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专题六 数列 ３６７
６．４ 数列求和、数列的综合应用
§
求和 再合并 形如
， ， ：
{ ａ 是等差数列
ａ ｂ 其中 ｛ ｎ｝ ，
（１）｛ ｎ＋ ｎ｝， ｂ 是等比数列
考点一 数列求和 ｛ ｎ｝ ；
{ｆ ｎ ｎ ｋ ｋ Ｎ∗
１．公式法 （２） ａ ｎ＝ ｇ （ ｎ ）， ｎ ＝２ ｋ －１ ｋ ， ∈ Ｎ∗． ，
直接用等差 等比数列的求和公式求解． （ ）， ＝２ ， ∈
（１） 、
掌握一些常见的数列的前ｎ项和公式 考点二 数列的综合应用
（２） ：
ｎ（ｎ ） １．解答数列应用题的基本步骤
ｎ ＋１
１＋２＋３＋…＋ ＝① ； 审题 仔细阅读材料 认真理解题意
２
（１） ——— ， ；
ｎ ｎ２ ｎ 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际
２＋４＋６＋…＋２ ＝② ＋ ；
（２） ——— （ ） ，
ｎ ｎ２ 问题转化成数学问题 弄清该数列的特征以及要求什么
１＋３＋５＋…＋（２ －１）＝ ；
， ；
ｎ ｎ ｎ 求解 求出该问题的数学解
１ ２ ＋２ ２ ＋３ ２ ＋…＋ ｎ２ ＝ （ ＋１）（２ ＋１） ； （３） ——— ；
６ 还原 将所求结果还原到实际问题中．
３ ３ ３ ｎ３ [ｎ （ ｎ ＋１） ] ２ ． ２ （ ． ４ 数 ） 列应 — 用 —— 题常见模型
１ ＋２ ＋３ ＋…＋ ＝
２ 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定值 那么
２．倒序相加法 （１） ： （ ） ，
该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差．其一般形式是
如果一个数列 ａ 与首末两端等 距离 的两项的和相等或 ， （ ）
｛ ｎ｝， “ ” ａ ａ ｄ 常数 ．
等于同一常数 那么求这个数列的前ｎ项和即可用倒序相加法． ｎ ＋１－ ｎ＝ （ ）
， 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的
３．错位相减法 （２） ：
数 那么该模型是等比模型 这个固定的数就是公比．其一般形式
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 ， ，
ａ
对应项之积构成的 那么这个数列的前ｎ项和即可用此法来求． 是 ｎ ＋１ ｑ ｑ为常数 且ｑ ．
， ａ ＝ （ ， ≠０）
４．裂项相消法 ｎ
混合模型 在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列
把数列的通项拆成两项之差 在求和时中间的一些项可以 （３） ：
， 的模型．
相互抵消 从而求得其和．
， 生长模型 如果某一个量 每一期以一个固定的百分数
常见的拆项公式 （４） ： ，
： 增加 或减少 同时又以一个固定的具体量增加 或减少 称
（ ）， （ ），
１ １ １ 该模型为生长模型 如分期付款问题 树木的生长与砍伐问题等．
（１）ｎ ｎ ＝③ ｎ －ｎ ； ， ，
（ ＋１） ＋１ 如设贷款总额为ａ 年利率为ｒ 等额还款数为ｂ 分ｎ期还完 则
( ) ， ， ， ，
１ １ １ １ ｒ ｒ ｎ
（２） ｎ ｎ ＝④ ｎ － ｎ ； ｂ （１＋ ） ａ．
（２ －１）（２ ＋１） ２ ２ －１ ２ ＋１ ＝ ｒ ｎ
（１＋ ） －１
１ ｎ ｎ． 递推模型 如果容易推导该数列任意一项ａ 与它的前
（３） ｎ ｎ ＝ ＋１－ （５） ： ｎ
＋ ＋１ 一项ａ ｎ 或前几项 间的递推关系式 那么我们可以用
５．分组求和法 ｎ －１（ ≥２）（ ） ，
数列的知识求解．
有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类
， ， ，
数列适当拆开 可分为几个等差 等比或常见的数列 即先分别
， 、 ，
３．已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且ａ ａ ａ ．
｛ ｎ｝ ｎ， ３＝７， ５＋ ７＝２６
求ａ 及Ｓ
（１） ｎ ｎ；
Ｓ
考点一 数列求和
（２）
令ｂ
ｎ＝ ｎ
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
求证
：
数列
｛
ｂ
ｎ｝
为等差数列．
１．在
ｂ
等差
的
数
前
列 ｛ ａ
项
ｎ｝
之
中
和
， ａ ４
Ｓ
＝５， ａ ７＝１１ ．设 ｂ ｎ＝（－１） ｎ · ａ ｎ， 则数列 ４．已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 满足 （ ａ １＋ ａ ２）＋（ ａ ２＋ ａ ３）＋…＋（ ａ ｎ＋ ａ ｎ ＋１）＝
｛ ｎ｝ １００ １００＝ （ ）
２
ｎ
（
ｎ
＋１）（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
Ａ． 答 －２ 案 ００ Ｄ Ｂ．－１００ Ｃ．２００ Ｄ．１００ （１） 求
求
数
数
列
列
{ ｛ ａ ａ ｎ
ｎ
｝ } 的
的
通
前
项
ｎ
公
项
式
和
；
Ｓ ．
２．数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若ａ １ 则Ｓ 等于 （２） ｎ －１ ｎ
｛ ｎ｝ ｎ， ｎ＝ｎ ｎ ， ５ （ ） ２
（ ＋１）
考点二 数列的综合应用
５ １ １
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案 Ｂ
６ ６ ３０ ５．已知数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
ｎ＝ｌｏｇ（ ｎ ＋１）（
ｎ
＋２）（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
我们把使乘积
ａ ａ ａ ａ 为整数的数ｎ叫做 优数 则在区间
１· ２· ３·…· ｎ “ ”， （１，
３６８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
