专题19等差数列与等比数列基本量的问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高三数学二轮优化提优专题训练

专题 19 等差数列与等比数列基本量的问题 1、（2023年全国乙卷数学（文））已知 为等比数列， ， ，则 ______. 【答案】 【详解】设 的公比为 ，则 ，显然 ， 则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ， 则 ，则 ，则 ， 故答案为： . 2、（2023年全国甲卷数学（文））记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得， ，即 , 又 ，解得： ， 所以 ． 故选：C. 方法二： ， ，所以 ， ， 从而 ，于是 ， 所以 ． 故选：C.3、（2023年全国甲卷数学（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ________． 【答案】 【详解】若 ， 则由 得 ，则 ，不合题意. 所以 . 当 时，因为 ， 所以 ， 即 ，即 ，即 ， 解得 . 故答案为： 4、（2023年全国甲卷数学（理））已知正项等比数列 中， 为 前n项和， ，则 （ ） A．7 B．9 C．15 D．30 【答案】C 【分析】根据题意列出关于 的方程,计算出 ,即可求出 . 【详解】由题知 , 即 ,即 ,即 . 由题知 ,所以 .所以 . 故选:C. 5、（2023年新高考天津卷）已知 为等比数列， 为数列 的前 项和， ，则 的值 为（ ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【详解】由题意可得：当 时， ，即 ， ① 当 时， ，即 ， ② 联立①②可得 ，则 . 故选：C 6、【2022年全国乙卷】已知等比数列{a }的前3项和为168，a −a =42，则a =（ ） n 2 5 6 A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【解析】设等比数列{a }的公比为q,q≠0， n 若q=1，则a −a =0，与题意矛盾， 2 5 所以q≠1， 则¿，解得¿， 所以a =a q5=3. 6 1 故选：D. 7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数 列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ， 则 ， 因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ， 即 ，则 ，有 ， 两式相减得： ，即 ，对 也成立， 因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ， 则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙： 为等差数列，即 ， 即 ， ， 当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立， 于是 ，又 为常数， 因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数列的前 项和． (1)若 ，求 的通项公式； (2)若 为等差数列，且 ，求 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， ，解得 ， ， 又 ， ， 即 ，解得 或 （舍去）， . （2） 为等差数列， ，即 ， ，即 ，解得 或 ， ， ， 又 ，由等差数列性质知， ，即 ， ，即 ，解得 或 （舍去） 当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解； 当 时， ，解得 .综上， . 9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ， 若 ，则 ，与题意不符，所以 ； 由 ， 可得， ， ①， 由①可得， ，解得： ， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ，所以 ，否则 ， 从而， 成等比数列， 所以有， ，解得： 或 ， 当 时， ，即为 ， 易知， ，即 ； 当 时， ， 与 矛盾，舍去．故选：C． 10、（2023年全国乙卷数学（文））记 为等差数列 的前 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为 ， 由题意可得 ，即 ，解得 ， 所以 ， （2）因为 ， 令 ，解得 ，且 ， 当 时，则 ，可得 ； 当 时，则 ，可得 ； 综上所述： 2S 11、【2022年全国甲卷】记S 为数列{a }的前n项和．已知 n+n=2a +1． n n n n (1)证明：{a }是等差数列； n (2)若a ,a ,a 成等比数列，求S 的最小值． 4 7 9 n【答案】(1)证明见解析； (2)−78． 