文档文本内容
专题十二 数系的扩充与复数的引入
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．理解复数的基本概念 复数相等的充 １ ．理解复数定义中的ａ ＋ ｂ ｉ， ａ ， ｂ ∈ Ｒ的限定 ，
一、复数的概念 １
要条件．
， 虚部为ｂ
，
并非ｂ
ｉ，
此处ｂ
∈
Ｒ
，
理解复数的
及几何意义
．了解复数的代数形式及其几何意义． １
．本专题内容为高考热点
，
以容 分类．
２ 易题为主 题型主要以选择题或 ．处理复数概念问题时 一般采用定义法解
， ２ ，
填空题的形式出现． 决 在处理复数四则运算问题时 一般按照
， ，
．本专题内容主要考查复数的 运算法则进行 应加强数据处理能力的训练．
２ ，
概念 复数的四则运算 复数的 ．命题趋势 从近几年高考情况来看 今后考
１
．会进行复数代数形式的四则运算．
模及复
、
数的几何意义．
、 ３
查的重点是
：
复数的四则运算 同时也
，
兼顾考
二、复数的运算
２
．了解复数代数形式的加
、
减运算的几
查复数的几何意义 求模 共
，
轭复数等基本
何意义．
知识．
、 、
技巧点拨 理解以下结论 考试时可以
思路分析 核心素养 （２） ： ，
提高速度与准确率．
先将分子 分母同乘分母的共轭复数 再 数学运算．
、 ， ｚ ｚ ｚ ２ ｚ ２
化简求解． · ＝｜ ｜ ＝｜ ｜ ，
储备知识 ｚ ｚ ｚ ｚ
｜ １· ２｜＝｜ １｜·｜ ２｜，
核心考点 共轭复数的概念 复数的乘法． ｚ ｚ
、 １ ｜ １｜．
复数代数形式的四则运算． ｚ ＝ ｚ
知能拓展 ２ ｜ ２｜
解题过程 知识拓展 复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的模
（１） ： ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）
２－ｉ ＝ （２－ｉ）（１－２ｉ） ＝ －５ｉ ＝－ｉ， 故选 Ｄ ． 为 ｜ ｚ ｜＝ ａ２ ＋ ｂ２ ， 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） 的
１＋２ｉ （１＋２ｉ）（１－２ｉ） ５ 共轭复数为ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ．
＝ － ｉ（ ， ∈ ）
８２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８２９
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项
２０２０新高考Ⅱ，２ 易 复数的运算 复数的乘法 公式法 数学运算
５ 选择题
２０２０课标Ⅰ文，２ 选择题 易 复数的概念 复数的乘法、求复数的模 公式法 数学运算
５
２０２０北京，２ 选择题 易 复数的概念 复数的几何意义、乘法 公式法 数学运算
４
２０２０课标Ⅰ理，１ 选择题 易 复数的运算 复数的乘法、求复数的模 公式法 数学运算
５
单项
２０２０新高考Ⅰ，２ 易 复数的运算 复数的除法 公式法 数学运算
５ 选择题
２０２０天津，１０ 填空题 易 复数的运算 复数的除法 公式法 数学运算
５
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 本专题内容依然为高考热点 以容易题为主 题型主要以选择题或填空题的形式出现 分值为 分．
１ ２０２０ ， ， ， ， ５
．本部分内容在高考试题中主要考查复数的概念 复数的四则运算及复数的几何意义 注意计算的准确性．
２ ， ，
．在处理复数概念问题时 一般采用定义法解决问题 在处理复数四则运算问题时 一般按照运算法则进行 应加强数据处理能
３ ， ， ， ，
力的训练．
．本章重点考查的学科核心素养为数学运算．
４
命题变化与趋势
．从 年高考情况来看 考查方式及题目难度变化不大 延续此前的考试风格．
１ ２０２０ ， ，
．考查内容主要体现在以下方面 复数的有关概念 如纯虚数 共轭复数等． 复数的四则运算 复数的模等问题． 复数的几何
２ ：① ， ， ② ， ③
意义．本专题内容难度不大 应注意加强数学运算能力．
，
真题典例
核心考点 复数的基本概念 减法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ａｃ ｂｄ ｂｃ ａｄ
（１） ； （２） ： １－ ２＝（ ＋ ｉ）－（ ＋ ｉ）＝（ － （ ＋ ）＋（ － ）ｉ ｃ ｄ ．
复数的运算． ｃ ｂ ｄ ｃ２ ｄ２ （ ＋ ｉ≠０）
（２） ）＋（ － ）ｉ； ＋
储备知识 共轭复数的概念和复数 乘法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ 思路分析 复数的除法实质是将分母实
（１） （３） ： １· ２＝（ ＋ ｉ）·（ ＋ ｉ）＝（
的几何意义． ｂｄ ａｄ ｂｃ 数化 即复数的分子与分母同时乘分母
－ ）＋（ ＋ ）ｉ； ，
复数的加 减 乘 除法运算法则 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ ｃ ｄ 的共轭复数 分子用复数的运算法则求
（２） 、 、 、 ： 除法 １ ＋ ｉ （ ＋ ｉ）·（ － ｉ） ，
ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 则 （４） ：ｚ ＝ｃ ｄ ＝ ｃ ｄ ｃ ｄ ＝ 得 从而得结果．
１＝ ＋ ｉ， ２＝ ＋ ｉ（ ， ， ， ∈ ）， ２ ＋ ｉ （ ＋ ｉ）·（ － ｉ） ，
加法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａ 命题要求 理解复数的基本概念
（１） ： １＋ ２＝（ ＋ ｉ）＋（ ＋ ｉ）＝（ ＋ （１） ；
ｃ ｂ ｄ 会进行复数形式的四则运算．
）＋（ ＋ ）ｉ； （２）
８３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考点二 复数的运算
１．复数的加、减、乘、除运算法则
考点一 复数的概念及几何意义 设ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ 则
１＝ ＋ ｉ， ２＝ ＋ ｉ（ ， ， ， ∈ ），
１．复数的有关概念 加法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ ｂ ｄ
（１） ：１＋２＝（ ＋ ｉ）＋（ ＋ ｉ）＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）ｉ；
复数相等 ａ ｂ ｃ ｄ ａ ｃ且ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ Ｒ ． 减法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ （ａ ｃ） （ｂ ｄ）
（１） ： ＋ ｉ＝ ＋ ｉ⇔① ＝ ＝ （ ， ， ， ∈ ） （２） ：１－２＝（ ＋ ｉ）－（ ＋ ｉ）＝④ － ＋ － ｉ ；
共轭复数 ａ ｂ 与ｃ ｄ 共轭 ａ ｃ，ｂ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ 乘 法 ｚ ｚ ａ ｂ ｃ ｄ
（２） ： ＋ ｉ ＋ ｉ ⇔② ＝ ＝－ （ ， ， ， ∈ （３） ： １ · ２ ＝ （ ＋ ｉ） · （ ＋ ｉ） ＝
Ｒ ． （ａｃ ｂｄ） （ｂｃ ａｄ）
） ⑤ － ＋ ＋ ｉ ；
复数的模 ｚ ａ ｂ ａ ｂ ｃ ｄ ａｃ ｂｄ ｂｃ ａｄ
（３） 除法 １ ＋ ｉ （ ＋ ｉ）（ － ｉ） ＋ － ｃ ｄ ．
（ｉ） 概念 ： 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） 对应的向量Ｏ→Ｚ的模叫做ｚ （４） ：ｚ ２ ＝ｃ ＋ ｄ ｉ ＝ （ ｃ ＋ ｄ ｉ）（ ｃ － ｄ ｉ） ＝⑥ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ｃ２ ＋ ｄ２ｉ （ ＋ ｉ≠０）
２．复数加法的运算律
的模 记作 ｚ 或 ａ ｂ 即 ｚ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ．
， ｜ ｜ ｜ ＋ ｉ｜， ｜ ｜＝｜ ＋ ｉ｜＝③ ＋ 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何ｚ ｚ ｚ Ｃ 有
ｚ 、 ， １， ２， ３∈ ，
性质 若ｚ ｚ 为复数 则 ｚ ｚ ｚ ｚ １ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ．
（ｉｉ） ： １， ２ ， ｜ １· ２｜＝｜ １｜·｜ ２｜， ｚ ＝ １＋ ２＝ ２＋ １，（ １＋ ２）＋ ３＝ １＋（ ２＋ ３）
２ ３．复数加、减法的几何意义
