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9.4 抛物线及其性质
基础篇
考点 一 抛物线的定义及标准方程 叫做抛物线的准线.
2.
1.
标准方程：焦点在 ｘ 轴上 ｙ２ ｐｘ ｐ
定义：把平面内与一个定点 Ｆ 和一条定直线 : ＝±２ ( >０)ꎻ
焦点在 ｙ 轴上 ｘ２ ｐｙ ｐ .
ｌ ｌ 不经过点 Ｆ 的距离相等的点的轨迹叫做 : ＝±２ ( >０)
( )
抛物线 定点 Ｆ 叫做抛物线的焦点 定直线 ｌ
ꎬ ꎬ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３１２
考点 二 抛物线的几何性质
标准方程 ｙ２ ｐｘ(ｐ ) ｙ２ ｐｘ(ｐ ) ｘ２ ｐｙ(ｐ ) ｘ２ ｐｙ(ｐ )
＝２ >０ ＝－２ >０ ＝２ >０ ＝－２ >０
图形
范围 ｘ ꎬｙ Ｒ ｘ ꎬｙ Ｒ ｘ Ｒꎬｙ ｘ Ｒꎬｙ
≥０ ∈ ≤０ ∈ ∈ ≥０ ∈ ≤０
ｐ ｐ ｐ ｐ
准线 ｘ ｘ ｙ ｙ
＝－ ＝ ＝－ ＝
２ ２ ２ ２
æ ｐ ö æ ｐ ö æ ｐ ö æ ｐ ö
焦点 ç ꎬ ÷ ç ꎬ ÷ ç ꎬ ÷ ç ꎬ ÷
è ０ø è－ ０ø è０ ø è０ － ø
２ ２ ２ ２
对称性 关于ｘ轴对称 关于ｙ轴对称
顶点 ( ꎬ )
０ ０
离心率 ｅ
＝１
ｐ ｐ ｐ ｐ
焦半径长 ｘ ｘ ｙ ｙ
０＋ － ０＋ ０＋ － ０＋
２ ２ ２ ２
焦点弦长 ｘ ｘ ｐ (ｘ ｘ ) ｐ ｙ ｙ ｐ (ｙ ｙ ) ｐ
０＋ １＋ － ０＋ １ ＋ ０＋ １＋ － ０＋ １ ＋
其中 Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 是抛物线上两动点 且 ＰＱ 过焦点 Ｆ 线段 ＰＦ 称为抛物线的焦半径 线
( ０ꎬ ０)ꎬ ( １ꎬ １) ꎬ ꎬ ꎬ
段 ＰＱ 称为抛物线的焦点弦.
考点 三 直线与抛物线的位置关系 特别地 当直线ｌ 的斜率不存在时 设ｌ ｘ ｍ 则
３) ꎬ ꎬ : ＝ ꎬ
当ｍ 时 ｌ 与抛物线相交 有两个公共点 当
1.
直线与抛物线的位置关系 >０ ꎬ ꎬ ꎻ
ｍ 时 ｌ 与抛物线相切 有一个公共点 当ｍ
设直线ｌ ｙ ｋｘ ｂ 抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 直线与 ＝０ ꎬ ꎬ ꎻ <
: ＝ ＋ ꎬ ＝２ ( >０)ꎬ
时 ｌ 与抛物线相离 无公共点.
{ｙ ｋｘ ｂ ０ ꎬ ꎬ
抛物线交点的个数等价于方程组 ＝ ＋ ꎬ解的 2. 焦点弦的性质
ｙ２ ｐｘ
＝２ 以抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 为例 设 ＡＢ 是过抛
＝２ ( >０) ꎬ
个数 也等价于方程ｋｙ２ ｐｙ ｂｐ 解的个数.
