ ｜＝４ ２，｜ ｜＝
ｌ Ｐ是抛物线上异于Ｏ的一点 过Ｐ作ＰＱ ｌ于Ｑ 则线段ＦＱ 则Ｃ的焦点到准线的距离为
， ， ⊥ ， ２ ５， （ ）
的垂直平分线 ． ． ． ．
（ ） Ａ２ Ｂ４ Ｃ６ Ｄ８
经过点Ｏ 经过点Ｐ 答案 Ｂ
Ａ． Ｂ．
平行于直线ＯＰ 垂直于直线ＯＰ
Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ 考点三 直线与抛物线的位置关系
３．（２０１９课标Ⅱ，８，５分）若抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点是椭圆 ８．（２０１８课标Ⅰ，８，５分）设抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 过点
＝２ （ ＞０） ： ＝４ ，
ｘ２ ｙ２
的一个焦点 则ｐ 且斜率为 ２ 的直线与Ｃ交于Ｍ Ｎ两点 则Ｆ→Ｍ Ｆ→Ｎ
ｐ＋ ｐ ＝１ ， ＝ （ ） （－２，０） ， ， · ＝
３ ３
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．８ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８
４．（２０１７课标Ⅱ，１６，５分）已知Ｆ是抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 Ｍ 答案 Ｄ
： ＝８ ，
是Ｃ上一点 ＦＭ的延长线交ｙ轴于点Ｎ．若Ｍ为ＦＮ的中点 ９．（２０２１新高考适应卷，７，５ 分）已知抛物线 ｙ２ ｐｘ 上三点
， ， ＝２
则 ＦＮ ． Ａ Ｂ Ｃ 直线ＡＢ ＡＣ是圆 ｘ ２ ｙ２ 的两条切线 则
｜ ｜＝ （２，２）， ， ， ， （ －２） ＋ ＝１ ，
答案 直线ＢＣ的方程为
６ （ ）
５．（２０１６浙江，９，４分）若抛物线ｙ２ ｘ上的点Ｍ到焦点的距 ｘ ｙ ｘ ｙ
＝４ Ａ． ＋２ ＋１＝０ Ｂ．３ ＋６ ＋４＝０
离为 则Ｍ到ｙ轴的距离是 ． ｘ ｙ ｘ ｙ
１０， Ｃ．２ ＋６ ＋３＝０ Ｄ． ＋３ ＋２＝０
答案 答案 Ｂ
９
１０．（２０１９课标Ⅰ，１９，１２分）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ
： ＝３ ，
考点二 抛物线的几何性质
斜率为 ３ 的直线ｌ与Ｃ的交点为Ａ Ｂ 与ｘ轴的交点为Ｐ．
６．（２０２０课标Ⅲ，文７，理５，５ 分）设 Ｏ 为坐标原点 直线 ｘ ， ，
， ＝２ ２
与抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 交于Ｄ Ｅ两点 若ＯＤ ＯＥ 则Ｃ的 若 ＡＦ ＢＦ 求ｌ的方程
： ＝２ （ ＞０） ， ， ⊥ ， （１） ｜ ｜＋｜ ｜＝４， ；
焦点坐标为
（ ） （２） 若→ＡＰ ＝３ Ｐ→Ｂ ， 求 ｜ ＡＢ ｜ ．
考点一 抛物线的定义及标准方程 ＢＦ ＢＦ ２
｜ ｜＋１ ｜ ｜ ＋１
１．（２０１５浙江理，５，５分）如图 ， 设抛物线ｙ２ ＝４ ｘ的焦点为Ｆ ， 不 Ｃ． ｜ ＡＦ ｜＋１ Ｄ． ｜ ＡＦ ｜ ２ ＋１
经过焦点的直线上有三个不同的点Ａ Ｂ Ｃ 其中点Ａ Ｂ在抛 答案 Ａ 过Ａ Ｂ点分别作ｙ轴的垂线 垂足分别为Ｍ Ｎ
， ， ， ， ， ， ， ，
物线上
，
点Ｃ在ｙ轴上
，
则
△
ＢＣＦ与
△
ＡＣＦ的面积之比是 则
｜
ＡＭ
｜＝｜
ＡＦ
｜－１，｜
ＢＮ
｜＝｜
ＢＦ
｜－１
．
Ｓ
（ ） 可知 △ ＢＣＦ
Ｓ ＝
ＡＣＦ
△
１ ＣＢ ＣＦ ＢＣＦ
·｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
２
１ ＣＡ ＣＦ ＢＣＦ
·｜ ｜·｜ ｜·ｓｉｎ∠
２
ＣＢ ＢＮ
｜ ｜ ｜ ｜
＝ ＣＡ ＝ ＡＭ
｜ ｜ ｜ ｜
ＢＦ
｜ ＢＦ ｜－１ ｜ ＢＦ ｜ ２ －１ ＝ ｜ ＡＦ ｜－１ ， 故选 Ａ ．
Ａ． ｜ ＡＦ ｜－１ Ｂ． ｜ ＡＦ ｜ ２ －１ ２．（２ ｜ ０１４ ｜－ 课 １ 标Ⅰ理，１０，５分）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ
： ＝８ ，
６６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
准线为ｌ
，
Ｐ是ｌ上一点
，
Ｑ是直线ＰＦ与Ｃ的一个交点．若Ｆ→Ｐ
＝
答案 Ｃ 设直线ＡＢ与抛物线的准线ｘ
＝－１
交于点Ｃ．分别
过Ａ Ｂ作ＡＡ ＢＢ 垂直于准线于Ａ Ｂ ．由抛物线的定义可设
Ｆ→Ｑ 则 ＱＦ ， １， １ １， １
４ ， ｜ ｜＝ （ ） ＢＣ
ＢＦ ＢＢ ｔ ＡＦ ＡＡ ｔ．由三角形的相似得｜ ｜
７ ５ ｜ ｜＝｜ １｜＝ ，｜ ｜＝｜ １｜＝３ ＡＢ ＝
Ａ． Ｂ．３ Ｃ． Ｄ．２ ｜ ｜
２ ２ ＢＣ
答案 Ｂ Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｑ 点Ｑ在线段ＰＦ上 且在两端点之 ｜ ｔ ｜ ＝ １ ，
∵ ＝４ ，∴ ， ４ ２
间 过Ｑ作ＱＭ ｌ 垂足为Ｍ 由抛物线定义知 ＱＦ ＱＭ 设
， ⊥， ， ｜ ｜＝｜ ｜， ＢＣ ｔ Ｂ ＣＢ π 直线ｌ的倾斜角α π或 ２ ．
抛物线的准线ｌ与ｘ轴的交点为Ｎ ， 则 ｜ ＦＮ ｜＝４， 又易知 △ ＰＱＭ ∴ ｜ ｜＝２，∴ ∠ １ ＝ ６ ，∴ ＝ ３ ３ π
∽△ ＰＦＮ ， 则｜ Ｑ Ｆ Ｍ Ｎ ｜ ＝ ｜ Ｐ Ｐ Ｑ Ｆ ｜ ， 即｜ ＱＭ ｜ ＝ ３ ． ∴ ｜ ＱＭ ｜＝３， 即 ｜ ＱＦ ｜＝ 又Ｆ （１，０），∴ 直线ＡＢ的方程为ｙ ＝ ３（ ｘ －１） 或ｙ ＝－ ３（ ｘ －１） ．
｜ ｜ ｜ ｜ ４ ４ 故选 ．
．故选 ． Ｃ
３ Ｂ
６．（２０１２四川理，８，５分）已知抛物线关于ｘ轴对称 它的顶点
，
在坐标原点Ｏ 并且经过点Ｍ ｙ ．若点Ｍ到该抛物线焦点
， （２， ０）
３．（２０１４课标Ⅰ文，１０，５分）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 的距离为 ３， 则 ｜ ＯＭ ｜＝ （ ）
： ＝ ，
Ａ ｘ ｙ 是Ｃ上一点 ＡＦ ５ ｘ 则ｘ Ａ．２ ２ Ｂ．２ ３ Ｃ．４ Ｄ．２ ５
（ ０， ０） ，｜ ｜＝ ０， ０＝ （ ） 答案 Ｂ 由题意可设抛物线方程为ｙ２ ｐｘ ｐ ．
４ ＝２ （ ＞０）
． ． ． ． ｐ
Ａ１ Ｂ２ Ｃ４ Ｄ８ 由 ＭＦ 得ｐ 抛物线方程为ｙ２ ｘ．
( ) ｜ ｜＝ ＋２＝３ ＝２，∴ ＝４
答案 Ａ 由ｙ２ ｘ得 ｐ 即ｐ １ 因此焦点Ｆ １ ２
＝ ２ ＝１， ＝ ， ，０ ， 点Ｍ的坐标为 ＯＭ
２ ４ ∴ （２，±２ ２），∴ ｜ ｜＝ ４＋８＝２ ３，
故选 ．
准线方程为ｌ ｘ １ 设Ａ点到准线的距离为ｄ 由抛物线的 Ｂ
： ＝－ ， ， ７．（２０１１课标文，９，５分）已知直线ｌ过抛物线Ｃ的焦点 且与Ｃ
４ ，
定义可知ｄ ＝｜ ＡＦ ｜， 从而ｘ ０＋
４
１ ＝
４
５ ｘ ０， 解得ｘ ０＝１， 故选 Ａ ． 的
上
对
一
称
点
轴
则
垂直
Ａ
，
Ｂ
ｌ
Ｐ
与
的
Ｃ
面
交
积
于
为
Ａ ， Ｂ两点 ，｜ ＡＢ ｜＝１２， Ｐ为Ｃ的准线
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程，将 ＡＦ 转化为点Ａ ， △ （ ）
｜ ｜
到准线的距离是解题的关键． Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８
答案 Ｃ 设抛物线方程为ｙ２ ｐｘ ｐ ．
４．（２０１３课标Ⅱ理，１１，５分）设抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
的焦点
ｐ
＝２ （ ＞０）
为Ｆ ， 点Ｍ在Ｃ上 ，｜ ＭＦ ｜＝５， 若以ＭＦ为直径的圆过点 （０，２）， ∵ 当ｘ ＝ ２ 时 ，｜ ｙ ｜＝ ｐ ，
则Ｃ的方程为
ＡＢ
（ ） ｐ ｜ ｜ １２ ．
ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ∴ ＝ ＝ ＝６
Ａ． ＝４ ＝８ Ｂ． ＝２ ＝８ ２ ２
ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ或ｙ２ ｘ 又Ｐ到ＡＢ的距离始终为ｐ
Ｃ． ＝４ ＝１６ Ｄ． ＝２ ＝１６ ，
答案 Ｃ 以ＭＦ为直径的圆过点 点Ｍ在第一
∵ （０，２），∴ Ｓ １ ．
ｐ æ ｐ ( ｐ ) ö ∴ △ ＡＢＰ＝ ×１２×６＝３６
象限．由 ＭＦ ｘ 得Ｍç ｐ ÷．从而以 ２
｜ ｜ ＝ Ｍ＋ ＝５ è５－ ， ２ ５－ ø
２ ２ ２
æ ( ｐ ) ö
ＭＦ为直径的圆的圆心Ｎ的坐标为ç ５ １ ｐ ÷
è ， ２ ５－ ø，
２ ２ ２
