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第10讲 抛物线(二)
复习要点 1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.
能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题．
直线与抛物线的位置关系
联立得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
①相切：k≠0，Δ＝0；
②相交：k≠0，Δ>0或k＝0；
③相离：k≠0，Δ<0.
常/用/结/论
抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)，且y>y，则有下列性质：
2 1 2
(1)yy ＝－ p 2 ， x x ＝ .
1 2 1 2
联立方程，利用根与系数的关系可求出．
焦半径：坐标式．
(2)|AF|＝x＋＝；
1
焦半径：倾斜角式，推导过程如下：
|BF|＝x＋＝；
2
|AB|＝x＋x＋p＝.
1 2
由(2)知|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝. 易知：通径是焦点弦中最短的弦．
(3)S ＝ .
△AOB
设点O到直线AB的距离为d，则d＝，由(2)知S＝|AB|d＝.
(4)＋为定值.
由(2)知＋＝＝.
(5) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(6) 以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切．
证明同(5)．
(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
由得两切线交点Q，又由yy ＝－p2知x ＝－，即Q点轨迹方程为准线x＝－. 易验证
1 2 Q
k ·k ＝－1，即QA⊥QB．
QA QB
1．判断下列结论是否正确．
(1)若直线与抛物线相交，则它们有1个或2个公共点．(√)
(2)所有的焦点弦中，通径的长最短．(√)
(3)若直线 l 过点(2p,0)，与抛物线 y2＝2px(p>0)交于 A，B 两点，O 为原点，则
OA⊥OB．(√)
(4)若过准线上一点P作抛物线的两条切线，A，B为切点，则直线AB过抛物线焦点．
(√)
2．直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|
＝( )
A．6 B．8
C．2 D．4
解析：因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点坐标为F，又直线y＝x－1过抛物线C：y2＝
2px(p>0)的焦点F，所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.由得x2－6x＋1＝0，所以x ＋x ＝
A B
6，所以|AB|＝x ＋x ＋p＝6＋2＝8.故选B．
A B
答案：B
3．过点P(4，－3)作抛物线y＝x2的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为
( )
A．2x－y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－3＝0
解析：设切点为A(x ，y)，B(x ，y)，又y′＝x，则切线PA的方程为y－y ＝x·(x－
1 1 2 2 1 1
x)，即y＝xx－y，切线PB的方程为y－y＝x(x－x)，即y＝xx－y，由P(4，－3)是PA，
1 1 1 2 2 2 2 2
PB的交点可知，－3＝2x －y ，－3＝2x －y ，由两点确定一条直线，可得过A，B的直线
1 1 2 2
方程为－3＝2x－y，即2x－y＋3＝0.故选A．
答案：A
4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．
解析：直线y＝kx＋2中，当k＝0时，y＝2，此时直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且
仅有一个公共点；当k≠0时，把y＝kx＋2代入抛物线y2＝8x，得(kx＋2)2＝8x，整理，得
k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，∵直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且仅有一个公共点，∴Δ＝(4k－8)2－16k2＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.
答案：0或1
题型 焦点弦问题
典例1 (1)(2024·河南驻马店期末)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F
的直线l与抛物线C交于A(点A在第一象限)，B两点，且＝2，则△ABO(O为坐标原
秒杀：不妨设AB的倾斜角θ为锐角，则＝＝＝2，即cosθ＝⇒sin θ＝⇒S
△ABO
＝＝＝.
点)的面积是( )
A．3 B．
C．2 D．4
(2)如图，已知线段AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条弦，过点A(A在第一象
限内)作直线AC垂直于抛物线的准线，垂足为C，直线AT与抛物线相切于点A，交x轴于
点T，给出下列命题：
①∠AFx＝2∠TAF；②|TF|＝|AF|；
③AT⊥CF.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)由题意可得F(1,0)， 设直线 l 的方程为 x ＝ my ＋ 1 .由于l的斜率不为0，故可设
倒斜截式．当然，由于本题斜率不存在时不满足＝2，故也可设点斜式．
联立整理得y2－4my－4＝0.
设A(x，y)(y>0)，B(x，y)(y<0)，则Δ>0，y＋y＝4m，yy＝－4.
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
∵＝2，∴y＝－2y，则－2y＝－4，解得y＝－，从而y－y＝3，
1 2 2 1 2
故△ABO的面积是|OF|·|y－y|＝×1×3＝.故选B．
1 2(2)根据抛物线的定义可知|AF|＝|AC|，由于AC垂直于抛物线的准线，所以AC∥x轴，
所以∠AFx＝∠CAF.设A，则C，F， 设 D 是 CF 的中点 ，则D，
由于|AC|＝|AF|，因此可想到取CF中点D，判断AD与抛物线的位置关系．
所以直线AD的方程为y－＝(x－0)，即y＝x＋.