内的所有 优数 的和为 ａ ｎａ Ｓ ｋ Ｓ
２００４） “ ” （ ） Ａ． ｎ ＋１＞２ １ Ｂ． ２ ｋ＞（１＋２ ） ｋ
{ａ }
Ａ．１０２４ Ｂ．２００３ Ｃ．２０２６ Ｄ．２０４８ Ｓ ａ ａ ｎ ｎ ＋１ 是递增数列
答案 Ｃ Ｃ． ｎ＜２ ｎ－ １（ ≥２） Ｄ． ａ
ｎ
答案 Ｄ
６．已知数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
且Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋４
ｎ
，
若首项为 １ 的
８．已知公 差不为 的等差数列 ａ 的首项ａ 且ａ ａ
３ ０ ｛ ｎ｝ １＝２， １＋１， ２＋１，
ａ 成等比数列．
数列 ｛ ｂ ｎ｝ 满足 ｂ １ ｎ ＋１ －ｂ １ ｎ ＝ ａ ｎ， 则数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 １０ 项和为 （ ） （ ４ １ ＋ ） １ 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
Ａ．
１７５
Ｂ．
３９
Ｃ．
１７３
Ｄ．
１８１
（２）
设ｂ
ｎ＝ａ ａ
１
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
Ｓ
ｎ
是数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和
，
求使Ｓ
ｎ＜
２６４ ８８ ２６４ ２６４ ｎ ｎ
答案 Ａ ＋１
３ 成立的最大的正整数ｎ．
７．（２０２０山东仿真联考３）已知正项数列 ａ 满足ａ ａ Ｓ
｛ ｎ｝ ｎ ＋１＞２ ｎ， ｎ １９
是 ａ 的前ｎ项和 则下列四个命题中错误的是
｛ ｎ｝ ， （ ）
( ) ( ) ( )
ｆ ２００１ ｆ ２０００ ｆ １
＝ ＋ ＋…＋ ，
２００２ ２００２ ２００２
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ｓ ｆ １ ｆ ２ ｆ ２００１ ｆ ２００１ ｆ ２０００
考点一 数列求和 ∴２ ＝ ＋ ＋…＋ ＋ ＋
２００２ ２００２ ２００２ ２００２ ２００２
１．（２０１９福建漳州一模，１０）已知数列 ａ 和 ｂ 的首项均为 ( )
｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ｆ １ Ｓ ２００１．
且ａ ａ ｎ ａ ａ 数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｓ 且 ＋…＋ ＝１×２００１＝２００１，∴ ＝
１， ｎ －１≥ ｎ（ ≥２）， ｎ ＋１≥ ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ， ２００２ ２
满足 Ｓ Ｓ ａ ｂ 则Ｓ
２ ｎ ｎ ＋１＋ ｎ ｎ ＋１＝０， ２０１９＝ （ ） 考点二 数列的综合应用
Ａ．２０１９ Ｂ．
１
Ｃ．４０３７ Ｄ．
１ １．（２０１９湖南岳阳一模，１６）已知从 开始的连续奇数蛇形排列
２０１９ ４０３７ １
答案 Ｄ ａ ａ ｎ ａ ａ ａ ａ ａ 形成宝塔形数表 第一行为 第二行为 第三行为
ａ ａ ｎ ∵ ｎ － 另 １≥ 外 ｎ 由 （ ａ ≥２） ａ ， ｎ ａ ＋１≥ 可得 ｎ，∴ ａ ｎ ａ ≥ ｎ ＋１≥ ａ ｎ， 第四行为 ， １， 如图所示 ３ 在 ，５ 宝 ， 塔形数表 ７ 中 ，９ 位 ，１１ 于 ，
∴ １ ． ∵ ｎ ２ ＝ Ｓ ｎ ｎ Ｓ ＋ ｎ １ ＋ （ １＋ ≥ ａ ｎ ２ ｂ ） ｎ ＋ ， １＝０，∴ ， { ２ Ｓ ｎ } Ｓ １≥ ｎ ＋１＋ ２ ｂ ≥ ｎ ＋１ １ ＝ ， ０，∴ ２ Ｓ ２ ｎ ＝ Ｓ ｎ ＋１ １ ＋ ＝ Ｓ １ ｎ ， ＋１ ∴ － Ｓ ｎ ｎ＝ ＝ 第 ａ ｉ行 ， 第 １ ｊ ３ 则 列 ，１ 的 ｉ ５， ｊ 数 １７ 记 ，１ 为 ９，… ａ ｉ ， … ｊ， 例如ａ ３，２＝ ， ９， ａ ４，２＝１５， ａ ５，４＝２３， 若
１ １ ． 数列 １ 是等差数列 首项为 公差为 ． ｉ ， ｊ＝２０１９， ＋ ＝ （ ）
０，∴ Ｓ －Ｓ ＝２∴ Ｓ ， １， ２
ｎ ＋１ ｎ ｎ １
１ ｎ ｎ Ｓ １ Ｓ １ 故选 ． ３ ５
∴ Ｓ
ｎ
＝１＋２（ －１）＝２ －１，∴ ｎ＝
２
ｎ
－１
，∴ ２０１９＝
４０３７
， Ｄ
１１ ９ ７
２．（２０１９广东茂名一模，１８）已知Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 Ｓ
ｎ ｛ ｎ｝ ， ｎ １３ １５ １７ １９
ａ ．
＝２ ｎ－２ ２９ ２７ ２５ ２３ ２１
求数列 ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ； ……
{ａ ｎ ｋ
（２）
若ｂ
ｎ＝
ｎ，
ａ
＝２
ｎ
－１，
ｋ
ｋ
∈
Ｎ∗
，
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前
２
ｎ项和Ｔ
２ ｎ
． Ａ．
答
６４
案 Ｃ 由
Ｂ
题
．６５
中数表可知
Ｃ．７
第
１
行有
Ｄ
个
．７
奇
２
数 第 行有
ｌｏｇ２ ｎ， ＝２ ， ： １ １ ， ２ ２
解析 由Ｓ ａ ｎ ｎ
（１） ｎ＝２ ｎ－２①， 个奇数 第ｎ行有ｎ个奇数 则前ｎ行共有 （ ＋１）个奇
得Ｓ ａ ｎ ，……， ，
ｎ －１
得
＝２
ａ
ｎ －１－
ａ
２（ ≥
ａ
２）②，
ａ ａ ｎ 数 设 在第ｎ行中 又 是从 开始的连续
２
奇数的第
①－② ｎ＝２ ｎ－２ ｎ －１，∴ ｎ＝２ ｎ －１（ ≥２）， ， ２０１９ ， ２０１９ １
由ａ ａ １＝ Ｓ 是 １＝ 以 ２ ａ １ 为 －２ 首 ， 得 项 ａ １＝ 为 ２， 公比的等比数列 ì ï ï ｎ （ ｎ －１） ＜１０１０，
∴ ｛ ｎ｝ ２ ，２ ， 个奇数 则有í ２ 解得ｎ 即 在第
∴ ａ ｎ＝２ ｎ { ． ｎ ｎ ｋ １０１０ ， î ï ï ｎ （ ｎ ２ ＋１） ≥１０１０， ＝４５， ２０１９
（２）
ｂ
ｎ＝ ｎ
２ ，
ｎ