ꎬ －２ ＋２ ＝０ 物线焦点 Ｆ 的一条弦 ＡＢ 所在直线的倾斜角
ꎬ
当ｋ 时 若Δ 则直线和抛物线相交 有两
１) ≠０ ꎬ >０ꎬ ꎬ 为 θ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ａ Ｂ 在准线上的射
ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ 、
个公共点 若Δ 则直线和抛物线相切 有一
ꎻ ＝０ꎬ ꎬ 影为 Ａ Ｂ 则有以下结论
１、 １ꎬ :
个公共点 若Δ 则直线和抛物线相离 无公
ꎻ <０ꎬ ꎬ ｐ２
共点. １)
ｘ
１
ｘ
２ ＝ ꎬ
ｙ
１
ｙ
２ ＝－
ｐ２
ꎻ
４
当ｋ 时 直线ｙ ｂ与抛物线ｙ２ ｐｘ ｐ 相 若 Ａ 位于 ｘ 轴上方 Ｂ 位于 ｘ 轴下方 则 ＡＦ
２) ＝０ ꎬ ＝ ＝２ ( >０) ２) ꎬ ꎬ ｜ ｜
交 有一个公共点.
ꎬ
ｐ ｐ 以 ＡＢ 为直径的圆与抛物线的准线相切
＝ ＢＦ ６) ꎻ
θꎬ｜ ｜ ＝ θꎻ
以 ＡＦ 或 ＢＦ 为直径的圆与 ｙ 轴相切.
１－ｃｏｓ １＋ｃｏｓ
７) ( )
ｐ 3.
弦中点
ＡＢ ｘ ｘ ｐ ２ 抛物线的通径长为
３)｜ ｜ ＝ １ ＋ ２ ＋ ＝ ２θꎬ
ｓｉｎ ＡＢ 为抛物线的一条弦 其中点为 Ｍ ｘ ｙ .
ｐ 通径是最短的焦点弦
ꎬ ( ０ꎬ ０)
２ ꎬ ꎻ ｐ
ｐ２ １)
若抛物线为 ｙ２
＝２
ｐｘ
ꎬ
则 ｋ
ＡＢ＝ｙ ꎻ
Ｓ
４) △ ＡＯＢ＝ θꎻ ０
２ｓｉｎ ｘ
若抛物线为 ｘ２ ｐｙ 则 ｋ ０.
２) ＝２ ꎬ ＡＢ＝ ｐ
１ １ ２为定值
５) ＡＦ ＋ ＢＦ ＝ ｐ ꎻ
｜ ｜ ｜ ｜ 其中 ｐ ｙ
( ≠０ꎬ ０≠０)
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３１３
综合篇
考法 一 利用抛物线的定义解题 答案
４１－２
考法 二 直线与抛物线的位置关系问题
例1 ( 广东茂名调研五ꎬ )已知圆Ｃ:ｘ２
２０２２ １４
ｙ２ ｘ ｙ ꎬ点 Ａ 是圆 Ｃ 上任一点ꎬ抛物
＋ ＋６ ＋８ ＋２１＝０
线 ｙ２ ｘ 的准线为 ｌꎬ设抛物线上任意一点 Р
＝８
到直线 ｌ 的距离为 ｍꎬ则 ｍ ＰＡ 的最小值为
＋｜ ｜
.
解析 由圆 Ｃ:ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 可得圆心
＋ ＋６ ＋８ ＋２１＝０
例2 (多选)( 辽宁名校联盟联考ꎬ )
Ｃ( ꎬ )ꎬｒ .
２０２２ １２
－３ －４ ＝２
设 ｙ２ ｘ 的焦点为 Ｆꎬ则 Ｆ( ꎬ )ꎬｌ:ｘ ꎬ 已知抛物线 Ｃ:ｘ２ ｐｙ(ｐ )的准线 ｌ 的方程
＝８ ２ ０ ＝－２ ＝２ >０
为 ｙ ꎬ过 Ｃ 的焦点 Ｆ 的直线与 Ｃ 交于 ＡꎬＢ
＝－１
两点ꎬ以 ＡꎬＢ 为切点分别作 Ｃ 的两条切线ꎬ且
两切线交于点 Ｍꎬ则下列结论正确的是( )
Ｃ 的方程为 ｘ２ ｙ
Ａ. ＝２
ＡＭＢ °
Ｂ.∠ ＝９０
过点Ｐ 作ＰＨ ｌ 于点Ｈꎬ则 ＰＨ ｍꎬ由抛物线 Ｍ 恒在 ｌ 上
⊥ ｜ ｜ ＝
Ｃ.