由消去y并化简，得x2－px＋＝0，其判别式Δ＝(－p)2－4××＝0， 所以直线 AD 与抛物
线相切，故直线AD与直
到此便可判断①②③了．
线AT重合．由于D是CF的中点，所以AD⊥CF，也即AT⊥CF，③正确；根据等腰
三角形的性质可知∠CAF＝2∠TAF，所以∠AFx＝2∠TAF，①正确；由于AC∥x轴，所以
∠CAT＝∠FTA，所以∠FTA＝∠TAF，所以|TF|＝|AF|，②正确．综上所述，正确命题的个
数为3.故选D．
1．解决焦点弦问题时，要注意以下几点(以抛物线y2＝2px(p>0)为例)：
①设焦点弦与抛物线的交点为(x，y)，(x，y)．
1 1 2 2
②因为(x，y)，(x，y)在抛物线上，故满足y＝2px，y＝2px.
1 1 2 2 1 2
③利用yy＝4p2xx 可以整体得到yy 或xx.
1 2 1 2 1 2
2．利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，再转化为到准线的距离，再求解.
对点练1 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，
B，交其准线l于点C．若点F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C． D．
(2)已知抛物线y2＝4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A(x ，y)，B(x ，y)两点，若
1 1 2 2
x 3，x 三个数构成等差数列，则线段|AB|的长为( )
1, 2
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：如图，设准线l与x轴交于点M，过点A作准线l的垂线AD，交l于点D．由抛
物线的定义知|AD|＝|AF|＝4.因为点F是线段AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝
4，解得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x ，y)，B(x ，y)，则|AF|＝x ＋＝x ＋1＝
1 1 2 2 1 1
4，所以x ＝3，所以A(3,2)．又F(1,0)，所以k ＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，
1 AF
将此方程与抛物线方程y2＝4x联立后消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，所以x＋x＝，所
1 2
以|AB|＝x＋x＋p＝＋2＝.故选C．
1 2(2)由题意，抛物线y2＝4x，可得其焦点坐标为F(1,0)．
根据抛物线的定义，可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x＋＋x＋＝x＋x＋2.
1 2 1 2
又由x 3，x 三个数构成等差数列，所以
1, 2
x＋x＝6，所以|AB|＝6＋2＝8.
1 2
答案：(1)C (2)B
题型 抛物线的切线
典例2 (1)已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线 y 2 ＝ ax 恰有一个公共点 ，则实数a
的值
为____________．
(2)(2024·黑龙江哈师大附中期末)已知抛物线G：x2＝4y，过点P(2，2)向抛物线G作两
条切线，切点分别为A，B，则|AF|·|BF|＝________.
设切线方程，由联立方程后Δ＝0得斜率k，k，进而得切点A，B的坐标．
1 2
解析：(1)联立方程组
① 当 a ＝ 0 时 ，此方程组恰有一组解
即y2＝ax不是抛物线时．
② 当 a ≠0 时 ，消去x，得y2－y－1＝0.
即y2＝ax是抛物线时．
a． 若 a ＝－ 1 ，方程组恰有一组解
直线与轴平行．
b． 若 a ≠ － 1 ，令 Δ ＝ 0 ，得1＋＝0，解得a
直线与曲线相切时．
＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点．综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－.
故答案为0或－1或－.
(2)设A(x ，y )，B(x ，y )，由题意可知切线的斜率存在，
A A B B
设切线的斜率为k，可得切线方程为y－2＝k(x－2)，即y＝k(x－2)＋2，
联立方程组消去y并整理得x2－kx＋2k－2＝0①，
由Δ＝(－k)2－4×(2k－2)＝0，解得k＝－1，k＝＋1，
1 2
此时将k＝－1代入①中，可得x ＝2－2，同理得x ＝2＋2，
1 A B
所以y ＝4－2，y ＝4＋2.
A B又由抛物线的定义，可得
| AF |· | BF | ＝ ( y ＋ 1)( y ＋ 1) ＝y y ＋(y ＋y )＋1
A B A B A B
利用抛物线的定义，转化成到准线的距离．
＝(4－2)(4＋2)＋4－2＋4＋2＋1＝13.故答案为13.
1．直线与圆锥曲线相切时只有一个公共点，但只有一个公共点时未必相切，这主要体
现在抛物线和双曲线的情况．
2．在讨论时应注意要全面，不要忽略二次项的系数为零的情况.