＝２
ｋ
－１，ｋ
∈
Ｎ∗．
４５
行
，
则前
４４
行共
９９０
个数
，
又第
４５
行的奇数从右到左
，
从小
， ＝２ ， 到大排列 则 为第 行从右到左的第 个
Ｔ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ， ２０１９ ４５ １０１０－９９０＝２０
２ ｎ＝（ １＋ ３＋ ５＋…＋ ２ ｎ －１）＋（ ２＋ ４＋ ６＋…＋ ２ ｎ） 数 即 为第 行从左到右的第 个数 故ｉ
３ ５ ２ ｎ －１ ｎ ， ２０１９ ４５ ４５－２０＋１＝２６ ， ＝
＝（２＋２ ＋２ ＋…＋２ ）＋（２＋４＋６＋…＋２ ） ｊ 故ｉ ｊ 故选
ｎ ｎ ｎ ４５， ＝２６， ＋ ＝４５＋２６＝７１， Ｃ．
２×（１－４ ） （２＋２ ）× ２ ２ ｎ ｎ２ ｎ． ２．已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 点 ｎ ａ 在 ｆ ｘ 的图象上 数列
＝ ＋ ＝－ ＋ ×４ ＋ ＋ （ ）＝ ２ －３ －１， （ ， ｎ） （ ） ，
３．设ｆ （ １ ｘ ） － ＝ ４ ４ ｘ ４ ＋ ｘ ２ ， 求 ２ Ｓ ＝ ｆ ( ２０ １ ０２ ３ ) ＋ ｆ ３ ( ２０ ２ ０２ ) ＋…＋ ｆ ( ２ ２ ０ ０ ０ ０ １ ２ ) 的值． ｛ （１ ａ ） ｎ｝ 求 的 使 前 ａ ｎ ｎ＜ 项 ０ 和 的 为 ｎ的 Ｓ ｎ 最 ， ｎ 大 ∈ 值 Ｎ∗ ； ．
解析 ｆ ｘ ４ ｘ ｆ ｘ ４ １－ ｘ ４ ２ （２） 求Ｓ ｎ ．
∵ （ ）＝ ４ ｘ ＋２ ，∴ （１－ ）＝ ４ １－ ｘ ＋２ ＝ ４＋２·４ ｘ＝ ４ ｘ ＋２ ， 解析 （１） 由已知得ａ ｎ＝ ｆ （ ｎ ）＝２ ｎ －３ ｎ －１，
ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ′ ｎ ｎ ｎ Ｎ∗
∴ （ ）＋（１－ ）＝１， （ ）＝２ ｌｎ２－３， ∈ ，
( ) ( ) ( ) 当ｆ ′ ｎ 即ｎ 时 ｆ ｎ 单调递增
Ｓ ｆ １ ｆ ２ ｆ ２００１ （ ）＞０， ≥３ ， （ ） ，
∵ ＝ ＋ ＋…＋ 当ｆ ′ ｎ 即 ｎ 时 ｆ ｎ 单调递减．
２００２ ２００２ ２００２ （ ）＜０， １≤ ≤２ ， （ ）
专题六 数列 ３６９
又 ∵ ａ ｎ＜０， 即 ２ ｎ －３ ｎ －１＜０， 通项公式为ａ ( １ )ｎ －１ ．
当ｎ ＝２ 时 ，２ ２ －６－１＜０， 当ｎ ＝３ 时 ，２ ３ －９－１＝－２＜０， 当ｎ ＝４ 时 ， ∴ ｎ＝ ２
２ （ ４ ２ － ） １ Ｓ ２ ｎ － ＝ １ ａ ＞ １ ０ ＋ ． ａ ∴ ２＋ 使 … ａ ＋ ｎ ａ ＜ ｎ ０ ＝ 的 （２＋ ｎ ２ 的 ２ ＋ 最 … 大 ＋２ 值 ｎ ） 为 －３ ３ （ ． １＋２＋３＋…＋ ｎ ）－ ｎ （２） 由题意 ， 得Ｂ ｎ ( ( ( １ ２ ) ) ｎ ｎ －１ ， ( ｎ －１ ) ) ｎ ， ( )ｎ
２（１－２
ｎ
）
ｎ
（
ｎ
＋１） ｎ ｎ ＋１
ｎ
（３
ｎ
＋５） ． ∴
ｂ
ｎ＝
Ｏ→Ａ
ｎ·
Ｏ→Ｂ
ｎ＝
１ －１
＋
１ －１
·（
ｎ
－１）＝
ｎ
·
１ －１
，
＝ －３· － ＝２ － －２ ４ ４ ４
１－２ ２ ２ ( ) ( ) ( )ｎ
３．（２０２０辽宁葫芦岛兴城高中模拟）设函数 ｆ ｘ ｘ２ 过点 Ｃ Ｓ １ ０ １ １ ｎ １ －１
（ ）＝ ， １ ∴ ｎ＝１× ＋２× ＋…＋ × ，
作ｘ轴的垂线ｌ 交函数ｆ ｘ 图象于点Ａ 以Ａ 为切点 ４ ４ ４
（ 作 １ 函 ，０ 数 ） ｆ ｘ 图象的切 １ 线交ｘ轴于 （ 点 ） Ｃ 再过Ｃ １， 作ｘ轴 １ 的垂线 １ Ｓ ( １ ) １ ( １ ) ２ ｎ ( １ )ｎ ．
（ ） ２， ２ ｎ＝１× ＋２× ＋…＋ ×
ｌ 交函数ｆ ｘ 图象于点Ａ 以此类推得点Ａ 记Ａ 的横 ４ ４ ４ ４
２ （ ） ２，……， ｎ， ｎ ( ) ０ ( )ｎ －１ ( )ｎ
坐标为ａ ｎ， ｎ ∈ Ｎ∗． 两式相减 ， 得 ３ Ｓ ｎ＝１× １ ＋ １ ＋…＋ １ － ｎ × １ ＝
（１） 证明数列 ｛ ａ ｎ｝ 为等比数列 ， 并求出通项公式 ； ( )ｎ ４ ４ ４ ４ ４
１
（２）
设直线ｌ
ｎ
与函数ｇ
（
ｘ
）＝ｌｏｇ１ ２
ｘ的图象相交于点Ｂ
ｎ，
记ｂ
ｎ＝
→ＯＡ
ｎ
１－
４ － ｎ ×
(
１
)ｎ
， 化简 ， 得Ｓ ｎ＝ １６ －
(
４
ｎ
＋ １６
)
×
(
１
)ｎ
＝ １６
· Ｏ→Ｂ ｎ（ 其中Ｏ为坐标原点 ）， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ ． １－ １ ４ ９ ３ ９ ４ ９
解析
（１）
以点Ａ
ｎ －１（
ａ
ｎ －１，
ａ２ｎ
－１）（
ｎ
≥２）
为切点的切线方程为
ｎ
４
３ ＋４．
ｙ － ａ２ｎ －１＝２ ａ ｎ －１（ ｘ － ａ ｎ －１） ．当ｙ ＝０ 时 ， ｘ ＝ １ ａ ｎ －１， 即ａ ｎ＝ １ ａ ｎ －１， － ９×４ ｎ －１
２ ２
又 ａ 数列 ａ 是以 为首项 １ 为公比的等比数列
∵ １＝１，∴ ｛ ｎ｝ １ ， ，
２
求数列 ａ ｂ 的前ｎ项和常采用错位相减法．
｛ ｎ· ｎ｝
２．用错位相减法求和时 应注意
， ：
要善于识别题目类型 特别是等比数列的公比为负数的
（１） ，
考法一 错位相减法求和
情形．
例１ （２０２１ 届浙江嘉兴９ 月教学测试，２０）已知数列 在写出 Ｓ 与 ｑＳ 的表达式时应特别注意将两式 错
（２） “ ｎ” “ ｎ” “
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
Ｓ
ｎ＝２
ａ
ｎ－
ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ∗． 项对齐
”，
以便于下一步准确地写出
“
Ｓ
ｎ－
ｑＳ
ｎ”
的表达式．
求数列 ａ 的通项公式 应用等比数列求和公式必须注意公比ｑ是否等于 如
（１） ｛ ｎ｝ ； （３） １，
令ｂ ｎａ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｔ ． 果ｑ 应用公式Ｓ ｎａ ．