点 Ｎ 的横坐标恰好等于圆的半径 圆与 ｙ 轴切于点
∵ ，∴
( ｐ )
从而 １ ｐ 即ｐ２ ｐ 解得ｐ
（０，２）， ２＝ ２ ５－ ， －１０ ＋１６＝０， ＝２
２ ２
或ｐ ＝８，∴ 抛物线方程为ｙ２ ＝４ ｘ或ｙ２ ＝１６ ｘ．故选 Ｃ ． 评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识，
５．（２０１３课标Ⅱ文，１０，５ 分）设抛物线 Ｃ ： ｙ２ ＝４ ｘ 的焦点为 明确准 线上任一点到直线ｌ的距离为ｐ．
Ｆ
，
直线ｌ过Ｆ且与Ｃ交于Ａ
，
Ｂ两点．若
｜
ＡＦ
｜ ＝３｜
ＢＦ
｜，
则ｌ ８．（２０１７山东，理１４，文１５，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 双
的方程为 ，
Ａ． ｙ ＝ ｘ －１ 或ｙ ＝－ ｘ ＋１ （ ） 曲线 ａ ｘ２ ２ － ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ ＞０） 的右支与焦点为Ｆ的抛物线 ｘ２ ＝
ｐｙ ｐ 交于Ａ Ｂ两点．若 ＡＦ ＢＦ ＯＦ 则该双曲线
ｙ ３ ｘ 或ｙ ３ ｘ ２ （ ＞０） ， ｜ ｜＋｜ ｜＝４｜ ｜，
Ｂ． ＝ （ －１） ＝－ （ －１） 的渐近线方程为 ．
３ ３
ｙ ｘ 或ｙ ｘ
Ｃ． ＝ ３（ －１） ＝－ ３（ －１） 答案 ｙ ２ｘ
＝±
ｙ ２ ｘ 或ｙ ２ ｘ ２
Ｄ． ＝ （ －１） ＝－ （ －１）
２ ２
专题九 圆锥曲线 ６６１
解析 本题考查双曲线 抛物线的基础知识 考查运算求解 ２．（２０１５课标Ⅰ文，５，５分）已知椭圆Ｅ的中心在坐标原点 离
、 ， ，
能力和方程的思想方法．
心率为 １ Ｅ的右焦点与抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点重合 Ａ Ｂ是
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ． ， ： ＝８ ， ，
（ １， １）， （ ２， ２） ２
ｐ ｐ ｐ Ｃ的准线与Ｅ的两个交点 则 ＡＢ
因为 ＯＦ ＡＦ ＢＦ 所以 ｙ ｙ 即ｙ ｙ ， ｜ ｜＝ （ ）
４｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜， ４× ＝ １＋ ＋ ２＋ ， １＋ ２ ． ． ． ．
２ ２ ２ Ａ３ Ｂ６ Ｃ９ Ｄ１２
{ｘ２ ｐｙ 答案 Ｂ 抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点坐标为 准线方程
＝２ ， ： ＝８ （２，０），
＝
ｐ
①
．由 ｘ２ ｙ２ 消去ｘ
，
得ａ２ｙ２
－２
ｐｂ２ｙ
＋
ａ２ｂ２
＝０，
所以ｙ
１＋
ｙ
２ 为ｘ ．从而椭圆Ｅ的半焦距ｃ ．可设椭圆Ｅ的方程为
ｘ２
ａ２ －ｂ２ ＝１ ＝－２ ＝２ ａ２ ＋
＝ ２ ａ ｐｂ ２ ２ ② ．由 ①② 可得 ａ ｂ ＝ ２ ２ ， 故双曲线的渐近线方程为ｙ ＝± ｙ ｂ ２ ２ ＝１（ ａ ＞ ｂ ＞０）， 因为离心率ｅ ＝ ａ ｃ ＝ ２ １ ， 所以ａ ＝４， 所以ｂ２ ＝ ａ２
ｂ２
ｃ２ ．由题意知 ＡＢ ２ １２ ．故选 ．
２ｘ． － ＝１２ ｜ ｜＝ ａ ＝２× ＝６ Ｂ
４
２ 评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质，运算失误容易
思路分析 由抛物线的定义和 ＡＦ ＢＦ ＯＦ 可得ｙ ｙ
｜ ｜＋｜ ｜＝４｜ ｜ １＋ ２ 造成失分．
的值 用ｐ表示 ．再联立双曲线和抛物线的方程 消去ｘ得关
（ ） ， ３．（２０１５陕西文，３，５分）已知抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线经过
ｂ ＝２ （ ＞０）
于ｙ的一元二次方程 由根与系数的关系得ｙ ｙ ．从而得 的 点 则该抛物线焦点坐标为
， １＋ ２ ａ （－１，１）， （ ）
值 近而得渐近线方程． Ａ．（－１，０） Ｂ．（１，０） Ｃ．（０，－１） Ｄ．（０，１）
，
ｐ
解题关键 求渐近线方程的关键是求 ｂ 的值 利用题中条件 答案 Ｂ 抛物线ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 的准线方程为ｘ ＝－ ， 由题
ａ ， ２
建立等量关系是突破口 注意到 ＡＦ ＢＦ 为焦半径 因此应 设知 ｐ 即 ｐ 所以焦点坐标为 ．故选 ．
， ｜ ｜、｜ ｜ ， － ＝－１， ＝１， （１，０） Ｂ
利用焦半径公式求解．又Ａ Ｂ为两曲线的交点 因此应联立它 ２ ２
、 ，
们的方程求解．这样利用ｙ
１＋
ｙ
２
这个整体来建立等量关系便可 ４．（２０１４安徽文，３，５分）抛物线ｙ
＝
１ ｘ２ 的准线方程是
（ ）
求解． ４
ｙ ｙ
９．（２０１２陕西理，１３，５ 分）如图是抛物线形拱桥 当水面在 ｌ Ａ． ＝－１ Ｂ． ＝－２
， ｘ ｘ
时 拱顶离水面 米 水面宽 米．水位下降 米后 水面宽 Ｃ． ＝－１ Ｄ． ＝－２
， ２ ， ４ １ ，
米． 答案 Ａ 由ｙ １ ｘ２ 得ｘ２ ｙ 焦点在ｙ轴正半轴上 且 ｐ
＝ ＝４ ， ， ２
４
ｐ
即ｐ 因此准线方程为ｙ ．故选 ．
＝４， ＝２， ＝－ ＝－１ Ａ
２
５．（２０１３四川文，５，５分）抛物线ｙ２ ｘ的焦点到直线ｘ ｙ
＝８ － ３ ＝
的距离是
０ （ ）
答案
Ａ．２ ３ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ．１
解析 ２ 建立 ６ 坐标系如图所示． 答案 Ｄ 由抛物线方程知 ２ ｐ ＝８⇒ ｐ ＝４， 故焦点Ｆ （２，０）， 由
点到直线的距离公式知 Ｆ 到直线 ｘ ｙ 的距离 ｄ
， － ３ ＝０ ＝
｜２－ ３×０｜ ．故选 ．
＝１ Ｄ
１＋３
评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式，考
查运算求解能力．
６．（２０１２课标理，８，５分）等轴双曲线Ｃ的中心在原点 焦点在ｘ
则抛物线方程为ｘ２ ｐｙ． ，
点Ａ 在抛物
＝－
线
２
上 ｐ 即抛物线方程为ｘ２ ｙ．
轴上
，
Ｃ与抛物线ｙ２
＝１６
ｘ的准线交于Ａ
，
Ｂ两点
，｜
ＡＢ
｜＝４ ３，
∵ （２，－２） ，∴ ＝１， ＝－２ 则Ｃ的实轴长为
当ｙ 时 ｘ ． （ ）
＝－３ ， ＝± ６
水位下降 米后 水面宽为 米． Ａ． ２ Ｂ．２ ２ Ｃ．４ Ｄ．８
∴ １ ， ２ ６ 答案 Ｃ 如图 ＡＢ为抛物线ｙ２ ｘ的准线
评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用．坐标运算是解 ， ＝１６ ，
由题意可得Ａ ．
题的关键． （－４，２ ３）
设双曲线Ｃ的方程为ｘ２ ｙ２ ａ２ ａ 则有 ａ２ 故ａ
－ ＝ （ ＞０）， １６－１２＝ ， ＝
考点二 抛物线的几何性质 双曲线的实轴长 ａ ．故选 ．
２，∴ ２ ＝４ Ｃ
１．（２０１６课标Ⅱ文，５，５分）设Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 曲
： ＝４ ，
ｋ
线ｙ ｋ 与Ｃ交于点Ｐ ＰＦ ｘ轴 则ｋ
＝ ｘ （ ＞０） ， ⊥ ， ＝ （ ）
１ ３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
２ ２
答案 Ｄ 由题意得点Ｐ的坐标为 ．把点Ｐ的坐标代
（１，２）
ｋ
入ｙ ｋ 得ｋ 故选 ．
＝ ｘ （ ＞０） ＝１×２＝２， Ｄ 评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识，考查了方程的
评析 利用垂直得到点Ｐ的坐标是求解的关键． 数学思想，要注意双曲线的实轴长为 ａ．
２
６６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
７．（２０１８北京文，１０，５分）已知直线ｌ过点 且垂直于ｘ轴． 则 ＡＦ ＡＡ ＢＦ ＢＢ 过点 Ｆ 向 ＡＡ 引垂线 ＦＧ 得
（１，０） ｜ ｜＝｜ １｜，｜ ｜ ＝｜ １｜， １ ，
若ｌ被抛物线ｙ２ ａｘ截得的线段长为 则抛物线的焦点坐标 ＡＧ ＡＦ ｐ
＝４ ４， ｜ ｜ ｜ ｜－ θ
为 ． ＡＦ ＝ ＡＦ ＝ｃｏｓ ，
｜ ｜ ｜ ｜
答案 ｐ ｐ
（１，０） 则 ＡＦ 同理 ＢＦ
解析 本题主要考查抛物线的性质 弦长的计算． ｜ ｜＝
１－ｃｏｓ
θ， ，｜ ｜＝
１＋ｃｏｓ
θ，
，
由题意得ａ 设直线ｌ与抛物线的两交点分别为Ａ Ｂ 则 ＡＢ ＡＦ ＢＦ ２ ｐ 即 ＡＢ ４
＞０， ， ， ｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝ ２θ， ｜ ｜＝ ２θ，
不妨令Ａ在Ｂ的上方 则Ａ ａ Ｂ ａ ｓｉｎ ｓｉｎ
