文档文本内容
7.3 等比数列
基础篇
考点 一 等比数列及其前 ｎ 项和 当 ｑ 时 数列 ａ 是摆动数列.
４) <０ ꎬ { ｎ}
2.
等比数列的运算性质
1.
等比数列的相关概念
若 ａ 是等比数列 且 ｍ ｎ ｐ ｑ 则 ａ ａ
定义 一般地 如果一个数列从第二项起 １) { ｎ} ꎬ ＋ ＝ ＋ ꎬ ｍ ｎ ＝
１) :① ꎬ ꎬ
ａ ａ 其中 ｍ ｎ ｐ ｑ Ｎ∗ .特别地 若 ｍ ｐ
每一项与它的前一项的比都等于同一常数 ｐ ｑꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ ２ ＝ ＋
ꎬ
那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫
ｑ
ꎬ
则 ａ
ｐ
ａ
ｑ＝
ａ２
ｍ
.反之
ꎬ
不一定成立.
ꎬ
若 ａ 是等比数列 公比为 ｑ 则 ａ ａ
做等比数列的公比 ꎬ 公比通常用字母 ｑ ( ｑ ≠ ２) { ｎ} ꎬ ꎬ ｋꎬ ｋ ＋ ｍꎬ
表示. ａ ｎ ｑ ｎ ｎ Ｎ∗ ｑ .
ａ
ｋ ＋２ ｍꎬ(
ｋ
ꎬ
ｍ
∈
Ｎ∗
)
是等比数列
ꎬ
公比为 ｑｍ.
０) ②ａ ＝ ( ≥２ꎬ ∈ ꎬ ≠０) 若数列 ａ ｂ 是两个项数相同的等比数
ｎ ３) { ｎ}ꎬ{ ｎ}
－１
{ }
２) 通项公式 : ａ ｎ ＝ ａ １ ｑｎ －１ ( ｎ ∈ Ｎ∗ ꎬ ａ １ꎬ ｑ ≠０) . 列 ꎬ 则数列 { λａ ｎ}ꎬ{ ａ２ ｎ}ꎬ ａ １ ꎬ{ ａ ｎ ｂ ｎ} 和
推广 ａ ａ ｑｎ － ｍ ｍ ｎ Ｎ∗ ｍ ｎ . ｎ
: ｎ＝ ｍ ( ꎬ ∈ ꎬ ≠ ) {ａ }
等比中项 如果在 ａ 与 ｂ 中间插入一个数 Ｇ ｎ λ ｎ Ｎ∗ 是等比数列.
３) : ꎬ ｂ ( ≠０ꎬ ∈ )
ｎ
使 ａ Ｇ ｂ 成等比数列 那么称 Ｇ 为 ａ 与 ｂ 的
ꎬ ꎬ ꎬ 3. 等比数列的前 ｎ 项和的性质
等比中项 即 Ｇ ａｂ ａ ｂ 同号 .
ꎬ ＝± ( ꎬ ) 当 ｑ 或 ｑ 且 ｋ 为奇数 时 Ｓ Ｓ
2. 等比数列的前 ｎ 项和公式 １) ≠－１( ＝－１ ) ꎬ ｋꎬ ２ ｋ－
Ｓ Ｓ Ｓ 是等比数列.
ìｎａ ｑ
ｋꎬ
３
ｋ－
２
ｋꎬ
ï
ï
１ꎬ ＝１ꎬ 注意 当ｑ
＝－１
且 ｋ 为偶数时ꎬＳ
ｋ
ꎬＳ
２ ｋ－
Ｓ
ｋ
ꎬＳ
３ ｋ－
Ｓ
２ ｋ
ꎬ
Ｓ íａ ｑｎ ａ ｑａ
ｎ＝ï １(１－ ) １ － ｎ ｑ . 不是等比数列.
ï
î ｑ ＝ ｑ ꎬ ≠１
１－ １－ Ｔ
ｎ
Ｔ
ｎ
若 ａ ａ ａ Ｔ 则 Ｔ ２ ３ 成
２) １ ２ ｎ ＝ ｎꎬ ｎꎬＴ ꎬＴ ꎬ
ｎ ｎ
考点 二 等比数列的性质 ２
等比数列.
1.
等比数列的单调性
若数列 ａ 的项数为 ｎ Ｓ 与 Ｓ 分别为偶
３) { ｎ} ２ ꎬ 偶 奇
设等比数列 ａ 的首项为 ａ 公比为 ｑ.
