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10.5 抛物线（精练）（基础版）
题组一 抛物线的定义及运用
1．（2022·云南）已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为2，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由 ，可得其焦点 ，准线方程为 ，
因为点 到该抛物线焦点 的距离为2，所以点 到抛物线准线的距离为 ，
则 ，解得 ，故选：C.
2．（2022·云南·罗平县）若抛物线 上的一点 到它的焦点的距离为8，则
（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】由题意，抛物线 上的一点 到它的焦点的距离为8，
根据抛物线的定义，可得 ，解得 .故选：D.
3．（2022·安徽·高三开学考试）设抛物线 上一点 到 轴的距离是1，则点 到该抛物线焦点的
距离是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．13
【答案】B
【解析】因为 ，则准线方程为 ，
依题意，点 到该抛物线焦点的距离等于点 到其准线 的距离，即 .
故选: B.
4．（2022·全国·课时练习）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为图2所示的抛物线形，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点 处，已知卫星接收天
线的口径（直径）为 ，深度为 ，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，卫星接收天线的轴截面的上、下顶点分别记为 ， ，
设轴截面所在的抛物线的标准方程为 ，
由已知条件，得点 ，所以 ，解得 ，
所以所求焦点坐标为 ，
因此卫星接收天线的轴截面所在的抛物线的焦点到顶点的距离为 ．
故选：B
5．（2022·河南平顶山）已知抛物线 ， 为该抛物线上一点，B为圆
上的一个动点，则 的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意得： ,抛物线 焦点为 ，准线为 ，则
,当A,F,C三点共线时取等号，
而 ，故 的最小值为 ，
故答案为：3
6．（2022·全国·课时练习）已知点 为抛物线 上的一个动点，设点 到抛物线的准线的距离为 ，
点 ，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ．
过点 作抛物线准线的垂线，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，
则 ，
当且仅当 为线段 与抛物线的交点时，等号成立，
因此， 的最小值为 .故答案为： .
7．（2023·全国·高三专题练习）已知P为抛物线 上任意一点，F为抛物线的焦点， 为平面
内一定点，则 的最小值为__________．
【答案】5
【解析】由题意，抛物线的准线为 ，焦点坐标为 ，过点 向准线作垂线，垂足为 ，则
，
当 共线时，和最小；过点 向准线作垂线，垂足为 ，则 ，所以
最小值为5.故答案为：5.
题组二 抛物线的标准方程
1．（2022·云南）一个正三角形的两个顶点在抛物线 上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形
的面积为 ，则该抛物线的标准方程为______．【答案】
【解析】设正三角形边长为x．由三角形的面积公式： ，解得： ．
由抛物线的对称性，可知正三角形在抛物线上的两点关于x轴对称，则当 时，三角形的一个顶点坐标
为 ，代入 得 ；当 时，三角形的一个顶点坐标为 ，代入 得
．
综上， .
所以抛物线的标准方程为 ．
故答案为：
2．（2021·海南 ）已知抛物线的准线方程是 ，则抛物线的标准方程是__________．
【答案】
【解析】由题意，设抛物线的标准方程为 ，准线方程是 ，
抛物线的准线方程为 ，
，解得 ，
即所求抛物线的标准方程为
故答案为：
3．（2021·北京二中 ）已知抛物线 过点 ，则其准线方程为___________.
【答案】
【解析】 抛物线 经过点 ， ，解得： ，抛物线 的准线方程为
，
故答案为： ．4．（2022·福建泉州 ）已知抛物线 上有一点 与焦点之间的距离为3，则
___________.
【答案】2
【解析】由题意可得：准线为 ，故 ，则 故答案为：2．
5．（2022·湖南 ）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 是抛物线 上
一点， 到准线的距离为 ，且 ，则抛物线 的方程为____________.
【答案】
【解析】依题意可得 ，所以抛物线 的方程为 .
故答案为：
6．（2022·全国· 单元测试）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它
的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m，跨径为12m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距
离为______m．
【答案】
【解析】以抛物线的最高点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为 ， ，
因为抛物线过点 ，所以 ，可得 ，所以抛物线的焦点到准线的距离为 ．
故答案为：
7．（2022·黑龙江）设抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在坐标轴上，点 在抛物线 上， ，
若以线段 为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点，试写出一个满足题意的抛物线 的方程为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意，若抛物线的焦点 在 轴正半轴上，则可设抛物线方程为 （ ）， ，
，由焦半径公式可知 ，圆的半径为 ，
得 ，并且线段 中点的纵坐标是 ，所以以线段 为直径的圆与 轴相切，切点坐标
为 或 ，所以 ，
即点 的坐标为 ，代入抛物线方程 （ ）得 ，解得 或 ，即
当点 在 轴正半轴上时，抛物线方程是 或 .