（２） ｎ＝２ ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ ＝１， ｎ＝ １
解题导引 根据ａ 与Ｓ 的关系求得ａ ａ ａ
（１） ｎ ｎ ｎ＝２ ｎ －１＋１， １＝
．然后求得 ａ 为等比数列 求出ａ ． 例 （２０１８河南、河北两省联考，１８）已知数列 ａ 的前
１ ｛ ｎ＋１｝ ， ｎ ｛ ｎ｝
求和 （ ． ２） 由已知条件可得 ｂ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ ＋１ －２ ｎ ， 用分组 、 错位相减法 ｎ项和为Ｓ ｎ， ａ １＝５， ｎ { Ｓ Ｓ ｎ ＋１ } －（ ｎ ＋１） Ｓ ｎ＝ ｎ２ ＋ ｎ．
求证 数列 ｎ 为等差数列
解析 （ ）当ｎ 时，Ｓ ａ ，得ａ ； （１） ： ｎ ；
１ ＝１ １＝２ １－１ １＝１
当ｎ 时， {Ｓ ｎ＝２ ａ ｎ－ ｎ， 两式相减得ａ ａ ， （２） 令ｂ ｎ＝２ ｎａ ｎ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
变形得（ａ ≥ ｎ＋ ２ １ ） ＝２ （ Ｓ ａ ｎ － ｎ １ －１ ＝ ＋ ２ １ ａ ） ｎ － ， １－ （ｎ －１ ）， ｎ＝２ ｎ －１＋１ 解析 （ １ ）证明：由ｎＳ ｎ ＋１－ （ｎ ＋１ ）Ｓ ｎ＝ ｎ２ ＋ ｎ得 ｎ Ｓ ＋ ｎ ＋ １ １ － Ｓ ｎ ｎ ＝１ ，
∴ 又 数 ∵ 列 ａ １＋ ｛ １ ａ ｎ ＝ ＋ ２ １ ， ｝ ∴ 是 ａ 等 ｎ＋ 比 １＝ 数 ２ 列 ｎ， ∴ ，且 ａ ｎ 公 ＝ 比 ２ ｎ 为 －１ ． ２ ． 又 Ｓ １ １ ＝５ ，所以数列 {Ｓ ｎ ｎ } 是首项为 ５ ，公差为 １ 的等差
（ ２ ）ｂ ｎ＝２ ｎａ ｎ＝２ ｎ（ ２ ｎ －１ ） ＝ ｎ· ２ ｎ ＋１ －２ ｎ， 数列．
ｎ）
于是
（
Ｔ ｎ
２
＝ ｂ １＋ ｂ ２
３
＋ …
…
＋ ｂ
ｎ
ｎ＝ （
ｎ ＋
１
１）
×２ ２ －
（
２ ） ＋ （
…
２×２
ｎ
３
）
－
，
４ ） ＋ … ＋ （ｎ ×２ ｎ ＋１ （
２
）由（
１
）可知 Ｓ
ｎ
ｎ
＝５＋
（ｎ
－１
）
＝
ｎ
＋４
，所以Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋４
ｎ．
－２ ＝ １×２ ＋２×２ ＋ ＋ ×２ －２ １＋２＋ ＋
令Ａ ｎ＝１×２ ２ ＋２×２ ３ ＋ … ＋ ｎ· ２ ｎ ＋１，即Ｔ ｎ＝ Ａ ｎ－ ｎ（ｎ ＋１ ）． 当ｎ ≥２ 时，ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ ｎ２ ＋４ ｎ － （ｎ －１ ）２ －４ （ｎ －１ ） ＝２ ｎ ＋３ ．
２ Ａ Ａ ｎ ｎ ＝ ＝ １ １ × × ２ ２ ２ ＋ ３ ＋ ２ ２ × × ２ ２ ３ ＋ ４ ＋ … … ＋ ＋ （ （ ｎ ｎ － － １ １ ） ） · · ２ ２ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ １ · ＋ ｎ ２ · ｎ ＋ ２ １， （ ｎ ＋ ① ２， ② ｎ） 又 所以 ａ １ ｂ ＝ ｎ ５ ＝ 符 （ ２ 合 ｎ ＋ 上 ３ ） 式 ２ ， ｎ， 所以ａ ｎ＝２ ｎ ＋３ （ｎ ∈ Ｎ∗），
①－② 得 － Ａ ｎ＝２ ２ ＋２ ３ ＋ … ＋２ ｎ ＋１ － ｎ· ２ ｎ ＋２ ＝ ４ １－２ － ｎ· ２ ｎ ＋２ 所以Ｔ ｎ＝５×２＋７×２ ２ ＋９×２ ３ ＋ … ＋ （ ２ ｎ ＋３ ） ２ ｎ， ①
ｎ ＋２ ｎ· ｎ ＋２ （ｎ ）· ｎ ＋２ ， １－２ ２ Ｔ ｎ＝５×２ ２ ＋７×２ ３ ＋９×２ ４ ＋ … ＋ （ ２ ｎ ＋１ ） ２ ｎ ＋ （ ２ ｎ ＋３ ） ２ ｎ ＋１， ②
＝－４＋２ － ２ ＝－ －１ ２ －４
∴ Ａ ｎ＝ （ｎ －１ ）· ２ ｎ ＋２ ＋４ ， 所以 ②－① 得
∴ Ｔ ｎ＝ （ｎ －１ ）· ２ ｎ ＋２ ＋４－ ｎ２ － ｎ． Ｔ ｎ＝ （ ２ ｎ ＋３ ） ２ ｎ ＋１ －１０－ （ ２ ３ ＋２ ４ ＋ … ＋２ ｎ ＋１）
方法总结 １．当数列 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数列时
｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝ ，
３７０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
等差数列｛ａ ｝递增， ｄ ．
（ ｎ ） ｎ ＋１ ２
３（
１－２
ｎ －１） ∵
Ｓ ，Ｓ ，Ｓ
ｎ
成等比
∴
数
＞
列
０
，
＝ ＝ ＝ （ （ ２ ２ ２ ｎ ｎ ＋ ＋ ＋ ３ ３ １ ） ） ２ ２ ２ ｎ ｎ ＋ ＋ １ １ － － － １ １ ２ ０ ０ ． － － （ ２ ｎ ＋ １ ２ － － ２ ８ ） ∵ ∴ 又 （ ∵ １ ａ ＋ ｄ １＋ １ ＞ ａ ０ １ ， ＋ ２ ａ ｄ １ ） ＝ ３ ２ ＋ ３ ＝ ， １ （ ∴ ａ ｄ １＋ ＝ １ ２ ） ． ∴ （ａ ａ １ ｎ ＋ ＝ ａ １ ２ ＋ ｎ ｄ ＋ ＋ １ ａ ， １ ｎ ＋ ∈ ２ ｄ Ｎ ＋ ∗ １ ． ） ( ， )
例 （２０２０湖南长沙明德中学３月月考，２０）设等差数列 （ ） ｂ １ １ １ １ １ ，
２ ∵ ｎ＝ａ （ａ ）＝（ ｎ ）（ ｎ ）＝ ｎ － ｎ
Ｓ Ｓ ｎ ＋１ ｎ－２ ２ ＋３ ２ －１ ４ ２ －１ ２ ＋３
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 首项ａ 且 ２０２０ ２０１７ ．数列 ｂ Ｔ ｂ ｂ … ｂ
｛ ｎ｝ ｎ， １＝１， － ＝３ ｛ ｎ｝ ∴ ｎ＝ １＋ ２＋ ＋ ｎ
２０２０ ２０１７ ( )
的前ｎ项和为Ｔ
ｎ，
且满足Ｔ
ｎ＝２－
ｂ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
＝
１ １
－
１
＋
１
－
１
＋
１
－
１
＋
…
＋ ｎ
１
－ ｎ
１
