文档内容
第 08 讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线
(精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．直线 与抛物线 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
直线 过定点 ，
∵ ，
∴ 在抛物线 内部，
∴直线 与抛物线 相交，
故选：A．
2．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，“ ”是“F到l的距离大于2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
F到l的距离大于2等价于 ，即 或 ，由于 或 ，而 或
，故答案为充分不必要条件．
故选：A
3．已知 为椭圆 的两个焦点， 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，则
四边形 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
设坐标原点为 ,
∵ , ∴四边形 为平行四边形,
又∵ ∴平行四边形 为矩形,由椭圆的定义得 ，即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
则四边形 的面积为 ，
故选：D .
4．设 为抛物线 ： 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交于 于 ， 两点， 在 轴上方，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题意可知 ，
所以直线 的方程为 ，
代入抛物线方程可得 ，
解得 ，
所以 .
故选：A
5．椭圆 上的点 到直线 ： 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由 ，设 ，
设点 到直线 ： 的距离 ，
所以有 ，
其中 ，
所以当 时， 有最小值 ，
故选：C
6．已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在的直线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
设弦的两个端点分别为 ， ，
则 ，
①﹣②得： ，
即 ，
所以 ．
故以点 为中点的弦所在的直线方程为y ，
整理得： .
故选：C.
7．过抛物线 的焦点 且斜率为 的直线交抛物线 于 、 两点，抛物线的准线为 ，
于 ， 于 ，则四边形 的面积为（ ）
A．32 B． C．64 D．
【答案】D
解：由抛物线 得其焦点 ，设直线AB的方程为 ，
与抛物线的方程联立 ，整理得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 ， ， ，所以四边形 的面积为 ，
故选：D.
8．已知P为椭圆 上任意一点，EF为圆 任意一条直径，则 的取值范
围为（ ）
A．[8，12] B． C． D．
【答案】C
由 ，得 ，则 ，
圆 的圆心 恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，
因为
，
因为P为椭圆 上任意一点， 为椭圆的右焦点，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：C
二、多选题
9．已知双曲线 ，则下列说法正确的（ ）
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线 与双曲线C有相同的渐近线
C．直线 被双曲线C截得的弦长为
D．直线 与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【答案】AD由双曲线 的焦点在 轴上，且 ，则 ，
其渐近线方程为 ，
对于A中，由双曲线C的离心率为 ，故A正确；
对于B中，由双曲线 的渐近线方程为 ，与双曲线C的渐近线不相同，
所以B错误；
对于C中，由 代入双曲线 中，可得 ，
即交点的坐标为 和 ，所以截得的弦长为 ，所以C错误；
对于D中，当 时，此时直线 与渐近线平行，且过原点，
可得直线 与双曲线没有公共点，即交点的个数为0个；
当 时，此时直线 与渐近线平行，且不过原点，
可得直线 与双曲线只有一个公共点，即交点的个数为1个；
当 时，此时直线 与渐近线不平行，可得直线 与双曲线有2个公共点，即交点的个
数为2个，
综上可得，直线 与双曲线C的公共点个数可能为0，1，2，所以D正确.
故选：AD.
10．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A．过点 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周长为8
B．椭圆 上不存在点 ，使得
C．直线 与椭圆 恒有公共点
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 ， 的最大距离为3
【答案】ACD
对于A选项：由椭圆的定义：
的周长为： ，故A正确；
对于B选项：设 ，则 ， ，
，，解得
椭圆 上存在点 ，使得 ，故B错误；
对于C选项： 直线 恒过定点
，故该定点在椭圆内，过该定点的直线和椭圆一定有交点，故C正确；
对于D选项：设 ，则P点到圆 的圆心的距离
，故
，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
11．设 是椭圆 左，右焦点，P为直线 上一点，若 是底角为
的等腰三角形，则椭圆 的离心率为___．
【答案】
如图，直线 交 轴于 点，
由题，结合椭圆性质得， ，故直线 在椭圆右顶点右侧，
，又 是底角为 的等腰三角形，
，
，又 ，故
故答案为：
12．直线 与抛物线 交于A，B两点，设抛物线C的焦点是F，若 ，
则 ________．
【答案】 或
抛物线 的焦点 ，准线 ，过A，B分别作 ，垂足分别为 ，如图，
令线段AB的中点为Q，过Q作 于 ，因此 ， 为线段 的中点，
由抛物线定义知： ，则Q点横坐标为14，
由 消去y并整理得： ，由 得： 且 ，
设 ，于是得 ，解得 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或
四、解答题
13．已知椭圆 过椭圆右焦点 ，且垂直于 轴的直线与椭圆在第一象限交于点 ，已
知椭圆的左焦点为 ， 的面积是 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线 与椭圆交与 、 两点，当 时，求直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) 或 或 或 .