{ ｎ} １ꎬ Ｓ 偶
数项与奇数项的和 则 ｑ 若项数为 ｎ
当 ｑ ａ 或 ｑ ａ 时 数列 ａ 为 ꎬ Ｓ ＝ ꎻ ２ ＋
１) >１ꎬ １>０ ０< <１ꎬ １<０ ꎬ { ｎ} 奇
递增数列
Ｓ ａ
ꎻ
则
奇－
１ ｑ.
当 ｑ ａ 或 ｑ ａ 时 数列 ａ 为 １ꎬ Ｓ ＝
２) >１ꎬ １<０ ０< <１ꎬ １>０ ꎬ { ｎ} 偶
递减数列 注意 在运用等比数列及其前 ｎ 项和的性质时ꎬ要注
ꎻ
当 ｑ 时 数列 ａ 是常数列 意字母间的上标、下标的对应关系.
３) ＝１ ꎬ { ｎ} ꎻ
专
题
七
数
列
２８１
综合篇
考法 等比数列的判定与证明 续表
等比中 若数列{ａ }中ꎬａ 且 ａ２ ａ ａ (ｎ
ａ ａ ｎ ｎ≠０ ｎ ＋１＝ ｎ ｎ ＋２
若 ｎ ＋１ ｑ(ｑ为非零常数ꎬｎ Ｎ∗ )或 ｎ 项法 Ｎ∗ )ꎬ则数列{ａ }是等比数列
ａ ＝ ∈ ａ ＝ ∈ ｎ
ｎ ｎ
定义法 －１
ｑ(ｑ为非零常数且ｎ ꎬｎ Ｎ∗ )ꎬ则{ａ }
≥２ ∈ ｎ
是等比数列
续表 ( )证明:{ｂ }是等比数列ꎻ
１ ｎ
若数列的通项公式可写成ａ ｃｑｎ －１(ｃꎬｑ ( )设 ｃ ｂ ｂ ꎬ求数列{ｃ }的前 ｎ 项
通项 ｎ＝ ２ ｎ ＝２ｌｏｇ２ ｎ ＋２ ＋ ｎ ｎ
均是不为 的常数ꎬｎ Ｎ∗ )的形式ꎬ则 和 Ｓ .
公式法 ０ ∈ ｎ
{ａ }是等比数列
ｎ
解析 ( )证明:因为 １ ２ ３ ꎬ所以
若数列{ａ }的前ｎ项和Ｓ ｋｑｎ ｋ(ｋ为 １ ａ ＋ａ －ａ ＝０
前ｎ项和 ｎ ｎ＝ － ｎ ＋１ ｎ －１ ｎ
常数且 ｋ ꎬｑ ꎬ )ꎬ则{ａ }是等比 æ ö
公式法 ≠０ ≠０ １ ｎ １ １ ç１ １ ÷ꎬ整理得 ｂ ｂ ꎬ因为 ｂ
数列 ａ －ａ ＝２èａ －ａ ø ｎ ＝２ ｎ －１ １
ｎ ｎ ｎ ｎ
＋１ －１
温馨提示 １ １ ꎬ所以{ｂ }是首项为 ꎬ公比为 的
＝ａ －ａ ＝２ ｎ ２ ２
证明一个数列{ａ }不是等比数列ꎬ只需要说明前三项满
ｎ ２ １
等比数列.
足ａ２ ａ ａ ꎬ或者存在一个正整数ｍꎬ使得ａ２ ａ
２≠ １ ３ ｍ ＋１≠ ｍ
ａ 即可. ( )由( )易知 ｂ ｎꎬ因为 ｃ ｂ ｂ
ｍ ＋２ ２ １ ｎ ＝２ ｎ ＝２ｌｏｇ２ ｎ ＋２ ＋ ｎ ＝
ｎ ｎꎬ所以 Ｓ ( ｎ ) ( ２
例 ( 湖南衡阳八中月考ꎬ )已知数列 ２ ＋４＋２ ｎ＝ ６＋８＋ ＋２ ＋４ ＋ ２＋２ ＋
２０２２ １８ ( ｎ )ｎ ( ｎ)
ｎ) ６＋２ ＋４ ２ １－２ ｎ２ ｎ
{ａ }满足 ａ ꎬａ １ꎬ １ ２ ３ (ｎ ꎬ ＋２ ＝ ＋ ＝ ＋５ －２
ｎ １ ＝１ ２ ＝ ａ ＋ａ －ａ ＝０ ≥２ ２ １－２
３ ｎ ＋１ ｎ －１ ｎ ｎ ＋１.
＋２
ｎ Ｎ∗ ).记 ｂ １ １.
∈ ｎ＝ａ －ａ
ｎ ｎ
＋１
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２８２
