文档内容
§8.7 抛物线
考试要求 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、
对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．
知识梳理
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点
F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
方程
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线
x＝－ x＝ y＝－ y＝
方程
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
常用结论
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝x＋，也称为抛物线的焦半径．
0 0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.( √ )
教材改编题
1．抛物线x2＝y的准线方程为( )A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
答案 A
解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程
为y＝－.
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y)，Q(x ，y)两点，如果x ＋x ＝6，
1 1 2 2 1 2
则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，
|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x＋1＋x＋1
1 2
＝x＋x＋2＝8.
1 2
3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
答案 B
解析 由题意可得|MF|＝x ＋，
M
则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|
＝|BF|，则|AB|等于( )
A．2 B．2 C．3 D．3
答案 B
解析 方法一 由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
设A，
则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.
因为|BF|＝3－1＝2，
所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，
解得y＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．
0
不妨取A(1,2)，
则|AB|＝＝＝2.
方法二 由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，
所以|AF|＝2.
因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，
所以AF⊥x轴，
所以|AB|＝＝＝2.
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的
一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
答案 42或22
解析 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或p＝22.
① ②
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得
简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
跟踪训练1 (1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(
0
)
A．4 B．3 C. D.
答案 D
解析 由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，
根据抛物线的定义，可得点(x,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，
0
可得2＋＝，解得m＝.
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d ，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动
1
点Q的距离为d，则d＋d 的最小值为________．
2 1 2
答案 －4解析 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，
抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，
因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d ，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动
1
点Q的距离为d，
2
所以要使d＋d 最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，
1 2
如图，连接PF，FC，则d ＋d 的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的
1 2
距离，
即－2－2＝－4，
所以d＋d 的最小值为－4.
1 2
题型二 抛物线的标准方程
例2 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2
＝2py(p＞0)．
又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)．
1 1
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2py中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p·(－4)，
1 1
则2p＝，2p＝.
1
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
跟踪训练2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，
B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )A．y2＝x
B．y2＝9x
C．y2＝x
D．y2＝3x
答案 D
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，
∴3＋3a＝6，解得a＝1，
∵BD∥FG，∴＝，
∴p＝，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，
O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
答案 B
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)，
则S ＝××4＝p＝2，解得p＝2，
△OFP
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于( )
A．6 B．8 C．9 D．12
答案 D
解析 由题意得，F为△ABC的重心，
故AF＝×(AB＋AC)＝(AB＋AC)，
设点A，B，C的坐标分别为(x，y)，(x，y)，(x，y)，
1 1 2 2 3 3
∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)，
∴AF＝(2－x，－y)，AB＝(x－x，y－y)，
1 1 2 1 2 1
AC＝(x－x，y－y)，
3 1 3 1
∵AF＝(AB＋AC)，
∴2－x＝(x－x＋x－x)，
1 2 1 3 1
∴x＋x＋x＝6，
1 2 3
∴|AF|＋|BF|＋|CF|＝x＋x＋x＋6＝12.
1 2 3
(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C
交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确
的是( )
A．p＝4 B.DF＝FA
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
答案 ABC
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.
设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，
故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则DF＝FA，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物
线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
跟踪训练3 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方
程为______．
答案 x＝－
解析 方法一 (解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
所以＝，即＝，
解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－.
方法二 (应用射影定理法)由题易得|OF|＝，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，
所以C的准线方程为x＝－.
(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3FM
＝2MN，则|FN|＝________.
答案 16
解析 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，
抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
AF∥MB∥NC，则＝，
由3FM＝2MN，
得＝，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，＝，所以|FN|＝16.
课时精练
1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x的准线方程为( )
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
答案 A
解析 y2＝－x的准线方程为x＝.
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x,1)到其焦点的距离为2，则该抛物
0
线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到
其准线的距离为p＝2.
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点
(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
答案 D
解析 由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若
∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C. D.
答案 B
解析 过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交
于两点A(x，y)，B(x，y)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
1 1 2 2
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
答案 ACD
解析 由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
则y＝8x，y＝8x，
1 2
若M(m,2)是线段AB的中点，则y＋y＝4，
1 2
∴y－y＝8x－8x，
1 2
即＝＝＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y＋y＝2(x＋x)－8＝4，得x＋x＝6，
1 2 1 2 1 2
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x＋x＋4＝10，故D正确．
1 2
6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，
点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝
B．b＝
C.OA·OB＝2
D.＋＝
答案 BD
解析 点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得
则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，
抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；
OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C错误；
抛物线C的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝＝，
则＋＝＋＝，故D正确．
7. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，
水面宽________米．
答案 2
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)
在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．
8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则
M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S ＝________.
△FMN
答案 5 4
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，
故p＝2且F(1,0)，
因为|FM|＝6，所以x ＋＝6，
M
解得x ＝5，
M
故y ＝±2，
M
所以S ＝×(5－1)×2＝4.
△FMN
9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐
标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
0
解 (1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y)在抛物线C上，
0
∴y＝＝1，M坐标为(－2,1)．
0
又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝4k，xx＝－4，
1 2 1 2
MA＝(x＋2，y－1)，
1 1
MB＝(x＋2，y－1)．
2 2
∵MA⊥MB，
∴MA·MB＝0，
∴(x＋2)(x＋2)＋(y－1)(y－1)＝0，
1 2 1 2
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
解 (1)由1＋＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x＋x＝4k，xx＝－4k－2，
1 2 1 2
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以k ＋k ＝0，
PA PB
所以k ＋k ＝＋＝0，
PA PB
即＋＝0，即x＋x＋4＝0，
1 2
所以k＝－1，x＋x＝－4，xx＝2，
1 2 1 2
所以|AB|＝|x－x|＝＝4.
1 2
11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，
沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后
必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 从点P
1
射入，经过r上的点A(x ，y)反射后，再经r上另一点B(x ，y)反射后，沿直线l 射出，经
1 1 2 2 2
过点Q，则下列结论正确的是( )
A．yy＝－1
1 2
B．|AB|＝
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线
答案 BCD
解析 设抛物线的焦点为F，如图所示，
则F.
因为P，且l∥x轴，故A(1,1)，
1
故直线AF：y＝＝x－.
由可得y2－y－＝0，
故yy＝－，故A错误；
1 2
又y＝1，故y＝－，
1 2
故B，
故|AB|＝1＋＋＝，故B正确；
因为|AP|＝－1＝＝|AB|，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l∥l，故∠PBQ＝∠APB，
1 2
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正确；直线AO：y＝x，由
可得C，故y ＝y，
C 2
所以C，B，Q三点共线，故D正确．
12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上
一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
答案 y2＝4x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，
BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点
P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4 B．2
C. D.
答案 A
解析 设P(x，y)，则y ＝y，
C
∵l ：y＝x，
OB
∴C，
∴E(0，y)，F，∵FC∥y轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴＝，
∴＝，即y2＝4x，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．
设Q(x，y)，则y＝4x，AQ＝(x－1，y)，AO＝(－1,0)，
0 0 0 0 0
∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x＝3，
0
∴|AQ|＝x＋＝3＋1＝4.
0
14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C
上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，
则的值是________．
答案
解析 如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝，
又|AB|＝＝a，
故＝＝.