(1)根据题意，椭圆的左焦点为 ，
联立 ，解得 ，
则过椭圆右焦点 且垂直于 轴的直线与椭圆在第一象限交于点 ，可得 ，
因为 的面积是 ，即 ，解得 ，
所以， ，所以 ，因此，椭圆的标准方程为 .
(2)设 、 ，
由 得 ，解得 ， ，
所以， ，整理可得 ，
解得 或 .
因此，直线 的方程为 或 或 或 .
14．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)直线 与抛物线 交于 ， 两个不同的点，若 ，求直线 的方程．
【答案】(1) (2)
(1)因为抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线方程为(2)抛物线 的焦点 ，设 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，得 ，
所以直线 的方程为 ，即
B 能力提升
1．过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 交 于 、 两点，以抛物线 的准线 上一点 为
圆心作圆 经过 、 两点，则圆 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
如图所示：
因为抛物线 的准线 ，所以抛物线 的方程为 ，焦点为 ，
直线 的方程为 ，联立 ，消去y得 ，
设 ，则 ，
，
过M作线段AB的中垂线，垂足为D，
因为 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
由 ，焦点 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以圆 的面积为 ，
故选：B
2．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，且l过点 ，M在抛物线C上，若点 ，
则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
抛物线 的焦点为 ，
准线为 且l过点 ，
抛物线的准线方程是 ，
则抛物线的方程为 ，
因为 ， 点 在抛物线内，
过点 作准线的垂线，垂足是 ，在抛物线 上， 是抛物线的 焦点，
，
当 三点共线时，（图中虚线位置），
取到最小值，即 最小值为 ，
故选： ．
3．已知点A在双曲线C： （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F，F，点B在∠FAF
1 2 1 2
的平分线上，BF⊥AB，若点D在直线l： ，则|BD|的最小值为（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】D
作出图形如图所示，
设A为双曲线C下支上的一点，延长FB与AF 交于点M，连接OB，
2 1
由BF⊥AB，且∠FAB=∠FAB，可得 ，
2 1 2
故 ，故 ，则点B落在圆 上,
因为点O到直线l： 的距离为 ，
故 的最小值为 ，
故选：D
4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，过 且斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，若
为钝角，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
设直线方程为 ，
联立方程组 得 ，
则 .
因为 为钝角，所以 .
因为
，所以 .
因为当 时， 三点共线，不符合题意，所以 .
故答案为：D
C 综合素养
1．已知双曲线 与椭圆 有公共焦点，且它的一条渐近线为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)抛物线 的准线过双曲线 的左顶点，斜率为1的直线 过双曲线 的右顶点且交抛物线 于 两点，求 .
【答案】(1) (2)24
(1)解：椭圆 的焦点为 ，
设双曲线 的方程为 ，即 ，
依题得 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
(2)双曲线 的左、右顶点分别为 和 ，
所以 ，
抛物线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，且过抛物线的焦点，
联立 消去 得： ，
设 ，
则
2．已知抛物线 的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，当A，B两点的纵
坐标相同时， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P，Q为抛物线C上两个动点， ，E为PQ的中点，求点E纵坐标的最小值．
【答案】(1) ；(2) 时最小 ； 时最小 .
(1)由题设， 且 ，则 ，
所以抛物线C的方程 .
(2)设直线 为 ，联立抛物线可得 ，
所以 ，即 ，
， ，则 ，故 ，
又 ，可得 ，所以 且 ，则 ，
由对勾函数的性质：
当 ， 时， 在 上递增，则最小 ；
当 ， 时， 在 上递减，在 上递增，则最小 ；
综上， 时最小 ； 时最小 .
3．设双曲线C： （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F，F，渐近线分别为l，l，过F 作渐
1 2 1 2 2
近线的垂线，垂足为P，且△OPF 的面积为 ．
1
(1)求双曲线C的离心率；
(2)动直线l分别交直线l，l 于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存
1 2
在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2)存在，
(1) ，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的对称性不妨取渐近线 ，则点 到其的距离为
，
则 ，
得 ，
解得 ，
所以双曲线C的离心率 ．
(2)由 （1）得渐近线l
1
：y＝2x，l
2
：y＝−2x，设双曲线得方程为 ，
依题意得直线l的斜率不为零，
因此设直线l的方程为 ，
设直线l交x轴于点C（t，0），A（x，y），B（x，y），
1 1 2 2联立 得 ，同理得 ．
由△OAB的面积 ，
得 ，
即t2＝4|1−4m2|＝4（1−4m2）＞0，
联立
得（4m2−1）y2+8mty+4（t2−a2）＝0，，
因为 ，所以，直线l与双曲线只有一个公共点当且仅当Δ＝0，
即 ，
化简得 ，
将（1）式代入可得 ，
解得 ，
因此双曲线的方程为 ，
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线，双曲线C的方程为 ．