ｚ
｜ １｜ ｚ ． 复数加法的几何意义
ｚ （｜ ２｜≠０） （１）
｜ ２｜
２．复数的几何意义 若复数ｚ
１、
ｚ
２
对应的向量Ｏ→Ｚ
１、
Ｏ→Ｚ
２
不共线
，
则复数ｚ
１＋
ｚ
２
是以
（１） 复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂ ｉ（ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ）
一
一
对
应
复平面内的点Ｚ （ ａ ， ｂ ） ．
Ｏ→Ｚ
１、
Ｏ→Ｚ
２ 复
为
数
两
减
邻
法
边
的
的
几
平
何
行
意
四
义
边形的对角线Ｏ→Ｚ所对应的复数．
一一对应 （２）
复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 平面向量 Ｏ→Ｚ Ｏ
（２） ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ） （ （０， 复数ｚ ｚ 是Ｏ→Ｚ Ｏ→Ｚ Ｚ→Ｚ 所对应的复数．
Ｚ ａ ｂ ． １－ ２ １－ ２＝ ２ １
０）， （ ， ））
答案
５
考点二 复数的运算
考点一 复数的概念及几何意义
５．若 ｘ ｙ １ ｘ ｙ Ｒ 是虚数单位 则ｘ ｙ
１．复数ｚ
＝（
ａ
＋１）＋（
ａ２
－３）ｉ（ｉ
为虚数单位
），
若ｚ
＜０，
则实数ａ的 （ ＋２ｉ）ｉ＝ －
ｉ
（ ， ∈ ，ｉ ）， ＋ ＝ （ ）
值是
（ ） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．３ Ｄ．－３
答案 Ａ
Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．－ ３
答案 Ｄ ６．已知复数ｚ ３ 是虚数单位 则ｚ的实部为
＝ （ｉ ）， （ ）
２．设ｘ Ｒ 是虚数单位 则 ｘ 是 复数ｚ ｘ２ ｘ １－２ｉ
∈ ，ｉ ， “ ＝２” “ ＝（ －４）＋（ ＋２）ｉ
为纯虚数 的 ３ ３ １ １
” （ ） Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．
充分不必要条件 充要条件 ５ ５ ５ ５
Ａ． Ｂ． 答案 Ｂ
必要不充分条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． ( )
２
答案 Ｂ ７．已知 为虚数单位 则 １－ｉ
ｉ ， ＝ （ ）
１＋ｉ
３．已知复数ｚ ２ 给出下列四个结论 ｚ ｚ２ ｚ的共
＝ ， ：①｜ ｜＝２；② ＝２ｉ；③ Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－ｉ Ｄ．ｉ
１－ｉ 答案 Ａ
轭复数ｚ ｚ的虚部为 ．其中正确结论的个数是
＝－１＋ｉ；④ ｉ （ ） α
８．对于两个复数α β 有下列四个结论 αβ
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ ＝１－ｉ， ＝１＋ｉ， ：① ＝１；② β
答案 Ｂ
α
４．已知复数ｚ ｚ ｚ 它们在复平面内所对应 α２ β２ 其中正确结论的个数为
１＝－１＋２ｉ， ２＝１－ｉ， ３＝３－２ｉ， ＝－ｉ；③ β ＝１；④ ＋ ＝０， （ ）
的点分别为Ａ Ｂ Ｃ Ｏ为坐标原点 若Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ ｙＯ→Ｂ 则ｘ ｙ
， ， ， ， ＝ ＋ ， ＋ Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
的值是 ． 答案 Ｃ
专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８３１
考点二 复数的运算
１．（２０１９贵州贵阳清华中学、凯里一中、遵义四中、毕节一中联
考点一 复数的概念及几何意义 考，１）若复数ｚ 则ｚ ｚ
＝４－ｉ， · ＝ （ ）
１．（２０１９河北示范性高中４月模拟，２）若ｚ ｍ２ ｍ ｍ
＝（ ＋ －６）＋（ －２）ｉ Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８
为纯虚数 是虚数单位 则实数ｍ的值为 答案 Ｃ ｚ ｚ ．
（ｉ ）， （ ） · ＝（４－ｉ）（４＋ｉ）＝１６－（－１）＝１７
２．（２０１９河南名校联考（四），２）若复数ｚ满足ｚ
Ａ．－２ Ｂ．２ ·（２－４ｉ）＝ １＋
则 ｚ
Ｃ．３ Ｄ．－３ ３ｉ， ｜ ｜＝ （ ）
答案 Ｄ ｚ ｍ２ ｍ ｍ 为纯虚数
∵ ＝（ ＋ －６）＋（ －２）ｉ ， ３ ２ １
{ｍ２ ｍ Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
＋ －６＝０，解得ｍ 故选 ２ ２ ２
∴ ｍ ＝－３， Ｄ．
－２≠０， 答案 Ｃ 依题意知 ｚ （１＋３ｉ）（２＋４ｉ） －１０＋１０ｉ １
２．（２０２０全国４月联考，２）如图 复数ｚ ｚ 在复平面上分别对 ＝ ＝ ＝－ ＋
， １， ２ （２－４ｉ）（２＋４ｉ） ２０ ２
应点Ａ Ｂ 则ｚ ｚ ( ) ( )
， ， １· ２＝ （ ） １ 故 ｚ １ ２ １ ２ ２ 故选
ｉ， ｜ ｜＝ － ＋ ＝ ， Ｃ．
２ ２ ２ ２
３．（２０２０陕西百校联盟九月联考，２）已知 是虚数单位 则３－２ｉ
ｉ ， ＝
２＋９ｉ
（ ）
１２ ３１ １２ ３１
Ａ． － ｉ Ｂ．－ ＋ ｉ
８５ ８５ ８５ ８５
Ａ．０ Ｂ．２＋ｉ Ｃ．－２－ｉ Ｄ．－１＋２ｉ
答案 Ｃ 由图可得ｚ ｚ ｚ ｚ １２ ３１ １２ ３１
１＝－１＋２ｉ， ２＝ｉ，∴ １· ２＝（－１＋２ｉ）·ｉ Ｃ． ＋ ｉ Ｄ．－ － ｉ
．故选 ８５ ８５ ８５ ８５
＝－２－ｉ Ｃ．
３．（２０２０江西宜春重点高中第一次月考，２）设 ｘ ｙ 其 答案 Ｄ ３－２ｉ （３－２ｉ）（２－９ｉ） ６－２７ｉ－４ｉ－１８ １２ ３１ ．
（１＋ｉ） ＝１＋ ｉ， ＝ ＝ ＝－ － ｉ
中ｘ ｙ是实数 是虚数单位 则 ｘ ｙ ２＋９ｉ （２＋９ｉ）（２－９ｉ） ８５ ８５ ８５
， ，ｉ ， ｜ ＋ ｉ｜＝ （ ） ４．（２０１８豫南九校第六次质量考评，２）已知复数 ａ ＋ｉ ｘ ｙ ａ ｘ
＝ ＋ ｉ（ ， ，
Ａ．１ Ｂ． ２ ２＋ｉ
ｙ Ｒ 是虚数单位 则ｘ ｙ
Ｃ． ３ Ｄ．２ ∈ ，ｉ ）， ＋２ ＝ （ ）
答案 Ｂ 因为 ｘ ｙ 所以ｘ ｘ ｙ 所以ｘ ｙ
（１＋ｉ） ＝１＋ ｉ， ＋ ｉ＝１＋ ｉ， ＝１， ３ ３
Ａ．１ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－１
故 ｘ ｙ ．故选 ５ ５
＝１， ｜ ＋ ｉ｜＝｜１＋ｉ｜＝ ２ Ｂ． 答案 Ａ 由题意得ａ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ
＋ｉ＝（ ＋ ｉ）（２＋ｉ）＝２ － ＋（ ＋２ ）ｉ，
４．（２０１９湖南湘潭二模，２）已知复数ｚ １ 是虚数单位 ｘ ｙ 故选
＝－ －１（ｉ ）， ∴ ＋２ ＝１， Ａ．
ｉ
则它的共轭复数ｚ在复平面内对应的点的坐标为 ５．（２０１８江西八所重点中学联考，２）设复数ｚ满足ｚ ｜２＋ｉ｜＋２ｉ
（ ） ＝
ｉ
Ａ．（－１，－１） Ｂ．（－１，１） 为虚数单位 则 ｚ
（ｉ ）， ｜ ｜＝ （ ）
Ｃ．（１，２） Ｄ．（１，－２）
答案 Ａ ｚ １ 则ｚ 对应的点的坐标为 Ａ．３ Ｂ． １０ Ｃ．９ Ｄ．１０
＝－ －１＝－１＋ｉ， ＝－１－ｉ，
ｉ 答案 Ａ ｚ ｜２＋ｉ｜＋２ｉ ５＋２ｉ （ ５＋２ｉ）（－ｉ）
故选 ＝ ＝ ＝ ＝２－ ５ｉ，
（－１，－１）， Ａ． ｉ ｉ ｉ·（－ｉ）
５．（２０２０河南郑州第二次质量检测，２）已知复数 ｚ ａ ａ 则 ｚ ．故选
＝ －ｉ（ ∈ ｜ ｜＝｜２－ ５ｉ｜＝ ４＋５＝３ Ａ．
Ｒ 若ｚ ｚ 则复数ｚ ６．（２０１９安徽江南十校第二次联考，１）已知 是虚数单位 则化
）， ＋ ＝８， ＝ （ ） ｉ ，
( )
Ａ．４＋ｉ Ｂ．４－ｉ Ｃ．－４＋ｉ Ｄ．－４－ｉ 简 １＋ｉ ２０１８ 的结果为
答案 Ｂ 由题意 ｚ ａ ａ Ｒ ｚ ａ 所以ａ ａ （ ）
， ＝ －ｉ（ ∈ ）， ＝ ＋ｉ， －ｉ＋ ＋ｉ＝８， １－ｉ
解得ａ 故ｚ ．故选
＝４， ＝４－ｉ Ｂ． Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．－１ Ｄ．１
解题方法 有关复数相等问题的求解步骤如下 第一步 先根
： ， 答案 Ｃ １＋ｉ （１＋ｉ）（１＋ｉ） ２ｉ
据复数的运算法则 把两个相等的复数都化为标准的代数形 ＝ ＝ ＝ｉ，
， １－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ２
式 第二步 根据复数相等的充要条件 列出相关方程 组 把 则原式 ２０１８ ４×５０４＋２ ２ ．
； ， ， （ ）， ＝ｉ ＝ｉ ＝ｉ ＝－１
复数问题转化为实数问题进行求解． 故选 ．