（１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 和 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式 ； ４ ( １ ５ ３ ７ ５ ) ９ ｎ ２ ２ －１ ｎ ２ ＋３
{ａ ｂ } ＝ １ １＋ １ － ｎ １ － ｎ １ ＝ （ ｎ ４ ） ＋ （ ５ ｎ ） ．
求数列 ｎ ｎ 的前ｎ项和Ｓ′． ４ ３ ２ ＋１ ２ ＋３ ３ ２ ＋１ ２ ＋３
（２） ｎ 方法总结 １．对于裂项后明显有能够相消的项的一类数
２
解析 （ １ ）设数列｛ａ ｎ ｝的公差为ｄ， 列 ， 在求和时常用 “ 裂项法 ”， 分式型数列的求和多用此法．
ｎ（ｎ ） ２．利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下
ｎａ －１ ｄ ，
因为 Ｓ ｎ １＋ ２ ａ （ｎ ） ｄ ， 第一项和最后一项 ， 也有可能前面剩两项 ， 后面也剩两项．将通项
ｎ ＝ ｎ ＝ １＋ －１ 裂项后 有时需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之
２
所以
{Ｓ
ｎ
}
为一个等差数列， 积与原
，
通项相等．
，
ｎ
Ｓ Ｓ ｄ
所以 ２０２０ ２０１７ ３ ， ａ
－ ＝ ＝３ 例 已知数列ａ 的前ｎ项和为Ｓ 且ａ Ｓ ｎ ＋１ ｎ
２０２０ ２０１７ ２ ｎ｝ ｎ， ２＝８， ｎ＝ －
Ｓ ２
所以ｄ
＝２
．故
ｎ
ｎ
＝
ｎ，所以Ｓ
ｎ＝
ｎ２．
－１
．
求数列 ａ 的通项公式
当ｎ 时，ａ Ｓ Ｓ ｎ ，ｎ 时也满足，故ａ ｎ （１） ｛ ｎ｝ ；
≥２ ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝２ －１ ＝１ ｎ＝２ － { ｎ}
１
，ｎ
∈
Ｎ∗．数列｛ｂ
ｎ
｝对任意正整数ｎ满足Ｔ
ｎ＝２－
ｂ
ｎ
，
（２）
求数列
ａ
２×
ａ
３ 的前ｎ项和Ｔ
ｎ
．
当ｎ 时，ｂ Ｔ ｂ ，解得ｂ ； ｎ ｎ ＋１
当ｎ ＝１ 时，ｂ １＝ Ｔ １＝ Ｔ ２－ １ （ ｂ ） １＝ （ １ ｂ ） ｂ ｂ ， 解析 （ ） ａ ，Ｓ ａ ｎ ＋１ ｎ ，
≥２ ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ ２－ ｎ － ２－ ｎ －１ ＝ ｎ －１－ ｎ １ ∵ ２＝８ ｎ＝ － －１
２
所以ｂ １ ｂ （ｎ ），所以｛ｂ ｝是首项为 ，公比为 １ 的 ａ
ｎ＝
２
ｎ －１ ≥２ ｎ １
２ ∴
ａ
１＝
Ｓ
１＝
２
－２＝２
，
( )ｎ ２
等比数列，故数列｛ｂ ｎ ｝的通项公式为ｂ ｎ＝ １ －１ ． ｎ 时，ａ Ｓ Ｓ ａ ｎ ＋１ ｎ æ ç ａ ｎ ｎ ö ÷，
２ ≥２ ｎ＝ ｎ－ ｎ －１＝ － －１－è － ø
ａ ｂ ｎ ２ ２
（
２
）由（
１
）知 ｎ ｎ
＝
２ －
ｎ
１， 即ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ＋２
，又ａ
２＝８＝３×
ａ
１＋２
，
∴
ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ＋２
，ｎ
∈
Ｎ∗，
２ ２ ａ （ａ ），
ｎ ｎ ∴ ｎ ＋１＋１＝３ ｎ＋１
所以Ｓ′ ｎ＝
２
１ ＋
２
３ ２ ＋
２
５ ３ ＋ … ＋ ２
２
ｎ － －１ ３ ＋ ２
２
－ ｎ １， ① ∴ 数列｛ａ ｎ＋１ ｝是等比数列，且首项为ａ １＋１＝３ ，公比为 ３ ，
１ Ｓ′ １ ３ … ２ ｎ －３ ２ ｎ －１， ∴ ａ ｎ＋１＝３×３ ｎ －１ ＝３ ｎ， ∴ ａ ｎ＝３ ｎ －１ ．
ｎ＝ ２ ＋ ３ ＋ ＋ ｎ ＋ ｎ ＋１ ② ｎ ｎ
２ ２ ２ ２ ２ （ ）２×３ ２×３ １ １ ．
，得 １ Ｓ′ １ ２ ２ … ２ ２ ｎ －１ １ ( １ １ ２ ａ ｎ ａ ｎ ＋１ ＝（ ３ ｎ －１ ）（ ３ ｎ ＋１ －１ ）＝ ３ ｎ －１ － ３ ｎ ＋１ －１
①－② ｎ＝ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ＋ ｎ－ ｎ ＋１ ＝ ＋ ＋ ２ { ｎ}
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 数列 ２×３ 的前ｎ项和
) ｎ １ [ １－ ( １ )ｎ －１ ] ｎ ∴ æ ａ ｎ ａ ｎ ＋１ ö æ ö æ ö
＋ … ＋ ２ ｎ １ －１ － ２ ２ ｎ － ＋１ １ ＝ ２ １ ＋ ２ １－ ２ １ － ２ ２ ｎ － ＋１ １ ＝ ２ １ ＋１－ Ｔ ｎ＝ è ç ３－ １ １ － ３ ２ １ －１ ø ÷ ＋è ç ３ ２ １ －１ － ３ ３ １ －１ ø ÷ ＋ … ＋è ç ３ ｎ １ －１ － ３ ｎ ＋ １ １ －１ ø ÷ ＝
２
( ２ １ )ｎ －１ － ２ ２ ｎ ｎ － ＋１ １，所以Ｓ′ ｎ＝３－ ２ ｎ ２ ＋ ｎ ３． ２ １ － ３ 例 ｎ ＋ １ １ －１ （ ． ２０１９浙江嵊州期末，２０）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ
项和为Ｓ 满足ａ ａ ａ Ｓ Ｓ 数列 ｂ 的首项为 且
ｎ， ３· ４＝２ ５， ６＝９ ３， ｛ ｎ｝ １，
考法二 裂项相消法求和 ａ １ ｂ １＋ ａ ２ ｂ ２＋…＋ ａ ｎ ｂ ｎ＝ ｂ ｎ ＋１（ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ．
求数列 ａ 的通项公式
例２ （２０２１届河南洛阳期中，１８）已知数列 ａ 是递增 （１） ｛ ｎ｝ ；
｛ ｎ｝ ｎ
的等差数列 首项ａ 前ｎ项和为Ｓ 且Ｓ Ｓ Ｓ 成等 设ｃ ２ 证明 ｃ ｃ ｃ ．
比数列．
， １＝３， ｎ， １＋１， ２， ３＋１ （２） ｎ＝ｂ
ｎ ＋２
， ： １＋ ２＋…＋ ２０１９＜１
解析 （ ）解法一：因为｛ａ ｝是等比数列，所以ａ ·ａ ａ
（１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； １ ｎ ３ ４＝ ２
·ａ ，所以ａ ．