， （１，２ ）， （１，－２ ），
故 ｜ ＡＢ ｜＝４ ａ ＝４， 得ａ ＝１， 因ｌ １ 与ｌ ２ 垂直 ， 故直线ＤＥ的倾斜角为θ ＋ π或θ － π ，
２ ２
故抛物线方程为ｙ２ ｘ 其焦点坐标为 ．
＝４ ， （１，０） 则 ＤＥ ４ 则 ＡＢ ＤＥ ４ ４ ４
８．（２０１７天津文，１２，５分）设抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点为Ｆ
，
准线为 ｜ ｜ ＝
ｃｏｓ
２θ， ｜ ｜＋｜ ｜ ＝
ｓｉｎ
２θ＋
ｃｏｓ
２θ＝
ｓｉｎ
２θ
ｃｏｓ
２θ＝
ｌ．已知点Ｃ在ｌ上 以Ｃ为圆心的圆与ｙ轴的正半轴相切于点
， ４ １６
Ａ．若 ∠ ＦＡＣ ＝１２０ ° ， 则圆的方程为 ． ( １ θ ) ２ ＝ ｓｉｎ ２ ２ θ，
答案 （ ｘ ＋１） ２ ＋（ ｙ － ３） ２ ＝１ ２ ｓｉｎ２
解析 本题主要考查抛物线的几何性质 圆的方程． 则易知 ＡＢ ＤＥ 的最小值为 ．故选 ．
， ｜ ｜＋｜ ｜ １６ Ａ
由抛物线的方程可知Ｆ 准线方程为ｘ 设点Ｃ 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径．
（１，０）， ＝－１， （－１，
ｔ ）， ｔ ＞０， 则圆Ｃ的方程为 （ ｘ ＋１） ２ ＋（ ｙ － ｔ ） ２ ＝１， 如图 ， 在抛物线ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 中 ， ＡＢ为焦点弦 ， 若ＡＦ与抛物
因为 ＦＡＣ ° ＣＡ ｙ轴
线对称轴的夹角为θ
∠ ＝１２０ ， ⊥ ， ，
所以 ＯＡＦ ° 在 ＡＯＦ中 ＯＦ
∠ ＝３０ ， △ ， ＝１，
所以ＯＡ 即ｔ
＝ ３， ＝ ３，
故圆Ｃ的方程为 ｘ ２ ｙ ２ ．
（ ＋１） ＋（ － ３） ＝１
ＡＥ ＡＦ ｐ
则在 ＦＥＡ中 θ ＥＡＦ ｜ ｜ ｜ ｜－
△ ，ｃｏｓ ＝ｃｏｓ∠ ＝ ＡＦ ＝ ＡＦ ，
｜ ｜ ｜ ｜
ｐ ｐ
则可得到焦半径 ＡＦ 同理 ＢＦ
｜ ｜＝ θ， ，｜ ｜＝ θ，
１－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法 根据题意 熟悉这种求抛物线焦半径的方法 对于求抛物线的焦点弦长
， ， ，
列出关于三个独立参数ａ ｂ ｒ 或Ｄ Ｅ Ｆ 的方程组 从而得到
， ， （ ， ， ） ， 焦点弦中的定值 如 １ １ ２ 等的帮助很大．
参数的值 写出圆的方程．若题中涉及直线与圆的位置关系或 ， ： ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ
， ｜ ｜ ｜ ｜
弦长 常把圆的方程设为标准形式 同时应考虑数形结合思想 ２．（２０１５四川理，１０，５分）设直线ｌ与抛物线ｙ２ ｘ相交于Ａ Ｂ
， ， ＝４ ，
的运用． 两点 与圆 ｘ ２ ｙ２ ｒ２ ｒ 相切于点Ｍ 且Ｍ为线段ＡＢ
， （ －５） ＋ ＝ （ ＞０） ，
９．（２０１４ 陕西文，１１，５ 分） 抛物线 ｙ２ ｘ 的准线方程 的中点．若这样的直线ｌ恰有 条 则ｒ的取值范围是
＝ ４ ４ ， （ ）
为 ．
Ａ．（１，３） Ｂ．（１，４） Ｃ．（２，３） Ｄ．（２，４）
答案 ｘ 答案 Ｄ 当直线ＡＢ的斜率不存在 且 ｒ 时 有两条满
＝－１ ， ０＜ ＜５ ，
解析 由抛物线方程知ｐ 故该抛物线的准线方程为ｘ 足题意的直线ｌ．
＝２， ＝
ｐ ．故填ｘ ． 当直线ＡＢ的斜率存在时 ， 由抛物线与圆的对称性知 ， ｋ ＡＢ＞０ 和
－ ＝－１ ＝－１ ｋ 时各有一条满足题意的直线ｌ．
２ ＡＢ＜０
设圆的圆心为Ｃ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｍ ｘ ｙ 则ｘ
考点三 直线和抛物线的位置关系
（５，０）， （ １， １）， （ ２， ２）， （ ０， ０）， ０＝
ｘ ｘ ｙ ｙ
１＋ ２ ｙ １＋ ２
１．（２０１７课标Ⅰ理，１０，５ 分）已知 Ｆ 为抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦 ， ０＝ ，
： ＝４ ２ ２
点 过Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ ｌ 直线ｌ 与Ｃ交于Ａ Ｂ两 ｙ ｙ ｙ ｙ
， １，２， １ ， ｋ ２－ １ ２－ １ ２ ．
点
，
直线ｌ
２
与Ｃ交于Ｄ
，
Ｅ两点
，
则
｜
ＡＢ
｜＋｜
ＤＥ
｜
的最小值为 ∴ ＡＢ＝ｘ
２－
ｘ
１
＝ｙ２
２
ｙ２
１
＝ｙ
０
－
（ ） ４ ４
ｙ
Ａ．１６ Ｂ．１４ Ｃ．１２ Ｄ．１０ ｋ ０ 且ｋ ｋ ｘ ．
答案 Ａ 如图所示 设直线ＡＢ的倾斜角为θ 过Ａ Ｂ分别 ∵ ＣＭ＝ｘ ， ＡＢ ＣＭ＝－１，∴ ０＝３
， ， ， ０－５
作准线的垂线 垂足为Ａ Ｂ ｒ２ ２ ｙ２ ｙ 即ｒ ．
， １， １， ∴ ＝（３－５） ＋ ０＞４（∵ ０≠０）， ＞２
另一方面 由ＡＢ的中点为Ｍ知Ｂ ｘ ｙ ｙ
， （６－ １，２ ０－ １），
点Ｂ Ａ在抛物线上 ｙ ｙ ２ ｘ
∵ ， ，∴ （２ ０－ １） ＝４（６－ １），①
ｙ２ ｘ
１＝４ １，②
由 得ｙ２ ｙ ｙ ｙ２
①，② １－２ ０ １＋２ ０－１２＝０，
Δ ｙ２ ｙ２ ｙ２ ．
∵ ＝４ ０－４（２ ０－１２）＞０，∴ ０＜１２
ｒ２ ２ ｙ２ ｙ２ ｒ ．
∴ ＝（３－５） ＋ ０＝４＋ ０＜１６，∴ ＜４
综上 ｒ 故选 ．
， ∈（２，４）， Ｄ
专题九 圆锥曲线 ６６３
３．（２０１４课标Ⅱ文，１０，５分）设Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点
： ＝３ ，
过Ｆ且倾斜角为 °的直线交Ｃ于Ａ Ｂ两点 则 ＡＢ
３０ ， ， ｜ ｜＝
（ ）
． ３０ ． ． ．
Ａ Ｂ６ Ｃ１２ Ｄ７ ３
３
( )
答案 Ｃ 焦点Ｆ的坐标为 ３ 直线ＡＢ的斜率为 ３
，０ ， ，
４ ３
( )
所以直线ＡＢ的方程为ｙ ３ ｘ ３
＝ － ，
３ ４ 疑难突破 运用转化思想 采用 设而不求 的方法来解决直
， “ ”
线与抛物线的相交问题．
５．（２０１３浙江理，１５，４分）设Ｆ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 过
： ＝４ ，
点Ｐ 的直线ｌ交抛物线Ｃ于Ａ Ｂ两点 点Ｑ为线段ＡＢ
（－１，０） ， ，
的中点．若 ＦＱ 则直线ｌ的斜率等于 ．
｜ ｜＝２，
答案
±１
解析 设直线ＡＢ方程为ｘ ｍｙ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 联
＝ －１， （ １， １）， （ ２， ２），
即ｙ ３ｘ ３ 代入ｙ２ ｘ 得 １ ｘ２ ７ ｘ ３
立直线和抛物线方程
，
整理得
，
ｙ２
－４
ｍｙ
＋４＝０，
由根与系数关系
＝
３
－
４
， ＝３ ，
３
－
２
＋
１６
＝０， 得ｙ
１＋
ｙ
２＝４
ｍ
，
ｙ
１·
ｙ
２＝４
．故 Ｑ
（２
ｍ２
－１，２
ｍ
）
．由
｜
ＦＱ
｜ ＝２
知
：
设Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２），
（２
ｍ
）
２
＋（２
ｍ２
－１－１）
２
＝２，
解得ｍ２
＝１
或ｍ２
＝０（
舍去
），
故直
则ｘ １＋ ｘ ２＝ ２
２
１ ，
线
的极
ｌ的
限
斜
情
率
况
等
．
于
±１（
此时直线ＡＢ与抛物线相切
，
为满足题意
）
所以 ｜ ＡＢ ｜＝ ｘ １＋ ｘ ２＋ ３ ＝ ２１ ＋ ３ ＝１２， 故选 Ｃ ． ６．（２０１７课标Ⅰ文，２０，１２分）设Ａ ， Ｂ为曲线Ｃ ： ｙ ＝ ｘ２ 上两点 ， Ａ
２ ２ ２
４
４．（２０１８课标Ⅲ理，１６，５分）已知点Ｍ 和抛物线Ｃ ｙ２ 与Ｂ的横坐标之和为 ．
（－１，１） ： ＝ ４
ｘ 过Ｃ 的焦点且斜率为 ｋ 的直线与 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点．若 求直线ＡＢ的斜率
４ ， ， （１） ；
ＡＭＢ ° 则ｋ ． 设Ｍ为曲线Ｃ上一点 Ｃ在Ｍ处的切线与直线ＡＢ平行
∠ ＝９０ ， ＝ （２） ， ，
答案 且ＡＭ ＢＭ 求直线ＡＢ的方程．
２ ⊥ ，
解析 本题考查抛物线的几何性质及应用． 解析 本题考查直线与抛物线的位置关系．
解法一 由题意可知 Ｃ 的焦点坐标为 所以过焦点 ｘ２ ｘ２
： （１，０）， （１， 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则 ｘ ｘ ｙ １ ｙ ２ ｘ ｘ
ｙ æｙ ö （１） （ １， １）， （ ２， ２）， １≠ ２， １＝ ， ２＝ ， １＋ ２
斜率为 ｋ 的直线方程为 ｘ 设 Ａç １ ｙ ÷ ４ ４
０）， ＝ ｋ ＋１， è ｋ ＋１， １ ø，
