文档内容
9.5 三定问题及最值（精练）（提升版）
题组一 定点
1．（2022·成都模拟）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，椭圆C的右
顶点到抛物线 的准线的距离为4．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设与两坐标轴都不垂直的直线l与抛物线E相交于A，B两点，与椭圆C相交于M，N两点，O为坐
标原点，若 ，则在x轴上是否存在点H，使得x轴平分 ？若存在，求出点H的坐标；
若不存在，请说明理由．2．（2022·辽宁模拟）已知坐标原点为O，点P为圆 上的动点，线段OP交圆
于点Q，过点P作x轴的垂线l，垂足R，过点Q作l的垂线，垂足为S．
（1）求点S的轨迹方程C；
（2）已知点 ，过 的直线l交曲线C于M，N，且直线AM，AN与直线 交
于E，F，求证：E，F的中点是定点，并求该定点坐标
3．（2022·烟台模拟）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，其左､右焦点分别为 ，
， 为椭圆 上任意一点， 面积的最大值为1.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 与 轴的交
点分别为 ， ，证明：以 为直径的圆过定点.题组二 定值
1（2022·河东模拟）椭圆C： 的离心率 ， ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线
AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明： 为定值．2．（2022·四川模拟）在直角坐标系xOy中，长为3的线段AB的两端点A，B分别在x，y轴上滑动，动
点M满足
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设过点 的动直线l与（1）中的轨迹E交于C，D两点，是否存在定实数t，使得
为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·西安模拟）已知抛物线C： 的焦点为 ，准线与坐标轴的交点为 ， 、 是离心
率为 的椭圆S的焦点.
（1）求椭圆S的标准方程；
（2）设过原点O的两条直线 和 ， ， 与椭圆S交于A、B两点， 与椭圆S交于M、N两点.求
证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.4．（2022·浙江模拟）已知抛物线 ： 经过点 ，焦点为F，PF=2，过点
的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（1）求抛物线C的方程
（2）求直线 的斜率的取值范围；
（3）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
题组三 最值
1．（2022·浙江模拟）如图，已知点 ， 分别是椭圆 的左顶点和右焦点， 是 轴上一
点，且在点 左侧，过 和 的直线 与椭圆 交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D.（1）求直线 斜率的取值范围；
（2）记 ，MD分别与直线FG交于Q，R两点，求 面积的最小值.
2．（2022·南充模拟）已知点F是抛物线 的焦点，直线l与抛物线C相切于点
，连接PF交抛物线于另一点A，过点P作l的垂线交抛物线于另一点B．
（1）若 ，求直线l的方程；
（2）求三角形PAB面积S的最小值．题组四 定直线
1．（2022·宜宾模拟）设抛物线 ： ，以 为圆心，5为半径的圆被抛物线 的准
线截得的弦长为8．
（1）求抛物线 的方程；
（2）过点 的两条直线分别与曲线 交于点A，B和C，D，且满足 ， ，求证：
线段 的中点在直线 上．
2．（2022·和平模拟）已知点M是椭圆C： 上一点， ， 分别为椭圆C的上、
下焦点， ，当 ， 的面积为5.
（1）求椭圆C的方程：
（2）设过点 的直线 和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线 ，使得 与 （O是坐标原
点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线 的方程：若不存在，说明理由.3．（2022·齐齐哈尔模拟）已知点F为抛物线 的焦点，点 在抛物线C上，且
，直线 交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线 交抛物线C于M，N两点，直线AM与BN交于点T，求证：点T在定
直线上．
4．（2022·聊城模拟）已知椭圆C： 的离心率为 ，左顶点为 ，左焦点为 ，
上顶点为 ，下顶点为 ，M为C上一动点， 面积的最大值为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过 的直线l交椭圆C于D，E两点（异于点 ， ），直线 ， 相交于点Q，证明：
点Q在一条平行于x轴的直线上.5．（2022·河南模拟）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且过点
．
（1）求C的方程；
（2）若直线 与C交于M，N两点，直线 与 相交于点G，证明：点G在
定直线上，并求出此定直线的方程．
