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３５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
６．３ 等比数列
§
（２）
若
｛
ａ
ｎ｝
为等比数列
，
且ｋ
＋
ｌ
＝
ｍ
＋
ｎ
（
ｋ
，
ｌ
，
ｍ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则
ａ ·ａ ａ ·ａ ．
④ ｋ ｌ＝ ｍ ｎ
若 ａ ｂ 项数相同 是等比数列 则 λａ λ
（３） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝（ ） ， ｛ ｎ｝（ ≠
考点一 等比数列的有关概念及运算 { } {ａ }
１．等比数列的定义 ０）， ａ
１
，｛
ａ２ｎ｝，｛ ａ
ｎ·
ｂ
ｎ｝， ｂ
ｎ 仍是等比数列．
ｎ ｎ
一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的 ２．等比数列的前ｎ项和的性质
， ，
比等于同一常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做 当ｑ 或ｑ 且ｋ为奇数 时 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ
， ， （１） ≠－１（ ＝－１ ） ， ｋ， ２ ｋ－ ｋ， ３ ｋ－ ２ ｋ，
等比数列的 公比 公比通常用字母ｑ ｑ 表示． 是等比数列．
① ， （ ≠０） …
２．等比数列的通项公式 注意 当ｑ 且ｋ为偶数时 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 不是等
＝－１ ， ｋ， ２ ｋ－ ｋ， ３ ｋ－ ２ ｋ，…
如果等比数列 ａ 的首项为ａ 公比为ｑ 则 ａ 的通项公 比数列．
｛ ｎ｝ １， ， ｛ ｎ｝
式为 ａ
ｎ ＝
ａ
１
ｑｎ －１． 既是等差数列又是等比数列的数列是
若ａ ａ ａ Ｔ 则Ｔ
Ｔ
２ ｎ
Ｔ
３ ｎ 成等比数列．
②
非零常数列 ． （２） １· ２·…· ｎ＝ ｎ， ｎ，Ｔ
ｎ
，Ｔ
２ ｎ
，…
３．等比中项 若数列 ａ 的项数为 ｎ Ｓ 与Ｓ 分别为偶数项与奇
（３） ｛ ｎ｝ ２ ， 偶 奇
如果在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ 使ａ Ｇ ｂ成等比数列 那么称 Ｓ Ｓ ａ
， ， ， ， 数项的和 则 偶 ｑ 若项数为 ｎ 则 奇－ １ ｑ．
这个数Ｇ为ａ与ｂ的等比中项 即 Ｇ ａｂ ａ ｂ同号 ． ， Ｓ 奇 ＝ ； ２ ＋１， Ｓ 偶 ＝
， ③ ＝± （ ， ）
ａ Ｇ ｂ成等比数列 Ｇ２ ａｂ ａｂ ． ３．等比数列的单调性
（１） ， ， ⇔ ＝ （ ＞０）
（２） 同号的两个数才有等比中项． 等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝ ａ １· ｑｎ －１ （ ａ １· ｑ ≠０）， 它的
４．等比数列｛ａ ｝的前ｎ项和公式 ａ
ｎ 图象是分布在ｙ １ｑｘ 曲线 ｑ 上的一群 孤立 的点．
等比数列 ａ 的公比为ｑ ｑ 其前ｎ项和为Ｓ ． ＝ ｑ （ ＞０） ⑤
｛ ｎ｝ （ ≠０）， ｎ
（ （ １ ２ ） ） 当 当 ｑ ｑ ≠ ＝１ １ 时 时 ， ， Ｓ Ｓ ｎ ｎ ＝ ＝ ｎ ａ ａ １（ １ １ ． １ － － ｑ ｑｎ ） ＝ ａ １ １ － － ｑ ｑ ａ ｎ． 当 当 当 ａ ａ ａ １ １ １ ＞ ＜ ＞ ０ ０ ０ ， ， ， ０ ０ ｑ ＞ ＜ ＜ １ ｑ ｑ ＜ ＜ 时 １ １ ， 时 时 等 ， ， 比 等 等 数 比 比 列 数 数 ｛ 列 列 ａ ｛ ｛ ｎ｝ ａ ａ 是 ｎ ｎ ｝ ｝ 递 是 是 增 递 递 数 增 减 列 数 数 ； 列 列 ； ；
当ａ ｑ 时 等比数列 ａ 是递减数列
１＜０， ＞１ ， ｛ ｎ｝ ；
考点二 等比数列的性质 当ｑ 时 等比数列 ａ 是摆动数列
＜０ ， ｛ ｎ｝ ；
１．等比数列的常用性质 当ｑ 时 等比数列 ａ 是常数列．
＝１ ， ｛ ｎ｝
（１） 通项公式的推广 ： ａ ｎ＝ ａ ｍ· ｑｎ － ｍ （ ｎ ， ｍ ∈ Ｎ∗ ） ．
求数列 ａ 的通项公式．
（２） ｛ ｎ｝
６．已知Ｓ
ｎ
为数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和
，
且
２
Ｓ
ｎ＝３
ａ
ｎ－２（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
求ａ 和Ｓ
（１） ｎ ｎ；
考点一 等比数列的有关概念及运算 若ｂ Ｓ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｔ ．
（２） ｎ＝ｌｏｇ３（ ｎ＋１）， ｛ ２ ｎ｝ ｎ
１．Ｓ 是正项等比数列 ａ 的前ｎ项和 ａ Ｓ 则ａ ７．已知数列 ａ 满足ａ ａ ａ λ λ为常数 ．
ｎ ｛ ｎ｝ ， ３＝１８， ３＝２６， １＝
试探究
｛
数
ｎ｝
列 ａ λ
１＝
是
１，
不
ｎ ＋
是
１＝
等
２
比
ｎ＋
数列
（
并求ａ
）
（ ） （１） ｛ ｎ＋ ｝ ， ｎ；
当λ 时 求数列 ｎ ａ λ 的前ｎ项和Ｔ ．
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．１ Ｄ．６ （２） ＝１ ， ｛ （ ｎ＋ ）｝ ｎ
答案 Ａ
考点二 等比数列的性质
２．等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ＝３ ２ ｎ －１ ＋ ｒ ， 则ｒ的值为 （ ） ８．公比不为 的等比数列 ａ 满足ａ ａ ａ ａ ．若ａ ａ
Ａ．
１
Ｂ．－
１
Ｃ．
１
Ｄ．－
１ 则ｍ的值为 １ ｛ ｎ｝ ５ ６＋ ４ ７＝１８ １ ｍ＝９，
（ ）
３ ３ ９ ９
答案 Ｂ
Ａ．８ Ｂ．１３ Ｃ．１０ Ｄ．１１
{ } 答案 Ｃ
３．已知 ａ 是等比数列 若ａ ａ ａ 数列 １ 的前ｎ项
和为
｛
Ｔ
ｎ｝
则Ｔ
， １＝１， ６＝８ ３， ａ
ｎ ９．在等比数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
ａ
２，
ａ
１６
是方程ｘ２
＋６
ｘ
＋２＝０
的根
，
则
ａ
２
ａ
ａ
１６的
ｎ， ５＝ （ ）
值为
９
３１ １５ （ ）
Ａ． Ｂ．３１ Ｃ． Ｄ．７ 或
１６ ８ Ａ．２ Ｂ．－ ２ Ｃ． ２ Ｄ．－ ２ ２
答案 Ａ 答案 Ｄ
４．已知正项等比数列 ａ 满足 ａ ａ 且ａ 则数 １０．已知递增的等比数列 ａ 的公比为ｑ 其前ｎ项和Ｓ 则
｛ ｎ｝ ｌｏｇ２ ｎ ＋２－ｌｏｇ２ ｎ＝２， ３＝８， ｛ ｎ｝ ， ｎ＜０，
列 ａ 的前ｎ项和Ｓ ．
｛ ｎ｝ ｎ＝ （ ）
答案 ｎ ＋１ ａ ｑ ａ ｑ
５．设数列 ａ
２
的
－２
前ｎ项和为Ｓ 已知ａ Ｓ ａ ．
Ａ．
ａ
１＜０，０＜
ｑ
＜１ Ｂ．
ａ
１＜０，
ｑ
＞１
设ｂ
｛ ｎ｝
ａ ａ 证明数列
ｎ，
ｂ 是
１
等
＝
比
１，
数
ｎ ＋
列
１＝４ ｎ＋２ Ｃ．
答
１＞
案
０，０
Ａ
＜ ＜１ Ｄ． １＞０， ＞１
（１） ｎ＝ ｎ ＋１－２ ｎ， ｛ ｎ｝ ；
专题六 数列 ３５７
考点二 等比数列的性质
考点一 等比数列的有关概念及运算
１．已
值
知
为
数列
｛
ａ
ｎ｝
为等比数列
，
且ａ
１
ａ
１３＋２
ａ２
７＝４π，
则
ｔａｎ（
ａ
２
ａ
１２）
的
（ ）
１．在数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
满足ａ
１＝２，
ａ２ｎ＝ ａ
ｎ －１·
ａ
ｎ ＋１（
ｎ
≥２，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
Ｓ
ｎ
为
３
ａ 的前ｎ项和 若ａ 则Ｓ 的值为 Ａ． ３ Ｂ．－ ３ Ｃ．± ３ Ｄ．－
｛ ｎ｝ ， ６＝６４， ７ （ ） ３
Ａ．１２６ Ｂ．２５６ Ｃ．２５５ Ｄ．２５４
答案 Ａ
∵
数列
｛
ａ
ｎ｝
为等比数列
，∴
ａ
１
ａ
１３＝
ａ２
７＝
ａ
２
ａ
１２
．再由
答案 Ｄ 数列
｛
ａ
ｎ｝
中
，
满足 ａ２ｎ＝ ａ
ｎ －１
ａ
ｎ ＋１（
ｎ
≥２），
则数列
ａ ａ ａ２ 可得ａ ａ ４π ａ ａ ４π π
ａ １ １３＋２ ７＝４π， ２ １２＝ ，∴ ｔａｎ（ ２ １２）＝ｔａｎ ＝ｔａｎ
｛
ａ
ｎ｝
为等比数列
，
设其公比为ｑ
，
又由ａ
１＝２，
ａ
６＝６４，
得ｑ５
＝ａ
６
．
３ ３ ３
１ ＝ ３
ａ ７ ２．（２０２０河北邯郸检测，８）已知 ａ 是首项为 的等比数列 若
则ｑ 则Ｓ １（１－２ ） ８ 故选 ｛ ｎ｝ １ ，
＝３２， ＝２， ７＝ ＝２ －２＝２５４， Ｄ． ａ ａ ａ 成等差数列 则ａ ．
２．已
和
知
为
｛
Ｔ
ａ
ｎ
ｎ
，
｝
则
是
Ｔ
等
５＝
比数列 ， 若 １－２ ａ １＝１， ａ ６＝８ ａ ３， 数列 { ａ １ ｎ } 的
（
前 ｎ 项
）
４
有
答 解 ｎ
４
，
ｑ
案 析 ２
＝
ｎ
４
＋１
＋
２ 设 ，
ｑ
ｎ
２
－ 等 ｎ
，
１ ＋
∴
２ 比
ｑ
数
＝２
列
，∴
的
ａ
公
ｎ＝
比 ，
２
为
ｎ －１．
ｑ ｎ ， ＝ 由 题 意 得 ４ ａ ｎ ＋１＝４ ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋２， 故
Ａ． ３１ Ｂ．３１ Ｃ． １５ Ｄ．７ ３．（２０２０浙江镇海中学期中，１５）已知 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列 ， 且ａ ｎ＞