＝４，
{ ｙ ｙ ｙ ｘ ｘ
æｙ ö ｘ 于是直线ＡＢ的斜率ｋ １－ ２ １＋ ２ ．
Ｂç ２ ｙ ÷ 将直线方程与抛物线方程联立得 ＝ ｋ ＋１，整 ＝ｘ ｘ ＝ ＝１
è ｋ ＋１， ２ ø， １－ ２ ４
ｙ２ ｘ ｘ２ ｘ
＝４ ， 由ｙ 得ｙ′
（２） ＝ ， ＝ ，
理得ｙ２ ４ ｙ 从而得ｙ ｙ ４ ｙ ｙ ． ４ ２
－ ｋ －４＝０， １＋ ２＝ ｋ ， １· ２＝－４ ｘ
设Ｍ ｘ ｙ 由题设知 ３
æｙ ö （ ３， ３）， ＝１，
∵ Ｍ （－１，１），∠ ＡＭＢ ＝ ９０ ° ，∴ Ｍ→Ａ · Ｍ→Ｂ ＝ ０， 即 è ç ｋ １ ＋２ø ÷ · 解得ｘ 于是Ｍ ２ ．
３＝２， （２，１）
æ è ç ｙ ｋ ２ ＋２ ö ø ÷ ＋（ ｙ １－１）（ ｙ ２－１）＝０， 即ｋ２ －４ ｋ ＋４＝０， 解得ｋ ＝２ ． 设 故 直 线 线 段 Ａ Ａ Ｂ Ｂ 的 的 方 中 程 点 为 为 ｙ Ｎ ＝ （ ｘ ２ ＋ ，２ ｍ ＋ ， ｍ ），｜ ＭＮ ｜＝｜ ｍ ＋１｜ ．
解法二 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则
{ｙ２
１＝４
ｘ
１，①
将ｙ
＝
ｘ
＋
ｍ代入ｙ
＝
ｘ２ 得ｘ２
－４
ｘ
－４
ｍ
＝０
．
： （ １， １）， （ ２， ２）， ｙ２ ｘ ４
２＝４ ２，② 当Δ ｍ 即ｍ 时 ｘ ｍ ．
ｙ ｙ ＝１６（ ＋１）＞０， ＞－１ ， １，２＝２±２ ＋１
② 设 － Ａ ① Ｂ 得 的中 ｙ２ ２ 点 － ｙ 为 ２ １＝ Ｍ ４（ ′ ｘ 连 ２－ 接 ｘ １） Ｍ ， 从 Ｍ′ 而 ． ｋ ＝ｘ ２ ２ － － ｘ １ １ ＝ｙ １＋ ４ ｙ ２ ． 从 由 而 题设 ｜ Ａ 知 Ｂ ｜ ｜ ＝ ＡＢ ２ ｜＝ ｜ ｘ ２ １－ ｜ Ｍ ｘ ２ Ｎ ｜ ｜ ＝ ， ４ ２（ ｍ ＋１） ．
，
∵
直线ＡＢ过抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点
，
即
４ ２（
ｍ
＋１）＝２（
ｍ
＋１），
解得ｍ
＝７
．
以线段ＡＢ为直径的 Ｍ′与准线ｌ ｘ 相切． 所以直线ＡＢ的方程为ｙ ｘ ．
∴ ☉ ： ＝－１ ＝ ＋７
Ｍ ＡＭＢ ° 方法总结 直线与抛物线的位置关系
∵ （－１，１），∠ ＝９０ ， （１）
点Ｍ在准线ｌ ｘ 上 同时在 Ｍ′上 点差法 在已知 ｘ ｘ 或 ｙ ｙ 的值 求直线ｌ的斜率时 利
∴ ： ＝－１ ， ☉ ， ： “ １＋ ２” “ １＋ ２” ， ，
准线ｌ是 Ｍ′的切线 切点为Ｍ 且Ｍ′Ｍ ｌ 用点差法计算 在很大程度上减少运算过程中的计算量．
∴ ☉ ， ， ⊥， ，
直线与圆锥曲线的位置关系
ｙ ｙ
即ＭＭ′与ｘ轴平行 点Ｍ′的纵坐标为 即 １＋ ２ ｙ ｙ （ 已 ２ 知 ） 直线与圆锥曲线相交 求参数时 一般联立直线与圆锥曲
，∴ １， ＝１⇒ １＋ ２＝２，
， ，
２
线的方程 消元后利用韦达定理 结合已知列方程求解参数．求
， ，
故ｋ ４ ４ ．
＝ｙ ｙ ＝ ＝２ 弦长时 可通过弦长公式 ＡＢ ｋ２ ｘ ｘ ｋ２
１＋ ２ ２ ， ｜ ｜ ＝ １＋ ｜ １－ ２｜ ＝ １＋ ·
６６４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
方程
（ ｘ １＋ ｘ ２） ２ －４ ｘ １ ｘ ２ 或 ｜ ＡＢ ｜ ＝ １＋ｋ １ ２ ｜ ｙ １－ ｙ ２ ｜ ＝ １＋ｋ １ ２ · （２） 若Ａ ， ； Ｂ ， Ｆ三点在同一直线ｍ上 ， 直线ｎ与ｍ平行 ， 且ｎ与
Ｃ只有一个公共点 求坐标原点到ｍ ｎ距离的比值．
ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｋ 求解． ， ，
（ １＋ ２） －４ １ ２（ ≠０） 解析 由已知可得 ＢＦＤ 为等腰直角三角形 ＢＤ
７．（２０１６课标Ⅰ文，２０，１２分）在直角坐标系ｘＯｙ中 直线ｌ ｙ ｔ （１） △ ，｜ ｜ ＝
， ： ＝
（
ｔ
≠０）
交ｙ轴于点Ｍ
，
交抛物线Ｃ
：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
于点Ｐ
，
Ｍ关
２
ｐ
，
圆Ｆ的半径
｜
ＦＡ
｜＝ ２
ｐ．
于点Ｐ的对称点为Ｎ 连接ＯＮ并延长交Ｃ于点Ｈ． 由抛物线定义可知Ａ到ｌ的距离ｄ ＦＡ ｐ．
， ＝｜ ｜＝ ２
ＯＨ
求｜ ｜ 因为 ＡＢＤ的面积为 所以 １ ＢＤ ｄ 即 １ ｐ
（１） ＯＮ ； △ ４ ２， ｜ ｜· ＝４ ２， ·２ ·
｜ ｜ ２ ２
除Ｈ以外 直线ＭＨ与Ｃ是否有其他公共点 说明理由． ｐ 解得ｐ 舍去 或ｐ ．
（２） ， ？ ２ ＝４ ２， ＝－２（ ） ＝２
解析 由已知得Ｍ ｔ Ｐ ( ｔ２ ｔ ) ． 分 所以Ｆ （０，１）， 圆Ｆ的方程为ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝８ ．
（１） （０，）， ｐ， （１ ） 因为Ａ Ｂ Ｆ三点在同一直线ｍ上
２
又Ｎ为Ｍ关于点Ｐ的对称点 ， 故Ｎ ( ｔ ｐ ２ ， ｔ ) ， ＯＮ的方程为ｙ ＝ （ 所 ２ 以 ） ＡＢ为 ， 圆 ， Ｆ的直径 ，∠ ＡＤＢ ＝９０ °． ，
由抛物线定义知 ＡＤ ＦＡ １ ＡＢ
ｐ
ｔ
ｘ
，
代入ｙ２
＝２
ｐｘ整理得ｐｘ２
－２
ｔ２ｘ
＝０，
解得ｘ
１＝０，
ｘ
２＝
２
ｐ
ｔ２ ． ｜ ｜＝｜ ｜＝
２
｜ ｜，
因此Ｈ
(
２
ｔ２
ｔ
)
． 分
所以
∠
ＡＢＤ
＝３０
°
，
ｍ的斜率为 ３或
－
３．
ｐ ，２ （４ ） ３ ３
所以Ｎ为ＯＨ的中点 即｜
ＯＨ
｜ ． 分
当ｍ的斜率为 ３时
，
由已知可设ｎ
：
ｙ
＝
３ｘ
＋
ｂ
，
代入ｘ２
＝２
ｐｙ得
， ＯＮ ＝２ （６ ） ３ ３
｜ ｜
直线ＭＨ与Ｃ除Ｈ以外没有其他公共点． 分
（２） （７ ） ｘ２ ２ ３ｐｘ ｐｂ ．
理由如下
－ －２ ＝０
３
：
直线ＭＨ的方程为ｙ ｔ ｐ ｘ 即ｘ ２ ｔ ｙ ｔ ． 分 由于ｎ与Ｃ只有一个公共点 ， 故Δ ＝ ４ ｐ２ ＋８ ｐｂ ＝０，
－ ＝ ｔ ， ＝ ｐ （ －） （９ ） ３
２
代入ｙ２ ｐｘ得ｙ２ ｔｙ ｔ２ 解得ｙ ｙ ｔ 即直线ＭＨ与 解得ｂ ｐ ．
＝２ －４ ＋４ ＝０， １＝ ２＝２， ＝－
Ｃ只有一个公共点 所以除Ｈ以外直线ＭＨ与Ｃ没有其他公共 ６
点． ， 分 因为ｍ的截距ｂ ｐ ｜ ｂ １｜ 所以坐标原点到ｍ ｎ距离的
方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直
（
线
１２
方程
） １＝
２
，
｜
ｂ
｜
＝３， ，
比值为 ．
与抛物线方程组成的方程组的解的问题． ３
评
能
析
力 ．得
本
到
题
交
考
点
查
的
了
坐
直
标
线
是
与
求
抛
解
物
的
线
关
的
键
位
．
置关系，考查了运算求解
当ｍ的斜率为
－ ３
３时
，
由图形的对称性可知
，
坐标原点到ｍ
，
ｎ
８．（２０１２课标理，２０，１２分）设抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ 的焦点 距离的比值也为 ３ ．
： ＝２ （ ＞０） 评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系，考查了分类讨
为Ｆ 准线为ｌ．Ａ为Ｃ上一点 已知以Ｆ为圆心 ＦＡ为半径的圆
Ｆ交
，
ｌ于Ｂ Ｄ两点．
， ， 论的方法和数形结合的思想．
，
若 ＢＦＤ ° ＡＢＤ的面积为 求ｐ的值及圆Ｆ的
（１） ∠ ＝９０ ，△ ４ ２，
时间： 分钟 分值： 分
９０ １１０
一、单项选择题 每题 分 共 分 一点 Ｆ为Ｃ的焦点 若 ＰＦ 则 ＯＰＦ的面积为
（ ５ ， ４５ ） ， ， ｜ ｜＝４， △ （ ）
ｙ２ ｘ２
１．（２０２１届皖南八校摸底联考，３）已知双曲线 ａ２ －ｂ２ ＝１（ ａ ＞０， ｂ Ａ． 答 ３ 案 Ａ Ｂ．３ Ｃ．２ ３ Ｄ．４
的两条渐近线互相垂直 且焦距为 则抛物线ｙ２ ｂｘ ４．（２０２１届河南新高三学期初第一次摸底考试，４）已知直线ｌ ｘ
＞０） ， ２ ６， ＝２ ：
的准线方程为
（ ） － ｙ － ｍ ＝０ 经过抛物线Ｃ ： ｙ２ ＝２ ｐｘ （ ｐ ＞０） 的焦点 ， ｌ与Ｃ交于Ａ 、 Ｂ
两点 若 ＡＢ 则ｐ的值为
ｘ ｘ ３ ， ｜ ｜＝６， （ ）
Ａ． ＝－ ３ Ｂ． ＝－
２
１ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．１ Ｄ．２
ｙ ｙ ３ ２ ２
Ｃ． ＝－ ３ Ｄ． ＝－ 答案 Ｂ
２
答案 Ｂ
２．（２０２１ 届湖北武汉部分学校９月起点质量检测，６）过抛物线 ５．（２０２０湖南长沙长郡中学月考，１２）已知双曲线 ａ
ｘ２
２ － ｙ２ ＝１（ ａ ＞