Ｃ
８３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
作一类同类项 不含 的看作另一类同类项 分别合并即可．
， ｉ ，
２．复数的除法
除法的关键是分子 分母同乘分母的共轭复数 解题中要注
、 ，
考法一 复数有关概念的解题方法 意把 的幂写成最简形式．
ｉ
例１ （２０２１届江苏泰州中学第一次月度检测，２）若复 ３．常用结论
２ ａ ｂ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ａ ｂ Ｒ ．
数ｚ １＋ｉ为纯虚数 则实数ａ的值为 （１±ｉ） ＝±２ｉ，（ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝ ＋ （ ， ∈ ）
＝ ａ ， （ ）
１＋ ｉ
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－
１
Ｄ．－１
例
（１）
（２０１９贵州黔东南州一模，２）１－２ｉ
＋
１＋２ｉ
＝ （ ）
２ １＋ｉ １－ｉ
（ ）（ ａ） ａ ａ ａ （ ａ）
解析 ｚ １＋ｉ １＋ｉ １－ ｉ １－ ｉ＋ｉ＋ １＋ ＋ １－ ｉ Ａ．－１ Ｂ．－ｉ Ｃ．１ Ｄ．ｉ
＝
１＋
ａ
ｉ
＝（
１＋
ａ
ｉ
）（
１－
ａ
ｉ
）＝
１＋
ａ２ ＝
１＋
ａ２ ＝
（２）
（２０１９辽宁沈阳质检（三），１）已知
ｉ
为虚数单位
，
则
ｉ
ａ ａ ì ï ï １＋ ａ ａ ２ ＝０ ， ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋…＋ｉ ２０１９等于 （ ）
１＋ ＋ ａ １ ２ ＋ １ １ ＋ － ａ２ｉ ． ∵ ｚ为纯虚数， ∴ í ï ï １ １ ＋ － ａ ， ∴ ａ ＝－１ ，故选 Ｄ ． Ａ．ｉ （２０１９陕西 Ｂ 西 ．１ 北工大附中第 Ｃ． 一 －ｉ 次适应性考 Ｄ 试 ．－ ， １ １）设复
î ａ２≠０ （３）
１＋
答案 Ｄ
数ｚ
＝
１－ｉ
，
ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
－
ｘ
＋１，
则ｆ
（
ｚ
）＝ （ ）
１＋ｉ
方法总结 １．解决与复数的基本概念和性质有关的问题
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．１＋ｉ
解题思路
时 应注意复数和实数的区别与联系 把复数问题实数化是解决
， ， 根据复数的除法运算法则 分别对两个式子化简 再
复数问题的关键． （１） ， ，
相加．或者按多项式加法直接通分也可得到结果．
２．复数的分类及所对应的点的位置问题都可以转化为复数
的实部与虚部应该满足的条件的问题 只需把复数化为ａ ｂ ａ （２） 利用 ｉ ｎ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） 的周期性求解．
ｂ Ｒ 的形式 列出实部和虚部满足的 ， 关系式即可． ＋ ｉ（ ， （３） 利用复数代数形式的乘除运算化简复数 ｚ ， 再代入函
∈
３
）
．解题时
，
一定要先看复数是不是ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的形式 以
数解析式求解．
＋ ｉ（ ， ∈ ） ，
（ ）（ ） （ ）（ ）
确定实部和虚部． 解析 （ ）１－２ｉ １＋２ｉ １－２ｉ １－ｉ ＋ １＋２ｉ １＋ｉ
１ ＋ ＝ （ ）（ ） ＝
１＋ｉ １－ｉ １＋ｉ １－ｉ
－１－３ｉ－１＋３ｉ ．故选 ．
＝－１ Ａ
２
例 （２０１９广东六校联考）已知 ｉ 是虚数单位 ， 复数 （１＋２ｉ） ２ 的 （ ２ ）由 ｉ ４ ｎ ＝１ ， ｉ ４ ｎ ＋１ ＝ｉ ， ｉ ４ ｎ ＋２ ＝－１ ， ｉ ４ ｎ ＋３ ＝－ｉ 知 ｉ ｎ（ｎ ∈ Ｎ∗）的周
共轭复数的虚部为 期为 ，且 ２ ３ ４ ，
（ ） ４ ｉ＋ｉ ＋ｉ ＋ｉ ＝ｉ－１－ｉ＋１＝０
又 ，所以原式 ２ ３ ，故
Ａ．４ｉ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．－４ ２０１９＝４×５０４＋３ ＝ｉ＋ｉ ＋ｉ ＝ｉ－１－ｉ＝－１
解析 复数ｚ
＝
（
１＋２ｉ
）２
＝１＋４ｉ＋
（
２ｉ
）２
＝－３＋４ｉ
，所以ｚ
＝－３－
选
Ｄ
．
，所以复数ｚ的虚部为 ．故选 ． 一题多解 由等比数列求和公式知， ｉ＋ｉ ２ ＋ｉ ３ ＋ … ＋ｉ ２０１９ ＝
４ｉ －４ Ｄ
答案 Ｄ ｉ
（
１－ｉ
２０１９）
ｉ
（
１＋ｉ
）
．
＝ ＝－１
１－ｉ １－ｉ
考法二 复数四则运算问题的解法 ｚ １－ｉ （１－ｉ） ２ ｆ ２
（３）∵ ＝ ＝ ＝－ｉ，∴ （－ｉ）＝（－ｉ） －（－ｉ）＋１
例２ （２０２１届广东深圳外国语学校第一次月考，１） １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
（１） ．
若 （２－ｉ） ｚ ＝３＋４ｉ， 则 ｜ ｚ ｜＝ （ ）
＝ｉ
故选 ．
Ａ
答案 （ ）Ａ （ ）Ｄ （ ）Ａ
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ．２ ３ Ｄ． ５ １ ２ ３
２
（２）
（１－２ｉ） 在复平面内对应的点位于
（ ）
例 （２０１９安徽马鞍山二模，３）已知复数ｚ １＋３ｉ
ｉ （１） ＝ （ｉ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
２－ｉ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 为虚数单位 ）， 则 ｜ ｚ ｜＝ （ ）
解析 （ ） ｚ ｚ ３＋４ｉ ｜３＋４ｉ｜ ．
１ ｜ ｜＝｜ ｜＝ ＝ ＝ ５ ３
２－ｉ ｜２－ｉ｜ Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． ３ Ｄ．
２
（ ２ ）
（
１－ ｉ ２ｉ
）２
＝ －３ ｉ －４ｉ ＝
（
－３ ｉ× － （ ４ｉ －
）
ｉ
（
） －ｉ
）
＝－４＋３ｉ ．该复数在复平 （２） （２０１９湖北武汉模拟，３）设复数ｚ满足１ １ ＋ － ２ ｚ ｚ ＝ｉ， 则ｚ ＝
面内对应的点为（ ， ），此点在第二象限，故选 ．
－４ ３ Ｂ （ ）
答案 （ ）Ｄ （ ）Ｂ
１ ２ １ ３ １ ３ １ ３ １ ３
方法总结 １．复数的乘法 Ａ．
５
＋
５
ｉ Ｂ．
５
－
５
ｉ Ｃ．－
５
＋
５
ｉ Ｄ．－
５
－
５
ｉ
复数的乘法类似于多项式的乘法 可将含有虚数单位 的看
， ｉ
专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８３３
（ ）（ ） ｚ
解析 （ ） ｚ １＋３ｉ １＋３ｉ ２＋ｉ １ ７ ， ｚ 由１＋２ 得 ｚ ｚ ｚ －１＋ｉ （－１＋ｉ）（２－ｉ）
１ ∵ ＝ ＝ （ ）（ ） ＝ － ＋ ｉ ∴ ｜ ｜ ＝ （２） ｚ ＝ｉ， １＋２ ＝ｉ－ｉ ，∴ ＝ ＝ ＝
２－ｉ ２－ｉ ２＋ｉ ５ ５ １－ ２＋ｉ （２＋ｉ）（２－ｉ）
( ) ( )
－ １ ２ ＋ ７ ２ ＝ ２ ．故选 Ａ． － １ ＋ ３ ｉ ．故选 Ｃ ．
５ ５
５ ５
答案 （ ）Ａ （ ）Ｃ
１ ２
考法二 复数四则运算问题的解法
５．（２０２１届安徽太和第一中学开学摸底，２）设ａ Ｒ 若复数１－ｉ
考法一 复数有关概念的解题方法 ∈ ， ａ
＋ｉ
１．（２０１９东北三省三校（师大附中、东北师大附中、辽宁省实验 为虚数单位 在复平面内对应的点在直线ｙ ｘ上 则ａ
（ｉ ） ＝ ， ＝
中学）一模，１）复数 的虚部是
（１－ｉ）（３＋ｉ） （ ） （ ）
Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．－２ Ａ．－１ Ｂ．０
答案 Ｄ
Ｃ．１ Ｄ．２
答案 Ｂ
２．（２０１９辽宁辽南协作体一模）已知 是虚数单位 复数ｚ １－ｉ
ｉ ， ＝ ， ６．（２０１９吉林长春质量监测（一），２）复数
｜ｉ｜ （－１＋３ｉ）（３－ｉ）＝
下列说法正确的是
（ ） （ ）
ｚ的虚部为 ｚ对应的点在第一象限
Ａ． －ｉ Ｂ． Ａ．１０ Ｂ．－１０
ｚ的实部为 ｚ的共轭复数为
Ｃ． －１ Ｄ． １＋ｉ Ｃ．１０ｉ Ｄ．－１０ｉ
答案 Ｄ 答案 Ｃ
ｍ
３．（２０１９湖南长沙统一检测）在复平面内 复数 ＋ｉ 为虚数单 ７．（２０１９辽宁大连第一次（３月）双基测试，１）１＋ｉ
， ｍ （ｉ ＝ （ ）
－ｉ １－ｉ
位 对应的点位于第一象限 则实数ｍ的取值范围是
） ， （ ） Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ
Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（－∞，０） Ｃ．（０，＋∞） Ｄ．（１，＋∞） Ｃ．２ｉ Ｄ．－２ｉ
答案 Ｄ 答案 Ａ
