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第9讲 抛物线(一)
复习要点 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中
的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线
的简单应用．
一 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做
抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
其数学表达式： | MF | ＝ d ( 其中 d 为点 M 到准线的距离 ) ．
二 抛物线的标准方程与几何性质
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
标准
(p>0) (p>0) (p>0) (p>0)
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
x≥0， x≤0， y≥0， y≤0，
范围
y∈R y∈R x∈R x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
常/用/结/论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x ，y)，B(x ，y)，且y>y ，α为弦
1 1 2 2 1 2
AB的倾斜角，则：
(1)xx＝，yy＝－p2；
1 2 1 2
(2)|AF|＝，|BF|＝；
由抛物线定义得出．
(3)弦长|AB|＝x ＋ x ＋ p ＝；
1 2
由(2)得|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝.
(4)＋＝；
(5)以弦长AB为直径的圆与准线相切．
1．判断下列结论是否正确．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()
(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程
是x＝－.()
(4)在抛物线的方程中，字母p的几何意义是焦点到抛物线顶点的距离．()
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x ，y)，Q(x ，y)两点，如果x ＋x
1 1 2 2 1 2
＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋|
QF|＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2＝8.故选B．
1 2 1 2
答案：B
3．(2024·河北邯郸月考)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若
B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P，则|PQ|＝|PF|.则有|PB|
1 1 1
＋|PF|≥|PB|＋|PQ|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
1 1
答案：4
4．(2024·福建龙岩模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF
为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则FA·FB＝________.
解析：设B(x ，y)．由题意知F(1,0)，以AF为直径的圆为x2＋y2＝1，由方程组消去y
0 0
并整理，得x2＋4x－1＝0.因为x≥0，所以x ＝－2.又由题意，得A(－1,0)，所以FA＝(－
0
2,0)，FB＝(x －1，y)，所以FA·FB＝(－2,0)·(x －1，y)＝－2(x －1)＝2－2x ＝2－2×(－2)
0 0 0 0 0 0
＝6－2.
答案：6－2
题型 抛物线定义的应用
典例1 (1)动点 P 到直线 x － 2 ＝ 0 的距离比它到点 M ( － 4,0) 的距离小 2 ，则点P
的
联想抛物线的定义，需转化成距离相等．
轨迹方程是( )
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．x2＝16y D．x2＝－16y(2)(2024·华东师大附中模拟)已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，P是抛物线C上一动
点，Q是曲线x2＋y2－8x－2y＋16＝0上一动点，则|PF|＋|PQ|的最小值为________．
解析：(1)依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4,0)的距离小2，所以
动点P到直线x－4＝0的距离与它到点M(－4,0)的距离相等，所以动点P的轨迹是以M为
焦点，直线x＝4为准线的抛物线．故点P的轨迹方程是y2＝－16x.故选B．
(2)由抛物线C：y2＝4x，可得F(1,0)，准线方程为l：x＝－1.x2＋y2－8x－2y＋16＝0即
(x－4)2＋(y－1)2＝1，表示以M(4,1)为圆心，以1为半径的圆．
如图所示，过点P作PA⊥l，垂足为A，连接PM，交圆M于Q，则 | PF | ＋ | PQ | ＝ | PA | ＋ |
PM | － 1 .【两步转化】从|PF|到|PA|，利用了抛物线的定义，而从|PQ|到|PM|－1，则利用了
圆外一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，如此我们便可利用平
面几何知识求最值了．
连接AM，则|PA|＋|PM|－1≥|AM|－1，当且仅当A，P，M三点共线时取等号．
过点M作MA ⊥l，垂足为A，交抛物线于P，交圆M于Q，则|AM|－1≥|AM|－1.
1 1 1 1 1
综上，要想得到|PF|＋|PQ|的最小值，则A，P，Q，M四点共线，且所在直线与准线l
垂直时|PF|＋|PQ|取最小值，为|AM|－1＝5－1＝4.故答案为4.
1
抛物线定义的应用策略
对点练1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将
该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2所示的抛物线 C：x2＝－
2py(p>0)的一部分，P为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|
＝，则p＝( )图 1 图 2
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d，到直线x
1
＋y－4＝0的距离为d，则d＋d 的最小值是( )
2 1 2
A． B．
C．2 D．
解析：(1)由题意知F，设|PF|＝2a，a>0，则P，由抛物线的几何性质知＋a＋＝2a，则
a＝p，
所以P，
所以|OP|＝＝，
解得p＝1.故选A．
(2)直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距
离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，此时d＋d 的值最小，最小值为点F到直线x＋y－4＝0的距离．
1 2
∵F(－1,0)，
∴(d＋d) ＝＝.
1 2 min
答案：(1)A (2)B
题型 抛物线的标准方程
典例2 (1)(2024·江西九所重点中学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F，M(x 2)是抛物线 C 上一点，以点 M 为圆心的圆与直线 x＝交于 E，G 两点．若
0,
cos∠MFG＝，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)试分别求满足下列条件的抛物线(顶点在原点，对称轴为坐标轴)的标准方程，并求对应抛物线的准线方程．
① 过点 ( － 3,2) ； (－3,2)在第二象限，可知抛物线开口向上或向左．
② 焦点在直线 x － 2 y － 4 ＝ 0 上．
由于是标准方程，则分别令x＝0，y＝0可得焦点为(0，－2)或(4,0)．
(1)解析：如图， 作 MD ⊥ EG 于 D ，由M(x，2)在抛物线C上，得8＝2px，
0 0
将∠MFG放在直角三角形中便于运算．
即px＝4.又C的准线方程为x＝－，
0
易知 | FM | ＝ x ＋，显然 |DM|＝x－.