Ｅ ｙ２ ｘ焦点的直线交Ｅ于Ａ Ｂ两点 线段ＡＢ的中点Ｍ到ｙ
： ＝２ ， ，
轴的距离为 则 ＡＢ 的离心率为２ ３ 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点与双曲线的右
１， ｜ ｜＝ （ ） ０） ， ＝２ （ ＞０）
３
５
Ａ．２ Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．４ 焦点Ｆ重合 其准线与双曲线交于点Ｍ Ｎ ｙ Ｍ→Ｆ Ｆ→Ｑ
２ ， ， （ Ｍ＞０）， ＝２ ，
答案 Ｃ 点Ｒ在ｘ轴上．若 ＲＮ ＲＱ 最大 则点Ｒ的坐标为
｜ ｜－｜ ｜ ， （ ）
３．（２０２１届江苏启东中学检测，２）已知Ｐ为抛物线Ｃ ｙ２ ｘ上
： ＝４ Ａ．（６，０） Ｂ．（８，０） Ｃ．（９，０） Ｄ．（１０，０）
专题九 圆锥曲线 ６６５
答案 Ｄ １２．（２０２１届广东湛江高中毕业班调研测试，１６）已知Ｆ为抛物
６．（２０２０湖南益阳、湘潭９月质检，１０）抛物线ｙ２ ｘ的焦点为 线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点 过点Ｆ的直线ｌ与抛物线Ｃ交于Ａ Ｂ两
＝４ ： ＝４ ， ，
Ｆ 准线与ｘ轴的交点为Ｍ 点Ｑ在抛物线上 且 ＭＱＦ ° 点 与抛物线Ｃ的准线交于点Ｄ 若Ｆ是ＡＤ的中点 则 ＦＢ
， ， ， ∠ ＝９０ ， ， ， ， ｜ ｜
则以ＭＱ为直径的圆的面积等于 ．
（ ） ＝
５－１ ５＋１ 答案 ４
Ａ． π Ｂ． π
２ ２ ３
１３．（２０２１届广东深圳实验学校１１月月考，９）已知直线ｙ ｘ
＝２ －
Ｃ．（２ ５－２）π Ｄ．（２ ５＋２）π
答案 Ａ 与抛物线ｙ２ ｘ交于Ａ Ｂ两点 抛物线的焦点为Ｆ 则→ＦＡ
２ ＝８ ， ， ， ·
７．（２０１９安徽蚌埠二模，１１）已知Ｆ为抛物线ｙ２
＝４
ｘ的焦点
，
Ｏ Ｆ→Ｂ的值为 ．
为原点 点Ｐ是抛物线准线上一动点 若点Ａ在抛物线上 且 答案
， ， ， －１１
ＡＦ 则 ＰＡ ＰＯ 的最小值为 １４．（２０２１届山东青岛期初调研，１５）已知直线ｌ ｙ ｋ ｘ 与抛
｜ ｜＝５， ｜ ｜＋｜ ｜ （ ） ： ＝ （ －１）
物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 在第一象限的交点为Ａ ｌ过Ｃ的焦点
Ａ． ５ Ｂ．２ ５ ： ＝２ （ ＞０） ，
Ｆ ＡＦ 则抛物线的准线方程为 ｋ ．
Ｃ． １３ Ｄ．２ １３ ，｜ ｜＝３， ； ＝
答案 Ｄ 答案 ｘ
＝－１；２ ２
８．（２０２１届湖南长沙长郡中学１１月第三次月考，８）如图 过抛 １５．（２０２１届广东茂名五校联盟第一次联考，１５）设抛物线ｙ２
， ＝
物线ｙ２ ｘ的焦点Ｆ作直线ｌ交抛物线于Ａ Ｂ两点 点Ｍ是 ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 准线为ｌ 过焦点的直线交抛物
＝４ ， ， ２ （ ＞０） （１，０）， ，
线段ＡＢ的中点 过Ｍ作ｙ轴的垂线交抛物线于Ｐ点 记 ＡＢ 线于Ａ Ｂ两点 分别过Ａ Ｂ作ｌ的垂线 垂足为Ｃ Ｄ 若 ＡＦ
， ， ｜ ｜ ， ， ， ， ， ， ｜ ｜
λ ＦＰ 则 λ的值为 ＢＦ 则 ＡＢ ＣＤＦ的面积为 ．
＝ ｜ ｜， （ ） ＝４｜ ｜， ｜ ｜＝ ，△
答案 ２５
；５
４
四、解答题 共 分
（ ３５ ）
１６．（２０２１届广东东华高级中学第二次联考，２１）已知圆Ｍ ｘ
：（ －
２ ｙ２ １ 动圆Ｎ与圆Ｍ相外切 且与直线ｘ １ 相切．
１） ＋ ＝ ， ， ＝－
４ ２
求动圆圆心Ｎ的轨迹Ｃ的方程
（１） ；
( )
已知点Ｐ １ １ Ｑ 过点Ｐ的直线ｌ与曲线Ｃ
Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．６ Ｄ．８ （２） － ，－ ， （１，２），
答案 Ｂ ２ ２
交于两个不同的点Ａ Ｂ 与Ｑ点不重合 直线ＱＡ ＱＢ的
９．（２０１９福建福州３月联考，６）设抛物线ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 准 ， （ ）， ，
＝４ ， 斜率之和是不是定值 若是 求出该定值 若不是 说明
线为ｌ Ｐ为该抛物线上一点 ＰＡ ｌ Ａ为垂足 若直线ＡＦ的斜 ？ ， ； ，
， ， ⊥， ， 理由．
率为 则 ＰＡＦ的面积为
－ ３， △ （ ） １７．（２０２１届浙江杭州地区（含周边）重点中学期中，２１）如图
，
Ａ．２ ３ Ｂ．４ ３
点Ａ为椭圆Ｃ
１：
ｘ２
＋２
ｙ２
＝１
的左顶点
，
过Ａ的直线ｌ
１
交抛物线
Ｃ．８ Ｄ．８ ３
Ｃ
２：
ｙ２
＝２
ｐｘ
（
ｐ
＞０）
于Ｂ
，
Ｃ两点
，
点Ｃ是ＡＢ的中点．
答案 Ｂ 若点Ａ在抛物线Ｃ 的准线上 求抛物线Ｃ 的标准方程
（１） ２ ， ２ ；
二、多项选择题 共 分 若直线ｌ 过点Ｃ 且倾斜角和直线ｌ 的倾斜角互补 交椭
（ ５ ） （２） ２ ， １ ，
１０．（２０２０海南中学月考，１２）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｘ的焦点为Ｆ 圆Ｃ 于Ｍ Ｎ两点．
： ＝４ 、 １ ，
准线为ｌ 过点Ｆ的直线与抛物线交于两点Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ 证明 点Ｃ的横坐标是定值 并求出该定值
， （ １， １）， （ ２， （ｉ） ： ， ；
ｙ 点Ｐ在ｌ上的射影为Ｐ 则 当 ＢＭＮ的面积最大时 求ｐ的值．
２）， １， （ ） （ｉｉ） △ ，
若ｘ ｘ 则 ＰＱ
Ａ． １＋ ２＝６， ｜ ｜＝８
以ＰＱ为直径的圆与准线ｌ相切
Ｂ．
设Ｍ 则 ＰＭ ＰＰ
Ｃ． （０，１）， ｜ ｜＋｜ １｜≥ ２
过点Ｍ 与抛物线Ｃ有且仅有一个公共点的直线至多
Ｄ． （０，１）
有 条
２
答案 ＡＢＣ
三、填空题 每题 分 共 分 １８．（２０２１届浙江杭州学军中学期中，２１）已知抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ
（ ５ ， ２５ ） ： ＝２
１１．（２０２１届河南商丘、周口、驻马店部分学校联考，１５）已知Ｆ ｐ 的焦点为Ｆ 直线ｌ过点Ｆ且与Ｃ相交于Ａ Ｂ两点 当
（ ＞０） ， 、 ，
为抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 Ｐ ｍ 为Ｃ上一点 ｄ为
： ＝２ （ ＞０） ， （２， ） ， 直线ｌ的倾斜角为π时 ＡＢ ．
ｄ ，｜ ｜＝８
Ｐ到原点的距离 若 ８ 则ｐ ． ４
， ＰＦ ＝ ， ＝ 求Ｃ的方程
｜ ｜ ７ （１） ；
若ＡＢ的垂直平分线ｌ′与Ｃ相交于Ｍ Ｎ两点 且Ａ Ｍ Ｂ
答案 ５ 或 （２） 、 ， 、 、 、
３ Ｎ四点在同一圆上 求ｌ的方程．
４ ，
６６６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０２０四川天府名校１０月联考，７）若抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 答案
＝２ （ ≠０） ２；１
的准线为圆ｘ２ ｙ２ ｘ 的一条切线 则抛物线的方程为 ｐ
＋ ＋４ ＝０ ， 解析 抛物线ｙ２ ｐｘ的焦点为Ｆ ｐ ．
∵ ＝２ （１，０），∴ ＝１，∴ ＝２
（ ） ２
Ａ．
ｙ２
＝－１６
ｘ
Ｂ．
ｙ２
＝－８
ｘ
当ＡＢ与ｘ轴垂直时 ＡＦ ＢＦ 从而 １ １
Ｃ．
ｙ２
＝１６
ｘ
Ｄ．
ｙ２
＝８
ｘ ，｜ ｜＝｜ ｜＝２，
｜
ＡＦ
｜
＋
｜
ＢＦ
｜
＝１；
ｐ 当ＡＢ与ｘ轴不垂直时 设直线ＡＢ的斜率为ｋ ｋ Ａ ｘ
答案 Ｃ 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的准线为ｘ 且准线 ， （ ≠０）， （ １，
＝２ （ ≠０） ＝－ ， ｙ Ｂ ｘ ｙ
２ １）， （ ２， ２），
垂直于ｘ轴 圆ｘ２ ｙ２ ｘ 的垂直于ｘ轴的切线方程为ｘ 则直线ＡＢ的方程为ｙ ｋ ｘ
， ＋ ＋４ ＝０ ＝ ＝ （ －１），
ｐ {ｙ ｋ ｘ
－４
和ｘ
＝０，
又ｐ
≠０，∴
２
＝４，
即ｐ
＝８
．故抛物线的方程为ｙ２
＝
联立
ｙ２
＝
＝４
（
ｘ
，
－１），消去ｙ得ｋ２ｘ２
－（２
ｋ２
＋４）
ｘ
＋
ｋ２
＝０，
ｘ．故选 ． ｘ ｘ
２．若 动 １６ 动 点 点 Ｐ的 Ｐ Ｃ 与 轨 定 迹 点 是 Ｆ （１，１） 和直线ｌ ：３ ｘ ＋ ｙ －４＝０ 的距离相等 ， 则 则
ｘ
ｘ １ ｘ ２
ｘ
＝１， 从而 ｜ Ａ １ Ｆ ｜ ＋ ｜ Ｂ １ Ｆ ｜ ＝ｘ １ １ ＋１ ＋ｘ ２ １ ＋１ ＝ （ ｘ １ ２ ＋ ＋ １ １ ） ＋ （ ｘ １ ２ ＋ ＋ １ １） ＝
椭圆 双曲线 抛物线 直线 （ ） ｘ ｘ １＋ ｘ ２＋ ｘ ２ ＝１ ．