４．（２０２１届安徽皖江名校联盟第一次联考，２）复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ ８．（２０１９黑龙江大庆二模，１）若复数ｚ满足 ｚ ２
＝ ＋ ｉ（ ， （２＋ｉ） ＝４－（１＋ｉ）
Ｒ 满足 ｚ 则ａ ｂ 其中 是虚数单位 则 ｚ
∈ ） （１－２ｉ） ＝１＋２ｉ， － ＝ （ ） （ ｉ ）， ｜ ｜＝ （ ）
１ １ ７ ７ Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ． ５ Ｄ．２ ５
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－ Ｄ． 答案 Ａ
５ ５ ５ ５
答案 Ｃ
１
Ｃ． Ｄ．－１
２
ａ ａ ａ
答案 Ｃ 因为 ＋ｉ ２ －１ ２＋ 是纯虚数
考法一 复数有关概念的解题方法 ＝ ＋ ｉ ，
２－ｉ ５ ５
１．（２０１９湖南岳阳二模，３）已知ａ ｂ Ｒ 是虚数单位 ａ ａ ａ
， ∈ ，ｉ ，（ －ｉ）ｉ＝ 所以２ －１ ２＋ 所以ａ １ 选
ｂ 则ａ ｂ 的共轭复数为 ＝０， ≠０， ＝ ， Ｃ．
－２ｉ， ＋ ｉ （ ） ５ ５ ２
４．（２０２０黑龙江哈尔滨三中一模，２）已知ｚ的共轭复数是ｚ 且 ｚ
Ａ．－２－ｉ Ｂ．－２＋ｉ Ｃ．２－ｉ Ｄ．２＋ｉ ， ｜
{ ｂ ｚ 为虚数单位 则复数ｚ在复平面内对应的点位于
答案 Ａ 由 ａ ａ ｂ 得 １＝ ， ａ ｂ ｜＝ ＋１－２ｉ（ｉ ），
（ －ｉ）ｉ＝１＋ ｉ＝ －２ｉ， ａ ∴ ＋ ｉ＝－２＋ｉ，
＝－２， （ ）
其共轭复数为 ．故选 第一象限 第二象限
－２－ｉ Ａ． Ａ． Ｂ．
２．（２０１９云、桂、川、黔名校高三第二次联考，２）若 为虚数单 第三象限 第四象限
ｉ Ｃ． Ｄ．
位
，
ａ
∈
Ｒ
，
则
“
ａ
＝１”
是
“
ｚ
＝（
ａ２
－１）＋
ａ
ｉ
为纯虚数
”
的
（ ）
答案 Ｄ 本题主要考查了复数相等
、
复数在复平面内对应
充分不必要条件 必要不充分条件 的点 考查学生的数学运算能力和方程思想的应用．
Ａ． Ｂ． ，
Ｃ．
充要条件
Ｄ．
既不充分也不必要条件 设ｚ
＝
ｘ
＋
ｙ
ｉ（
ｘ
，
ｙ
∈
Ｒ
），
因为
｜
ｚ
｜＝
ｚ
＋１－２ｉ，
所以 ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｘ
－
ｙ
ｉ＋１－
答案 Ａ 当ｚ
＝（
ａ２
－１）＋
ａ
ｉ
为纯虚
ａ
数时
，
ａ
＝±１
．故选
Ａ
．
ｘ ｙ 所以
{ ｘ２
＋
ｙ２
＝
ｘ
＋１，解得
{
ｘ
＝
３
，所以复
３．（２０１８安徽安庆二模，１）已知复数 ＋ｉ是纯虚数 是虚数单 ２ｉ＝（ ＋１）－（ ＋２）ｉ， ｙ ２
２－ｉ
（ｉ ＋２＝０， ｙ
＝－２，
位 则实数ａ等于 ( )
）， （ ） 数ｚ在复平面内对应的点为 ３ 此点位于第四象限．故
，－２ ，
Ａ．－２ Ｂ．２ ２
选 ．
Ｄ
８３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
易错警示 解决复数问题要把握一点 即复数问题实数 故选
（１） ， １）＝－１， Ｃ．
化 这是解决复数问题最基本的思想方法． 本题求解的关键
， （２） ３．（２０１８上海师大附中适应性考试（二），１３）设复数 ｚ １
是先把复数ｚ用复数的基本形式表示出来 再用待定系数法求 ＝－ ＋
， ２
解．这是常用的数学方法． 本题易错的原因是想不到利用待
（３） ３ 则满足等式ｚｎ ｚ 且大于 的正整数ｎ中最小的是
定系数法 或不能将复数问题转化为实数问题求解． ｉ， ＝ ， １
， ２
（ ）
考法二 复数四则运算问题的解法
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
１．（２０２０东北育才学校１０月月考，２）若复数ｚ满足 ｚ
（１－ ３ｉ） ＝ 答案 Ｂ 因为ｚ １ ３
是虚数单位 则ｚ的虚部为 ＝－ ＋ ｉ，
｜ ３＋ｉ｜（ｉ ）， （ ） ２ ２
æ ö２
３ 所以ｚ２ ç １ ３ ÷ １ ３ ３ １ ３
Ａ． Ｂ． ３ ＝è－ ＋ ｉø ＝ － － ｉ＝－ － ｉ，
２ ２ ２ ４ ４ ２ ２ ２
æ ö２æ ö
３ 所以ｚ３ ç １ ３ ÷ ç １ ３ ÷
Ｃ．－ Ｄ．－ ３ ＝è－ ＋ ｉø è－ ＋ ｉø
２ ２ ２ ２ ２
æ öæ ö
答案 Ａ 因为 ｚ ２ ２ ç １ ３ ÷ç １ ３ ÷
（１－ ３ｉ） ＝｜ ３＋ｉ｜＝ （ ３） ＋１ ＝２， ＝è－ － ｉøè－ ＋ ｉø＝１，
２ ２ ２ ２
所以ｚ
＝ １－
２
３ｉ ＝ ２
１
＋ ２
３
ｉ，
所以复数ｚ的虚部为
２
３
，
故选
Ａ
．
所以ｚ４ ＝
æ
è ç － １ ＋ ３ ｉ
ö
ø ÷
３æ
è ç － １ ＋ ３ ｉ
ö
ø ÷ ＝－ １ ＋ ３ ｉ＝ ｚ ，
２．（２０１８湖南师大附中月考，１）设 是虚数单位 则 ２ ３ ２ ２ ２ ２ ２ ２
ｉ ， －１＋ｉ－ｉ ＋ｉ － 因此 满足等式 ｚｎ ｚ 且大于 的正整数 ｎ 中最小的是 ．故
４ １００ ， ＝ ， １ ４
ｉ ＋…－ｉ ＝ （ ） 选 ．
Ｂ
Ａ．１ Ｂ．０ Ｃ．－１ Ｄ．ｉ
答案 Ｃ 原式
＝－１＋（ｉ＋１－ｉ－１）＋（ｉ＋１－ｉ－１）＋…＋（ｉ＋１－ｉ－
考点一 复数的概念及几何意义 ８．（２０１７北京，２，５分）若复数 ａ 在复平面内对应的点
（１－ｉ）（ ＋ｉ）
在第二象限 则实数ａ的取值范围是
１．（２０２０课标Ⅲ理，２，５分）复数 １ 的虚部是 ， （ ）
（ ）
１－３ｉ Ａ．（－∞，１） Ｂ．（－∞，－１）
３ １ １ ３ Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（－１，＋∞）
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． 答案 Ｂ
１０ １０ １０ １０
答案 Ｄ ９．（２０１７山东，２，５分）已知ａ Ｒ 是虚数单位．若ｚ ａ
２．（２０２０浙江，２，４分）已知ａ ∈ Ｒ ， 若ａ －１＋（ ａ －２）ｉ（ｉ 为虚数单 ｚ ｚ 则ａ ∈ ，ｉ ＝ ＋ ３ｉ，
位 是实数 则ａ · ＝４， ＝ （ ）
） ， ＝ （ ） ． 或 ． 或 ． ．
Ａ１ －１ Ｂ ７ － ７ Ｃ － ３ Ｄ ３
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ 答案 Ａ
答案 Ｃ
１０．（２０１６山东，１，５分）若复数ｚ满足 ｚ ｚ 其中 为虚数
３．（２０２０课标Ⅰ文，２，５分）若ｚ ３ 则 ｚ ２ ＋ ＝３－２ｉ， ｉ
＝１＋２ｉ＋ｉ ， ｜ ｜＝ （ ） 单位 则ｚ
， ＝ （ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
答案 Ｃ Ａ．１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ
４．（２０２０北京，２，４分）在复平面内 复数 ｚ 对应的点的坐标是 Ｃ．－１＋２ｉ Ｄ．－１－２ｉ
， 答案 Ｂ
则 ｚ
（１，２）， ｉ· ＝ （ ） １１．（２０１７课标Ⅰ，３，５分）设有下面四个命题
：
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．－２＋ｉ Ｃ．１－２ｉ Ｄ．－２－ｉ
答案 Ｂ ｐ 若复数ｚ满足 １ Ｒ 则ｚ Ｒ
１： ｚ ∈ ， ∈ ；
５．（２０１８浙江，４，４分）复数 ２ 为虚数单位 的共轭复数是 ｐ 若复数ｚ满足ｚ２ Ｒ 则ｚ Ｒ
（ｉ ） ２： ∈ ， ∈ ；
１－ｉ ｐ 若复数ｚ ｚ 满足ｚ ｚ Ｒ 则ｚ ｚ
３： １， ２ １ ２∈ ， １＝ ２；
（ ） ｐ 若复数ｚ Ｒ 则ｚ Ｒ．
４： ∈ ， ∈
Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ 其中的真命题为
答案 Ｂ （ ）
ｐ ｐ ｐ ｐ
６．（２０１９课标Ⅱ，２，５分）设ｚ 则在复平面内ｚ对应的点 Ａ． １， ３ Ｂ． １， ４
＝－３＋２ｉ， ｐ ｐ ｐ ｐ
位于 Ｃ． ２， ３ Ｄ． ２， ４
（ ） 答案 Ｂ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． １２．（２０２０江苏，２，５分）已知 是虚数单位 则复数ｚ
答案 Ｃ ｉ ， ＝（１＋ｉ）（２
的实部是 ．
７．（２０１６课标Ⅱ，１，５分）已知ｚ ｍ ｍ 在复平面内 －ｉ）
＝（ ＋３）＋（ －１）ｉ 答案
对应的点在第四象限 则实数ｍ的取值范围是 ３
， （ ） １３．（２０２０课标Ⅱ理，１５，５分）设复数ｚ ｚ 满足 ｚ ｚ
Ａ．（－３，１） Ｂ．（－１，３） １， ２ ｜ １｜＝｜ ２｜＝２，
ｚ ｚ 则 ｚ ｚ ．
Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（－∞，－３） １＋ ２＝ ３＋ｉ， ｜ １－ ２｜＝
答案 Ａ 答案
２ ３