（２）
令 ｂ
ｎ ＝ａ ａ
１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前 ｎ 项 ５
又因为
２
Ｓ
＝２
Ｓ ，所以ａ ａ ａ Ｓ Ｓ Ｓ ．
ｎ ＋１（ ｎ－２） ６＝９ ３ ４＋ ５＋ ６＝ ６－ ３＝８ ３
和Ｔ ．
ｎ
解析 （ ）设等差数列｛ａ ｝的公差为ｄ．
１ ｎ
专题六 数列 ３７１
设等比数列｛ａ
ｎ
｝的公比为ｑ，则ｑ３
＝
ａ ４＋ ａ
Ｓ
５＋ ａ ６
＝８
，解得ｑ
当
＝１
ｎ
× （ ２ １ ＋
时
１
，
） × （ ２ ２ ＋１ ） × … × （ ２ ｎ ＋１ ）．
３ ≥２
． ｎ ｎ
＝２ ｃ ２ ２
所以ａ ｎ＝ ａ ２ ·ｑｎ －２ ＝２ ｎ －１． ｎ＝ｂ ｎ ＋２ ＝（ ２ １ ＋１ ） × （ ２ ２ ＋１ ） × … × （ ２ ｎ ＋１ ）
·ｑ５
解法
ａ
二
·
：
ｑ
设
４，所
等
以
比数
ａ
列
ｑ
｛ａ
． ｎ
｝的公比为ｑ，由ａ
３
·ａ
４＝２
ａ
５
知ａ２
１ ＝（ ２ １ ＋１ ） × （ ２ ２ ＋１ １ ） × … × （ ２ ｎ －１ ＋１ ）－（ ２ １ ＋１ ） × （ ２ ２ ＋１ １ ） × … × （ ２ ｎ ＋１ ） ．
＝２ １ １ ＝２
又因为Ｓ Ｓ ，所以ｑ ，故
ａ
１
（
１－
ｑ６）
·
ａ
１
（
１－
ｑ３）
，
又ｃ
１＝ｂ
２
＝
２ ，
６＝９ ３ ≠１ ｑ ＝９ ｑ ３ ３
１－ １－ 所以ｃ ｃ … ｃ
即 ｑ３ ，解得ｑ ，代入ａ ｑ ，解得ａ ． １＋ ２＋ ＋ ２０１９
１＋ ＝９ ＝２ １ ＝２ １＝１ é ù
所 （ 以 ）证 ａ 明 ｎ＝ ： ａ 当 １ · ｎ ｑｎ －１ ＝ 时 ２ ， ｎ － ｂ １． ａ ｂ ． ＝ ３ ２ ＋ ë ê ê ２＋ １ １ － （ ２ １ ＋１ ） × １ （ ２ ２ ＋１ ） û ú ú ＋ … ＋
２ ＝１ ２＝ １ １＝１ é
由ａ １ ｂ １＋ ａ ２ ｂ ２＋ … ＋ ａ ｎ ｂ ｎ＝ ｂ ｎ ＋１ 可知，ａ １ ｂ １＋ ａ ２ ｂ ２＋ … ＋ ａ ｎ ｂ ｎ＋ ａ ｎ ＋１ ë ê ê （ １ ） （ ２ ） １ … （ ２０１８ ） －
ｂ ｂ ， ２ ＋１ × ２ ＋１ × × ２ ＋１
ｎ ＋１＝ ｎ ＋２ ù é
所以ａ ｎ ＋１ ｂ ｎ ＋１＝ ｂ ｎ ＋２－ ｂ ｎ ＋１ ，所以 ｂ ｂ ｎ
ｎ
＋２ ＝ ａ ｎ ＋１＋１＝２ ｎ ＋１ ． （ ２ １ ＋１ ） × （ ２ ２ ＋１ ） １ × … × （ ２ ２０１９ ＋１ ） û ú ú ＝ ３ ２ ＋ ë ê ê ３ １ －
＋１ ù
ｂ ｂ ｂ ú
所以ｂ ｎ ＋２＝ ｂ ２ · ｂ ３· ｂ ４·…· ｂ ｎ ｎ ＋２ （ ２ １ ＋１ ） × （ ２ ２ ＋１ ） １ × … × （ ２ ２０１９ ＋１ ） û ú ＜１ ．
２ ３ ＋１
{ ａ }
ｎ 的前ｎ项和是
ａ ａ （ ）
（ ｎ－１）（ ｎ ＋１－１）
１ １
考法一 错位相减法求和 Ａ．１－
２
ｎ ＋１
－１
Ｂ．１－
２
ｎ
＋１
１．（２０２０广东揭阳第三中学第一次月考，１９）已知 ａ 是公差ｄ
｛ ｎ｝ １ １
的等差数列 ａ ａ ａ 成等比数列 ａ ａ 数列 ｂ 是 Ｃ．１－ ｎ Ｄ．１－ ｎ
≠０ ， ２， ６， ２２ ， ４＋ ６＝２６， ｛ ｎ｝ ２ ＋１ ２ －１
公比ｑ为正数的等比数列 且ｂ ａ ｂ ａ ． 答案 Ａ
， ３＝ ２， ５＝ ６
求数列 ａ ｂ 的通项公式 ｎ
（１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ； ４．（２０１９湖南岳阳一模，１３）曲线ｙ ｘ ｘ ｎ Ｎ∗ 在ｘ ２
求数列 ａ ｂ 的前ｎ项和Ｔ ． ＝ ＋ｌｎ （ ∈ ） ＝ ｎ
（２） ｛ ｎ· ｎ｝ ｎ ２
２．（２０２０普通高等学校招生全国统一考试考前演练）已知数列 { }
处的切线斜率为ａ 则数列 １ 的前ｎ项和为 ．
｛ ａ ｎ｝ 为等差数列 ， Ｓ ｎ 是数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ， 且ａ ２＝２， Ｓ ３＝ ａ ６， ｎ， ａ ｎ ａ ｎ ＋１
数列 ｛ ｂ ｎ｝ 满足ｂ ２＝２ ｂ １＝４， 当ｎ ≥３， ｎ ∈ Ｎ∗时 ， ａ １ ｂ １＋ ａ ２ ｂ ２＋…＋ 答案 ｎ ｎ
ａ ｎ ｂ ｎ
求
＝（
数
２ ｎ
列
－２
ａ
） ｂ ｎ＋２
ｂ
．
的通项公式
５．（２０２０天津 ＋１ 静海大邱庄中学第一次质量检测，２０）已知等比数
（１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ； 列 ａ 的首项为 公比为ｑ ａ ａ ａ 依次成等差数列．
（２）
令ｃ
ｎ＝
ａ
ｂ ｎ
ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
证明
：
ｃ
１＋
ｃ
２＋…＋
ｃ
ｎ＜２
．
（１
｛
）
求 ｎ｝ ｑ的值
；
１， ， ４， ３， ５
当ｑ 时 求数列 ｎａ 的前ｎ项和Ｓ
（２） ＜０ ， ｛ ｎ｝ ｎ；
考法二 裂项相消法求和
当ｑ 时 求证
ｎ ａ２ｉ
３ ．
３．（
数
２０
列
２０湖
ａ
南长沙
中
明德
若
中
ａ
学３月月考
且
）在
ａ
各
ａ
项都为正数
则
的
数
等比
列
（３） ＞０ ， ：∑ｉ＝
１
(
２
ｉ
－
１
) ２
－
ａ２ｉ
＜
４
｛ ｎ ｝ ， １ ＝ ２， １ ５ ＝ ６４， ３
ｎ
２ ｎ ＋１ ， 两式相减得 － Ｓ ｎ＝２＋２ ２ ＋…＋２ ｎ － ｎ ·２ ｎ ＋１ ＝ ２（１－２ ） － ｎ ·
１－２
考法一 错位相减法求和 ２ ｎ ＋１ ， 故Ｓ ｎ＝２＋（ ｎ －１）２ ｎ ＋１ ， 因为ａ ｎ ＋１＝２ ｎ ＋１ ， 故Ｓ ｎ－ ｎａ ｎ ＋１＋５０＝２＋
ｎ ｎ ＋１ ｎ ｎ ＋１ ｎ ＋１ 令 ｎ ＋１ 故最小正整数
（ －１）２ － ·２ ＋５０＝５２－２ ， ５２－２ ＜０，
１．（２０１８福建闽侯第八中学期末，１６）已知数列 ｛ ｎａ ｎ｝ 的前ｎ项 ｎ的值为 ．
５
和为Ｓ ｎ， 且ａ ｎ＝２ ｎ ， 则使得Ｓ ｎ－ ｎａ ｎ ＋１＋５０＜０ 的最小正整数ｎ的 ２．（２０１８河南安阳第二次模拟，１７）设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项
