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第 29 讲 抛物线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上
到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线
的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
y2＝－2px x2＝－2py
y2＝2px (p>0) x2＝2py (p>0)
标准方程 (p>0) (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
性
准线方
质 x＝－ x＝ y＝－ y＝
程
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方
向右 向左 向上 向下
向
二、考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线 焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若 ，则 的
值为（ ）
A． B．2 C． D．
【典例1-2】抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则点 到坐标原点的
距离为（ ）A． B． C． D．2
【典例1-3】已知抛物线 上的一点 到其焦点的距离为2，则该抛物线
的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例1-4】焦点在直线 上的抛物线的标准方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【典例1-5】已知直线 恒过定点 ，抛物线 ： 的焦点坐
标为 ， 为抛物线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【典例2-2】已知过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，点 ，若直
线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-3】抛物线 与圆 交于 、 两点，圆心 ，点
为劣弧 上不同于 、 的一个动点，平行于 轴的直线 交抛物线于点 ，则
的周长的取值范围是
A． B． C． D．
【典例2-4】已知圆 与抛物线 相交于M，N，且 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．4【典例2-5】已知抛物线 ，以 为圆心，半径为5的圆与抛物线
交于 两点，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
3、抛物线的综合问题
【典例3-1】已知 为抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，点 .则
最大值的为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】如图，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点 ，圆
，过圆心 的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则
的最小值为（ ）
A．23 B．26 C．36 D．62
【典例3-3】已知直线l过点 ，且垂直于x轴．若l被抛物线 截得的线段长为
，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-4】已知点 在抛物线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点 的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
O为坐标原点，求证： 为定值.【典例3-5】已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点．
(1)过 作垂直于 轴的直线与抛物线 交于 两点， 的面积为 ．求抛物线 的
标准方程；
(2)抛物线上有 两点，若 为正三角形，求 的边长．