专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８３５
１４．（２０１８江苏，２，５分）若复数ｚ满足 ｚ 其中 是虚数 答案 Ｄ
ｉ· ＝１＋２ｉ， ｉ
单位 则ｚ的实部为 ．
， ２１．（２０１７课标Ⅱ，１，５分）３＋ｉ
答案 ＝ （ ）
２ １＋ｉ
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ Ｃ．２＋ｉ Ｄ．２－ｉ
考点二 复数的运算 答案 Ｄ
１５．（２０２０新高考Ⅱ，２，５分） ２２．（多选题）（２０２１ 新高考适应卷，１０，５ 分）设 ｚ ｚ ｚ 为复
（１＋２ｉ）（２＋ｉ）＝ （ ） １， ２， ３
数 ｚ ．下列命题中正确的是
Ａ．－５ｉ Ｂ．５ｉ Ｃ．－５ Ｄ．５ ， １≠０ （ ）
答案 Ｂ 若 ｚ ｚ 则ｚ ｚ 若ｚ ｚ ｚ ｚ 则ｚ ｚ
Ａ． ｜ ２｜＝｜ ３｜， ２＝± ３ Ｂ． １ ２＝ １ ３， ２＝ ３
１６．（２０２０课标Ⅰ理，１，５分）若ｚ ＝１＋ｉ， 则 ｜ ｚ２ －２ ｚ ｜＝ （ ） Ｃ． 若ｚ ２＝ ｚ ３， 则 ｜ ｚ １ ｚ ２｜＝｜ ｚ １ ｚ ３｜ Ｄ． 若ｚ １ ｚ ２＝｜ ｚ １｜ ２ ， 则ｚ １＝ ｚ ２
答案 ＢＣ
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２
答案 Ｄ
２３．（２０２０天津，１０，５分） 是虚数单位 复数８－ｉ ．
１７．（２０２０课标Ⅱ文，２，５分） （１－ｉ） ４ ＝ （ ） ｉ ， ２＋ｉ ＝
答案
Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．－４ｉ Ｄ．４ｉ ３－２ｉ
答案 Ａ
２４．（２０１９ 天津，９，５ 分） 是虚数单位 则 ５－ｉ 的值为
１８．（２０２０课标Ⅲ文，２，５分）若ｚ 则ｚ ｉ ，
１＋ｉ
（１＋ｉ）＝１－ｉ， ＝ （ ）
．
Ａ．１－ｉ Ｂ．１＋ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．ｉ
答案 Ｄ 答案
１３
１９．（２０１８课标Ⅰ，１，５分）设ｚ １－ｉ 则 ｚ ２５．（２０１９浙江，１１，４分）复数 ｚ １ 为虚数单位 则 ｚ
＝ ＋２ｉ， ｜ ｜＝ （ ） ＝ （ｉ ）， ｜ ｜ ＝
１＋ｉ １＋ｉ
．
１
Ａ．０ Ｂ． Ｃ．１ Ｄ． ２
２ 答案 ２
答案 Ｃ
２
２０．（２０１８课标Ⅱ，１，５分）１＋２ｉ ２６．（２０１７浙江，１２，６分）已知ａ ， ｂ ∈ Ｒ ，（ ａ ＋ ｂ ｉ） ２ ＝３＋４ｉ（ｉ 是虚
１－２ｉ
＝ （ ） 数单位
），
则ａ２
＋
ｂ２
＝ ，
ａｂ
＝
．
答案
４ ３ ４ ３ ５；２
Ａ．－ － ｉ Ｂ．－ ＋ ｉ
５ ５ ５ ５
３ ４ ３ ４
Ｃ．－ － ｉ Ｄ．－ ＋ ｉ
５ ５ ５ ５
考点一 复数的概念 ４．（２０１７课标Ⅲ理，２，５分）设复数ｚ满足 ｚ 则 ｚ
（１＋ｉ） ＝２ｉ， ｜ ｜＝
１．（２０１９课标Ⅱ文，２，５分）设ｚ 则ｚ
＝ｉ（２＋ｉ）， ＝ （ ） （ ）
Ａ．１＋２ｉ Ｂ．－１＋２ｉ １ ２
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２
Ｃ．１－２ｉ Ｄ．－１－２ｉ ２ ２
答案 Ｄ 本题主要考查复数的有关概念及复数的运算 考 答案 Ｃ 本题考查复数的运算及复数的模．
；
查学生的运算求解能力 考查数学运算的核心素养．
； ｚ ｚ ２ｉ ２ｉ（１－ｉ） ２（１＋ｉ） ．
ｚ ２ ｚ 故选 ． ∵ （１＋ｉ） ＝２ｉ，∴ ＝ １＋ｉ ＝ （１＋ｉ）（１－ｉ） ＝ ２ ＝１＋ｉ
∵ ＝ｉ（２＋ｉ）＝２ｉ＋ｉ ＝－１＋２ｉ，∴ ＝－１－２ｉ， Ｄ
解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键． ｚ ２ ２ ．
∴ ｜ ｜＝ １ ＋１ ＝ ２
２．（２０１９课标Ⅰ理，２，５分）设复数ｚ满足 ｜ ｚ －ｉ｜＝１， ｚ在复平面 一题多解 ∵ （１＋ｉ） ｚ ＝２ｉ，∴ ｜１＋ｉ｜·｜ ｚ ｜＝｜２ｉ｜， 即 １ ２ ＋１ ２ ·
内对应的点为 ｘ ｙ 则 ｚ ｚ ．
（ ， ）， （ ） ｜ ｜＝２，∴ ｜ ｜＝ ２
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２ ５．（２０１７课标Ⅰ文，３，５分）下列各式的运算结果为纯虚数的
Ａ．（ ＋１） ＋ ＝１ Ｂ．（ －１） ＋ ＝１
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２ 是
Ｃ． ＋（ －１） ＝１ Ｄ． ＋（ ＋１） ＝１ （ ）
答案 Ｃ 本题主要考查复数的概念及几何意义 考查学生
； Ａ．ｉ（１＋ｉ） ２ Ｂ．ｉ ２ （１－ｉ） Ｃ．（１＋ｉ） ２ Ｄ．ｉ（１＋ｉ）
的运算求解能力 以及数形结合思想 考查的核心素养是数学 答案 Ｃ 本题考查复数的运算和纯虚数的定义．
， ；
运算． ． ２
Ａｉ（１＋ｉ） ＝ｉ×２ｉ＝－２；
设复数ｚ与 分别表示复平面内的点Ｚ与点Ｐ 则Ｐ 且 ｚ ． ２
ｉ ， （０，１）， ｜ －ｉ｜ Ｂｉ（１－ｉ）＝－（１－ｉ）＝－１＋ｉ；
表示复平面内点Ｚ 与点 Ｐ 之间的距离 所以点 Ｚ ｘ ｙ 到点 ． ２
， （ ， ） Ｃ（１＋ｉ） ＝２ｉ；
Ｐ 的距离为定值 所以Ｚ的轨迹是以 为圆心 为 ． 故选 ．
（０，１） １， （０，１） ，１ Ｄｉ（１＋ｉ）＝－１＋ｉ， Ｃ
半径的圆 故选 ． ６．（２０１６课标Ⅰ理，２，５分）设 ｘ ｙ 其中ｘ ｙ是实数
， Ｃ （１＋ｉ） ＝１＋ ｉ， ， ，
３．（２０１７课标Ⅲ文，２，５分）复平面内表示复数ｚ 的点 则 ｘ ｙ
＝ｉ（－２＋ｉ） ｜ ＋ ｉ｜＝ （ ）
位于
（ ） Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 答案 Ｂ ｘ ｙ Ｒ ｘ ｙ ｘ ｘ ｙ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ∵ ， ∈ ，（１＋ｉ） ＝１＋ ｉ，∴ ＋ ｉ＝１＋ ｉ，
答案 Ｃ ｚ ２ 所以复数ｚ {ｘ
＝ｉ（－２＋ｉ）＝－２ｉ＋ｉ ＝－２ｉ－１＝－１－２ｉ， ＝１， ｘ ｙ ２ ２ ．故选 ．
在复平面内对应的点为 位于第三象限．故选 ． ∴ ｙ ∴ ｜ ＋ ｉ｜＝｜１＋ｉ｜＝ １ ＋１ ＝ ２ Ｂ
（－１，－２）， Ｃ ＝１，
８３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
评析 本题考查复数相等的条件，属容易题．
答案 Ｂ ｚ １ １－ｉ １ １ 因此 ｚ
７．（２０１６课标Ⅰ文，２，５分）设 ａ 的实部与虚部相等 ＝ ＋ｉ ＝ ＋ｉ ＝ ＋ ｉ， ｜ ｜ ＝
（１＋２ｉ）（ ＋ｉ） ， １＋ｉ ２ ２ ２
其中ａ为实数 则ａ ( ) ( )
， ＝ （ ） １ ２ １ ２ １ ２ 故选 ．
＋ ＝ ＝ ， Ｂ
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３ ２ ２ ２ ２
答案 Ａ ａ ａ ａ １６．（２０１３课标Ⅰ理，２，５分）若复数ｚ满足 ｚ 则
∵ （１＋２ｉ）（ ＋ｉ）＝（ －２）＋（２ ＋１）ｉ， （３－４ｉ） ＝｜４＋３ｉ｜，
ａ ａ 解得ａ 故选 ． ｚ的虚部为
∴ －２＝２ ＋１， ＝－３， Ａ （ ）
解后反思 将复数化为ｘ ｙ ｘ ｙ Ｒ 的形式 然后建立方程
＋ ｉ（ ， ∈ ） ， ４ ４
是解决问题的关键． Ａ．－４ Ｂ．－ Ｃ．４ Ｄ．
５ ５
评析 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念，将复数化
答案 Ｄ ２ ２ ｚ ５ ５（３＋４ｉ）
为ｘ ｙ（ｘ，ｙ Ｒ）的形式是解题关键． ∵ ｜４＋３ｉ｜ ＝ ４ ＋３ ＝５，∴ ＝ ＝ ＝
＋ ｉ ∈ ３－４ｉ ２５
８．（２０１６课标Ⅱ文，２，５分）设复数ｚ满足ｚ 则ｚ
＋ｉ＝３－ｉ， ＝ ３ ４ 虚部为 ４ 故选 ．
＋ ｉ， ， Ｄ
５ ５ ５
（ ）
Ａ．－１＋２ｉ Ｂ．１－２ｉ Ｃ．３＋２ｉ Ｄ．３－２ｉ １７．（２０１３课标Ⅱ文，２，５分） ２
＝ （ ）
答案 Ｃ ｚ 所以ｚ 故选 ． １＋ｉ
＝３－２ｉ， ＝３＋２ｉ， Ｃ
ｚ
９．（２０１６课标Ⅲ文，２，５分）若ｚ 则 Ａ．２ ２ Ｂ．２ Ｃ． ２ Ｄ．１
＝４＋３ｉ， ｚ ＝ （ ）
｜ ｜ 答案 Ｃ ２ ２（１－ｉ） ．选 ．
＝ ＝｜１－ｉ｜＝ ２ Ｃ
４ ３ ４ ３ １＋ｉ ２
Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ． ＋ ｉ Ｄ． － ｉ
５ ５ ５ ５ １８．（２０１２课标理，３，５ 分）下面是关于复数 ｚ ２ 的四个
ｚ ＝
答案 Ｄ 由ｚ ＝４＋３ｉ 得 ｜ ｚ ｜＝ ３ ２ ＋４ ２ ＝５， ｚ ＝４－３ｉ， 则 ｚ ＝ 命题 －１＋ｉ
｜ ｜ ：
ｐ ｚ ｐ ｚ２
４ ３ 故选 ． １：｜ ｜＝２， ２： ＝２ｉ，
－ ｉ， Ｄ ｐ ｚ的共轭复数为 ｐ ｚ的虚部为 ．