１６ ８ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 则ａ 的最大值为 ．
答案 Ａ 设等比数列
｛
ａ
ｎ
(
｝
的公
)ｎ
比为ｑ
，∵
{
ａ
６＝
}
８
ａ
３，∴
ｑ３
＝８，
０，
答
２
案
４＋２
５
３ ５＋ ４ ６＝２５， ４
解得ｑ ＝２ ． ∴ ａ ｎ＝２ ｎ －１． ∴ ａ １ ｎ ＝ ２ １
－１
． ∴ 数列 ａ １ ｎ 是首项为 １， 解析 本 ２ 题考查等比数列的概念 性质以及基本不等式的应
( ) 、
５ 用 考查学生运算求解的能力 考查了数学运算的核心素养．
１
１－ ； ；
公比为 １ 的等比数列 则Ｔ ２ ３１．故选 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ２ ａ ａ ａ ａ２ ａ２ ａ２
， ５＝ ＝ Ａ． ∵２５＝ ２ ４＋２ ３ ５＋ ４ ６＝２ ４＋ ４（ ２＋ ６）≥２ ４＋２ ４＝４ ４，
２ １ １６
１－ ａ２ ２５． ａ ａ ５ ａ 的最大值为 ５ ．
２ ∴ ４≤ ∵ ４＞０，∴０＜ ４≤ ，∴ ４
４ ２ ２
ａ ｑ．又Ｓ ，所以 ２ ｑ ，即 ｑ２ ｑ ，解得ｑ ，
３＝２ ３＝７ ｑ ＋２＋２ ＝７ ２ －５ ＋２＝０ １＝２
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧
ｑ
２＝
１ ．又ｑ
＞１
，所以ｑ
＝２
，所以ａ
１＝１
，所以ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
２
（ ） 因为Ｓ ａ ，且数列｛Ｓ ｝是以 为公比的等比数
则 ａ
例
ａ
１
ａ
（１） 已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＝３， ａ １＋ ａ ３＋ ａ ５＝２１， 列，所以 ３ ① Ｓ
ｎ＝２
ｎ －１， １ 又 ＝ 当 １＝ ｎ
≥
１
２
时，ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ
ｎ
－
Ｓ
ｎ －１＝２
２ ｎ －２（
２－１
）
＝２
ｎ －２，所
３＋ ５＋ ７＝ （ ） { ，ｎ ，
以ａ １ ＝１
Ａ．２１ Ｂ．４２ Ｃ．６３ Ｄ．８４ ｎ＝ ｎ －２，ｎ ．
设 ａ 是公比大于 的等比数列 Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ ２ ≥２
（２） ｛ ｎ｝ １ ， ｎ ｛ ｎ｝ ａ ，ａ ，…，ａ 是以 为首项， 为公比的等比数列，
项和．已知 Ｓ 且 ａ ａ ａ 构成等差数列 则 ａ ② ３ ５ ２ ｎ ＋１ ２ ４
３ ＝７， １＋３，３ ２， ３＋４ ， ｎ ＝ （ ｎ） （ ｎ ）
． 所以ａ ａ … ａ ２ １－４ ２ ４ －１ ．
３＋ ５＋ ＋ ２ ｎ ＋１＝ ＝
设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ａ 且数列 Ｓ 是以 １－４ ３
为公
（
比
３
的
）
等比数
｛
列
ｎ
．
｝ ｎ， １＝１， ｛ ｎ｝ ２
所以ａ １＋ ａ ３＋ … ＋ ａ ２ ｎ ＋１＝１＋ ２
（
４
ｎ
－１
）
＝ ２
２ ｎ ＋１
＋１．
３ ３
① 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； 答案 （ ）Ｂ （ ） ｎ －１
１ ２ ２
求ａ ａ ａ ．
② １＋ ３＋…＋ ２ ｎ ＋１ 方法总结 １．等比数列可以由首项ａ 和公比ｑ确定 所有
解析 （ ）设｛ａ ｝的公比为ｑ，由ａ ，ａ ａ ａ 得 １ ，
１ ｎ １＝３ １＋ ３＋ ５＝２１ １＋ 关于等比数列的计算和证明都可围绕ａ 和ｑ进行．
ｑ２
＋
ｑ４
＝７
，解得ｑ２
＝２
（负值舍去）．
∴
ａ
３＋
ａ
５＋
ａ
７＝
ａ
１
ｑ２
＋
ａ
３
ｑ２
＋
ａ
５
ｑ２
＝
２．对于等比数列问题
，
一般给出两个 １ 条件
，
就可以通过列方
（ａ ａ ａ ）ｑ２ ． 程 组 求出ａ ｑ．如果再给出第三个条件就可以完成ａ ａ ｑ
１＋ ３＋ ５ ＝２１
{
×
ａ
２＝４
ａ
２
ａ ， ｎ
（
Ｓ 的
）
知三求
１，
二 问题．
ｎ， １， ，
１＋ ２＋ ３＝７ ， ｎ “ ”
（ ）由已知得 （ａ ） （ａ ） ３．等比数列性质的应用
２ １＋３ ＋ ３＋４ ａ ．
２ ＝３ ２ 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ （ ｍ ， ｎ ， ｐ ， ｑ ∈ Ｎ∗ ）， 则ａ ｍ· ａ ｎ＝ ａ ｐ· ａ ｑ ．
解得ａ ．设数列｛ａ ｝的公比为ｑ，由ａ ，可得ａ ２ ， （１）
特别地
，
当ｍ
＋
ｎ
＝２
ｋ
（
ｍ
，
ｎ
，
ｋ
∈
Ｎ∗
）
时
，
ａ
ｍ·
ａ
ｎ＝
ａ２ｋ ．
２＝２ ｎ ２＝２ １＝ ｑ 对有穷等比数列 与首末两项 等距离 的两项之积等于首
（２） ， “ ”
３５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
末两项之积
，
即ａ
１·
ａ
ｎ＝
ａ
２·
ａ
ｎ －１＝…＝
ａ
ｋ·
ａ
ｎ － ｋ ＋１＝…（
ｋ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
注意 等比数列求和要讨论ｑ 和ｑ 两种情况．
还是 （ 偶 ２ 数 ） 计 ．若 算 （ ｎ １ 过 ） 是 程 奇 中 数 ， 出 则 现 ｑ 方 ｎ 程 ｔ 若 ｑｎ ＝ ｎ ｔ 是 时 ＝ 偶 ， １ 要 数 看 则 ≠ ｑｎ ｔ １ 中的 时 ｎ ｑ 是奇 ｎ ｔ 数 ｔ 例 已知数列 ｛ { ａ ｎ｝ 的首 } 项ａ １＝１， ａ ｎ ＋１＝ａ ４ ｎ ａ ＋ ｎ ２ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ．
， ＝ ； ， ＞０ ， ＝± ， 证明 数列 １ １ 是等比数列
时 无解． （１） ： ａ － ；
＜０ ， ｎ ２
ｎ
设ｂ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｓ ．
例 （２０１９ 浙江金丽衢十二校联考，３）已知等比数列 （２） ｎ＝ａ ｎ ， ｛ ｎ｝ ｎ
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若Ｓ Ｓ 则Ｓ ａ ａ
｛ ｎ｝ ｎ， ２＝３， ４＝１５， ３＝ （ ） 解析 （ ）证明： ａ ４ ｎ ， １ ｎ＋２ １ １ ，
或 ６３
１ ∵ ｎ ＋１ ＝ａ
ｎ＋２
∴ ａ
ｎ ＋１
＝
４
ａ
ｎ
＝
４
＋
２
ａ
ｎ
Ａ．７ Ｂ．－９ Ｃ．７ －９ Ｄ． ( )
８ １ １ １ １ １ ，又 ａ ， １ １ １ ， 数列
解析 设等比数列｛ａ ｎ ｝的公比为ｑ，当ｑ ＝１ 时，Ｓ ２＝２ ａ １＝
{
∴ ａ ｎ ＋１ －
}
２ ＝ ２ ａ ｎ － ２ １ ＝１ ∴ ａ １ － ２ ＝ ２ ∴
，Ｓ ａ ，矛盾，所以 ｑ ，由已知得 ａ １ （ １－ ｑ２） ， ａ １ － １ 是以 １ 为首项，１ 为公比的等比数列．
３ ４＝４ １＝１５ ≠１ ３＝ ｑ １５＝ ｎ ２ ２ ２
１－
( )ｎ
ａ １ （ １－ ｑ４） ，解得 {ｑ ＝２ ， 或 {ｑ ＝－２ ， 所以Ｓ 或 ． （ ２ ）由（ １ ）知 ａ １ － １ ＝ １ · １ －１ ＝ １ ｎ ，即 ａ １ ＝ １ ｎ ＋ １ ，
ｑ ａ ａ ， ３＝７ －９ ｎ ２ ２ ２ ２ ｎ ２ ２
１－ １＝１ １＝－３
ｎ ｎ ｎ ｎ
答案 Ｃ ｂ ，设Ｔ １ ２ ３ … ，则 １ Ｔ １
∴ ｎ＝ａ ｎ ＝ ２ ｎ＋ ２ ｎ＝ ２ ＋ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋ ＋ ２ ｎ① ２ ｎ＝ ２ ２ ＋
ｎ ｎ
２ … －１ ，
３ ＋ ＋ ｎ ＋ ｎ ＋１②
２ ２ ２
考法二 等比数列的判定与证明
æ ö
１ ç １ ÷
例２ （２０２１ 届百校联盟普通高中教育教学质量监测， ｎ è１－ ｎø ｎ
由 得，１ Ｔ １ １ … １ ２ ２
１８）已知数列 ａ 满足ａ ａ 且ａ ｂ ａ 数列 ｂ 是 ①－② ｎ＝ ＋ ２ ＋ ＋ ｎ－ ｎ ＋１ ＝ － ｎ ＋１
｛ ｎ｝ ２＝２ １＝４， ｎ ＋１－ ｎ＝２ ｎ， ｛ ｎ｝ ２ ２ ２ ２ ２ １－ １ ２
公差为 的等差数列． ２
－１
ｎ ｎ
（１） 证 求 明 使 ： 得 ｛ ａ ａ ｎ－ ｎ ａ ｝ 是等比 ａ 数列 ； 成立的最小正整数ｎ的值． ＝１－ ２ １ ｎ － ２ ｎ ＋１ ， ∴ Ｔ ｎ ＝２－ ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ．又 １ ２ × （ １＋２＋３＋ … ＋ ｎ） ＝
（２） １＋ ２＋…＋ ｎ＞２２００ ｎ（ｎ ） ｎ ｎ（ｎ ）
解析 （ ）证明：依题意，ａ ａ ｂ ， ＋１ ， 数列｛ｂ ｝的前ｎ项和Ｓ ２＋ ＋１ ．
１ ｎ ＋１＝２ ｎ＋ ｎ ∴ ｎ ｎ＝２－ ｎ ＋
当ｎ 时，ａ ａ ｂ ，即 ｂ ，故ｂ ， ４ ２ ４
则ｂ ＝１ （ｎ ２＝ ） ２ · １ （ ＋ １ ） ４ ｎ ＝４＋ ，故 １ ａ １＝０ ａ ｎ ， 例 （２０１９浙江台州期末，２０）在数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝１， ａ ２＝
故
ａ
ｎ
ｎ
＋１
＝
－
０ （ ＋ ｎ
＋１
－ ） １
２
ａ
ｎ－
－ ｎ １
＋１
＝
－
－ （ｎ ＋
＋
１
１
）
２
（ ｎ ＋ ａ １
ｎ
＝
－
２ ｎ） ｎ－
，
＋１ ３， 且对任
证
意
明
的
数
ｎ
列
∈ Ｎ
ａ
∗ ， 都
ａ
有
是
ａ ｎ ＋
等
２＝
比
３ ａ
数
ｎ ＋
列
１－２
并
ａ ｎ ．
