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【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题35 高考新题型开放性试题综合问题（新高考通用）
1．（2022秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）写出一个导函数恒大于等于2的函数
____________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】保证 即可.
【详解】可设 ，则 .
故答案为： （答案不唯一）
2．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通
项公式 ＝___．
① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.
【详解】依题意， 是等比数列，设其公比为 ，
由于① ，所以 ，
由于② ，所以 ，
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足 ，请写出一个符合题意的向量 的坐标
______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得 ，分析 、
的关系，利用特殊值法可得答案.
【详解】根据题意，向量 ，且 ，
则有 ，即 ，
当 时， ，则 .
故答案为： （答案不唯一）
4．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C： 存在以点 为中点的弦，请
写出一个满足条件的抛物线方程为_______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】抛物线存在以点 为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.
【详解】抛物线存在以点 为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当 时，
.
可取 ，则满足条件的抛物线方程为 .
故答案为： （答案不唯一）
5．（2023·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，
____________．
①最小正周期为 ； ② 在 上单调递增； ③ 成立．
【答案】 （答案不唯一）【分析】设 ， ，根据 ，则可设 ，根据
最小正周期为 ，可得 ，通过整体换元法则可得到 ，取 即可.
【详解】设 ， ，因为 ，
所以
所以 ，不妨设
因为 最小正周期为 ，所以
因为 在 上单调递增，所以
所以 ，
当 时， ，不妨设
所以满足条件之一的 ．
故答案为： .
6．（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数 的最大值为2，
则常数 的一个取值可为______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由三角函数的有界性得到 同时成立，不妨令 ，求
出 .
【详解】因为 ，
要想 的最大值为2，
需要 同时成立，
由 得到 ， ，不妨取 ，则 ，解得： ，
故答案为： （答案不唯一）
7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列性质①②的函数
_____________．
① ；② 在定义域上单调递增．
【答案】 （满足 均可）
【分析】由基本初等函数性质筛选判断即可
【详解】 ，且 单调递增．
故答案为： （满足 均可）
8．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知奇函数 在 上单调递减，且
，则函数 的解析式可以为 =______.（写出一个符合题意的函
数即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据正弦函数的周期和单调性的性质，直接写出符合题意的解析式即可.
【详解】因为 ，所以奇函数 的周期为4，所以可得
，
时， ，可知此时 在 上单调递减.
故答案为：
9．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知函数 满足：
，且当 时， ，请你写出符合上述条件的一个函数 __________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由 ，可得对数函数具有此性质，从而可得函数.
【详解】对于函数 ，
，
且当 时， ，
所以函数 满足条件，
故答案为： （答案不唯一）.
10．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线 与圆
相离，则整数 的一个取值可以是______．
【答案】 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数 的范围．
【详解】因为圆 的圆心为 ，所以圆心到直线 的距离 ，因为
圆 的方程可化简为 ，即半径为 ，所以 ，
所以 ，故整数 的取值可能是 ．
故答案为： 或 或 （注意：只需从 中写一个作答即可）
11．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）请写出与曲线 在 处具有
相同切线的另一个函数：______．
【答案】 （答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在 处的切线斜率，由此可得切线方程；若两
曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点 且在 处的导数值 即可，由
此可得曲线方程.
【详解】 的导函数为 ，又 过原点，
在原点 处的切线斜率 ，
在原点 处的切线方程为 ；
所求曲线只需满足过点 且在 处的导数值 即可，如 ，
，又 过原点，
在原点处的切线斜率 ，
在原点 处的切线方程为 .
故答案为: （答案不唯一）.
12．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）在某数学活动课上，数学教师把一块三
边长分别为6，8，10的三角板 放在直角坐标系中，则 外接圆的方程可以为
_____________．（写出其中一个符合条件的即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由题意边长分别为6，8，10的 为直角三角形，且外接圆的半径为 ，
可以将斜边的中点与坐标原点重合时，即可得解.
【详解】边长分别为6，8，10的 为直角三角形，且外接圆的半径为 ，
若将斜边的中点与坐标原点重合时，则圆心为 ，
所以其外接圆方程可以为 ，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为 的直角边落在 轴的正半轴时，则圆心为
，
所以其外接圆方程可以为 ，若将直角顶点与坐标原点重合，边长为 的直角边落在 轴的负半轴时，则圆心为
，
所以其外接圆方程可以为 ，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为 的直角边落在 轴的正半轴时，则圆心为
，
所以其外接圆方程可以为 ，
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为 的直角边落在 轴的负半轴时，则圆心为
，
所以其外接圆方程可以为 .