５ ５ ３： １＋ｉ， ４： －１
其中的真命题为
１０．（２０１５安徽理，１，５分）设 是虚数单位 则复数２ｉ 在复平面 （ ）
ｉ ， ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ ｐ
１－ｉ Ａ． ２， ３ Ｂ． １， ２ Ｃ． ２， ４ Ｄ． ３， ４
内所对应的点位于
（ ） 答案 Ｃ ｚ ２ ２（－１－ｉ） 所以 ｚ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ＝ ＝ ＝ －１－ｉ， ｜ ｜ ＝ ２，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． －１＋ｉ （－１＋ｉ）（－１－ｉ）
ｐ 为假命题 ｚ２ ２ ２ ｐ 为真命题 ｚ
答案 Ｂ ２ｉ ２ｉ（１＋ｉ） 复数２ｉ 在复平面内所 １ ； ＝（－１－ｉ） ＝（１＋ｉ） ＝２ｉ， ２ ； ＝－１＋ｉ，
∵ ＝ ＝－１＋ｉ，∴ ｐ 为假命题 ｐ 为真命题．故选 ．
１－ｉ ２ １－ｉ ３ ； ４ Ｃ
对应的点是 它位于第二象限． 评析 本题考查了复数的运算及复数的性质，考查了运算求
（－１，１），
ｚ 解能力．
１１．（２０１５课标Ⅰ理，１，５分）设复数ｚ满足１＋ 则 ｚ
ｚ＝ｉ， ｜ ｜＝
１－ １９．（２０１２课标文，２，５分）复数ｚ －３＋ｉ的共轭复数是
＝ （ ）
（ ） ２＋ｉ
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ．２ Ａ．２＋ｉ Ｂ．２－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ
答案 Ａ 由已知１＋ ｚ 可得ｚ ｉ－１ （ｉ－１） ２ －２ｉ 答案 Ｄ ｚ －３＋ｉ （－３＋ｉ）（２－ｉ） －５＋５ｉ ｚ
ｚ＝ｉ， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－１＋ｉ， ＝－１－ｉ，
１－ ｉ＋１ （ｉ＋１）（ｉ－１） －２ ２＋ｉ （２＋ｉ）（２－ｉ） ５
ｚ 故选 ． 故选 ．
ｉ，∴ ｜ ｜＝｜ｉ｜＝１， Ａ Ｄ
１２．（２０１５湖北理，１，５分） 为虚数单位 ６０７的共轭复数为 评析 本题考查了复数的运算，易忽略共轭复数而错选．
ｉ ，ｉ
····
２０．（２０１１课标理，１，５分）复数２＋ｉ的共轭复数是
（ ）
（ ） １－２ｉ
Ａ．ｉ Ｂ．－ｉ Ｃ．１ Ｄ．－１ ３ ３
答案 Ａ ６０７ ４×１５１＋３ ４ １５１ ３ Ａ．－ ｉ Ｂ． ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．ｉ
∵ ｉ ＝ｉ ＝（ｉ ） ·ｉ ＝－ｉ， ５ ５
６０７的共轭复数为 ．
∴ ｉ ｉ 答案 Ｃ ２＋ｉ （２＋ｉ）（１＋２ｉ） 其共轭复数为 故
１３．（２０１４课标Ⅱ理，２，５分）设复数ｚ ｚ 在复平面内的对应点 ＝ ＝ ｉ， －ｉ，
１， ２ １－２ｉ （１－２ｉ）（１＋２ｉ）
关于虚轴对称 ｚ 则ｚ ｚ 选 ．
， １＝２＋ｉ， １ ２＝ （ ） Ｃ
评析 本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属容
Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－４＋ｉ Ｄ．－４－ｉ
答案 Ａ 由题意得ｚ ｚ ｚ 易题．
２＝－２＋ｉ，∴ １ ２＝（２＋ｉ）（－２＋ｉ）＝－５，
故选 ． ２１．（２０１９江苏，２，５分）已知复数 ａ 的实部为 其
Ａ （ ＋２ｉ）（１＋ｉ） ０，
１４．（２０１４重庆理，１，５分）复平面内表示复数 的点位于 中 为虚数单位 则实数ａ的值是 ．
ｉ（１－２ｉ） ｉ ，
答案
（ ） ２
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 解析 本题考查了复数的概念及运算 考查了学生的运算
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ，
答案 Ａ ２ 对应复平面上的点为 求解能力 考查的核心素养是数学运算．
ｉ（１－２ｉ）＝ｉ－２ｉ ＝２＋ｉ， （２， ，
在第一象限．选 ． ａ ａ ａ 的实部为
１）， Ａ ∵ （ ＋２ｉ）（１＋ｉ）＝（ －２）＋（ ＋２）ｉ ０，
ａ 解得ａ ．
１５．（２０１４课标Ⅰ文，３，５分）设ｚ １ 则 ｚ ∴ －２＝０， ＝２
＝ ＋ｉ， ｜ ｜＝ （ ） 解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是
１＋ｉ
解题的关键．
． １ ． ２ ． ３ ．
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ２ ２２．（２０１７江苏，２，５分）已知复数ｚ 其中 是虚
２ ２ ２ ＝（１＋ｉ）（１＋２ｉ）， ｉ
专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８３７
数单位 则 的模是 ． 的点位于
， ｚ （ ）
答案 第一象限 第二象限
１０ Ａ． Ｂ．
解析 本题考查复数的运算． 第三象限 第四象限
Ｃ． Ｄ．
∵ ｚ ＝（１＋ｉ）（１＋２ｉ）＝１＋２ｉ＋ｉ＋２ｉ ２ ＝３ｉ－１， 答案 Ｄ 本题主要考查复数的概念 、 运算和几何意义．
ｚ ２ ２ ． １ １＋ｉ １ １ 其共轭复数为 １ １ 又 １
∴ ｜ ｜＝ ３ ＋（－１） ＝ １０ ∵ ＝ ＝ ＋ ｉ，∴ － ｉ， －
２３．（２０１６江苏，２，５分）复数ｚ 其中 为虚数单 １－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ２ ２ ２ ２ ２
＝（１＋２ｉ）（３－ｉ）， ｉ ( )
位 则ｚ的实部是 ． １ 在复平面内对应的点 １ １ 在第四象限 故选 ．
， ｉ ，－ ， Ｄ
答案 ２ ２ ２
５ ６．（２０１７课标Ⅱ文，２，５分）
解析 ２ 所以ｚ的实部为 ． （１＋ｉ）（２＋ｉ）＝ （ ）
（１＋２ｉ）（３－ｉ）＝３＋５ｉ－２ｉ ＝５＋５ｉ， ５
２４．（２０１６北京理，９，５分）设ａ Ｒ．若复数 ａ 在复平 Ａ．１－ｉ Ｂ．１＋３ｉ Ｃ．３＋ｉ Ｄ．３＋３ｉ
∈ （１＋ｉ）（ ＋ｉ） 答案 Ｂ 本题考查复数的基本运算．
面内对应的点位于实轴上 则ａ ．
， ＝ ２ ．故选 ．
答案 （１＋ｉ）（２＋ｉ）＝２＋ｉ＋２ｉ＋ｉ ＝１＋３ｉ Ｂ
－１ ７．（２０１７山东文，２，５分）已知 是虚数单位 若复数ｚ满足ｚ
解析 ａ ａ ａ ａ Ｒ 该复数在复 ｉ ， ｉ＝１
平面内 对
（
应
１＋
的
ｉ）
点
（
位
＋
于
ｉ）
实
＝（
轴
－
上
１）＋（
ａ
＋１）ｉ，∵
ａ
∈ ，
． ＋ｉ，
则ｚ２
＝ （ ）
，∴ ＋１＝０，∴ ＝－１
２５．（２０１５天津，９，５分） 是虚数单位 若复数 ａ 是纯 Ａ．－２ｉ Ｂ．２ｉ Ｃ．－２ Ｄ．２
ｉ ， （１－２ｉ）（ ＋ｉ） 答案 Ａ 本题考查复数的运算．
虚数 则实数ａ的值为 ．
，
答案 由ｚ 得ｚ １＋ｉ
－２ ｉ＝１＋ｉ ＝ ＝１－ｉ，
解析 ａ ａ ａ 为纯虚数 ｉ
{ ａ ∵ （１－２ｉ）（ ＋ｉ）＝２＋ ＋（１－２ ）ｉ ， 所以ｚ２ ＝（１－ｉ） ２ ＝－２ｉ， 故选 Ａ ．
１－２ ≠０，解得ａ ．
∴ ａ ＝－２ ８．（２０１６课标Ⅲ理，２，５分）若ｚ 则 ４ｉ
２＋ ＝０， ＝１＋２ｉ， ｚｚ ＝ （ ）
２６．（２０１５重庆理，１１，５分）设复数ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的模为 则 －１
＋ ｉ（ ， ∈ ） ３，
ａ ｂ ａ ｂ ． Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ
（ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝
答案 答案 Ｃ ｚｚ ４ｉ ４ｉ 故选 ．
３ ∵ ＝（１＋２ｉ）（１－２ｉ）＝５，∴ ｚｚ ＝ ＝ｉ， Ｃ
－１ ４
解析 复数ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 的模为 ａ２ ｂ２ 则ａ２ ｂ２
＋ ｉ（ ， ∈ ） ＋ ＝ ３， ＋ ＝ ９．（２０１６北京文，２，５分）复数１＋２ｉ
则 ａ ｂ ａ ｂ ａ２ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ２ ａ２ ｂ２ ． ＝ （ ）
３， （ ＋ ｉ）（ － ｉ）＝ －（ ｉ） ＝ － ·ｉ ＝ ＋ ＝３ ２－ｉ
考点二 复数的运算 Ａ．ｉ Ｂ．１＋ｉ Ｃ．－ｉ Ｄ．１－ｉ
２
答案 Ａ １＋２ｉ （１＋２ｉ）（２＋ｉ） ２＋ｉ＋４ｉ＋２ｉ ５ｉ 故选 ．
１．（２０１９课标Ⅰ文，１，５分）设ｚ ３－ｉ 则 ｚ ２－ｉ ＝ （２－ｉ）（２＋ｉ） ＝ ４－ｉ ２ ＝ ５ ＝ｉ， Ａ
＝ １＋２ｉ ， ｜ ｜＝ （ ） １０．（２０１５课标Ⅱ理，２，５ 分）若ａ为实数