求数列 ａ 的通项
ａ
ｎ－
ｎ ＝ ａ
ｎ－
ｎ ＝ ａ
ｎ－
ｎ ＝２ （１） ｛ ｎ ＋１－ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
公式
而ａ
１－１＝１
，故｛ａ
ｎ－
ｎ｝是以
１
为首项，
２
为公比的等比数列．
； ｎ
（ ２ ）由（ １ ）可知，ａ ｎ－ ｎ ＝２ ｎ －１，故ａ ｎ＝ ｎ ＋２ ｎ －１，记ａ １＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ｎ （２） 设ｂ ｎ＝ａ ２ ａ ， 记数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 若对任意
＝ Ｓ ｎ ，故Ｓ ｎ＝ （ １＋２＋ … ＋ ｎ） ＋ （ ２ ０ ＋２ １ ＋２ ２ ＋ … ＋２ ｎ －１） ＝ ｎ（ １ ２ ＋ ｎ） ＋ １ １ － － ２ ２ ｎ 的ｎ ∈ Ｎ∗都有Ｓ ｎ ｎ ≥ ｎ ＋ ａ １ １ ＋ ｍ ， 求实数ｍ的取值范围．
ｎ２
＋
ｎ
ｎ ，因为Ｓ ，Ｓ ，而｛ａ ｝
ｎ
＝
２
＋２ －１ １１＝２ １１３＜２ ２００ １２＝４ １７３＞２ ２００ ｎ 解析 （
１
）由ａ
ｎ ＋２＝３
ａ
ｎ ＋１－２
ａ
ｎ
可得ａ
ｎ ＋２－
ａ
ｎ ＋１＝２
（ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ
）．
是递增数列，故满足ａ ａ … ａ 的最小正整数ｎ的值 又ａ ，ａ ，所以ａ ａ ，所以｛ａ ａ ｝是首项为 ，公比
１＋ ２＋ ＋ ｎ＞２ ２００ １＝１ ２＝３ ２－ １＝２ ｎ ＋１－ ｎ ２
为 １２ 方 ． 法总结 判断等比数列的方法 为 ２ 的等比数列．所以ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝２ ｎ．所以ａ ｎ＝ ａ １＋ （ａ ２－ ａ １ ） ＋ … ＋
（ａ ｎ－ ａ ｎ －１ ） ＝１＋２＋２ ２ ＋ … ＋２ ｎ －１ ＝２ ｎ －１ ．
且ｎ １．定义 则 法 ： ａ 若 ａ 是 ａ ｎ ＋ ｎ 等 １ ＝ 比 ｑ （ 数 ｑ为 列 非 ． 零常数 ） 或 ａ ａ ｎ － ｎ １ ＝ ｑ （ ｑ为非零常数 （ ２ ）因为ｂ ｎ＝（ ２ ｎ －１ ） ２ （ ｎ ２ ｎ ＋１ －１ ）＝ （ （ ２ ２ ｎ ＋ ｎ １ － － １ １ ） ） （ － ２ （ ｎ ＋ ２ １ ｎ － － １ １ ） ） ＝ ２ ｎ １ －１ －
≥２）， ｛ ｎ｝ æ ö æ ö
２．中项法 ： 若数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ ｎ≠０ 且ａ２ｎ ＋１＝ ａ ｎ· ａ ｎ ＋２（ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， ２ ｎ ＋ １ １ －１ ，所以Ｓ ｎ＝ ｂ １＋ ｂ ２＋ … ＋ ｂ ｎ＝è ç ２－ １ １ － ２ ２ １ －１ ø ÷ ＋è ç ２ ２ １ －１ － ２ ３ １ －１ ø ÷ ＋
则 ａ 是等比数列．
｛ ３ ｎ｝ ．通项公式法 ： 若数列的通项公式可写成ａ ｎ＝ ｃ · ｑｎ （ ｃ ， ｑ均 … ＋ æ è ç ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ＋ １ １ －１ ö ø ÷ ＝１－ ２ ｎ ＋ １ １ －１ ．又因为对任意的ｎ ∈ Ｎ∗都有Ｓ ｎ
是不为
０
的常数
，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则
｛
ａ
ｎ｝
是等比数列．
１ ｍ， 所以 ｍ １ １ 恒成立， 即 ｍ
４．前ｎ项和公式法 ： 若数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ＝ ｋ · ｑｎ － ｋ （ ｋ ≥ａ ｎ ＋ ≤ １ － ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＋１ －１ ≤
为常数且ｋ ｑ 则 ａ 是等比数列． æ ö
≠０， ≠０，１）， ｛ ｎ｝ ç １ １ ÷ ，当ｎ 时， １ １ 有最小值 １ ，
其中前两种方法是证明等比数列的常用方法 而后两种方 è１－ ｎ － ｎ ＋１ ø ＝１ １－ ｎ － ｎ ＋１ －
， ２ －１ ２ －１ ｍｉｎ ２ －１ ２ －１ ３
法常用于选择题 填空题中的判定．
、 故ｍ １ ．
≤－
３
专题六 数列 ３５９
Ｎ∗时
，
ａ
ｎ，
Ｓ
ｎ，
Ｓ
ｎ－１
成等比数列
，
则ａ
５＝ （ ）
１ １ １ １
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－
５ ５ ２０ ２０
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧 答案 Ｄ
１．（２０２０河北武邑中学期中，３）已知等比数列 ａ 中 ａ 前
｛ ｎ｝ ， ３＝７， 考法二 等比数列的判定与证明
三项之和Ｓ 则公比ｑ的值为
３＝２１， （ ）
４．（２０２０新教材地区第一次月考）若Ｓ 是等比数列 ａ 的前ｎ
１ 或 １ 或 １ ｎ ｛ ｎ｝
Ａ．１ Ｂ．－ Ｃ．１ － Ｄ．－１ 项和 Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列 且ａ 则ａ ａ
２ ２ ２ ， ３， ９， ６ ， ８＝２， ２＋ ５＝ （ ）
答案 Ｃ
Ａ．－１２ Ｂ．－４ Ｃ．４ Ｄ．１２
２．（２０２０重庆直属校（重庆第八中学等）３月月考）已知数列 ａ 是 答案 Ｃ
｛ ｎ｝
各项均为正数的等比数列 ａ ａ ａ 则 ａ ５．（２０１９河南濮阳重点高中联考，１７）设 ａ 是公比为ｑ的等比
， １＝２， ３＝２ ２＋１６， ｌｏｇ２ ９＝ （ ） ｛ ｎ｝
数列．
Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８
答案 Ｃ 推导 ａ 的前ｎ项和公式
（１） ｛ ｎ｝ ；
３．（２０２１届浙江名校新高考研究联盟（ ２０名校联盟）第一次联 设ｑ 证明数列 ａ 不是等比数列．
Ｚ （２） ≠１， ｛ ｎ＋１｝
考，６）已知数列 ａ 的前 ｎ 项和为 Ｓ ａ 当 ｎ 且 ｎ
｛ ｎ｝ ｎ， １＝１， ≥２ ∈
{ａ
１
ｑ２
＋２
ａ
１
ｑ３
＝０，
ì ï
ï
ａ
１＝－
１
，
由 题 意 得 解 得 í ２ 故 ａ
ａ ｑ ａ ｑ２ ａ ｑ３ １ ï ｎ
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧 １ ＋２ １ ＋ １ ＝ １６ ， î ïｑ ＝－ １ ，
２
１．（２０１８湖北荆州一模，９）已知数列 ａ 是公差ｄ不为 的等 ( )ｎ
｛ ｎ｝ ０ １ ．
＝ －
ｂ ｂ
差数列 且ａ ａ ａ 为等比数列 ｂ 的连续三项 则 ３＋ ４的值为 ２ ( )
， １， ３， ７ ｛ ｎ｝ ， ｂ ｂ 由 得ｂ ｎ ｎ 故 １ １ １ １
４＋ ５ （２） （１） ｎ＝ （ ＋２）， ｂ ＝ ｎ －ｎ ，
ｎ ２ ＋２
（ ）
所以Ｔ １ １ １ １
１ ｎ＝ｂ ＋ｂ ＋ｂ ＋…＋ｂ
Ａ． ２ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ． ２ ( １ ２ ３ ｎ )
答案 Ａ 数列 ａ 是公差ｄ不为 的等差数列 且ａ ａ １ １ １ １ １ １ １ １ １
｛ ｎ｝ ０ ， １， ３， ＝ － ＋ － ＋ － ＋…＋ ｎ －ｎ
ａ ７ 为等比数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的连续三项 ，∴ ａ２ ３＝ ａ １· ａ ７， 可得 （ ａ １＋２ ｄ ） ２ ＝ ２ １ ( １ １ ３ １ ２ ４ １ ) ３ ３ ５ ２ ｎ ＋３ ＋２ ．
ａ ａ ｄ 即 ａ ｄ ． 公比 ｑ ａ ３ ａ １＋２ ｄ ４ ｄ 则 ＝ ２ １＋ ２ －ｎ ＋１ －ｎ ＋２ ＝ ４ － ２（ ｎ ＋１）（ ｎ ＋２）
１（ １＋６ ）， １＝２ ≠０ ∴ ＝ ａ ＝ ａ ＝ ｄ ＝２，
１ １ ２
ｂ ｂ 考法二 等比数列的判定与证明
３＋ ４ １ １ ．故选
ｂ ｂ ＝ ｑ ＝ Ａ． １．（２０１８山东实验中学诊断测试，７）中国古代数学名著 九章算
４＋ ５ ２ 《
２．（２０１８河南开封一模，５）已知等比数列 ａ 的前 ｎ 项和为 术 中有这样一个问题 今有牛 马 羊食人苗 苗主责之粟五
｛ ｎ｝ 》 ： 、 、 ，
Ｓ 且 Ｓ Ｓ ａ 则ａ 斗 羊主曰 我羊食半马． 马主曰 我马食半牛． 今欲衰偿
ｎ， ９ ３＝ ６， ２＝１， １＝ （ ） ， ：“ ” ：“ ”
之 问各出几何 此问题的译文是 今有牛 马 羊吃了别人的
１ ２ ， ？ ： 、 、
Ａ． Ｂ． Ｃ． ２ Ｄ．２ 禾苗 禾苗主人要求赔偿 斗粟．羊主人说 我的羊所吃的禾
２ ２ ， ５ ：“
答案 Ａ 由题意知等比数列 ａ 的公比ｑ Ｓ Ｓ 苗只有马的一半． 马主人说 我的马所吃的禾苗只有牛的一
｛ ｎ｝ ≠１，∵ ９ ３＝ ６， ” ：“
ａ ２＝１，∴ ９
ａ
１（ １ １ － － ｑ
ｑ３
） ＝
ａ
１（ １ １ － － ｑ
ｑ６
） ， ａ １ ｑ ＝１，∴ ｑ ＝２， ａ １＝ ２ １ ．故选 Ａ．
半
主
．
人 ”
打
应
算
偿
按
还
此
ａ
比
升
例
， ｂ
偿
升
还
， ｃ ， 升
他
，
们
１
各
斗
应
为
偿
１０
还
升
多
，
少
则 ？ 下
已
列
知
判
牛
断 、 正
马
确 、
羊
的
的
是
方法指导 在等比数列基本量的计算中 对于高次方的计算
， ， （ ）
常用作商的方法或整体消元法求解． ａ ｂ ｃ依次成公比为 的等比数列 且ａ ５０
Ａ． ， ， ２ ， ＝
