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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 29 讲 等比数列（精讲）
题型目录一览
①等比数列基本量的计算
②等比数列的性质及其应用
③等比数列的前 n 项和
④等比数列中中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
⑤等比数列的函数特性
⑥等比数列的判定与证明
一、知识点梳理
一、等比数列的有关概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就
叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ．
2.等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．
即 是 与 的等比中项 ⇔ ， ， 成等比数列 ⇒ ．
二、等比数列的有关公式
1.等比数列的通项公式
设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则它的通项公式 ．
推广形式：
2.等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
注：①在求等比数列的前 项和时，首先要判断公比 是否为1，再由 的情况选择相应的求和公式，当不
能判断公比 是否为1时，要分 与 两种情况讨论求解．② ， 为关于 的指数型函数，且系数与常数互为相
反数．
三、等比数列的性质
1.等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．
（2）①设 为等比数列，则 （ 为非零常数）， ， 仍为等比数列．
②设 与 为等比数列，则 也为等比数列．
2.等比数列 的单调性（等比数列的单调性由首项 与公比 决定）．
当 或 时， 为递增数列；
当 或 时， 为递减数列．
3.其他衍生等比数列．
若已知等比数列 ，公比为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为 ．
②等长度截取
为等比数列，公比为 （当 时， 不为偶数）．
【常用结论】
1.若 ，则 ．
2.若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数列．
3.在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 为
等比数列，公比为 ．4. 公比不为－1的等比数列 的前 项和为 ，则 ， ， 仍成等比数列，其公比为
．
二、题型分类精讲
题型 一 等比数列基本量的计算
题型 一 等比数列基本量的计算
策略方法 等比数列基本量运算的解题策略
等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a ，a ，q，n，S ，已知其中三个就能求另
1 n n
外两个(简称“知三求二”)．
【典例1】（单选题）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的公比
为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数，公比 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．8 B．-8 C．4 D．-4
4．（2023春·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列 中， ， ，则等于（ ）
A．9 B．72 C．9或70 D．9或
5．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量
音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音
分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成
一个公比为 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若 ，
则 =（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
6．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知 ， ， ， ， 成等比数列，且 和 为其中的
两项，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知 是等比数列，则“ ”是“数列 的公比为
3”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知数列 为等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．30 B． C．40 D．
9．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，
，则使得 成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．1010．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．4 B．9 C．6 D．8
二、填空题
11．（2023·四川成都·三模）在等比数列 中，若 ，则 的值为 ．
12．（2023·江西·统考模拟预测）已知数列 满足 ，若 ，则 ．
13．（2023·浙江·二模）已知等比数列 满足 ，则公比 .
14．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，且 ，则
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列 是公比为 的等比数列， ，写出一个满足题意的通项
公式 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，且 ， ， ，
则 ．
题型二 等比数列的性质及其应用
策略方法 应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的
性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关S ，S ，S 的问题可
m 2m 3m
利用S ，S －S ，S －S (S ≠0)成等比数列求解．
m 2m m 3m 2m n
【典例1】（单选题）在正项等比数列 中， ， ，则 的公比 （ ）
A．2 B． C．2或 D． 或【典例2】（单选题）“ ”是“ ， ， 成等比数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
2．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知正项等比数列 ，若 ，则
（ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
4．（2023·贵州·校联考模拟预测）在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
5．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知 为递增的等比数列，且满足 ， ，
则 （ ）
A． B．1 C．16 D．32
6．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列 中，前3项的和为7，前3项的积为8，则 的
值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．87．（2023·重庆·校联考三模）已知 是等差数列， 是等比数列，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）等比数列4+x，10+x，20+x的公比为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·高三专题练习）已知 是公差不为0的等差数列， ，若 成等比数列，则
（ ）
A．2023 B．2024 C．4046 D．4048
10．（2023·山东济南·校考模拟预测）已知公差不为零的等差数列 满足： ，且 成
等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知递增等差数列 中， 且 是 ， 的等比中项，则它的第
4项到第11项的和为（ ）
A．180 B．198 C．189 D．168
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）在正项等比数列 中，公比为 ，已知
，下列说法正确的是（ ）
A． B．C． D．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项均为正数，公比为 ，且 ，
记 的前 项积为 ，则下列选项中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
14．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）若数列 是等比数列，且 ，
则 ．
15．（2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 ．
16．（2023·河北·统考模拟预测）若数列 为等比数列， ， ，则 ．
17．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 中， ， ，则公比q的值为
.
18．（2023春·北京海淀·高三101中学校考开学考试）已知数列 为等差数列． 为等比数列，且
成等差数列．则 ．
19．（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知数列 是等比数列，若数列 的前4项和为 ，且
，则 .
题型三 等比数列的前 n 项和
策略方法等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论：
当 时， ；当 时， ．
【典例1】（单选题）等比数列 的各项均为实数，其前 项和为 ，已知 ，则
（ ）
A．4 B．16 C．32 D．64
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 中， 为 前n项和， ，则
（ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列 满足 ，则
（ ）
A．40 B．81 C．121 D．156
3．（2023春·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考期末）记 为等比数列 的前n项和，若 ，
，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
4．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中，已知 ，则其前5项的和 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ， ，
则 （ ）
A． B． C．15 D．40
7．（2023·北京大兴·校考三模） 是由实数构成的无穷等比数列， ，关于数列 ，
给出下列命题：①数列 中任意一项均不为0；②数列 中必有一项为0；③数列 中一定不可能
出现 ；④数列 中一定不可能出现 .其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 中 ，则其前3项的和 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，则下列一定成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）在等比数列 中， 是数列 的前 项和．若
，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．811．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{ }的前n项和为 ，若 ，则
=（ ）
A．64 B．81 C．128 D．192
12．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列 的前4项和为 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
13．（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意
为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下 尺，第二天截
取剩下的一半后剩下 尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下 尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考期中）设数列 的前 项和为 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
15．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）数列 满足： ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． ，C． 是等比数列 D． ，
16．（2023秋·广西河池·高二统考期末）在等比数列 中，已知 ， ，其前 项和为 ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
17．（2023·全国·校联考模拟预测）已知公比小于0的等比数列 的前n项和为 ．若 ， ，
则 ．
18．（2023·贵州·校联考二模）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 ．
19．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）记 为等比数列 的前 项和．若
，则 的公比为 ．
20．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）在等比数列 中， 为数列的前n项和，
， ，则 ＝
21．（2023·全国·校联考模拟预测）若等比数列 的前n项和为 ， ， ，则等比数列
的公比为 ．
22．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比为2，前 项和为 ，
且6， ， 成等差数列，则 .