，
且
（２＋
ａ
ｉ）（
ａ
－２ｉ）＝
则ａ
Ａ．２ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ．１ －４ｉ， ＝ （ ）
答案 Ｃ 本题考查复数的四则运算 考查了运算求解能
； Ａ．－１ Ｂ．０ Ｃ．１ Ｄ．２
力
；
考查的核心素养为数学运算． 答案 Ｂ
∵ （２＋
ａ
ｉ）（
ａ
－２ｉ）＝－４ｉ⇒４
ａ
＋（
ａ２
－４）ｉ＝－４ｉ，
{ ａ
∵ ｚ ＝ １ ３ ＋ － ２ ｉ ｉ ＝ （ （ １ ３ ＋ － ２ ｉ ｉ ） ） （ （ １ １ － － ２ ２ ｉ ｉ ） ） ∴ ４ ａ２ ＝０， 解得ａ ＝０ ．
－４＝－４，
３－７ｉ＋２ｉ ２ １－７ｉ １ ７ １１．（２０１５课标Ⅰ文，３，５分）已知复数ｚ满足 ｚ 则ｚ
＝ ２ ＝ ＝ － ｉ， （ －１）ｉ＝１＋ｉ， ＝
１－（２ｉ） ５ ５ ５
（ ）
( ) ( )
２ ２ ． ． ． ．
ｚ １ ７ 故选 ． Ａ －２－ｉ Ｂ －２＋ｉ Ｃ２－ｉ Ｄ２＋ｉ
∴ ｜ ｜＝ ＋ － ＝ ２， Ｃ
５ ５ 答案 Ｃ 由已知得ｚ １＋ｉ 故选 ．
易错警示 易将 ２ 误算为 导致计算出错． ＝ ＋１＝２－ｉ， Ｃ
ｉ １， ｉ
２．（２０１９北京，理１，文２，５分）已知复数ｚ 则ｚ ｚ ａ
＝２＋ｉ， · ＝ １２．（２０１５课标Ⅱ文，２，５分）若ａ为实数 且２＋ ｉ 则ａ
， ＝３＋ｉ， ＝
（ ） １＋ｉ
Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ．３ Ｄ．５ （ ）
答案 Ｄ 本题主要考查复数的运算 共轭复数的概念 考
， ， Ａ．－４ Ｂ．－３ Ｃ．３ Ｄ．４
查学生运算求解的能力 考查的核心素养是数学运算． 答案 Ｄ 由已知得 ａ 所以ａ
， ２＋ ｉ＝（１＋ｉ）（３＋ｉ）＝２＋４ｉ， ＝４，
ｚ ｚ ｚ ｚ 故选 ． 故选 ．
∵ ＝２＋ｉ，∴ ＝２－ｉ，∴ · ＝（２＋ｉ）·（２－ｉ）＝４＋１＝５， Ｄ Ｄ
３．（２０１８课标Ⅱ文，１，５分） １３．（２０１５安徽文，１，５分）设 是虚数单位 则复数
ｉ（２＋３ｉ）＝ （ ） ｉ ， （１－ｉ）（１＋２ｉ）＝
Ａ．３－２ｉ Ｂ．３＋２ｉ Ｃ．－３－２ｉ Ｄ．－３＋２ｉ （ ）
答案 Ｄ 本题主要考查复数的四则运算．
Ａ．３＋３ｉ Ｂ．－１＋３ｉ Ｃ．３＋ｉ Ｄ．－１＋ｉ
故选 ． 答案 Ｃ ２ ．
ｉ（２＋３ｉ）＝２ｉ－３＝－３＋２ｉ， Ｄ （１－ｉ）（１＋２ｉ）＝１＋２ｉ－ｉ－２ｉ ＝３＋ｉ
４．（２０１８课标Ⅲ，理２，文２，５分）
２
（１＋ｉ）（２－ｉ）＝ （ ） １４．（２０１５湖南文，１，５分）已知（１－ｉ） 为虚数单位 则
ｚ ＝１＋ｉ（ｉ ），
Ａ．－３－ｉ Ｂ．－３＋ｉ Ｃ．３－ｉ Ｄ．３＋ｉ
答案 Ｄ 本题考查复数的运算． 复数ｚ
＝ （ ）
２ 故选 ．
（１＋ｉ）（２－ｉ）＝２－ｉ＋２ｉ－ｉ ＝３＋ｉ， Ｄ Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ
２
５．（２０１８北京理，２，５分）在复平面内 复数 １ 的共轭复数对应 答案 Ｄ ｚ （１－ｉ） －２ｉ －２ｉ（１－ｉ） ．
， ＝ ＝ ＝ ＝－ｉ（１－ｉ）＝－１－ｉ
１－ｉ １＋ｉ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ）
８３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
故选 ． 评析 本题主要考查复数的基本运算，分母实数化是解答本
Ｄ
３ 题的关键，属容易题．
１５．（２０１４课标Ⅰ理，２，５分）（１＋ｉ）
２ ＝ （ ）
（１－ｉ） ２０．（２０１８天津，理９，文９，５分） 是虚数单位 复数６＋７ｉ
ｉ ， ＝
Ａ．１＋ｉ Ｂ．１－ｉ Ｃ．－１＋ｉ Ｄ．－１－ｉ １＋２ｉ
３ ２ ２ ．
答案 Ｄ （１＋ｉ） （１＋ｉ） １＋ｉ ＋２ｉ
２
＝ ２·（１＋ｉ）＝
２
·（１＋ｉ）＝－１ 答案
（１－ｉ） （１－ｉ） １＋ｉ －２ｉ ４－ｉ
故选 ． 解析 本题主要考查复数的四则运算．
－ｉ， Ｄ
１６．（２０１４课标Ⅱ文，２，５分）１＋３ｉ ６＋７ｉ （６＋７ｉ）（１－２ｉ） ２０－５ｉ ．
＝ （ ） ＝ ＝ ＝４－ｉ
１－ｉ １＋２ｉ （１＋２ｉ）（１－２ｉ） ５
． ． ． ． ２１．（２０１８上海，５，４分）已知复数ｚ满足 ｚ 是虚数
Ａ１＋２ｉ Ｂ －１＋２ｉ Ｃ１－２ｉ Ｄ －１－２ｉ （１＋ｉ） ＝１－７ｉ（ｉ
单位 则 ｚ ．
答案 Ｂ １＋３ｉ （１＋３ｉ）（１＋ｉ） －２＋４ｉ 故选 ． ）， ｜ ｜＝
＝ ＝ ＝－１＋２ｉ， Ｂ 答案
１－ｉ （１－ｉ）（１＋ｉ） ２ ５
１７．（２０１３课标Ⅱ理，２，５分）设复数ｚ满足 ｚ 则ｚ 解析 本题主要考查复数的运算．由 ｚ 得 ｚ
（１－ｉ） ＝２ｉ， ＝ （１＋ｉ） ＝１－７ｉ ＝
（ ） １－７ｉ （１－７ｉ）（１－ｉ） －６－８ｉ
＝ ＝ ＝－３－４ｉ，
Ａ．－１＋ｉ Ｂ．－１－ｉ Ｃ．１＋ｉ Ｄ．１－ｉ １＋ｉ （１＋ｉ）（１－ｉ） ２
答案 Ａ 由题意得ｚ ２ｉ ２ｉ·（１＋ｉ） 故选 ． ∴ ｜ ｚ ｜＝ （－３） ２ ＋（－４） ２ ＝５ ．
＝ １－ｉ ＝ ２ ＝－１＋ｉ， Ａ ２２．（２０１６ 天津理，９，５ 分）已知 ａ ｂ Ｒ 是虚数单位．若
， ∈ ，ｉ
１８．（２０１３课标Ⅰ文，２，５分） （ １ １ ＋ － ２ ｉ） ｉ ２ ＝ （ ） （１＋ｉ）（１－ ｂ ｉ）＝ ａ ， 则 ａ ｂ 的值为 ．
答案
１ １ １ １
Ａ．－１－ ２ ｉ Ｂ．－１＋ ２ ｉ Ｃ．１＋ ２ ｉ Ｄ．１－ ２ ｉ ２ {ｂ ａ
解析 由 ｂ ａ得 ｂ ｂ ａ 则 ＋１＝ ，
答案 Ｂ １＋２ｉ １＋２ｉ （１＋２ｉ）ｉ －２＋ｉ １ 故选 ． （１＋ｉ）（１－ ｉ）＝ １＋ ＋（１－ ）ｉ＝ ， ｂ
（１－ｉ） ２ ＝ －２ｉ ＝ （－２ｉ）ｉ ＝ ２ ＝－１＋ ２ ｉ， Ｂ {ａ ａ １－ ＝０，
解得 ＝２，所以 ．
１９．（２０１１课标文，２，５分）复数 ５ｉ ｂ ｂ ＝２
＝ （ ） ＝１，
１－２ｉ
Ａ．２－ｉ Ｂ．１－２ｉ Ｃ．－２＋ｉ Ｄ．－１＋２ｉ
答案 Ｃ ５ｉ ５ｉ（１＋２ｉ） ５（ｉ－２） 故选 ．
＝ ＝ ＝－２＋ｉ， Ｃ
１－２ｉ （１－２ｉ）（１＋２ｉ） ５
时间： 分钟 分值： 分
３５ ９５
一、单项选择题 每题 分 共 分 答案 Ｃ
（ ５ ， ６５ ）
１．（２０２１届百校联盟普通高中教育教学质量监测）若ｚ 则 ５．（２０２１届五省新高考联合质量测评１２月联考，２）设复数ｚ满
＝２－ｉ，
ｚ２ ｚ 足 ｚ 则ｚ
｜ － ｜＝ （ ） （ ＋１）（１＋ｉ）＝１－ｉ， ＝ （ ）
Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ． １０ Ｄ． ２６ Ａ．－１－ｉ Ｂ．－１＋ｉ Ｃ．１－ｉ Ｄ．１＋ｉ
答案 Ｃ 答案 Ｂ
２．（２０２１届湖南长沙长郡中学月考（一））已知复数ｚ满足ｚ
（３－ ６．（２０２０浙江超级全能生第一次联考，２）已知复数ｚ ２－ｉ 为
４ｉ）＝２５，
则ｚ的共轭复数在复平面内对应的点位于
（ ）
＝
１＋ｉ
（ｉ
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
虚数单位 则复数ｚ的模等于
）， （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｄ
１０ ３ ２ ５
Ａ． Ｂ． Ｃ． ３ Ｄ．
３．（２０２０山东夏季高考模拟，２）已知ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 是１－ｉ的共 ２ ２ ２
＋ ｉ（ ， ∈ ） 答案 Ａ
１＋ｉ
轭复数 则ａ ｂ ７．（２０２０福建龙岩上杭一中第一次月考，２）已知 是虚数单位
， ＋ ＝ （ ） ｉ ，
１ １ 则复数ｚ （１－ｉ）（４－ｉ）的共轭复数的虚部为
Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．１ ＝ （ ）
２ ２ １＋ｉ
答案 Ｄ
Ａ．－４ｉ Ｂ．－４ Ｃ．４ｉ Ｄ．４
答案 Ｄ
４．（２０２０皖江名校联盟８ 月摸底，２）已知复数ｚ １ 则下列
＝ ，
３＋４ｉ ８．（２０２１届新高考省份 ８联考，１）若ｚ １＋ｉ ３ 则ｚ的虚部为
说法正确的是 Ｔ ＝ ·ｉ ，
（ ） １－２ｉ
复数ｚ的实部为
Ａ． ３ （ ）
复数ｚ的虚部为 ４ １ １ ３ ３
Ｂ． ｉ Ａ． Ｂ． ｉ Ｃ． Ｄ． ｉ
２５ ５ ５ ５ ５
答案 Ａ
复数ｚ的共轭复数为 ３ ４
Ｃ． ＋ ｉ
２５ ２５ ９．（２０２１届浙江高考选考科目９月联考，２）复数ｚ １ 则ｚ的虚
复数ｚ的模为 ＝ ，
Ｄ． １ １＋ｉ
专题十二 数系的扩充与复数的引入 ８３９
部为 答案 ＢＣＤ
（ ）
１５．（２０２１届山东泰安东平高级中学第二次质量检测，１０）在复
１ １ １ １
Ａ．－ Ｂ． Ｃ． ｉ Ｄ．－ ｉ 平面内 下列说法正确的是