的定义可知 ＰＨ ＰＦ ꎬ所以 ｍ ＰＡ ＰＨ
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＭＦ ２ ＡＦ ＢＦ
Ｄ.｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ｜ ｜
ＰＡ ＰＦ ＰＡ ＦＣ ｒ ＦＣ
＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＋ ｜ ｜ ≥ ｜ ｜－ ＝ ｜ ｜－２ ＝ ｐ
解析 由题意得 ꎬ所以 ｐ ꎬ因此 Ｃ
( )２ ( )２ ꎬ当且仅当ＰꎬＦꎬ － ＝－１ ＝２
－３－２ ＋ －４ －２＝ ４１－２ ２
Ｃ(Ｐ 在线段 ＦＣ 上)三点共线时等号成立ꎬ所 的方程为 ｘ２ ｙꎬ 项错误ꎻ由题意可知直线
＝４ Ａ
以 ｍ ＰＡ 的最小值为 . ＡＢ 的斜率存在ꎬＦ( ꎬ )ꎬ设 ＡＢ 的方程为 ｙ ｋｘ
＋｜ ｜ ４１－２ ０ １ ＝
{ｙ ｋｘ ꎬ 为 ｘ ｘ ꎬ所以 ｙ ꎬ将 ｙ 分别代入
ꎬＡ(ｘ ꎬｙ )ꎬＢ(ｘ ꎬｙ )ꎬ由 ＝ ＋１ 得ｘ２ ｋｘ １≠ ２ ＝－１ ＝－１ ①②
＋１ １ １ ２ ２ ｘ２ ｙ －４ ｘ ｘ
＝４ 得 ｘ ２ ＋ １ ｋꎬ所以点 Ｍ 的坐标为( ｋꎬ )ꎬ
＝ ＝２ ２ －１
ꎬ所以ｘ ｘ ｋꎬｘ ｘ .由ｙ １ｘ２ 得ｙ′ ２
－４＝０ １ ＋ ２ ＝４ １ ２ ＝－４ ＝ 又 Ｃ 的准线 ｌ 的方程为 ｙ ꎬ所以 Ｍ 恒在 ｌ
４ ＝－１
上ꎬ 项正确ꎻ当 ＡＢ 的斜率 ｋ 不为零时ꎬｋ
１ｘꎬ所以 ＡＭ 的斜率为 ｋ １ｘ ꎬ所以 ＡＭ 的 Ｃ ＭＦ ＝
＝ ＡＭ＝
１
２ ２
－１－１ １ꎬ所以 ｋ ｋ ꎬ所以 ＡＢ ＭＦꎬ
ｋ ＝－ｋ ＡＢ ＭＦ＝－１ ⊥
方程为 ｙ ｙ １ｘ (ｘ ｘ )ꎬ即 ｙ １ｘ２ １ｘ (ｘ ２
－ ＝ － － ＝ －
１ １ １ １ １ 当 ＡＢ 的斜率 ｋ 时ꎬ点 Ｍ 的坐标为( ꎬ )ꎬ
２ ４ ２
＝０ ０ －１
ｘ ) ꎬ同理 ＢＭ 的斜率为 ｋ １ｘ ꎬ所以 ＢＭ ＭＦ
１ ① ＢＭ ＝ ２ 显然 ＡＢ ⊥ ＭＦꎬ由 △ ＡＭＦ ∽△ ＭＢＦ 得 ｜ ＡＦ ｜ ＝
２
｜ ｜
的方程为 ｙ
－
１ｘ２
２ ＝
１ｘ
２
(ｘ
－
ｘ
２
)
②
ꎬ所以 ｋ
ＡＭ
ｋ
ＢＭ＝ ｜ Ｍ
ＢＦ
Ｆ ｜ꎬ所以 ｜ ＭＦ ｜ ２ ＝ ｜ ＡＦ ｜ ｜ ＢＦ ｜ ꎬ Ｄ 项正确ꎬ故
４ ２
｜ ｜
１ｘ ｘ ꎬ即 ＡＭ ＢＭꎬ所以 ＡＭＢ °ꎬ 选 .
１ ２ ＝－１ ⊥ ∠ ＝ ９０ Ｂ ＢＣＤ
４ 答案
ＢＣＤ
项正确ꎻ由 得(ｘ ｘ )ｙ １ｘ ｘ (ｘ ｘ )ꎬ因
①② ２ － １ ＝ １ ２ ２ － １
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