３．（２０２０浙江杭州二中期中，２０）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项 ７
和为Ｓ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），－２
Ｓ
２，
Ｓ
３，４
Ｓ
４
成等差数列
，
且 ａ
２＋２
ａ
３＋
ａ
４ Ｂ．
ａ
，
ｂ
，
ｃ依次成公比为
２
的等比数列
，
且ｃ
＝
５０
７
１ ．
＝ ａ ｂ ｃ依次成公比为 １ 的等比数列 且ａ ５０
１６ Ｃ． ， ， ， ＝
求 ａ 的通项公式 ２ ７
（１） ｛ ｎ｝ ；
{ } ａ ｂ ｃ依次成公比为 １ 的等比数列 且ｃ ５０
若ｂ ｎ ａ 求数列 １ 的前ｎ项和Ｔ ． Ｄ． ， ， ， ＝
（２） ｎ＝－（ ＋２）ｌｏｇ２｜ ｎ｜， ｂ
ｎ
ｎ ２ ７
ｂ ｃ
解析 本题考查等比数列的概念 通项公式以及数列的前ｎ 答案 Ｄ 由题意可知ｂ １ ａ ｃ １ ｂ １ １ ．
、 ＝ ， ＝ ，∴ ａ ＝ ， ｂ ＝
项和 考查学生运算求解的能力 考查了数学运算的核心素养． ２ ２ ２ ２
； ； ａ ｂ ｃ成等比数列且公比为 １ ． 斗 升
设等比数列的首项为ａ 公比为ｑ ∴ 、 、 ∵１ ＝１０ ，
（１） １， ， ２
３６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
斗 升 ａ ｂ ｃ 又易知ａ ｃ ｂ ｃ ｃ ｃ ｃ ａ ａ ａ 因为ａ 所以ａ ａ 所以 ａ 是公
∴５ ＝５０ ，∴ ＋ ＋ ＝５０， ＝４ ， ＝２ ，∴ ４ ＋２ ＋ ＝ ３ ｎ）（ ｎ ＋１＋２ ｎ）＝０， ｎ＞０， ｎ ＋１＝３ ｎ， ｛ ｎ｝
５０，∴７
ｃ
＝５０，∴
ｃ
＝
５０
，
故选
Ｄ．
比为
３
的等比数列
，
所以
ａ
ａ
４＋
ａ
ａ
７
＝
ａ
２
ａ
ｑ２
＋
ａ
ａ
５
ｑ２
＝
ｑ２
＝９
．
２．（多选题）（２０２０山 ７ 东青岛三模，１０）在悠久灿烂的中国古代文 ４．（２０２０山东菏泽一中２月 ２＋ 自 ５ 测，１８ ２ ） ＋ 设 ５ 数列 ａ 的前ｎ项和
｛ ｎ｝
化
古
中
代
，
有
数
标
学
志
文
性
化
的
是
内
其
容
中
丰
的
富
一
的
朵
众
绚
多
丽
数
的
学
奇
名
葩
著
．
《
之
张丘
一
建
大
算
约
经
创
》
作
是
于
我国
公
为Ｓ
证
ｎ，
已
明
知
Ｓ
ａ
１＝１，
为
Ｓ
ｎ
等
＋１－
比
２
Ｓ
数
ｎ＝
列
１，
求
ｎ
∈
出
Ｎ∗
ａ
．
的通项公式
， （１） ：｛ ｎ＋１｝ ， ｛ ｎ｝ ；
元五世纪．书中有如下问题 今有女善织 日益功疾 初日织五
ｎ
：“ ， ， 若ｂ 求 ｂ 的前ｎ项和Ｔ 并判断是否存在正整数
尺 今一月织九匹三丈 问日益几何 其大意为 有一女子擅 （２） ｎ＝ａ ， ｛ ｎ｝ ｎ，
， ， ？” ：“ ｎ
长织布 ， 织布的速度一天比一天快 ， 从第二天起 ， 每天比前一天 ｎ使得Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０ 成立．若存在 ， 求出所有ｎ的值 ； 若
多织相同数量的布 第一天织 尺 一个月共织了九匹三丈 问 不存在 说明理由．
， ５ ， ， ，
从
丈
第二天
尺
起
若
，
每
这
天
一
比
个月
前
有
一天多
天
织
记
多
该
少
女
尺
子
布
这
？”
一
已
个
知
月
１
中
匹
的
＝
第
４
丈
ｎ
，
天
１
解
Ｓ
析
（
为
１）
等
∵
比
Ｓ
ｎ
数
＋１－
列
２
Ｓ
ｎ
且
＝
公
１，
比
∴
为
Ｓ
ｎ ＋１＋１＝２（
Ｓ
ｎ＋１），
ｎ
∈
Ｎ∗
，
＝１０ ， ３０ ， ∴ ｛ ｎ＋１｝ ， ２，
所 确
Ａ．
织 的
ｂ １０
布 为
＝８
的
ｂ ５
尺数为ａ ｎ， ｂ ｎ＝２ ａｎ ， 对于
Ｂ．
数
｛ ａ ｂ
列
ｎ｝ ａ
｛
是
ａ ｎ
等 ａ
｝，
比
｛ ｂ
数
ｎ｝
列
， 下列选 （ 项 中 正 ） 又 ∴
则
∵ Ｓ
ａ
ｎ
ｎ
＋ Ｓ
＝
１ １ ＋
Ｓ
＝
ｎ
１ ２
－
＝ ｎ
Ｓ
， ２
ｎ
∴
－
，
１＝
Ｓ ｎ
２
＝
ｎ －１
２
，
ｎ
ａ
－
１
１
＝
，∴
１ 也
当
满
ｎ ≥
足
２
此
时
式
，
，
Ｓ ｎ －１＝２ ｎ －１ －１，
Ｃ． 答 ａ １ ｂ 案 ３０ ＝１ Ｂ ０ Ｄ ５ 由题意知 ｛ ａ ｎ｝ 为 Ｄ． 等 ａ ３ ２ 差 ＋ ＋ ａ 数 ５ ４ ＋ ＋ 列 ａ ７ ６ ， ＝ ａ １ ２ １ ９ ０ ＝ ３ ９ ５， Ｓ ３０＝３９０， 设 ∴ （２ ａ ） ｎ 由 ＝ （ ２ １ ｎ － ） １ ， 得 ｎ ∈ ｂ ｎ Ｎ ＝ ∗ ａ ｎ ． ｎ ＝ ２ ｎ ｎ －１，
ｂ
公差为ｄ ， 则Ｓ ３０＝３０×５＋ ３０× ２ ２９ｄ ，∴ ｄ ＝ ２ １ ９ ６．对于 Ｂ，｛ ｂ ｎ｝ 中 ， ｂ ｎ ＋ ｎ １ 则Ｔ ｎ＝ １ ０ ＋ ２ １ ＋…＋ ｎ ｎ －１， １ Ｔ ｎ＝ １ １ ＋ ２ ２ ＋…＋ ｎ ｎ， 两式相减得 ：
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
＝ ２ ２ ａ ａ ｎ ｎ ＋１ ＝２ ａｎ＋１－ ａｎ ＝２ ｄ ， 故 ｛ ｂ ｎ｝ 为等比数列 ， 故 Ｂ 正确．对于 Ａ， ｂ ｂ １ ５ ０ ＝ １ ２ Ｔ ｎ＝ ２ １ ０ ＋ ２ １ １ ＋…＋ ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ｎ ＝２－ ｎ ２ ＋ ｎ ２ ，∴ Ｔ ｎ＝４－ ｎ ２ ＋ ｎ － ２ １，
２ ５ ｄ ＝２ ８ ２ ０ ９ ≠８， 故 Ａ 错误．对于 Ｃ， ａ １ ｂ ３０＝５×３２×２ １ ２ ６ ９×２９ ＝５×３２×２ １６ ≠ 代入Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０ 得 ２ ｎ － ｎ －２６＝０ ．
ａ ａ ａ ａ 令ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ′ ｘ ｘ 在ｘ
故 错误．对于 ３＋ ５＋ ７ ５ ２０９ 故 正确． （ ）＝２ － －２６（ ≥１）， （ ）＝ ２ ｌｎ ２－１＞０ ∈［１，
１０５， Ｃ Ｄ，ａ ａ ａ ＝ａ ＝ ， Ｄ 上恒成立
２＋ ４＋ ６ ４ １９３ ＋∞） ，
３．（２０２０福建泉州适应性线上测试，１４）已知数列 ａ 的各项 ｆ ｘ ｘ ｘ 在ｘ 上为增函数
｛ ｎ｝ ∴ （ ）＝２ － －２６ ∈［１，＋∞） ，
均为正数
，
且 ａ
ａ
２ｎ ＋
ｎ
１
＝６
ａ
ｎ＋
ａ
ｎ ＋１（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则 ａ
ａ
４
２
＋
＋
ａ
ａ
７
５
＝
． 又
成
有
立．
ｆ （５）· ｆ （４）＜０，∴ 不存在正整数ｎ ， 使得Ｔ ｎ·２ ｎ －１ ＝ ｎ ＋５０
答案
９
解析 由
ａ
ａ
２ｎ
＋
ｎ
１
＝６
ａ
ｎ＋
ａ
ｎ ＋１
可得 ａ２ｎ
＋１－
ａ
ｎ ＋１
ａ
ｎ－６
ａ２ｎ＝０， 即
（
ａ
ｎ ＋１－
考点一 等比数列的有关概念及运算 答案 Ｂ
１．（２０２０ 课标Ⅱ理，６，５ 分）数列 ａ 中 ａ ａ ａ ａ ．若 ５．（２０１８北京，４，５分） 十二平均律 是通用的音律体系 明代
｛ ｎ｝ ， １＝２， ｍ ＋ ｎ＝ ｍ ｎ 朱载堉最早用数学方法 “ 计算出半音比 ” 例 为这个理论的发 ， 展做
ａ ｋ ＋１＋ ａ ｋ ＋２＋…＋ ａ ｋ ＋１０＝２ １５ －２ ５ ， 则ｋ ＝ （ ） 出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度 ， 音程分成十二份 依
，
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它
答案 Ｃ ， ，
２．（２０２０课标Ⅱ文，６，５分）记Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和．
的前一个单音的频率的比都等于１２ ．若第一个单音的频率为
ｎ ｛ ｎ｝ ｆ 则第八个单音的频率为 ２
若ａ ａ ａ ａ 则 Ｓ ｎ ， （ ）
５－ ３＝１２， ６－ ４＝２４， ａ
ｎ
＝ （ ）
Ａ．
３
２
ｆ
Ｂ．
３
２
２ｆ
Ｃ．
１２
２
５ｆ
Ｄ．
１２
２
７ｆ
ｎ ｎ ｎ ｎ 答案 Ｄ
Ａ． 答 ２ 案 －１ Ｂ Ｂ．２－２
１－
Ｃ．２－２
－１
Ｄ．２
１－
－１ ６．（２０１９ 课标Ⅰ，１４，５分）记Ｓ ｎ 为等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和．
３．（２０１９课标Ⅲ，５，５分）已知各项均为正数的等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的 若ａ １＝ １ ， ａ２ ４＝ ａ ６， 则Ｓ ５＝ ．
前 项和为 且ａ ａ ａ 则ａ ３
４ １５， ５＝３ ３＋４ １， ３＝ （ ）
答案 １２１
Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．４ Ｄ．２
答案 Ｃ ３
４．（２０１７ 课标Ⅱ，３，５分）我国古代数学名著 算法统宗 中有如
７．（２０１７北京，１０，５分）若等差数列
｛
ａ
ｎ｝
和等比数列
｛
ｂ
ｎ｝
满足
《 》 ａ
下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十 ａ ｂ ａ ｂ 则 ２ ．
：“ ， ， １＝ １＝－１， ４＝ ４＝８， ｂ ＝
一 请问尖头几盏灯 意思是 一座 层塔共挂了 盏灯 且 答案 ２
， ？” ： ７ ３８１ ， １
相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 倍 则塔的顶层共 ８．（２０１７江苏，９，５分）等比数列 ａ 的各项均为实数 其前 ｎ