【解析】(1) 2S 解：因为 n+n=2a +1，即2S +n2=2na +n①， n n n n 当n≥2时，2S +(n−1) 2=2(n−1)a +(n−1)②， n−1 n−1 ①−②得，2S +n2−2S −(n−1) 2=2na +n−2(n−1)a −(n−1)， n n−1 n n−1 即2a +2n−1=2na −2(n−1)a +1， n n n−1 即2(n−1)a −2(n−1)a =2(n−1)，所以a −a =1，n≥2且n∈N*， n n−1 n n−1 所以{a }是以1为公差的等差数列． n (2)解：由（1）可得a =a +3，a =a +6，a =a +8， 4 1 7 1 9 1 又a ，a ，a 成等比数列，所以a ❑ 2=a ⋅a ， 4 7 9 7 4 9 即(a +6) 2=(a +3)⋅(a +8)，解得a =−12， 1 1 1 1 所以a =n−13，所以S =−12n+ n(n−1) = 1 n2− 25 n= 1( n− 25) 2 − 625 ， n n 2 2 2 2 2 8 所以，当n=12或n=13时(S ) =−78． n min 题组一、等差、等比数列的基本量的问题 1-1、（2023·江苏南通·统考模拟预测）传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明 者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒， 第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦 的总重量大约为（ ）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3） A．105 B．107 C．1012 D．1015 【答案】C 【分析】由等比数列求和公式结合对数的运算求解即可.【详解】64个格子放满麦粒共需 ， 麦子大约20000粒，1吨麦子大约 粒， ， 故选：C. 1-2、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）（多选题）已知 是等比数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据 与 的关系以及 是等比数列，可求得 ， .进而判断数列 是以8为 首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前 项和公式即可判断C、D项. 【详解】当 时， ， 当 时， . 因为 是等比数列，所以需满足 ，所以 ， . 所以，A项正确，B项错误； 因为 ， ， 所以数列 是以8为首项，4为公比的等比数列.所以 ，所以C项错误，D项正确. 故选：AD. 1-3、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知正项等差数列 满足 ，且 是 与 的等比中项，则 的前 项和 ___________. 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式与 ，求出 的关系，根据 是 与 的等比中项，求出 的值.再根据等差数列的前 项和公式求 【详解】设等差数列 的公差为 ， ， 所以 又因为 即 可得 ，又由 即 即 即 且正项等差数列 ，即 解得 ，所以 故答案为： . 1-4、（2023·云南红河·统考一模）在数列 中， ， ，若 为等比数列，则 ____________． 【答案】127 【分析】利用等比数列性质得 ， ，即可求值.【详解】设等比数列 的公比为q，则 ， 所以 ，故 ． 故答案为：127. 题组二、等差、等比数列的判断与证明 2-1、（2023·安徽蚌埠·统考三模）（多选题）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项 积为 ，则下列结论正确的是( ) A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列 C．数列 是等比数列 D．数列 是等差数列 【答案】ABC 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，∴ ． 对于A选项， ，∴ 为等差数列，A正确； 对于B选项，令 ， ∴ ， 故数列 是等差数列，B正确； 设等比数列 的公比为 ， 对于C选项，令 ，则 ，故数列 是等比数列，C正确； 对于D选项，∵ 不一定为常数，故数列 不一定是等差数列，故D错误； 故选：ABC． 2-2、（2023·重庆·统考三模）（多选题）对于数列 ，若 ， ，则下列说法正确 的是（ ） A． B．数列 是等差数列 C．数列 是等差数列 D． 【答案】ACD【详解】由 ， ， 得 ， ， ，所以A选项正确； 又 ， ， 两式相减得 ， 令 ，可得 ， 所以 不是等差数列， 是等差数列， 故B选项错误，C正确； 同理，令 ，则 ， 所以 是以 为首项，公差为2的等差数列， 所以 ，故D正确. 