0 0
由焦点联想准线．
因为cos∠MFG＝，所以sin∠MFG＝，因此＝sin∠MFG＝，即＝，整理得x ＝p，与
0
px＝4联立，解得p＝x＝2，
0 0
所以抛物线C的方程为y2＝4x.故选C．
(2)解：①设所求抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)．
∵抛物线过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或9＝2p·2.∴p＝或p＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y，对应的准线方程分别是x＝，y＝－.
②令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)．
设所求的抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
当焦点为(4,0)时，＝4，
∴p＝8，此时抛物线方程为y2＝16x；
当焦点为(0，－2)时，＝2，
∴p＝4，此时抛物线方程为x2＝－8y.
∴所求的抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y，
对应的准线方程分别是x＝－4，y＝2.
求抛物线标准方程的常用方法对点练2 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y)到其准线的距离为4，则
0
抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
(2)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的
动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________．
解析：(1)∵抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴准线为x＝－.
∵点P(2，y)到其准线的距离为4，
0
∴＝4.
∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为y2＝8x.
(2)因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的
准线，设P，则点M.因为焦点为F，△FPM是等边三角形，所以|PM|＝4，
|MF|＝4，即
解得因此抛物线的方程为x2＝4y.
答案：(1)C (2)x2＝4y
题型 抛物线的几何性质
典例3 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B． | MN | ＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
(2)(2024·天津南开中学测试)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，C上一点B，满足
直线FB与y轴正半轴交于点M，且B在F，M之间．若 | FB |＝2|BM|，且点B
利用抛物线的定义转化成点B到准线的距离．到抛物线准线的距离为，则点M的纵坐标为( )
A．1 B．
C． D．
(3)(2023·全国乙卷，理)已知 点 A (1 ， ) 在抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 上 ，则A到C的准
可求出p＝.
线的距离为________．
解析：(1)A选项：直线y＝－(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为
F(1，0)，
所以＝1，p＝2,2p＝4，则A选项正确，且抛物线C的方程为y2＝4x.
B选项：设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
由
消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，
解得x＝3，x＝，所以 | MN | ＝ x ＋ x ＋ p ＝3＋＋2＝，B选项错误；
1 2 1 2
也可由根与系数的关系求出x＋x＝－＝.
1 2
C选项：设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d ，d ，d，因为d＝(d
1 2 1
＋d)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆
2
与直线l相切，C选项正确；
D选项： 不妨设 x ＝ x ＝ 3 ， x ＝ x ＝，
M 1 N 2
点的坐标易求，可直接计算出三角形的三条边，进而作出判断．
所以y＝－×(3－1)＝－2，y＝－×＝，
1 2
所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，
所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误．
故选AC．
(2)如图，作BB 垂直准线于B.
1 1由已知得F， 由 | FB | ＝ 2 | BM | ，得 FB ＝ 2 BM ，得 B 的横坐标 x ＝，则 |BB1|＝
B
关键：将线段相等转化为向量相等，从而根据向量相等求得点B的横坐标．
＋＝，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x，x ＝，代入抛物线C的方程得y ＝，所以
B B
B.
又FB＝2BM，则y ＝y ＝×＝.故选D．
M B
(3)由题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A
到C的准线的距离为1－＝.故答案为.
抛物线标准方程的求法
求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于
焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是
说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物
线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．
对点练3 (1)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为
且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D．
若|AF|＝8，则以下结论正确的是( )
A．p＝4 B．DF＝FA
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
(2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P
为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为
________．
(3)(2024·江苏盐城四校联考)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM
的延长线交y轴的正半轴于点N.若M为FN的中点，则以FN为直径的圆的标准方程为
____________．
解析：(1)如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，
连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为
60°.
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，
由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，
则△AEF为等边三角形，
所以∠EFP＝∠AEF＝60°，
则∠PEF＝30°，
所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
所以F为AD的中点，
则DF＝FA，故B正确；
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，
所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；
因为|BD|＝2|BF|，
所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．
(2)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F.
因为P为C上一点，PF与x轴垂直，
所以P的横坐标为.
代入抛物线方程求得P的纵坐标为±p.
不妨设P，
因为Q为x轴上一点，且PQ⊥OP，
所以Q在F的右侧．
又因为|FQ|＝6，
所以Q，所以PQ＝(6，－p)．
因为PQ⊥OP，
所以PQ·OP＝×6－p2＝0，
因为p>0，所以p＝3，
所以C的准线方程为x＝－.
(3)由题意作图，如图所示．
y2＝8x的焦点坐标为F(2,0)，准线l的方程为x＝－2.
设点M(x,2)，作MP⊥l，且交l于点P，交y轴于点Q，
因为M为FN的中点，MQ∥OF，
所以在△NOF中，MQ为△NOF的中位线，
所以|MQ|＝|OF|＝1，即x＝1，所以点M(1,2)，即为圆心坐标．
由抛物线的定义知，|MF|＝|MP|＝x＋2＝3，即圆的半径r＝3，
所以以FN为直径的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.
答案：(1)ABC (2)x＝－ (3)(x－1)2＋(y－2)2＝9