２ ， ｛ ｎ｝ ，
有灯
（ ） 项和为Ｓ ．已知Ｓ ７ Ｓ ６３ 则ａ ．
盏 盏 盏 盏 ｎ ３＝ ， ６＝ ， ８＝
Ａ．１ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．９ ４ ４
专题六 数列 ３６１
答案 １２．（２０２１新高考适应卷，１７，１０分）已知各项都为正数的数列
３２
９．（２０２０新高考Ⅰ，Ⅱ，１８，１２分）已知公比大于 的等比数列 ａ 满足ａ ａ ａ ．
１ ｛ ｎ｝ ｎ ＋２＝２ ｎ ＋１＋３ ｎ
ａ 满足ａ ａ ａ ． 证明 数列 ａ ａ 为等比数列
｛ ｎ｝ ２＋ ４＝２０， ３＝８ （１） ： ｛ ｎ＋ ｎ ＋１｝ ；
求 ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ； 若ａ １ ａ ３ 求 ａ 的通项公式．
（２）
（新高考
Ⅰ
）记ｂ
ｍ
为
｛
ａ
ｎ｝
在区间
（０，
ｍ
］（
ｍ
∈
Ｎ∗
）
中的项 （２） １＝
２
， ２＝
２
， ｛ ｎ｝
的个数 求数列 ｂ 的前 项和Ｓ ．
， ｛ ｍ｝ １００ １００ 考点二 等比数列的性质
（新高考
Ⅱ
）求ａ
１
ａ
２－
ａ
２
ａ
３＋…＋（－１）
ｎ －１ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１
．
１３．（２０２０课标Ⅰ文，１０，５分）设 ａ 是等比数列 且ａ ａ ａ
１０．（２０２０课标Ⅲ文，１７，１２分）设等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足ａ １＋ ａ ２＝４， ａ ａ ａ 则ａ ａ ａ ｛ ｎ｝ ， １＋ ２＋ ３
ａ
３－
ａ
１＝８
． ＝１， ２＋ ３＋ ４＝２， ６＋ ７＋ ８＝ （ ）
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； Ａ． 答 １２ 案 Ｄ Ｂ．２４ Ｃ．３０ Ｄ．３２
（２）
记Ｓ
ｎ
为数列
｛ｌｏｇ３
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和．若Ｓ
ｍ＋
Ｓ
ｍ ＋１＝
Ｓ
ｍ ＋３，
求ｍ．
１４．（２０１６ 课标Ⅰ，１５，５分）设等比数列 ａ 满足ａ ａ ａ
１１．（２０１８课标Ⅲ，１７，１２分）等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝１， ａ ５＝４ ａ ３ ． ａ 则ａ ａ ａ 的最大值为 ｛ ｎ｝ ． １＋ ３＝１０， ２
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； ＋ 答 ４＝ 案 ５， １ ２… ｎ
（２） 记Ｓ ｎ 为 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和．若Ｓ ｍ＝６３， 求ｍ． ６４
考点一 等比数列的有关概念及运算 设等比数列 ａ 的公比为ｑ
｛ ｎ｝ ，
{ａ ａ ｑ
１．（２０１３课标Ⅰ文，６，５分）设首项为 公比为 ２ 的等比数列 由题意得 １＋ １ ＝－１，
１， ａ ａ ｑ２
３ １－ １ ＝－３，
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 则 {ａ
｛ ｎ｝ ｎ， （ ） 解得 １＝１，
Ａ． Ｓ ｎ＝２ ａ ｎ－１ Ｂ． Ｓ ｎ＝３ ａ ｎ－２ ｑ ＝－２，
Ｃ． Ｓ ｎ＝４－３ ａ ｎ Ｄ． Ｓ ｎ＝３－２ ａ ｎ ( )ｎ －１ ５． ∴ （２ ａ ０ ４ １ ＝ ５ ａ 课 １ ｑ３ 标 ＝ Ⅰ －８ 文 ． ，１３，５分）在数列 ａ 中 ａ ａ ａ Ｓ
答案 Ｄ 因为ａ
１＝１，
公比 ｑ
＝
２
，
所以 ａ
ｎ＝
２
，
Ｓ
ｎ＝ 为 ａ 的前ｎ项和．若Ｓ 则ｎ
｛ ｎ｝ ， １＝
．
２， ｎ ＋１＝２ ｎ， ｎ
３ ３ ｛ ｎ｝ ｎ＝１２６， ＝
ａ １（１－ ｑｎ ） [ ( ２ )ｎ ] ( ２ )ｎ －１ ａ 故选 ． 答案 ６
ｑ ＝３ １－ ＝３－２ ＝３－２ ｎ， Ｄ 解析 由已知得 ａ 为等比数列 公比ｑ 由首项ａ
２．（２０
１－
１３课标Ⅱ理，３
３
，５分）等比数列
３
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 已 ｎ
｛ ｎ｝ ， ＝２， １＝２，
知Ｓ ａ ａ ａ 则ａ ｛ ｎ｝ ｎ， Ｓ ｎ＝１２６ 得２（１－２ ） ＝１２６， 解得 ２ ｎ ＋１ ＝１２８，∴ ｎ ＝６ ．
３＝ ２＋１０ １， ５＝９， １＝ （ ） １－２
评析 本题主要考查等比数列的定义及前ｎ项和公式，属容易
１ １ １ １
Ａ． Ｂ．－ Ｃ． Ｄ．－ 题，注意运算要准确哦！
３ ３ ９ ９
答案 Ｃ 由已知条件及Ｓ ａ ａ ａ 得ａ ａ 设数列 ６．（２０１５湖南理，１４，５分）设Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和．
３＝ １＋ ２＋ ３ ３＝９ １， ｎ ｛ ｎ｝
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ
，
则ｑ２
＝９
． 若ａ
１＝１，
且
３
Ｓ
１，２
Ｓ
２，
Ｓ
３
成等差数列
，
则ａ
ｎ＝
．
所以ａ ａ ｑ４ ａ 得ａ １ 故选 ． 答案 ３ ｎ －１
３．（２０１９ ５ 课 ＝９ 标 ＝ Ⅰ １· 文，１ ＝ ４ ８ ， １ ５ １ 分 ， ）记 １ Ｓ ＝ ９ 为 ， 等比数 Ｃ 列 ａ 的前 ｎ 项 解析 设等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ （ ｑ ≠０）， 依题意得ａ ２＝ ａ １
ｎ ｛ ｎ｝ ｑ ｑ ａ ａ ｑ２ ｑ２ Ｓ ａ Ｓ ｑ Ｓ ｑ ｑ２．又 Ｓ
· ＝ ， ３＝ １ ＝ ， １＝ １＝１， ２＝１＋ ， ３＝１＋ ＋ ３ １，
和．若ａ Ｓ ３ 则Ｓ ． Ｓ Ｓ 成等差数列 所以 Ｓ Ｓ Ｓ 即 ｑ ｑ ｑ２
１＝１， ３＝ ， ４＝ ２ ２， ３ ， ４ ２＝３ １＋ ３， ４（１＋ ）＝３＋１＋ ＋ ，
４ 所以ｑ ＝３（ ｑ ＝０ 舍去 ） ．所以ａ ｎ＝ ａ １ ｑｎ －１ ＝３ ｎ －１．
答案 ５ ７．（２０１３辽宁理，１４，５ 分）已知等比数列 ａ 是递增数列 Ｓ
｛ ｎ｝ ， ｎ
解析 本
８
题主要考查等比数列的有关概念 ； 考查学生的运算
是
Ｓ ｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ
．
项和．若ａ
１，
ａ
３
是方程ｘ２
－５
ｘ
＋４＝０
的两个根
，
则
求解能力 考查的核心素养是数学运算． ６＝
； 答案
设公比为ｑ ｑ ６３
则Ｓ
３＝
ａ
１＋
ａ
（
２＋
≠
ａ
３
０
＝
）
１
，
＋
ｑ
＋
ｑ２
＝ ４
３
， 列
解
故
析
ａ
ａ
１，
ａ
ａ
３
是方
故
程
公
ｘ２
比
－５
ｑ
ｘ
＋４＝
Ｓ
０
的
ａ １
两
（１
个
－ ｑ
根
６ ）
且
｛
ａ
．
ｎ｝
是递增数
， ３＝４， １＝１， ＝２， ６＝ ｑ ＝６３
解得ｑ １ １－
＝－
２
， 评析 本题考查了等比数列的求和公式．数列｛ａ ｎ ｝递增是解题
的关键，没考虑到ｑ 是失分的主因．
∴
ａ
４＝
ａ
１
ｑ３
＝－ ８
１
， ８．（２０１２课标文，１４，
＞
５
０
分）等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ， 若
Ｓ Ｓ 则公比ｑ ．
Ｓ Ｓ ａ ３ １ ５ ． ３＋３ ２＝０， ＝
∴ ４＝ ３＋ ４＝ － ＝ 答案
４ ８ ８ －２
４．（２０１７课标Ⅲ理，１４，５分）设等比数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
１＋
ａ
２＝－１，
解析 由Ｓ
３＋３
Ｓ
２＝０
得
４
ａ
１＋４
ａ
２＋
ａ
３＝０，
有
４＋４
ｑ
＋
ｑ２
＝０，
解得
ａ ａ 则ａ ． ｑ ．
１－ ３＝－３， ４＝ ＝－２
答案 评析 本题考查了等比数列的运算，直接利用定义求解可达
－８
解析 本题考查等比数列的通项． 到事半功倍的效果．
３６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
９．（２０１８课标Ⅰ文，１７，１２分）已知数列 ａ 满足ａ ｎａ
｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１＝ １
ａ １－ ｎ
ｎ ａ ．设ｂ ｎ． ３
２（ ＋１） ｎ ｎ＝ ｎ ＝ ，
２
（１） 求 判断 ｂ １ 数 ， ｂ 列 ２， ｂ ３ ｂ ； 是不是等比数列 并说明理由 所以Ｓ ｎ＝ １－ ａ ｎ．
（２） ｛ ｎ｝ ， ； ２
（３） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式． （２） ｂ ｎ＝ｌｏｇ３ ａ １＋ｌｏｇ３ ａ ２＋…＋ｌｏｇ３ ａ ｎ
ｎ ｎ ｎ
解析 由条件可得ａ ２（ ＋１）ａ ． ｎ （ ＋１）．
（１） ｎ ＋１＝ ｎ ｎ ＝－（１＋２＋…＋ ）＝－
２
将ｎ ＝１ 代入得 ， ａ ２＝４ ａ １， 而ａ １＝１， 所以ａ ２＝４ ． 所以 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式为ｂ ｎ＝－ ｎ （ ｎ ＋１）．
将ｎ 代入得 ａ ａ 所以ａ ． ２
＝２ ， ３＝３ ２， ３＝１２ 评析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识，对数运算性
从而ｂ ｂ ｂ ．
１＝１， ２＝２， ３＝４ 质，要求考生有较清晰的推理思路和运算目标，但难度并不