故答案为： .（答案不唯一）
13．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点 ，且与曲线 相切，写
出l的一个方程_______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】先对 求导，再假设直线l与 的切点为 ，斜率为 ，从而得到
关于 的方程组，解之即可求得直线l的方程.
【详解】因为 ，
所以 ，
不妨设直线l与 的切点为 ，斜率为 ，
则 ，解得 或 或 ，当 时，直线l为 ；
当 时，直线l为 ，即 ；
当 时，直线l为 ，即 ；
综上：直线l的方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一）.
14．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆
关于直线 对称，圆 ，请写出一条与
圆 都相切的直线方程：_____________. (写一条即可)
【答案】 (或 或 ，答案不唯
一，写一条即可)
【分析】根据圆与直线对称求得 ，进而判断两圆外切，从而确定公切线有三条.根据
直线与圆相切的几何条件建立方程从而可解.
【详解】因为圆 关于直线 对称，
故圆心 在直线 上，得 ，解得 ，
故圆 ，圆心 半径
而圆 的圆心 ，半径
所以两圆的圆心距为
所以两圆外切，公切线有三条.
显然公切线的斜率存在，设方程为 ，
于是有：两式相除得： 或 ，
当 时，得 ，
代入 可解得 或 ；
当 时， ，
代入 可解得 ，
所以三条公切线方程分别为：
， .
故答案为： (或 或 ，答案不
唯一，写一条即可)
15．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知 、 ，直线 上有且只有
一个点 满足 ，写出满足条件的其中一条直线 的方程__________．
【答案】 （答案不唯一，只需满足直线 与圆 相切即可）
【分析】设点 ，由 ，求出点 的轨迹方程，可知点 的轨迹为圆，
且圆心为 ，半径 ，分析可知直线 与圆 相切即可.
【详解】设点 ，由 可得 ，
整理可得 ，即点 的轨迹为圆，且圆心为 ，半径 ，
直线 上有且只有一个点 满足 ，所以，直线 与圆 相切，
所以，直线 的方程可为 .
故答案为： （答案不唯一，只需满足直线 与圆 相切即可）.
16．（2023·吉林白山·统考三模）写出一条与圆 和曲线 都相切的直线的方程：___________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设切线 与圆 相切于点 ，得到切线 的方程，与
联立，由判别式为零求解.
【详解】解：设切线 与圆 相切于点 ，则 ，
切线 的方程为 ，即 ，
将 与 联立，可得 ，
令 ，
联立解得 或 或 或
所以切线 的方程为 或 或 或
.
故答案为： （答案不唯一）
17．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知
，写出满足条件①②的一个 的值__________.
① ；② .
【答案】 或11.（答案不唯一）
【分析】令 ，得到 ，再由 求解.【详解】解：令 ，得 ，
，
由条件②知 .
又 的值可以为 或11.（答案不唯一）
故答案为： 或11.（答案不唯一）
18．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函
数： __________.
① 为奇函数；② 为偶函数；③ 在 上的值域为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据①②可知 是周期为4的周期函数，可根据三角函数的周期关系写出
符合题意的函数形式.
【详解】由②可知 ，由此可知 ，
，
故 是周期为4的奇函数， 是周期为4的偶函数，
因此不妨假设 ，则 ，
由③可知 或 均可.
故答案为： （答案不唯一）
19．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数 ，试举出一个 的值，使得 成立，则 可以为__________．（写出一个即
可）
【答案】-1或7
【分析】根据给出的分段函数自变量的范围,分情况讨论计算即可.
【详解】因为函数 ,
可得当 时, ,
当 时,
当 且 时,
与 矛盾,不合题意;
当 且 时,
, 则
当 时,则 ,
则 ,则 .
故答案为:-1或7.
20．（2022秋·江苏徐州·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式
为 __________.
①不是常数函数；② ；③ .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数.
【详解】因为 ，即 ，所以函数是偶函数，
因为 ，所以函数关于 对称，且函数不是常函数，所以满足条件
的函数 .
故答案为： （答案不唯一）21．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）写出与圆 和圆
都相切的一条直线的方程______.
【答案】 （答案不唯一，写其它三条均可）
【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为 ，根据圆心到直线的距
离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.
【详解】解：圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 ，即 ，
则有 ，
解得 或 或 或
所以公切线方程为 或 或
或 ，
即 或 或 或
.
故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可）22．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数 的部分图象如图所示，则满
足图象的一个解析式为______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设函数解析式为 ，根据函数得最值可求得
，再根据函数的对称性结合图象可得函数的最小正周期，从而可求得 ，再利用
待定系数法求得 即可.
【详解】解：设函数解析式为 ，
由图可知 ，解得 ，
，故 ，所以 ，
则 ，
由 ，
得 ，所以 ，可取 ，
所以满足图象的一个解析式可以为 .
