北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.4 抛物线及其性质
基础篇 固本夯基
考点一 抛物线的定义及标准方程
1.(2022届广州花都8月调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
7
2.(2022届江苏百校大联考,3)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上第一象限的点,若|FA|= ,则直
3
线OA的倾斜角为( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
答案 C
x2 y2
3.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p=( )
3p p
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
4.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若
⃗MF=2⃗FN,则|MF|为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A
5.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离
为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
6.(2021广东湛江一模,6)已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点,M到直线y=2p的距离是
M到C的准线距离的2倍,且|MF|=6,则p=( )
A.4 B.6 C.8 D.10
答案 A
7.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M
的横坐标为 ;△MNF的面积为 .
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答案 5;4√5
考点二 抛物线的几何性质
4
1.(2022届广东茂名11月测试,2)抛物线x= y2的焦点坐标为( )
3
A.(1 ) B.( 1) C.( 3 ) D.( 2)
,0 0, ,0 0,
3 3 16 3
答案 C
2.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为( )
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 B
3.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,
则C的焦点坐标为( )
A.(1 ) B.(1 ) C.(1,0) D.(2,0)
,0 ,0
4 2
答案 B
4.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个
命题:
甲:点F的坐标为(1,0);
乙:抛物线C的准线方程为x=-2;
丙:线段MN的长为4;
丁:直线y=x+1与抛物线C相切.
如果只有一个命题是假命题,则该命题是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 B
5.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线
的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
考点三 直线与抛物线的位置关系
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1.(2022届广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB
|BF|
交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则 =( )
|AF|
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
答案 B
2.(多选)(2022届山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段
AB的中点,则下列结论正确的是( )
1
A.以线段AB为直径的圆与直线x=- 相交
2
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
9
C.当⃗AF=2⃗FB时,|AB|=
2
D.|AB|的最小值为4
答案 ACD
3.(2021百校大联考(六),12)已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为-2且经过焦点F的直线l交该抛物线
5
于M,N两点,若|MN|= ,则该抛物线的方程是( )
2
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=6x
答案 B
4.(2021济南二模,7)已知抛物线x2=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限).若直
√3 3
线AB的斜率为 ,点A的纵坐标为 ,则p的值为( )
3 2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 C
2
5.(2018课标Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C交于M,N两点,则
3
⃗FM·⃗FN=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
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3
6.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交
2
点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.
3
解析 设直线l:y= x+t,A(x,y),B(x,y).
1 1 2 2
2
(1)由题设得F(3
,0
),故|AF|+|BF|=x
1
+x
2
+3,
4 2
5
由题设可得x+x= .
1 2
2
{ 3
y= x+t,
由 可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
2
y2=3x
12(t-1) 12(t-1) 5 7
则x+x=- .从而- = ,得t=- .
1 2 9 9 2 8
3 7
所以l的方程为y= x- .
2 8
{ 3
y= x+t,
(2)由 =3 可得y=-3y.由 可得y2-2y+2t=0.所以y+y=2.从而-3y+y=2,故y=-1,y=3.
⃗AP ⃗PB 1 2 2 1 2 2 2 2 1
y2=3x
1 4√13
代入C的方程得x=3,x= .故|AB|= .
1 2 3 3
综合篇 知能转换
A组
考法一 利用抛物线的定义解题
1.(2021福建龙岩三模,6)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PQ⊥l,垂足为Q,若|PF|
=4,则∠FQP=( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案 C
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2.(2022届广东深圳实验学校、长沙市一中联考,13)抛物线y=ax2(a>0)上的点M( 1)到其准线l的距离
m,
2
为1,则a的值为 .
1
答案
2
3.(2022届华大新高考联盟11月测评,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则该抛物线上任一点到
焦点的距离的取值范围是 .
答案 [1,+∞)
4.(2021广东肇庆二模,15)已知点P是抛物线x2=8y上的一个动点,则点P到点A(2,0)的距离与到抛物线的准
线的距离之和的最小值为 .
答案 2√2
5.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂
直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
3
答案 x=-
2
考法二 直线与抛物线的位置关系问题
1.(2022届湖北部分学校11月质检,6)已知抛物线y2=4x,直线l与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的纵
坐标为2,则直线AB的斜率为( )
√3
A.2 B.√3 C. D.1
3
答案 D
2.(多选)(2021湖南衡阳联考(一),11)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-1)作C的两条切线,切点
分别为A、B,下列说法正确的是( )
A.p=1
B.TA⊥TB
1
C.直线AB的斜率为
2
D.线段AB中点的横坐标为1
答案 BCD
3.(2022届四省八校期中,14)过点M(-1,2)作抛物线y2=4x的两条切线,切点分别为A、B,则线段AB的中点到
抛物线准线的距离为 .
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答案 4
4.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=
.
16
答案
3
5.(2019北京理,18,14分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线
OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).
由{y=kx-1,
得x2+4kx-4=0.设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
x2=-4 y
y
则x
1
x
2
=-4,直线OM的方程为y= 1x.
x
1
x
令y=-1,得点A的横坐标x
A
=- 1.
y
1
x
同理得点B的横坐标x
B
=- 2.
y
2
x x
设点D(0,n),则 ⃗DA =( - 1 ,-1-n ), ⃗DB =( - 2 ,-1-n ),
y y
1 2
x x
1 2
x x
⃗DA · ⃗DB = 1 2+(n+1)2= ( x2 )( x2 ) +(n+1)2
y y - 1 - 2
1 2
4 4
16
= +(n+1)2=-4+(n+1)2.令⃗DA·⃗DB=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
x x
1 2
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).
6.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
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解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由已知不妨设点P(4
x2
,4x
0
),Q(x
1
,y
1
),
0
则 ⃗PQ =(x 1 -4 x2 ,y 1 -4x 0 ),∵F(1,0),∴ ⃗QF =(1-x 1 ,-y 1 ),
0
{x -4x2=9(1-x ),
∵⃗PQ =9⃗QF ,∴ 1 0 1
y -4x =9(- y ),
1 0 1
1
{x = (9+4x2 ),
整理得 1 10 0 ∴k OQ = y 1= 4x 0 ,
4 x 9+4x2
y = x , 1 0
1 10 0
4
4 1 9 3
当k 最大时,x>0,∴k = 9 ≤ = ,当且仅当4x= 时取“=”,此时x= ,点P的坐标为
OQ 0 OQ +4x 2√36 3 0 x 0 2
x 0 0
0
1
(9,6),因此k 的最大值为 .
OQ
3
B组
1.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,
则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
2.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为√3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为
C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A.√5 B.2√2 C.2√3 D.3√3
答案 C
3
3.(2022届广东深圳七中月考,8)过抛物线C:y2=4x的焦点作倾斜角为 π的直线l交C于A、B两点,以C的
4
准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点,则圆M的面积为( )
A.96π B.48π C.32π D.16π
答案 B
4.(多选)(2022届广东11月大联考,10)已知P(x,y)是抛物线C:y2=4x上一动点,则( )
0 0
A.C的焦点坐标为(2,0) B.C的准线方程为x+1=0
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C.x+1= D.x+ 1 的最小值为3
0 √(x -1) 2+ y2 0
0 0 y2+1 4
0
答案 BCD
5.(2021湖北九师联盟2月质检,8)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x
0
,2
√2
)(
x >
p)是抛物线C
0 2
p 1
上一点,以点M为圆心的圆与直线x= 交于E,G两点,若sin∠MFG= ,则抛物线C的方程是( )
2 3
A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x
答案 C
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