ｂ 是首项为 公比为 的等比数列．
（２）｛ ｎ｝ １， ２ 大．属中档题．
ａ ａ
由条件可得 ｎ ＋１ ２ ｎ 即ｂ ｂ
ｎ
＋１
＝ ｎ ， ｎ ＋１＝２ ｎ，
考点二 等比数列的性质
又ｂ 所以 ｂ 是首项为 公比为 的等比数列．
１＝１， ｛ ｎ｝ １， ２ １．（２０１８浙江，１０，４分）已知ａ ａ ａ ａ 成等比数列 且ａ ａ
ａ １， ２， ３， ４ ， １＋ ２
（３） 由 （２） 可得 ｎ ｎ ＝２ ｎ －１ ， 所以ａ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１． ＋ ａ ３＋ ａ ４＝ｌｎ（ ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３） ．若ａ １＞１， 则 （ ）
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
方法规律 等比数列的判定方法 Ａ． １＜ ３， ２＜ ４ Ｂ． １＞ ３， ２＜ ４
： ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法 通项公式 Ｃ． １＜ ３， ２＞ ４ Ｄ． １＞ ３， ２＞ ４
， 答案 Ｂ 本题考查等比数列的概念和性质 利用导数求函
法及前ｎ项和公式法只用于选择题 填空题中的判定．若证明 ，
、 数的单调性和最值 不等式的性质和分类讨论思想．
某数列不是等比数列 则只需证明存在连续三项不成等比数列 ，
， ｘ
即可． 设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ′ ｘ １ １－
（ ）＝ｌｎ － （ ＞０）， （ ）＝ ｘ －１＝ ｘ ，
１０．（２０１４课标Ⅱ理，１７，１２分）已知数列 ａ 满足ａ ａ
｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１＝ 令ｆ ′ ｘ 得 ｘ 令ｆ ′ ｘ 得ｘ
ａ ． （ ）＞０， ０＜ ＜１， （ ）＜０， ＞１，
３ ｎ＋１ ｆ ｘ 在 上为增函数 在 上为减函数
{ } ∴ （ ） （０，１） ， （１，＋∞） ，
证明 ａ １ 是等比数列 并求 ａ 的通项公式 ｆ ｘ ｆ 即有 ｘ ｘ ．
（１） ｎ＋ ， ｛ ｎ｝ ； ∴ （ ）≤（１）＝－１， ｌｎ ≤ －１
２ 从而ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
１＋ ２＋ ３＋ ４＝ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）≤ １＋ ２＋ ３－１，
证明 １ １ １ ３ ． ａ 又ａ 公比ｑ ．
（２） ａ ＋ａ ＋…＋ａ ＜ ∴ ４＜０， １＞１，∴ ＜０
１ ２ ｎ ２ 若ｑ 则ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ 矛盾．
( ) ＝－１， １＋ ２＋ ３＋ ４＝０，ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）＝ｌｎ １＞０，
解析
（１）
由ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ＋１
得ａ
ｎ ＋１＋
１
＝３
ａ
ｎ＋
１ ． 若ｑ
＜－１，
则ａ
１＋
ａ
２＋
ａ
３＋
ａ
４＝
ａ
１（１＋
ｑ
＋
ｑ２
＋
ｑ３
）＝
ａ
１（１＋
ｑ
）（１＋
ｑ２
）＜
２ ２ 而ａ ａ ａ ｑ ａ ｑ ｑ ａ ａ ａ ａ
又ａ １＋ １ ＝ ３ ， 所以 { ａ ｎ＋ １ } 是首项为 ３ ， 公比为 ３ 的等比 ０ ０ ， ， 也矛 ２ 盾 ＋ ． ３ ∴ ＝ －１ ２（ ＜ １ ｑ ＋ ＜０ ） ． ＝ １ （１＋ ）＞０，∴ ｌｎ（ １＋ ２＋ ３）＞ｌｎ １＞
２ ２ ２ ２
ａ
数列．
从而 ３ ｑ２ ａ ａ ａ ．
ｎ ｎ ａ ＝ ＜１，∵ １＞０，∴ １＞ ３
ａ ｎ＋ １ ＝ ３ ， 因此 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝ ３ －１． １ ａ
２ ２ ２ 同理 ４ ｑ２ ａ ａ ａ ．选 ．
，∵ ａ ＝ ＜１， ２＜０，∴ ４＞ ２ Ｂ
由 知 １ ２ ． ２
（２） （１） ａ ＝ ｎ 思路分析 由题中的选项可知要判断 ｑ２ 还是ｑ２ ．
ｎ ３ －１ （１） ０＜ ＜１， ＞１
由条件可知要利用不等式 ｘ ｘ ｘ 得ａ 进而
因为当ｎ ≥１ 时 ，３ ｎ －１≥２×３ ｎ －１ ， 所以 ３ ｎ １ －１ ≤ ２× １ ３ ｎ －１ ． （ 得 ２） ｑ ＜０ ． ｌｎ ≤ －１（ ＞０）， ４＜０，
æ ö
直接求ｑ的取值范围较难 转化为判断ｑ 和ｑ 时
于是 ａ １ １ ＋ａ １ ２ ＋…＋ａ １ ｎ ≤１＋ ３ １ ＋…＋ ３ ｎ １ －１ ＝ ２ ３ è ç １－ ３ １ ｎø ÷ ＜ ２ ３ ． （ 等 ３ 式 ） ａ １＋ ａ ２＋ ａ ３＋ ａ ４＝ｌｎ（ ａ １＋ ａ ２＋ ， ａ ３） 左 、 右两边的 ＝－ 正 １ 负 ， 进 ＜ 而 －１ 得出 ，
矛盾 从而得 ｑ ．
所以 １ １ １ ３ ． ， －１＜ ＜０
ａ ＋ａ ＋…＋ａ ＜ 注意ａ 而ａ 利用 ｑ 得结论．
１ ２ ｎ ２ （４） １＞０， ２＜０， －１＜ ＜０
评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求
２．（２０１５课标Ⅱ文，９，５ 分）已知等比数列 ａ 满足 ａ １
和是本题的难点． ｛ ｎ｝ １＝ ，
４
ａ ａ ａ 则ａ
１１．（２０１１课标文，１７，１２分）已知等比数列 ａ 中 ａ １ 公 ３ ５＝４（ ４－１）， ２＝ （ ）
｛ ｎ｝ ， １＝
３
，
１ １
Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
比ｑ １ ． ２ ８
＝ 答案 Ｃ 设 ａ 的公比为ｑ 由等比数列的性质可知ａ ａ
３ ｛ ｎ｝ ， ３ ５
ａ ａ２ ａ２ ａ 即 ａ ２ 得ａ
Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和 证明 Ｓ １－ ｎ ＝ ４，∴ ４＝４（ ４－１）， （ ４－２） ＝０， ４＝２，
（１） ｎ ｛ ｎ｝ ， ： ｎ＝ ； ａ
２ 则ｑ３ ４ ２ 得ｑ
设ｂ ａ ａ ａ 求数列 ｂ 的通项公式． ＝ａ ＝ ＝８， ＝２，
（２） ｎ＝ｌｏｇ３ １＋ｌｏｇ３ ２＋…＋ｌｏｇ３ ｎ， ｛ ｎ｝ １ １
æ ö
１ ç １ ÷ ４
解析 因为 ａ １ ( １ )ｎ －１ １ Ｓ ３ è１－ ３ ｎø 则ａ ａ ｑ １ １ 故选 ．
（１） ｎ ＝ × ＝ ｎ， ｎ ＝ ２＝ １ ＝ ×２＝ ， Ｃ
３ ３ ３ １ ４ ２
１－ ３．（２０１４大纲全国文，８，５ 分）设等比数列 ａ 的前 ｎ 项和为
３ ｛ ｎ｝
专题六 数列 ３６３
Ｓ ．若Ｓ Ｓ 则Ｓ 评析 本题考查了等比数列的基本运算，运用等比数列的性质
ｎ ２＝３， ４＝１５， ６＝ （ ）
可简化计算．
Ａ．３１ Ｂ．３２ Ｃ．６３ Ｄ．６４
答案 Ｃ 由等比数列的性质得 （ Ｓ ４－ Ｓ ２） ２ ＝ Ｓ ２·（ Ｓ ６－ Ｓ ４）， 即 ５．（２０１４江苏理，７，５分）在各项均为正数的等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ，
１２ ２ ＝３×（ Ｓ ６－１５）， 解得Ｓ ６＝６３ ．故选 Ｃ ． 若ａ ２＝１， ａ ８＝ ａ ６＋２ ａ ４， 则ａ ６ 的值是 ．
４．（２０１２课标理，５，５分）已知 ａ 为等比数列 ａ ａ ａ ａ 答案
｛ ｎ｝ ， ４＋ ７＝２， ５ ６ ４
则ａ ａ 解析 由ａ ａ ａ 两边都除以ａ 得ｑ４ ｑ２ 即ｑ４ ｑ２
＝－８， １＋ １０＝ （ ） ８＝ ６＋２ ４， ４， ＝ ＋２， － －
ｑ２ ｑ２ ｑ２ ．
Ａ．７ Ｂ．５ Ｃ．－５ Ｄ．－７ ２＝０⇔（ －２）（ ＋１）＝０，∴ ＝２
答案 Ｄ 由ａ ａ ａ ａ 得ａ ａ 又ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｑ４ ２ ．
５ ６＝ ４ ７， ４ ７＝－８， ４＋ ７＝２，∴ ４＝４， ∵ ２＝１，∴ ６＝ ２ ＝１×２ ＝４
６．（２０１４广东文，１３，５ 分）等比数列 ａ 的各项均为正数 且
ａ 或ａ ａ ｑ３ １ 或ｑ３ ． ｛ ｎ｝ ，
７＝－２ ４＝－２， ７＝４，∴ ＝－ ＝－２ ａ ａ 则 ａ ａ ａ ａ ａ ．
２ １ ５＝４， ｌｏｇ２ １＋ｌｏｇ２ ２＋ｌｏｇ２ ３＋ｌｏｇ２ ４＋ｌｏｇ２ ５＝
ａ ( ) ２ 答案
当ｑ３ １ 时 ａ ａ ４ ａ ｑ６ ４ １ 当ｑ３ ５
＝－ ， １＋ １０＝ｑ３ ＋ ４ ＝ ＋４× － ＝－７， ＝ 解析 由等比数列的性质知ａ ａ ａ ａ ａ２ ａ 所以
２ － １ ２ １ ５＝ ２ ４＝ ３＝４⇒ ３＝２，
ａ ２ ｌｏｇ２
ａ
１＋ｌｏｇ２
ａ
２＋ｌｏｇ２
ａ
３＋ｌｏｇ２
ａ
４＋ｌｏｇ２
ａ
５＝ｌｏｇ２（
ａ
１
ａ
２
ａ
３
ａ
４
ａ
５）＝ｌｏｇ２
ａ５
３
．
－２
时
，
ａ
１＋
ａ
１０＝ｑ３
４
＋
ａ
４
ｑ６
＝
－
－
２
２
＋（－２）·（－２）
２
＝－７，
故选
Ｄ
． ＝５ｌｏｇ２２＝５
时间： 分钟 分值： 分
８０ １０５
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ３０ ） 或 １ 或
１．（２０２０天津杨村一中第一次月考，２）等比数列 ａ 的前ｎ项 Ｃ．±２ －１ Ｄ．± －１
｛ ｎ｝ ２
和为Ｓ 若ａ ａ ａ ａ ａ ａ 则Ｓ 答案 Ｄ
ｎ， １＋ ２＋ ３＝３， ４＋ ５＋ ６＝６， １２＝ （ ）