２ ２ ２ ２ ， （ ）
答案 Ｂ
若复数ｚ １＋ｉ 为虚数单位 则ｚ３０
１０．（２０１９四川成都外国语学校开学考试）已知 是虚数单位 Ａ． ＝ （ｉ ）， ＝－１
ｉ ， １－ｉ
若复数ｚ满足ｚ２ Ｒ 则ｚ Ｒ
复数ｚ ４ｉ ２０１８在复平面内所对应的点位于 Ｂ． ∈ ， ∈
＝ ２ ＋ｉ （ ） 若复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则ｚ为纯虚数的充要条件是ａ
（１－ｉ） ＋２ Ｃ． ＝ ＋ ｉ（ ， ∈ ）， ＝０
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 若复数ｚ满足 ｚ 则复数ｚ在复平面内对应点的集合是
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｄ． ｜ ｜＝１，
答案 Ｂ 以原点Ｏ为圆心 以 为半径的圆
， １
ａ 答案 ＡＤ
１１．（２０１９黑龙江齐齐哈尔二模，２）已知复数ｚ （２＋ ｉ）ｉ是纯虚
＝
１＋ｉ １６．（２０２１届山东师范大学附属中学一模）若复数ｚ ２ 其中
数 其中ａ是实数 则ｚ等于 ＝ ， ｉ
， ， （ ） １＋ｉ
为虚数单位 则下列结论正确的是
Ａ．２ｉ Ｂ．－２ｉ Ｃ．ｉ Ｄ．－ｉ ， （ ）
答案 Ａ ｚ的虚部为 ｚ
Ａ． －１ Ｂ．｜ ｜＝ ２
１２．（２０２１届浙江浙考交流联盟８月线上考试，２）已知复数ｚ
＝２ Ｃ．
ｚ２ 为纯虚数
Ｄ．
ｚ的共轭复数为
－１－ｉ
是虚数单位 则 ｚ２ 答案 ＡＢＣ
＋ｉ（ｉ ）， ｜ ＋１｜＝ （ ）
１７．（２０２０山东济南６ 月模拟）已知复数 ｚ θ θ
Ａ．２ ３ Ｂ．４ Ｃ．４ ２ Ｄ．２ ５ ＝１＋ｃｏｓ ２ ＋ｉｓｉｎ ２
答案 Ｃ ( )
π θ π 其中 为虚数单位 下列说法正确的是
ｍ － ＜ ＜ ， ｉ ， （ ）
１３．（２０１９辽宁部分重点高中联考，２）复数２－ ｉ Ａ Ｂ ｍ Ａ Ｂ ２ ２
＝ ＋ ｉ（ 、 、 复数ｚ在复平面上对应的点可能落在第二象限
１＋２ｉ Ａ．
Ｒ 且Ａ Ｂ 则ｍ的值是 ｚ可能为实数
∈ ）， ＋ ＝０， （ ） Ｂ．
ｚ θ
２ ２ Ｃ．｜ ｜＝２ｃｏｓ
Ａ．－ Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２
３ ３ １ 的实部为 １
答案 Ａ Ｄ． ｚ
２
答案 ＢＣＤ
二、多项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２０ ）
１４．（２０２０ 山东青岛期初调研检测，１１）欧拉公式 ｉ ｘ ｘ 三、填空题 每题 分 共 分
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ （ ５ ， １０ ）
ｘ 其中 为虚数单位 ｘ Ｒ 是由瑞士著名数学家欧拉创 ａ
ｉｓｉｎ （ ｉ ， ∈ ） １８．（２０２０福建厦门一中月考，１３）在复平面内 复数ｚ ｉ 对应
立的 该公式将指数函数的定义域扩大到复数 建立了三角函 ， ＝
， ， １＋ｉ
数与指数函数的关联 在复变函数论里占有非常重要的地位 的点位于第三象限 则实数ａ的取值范围是 ．
， ， ，
被誉为 数学中的天桥 ．依据欧拉公式 下列选项正确的是 答案
“ ” ， （－∞，０）
１９．（２０２０福建龙岩上杭一中第一次月考，１３）已知 为虚数单
（ ） ｉ
ａ
Ａ．ｅ π ４ｉ ＝ ２ － ２ ｉ Ｂ．ｅ π ２ｉ为纯虚数 位 ， 若复数ｚ ＝ １ １ － ＋ｉ ｉ （ ａ ∈ Ｒ ） 的虚部为 －３， 则 ｜ ｚ ｜＝ ．
２ ２
答案
复数 πｉ的模等于 复数 π ３ｉ的共轭复数为１ ３ １３
Ｃ． ｅ １ Ｄ． ｅ － ｉ
２ ２
８４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０１７安徽黄山二模，２）复数ｚ ａ ａ２ 为虚数单
＝（ ＋１）＋（ －３）ｉ（ｉ ２ ２ ２ ２
位 若ｚ 则实数ａ的值是 Ａ．－ － ｉ Ｂ．－ ＋ ｉ
）， ＜０， （ ） ２ ２ ２ ２
Ａ． ３ Ｂ．１ Ｃ．－１ Ｄ．－ ３ ２ ２ ２ ２
{ａ Ｃ． ＋ ｉ Ｄ． － ｉ
答案 Ｄ 由题意得 ＋１＜０， ２ ２ ２ ２
ａ２
－３＝０， 答案 Ｄ 复数 π ４ｉ π π ２ ２
解得ａ ．故选 ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝ ＋ ｉ，
＝－ ３ Ｄ． ４ ４ ２ ２
２．（２０２０河南濮阳零模，１）设复数ｚ满足 ｚ ｚ在复平面
｜ －３｜ ＝２， 则其共轭复数为ｚ ２ ２ 故选
内对应的点为Ｍ ａ ｂ 则Ｍ不可能为 ＝ － ｉ， Ｄ．
（ ， ）， （ ） ２ ２
７．（２０２０辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中等期末，７）
Ａ．（２， ３） Ｂ．（３，２）
如图 在复平面内点Ｐ对应的复数ｚ 将点Ｐ绕坐标原点
Ｃ．（５，０） Ｄ．（４，１）
， １＝２＋ｉ，
验
答
证
案
Ｍ
Ｄ 设
不满
ｚ
＝ 足
ａ
＋
ｂ
故 ｉ， 选
因为
｜
ｚ
－３｜＝２，
所以
（
ａ
－３）
２
＋
ｂ２
＝４，
经 Ｏ逆时针旋转π
６
到点Ｑ
，
则点Ｑ对应的复数ｚ
２
的虚部为
（４，１） ， Ｄ．
３．（２０１９河北省级示范性高中联合体３月联考，１）下列各式的 （ ）
运算结果为实数的是
（ ）
－ １＋ １－
Ａ． ｉ（ ｉ） Ｂ．ｉ（ ｉ）
１＋ － １－ １＋ １－
Ｃ．（ ｉ） （ ｉ） Ｄ．（ ｉ）（ ｉ）
答案 Ｄ － １＋ ＝１－ １－ ＝１＋ １＋ － １－
Ａ， ｉ（ ｉ） ｉ；Ｂ，ｉ（ ｉ） ｉ；Ｃ，（ ｉ） （
ｉ） ＝２ ｉ；Ｄ，（ １＋ ｉ）（ １－ ｉ） ＝２．故选 Ｄ ． ( ) æ ö
４．（２０２０九师联盟９月质量检测，１）已知 为虚数单位 则复数 １ ３ １ ç ３ ÷
ｉ ， Ａ． ３－ Ｂ． ＋１ Ｃ． ３－ ｉ Ｄ．è ＋１øｉ
３ 的虚部为 ２ ２ ２ ２
（２－ｉ）ｉ （ ） 答案 Ｂ 设Ｐ点对应的向量为Ｏ→Ｐ 向量Ｏ→Ｐ绕坐标原点Ｏ
，
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－１ Ｄ．１
答案 Ａ 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念 考 逆时针旋转 π 得到Ｏ→Ｑ Ｏ→Ｑ对应的复数为
， ，∴ （２＋ｉ） ·
查的核心素养是数学运算． ３ ２ ６
（２－ｉ）ｉ ＝（２－ｉ）·（－ｉ）＝－２ｉ＋ｉ ＝－１ ( ) æ ö ( ) æ ö
其虚部为 故选 ． π π ç ３ １ ÷ １ ç ３ ÷
－２ｉ， －２， Ａ ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ＝（２＋ｉ）è ＋ ｉø＝ ３－ ＋è ＋１øｉ，∴
５．（２０１９江西红色七校第二次联考，２）若复数ｚ ａ ａ ６ ６ ２ ２ ２ ２
＝（２＋ ｉ）（ －ｉ）
在复平面内对应的点在第三象限 其中ａ Ｒ 为虚数单位 则 点Ｑ对应的复数ｚ 的虚部为 ３ ．故选
实数ａ取值范围为 ， ∈ ，ｉ ， ２ ２ ＋１ Ｂ．
（ ）
８．（２０１９山西太原模拟，３）设复数ｚ 是虚数单位 则
＝１－ ３ｉ（ｉ ），
Ａ．（－ ２， ２） Ｂ．（－ ２，０） Ｃ．（０， ２） Ｄ．［０， ２）
ｚ
答案 Ｂ ｚ ａ ａ ａ ａ２ 在复平面内对应 的虚部为
＝（２＋ ｉ）（ －ｉ）＝ ３ ＋（ －２）ｉ ｚ （ ）
{ ａ
的点在第三象限 ３ ＜０， 解得 ａ ．故选 ．
，∴ ａ２ － ２＜ ＜０ Ｂ ３ ３ ３ ３
－２＜０， Ａ． ｉ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ ｉ
６．（２０２０贵州４月模拟，５）据记载 欧拉公式 ｉ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ２ ２ ２
， ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ （
Ｒ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的 该公式被誉为 数学中 答案 Ｃ ｚ
∈ ） ， “ ∵ ＝１－ ３ｉ，
的天桥 特别是当ｘ 时 得到一个令人着迷的优美恒等式 ｚ ｚ２ ２
”， ＝π ， （１＋ ３ｉ） １＋２ ３ｉ－３ １ ３ ．
ｅ πｉ ＋１＝０， 将数学中五个重要的数 （ 自然对数的底数 ｅ， 圆周率 ∴ ｚ ＝ｚ · ｚ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝ ４ ＝－ ２ ＋ ２ ｉ
虚数单位 和 联系到了一起 有些数学家评价它是 最 ｚ
π， ｉ，１ ０） ， “ 的虚部为 ３．故选 ．
完美的数学公式
”
．根据欧拉公式
，
若复数
ｅ
π ４ｉ的共轭复数为ｚ
，
∴ ｚ
２
Ｃ
则ｚ
＝ （ ）