故答案为： .（答案不唯一）23．（2023秋·广东清远·高三统考期末）已知P为双曲线C：
上异于顶点 ， 的任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，写出满足C的
焦距小于8且 的C的一个标准方程：_________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】首先设点 ， ， ，根据条件转化为关于 的
不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.
【详解】设 ， ， ，
，
所以 ，取 ，则 ， ，
所以满足条件的双曲线的标准方程是 .
故答案为： （答案不唯一）
24．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个性质的函数
______.
① 是奇函数；② 在 单调递增；③ 有且仅有3个零点.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一
个，再保证 单调递增即可写出解析式.【详解】由 是奇函数，不妨取 ，且函数图象关于原点对称；
又 有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，
若保证 在 单调递增，显然 满足.
故答案为： （答案不唯一）
25．（2022秋·江苏常州·高三校考期中）已知函数
的最小值为0，且 ，则 图象的一个对称中心的坐
标为________．
【答案】 (答案不唯一)
【分析】由二倍角公式化简，根据三角函数性质结合条件列式得 ，再求对称中心
坐标.
【详解】由题意得
，
所以 最小值为 ，则 ，
故 ，
而 ，
即 ， ，
所以 ，又 ， ，
故 ， ，
由 ，得 ， ，故 图象的对称中心为 .
故答案为： （答案不唯一）
26．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆 与圆
相外切，则圆 的标准方程可以是__________ 写出一个满足题
意的方程即可
【答案】 ．（答案不唯一）
【分析】根据题意易知圆 过坐标原点，圆 与圆 的切点即为坐标原点，则圆 的
圆心在直线 上，且其圆心在第一象限，可设圆 的圆心坐标为 ，则可求得
圆 的半径，再根据圆的标准方程，即可求得结果．
【详解】设经过坐标原点的圆 圆心为 ，半径为 ，则圆 方程：
，
圆 经过原点，则 ，即 ，
圆 ： 可化为 ，
则圆 圆心为 ，半径 ，
显然圆 经过坐标原点，
由题意，圆 与圆 相外切，
则圆 与圆 的切点即为坐标原点，则圆 的圆心在直线 上，且圆心在第一象限，
所以 ，可令 ，
则圆 的圆心为 ，
则点 到圆 圆心 的距离 ，
即 ，
则 ，则圆 方程： ，
故答案为：
27．（2023·山西·统考一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数 的解析式
______.
① ；② ；③ 在 上单调递增.
【答案】 （答案不唯一，满足条件即可）
【分析】根据题意得 图像关于直线 对称，点 对称，进而结合三角函数
性质和条件③求解即可.
【详解】解：由① 可知，函数 图像关于直线 对称；
由② 可知函数 图像关于点 对称；
所以， ，即 ，
所以 ，即函数 的周期为 ，
故考虑余弦型函数，不妨令 ，
所以， ，即 ，满足性质①②，
由③ 在 上单调递增可得 ，
故不妨取 ，即 ，此时满足已知三个条件.
故答案为：
28．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）写出一个同时
满足下列条件①②的等比数列 的通项公式 __________.① ；②
【答案】 （答案不唯一）
【分析】可构造等比数列，设公比为 ，由条件，可知公比 为负数且 ，再取符
合的值即可得解.
【详解】可构造等比数列，设公比为 ，
由 ，可知公比 为负数，
因为 ，所以 ，
所以 可取 设 ，
则 .
故答案为： .
29．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆C：
，过点 的直线l交C于A，B两点，且 ，请
写出一条满足上述条件的l的方程：________________．
【答案】 （答案不唯一， 也满足）
【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由
得 ，结合点线距离公式即可求解判断.
【详解】由题意得 ，半径 ， ，故 在圆外，
设C到直线的距离为d，
由 得 ，即 ，
解得 ，
当直线l斜率不存在时，即 ，此时 ，符合题意；当直线l斜率存在时，设为 ，即 ，则 ，
即 ，解得 ，故直线为 .
故答案为： （答案不唯一， 也满足）
30．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数 ，则使 在
上为增函数的 的值可以为__________.（写出一个即可）.
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【分析】根据三角函数单调性求出函数 在 ， 上单调递增，
使 在 上为增函数，令 ， ，解得 ，则 取
0，此时函数 的单调递增为 ，则 ，即可列式得出
，即可得出答案.
【详解】 ，
令 ， ，解得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，
而函数 在 上为增函数，
令 ， ，解得 ，
，则 取0，
此时函数 的单调递增为 ，
则 ，
则 ，解得 ，
则使 在 上为增函数的 的值的范围为 ，
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）