二、多项选择题 每题 分 共 分
Ａ．１５ Ｂ．３０ Ｃ．４５ Ｄ．６０ （ ５ ， １０ ）
答案 Ｃ ７．（２０２１届湖南长沙第一中学月考（三），１２）将ｎ２ 个数排成ｎ
２．（２０２０山东济宁二中１０月月考，１１） 九章算术 第三章 衰 行ｎ列的一个数阵 如
《 》 “ ， ：
分 介绍比例分配问题 衰分 是按比例递减分配的意思 通常
ａ ａ ａ ａ
称 ” 递减的比例 百分比 ：“ 为 衰 ” 分比 ．如 甲 乙 丙 丁衰 ， 分得
ａ
１１
ａ
１２
ａ
１３ ……
ａ
１ ｎ
． （ 个单位 ） 递减 “ 的比例为 ” ： ％．今 、 共 、 有粮 、 ｍ ｍ ２１ ２２ ２３ …… ２ ｎ
ａ ａ ａ ａ
１ 石 ００， 按 ６０ 甲 ，３６ 乙 ，２１ 丙 ６ 丁的顺 ， 序进行 衰分 已 ４０ 知丙衰分得 （ 石 ＞ 乙 ０） ３１ ３２ ３３ …… ３ ｎ
， 、 、 、 “ ”， ８０ ， 、
……
丁衰分所得的和为 石 则 衰分比 与ｍ的值分别为
ａ ａ ａ ａ
％ １６４ ， “ ％ ” （ ） 该 ｎ １ 数 阵 第 ｎ ２ 一 列 的 ｎ ３ ｎ 个 数 … 从 … 上 到 下 ｎｎ 构成以 ｍ 为公差的等差数
Ａ．２０ ；３６９ Ｂ．８０ ；３６９
％ ％ 列 每一行的ｎ个数从左到右构成以ｍ为公比的等比数列 其
Ｃ．４０ ；３６０ Ｄ．６０ ；３６５
， （
３．（２
答
０２
案
０ 山
Ａ
东济宁一中质量检测，６）已知正项等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 满
中
论正
ｍ
＞
确
０
的
）
．
有
已知ａ
１１＝２，
ａ
１３＝
ａ
６１＋１，
记这ｎ２ 个数的和为Ｓ．
（
下 列 结
）
足 ： ａ ２ ａ ８＝１６ ａ ５， ａ ３＋ ａ ５＝２０， 若存在两项ａ ｍ， ａ ｎ 使得 ａ ｍ ａ ｎ ＝３２， Ａ． ｍ ＝３ Ｂ． ａ ６７＝１７×３ ７
则 ｍ １ ＋ ｎ ４ 的最小值为 （ ） Ｃ． ａ ｉｊ＝（３ ｉ －１）×３ ｊ －１ Ｄ． Ｓ ＝ １ ｎ （３ ｎ ＋１）（３ ｎ －１）
４
答案 ＡＣＤ
３ ９ ３ ９
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ８．（２０２１届湖南长沙长郡中学月考（一））已知数列 ａ 的前ｎ
４ １０ ２ ５ ｛ ｎ｝
答案 Ａ 项和为Ｓ 且ａ ｐ Ｓ Ｓ ｐ ｎ ｐ为非零常数 则下
ｎ， １＝ ，２ ｎ－ ｎ －１＝２ （ ≥２）（ ），
４．（２０１９湖南衡阳一模，８）在等比数列 ａ 中 ａ ａ ａ 则 列结论中正确的是
｛ ｎ｝ ， １ ３＝ ４＝４， （ ）
ａ 的所有可能值构成的集合是 数列 ａ 为等比数列
６ （ ） Ａ． ｛ ｎ｝
Ａ．｛６｝ Ｂ．｛－８，８｝ 当ｐ 时 Ｓ １５
Ｂ． ＝１ ， ４＝
Ｃ．｛－８｝ Ｄ．｛８｝ １６
答案 Ｄ
５．（２０２０ 广东广州番禺３月线上检测）等比数列 ａ 的前ｎ项 Ｃ．
当ｐ
＝
１ 时
，
ａ
ｍ
ａ
ｎ＝
ａ
ｍ ＋ ｎ（
ｍ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
）
｛ ｎ｝ ２
和为Ｓ ｎ， 公比为ｑ ， 若Ｓ ６＝９ Ｓ ３， Ｓ ５＝６２， 则ａ １＝ （ ） Ｄ．
答
｜ ａ
案
３｜＋｜
Ａ
ａ ８
Ｃ
｜＝｜ ａ ５｜＋｜ ａ ６｜
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ． ５ Ｄ．３
答案 Ｂ 三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， １５ ）
６．（２０１９安徽黄山１１月“八校联考”，７）设Ｓ 是等比数列 ａ ９．（２０２１届辽宁测评，１４）已知数列 ａ 是各项均为正数的等
ｎ ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝
的前ｎ项和 Ｓ Ｓ 则 ａ２ ５ 的值为 比数列 ， 且 ａ ２ ａ ４ ＝１４４，４ ａ ２＋ ａ ４ ＝４８， 则数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为
， ４＝５ ２， ａ ａ （ ） ．
３ ８ 答案
１ ２
Ａ．± Ｂ．±２ １０．（２０２０天津静海大邱庄中学第一次质量检测，１３）若Ｓ 为数
２ ｎ
３６４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
列
｛
ａ
ｎ｝
的前 ｎ 项和
，
且 Ｓ
ｎ ＝２
ａ
ｎ－１（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则 Ｓ
６
等于 差数列
，
且ａ
２，
ａ
４
是方程ｘ２
－５
ｘ
＋６＝０
的根
，
数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ
． 项和为Ｓ
ｎ，
且Ｓ
ｎ＝２
ｂ
ｎ－２（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
答案 求数列 ａ ｂ 的通项公式
６３ （１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ；
１１．（２０２０河北邯郸大名一中第六周周测，１５）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的 （２） 若ｃ ｎ＝ ａ ｎ· ｂ ｎ（ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 求数列 ｛ ｃ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
各项均为正数 记Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和 若ａ ２
ａ２ｎ
ｎ
１４．（２０１９江西红色七校联考，１７）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
为等差数列
，
Ｓ
ｎ
， ｎ ｛ ｎ｝ ， ｎ ＋１＝ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ
（ 为
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和
，２
ａ
２＋
ａ
５＝
ａ
８，
Ｓ
５＝２５
．数列
｛
ｂ
ｎ｝
为等比数
∈
Ｎ∗
），
ａ
１＝１，
则使不等式 Ｓ
ｎ＞２ ０１９
成立的 ｎ 的最小值是 列
，
且ｂ
ｎ＞０，
ｂ
１＝
ａ
１，
ｂ２
２＝
ａ
１
ａ
５
．
． 求数列 ａ 和 ｂ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ；
答案
１１ 记ｃ ４ 其前ｎ项和为Ｔ 求证 Ｔ ４ ．
（２） ｎ＝ ｂ ａ ， ｎ， ： ｎ≥
四、解答题 共 分 （２ｌｏｇ３ ｎ＋３）· ｎ ３
（ ５０ ） １５．（２０１９安徽六安３月联考，１７）已知数列 ａ 的前ｎ项和为
１２．（２０２０山东威海三模）从条件 Ｓ ｎ ａ Ｓ ｛ ｎ｝
下面
Ｓ
ｎ － 问 １ ＝ 题
ａ
中 ｎ（
ｎ
并 ≥ 给 ２） 出 ，③ 解
ａ
答 ｎ＞ ． ０，
ａ２ｎ＋ ａ ①
ｎ＝
２
２
Ｓ ｎ
ｎ
＝ 中 （ 任 ＋ 选 １） 一 ｎ 个 ，②
，
补充 ｎ 到 ＋ Ｓ
（
ｎ
１
，
）
ａ
证
１＝
明
１，
：
ａ
Ｓ
ｎ
ｎ ＋
＞
１
０
＝
，
２
Ｓ
Ｓ
２ｎ
ｎ
＝
＋
ａ
λ
２ｎ
；
＋１－ λＳ ｎ ＋１， 其中λ为常数．
已知数列 ａ ， 的前 ｎ 项和为 Ｓ ａ ．若 ａ ａ （２） 是否存在实数λ ， 使得数列 ｛ ａ ｎ｝ 为等比数列 ？ 若存在 ， 求
Ｓ 成等比
｛
数
ｎ｝
列 求ｋ的值．
ｎ， １＝１， １， ｋ， 出λ的值
；
若不存在
，
说明理由．
ｋ ＋２ ，
１３．（２０２０山东济宁二中１０ 月月考，２０）已知 ａ 是递增的等
｛ ｎ｝
专题六 数列 ３６５
１．（２０１９北京朝阳二模，５）已知等差数列 ａ 的首项为ａ 公 ６．已知各项均为正数的等比数列 ａ ａ ｑ 其前ｎ项和
｛ ｎ｝ １， ｛ ｎ｝， １＞１，０＜ ＜１，
差ｄ 则 ａ ａ ａ 成等比数列 是 ａ ｄ 的 为Ｓ 则下列说法正确的是
≠０， “ １， ３， ９ ” “ １＝ ” （ ） ｎ， （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件 数列 ａ 为等差数列
Ａ． Ｂ． Ａ． ｛ｌｎ ｎ｝
充要条件 既不充分也不必要条件 若Ｓ Ａｑｎ Ｂ 则Ａ Ｂ
Ｃ． Ｄ． Ｂ． ｎ＝ ＋ ， ＋ ＝０
答案 Ｃ 由ａ
１，
ａ
３，
ａ
９
成等比数列
，
得ａ２
３＝
ａ
１
ａ
９，
从而
（
ａ
１＋ Ｃ．
Ｓ
ｎ·
Ｓ
３ ｎ＝
Ｓ２
２ ｎ
ｄ ２ ａ ａ ｄ 又ｄ 所以ａ ｄ 若ａ ｄ 则ａ ａ ａ 记Ｔ ａ ａ ａ 则数列 Ｔ 有最大值
２ ） ＝ １（ １＋８ ）， ≠０， １＝ ； １＝ ， ３＝３ １， ９ Ｄ． ｎ＝ １· ２·…· ｎ， ｛ ｎ｝
ａ 从而有ａ２ ａ ａ 所以ａ ａ ａ 成等比数列．故 ａ ａ ａ ｑｎ
ａ ＝ ９ ９ 成 １ 等 ， 比数列 ” ３ 是 ＝ “ １ ａ １ ９ ＝ ， ｄ ” 的充 １ 要 ， 条 ３， 件 ９ ， 故选 Ｃ ． “ １， ３， 答案 ＡＢＤ 由题意可知 ， ａ ｎ＝ ａ １ ｑｎ －１ ， Ｓ ｎ＝ １（ １ １ － － ｑ ）． Ａ 选项 ，
