文档内容
10.6 三定问题及最值（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 定点
【例1】（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为 ， ，
上下顶点分别为 ， ，四边形 的面积为 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不过点 的直线l交椭圆于P，Q两点，直线 和直线 的斜率之和为2，证明：直线l恒过定
点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意可得 ， ，即 ，又
，解得 ， ， ，
则椭圆的方程为 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
①当直线 的斜率存在时，设 ， ， ，
由 ，所以 ，
又 ， 代入整理得 ，
由 消去 整理得 ，所以 ， ，
所以 ，
整理得 ，
当 时，直线 过 ，不符合题意，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 ，符合题意，
故恒过点 ；
②当直线 的斜率不存在时，设 ， ，由 ，解得 ，
即直线 的方程为 ，必过定点 ，
综上可得，直线 恒过定点 ；
【一隅三反】
1．（2022·浙江模拟）如图，已知点A是抛物线 在第一象限上的点，F为抛物线的焦点，
且 垂直于x轴．过A作圆 的两条切线，与抛物线在第四象限分别交于
M，N两点，且直线 的斜率为4．（1）求抛物线的方程及A点坐标；
（2）问：直线 是否经过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）解：因为 ，由 ，所以抛物线方程为 ，且
（2）解：设 的倾斜角依次为 ，由 可知 ，
再设 的斜率分别为 ，下证 ．
方法一：由 可知 且满足 ，
再由 ．
方法二：直线 的方程为 ，其中 分别对应 ，
于是 ，即 ，
，
即 ，由 可知 ．
因为直线 的方程为 ，其中 分别对应 ，
再设直线 的方程为 ，
联立求得其交点 均满足 ，
代入抛物线C的方程 ，于是有 ，
将 ，整理得 ，
进而得到 ， ．
将 代入前式，有 ，化简得 ，
再代入 的方程得 ，
所以 恒过定点 ．
2．（2022·西安模拟）已知抛物线 上的点 到其准线的距离为5．不过
原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当 时，求证：直线AB过定点．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由抛物线C的方程可得其准线方程 ，依抛物线的性质得 ，解得 ．
∴抛物线C的方程为 ．
（2）证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意；
当直线AB的斜率不为0时，设直线 ， 、 、 ，
由 化简得 ， ， ， ，
，所以 ，所以 ， ，
所以
若 ，即 ，解得 或 （舍去），所以直线AB过定点 .
3．（2022·朝阳模拟）已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 的直线 交椭圆 于另一点 ，过点 作斜率为 的直线 交椭圆
于另一点 ．若 ，求证：直线 经过定点．【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由已知可得 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为
（2）证明：当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
若直线 过点 ，则 、 必有一点与点 重合，不合乎题意，所以， ，
设点 、 ，
联立 可得 ，
，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，
由 可得 ，
即 ，
因为 ，整理可得 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，所以，直线 过定点 ；
若直线 的斜率不存在，则 ， ，
则 ，不合乎题意.综上所述，直线 过定点
考点二 定值
【例2】（2022高三上·大理月考）已知椭圆 过点 ，离心率为 ，直线
与椭圆E交于A，B两点，过点B作 ，垂足为C点，直线AC与椭圆E的另一个交
点为D.
（1）求椭圆E的方程；
（2）试问 是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【答案】（1） （2）
{b=√3
【解析】（1）解：由已知得 c √2 ，解得 ，所以
=
a 2
（2）解：由已知，不妨设 ，则 ， ，
所以 ， ，所以 ，
代入椭圆 的方程得： ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，
即 ，也即 为定值 .
【一隅三反】
1．（2022高三上·大同开学考）已知椭圆 的右焦点为F，离心率 ，点F到
左顶点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知四边形 为椭圆的内接四边形，若边 过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设
的斜率分别为 ，试分析 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）解：由题意知
{ c 1
= {a=2
a 2 ,⇒, ， ，
c=1
a+c=3
所以椭圆方程为 .
（2）解：设 ，则
可得： 代入椭圆方程整理得
由 代入上式得
， 是方程的一个解
∴点C的横坐标 ，
又因为 在直线 上
∴ ，同理：∵ ，
∴ ，即
∴ 为定值，定值 .
2．（2022·雅安模拟）已知椭圆 的右焦点为F，长轴长为4，离心率为 ．过点
的直线 与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值．
【答案】（1） （2）-1【解析】（1）由已知有 ，解得 ，故椭圆C的标准方程为： ；
（2）解：由已知直线l斜率不为零，故设其方程为 ，
由 消去x得：（ ，令 得 ．
设 ，则有 ，易知 ，
∴
所以 为定值-1．
3．（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 为椭圆 上一点.
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）若过点 且斜率为 的直线 与椭圆 相交于 两点，记直线 的斜率分别为
，试问 是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2）-1【解析】（1）解：设椭圆 的焦距为 ，
则 ，解得
故椭圆 的方程为 .
（2）解：由题意可知直线 的斜率存在，设直线 .
联立 整理得 ，
则 .
因为 ，所以 ，
则
故 为定值-1.
考点三 最值
【例3】（2022·陕西模拟）已知抛物线 上有一动点 ，过点 作抛物线
的切线 交 轴于点 ．
（1）判断线段 的中垂线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
（2）过点 作 的垂线交抛物线 于另一点 ，求 的面积的最小值．【答案】见解析
【解析】（1）解：设直线 的方程为 ，和抛物线方程 联立得： ，
由 ， 得 ，则 的解为 ，
由 得 ， ，得 ，
在 中，令 得 ，所以 ，
中点为 ，所以线段 的中垂线方程为 ，
所以线段 的中垂线过定点 .
（2）解：由（1）可知，直线 的方程为
将其与抛物线方程 联立得：
， ，
，
.
所以 的面积为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 时， .【一隅三反】
1．（2022·焦作模拟）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，
且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦AB， ，设弦AB， 的中点分别为P，Q，求 的
最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：依题意，设 ．
由抛物线的定义得 ，解得： ，
因为 在抛物线 上，
所以 ，所以 ，解得： ．
故抛物线 的方程为 ．
（2）解：由题意可知 ，直线AB的斜率存在，且不为0．
设直线AB的方程为 ， ， ．
联立 ，整理得： ，
则 ，从而 ．
因为P是弦AB的中点，所以 ，同理可得 ．
则
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
故 的最小值为8．
2．（2022·嵊州模拟）已知直线 和直线 与抛物线 分别相交于A，B
两点（异于坐标原点O），与直线 分别相交于P，Q两点，且 ．
（1）求线段 的中点M的轨迹方程；
（2）求 面积的最小值．
【答案】见解析
【解析】（1）解：设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
设直线 的方程为 ，由得 ，则 ，
于是 ，解得 ，
设线段 的中点 ，则 ，
所以 ，故线段 的中点M的轨迹方程
（2）解：直线 与直线 的交点横坐标为 ，同理 ，
所以 ，
由（1）知， ，
所以 ，所以 .
又直线 与x轴的交点坐标为 ，
所以 面积为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 时， 面积有最小值 .