Ａ． 答案 Ｄ 因 Ｂ 为 ． 定点Ｆ Ｃ 在 ． 直线ｌ ｘ ｙ Ｄ． 上 所以到 １ ２＋ １＋ ２＋１
（１，１） ：３ ＋ －４＝０ ， 综上 １ １ ．
定点Ｆ的距离和到定直线ｌ的距离相等的点的轨迹是直线 就 ， ＡＦ ＋ ＢＦ ＝１
， ｜ ｜ ｜ ｜
是经过定点Ｆ与直线ｌ ｘ ｙ 垂直的直线．故选Ｄ． ６．（２０１７江苏六市联考，６）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 已知抛物
：３ ＋ －４＝０ ，
易错警示 定点Ｆ 不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛 线 ｙ２
＝ ４
ｘ 上一点 Ｐ 到焦点的距离为
３，
则点 Ｐ 的横坐
物线． 标是 ．
３．（２０１８重庆一模，６）已知抛物线Ｃ ｙ ｐｘ２ 经过点Ｍ 答案
： ＝２ （１，２）， ２
则该抛物线的焦点到准线的距离等于
（ ）
解析 设Ｐ
（
ｍ
，
ｎ
），
由ｙ２
＝４
ｘ得准线方程为ｘ
＝－１，
由抛物线
的定义得 ｍ 所以ｍ ．
１ １ １ １＋ ＝３， ＝２
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．１ ７．（２０１８江苏溧水高级中学高三期初模拟）已知点Ｆ为抛物线
８ ４ ２
答案 Ｂ 因为抛物线Ｃ ： ｙ ＝２ ｐｘ２ 经过点Ｍ （１，２）， ｙ２ ＝４ ｘ的焦点 ， 该抛物线上位于第一象限的点Ａ到其准线的距
所以 ２＝２ ｐ ×１ ２ ， 解得ｐ ＝１， 离为 则直线ＡＦ的斜率为 ．
５，
则抛物线的方程为ｙ ＝２ ｘ２ ， 即ｘ２ ＝ １ ｙ ， 答案 ４
２
( ) ３
其焦点坐标为
０，
１
，
准线方程为ｙ
＝－
１
，
解析 由抛物线定义得ｘ Ａ＋１＝５， 故ｘ Ａ＝４， 又点Ａ位于第一
８ ８
象限 因此ｙ 又Ｆ 从而ｋ ４－０ ４ ．
该抛物线的焦点到准线的距离等于 １ 故选 ． ， Ａ＝４， （１，０）， ＡＦ＝ ＝
∴ ， Ｂ ４－１ ３
４ ８．（２０１９江苏南通中学质检）已知点Ａ 在抛物线Ｃ ｙ２
４．（２０２０湖南张家界民族中学第二次月考，１６）已知直线ｙ ｘ （－２，３） ： ＝
＝２ ＋ ｐｘ ｐ 的准线上 记 Ｃ 的焦点为 Ｆ 则直线 ＡＦ 的斜率为
ｂ与抛物线ｘ２ ｙ相切于点Ａ Ｆ是抛物线的焦点 直线ＡＦ交 ２ （ ＞０） ， ，
＝４ ， ， ．
抛物线于另一点Ｂ 则 ＢＦ ．
， ｜ ｜＝
答案 ３
答案 ５ －
４
４ 解析 由已知 得准线方程为ｘ 所以Ｆ的坐标为 ．
{ｙ ｘ ｂ ， ＝－２， （２，０）
解析 联立
ｘ２
＝
＝
２
４
ｙ
＋
，
，消去ｙ得ｘ２
－８
ｘ
－４
ｂ
＝０， 又Ａ
（－２，３），
所以直线ＡＦ的斜率为 ３－０
＝－
３ ．
∵ 直线ｙ ＝２ ｘ ＋ ｂ与抛物线ｘ２ ＝４ ｙ相切 ， ９．（２０１８天津南开中学第三次月考，１ － ３ ２ ） － 已 ２ 知Ｍ ４ 为抛物线ｙ２
＝
∴ Δ ＝６４＋１６ ｂ ＝０，∴ ｂ ＝－４ ． ｐｘ ｐ 上的一点 若以Ｍ为圆心经过原点的圆与ｘ轴交于
由ｘ２ －８ ｘ ＋１６＝０， 得ｘ １＝ ｘ ２＝４，∴ Ａ （４，４）， 另 ２ 一 （ 点 ＞０）
（２， ０），
且 ， 与该抛物线的准线相切
，
则 ｐ 的
又
∵
Ｆ
（０，１），∴
直线ＡＦ的方程为ｙ
＝
３ ｘ
＋１，
与ｘ２
＝４
ｙ联立
，
值为 ．
４ 答案
消去ｙ得ｘ２
－３
ｘ
－４＝０，∴
ｘ
１＝４，
ｘ
２＝－１， 解析
４
Ｍ为抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 上的一点 以Ｍ为圆心
( ) ∵ ＝２ （ ＞０） ，
Ｂ １ 经过原点的圆与ｘ轴交于另一点 且与该抛物线的准线
∴ －１， ， （２，０），
４ 相切 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点坐标为 准线方
ｐ ，∴ ＝２ （ ＞０） （２，０），∴
ＢＦ ｙ １ ５ ． ｐ
∴ ｜ ｜＝ Ｂ＋ ＝ ＋１＝ 程为ｘ 可得 解得ｐ ．
２ ４ ４ ＝－２， ＝２， ＝４
５．（２０２０山东夏季高考模拟，１５）直线ｌ过抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ ２
： ＝２ （ ＞ １０．（２０１９江苏栟茶中学期中）顶点在原点 焦点在ｘ轴上的抛
，
０） 的焦点Ｆ （１，０）， 且与Ｃ交于Ａ ， Ｂ两点 ， 则ｐ ＝ ， ｜ Ａ １ Ｆ ｜ 物线截直线 ｙ ＝２ ｘ －４ 所得的弦长 ｜ ＡＢ ｜ ＝３ ５， 求此抛物线
方程．
１ ． 本题第一空 分 第二空 分
＋ ＢＦ ＝ （ ２ ， ３ ） 解析 设所求的抛物线方程为ｙ２ ａｘ ａ Ａ ｘ ｙ
｜ ｜ ＝ （ ≠０）， （ １， １），
专题九 圆锥曲线 ６６７
Ｂ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
把直线ｙ
＝２
ｘ
－４
代入ｙ２
＝
ａｘ
，
则由ｋ
·
ｋ
ＭＰ＝－１
得ｘ
０－４＝－２，
即ｘ
０＝２
．
得
４
ｘ２
－（
ａ
＋１６）
ｘ
＋１６＝０， （２）
设直线ＡＢ的方程为ｘ
＝
ｍ
（
ｙ
－
ｙ
０）＋２，
即ｘ
＝
ｍｙ
－
ｍｙ
０＋２，
其
由Δ ＝（ ａ ＋１６） ２ －２５６＞０， 得ａ ＞０ 或ａ ＜－３２ ． 中ｍ １ ｋ
＝ ｋ （ ≠０），
ａ
ｘ １＋ ｘ ２＝ ＋
４
１６ ， ｘ １ ｘ ２＝４， 与抛物线方程ｙ２ ＝４ ｘ联立得ｙ２ －４ ｍｙ ＋４ ｍｙ ０－８＝０，
所以 ＡＢ ２ ｘ ｘ ２ ｘ ｘ Δ ｍ２ ｍｙ ｙ ２ ｍ ｍ２
｜ ｜＝ （１＋２ ）［（ １＋ ２） －４ １ ２］ ∵ ＝１６ －４（４ ０－８）＞０， ０＝ ｋ ＝２ ，∴ ＜２，
[(ａ )
２
]
则ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ ｍｙ
＝ ５ ＋１６ －１６ ＝３ ５， １＋ ２＝４ ， １ ２＝４ ０－８，
４ ＡＢ ｍ２ ｙ ｙ ｍ２ ｍ２ ｍｙ
[(ａ )
２
] ∴ ｜ ｜＝ １＋ ｜ １－ ２｜＝ １＋ · １６ －１６ ０＋３２，
所以 ＋１６ ｍｙ
５ －１６ ＝４５， 而Ｐ到直线ＡＢ的距离ｄ ｜ ０＋２｜
所以ａ 或
４
ａ ．
＝ ｍ２
＋１
，
＝４ ＝－３６
故所求的抛物线方程为ｙ２
＝４
ｘ或ｙ２
＝－３６
ｘ．
∴
Ｓ
△ ＰＡＢ＝
１ ｄ
｜
ＡＢ
｜＝２｜
ｍｙ
０＋２｜
ｍ２
－
ｍｙ
０＋２
．
１１．（２０１９北京石景山期末，１８）已知抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ 经过点 ２
： ＝２ ｙ
Ｐ 其焦点为Ｆ．Ｍ为抛物线上除了原点外的任一点 过 又由于ｍ １ ０ 且ｍ２ ｋ２ １
（１，２）， ， ＝ ｋ ＝ ， ＜２，∴ ＞ ，
Ｍ的直线ｌ与ｘ轴 ｙ轴分别交于Ａ Ｂ． ２ ２
， ， ｋ２
（１）
求抛物线Ｃ的方程以及焦点坐标
； ∴
Ｓ
△ ＰＡＢ＝２（２
ｍ２
＋２） ２－
ｍ２
＝４（
ｍ２
＋１） ２－
ｍ２
＝
４（
ｋ２
＋１）
·
若 ＢＭＦ与 ＡＢＦ的面积相等 求证 直线ｌ是抛物线Ｃ
（２）
的
△
切线．
△ ， ：
２
ｋ２
－１ ｋ２ １ ．
解析 因为抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ经过点Ｐ
ｋ２ ， ＞
２
（１） ： ＝２ （１，２）， １３．（２０２０贵州六盘水期末）已知抛物线ｙ２ ｘ的焦点是椭圆
所以 ２ ｐ 解得ｐ ． ＝４
所以抛
２
物
＝２
线
，
Ｃ的方程
＝２
为ｙ２ ｘ 焦点Ｆ的坐标为 ． Ｃ
ｘ２ ｙ２
ａ ｂ 的右焦点 且椭圆的离心率ｅ ２．
证明 因为 ＢＭＦ 与
＝４
ＡＢ
，
Ｆ 的面积相等 Ａ
（１
Ｂ
，０）
Ｍ 三点
：ａ２ ＋ｂ２ ＝１（ ＞ ＞０） ， ＝
２
（２） ： △ △ ， 、 、 求椭圆Ｃ的标准方程
共线 （１） ；
， 直线ｌ与椭圆Ｃ交于不同的两点Ｐ Ｑ 且线段ＰＱ的中点
所以 ＢＭ ＡＢ 所以Ｂ为ＡＭ的中点． （２） ， ，
｜ ｜＝｜ ｜， ( )
设Ｍ ｘ ｙ ｘ ｙ 则Ａ ｘ ． 为Ｍ ｍ １ 直线ｌ′是线段ＰＱ的垂直平分线 若ｌ′与ｘ
（ ０， ０）（ ０ ０≠０）， （－ ０，０） ， ， ，
ｙ ２
所以直线ｌ的方程为ｙ ０ ｘ ｘ 轴交于点Ｎ ｎ 求ｎ的取值范围．
＝
２
ｘ
０
（ ＋ ０），
ｘ 解析 （１） 抛物
（
线
，０）
ｙ２
，
＝４ ｘ的焦点为 （１，０）， 所以椭圆Ｃ中ｃ
与抛物线ｙ２
＝４
ｘ联立
，
消去ｘ得ｙ２
－
８
ｙ
０ｙ
＋４
ｘ
０＝０，
＝１，
０ ｃ
Δ ＝ ６ ｙ ４ ２
ｘ２
０ －１６ ｘ ０＝ ６４ ｘ
ｘ２
０ －１６ ｘ ０＝０，
椭圆的离心率ｅ
＝ ａ ＝ ａ
１
＝ ２
２
，
解得ａ