值为 ．
答案
和为Ｓ
ｎ，
点
（
ｎ
，
Ｓ
ｎ）
在函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ２
＋
Ｂｘ
＋
Ｃ
－１（
Ｂ
，
Ｃ
∈
Ｒ
）
的图象
５ 上 且ａ Ｃ．
解析 Ｓ ｎ＝１×２ １ ＋２×２ ２ ＋…＋ ｎ ×２ ｎ ， 则 ２ Ｓ ｎ＝１×２ ２ ＋２×２ ３ ＋…＋ ｎ × ， 求数 １ 列 ＝ ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ；
记ｂ ａ ａ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｔ ．
（２） ｎ＝ ｎ（ ２ ｎ－１＋１）， ｛ ｎ｝ ｎ
３７２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 设数列 ａ 的公差为ｄ
（１） ｎ ｎ ｛ ｎ ｄ ｝ ( ｄ ， ) 考法二 裂项相消法求和
则Ｓ
ｎ＝
ｎａ
１＋
（ －１）ｄ
＝
ｎ２
＋
ａ
１－
ｎ
， １．（２０１８ 湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考，３）数列
２ ２ ２
{ ｄ { }
{ｄ １ 的前 项的和为
又Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
Ｂｎ
＋
Ｃ
－１，
两式对照得
２
＝１， 解得
Ｃ
＝２， ｎ
＋１＋
ｎ ２０１７ （ ）
Ｃ ＝１，
－１＝０，
所
（２
以
） 由
ａ
（ １ １ ＝ ） １ 知 ，
所
ｂ
以
ｎ＝
数
（２
列
ｎ － ｛ １
ａ
） ｎ｝ （
的
２·
通
２
项
ｎ －１
公
－１
式
＋１
为
）＝
ａ
ｎ （ ＝ ２ ｎ ２ －
ｎ
１ － ） １ ２ （ ｎ
ｎ
， ∈
Ｎ∗
）
． Ａ．
答
２
案
０１ ８＋
Ｂ
１ Ｂ
因
．
为
２０１
ｎ
８－
１
１
ｎ
Ｃ．
＝
２０
ｎ
１
＋
７
１
＋
－
１
ｎ
Ｄ
，
．
所
２
以
０１７
Ｓ
－
２０
１
１７ ＝
则Ｔ ｎ＝１×２＋３×２ ２ ＋…＋（２ ｎ －１）·２ ｎ ， ＋１＋
２ Ｔ ｎ＝１×２ ２ ＋３×２ ３ ＋…＋（２ ｎ －３）·２ ｎ ＋（２ ｎ －１）·２ ｎ ＋１ ， ２０１７＋１ ． － 故选 ２０ ． １７ ＋ ２０１６＋１ － ２０１６ ＋…＋ ２ －１ ＝
两式相减得Ｔ ｎ＝（２ ｎ －１）·２ ｎ ＋１ －２（２ ２ ＋…＋２ ｎ ）－２ ２．（２ ２ ０２ ０ ０ １８ 浙 － 江 １ 省重点 Ｂ 高中统练，１５）已知数列 ａ 的各项均为
ｎ ｛ ｎ｝
＝（２
ｎ
－１）·２
ｎ ＋１
－２×
２ ２ （１－２ －１ ）
－２＝（２
ｎ
－３）·２
ｎ ＋１
＋６
．
正数 ａ ａ ａ ４ 若数列
{
１
}
的前ｎ项和为
３．（２０２０ 江苏南师附中期
１－
初
２
检测，２０）设各项均为正数的数列
， １＝２， ｎ ＋１－ ｎ＝ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ
， ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ
则ｎ ．
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 已知ａ 且ａ Ｓ ａ Ｓ ａ λａ ５， ＝
｛ ｎ｝ ｎ， １＝１， ｎ ｎ ＋１－ ｎ ＋１ ｎ＝ ｎ ＋１－ ｎ 答案
对一切ｎ
∈
Ｎ∗都成立．
解析
１
本
２０
题考查等差数列的概念以及数列的前ｎ项和 考查
当λ 时 ；
（１） ＝１ ， 学生运算求解的能力 考查数学运算的核心素养．
求数列 ａ 的通项公式 ；
①
若ｂ
｛
ｎ
ｎ｝
ａ 求数列
；
ｂ 的前ｎ项和Ｔ
由已知可得ａ２ｎ
＋１－
ａ２ｎ＝４， 即数列
｛
ａ２ｎ｝ 是等差数列
，
首项是ａ２
１＝
②
是否存
ｎ
在
＝（
实数
＋１）
λ
ｎ
使
，
数列 ａ
｛ ｎ
是
｝
等差数列 若
ｎ；
存在 求出λ ４，
公差是
４，
所以ａ２ｎ＝４＋４（ ｎ
－１）＝４
ｎ
，
又ａ
ｎ＞０，
所以ａ
ｎ＝２
ｎ
，
（２） ， ｛ ｎ｝ ？ ，
的值 若不存在 说明理由． 所以 １ １ ｎ ＋１－ ｎ 由题意得 ２－１
解析 ； （１）① λ ＝１ ， 时 ， ａ ｎ Ｓ ｎ ＋１－ ａ ｎ ＋１ Ｓ ｎ＝ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ， ａ ｎ ＋１＋ ａ ｎ ＝ ２ ｎ ＋１＋２ ｎ＝ ２ ， ５＝ ２ ＋
则 Ｓ ａ Ｓ ａ ｎ ｎ ｎ
（ ｎ ＋１＋１） ｎ＝（ ｎ＋１） ｎ ＋１， ３－ ２ ＋１－ ＋１－１ 解得ｎ ．
Ｓ ａ ＋…＋ ＝ ， ＝１２０
又 ∵ ａ ｎ＞０， Ｓ ｎ＞０，∴ Ｓ ｎ ＋ ｎ １ ＋ ＋ １ １ ＝ ａ ｎ ＋ ｎ １ ， ３．（２０ ２ １８湖北十堰调 ２ 研，１７）已 ２ 知数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １＝１， ａ ２＝３， 其
∴ Ｓ Ｓ ２ １ ＋ ＋ １ １ · Ｓ Ｓ ３ ２ ＋ ＋ １ １ ·…· Ｓ Ｓ ｎ ＋ ｎ １ ＋ ＋ １ １ ＝ ａ ａ ２ １ · ａ ａ ３ ２ ·…· ａ ａ ｎ ＋ ｎ １ ， 前 （１） ｎ 求 项 证 和 ： 为 数列 Ｓ ｎ， ｛ 且 Ｓ ｎ 当 ｝ 是 ｎ 等 ≥ 比 ２ 时 数 ， 列 ａ ｎ ， ＋ 并 １ Ｓ ｎ 求 －１－ 数 ａ 列 ｎ Ｓ ｛ ｎ＝ ａ ｎ ０ ｝ ． 的通项公式 ；
化 故 简 可 ， 得 得 ａ Ｓ ｎ ＋ ｎ １ ＋１ ＝ ＋ ２ １ ａ ＝ ｎ， ２ 即 ａ ｎ ａ ＋ ａ １ ｎ ． ＋ ｎ ∴ １ ＝ 当 ２（ ｎ ｎ ≥ ≥ ２ ２） 时 ， ， Ｓ ｎ＋１＝２ ａ ｎ ． （２ 解 ） 令 析 ｂ ｎ＝ （ （ １ ａ ） ｎ 当 ＋３） ｎ ９ （ ａ ≥ ａ ｎ ｎ ２ ＋１ 时 ＋３ ， ） ａ ， 记 ｎ ＋１ 数 Ｓ ｎ 列 －１－ ｛ ａ ｂ ｎ ｎ ｝ Ｓ 的 ｎ＝ 前 （ Ｓ ｎ ｎ ＋ 项 １－ 和 Ｓ ｎ 为 ） Ｓ Ｔ ｎ ｎ － ， １ 求 －（ Ｔ Ｓ ｎ ｎ ． －