对点练2 (1)(2024·河北衡水一中月考)已知抛物线y＝x2与圆C：(x－1)2＋(y
－2)2＝r2(r>0)有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝________.
(2)(2024·河北沧衡八校联盟)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切
于A，B两点，则三角形PAB的面积为________．
解析：(1)设点P，由y＝x2，求导得y′＝x，∴抛物线在P点处的切线的斜率k＝x.
0
∵圆(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)的圆心的坐标为C(1,2)，∴k ＝.
PC
由题意，得k ·k＝·x＝－1，解得x＝2.
PC 0 0
∴P(2,1)，∴r＝|PC|＝.
(2)抛物线C：x2＝4y，即y＝x2，故y′＝x，设A，B两点的坐标为A(x ，y)，B(x ，
1 1 2
y)，则有x＝，又x＝4y，整理得x＋2y＝4，同理得x＋2y＝4.
2 1 1 1 1 2 2
故直线AB的方程为x＋2y＝4，由得x2＋2x－8＝0，Δ>0，
故x＋x＝－2，xx＝－8，|AB|＝×＝3.
1 2 1 2
又点P到直线AB的距离为＝，
故三角形PAB的面积为×3×＝.
答案：(1) (2)
题型 直线与抛物线的综合问题
典例 3 (2022·全国甲卷，理)设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点
D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时， | MF | ＝ 3 .
可知x ＝p，即|MF|＝p＋.
M
(1)求C的方程；
(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为
α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．
解：(1)抛物线的准线方程为x＝－，
当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时|MF|＝p＋＝3，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设M，N，A，B， 直线 MN ： x ＝ my ＋ 1 ，
由于MN斜率不为0，则设为倒斜截式．
当m＝0时，易得α＝β＝90°，α－β＝0°；
当m≠0时，由可得y2－4my－4＝0，Δ＞0，yy＝－4，
1 2
由斜率公式可得k ＝＝，
MN
k ＝＝，
AB
直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0，
Δ＞0，yy＝－8，所以y＝2y，
1 3 3 2
同理可得y＝2y，
4 1
所以k ＝＝＝，
AB
又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β，
所以k ＝ tan β ＝＝，
AB
找到tan α与tan β的关系，进而表示出tan(α－β)，再研究最大值．
若要使α－β最大，则β∈，
设k ＝2k ＝2k＞0，
MN AB
则tan(α－β)＝＝＝≤＝，
显然利用基本不等式求最值．
当且仅当＝ 2 k ，即 k ＝时，等号成立 ，
一定要验证等号能否取到．
所以当α－β取得最大值时，k ＝，
AB
设直线AB：x＝y＋n，
代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0，
Δ＞0，yy＝－4n＝4yy＝－16，所以n＝4，
3 4 1 2
所以直线AB的方程为x－y－4＝0.
1．研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，
一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整
体代入”“点差法”以及定义的灵活应用． 注意适用条件：2个交点．
2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦
点，可直接使用公式|AB|＝x＋x＋p(焦点在x轴正半轴)，若不过焦点，则必须用弦长公式.
1 2
对点练3 (1)设F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，经过点F且斜率为1的
直线与C交于A，B两点．若△OAB(O为坐标原点)的面积为3，则p＝( )
A． B．
C．1 D．2
(2)(2024·四川雅安一诊)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l 与
1
C交于A，B两点(横坐标分别为x ，x ，点A在第一象限)，l 为C的准线，过点A与l 垂
A B 2 2
直的直线与l 相交于点M.若|AF|＝|FM|，则＝( )
2
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：(1)由题意可知AB：x＝y＋，设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立消去x可得y2－2py－p2＝0，Δ>0，y＋y＝2p，
1 2
∴x＋x＝y＋＋y＋＝3p，
1 2 1 2
∴|AB|＝x＋＋x＋＝4p.
1 2
又点O到AB的距离d＝，∴S ＝·4p·＝3，解得p＝.故选B．
△OAB
(2)设直线l 的斜率为k，倾斜角为θ.
1
由抛物线的定义知，|AM|＝|AF|，又|AF|＝|FM|，所以△AFM为等边三角形，且AM∥x
轴，所以θ＝，则k＝tan θ＝.
又F，则直线l 的方程为y＝，
1
联立化简得12x2－20px＋3p2＝0，解得x＝p或x＝，
显然x >x ，所以x ＝p，x ＝p.
A B A B
所以＝＝9.故选C．
答案：(1)B (2)C
