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第 29 练 抛物线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】
解：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
所以焦点到准线的距离 ；
故选：A
2．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，则点 的横坐标为
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】C
【详解】
解：设点 的横坐标为 ，抛物线 的准线方程为 ，
点 在抛物线上， ，
， ．
故选：C．
3．过点 ，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：依题意设抛物线方程为 ，因为抛物线过点 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 ；
故选：C
4．抛物线 上A点到焦点F的距离为 ，则点A的纵坐标为（ ）
A．1 B． C． D．【答案】A
【详解】
解：由题得 ，所以抛物线的准线方程为 .
设点 纵坐标为 ,则 ，所以 .
故选：A
5．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若
，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
解：由抛物线 ，可知 ，准线 的方程为 ，
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以点 到准线 的距离为 ．
故选：C．
6．已知抛物线E: 的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且
，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线 的准线为 ，所以 ，
由题意可知直线 的斜率存在，
故设直线 为 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 .
故选：B
7．已知O是坐标原点，F是抛物线C： 的焦点， 是C上一点，且
，则 的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】
由题可知 ，解得 ，所以 的面积为 ，
故选：C
8．已知抛物线 焦点的坐标为 ，P为抛物线上的任意一点， ，则
的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】A
【详解】
因为抛物线 焦点的坐标为 ，所以 ，解得 ．
记抛物线的准线为l，作 于 ，作 于 ，则由抛物线的定义得
，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.
9．已知抛物线 ，点 ， 是曲线W上两点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．10 B．14 C．12 D．16
【答案】C
【详解】
设抛物线 的焦点为F，则 ,焦准距 ,准线方程为 ，
根据抛物线的定义得， ．
又 ，所以 ．
因为 ，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即 ，
所以 的最大值为12，
故选：C
10．在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 是 上位于第一象
限内的一点，若 在点 处的切线与 轴交于 点，与 轴交于 点，则与 相等的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：如图，设 ，由 ，得 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，从而 ，
根据抛物线的定义，得又 ， ，所以
由 ， ，得 是 的中点，则 ，从而
．
故选：B．
二、多选题
11．已知抛物线C： 的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若 ，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为 ，则 的最小值为4
【答案】AD
【详解】
由抛物线的解析式知 ，所以抛物线的焦点 ，准线方程为 ，所以焦点F到
抛物线准线的距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点 ，则 ，解得 ，故 ，则点P的坐标有两个，
故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为 ，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时， 取得最小值，即
，故选项D正确，
故选；AD．12．已知抛物线 的焦点为 ， ， 是抛物线上两点，则下列结论正
确的是（ ）
A．点 的坐标为
B．若直线 过点 ，则
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则线段 的中点 到 轴的距离为
【答案】ABD
【详解】
对A：因为抛物线方程为 ，其焦点在 轴上，故其焦点为 ，A正确；
对B：显然过点 的直线斜率存在，故可设经过焦点 的直线方程为 ，
联立抛物线方程可得： ，可得 ， ，故B正确；
对C：若 ，则 ， ， 三点共线，则 ，
由 中所得可知： ，故 错误；
对D： ，即 ，即 ，
∴ ，故 正确.
故选： .
三、解答题
13．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于 两点，当
时， 为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线 的方程.(2)延长 交抛物线 于点 ，试问直线 是否恒过点 ？若是，求出点 的坐标；若
不是，请说明理由.
【答案】(1) (2)是，
【解析】(1)
由题意可得 ，
则 ，解得 .
故抛物线 的方程为 .
(2)
由（1）可知 ，设 .
因为 三点共线，所以 ，
即 ，即 ，
整理得 .
因为 ，所以 .
由题意可知直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 .
联立 整理得 ，
则 .
因为 关于 轴对称，所以 ，则 ，解得 .
故直线 的方程为 ，即直线 恒过点 .
14．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：
直线AB过定点．
【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析
【解析】(1)
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则y+y＝4m，yy＝﹣4t，
1 2 1 2
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
⇒ ⇒
，同理： ，
由题意： ，
∴4(y+y+4)＝2(yy+2y+2y+4)，
1 2 1 2 1 2
∴yy＝4，
1 2
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
15．已知抛物线 上的点 与焦点 的距离为 ，且点 的纵坐标为
.
(1)求抛物线 的方程和点 的坐标；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，且 ，证明直线 过定点.
【解析】(1)
设 ，则 ，解得： ，
抛物线 ； .
(2)
由题意知：直线 斜率不为零，可设 ， ， ，
由 得： ， ，即 ；
， ；
， ，
又 ， ；
则 （此时 成立），
直线 ，
当 时， ， 直线 恒过定点 .