＝ ２，
所以ｂ２
＝
ａ２
－
ｃ２
＝２
０ ４ ０ －１＝１，
所以直线ｌ是抛物线Ｃ的切线．
ｘ２
１２．（２０２０北京清华大学中学生标准学术能力１１ 月测试，２０）
所以椭圆Ｃ的标准方程为
＋
ｙ２
＝１
．
２
如图
，
斜率为ｋ的直线ｌ与抛物线ｙ２
＝４
ｘ交于Ａ
、
Ｂ两点
，
直线
由题意 将ｙ １ 代入椭圆方程得
ｘ２
１
ＰＭ垂直平分弦ＡＢ 且分别交ＡＢ ｘ轴于Ｍ Ｐ 已知Ｐ ． （２） ， ＝ ＋ ＝１，
， 、 、 ， （４，０） ２ ２ ４
求Ｍ点的横坐标
（１） ； 解得ｘ ６ 所以 ６ ｍ ６．
求 ＰＡＢ的面积 用ｋ表示 ． ＝± ， － ＜ ＜
（２） △ （ ） ２ ２ ２
当直线ｌ的斜率存在 且不为 时 设斜率为ｋ
① ， ０ ， ，
ì
ï
ｘ２
ï
１
＋
ｙ２
１＝１，
设Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 则í２
（ １， １）， （ ２， ２）， ïｘ２
î
ï ２
＋
ｙ２
２＝１，
２
ｘ２ ｘ２ ｙ ｙ ｙ ｙ
两式相减得 １－ ２ ｙ２ ｙ２ 即 １ １－ ２ １＋ ２
＝－（ １－ ２）， － ＝ｘ ｘ ·ｘ ｘ ，
２ ２ １－ ２ １＋ ２
１
ｙ ｙ ｙ ｙ ２× ｋ
解析 本题考查直线与抛物线的位置关系 通过直线与抛 因为 １－ ２ ｋ １＋ ２ ２ １ 所以 １
， ｘ ｘ ＝ ，ｘ ｘ ＝ ｍ ＝ ｍ， － ＝ ｍ，
物线的位置关系考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力 １－ ２ １＋ ２ ２ ２ ２ ２
，
体现数学运算的核心素养． 所以ｋ ｍ ｍ 则直线ｌ′的斜率为 １ １
＝－ （ ≠０）， － ｋ ＝ ｍ，
ｘ ｘ
（１） 设 Ａ （ ｘ １， ｙ １）， Ｂ （ ｘ ２， ｙ ２）， Ｍ （ ｘ ０， ｙ ０）， 则 ｘ ０ ＝ １＋ ２ ２ ， ｙ ０ ＝ 则直线ｌ′的方程为ｙ － １ ＝ ｍ １ （ ｘ － ｍ ）， 将ｙ ＝０ 代入 ， 可得 ０－ １
２ ２
ｙ ｙ ｍ ｍ (ｍ )
１＋ ２ 又ｙ２ ｘ ｙ２ ｘ １ ｘ ｍ 解得ｘ 即ｎ 所以Ｎ
， １＝４ １， ２＝４ ２， ＝ ｍ（ － ）， ＝ ， ＝ ， ，０ ，
２ ２ ２ ２
ｙ ｙ ｙ
ｋ １－ ２ ４ ２ 而ｋ ０ 因为 ６ ｍ ６且ｍ 所以 ６ ｎ ６且ｎ ．
∴ ＝ｘ ｘ ＝ｙ ｙ ＝ｙ ， ＭＰ＝ｘ ， － ＜ ＜ ≠０， － ＜ ＜ ≠０
１－ ２ １＋ ２ ０ ０－４ ２ ２ ４ ４
６６８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( ｐ ) ｐ
当直线ｌ的斜率为 时 直线ｌ的方程为ｙ １ 直线ｌ′的方 ＡＯ １ ＢＦ ＡＦ 而Ｆ ｘ
② ０ ， ＝ ， ∴ ｜ ｜＝ ｜ ｜＝｜ ｜， ，０ ，∴ Ａ＝ ，
２ ２ ２ ４
程为 当直 ｘ ＝ 线 ０， ｌ ｌ 的 ′与 斜 ｘ 率 轴 不 的 存 交 在 点 时 为 （ 设 ０， Ｐ ０）， ｘ 即 ｙ ｎ ＝０ Ｑ ． ｘ ｙ 可得ｙ ∴ ｙ２Ａ ＝ ２ ｐ · ｐ ＝ ｐ２ ， ｙ Ａ ＝ ± ２ ｐ ， ∴ Ａ æ è ç ｐ ，± ２ ｐö ø ÷ ， 而
③ ， （ １， １）， （ ２， ２）， １ ４ ２ ２ ４ ２
ｙ 不符合题意 舍去． ( ｐ )
＋ ２＝０， ， Ｈ
æ ö － ，０ ，
综上所述 ｎ的取值范围为ç ６ ６÷． ２
， è－ ， ø ｙ
４ ４ ｋ ｋ ０－ Ａ ２ ２．
１４．（２０２０浙江“七彩阳光”联盟期初联考，２１）过抛物线ｘ２ ｐｙ ∴ ＡＢ＝ ＡＨ＝ ｐ ＝±
＝２ ｘ ３
ｐ 外一点Ｐ作抛物线的两条切线 切点为Ｍ Ｎ Ｆ为抛物 － － Ａ
（ ＞０） ， ， ， ２
线的焦点 证明 Ａ为ＨＢ的中点 Ｏ是ＨＦ的中点
， ： （２）∵ ， ，
ＰＦ ２ ＭＦ ＮＦ
（
（
１
２
）
）∠
｜
ＰＭ
｜
Ｆ
＝
＝
｜
∠ ＦＰ
｜·
Ｎ．
｜ ｜；
∴
Ｓ
△ ＡＢＦ＝
Ｓ
△ ＡＨＦ＝２
Ｓ
△ ＡＨＯ＝２× ２
１
｜
ＯＨ
｜·｜
ｙ
Ａ｜＝ ４
２ｐ２
，
证明 本题考查抛物线方程及性质 考查学生数学运算的
能力和 数形结合的思想 考查了数学运 ； 算的核心素养．
∴
２ｐ２
＝ ２，∴
ｐ
＝２，∴
抛物线的方程为ｙ２
＝４
ｘ．
； ４
（１）
设Ｐ
（
ｘ
０，
ｙ
０），
Ｍ
（
ｘ
１，
ｙ
１），
Ｎ
（
ｘ
２，
ｙ
２），
１６．（２０１８辽宁锦州模拟，２１）已知抛物线Ｃ
：
ｘ２
＝４
ｙ的焦点为Ｆ
，
易求得切线ＰＭ ： ｘ １ ｘ ＝ ｐ （ ｙ ＋ ｙ １）， 切线ＰＮ ： ｘ ２ ｘ ＝ ｐ （ ｙ ＋ ｙ ２）， 直线ｌ ： ｙ ＝ ｋｘ ＋ ａ （ ａ ＞０） 与抛物线Ｃ交于Ａ ， Ｂ两点．
因为点Ｐ在两条切线上 ， 所以 ｘ １ ｘ ０＝ ｐ （ ｙ ０＋ ｙ １）， ｘ ２ ｘ ０＝ ｐ （ ｙ ０＋ （１） 若直线ｌ过焦点Ｆ ， 且与圆ｘ２ ＋（ ｙ －１） ２ ＝１ 交于Ｄ ， Ｅ （ 其中
ｙ ． Ａ Ｄ在ｙ轴同侧 求证 ＡＤ ＢＥ 是定值
２）
， ）， ：｜ ｜·｜ ｜ ；
故 联 点 立 { Ｍ ｘｘ 、 ０ Ｎ ＝ 均 ｐ （ 在 ｙ ＋ 直 ｙ ０ 线 ）， ｘｘ ０ ｙ ＝ ２ ｐ （ æ ç ｙ ｙ ＋ ｙ ０） ｘ 上 ２ ０ ö ÷ ， ｙ 于 ｙ 是 ２ ｌ ＭＮ： ｘｘ ０＝ ｐ （ ｙ ＋ ｙ ０）， （２） 是 设 否 抛 存 物 在 线 点 Ｃ在 Ｑ ， Ａ 使 和 得 Ｂ 四 点 边 处 形 的 ＡＰ 切 Ｂ 线 Ｑ 交 为 于 菱 点 形 ？ Ｐ ， 若 试 存 问 在 ： ｙ ， 请 轴上 说
ｘ２ ｐｙ ⇒ ＋２è ０－ ｐ ø ＋ ０＝０， 明理由 并求此时直线ｌ的斜率和点Ｑ的坐标．
＝２ ，
由根与系数的关系得ｙ ｙ
æ
ç
ｘ２
０ ｙ
ö
÷ ｙ ｙ ｙ２
解析 抛物线Ｃ
：
ｘ２
＝４
ｙ的焦点为Ｆ
（０，１），
１＋ ２＝２è ｐ － ０ ø， １ ２＝ ０， 设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ
（ １， １）， （ ２， ２），
又 ＭＦ ｙ
ｐ
ＮＦ ｙ
ｐ 联立ｘ２
＝４
ｙ与ｙ
＝
ｋｘ
＋
ａ
，
得ｘ２
－４
ｋｘ
－４
ａ
＝０，
所以 ｜ ｜ Ｍ ｜ Ｆ ＝ ｜· １＋ ｜ Ｎ ２ Ｆ ， ｜ ｜ ＝ ｙ １ ｜ ｙ ＝ ２＋ ２ ２ ｐ ＋ （ ２ ｙ ， １＋ ｙ ２）＋ ｐ ４ ２ ＝ ｙ２ ０＋ ｘ２ ０－ ｐｙ ０＋ ｐ ４ ２ ＝ ｘ２ ０ 则 （ 则 １） Δ ｘ 证 ＝ 明 １ ｘ ６ ： （ 若 ｋ２ ｋ ＋ 直 ａ ｘ 线 ）＞ ｌ ０ ｘ 过 ， 且 焦 ｘ 点 １ ． ＋ ｘ Ｆ ２ ， ＝ 则 ４ ｋ ａ ， ＝ ｘ １ １ · ， ｘ ２＝－４ ａ．
＋
( ｙ
０－
ｐ ) ２
＝｜
ＰＦ
｜
２． 由条 １ 件 ＋ 可 ２＝ 知 ４ 圆 ， ｘ １· ２
＋（
２ ｙ ＝
－
－
１）
４ ２
＝１
的圆心为Ｆ
（０，１），
半径为
１，
２ 由抛物线的定义有 ＡＦ ｙ ＢＦ ｙ
( ｐ ) ( ｐ ) ｜ ｜＝ １＋１，｜ ｜＝ ２＋１，
由 Ｆ→Ｐ ｘ ｙ Ｆ→Ｍ ｘ ｙ Ｆ→Ｎ 则 ＡＤ ＡＦ ｙ ＢＥ ＢＦ ｙ ＡＤ ＢＥ ｙ ｙ
（２） ＝ ０， ０－ ， ＝ １， １－ ， ＝ ｜ ｜＝｜ ｜－１＝ １，｜ ｜＝｜ ｜－１＝ ２，｜ ｜·｜ ｜＝ １ ２
( ｘ
２，
ｙ
２－ ２
ｐ )
，
知 Ｆ→Ｐ
·
Ｆ→Ｍ ２
＝
ｘ
０
ｘ
１＋
( ｙ
０－ ２
ｐ )( ｙ
１－
２
２
ｐ )
＝
ｘ
０
ｘ
１＋ æ ç
＝
或
（ ｋｘ
Ａ
１
Ｄ
＋１）（ ｋ
Ｂ
ｘ
Ｅ
２＋１）
ｙ
＝
ｙ
ｋ２ｘ １
ｘ
ｘ
２ １
２＋ ｋ （
ｘ
ｘ
２ ２
１＋
（
ｘ ２
ｘ
）
１ ｘ
＋
２
１
）
＝
２
－４
（
ｋ
－
２
４
＋
）
４
２
ｋ２ ＋１
ö ÷
＝１，
ｙ ｙ
ｐ
ｙ ｙ
ｐ２
ｙ ｙ
ｐ
ｙ ｙ
ｐ２ è ｜ ｜·｜ ｜＝ １ ２＝
４
·
４
＝
１６
＝
１６
＝１ø
０ １－ ２ （ ０ ＋ １） ＋ ４ ＝ ０ １ ＋ ２ （ ０ ＋ １） ＋ ４ 即 ｜ ＡＤ ｜·｜ ＢＥ ｜ 为定值 ， 定值为 １ ．
( ｐ )( ｐ ) 当直线ｌ的斜率为 且Ｑ ａ 时 四边形ＡＰＢＱ为菱
ｙ ｙ ． （２） ０， （０，３ ） ，
＝ ０＋ １＋ 形．理由如下
２ ２ ：
ｐ
ｙ 设Ｑ ｙ 由ｘ２ ｙ有ｙ １ ｘ２ 则ｙ′ １ ｘ 若四边形ＡＰＢＱ
Ｆ→Ｐ Ｆ→Ｍ ０＋ （０， ０）， ＝４ ＝ ， ＝ ，
所以 ＰＦＭ · ２ ４ ２
ｃｏｓ∠ ＝ ｜ Ｆ→Ｐ ｜·｜ Ｆ→Ｍ ｜ ＝ ｜ ＦＰ ｜ ， 为菱形 ， 则ＡＱ ∥ ＢＰ ， ＢＱ ∥ ＡＰ ，
ｐ ｙ ｙ ｙ ｙ
ｙ 则ｋ １－ ０ １ ｘ ｋ ２－ ０ １ ｘ 即ｙ ｙ １ ｘ ｘ ｙ