故选：ACD 2-3、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ． (1)证明：数列 是等差数列； (2)设数列 的前n项积为 ，若 ，求数列 的通项公式． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）由通项与前 项和的关系结合等差的定义证明即可； （2）由等差数列通项公式得出 ，再由题设定义得出数列 的通项公式． 【详解】（1）当 时， 当n≥2时， ，所以 ， 所以 （常数），故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知， ，得 ， 当n≥2时， ， 当 时， ，不符合上式， 故 2-4、（2023·安徽宿州·统考一模）在数列 中， ，且 . (1)令 ，证明：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式； (2)记数列 的前n项和为 ，求 . 【答案】(1)证明见解析， ；(2)297 【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列 为等差数列，再由等差数列通项公式求数列 的 通项； (2)由递推关系证明 ，利用等差数列求和公式和组合求和法求 . 【详解】（1）因为 ， 所以 ，即 ， 又 ， 所以 ，又 ， 所以，数列 为以1为首项，4为公差的等差数列， 所以 .（2）因为 ， 所以 ，即 所以 1、（2023·浙江温州·统考三模）已知数列 各项为正数， 满足 ， ，则 （ ） A． 是等差数列 B． 是等比数列 C． 是等差数列 D． 是等比数列 【答案】C 【详解】因为数列 各项为正数， 满足 ， ， 故对任意的 ， ，则 ， 所以，数列 的每一项都是正数， 所以， ，可得 ， 由等差中项法可知，数列 是等差数列， 故选：C. 2、（2022·山东日照·高三期末）（多选题）数列 的各项均是正数， ， ，函数 在点 处的切线过点 ，则下列正确的是（ ） A．B．数列 是等比数列 C．数列 是等比数列 D． 【答案】ABD 【解析】对函数 求导得 ，故函数 在点 处的切线方程为 ， 即 ， 由已知可得 ， 对任意的 ， ，则 ，即 ， 所以， ， 所以，数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ，B对； ，A对； 且 ，故数列 不是等比数列，C错； 由上可知，因为 ，且 ，则 ， 即 ，所以， 且 ，故数列 是等比数列，且首项为 ，公比为 ， 因此， ，D对. 故选：ABD. a  n S 3、（2021·河北张家口市·高三期末）（多选题）已知数列 n 的前 项和为 n，下列说法正确的是（ ） S n2 1 a  A．若 n ，则 n 是等差数列S 3n 1 a  B．若 n ，则 n 是等比数列 a  S 9a C．若 n 是等差数列，则 9 5 a  a 0 q0 S S S2 D．若 n 是等比数列，且 1 ， ，则 1 3 2 【答案】BC S n2 1 a 2n1 a 2 a 2n1 n2 【解析】若 n ，当 时， n ， 1 不满足 n ，故A错误. 23n1,n2 a  若 S 3n 1 ，则 n 2,n1 ， a 2 满足 a 23n1，所以a 是等比数列，故B正确. n 1 n n 9a a  若 a n  是等差数列，则 S 9  1 2 9 9a 5，故C正确. S S S2 a2 1qq2 a21q2 a2q0 1 3 2 1 1 1 ，故D错误. 故选：BC 4、（2023·河北唐山·统考三模）设 为等比数列 的前 项和， ， ，则 __________. 【答案】 /0.875 【详解】设等比数列 的公比为 ， 由 ，得 ，则 ， 由等比数列求和公式可知 ． 故答案为： ． 5、（2023·安徽合肥·校联考三模） 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，若 ， ， ， 成等比数列，则 ________． 【答案】1012 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则因为 ， 所以 ，即 ，解得 . 因为 ， ， 成等比数列， 所以 ，即 ，解得 或 （舍）， 所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 . 故答案为： . 6、（2022·广东潮州·高三期末）设 是首项为2的等比数列， 是其前n项和．若 ，则 _________． 【答案】62 【解析】设数列 的公比为 ，则根据题意得， 又 ，所以计算得 . 由等比数列前n项和 得，数列 的前五项和为， 故答案为：62. 7、（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列 的前n项和是 ，且 ，则 ______． 【答案】136 【解析】由题意得 ．故答案为：136 8、（2022·山东烟台·高三期末）在等差数列 中， ，则 ______． 【答案】2 【解析】因为 是等差数列，设其公差为d， 所以根据 可得： ， 即 ，则 ， 故答案为：2.