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10.6 三定问题及最值（精练）（基础版）
题组一 定点
1．（2022·烟台模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为
， ， 为椭圆 上任意一点， 面积的最大值为1.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交
点分别为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.
2．（2022·莆田三模）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线 交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在
以线段 为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．3（2022·河南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，C的四个顶点围成的四边形面积
为 ．
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，若不过点Q的动直线l与C交于A，B两点，且 ，证明：l过定点．
题组二 定值
1．（2022·安徽模拟）点 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，
且 .
（1）求抛物线的方程；
（2）动点 ， 为抛物线在第一象限内两点，且直线 与直线 的倾斜角互补，求证：
是定值.2．（2022·安徽三模）已知椭圆C： 的离心率为 ，其右焦点为F，左顶点为A，
点P是椭圆C上异于点A的一个动点，且当 轴时，△APF的面积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线AP交直线l： 于点Q，直线l与x轴交于点T，证明： ．
3．（2022·延庆模拟）已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ，其中左顶点为 ，
右顶点为 ， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于点 ，
. 求证： 为定值.4．（2022·临沂模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为
， 为 的左顶点，且 ．
（1）求 的方程；
（2）若动直线 与 恰有1个公共点，且与 的两条渐近线分别交于点 、 ．求证：点 与点
的横坐标之积为定值．
5．（2022·青州模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，双曲线
的右顶点 在圆 上，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于点 、 ，设 为坐标
原点．求证： 的面积为定值．6．（2022·平江模拟）在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率
，直线 与 轴相交于点 ，与椭圆相交于点 ；
（1）求椭圆 的方程，
（2）在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，请求出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．题组三 最值
1．（2022·唐山二模）已知椭圆 的右焦点为F，椭圆 ．
（1）求 的离心率；
（2）如图：直线 交椭圆 于A，D两点，交椭圆E于B，C两点．
①求证： ；
②若 ，求 面积的最大值．2．（2022·枣庄模拟）已知双曲线 的实轴长为2．点 是抛物线
的准线与C的一个交点．
（1）求双曲线C和抛物线E的方程；
（2）过双曲线C上一点P作抛物线E的切线，切点分别为A，B．求 面积的取值范围．
3．（2022·济南模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A、B为椭圆C上两点，直线PA与PB的倾斜角互补，求△PAB面积的最大值．