０＋ ＡＱ＝ ｘ ＝ ２， ＢＱ＝ ｘ ＝ １， １－ ０＝ １ ２， ２－
同理 ＰＦＮ ２ １ ２ ２ ２ ２
ｃｏｓ∠ ＝ ＦＰ ，
｜ ｜ ｙ １ ｘ ｘ 则ｙ ｙ ｋ
故 ＰＦＭ ＰＦＮ 所以 ＰＦＭ ＰＦＮ ０＝ １ ２， １＝ ２，∴ ＝０，
ｃｏｓ∠ ＝ｃｏｓ∠ ， ∠ ＝∠ ， ２
由 （１） 知 ｜ ＰＦ ｜ ２ ＝｜ ＭＦ ｜·｜ ＮＦ ｜， 此时直线ＡＢ ｙ ｋｘ ａ ａ 则ｙ １ ｘ ｘ ｙ １ ａ
所以 ＰＭＦ ＮＰＦ ： ＝ ＋ ＝ ， ０＝－ １ ２＋ １＝－ ·（－４ ）＋
△ ∽△ ， ２ ２
所以 ＰＭＦ ＦＰＮ． ａ ａ．所以Ｑ ａ ．
∠ ＝∠ ＝３ （０，３ ）
１５．（２０１７新疆乌鲁木齐二模，２０）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 抛
，
物线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 准线交ｘ轴于点Ｈ 过Ｈ作直
＝２ （ ＞０） ， ，
线ｌ交抛物线于Ａ Ｂ两点 且 ＢＦ ＡＦ ．
， ， ｜ ｜＝２｜ ｜
求直线ＡＢ的斜率
（１） ；
若 ＡＢＦ的面积为 求抛物线的方程．
（２） △ ２，
解析 设Ａ ｘ ｙ 过Ａ Ｂ两点作准线的垂线 垂足分
（１） （ Ａ， Ａ）， ， ，
别为Ａ Ｂ 易知 ＡＦ ＡＡ ＢＦ ＢＢ
１， １， ｜ ｜＝｜ １｜，｜ ｜＝｜ １｜，
ＢＦ ＡＦ ＢＢ ＡＡ Ａ为ＨＢ的中点
∵ ｜ ｜＝２｜ ｜，∴ ｜ １｜＝２｜ １｜，∴ ，
又Ｏ是ＨＦ的中点 ＡＯ是 ＢＨＦ的中位线 １７．（２０１９陕西西安中学高三期中，２０）已知动点Ｍ到点Ｆ
，∴ △ ， （１，
专题九 圆锥曲线 ６６９
的距离比Ｍ到定直线ｘ 的距离小 ． 即ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ
０） ＝－２ １ １ ２－２ １＋２ ２－４＋ １ ２－８ ２＝０①，
求点Ｍ的轨迹Ｃ的方程 同理 ｘ ｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ
（１） ； ， １ ２－２ ２＋２ １－４＋ １ ２－８ １＝０②，
过点Ｆ作两条互相垂直的直线ｌ ｌ 直线ｌ ｌ 分别交曲 得 ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ｙ ． 分
（２） １， ２， １， ２ ①＋② ２ １ ２－８＋２ １ ２－８（ １＋ ２）＝０ （１３ ）
线Ｃ于点Ａ
，
Ｂ和Ｍ
，
Ｎ．设线段ＡＢ
，
ＭＮ的中点分别为Ｐ
，
所以ｎ２
－８
ｎ
－６８＝０，
解得ｎ
＝４±２ ２１，
又因为ｎ
＞－８，
Ｑ 求证 直线ＰＱ恒过一个定点．
， ： 所以直线ＡＢ的方程为ｘ ｙ ． 分
解析 由题意可知动点Ｍ到定点Ｆ 的距离等于 －２ －４±２ ２１＝０ （１５ ）
（１） （１，０） １９．（２０１８浙江名校协作体联考，２１）已知抛物线Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ
Ｍ到定直线ｘ 的距离 根据抛物线的定义可知 点Ｍ的 ： ＝２ （ ＞
＝－１ ， ，
ｐ 且抛物线Ｃ在点Ｐ ｆ 处的切线斜率为 １ ．直线ｌ
轨迹Ｃ是抛物线 且 ０）， （１， （１））
， ＝１， ２
２ 与抛物线交于不同的两点Ａ Ｂ 且直线ＡＰ垂直于直线ＢＰ．
∴
抛物线方程为ｙ２
＝４
ｘ
， 求证 直线ｌ过定点 并求
，
出
，
定点坐标
即点Ｍ的轨迹Ｃ的方程为ｙ２
＝４
ｘ． （１）
直线
：
ＢＰ 交 ｙ 轴于
，
点 Ｍ 直线 ＡＰ
；
交 ｘ 轴于点 Ｎ 求
证明 设Ａ Ｂ两点的坐标分别为 ｘ ｙ ｘ ｙ （２） ， ，
（
则
２
点
）
Ｐ的
：
坐标
，
为 æ è ç ｘ １＋ ｘ ２ ， ｙ １＋ ｙ ２ ö ø ÷．
（ １， １），（ ２， ２），
｜ ｜ Ｍ
ＡＰ
Ｐ ｜ ｜ ｜ ｜
Ｂ
Ｎ
Ｐ
Ｐ ｜ ｜ 的最大值．
２ ２
由题意可设直线ｌ 的方程为ｙ ｋ ｘ ｋ
１ ＝ （ －１）（ ≠０），
{ｙ２ ｘ
由 ＝４ ， 得ｋ２ｘ２ ｋ２ ｘ ｋ２
ｙ ｋ ｘ －（２ ＋４） ＋ ＝０，
＝ （ －１），
Δ ｋ２ ２ ｋ４ ｋ２ ．
＝（２ ＋４） －４ ＝１６ ＋１６＞０
因为直线ｌ 与曲线Ｃ交于Ａ Ｂ两点 所以ｘ ｘ ４ ｙ
１ ， ， １＋ ２＝２＋ｋ２， １＋
æ ö
ｙ ２＝ ｋ （ ｘ １＋ ｘ ２－２）＝ ４ ｋ ， 所以点Ｐ的坐标为 è ç １＋ｋ ２ ２， ２ ｋ ø ÷． 解析 证明 ｙ ｘ２ ｙ′ １ ｘ．当ｘ 时 得 １ １ ｐ
（１） ： ＝ ｐ， ＝ ｐ ＝１ ， ｐ ＝ ，∴
２ ２
由题知
，
直线ｌ
２
的斜率为
－
１
ｋ ，
同理可得点 Ｑ 的坐标为
（１＋ ＝２
．
∴
抛物线的方程为ｘ２
＝４
ｙ．设Ａ
（２
ｔ
１，
ｔ２
１），
Ｂ
（２
ｔ
２，
ｔ２
２），∵
ＡＰ
２
ｋ２
，－２
ｋ
）， ( )
ｔ２
１－
１ ｔ２
２－
１
ＢＰ Ｐ １ ｋ ｋ ４ ４ ｔ ｔ １
当ｋ ≠±１ 时 ， 有 １＋ｋ ２ ２ ≠１＋２ ｋ２ ， 此时直线 ＰＱ 的斜率 ｋ ＰＱ＝ ⊥ ， １， ４ ，∴ ＡＰ· ＢＰ＝ ２ ｔ １－１ · ２ ｔ ２－１ ＝－１，∴ １ ２＋ ２
ｔ２ ｔ２ ｔ ｔ
ｔ ｔ １７ 又 ｋ １－ ２ １＋ ２ 直线ＡＢ的方
２
ｋ ＋２
ｋ
ｋ
（ １＋ ２）＋
４
＝０（∗）， ∵ ＡＢ＝
２
ｔ
１－２
ｔ
２
＝
２
，∴
１＋ｋ
２
２ －１－２
ｋ２ ＝ １－ ｋ２， 程为ｙ
－
ｔ２
１＝
ｔ １＋
２
ｔ ２
（
ｘ
－２
ｔ
１），
即
２
ｙ
＝（
ｔ
１＋
ｔ
２）
ｘ
－２
ｔ
１
ｔ
２，
将
（∗）
式代
所以
，
直线ＰＱ的方程为ｙ
＋２
ｋ
＝
１－
ｋ
ｋ２（
ｘ
－１－２
ｋ２
），
整理得ｙｋ２
＋
入直线ＡＢ的方程得
（
ｔ
１＋
ｔ
２）（
(
ｘ
＋１）＋
１
) ２
７
－２
ｙ
＝０，
令ｘ
＋１＝０，
１
２
７
（ ｘ －３） ｋ － ｙ ＝０ ． －２ ｙ ＝０， 解得直线ＡＢ过定点 －１， １７ ．
所以直线ＰＱ恒过定点 ． ４
（３，０）
当ｋ 时 直线ＰＱ的方程为ｘ 也过点 ． 设直线ＢＭ的方程为ｙ １ ｋ ｘ 不妨设ｋ
＝±１ ， ＝３， （３，０） （２） － ＝ （ －１）， ＞０，
所以直线ＰＱ恒过定点 ． ４
（３，０） {
１８．（２０１９浙江名校新高考研究联盟第一次联考，２１）已知抛物 ｙ １ ｋ ｘ
联立 － ＝ （ －１），得ｘ２ ｋｘ ｋ Δ ｋ２ ｋ
线ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ 点Ｍ 且 ＭＦ ． ４ －４ ＋４ －１＝０， ＝１６ －１６ ＋４＞
＝２ （ ＞０） ， （－２，８）， ｜ ｜＝４ ５ ｘ２ ｙ
求抛物线的方程 ＝４ ，
（１） ； 根据根与系数的关系得ｘ ｘ ｋ ｘ ｋ 由于ＡＰ
设Ａ Ｂ是抛物线上的两点 当 Ｆ 为 ＡＢＭ 的垂心时 求 ０， Ｂ＋ Ｐ＝４ ，∴ Ｂ＝４ －１， ⊥
（２） ， ， △ ， ｋ
直线ＡＢ的方程． ＢＰ
，
同理可得ｘ
Ａ＝－
４
ｋ －１，
又
∵
ｘ
Ｎ＝ ＋１，
ｘ
Ｍ＝０，∴ ｜
ＡＰ
｜｜
ＢＰ
｜
４
解析 （１） 由题意得 ｜ ＭＦ ｜＝ ( ２ ｐ ＋２ ) ２ ＋６４＝４ ５， ＝ １＋ｋ １ ２ ｜ ｘ Ｐ－ ｘ Ａ｜· ｋ２ ＋１ ｜ ｘ Ｂ－ ｘ Ｐ｜ ＝ １＋ ｋ ｋ２ · ( ２＋ ４ ｋ ) （４ ｋ －
解得ｐ
＝４， ｋ２ ｋ ｋ
所以抛物线的方程为ｙ２ ＝８ ｘ． （５ 分 ） ２）＝ ４（１＋ ）（２ ｋ２ －１）（ ＋２） ，｜ ＭＰ ｜｜ ＮＰ ｜ ＝ ｋ２ ＋１｜ ｘ Ｐ－ ｘ Ｍ｜·
设Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ ．
（２） （ １， １）， （ ２， ２） ｋ２ ＡＰ ＢＰ
因为Ｆ是 ＡＢＭ的垂心 所以ＭＦ ＡＢ 所以ｋ ｋ １ ｘ ｘ １＋ ｜ ｜｜ ｜
△ ， ⊥ ， ＭＦ· ＡＢ＝－１， １＋ｋ２ ｜ Ｎ － Ｐ ｜ ＝ ， ∴ ＭＰ ＮＰ ＝
４ ｜ ｜｜ ｜
故ｋ １ 分 ｋ２ ｋ ｋ ｋ ｋ
ＡＢ＝ ， （７ ） ４（１＋ ）（２ －１）（ ＋２） ４ １６（２ －１）（ ＋２）
２ ｋ２ × ｋ２ ＝ ｋ２ ＝ １６
所以设直线ＡＢ的方程为ｘ
＝２
ｙ
＋
ｎ
，
与ｙ２
＝８
ｘ联立得ｙ２
－１６
ｙ
－ æ ö (
１
)
＋
２ ＡＰ ＢＰ
ｎ ． ç ２ ３ ÷ １ ３ ｜ ｜｜ ｜ 的最大
８ ＝０ è－ｋ２ ＋ ｋ ＋２ø＝－３２ ｋ － ＋５０≤５０，∴ ＭＰ ＮＰ
令Δ 有ｎ ． ４ ｜ ｜｜ ｜
＞０， ＞－８ 值为 ．
ｙ ｙ ｙ ｙ ｎ． 分 ５０
１＋ ２＝１６， １ ２＝－８ （１０ ）
因为Ｆ是 ＡＢＭ的垂心 所以ＭＡ ＦＢ．
△ ， ⊥