同理，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ，当点F在 轴正半轴时，抛物线方程
为 或 ，当点 在 轴负半轴时，抛物线方程为 或 ．
故答案为： （答案不唯一）.
8．（2022·福建）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)经过点 ；(2)焦点为直线 与坐标轴的交点．
【答案】(1) 或
(2) 或
【解析】（1）当抛物线的标准方程为 时，将点 代入，得 ，即所求抛物线
的标准方程为 ；当抛物线的标准方程为 时，将点 代入，得 ，即
所求抛物线的标准方程为 ．综上，抛物线的标准方程为 或 ．
（2）令 ，得 ；令 ，得 所以抛物线的焦点坐标为 或 ．当焦点为 时，
抛物线的标准方程为 ．当焦点为 时，抛物线的标准方程为 ．综上，抛物线的标准
方程为 或 ．
题组三 直线与抛物线的位置关系
1（2022·陕西渭南·）已知抛物线 与直线 有且仅有一个交点，则 （ ）
A．4 B．2 C．0或4 D．8
【答案】C
【解析】联立 得： ，
当 时，交点为 ，满足题意；
当 时，由 ，解得 ，
综上可知： 或 ，
故选：C2．（2022·贵州黔东南 ）在平面直角坐标系 中，过点 的直线 交抛物线C： 于不同的
两点 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．56
【答案】B
【解析】易知直线 斜率存在，设 ： ，
联立方程
整理得
所以
所以
故选：B.
3．（2022·四川自贡 ）过点 与抛物线 只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【解析】由已知，可得
①当直线过点 且与 轴平行时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为 ，与抛物线 只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为 ，由 可得，
， ，解得 ，故直线方程 .
所以存在3条直线 ， ， 满足过点 与抛物线 只有一个公共点.故选：C.
4．（2022·上海徐汇 ）已知直线l过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，则符合要求的直
线l的条数为（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当直线 平行于 轴（即抛物线的）时，直线 与抛物线只有一个公共点，
直线 与抛物线的轴不平行时，由于 在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的
切线有两条．
综上，符合要求的直线 有3条．
故选：D．
5．（2022·哈尔滨）已知抛物线C的方程为 ，直线l过定点 ，若抛物线C与直线l只有一个
公共点，求直线l的方程．
【答案】 或 或
【解析】由题意知直线l的斜率存在，设直线 的斜率为k．
当 时，直线l的方程为 ，此时直线l与抛物线的对称轴平行，显然只有一个公共点；
当 时，设直线l的方程为 ，由 ，得 ，因为抛物线C
与直线l只有一个公共点，
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ，
即 或 ．
综上，直线l的方程为 或 或 ．
题组四 弦长
1．（2022·河南·高三开学考试（文））过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点，若 的
中点 的横坐标为2，则线段 的长为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设点 的横坐标分别为 ，则 .
由过抛物线的焦点的弦长公式知： .
故选：C
2（2023·全国·高三专题练习）直线 过抛物线 的焦点 ，且与 交于 两点，
则 （ ）
A．6 B．8 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为抛物线 的焦点坐标为 ，
又直线 过抛物线 的焦点F，所以 ，抛物线 的方程为 ，由 ，
得 ，所以 ，所以 ．
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与C交于A，B两点，则
三角形 的面积是（O为坐标原点）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，
则斜率为 的直线方程为： ，与抛物线方程联立得：
，设 ，不妨设 ， ，
则 ，
点O到直线AB的距离为 ，
所以△AOB的面积为
故选：B
4．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）若直线l经过抛物线 的焦点，与该抛物线交于A，
B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为______.
【答案】8
【解析】抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线交于两点，则其斜率存在，
设 的方程为 ， ，
则由 得 ，
， ，
又 ，所以 ，即 ， ，
所以 ．
故答案为：8．
5．（2022·全国·专题练习）设 为拋物线 ： 的焦点，其准线 与 轴的交点为 过点 且倾斜
角为 的直线交拋物线 于 两点，则 的面积为______.
【答案】
【解析】拋物线 ： 的焦点 ，准线 ，所以 ，过点 且倾斜角为 的直线方程为： ，即 0，
设
联立 得 ，
所以 ，
所以
点 到直线 0的距离
所以 ．
故答案为：