２．（ ａ ２０１８ 则 河 当 南新 ａ 乡 ａ 二 取 模 得 ，６ 最 ）在 小 公 值 比 时 为ｑ的 ｑ 正项等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ｌ ｎ ｎ ａ ｑ ｎ＝ｌｎ（ ａ ａ １ ｑｎ －１ ）＝ ａ ｌｎ ａ １＋（ ｑ ｎ 故 －１）ｌｎ ａ ｑ ，ｌｎ 为 ａ 等 ｎ ＋ 差 １＝ 数 ｌｎ 列 （ ａ １ 故 ｑｎ ）＝ 正 ｌｎ 确 ａ １＋
４＝４， ２ ２＋ ６ ，ｌｏｇ２ ＝ （ ） ｌｎ ，∴ ｌｎ ｎ ＋１－ｌｎ ｎ＝ｌｎ ， ｛ｌｎ ｎ｝ ， Ａ ；
ａ ｑｎ ａ ａ
Ａ． １ ４ Ｂ．－ ４ １ Ｃ． １ ８ Ｄ．－ ８ １ Ｂ 选项 ， Ｓ ｎ＝ １（１－ ｑ ） ＝－ １ ｑ ｑｎ ＋ １ ｑ，
１－ １－ １－
答案 Ａ 由题意知ａ ａ 所以 ａ ａ ａ ａ ａ ａ
２＞０， ６＞０， ２ ２＋ ６≥２ ２ ２ ６ ＝ 又Ｓ Ａｑｎ Ｂ 则Ａ Ｂ １ １ 故 正确
２ ２ ａ２ ４ ＝８ ２， 当且仅当ｑ４ ＝２ 时取等号 ， 所以 ｌｏｇ２ ｑ ＝ｌｏｇ２２ １ ４ ＝ ｎ＝ ＋ ， ＋ ＝－ １－ ｑ＋ １－ ｑ＝０， Ｂ ；
ａ ｑｎ ａ ｑ３ ｎ
１ 选 选项 Ｓ １（１－ ） Ｓ １（１－ ）
， Ａ． Ｃ ， ｎ＝ ｑ ， ３ ｎ＝ ｑ ，
４ １－ １－
３．（
列
２
，
０
ａ
１
２
９
＝
５
２
·
，
３
ａ ３
原
＝２
创
ａ １
冲
， 则
刺
ａ
卷
１ ａ
三
２＋
，
ａ
５
２
）
ａ ３
已
＋…
知
＋
数
ａ ｎ
列
ａ ｎ ＋
｛
１
ａ
＝
ｎ｝ 为正项
（
等 比 数
）
Ｓ
ｎ·
Ｓ
３ ｎ＝
ａ２ １（１－
（
ｑ
１
ｎ
－
）
ｑ
（
）
１
２
－ ｑ３ ｎ ）
，
Ｓ
２ ｎ＝
ａ １（
１
１
－
－
ｑ
ｑ２ ｎ ）
，
Ｓ２
２ ｎ＝
ａ２ １
（
（
１
１
－
－
ｑ
ｑ
）
２ ｎ
２
） ２ ．
Ａ．（２＋ ２）［１－（ ２）
ｎ
］ Ｂ．（２＋ ２）［（ ２）
ｎ
－１］
明
选
显
项
Ｓ
ｎ· Ｔ
Ｓ
３ ｎ ａ ≠
Ｓ２
２ ａ ｎ，
故
Ｃ
错
ａ
误
； 由于ａ ｑ 故数列为单调
ｎ ｎ Ｄ ， ｎ＝ １· ２·…· ｎ， １＞１，０＜ ＜１，
Ｃ． 答 ２ 案 （２ － Ｃ １） 由 ａ 为正项等比 Ｄ 数 ． ２ 列 （１ 且 －２ ａ ） ａ ａ 可得 递减数列 ， 总存在从某一项开始使得 ａ ｋ＝ ａ １ ｑｋ －１ ∈（０，１）， 故
｛ ｎ｝ ， ２＝ ２， ３＝２ １， Ｔ ａ ａ ａ 为最大值 故 正确．故选 ．
ａ 公比ｑ 所以数列 ａ ａ 是以 为首项 为公比 ｋ －１＝ １· ２·…· ｋ －１ ， Ｄ ＡＢＤ
１＝１， ＝ ２， ｛ ｎ ｎ ＋１｝ ２ ｎ ，２ ７．（２０２０浙江金丽衢十二校联考，１９）在数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝２， ａ ｎ ＋１
的 故 等 选 比数列 ， 则ａ １ ａ ２＋ ａ ２ ａ ３＋…＋ ａ ｎ ａ ｎ ＋１＝ ２（ １ １ － － ２ ２ ） ＝ ２（２ ｎ －１） ． （ ＝ １ ４ ） ａ 证 ｎ－ 明 ３ ｎ ： ＋ 数 １， 列 ｎ ∈ ｛ ａ Ｎ ｎ－ ∗ ｎ ． ｝ 是等比数列 ；
４．（２０１ Ｃ ８ ． 福建厦门模拟，８）设等比数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ （２） 记ｂ ｎ＝（ ａ ｎ－ ｎ ） ｎ ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ ．
｛ ｎ｝ ｎ， 解析 本题考查等比数列的概念以及数列求和 考查学生运
若Ｓ ｎ＝２ ｎ ＋１ ＋ λ ， 则λ ＝ （ ） 算求解 的能力 考查数学运算的核心素养． ；
；
Ａ． 答 －２ 案 Ａ 解 Ｂ 法 ．－ 一 １ 依题意 ａ Ｃ．１ Ｓ λ ａ Ｄ． Ｓ ２ Ｓ ａ （１） 证明 ： ａ ｎ ＋１－ ｎ －１＝４ ａ ｎ－４ ｎ ＝４（ ａ ｎ－ ｎ ），
Ｓ ３－ Ｓ ２＝ ８， 因 为 ｛ ａ ｎ｝ 是 ： 等比数 ， 列 １ ， ＝ 所 １ 以 ＝４ ａ ＋ ２ ２＝ ， ａ １ ２ · ＝ ａ ２ ３ － ， 所 １ 以 ＝４ ８ ， （ ３ ４ ＝ ＋ 则 ａ ｎ ＋１ ａ － ｎ （ － ｎ ｎ ＋１） ＝４，
λ
解
）
法
＝
二
４ ２ ，
：
解
Ｓ ｎ
得
＝２
λ
ｎ ＋１
＝
＋
－
λ
２
＝
．故
２×
选
２ ｎ
Ａ
＋
．
λ ， 易知 ｑ ≠１， 因为 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数
ａ
所
１－
以
１
数
＝２
列
－
｛
１
ａ
＝
ｎ
１
－
≠
ｎ ｝
０
是
，
以 １ 为首项 ，４ 为公比的等比数列．
列 ， 所以Ｓ ｎ＝ ａ １ ｑ－ ａ １ ｑ ｑｎ ， 据此可得λ ＝－２ ．故选 Ａ ． （２） 由 （１） 知ｂ ｎ＝（ ａ ｎ－ ｎ ） ｎ ＝ ｎ ·４ ｎ －１．
５．（２０１９５·３ １ 原 － 创 １ 冲 － 刺卷八，５）已知等比数列 ａ 满足ａ ａ 解法一 ： Ｓ ｎ＝１×４ ０ ＋２×４＋３×４ ２ ＋…＋ ｎ ·４ ｎ －１ ，①
ａ ａ 则当ａ ａ ａ 取到最大 ｛ 值 ｎ 时 ｝ ｎ的值 １＋ 为 ２ ４ Ｓ ｎ＝１×４＋２×４ ２ ＋３×４ ３ ＋…＋（ ｎ －１）·４ ｎ －１ ＋ ｎ ·４ ｎ ，②
＝１２， １－ ３＝６， １· ２·…· ｎ ， ｎ
（ ） ①－② 得 －３ Ｓ ｎ＝１＋４＋４ ２ ＋４ ３ ＋…＋４ ｎ －１ － ｎ ·４ ｎ ＝ １－４ － ｎ ·４ ｎ ＝
或 １－４
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．３ ４ Ｄ．５ ｎ ｎ
答案 可 得 { Ｃ ａ １＋ 设 ａ １ 等 ｑ ＝ 比 １ 数 ２， 列 解 ｛ 得 ａ { ｎ｝ ａ 的 １＝ 公 ８， 比为ｑ ， 由ａ １＋ ａ ２＝１２， ａ １－ ａ ３ 故 － （３ Ｓ ｎ － ＝ １ （ ） ３ ３ · ｎ － ４ １） ＋ · １ ， ４ ｎ ＋１．
＝６， ａ ａ ｑ２ ｑ １ ９
１－ １ ＝６， ＝
２
， 解法二
：
令ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ
＋
ｘ２
＋…＋
ｘｎ
，
∴ ａ ａ ｎ＝８ ａ × ( ２ １ )ｎ － ａ １ ＝ ( ( ２ １ １ ) ) ｎ － － ４ ３ （ －２ ｎ －１ ∈ ＋０＋ Ｎ １＋ ∗ …＋ ） （ ， ｎ －４） ( １ ) ｎ（ｎ ２ －７） 则 又 （ ｆ ｘ ′ ＋ （ ｘ ｘ ２ ） ＋ ＝ … １ ＋ ＋ ｘ ２ ｎ ｘ ） ＋ ′ ３ ＝ ｘ ( ２ ＋ ｘ － １ … － ｘ ＋ ｎ ｘ ＋ ｎ １ ｘ ) ｎ ′ －１ ＝ ， １－（ ｎ （ ＋ １ １ － ） ｘ ｘ ） ｎ ＋ ２ ｎｘｎ ＋１ ，
∴ １· ２·…· ｎ＝
２
＝
２
，
所以 ｘ ｘ２ ｎｘｎ －１ １－（
ｎ
＋１）
ｘｎ
＋
ｎｘｎ ＋１
( ) ２ １＋２ ＋３ ＋…＋ ＝ ｘ ２ ，
令ｆ ｎ １ ｎ ｎ １ ｎ２ ｎ １ ｎ ７ ４９ （１－ ）
（ ）＝
２
（ －７）＝
２
（ －７ ）＝
２
－
２
－
８
， 由题意求ｂ
ｎ＝
ｎ
·４
ｎ －１的和
，
只需令ｘ
＝４
即可
，
当 故当 ｎ ＝ ｎ ３ ＝ 或 ３ 或 ｎ ＝ ４ ４ 时 时 ， ， ａ １ ｆ · （ ｎ ａ ） ２ 有 · 最 … 小 · 值 ａ ｎ ， 取 且 得 ｆ （ 最 ｎ ） 大 ｍｉ 值 ｎ＝ ， － 故 ６， 选 Ｃ ． 即 １ ＋ ２ × ４ ＋ ３ × ４ ２ ＋ … ＋ ｎ ·４ ｎ －１ ＝ １－（ ｎ ＋ （ １ １ ） － ４ ４ ｎ ） ＋ ｎ ２ ·４ ｎ ＋１
３６６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｎ ｎ 此时 ａ 是以 为首项 为公比的等比数列
（３ －１）４ ＋１． ｛ ｎ－３｝ ７－３＝４ ，２ ，
＝ ９ 故ａ ｎ－３＝４×２ ｎ －１ ， ａ ｎ＝２ ｎ ＋１ ＋３，
８．（２０２０５·３原创题）数列 ａ 满足ａ 且当ｎ 时 总有
｛ ｎ｝ １＝７， ≥２ ， 则ｂ ３ ３ ３ ２
ａ ｎ＝
试
λａ
写
ｎ －１
出
＋ μ
λ
成
μ
立
满
（ 其
足
中
的关
λ ，
系
μ
式
为常
使
数
得
）
数
．
列 ａ 是等比数列 (
ｎ＝ ｌｏｇ２２ ｎ ＋１
)
·ｌｏｇ２２ ｎ ＋３ ＝ （ ｎ ＋１）（ ｎ ＋３） ＝ ２ · （ ｎ ＋１）（ ｎ ＋３） ＝
（１） ， ， ｛ ｎ－３｝ ； ３ １ １
ｎ －ｎ ，
记ｂ ３ Ｓ 为数列 ｂ 的前ｎ项 ２ ＋１ ＋３
（２） ｎ＝ ａ ａ ， ｎ ｛ ｎ｝ [( ) ( )
ｌｏｇ２（ ｎ－３）·ｌｏｇ２（ ｎ ＋２－３） 因此 Ｓ ｂ ｂ ｂ ３ １ １ １ １
和
，
若λ
＝２，
μ
＝－３，
不等式Ｓ
ｎ＜
Ｋ恒成立
，
求Ｋ的取值范围． ｎ ＝ １＋ ２＋…＋ ｎ ＝
２ ２
－
４
＋
３
－
５
＋…＋
解析 由题意知 对任意ｎ ａ λａ μ ( ) ] ( )
（１） ， ≥２， ｎ＝ ｎ －１＋ ①， １ １ ３ １ １ １ １ ５ ３
若 ａ 是等比数列 则必存在ｑ 对任意ｎ 有ａ ｎ －ｎ ＝ ＋ －ｎ －ｎ ＝ － ｎ
｛ ｎ－３｝ ， ≠０， ≥２， ｎ－３＝ ＋１ ＋３ ２ ２ ３ ＋２ ＋３ ４ ２（ ＋２）
ｑ ａ
（ ｎ －１－３）， ３
整理得ａ ｑａ ｑ － ｎ ，
ｎ
{
＝
λ
ｎ
ｑ
－１＋３－３ ②， ２（ ＋３）
[ )
由 ①② 得 μ ＝ ， ｑ 显然 ｛ Ｓ ｎ｝ 是递增数列 ， 因此 ， 当ｎ ∈ Ｎ∗时 ， Ｓ ｎ∈ ３ ， ５ ，
＝３－３ ， ８ ４
消去ｑ ， 得 ３ λ ＋ μ ＝３（ λ ≠１ 且λ ≠０） ． 因为Ｓ ｎ＜ Ｋ恒成立 ， 故Ｋ ≥ ５ ．
显然λ μ 满足 中求得的关系式 ４
（２） ＝２， ＝－３ （１） ，