23．（2023·河北·统考模拟预测）已知等比数列 的首项 ，公比 ， ，且，则 的前2023项和为 .
24．（2023·江西九江·统考三模）已知数列{ }的前n项和为 ，且满足 ，则 =
25．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列 的前 项和为 ，则使
成立的 的最小值为 .
26．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则当
时， 最大.
四、解答题
27．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ；数列
满足 ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求 的值及数列 的前 项和．
28．（2023·全国·高三专题练习）从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加
入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：
(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？
29．（2023秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）设等差数列 的公差为 ，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 .
30．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数n.
31．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明 为常数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 落在区间 内的项的个数，求数列 的前 项和.
32．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ．若
，且 是 与 的等差中项.
(1)求 ；
(2)设数列 满足 ， ，数列 的前 项和为 .求 ．
题型四 等比数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
策略方法 等比数列中
a
与
a+ bi =c+ di ⇔a=b,且c=d
的关系
n
S (n1)
a 1
a n S a n S S (n2)
数列 n 的前 项和 n和通项 n的关系：则 n n1
【典例1】（单选题）在数列 中，它的前 项和为 （ 为常数），若 是以 为公比的等比数列，则 （ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且
， ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
3．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{ }满足： 则
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2023·山西阳泉·统考二模）已知等比数列 的前 项和 ，满足 ，则
（ ）
A．16 B．32 C．81 D．243
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项合为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．数列 是等比数列
C．若数列 的前n项和 ，则
D．若首项 ，公比 ，则数列 是递减数列
8．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是等差数列
B．若 ，则 是等比数列
C．若 是等差数列，则
D．若 是等比数列，则 成等比数列
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，则 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前 项和为 且 ，则 ．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，满足 ， ，则
．
12．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，若 则
．
四、解答题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
14．（2023·上海·高三专题练习）记 为数列 的前 项和，已知 ， （ 为正整数）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若 ，求正整数 的值.
题型 五 等比数列的函数特性
策略方法
（1）等比数列 中，所有奇数项之和 与所有偶数项之和 具有的性质，设公比为 ．
①若共有 项，则 ；②若共有 项， ．
（2）等比数列 中， 表示它的前 项和．当 时，有 也成等比数列，公
比为 ．
【典例1】（单选题）各项均为正数的等比数列 ，公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的
（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是递增的等比数列，且 ，则其公比 满足（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知正项等比数列 的前n项和为 ，前n项积为 ，满足，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）在等比数列 中，公比是 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
4．（2023·上海浦东新·统考三模）设等比数列 的前 项和为 ，设甲： ，乙： 是严格
增数列，则甲是乙的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要
条件
5．（2023·全国·高三专题练习）设无穷等比数列 的前 项和为 ，若 ，则（ ）
A． 为递减数列 B． 为递增数列
C．数列 有最大项 D．数列 有最小项
6．（2023·北京·高三专题练习）已知等比数列 的公比为q且 ，记 、则“
且 ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列 的各项均为正数且公比大于1，前n项积为 ，
且 ，则使得 的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 的最大值为
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 公差 ，数列 为正项等比数列，已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是各项均为正数的等比数列， 是公差大于0的等差数
列，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为
，并且满足条件 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比为 ，前 项积为 ，若 ，且 ，则
下列命题正确的是（ ）
A． B．当且仅当 时， 取得最大值
C． D．
三、填空题13．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）设等比数列 的前n项和为 ，写出一个满足下列条件的
的公比 ．
① ，② 是递减数列，③ ．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则当
时， 最大.
15．（2023·全国·模拟预测）能说明“设数列 的前 项和 ，对于任意的 ，若 ，则
”为假命题的一个等比数列是 ．（写出数列的通项公式）
16．（2023·全国·高三专题练习）等比数列 是递减数列，前n项的积为 ，若 ，则
．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知 是递增的等比数列，且 ，那么首项 的取值范围是
.
题型 六 等比数列的判定与证明
策略方法 判定一个数列为等比数列的常见方法
【典例1】（单选题）已知 是数列 的前 项和，且满足 ， ，则 =（ ）A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足 ， ，数列 的前 项积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，
则 （ ）
A．1458 B．1460 C．2184 D．2186
3．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ，当 时， ，
若 ，则 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，
， （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前 项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列
为等比数列的条件是（ ）．
A． B． C． D． 是等比数列6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 满足 ，则 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，且 ，则 的值为 ．
10．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考开学考试）已知数列 各项均为正数，若 ，且
，则 的通项公式为 ．
三、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ， ．证明：数列
为等比数列；
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的首项 ．
(1)求证：数列是 为等比数列．
(2)记 ，若 ，求n的最大值．
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 ，若 ．
(1)证明： 为等比数列．(2)求 的通项公式．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最大整数n.