∵
当ｎ
＝１
时
，
ａ
２＝２，∴
ｎ
＝１
时上式也成立
，
Ｓ
ｎ －１）
Ｓ
ｎ＝
Ｓ
ｎ ＋１
Ｓ
ｎ －１－
Ｓ２ｎ＝０，∴ Ｓ２ｎ＝ Ｓ
ｎ －１
Ｓ
ｎ ＋１（
ｎ
≥２）
．又由Ｓ
１＝
ａ
１＝１
∴ 数列 ｛ ａ ｎ｝ 是首项为 １， 公比为 ２ 的等比数列 ， ａ ｎ＝２ ｎ －１． ≠０， Ｓ ２＝ ａ １＋ ａ ２＝４≠０， 可推知对一切正整数ｎ均有Ｓ ｎ≠０，∴ 数
②∵ ｂ ｎ＝（ ｎ ＋１） ａ ｎ，∴ ｂ ｎ＝（ ｎ ＋１）·２ ｎ －１ ， 列 ｛ Ｓ ｎ｝ 是等比数列 ， Ｓ ｎ＝４ ｎ －１．当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝３×４ ｎ －２ ，
∴ ∴２ Ｔ Ｔ ｎ ｎ ＝ ＝ ２ ２ × × ２ ２ ０ ＋ １ ＋ ３ ３ × × ２ ２ １ ＋ ２ ＋ ４ ４ × × ２ ２ ２ ＋ ３ ＋ … … ＋ ＋ ｎ ｎ × × ２ ２ ｎ － ｎ ２ － ＋ １ ＋ （ （ ｎ ｎ ＋ ＋ １ １ ） ） × × ２ ２ ｎ － ｎ １ ， ， 又ａ １＝１，∴ ａ ｎ＝ { ３ １ × （ ４ ｎ ｎ ＝ －２ １ （ ） ｎ ， ≥２） ．
∴ － Ｔ ｎ＝２＋２ １ ＋２ ２ ＋…＋２ ｎ －１ －（ ｎ ＋１）×２ ｎ ＝２＋ ２（１ １ － － ２ ２ ｎ －１ ） －（ ｎ ＋１）× （２） 当ｎ ≥２ 时 ， ｂ ｎ＝ （ ａ ｎ＋３） ９ （ ａ ａ ｎ ｎ ＋１＋３） ＝ （３×４ ｎ －２ ９ ＋ × ３ ３ ） × （ ４ ３ ｎ × －２ ４ ｎ －１ ＋３）
ｎ ｎ ｎ Ｔ ｎ ｎ． ｎ －２
２ ＝－ ×２ ，∴ ｎ＝ ·２ ３×４
（２） 令ｎ ＝１， 得ａ ２＝ λ ＋１， 令ｎ ＝２， 得ａ ３＝（ λ ＋１） ２ ， ＝ （４ ｎ －２ ＋１）（４ ｎ －１ ＋１） ，
要 当 使 λ 数列 时 ｛ ａ Ｓ ｎ｝ 是 ａ 等差 Ｓ 数列 ， ａ 必须 且 有 ａ ２ ａ ２＝ ａ ａ １＋ ａ ． ３， 解得λ ＝０ ． ì ï ï ３ （ ｎ ＝１），
当ｎ ＝０ 时 ， Ｓ ｎ ＋１ ｎ Ｓ ＝（ Ｓ ｎ＋１） ｎ Ｓ ＋１， ２ Ｓ ＝ １＝ Ｓ １ 又知ｂ １＝ ３ ，∴ ｂ ｎ＝ í ï ８ ｎ －２ 则Ｔ １＝ ｂ １＝ ３ ．
≥２ ， ｎ ＋１（ ｎ－ ｎ －１）＝（ ｎ＋１）（
Ｓ
ｎ ＋１－ ｎ
Ｓ
）， ８
î
ï
ｎ －２
３×４
ｎ －１ （
ｎ
≥２），
８
整 从 化 理 而 简 ， ， Ｓ Ｓ 得 得 ２ １ ＋ ＋ １ １ Ｓ Ｓ · ２ｎ ｎ ＋ ＋ Ｓ Ｓ Ｓ １ ３ ２ ｎ ＝ ＋ ＋ ＝ Ｓ １ １ Ｓ · ｎ ＋ ｎ １ ＋１ … ， Ｓ ∴ ｎ · － ａ １＋ Ｓ ｎ Ｓ ＋ Ｓ ｎ １ － ｎ ｎ １ ＝ ＋ ＋ ＋ １ １ １ ， １ ， 则 ＝ 有 Ｓ Ｓ ３ ２ Ｓ · ｎ － ｎ １ Ｓ Ｓ ＋ ＋ ４ ３ １ １ · ＝ … Ｓ ｎ · ＋ ｎ １ ， Ｓ Ｓ ｎ ＋ ｎ １ ， 当 则 ｎ Ｔ ≥ ｎ ２ ＝ 时 ８ ３ ， ｂ ＋ ｎ＝ æ è ç （ ４ ４ ２－ ｎ １ ２ － ＋ ２ ＋ （ １ ３ ４ １ － × ） ４ ４ （ ２ ｎ － ＋ ４ － １ １ ２ １ ｎ ＋ － ） １ １ ＋ （ ö ø ÷ ４ １ ＋ ） ＝ … ＋ ４ １ ｎ ＋ ） － １ ２ ＋ æ è ç １ ４ － ｎ － ４ １ ２ ＋ ｎ － １ １ １ ＋ － １ ４ ， ｎ － １ １ ＋１ ö ø ÷ ＝ ８ ７
综上 λ 所述 时 ， ａ 数 ｎ＝ 列 １（ ａ ｎ ∈ 是 Ｎ∗ 等 ） 差 ． 数列． － ４ ｎ － １ １ ＋１ ，
∴ ＝０ ， ｛ ｎ｝
又当ｎ
＝１
时
，
Ｔ
１＝
３ 符合上式
，∴
Ｔ
ｎ＝
７
－ ｎ －
１
１ （
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
８ ８ ４ ＋１
专题六 数列 ３７３
( )ｎ
－１
９ 利用错位相减法可求出Ｗ的表达式 结合Ｗ
， ， ＝１００－２００·
１０
( )ｎ
９ 可求出答案．
例 （２０２０河北邯郸大名一中周测，１０） 垛积术 隙
“ ”（ １０
积术 是由北宋科学家沈括在 梦溪笔谈 中首创 南宋数学家杨 ( )ｎ －１
） 《 》 ， 解析 由题意，得第ｎ层货物的总价为ｎ· ９ 万元，设
辉 元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法 有茭草
、 ， ( １０ )
垛
示
、
的
方垛
茭
、
草
刍
垛
童垛
自
、
三
上
角
而
垛
下
，
等
第
等
一
．某
层
仓库
件
中
以
部
后
分
每
货
一
物
层
堆
比
放
上
成
一
如
层
图所
多
这堆货物的总价为Ｗ万元，则Ｗ ＝１＋２× ９ ＋３× ９
２
＋ … ＋ ｎ·
１０ １０
“ ”： ， １ ， ( )ｎ ( ) ( ) ( )ｎ
件 最后一层是ｎ件．已知第一层货物的单价为 万元 从第二
９
－１
，９ Ｗ ９ ９
２
９
３
… ｎ· ９ ，
１ ， １ ， ＝１× ＋２× ＋３× ＋ ＋
１０ １０ １０ １０ １０ １０
层起 货物的单价是上一层单价的 ９ ．若这堆货物的总价是 ( )ｎ ( ) ( )
， 两式相减得 １ Ｗ ｎ· ９ ９ ９ ２ ９ ３ …
[ ( )ｎ]
１０
１０
＝－
１０
＋１＋
１０
＋
１０
＋
１０
＋ ＋
９ 万元 则ｎ的值为 ( )ｎ
１００－２００ ， （ ） ９
１０ ( )ｎ －１ ( )ｎ １－ ( )ｎ ( )ｎ
９ ｎ· ９ １０ ｎ· ９ · ９ ，
＝－ ＋ ＝－ ＋１０－１０
１０ １０ ９ １０ １０
１－
１０
( )ｎ ( )ｎ ( )ｎ
则Ｗ ｎ· ９ · ９ ９ ，
＝－１０ ＋１００－１００ ＝１００－２００
１０ １０ １０
解得ｎ ，故选 ．
＝１０ Ｄ
Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０
答案 Ｄ
解题导引 由题意 第一层货物的总价为 万元 第二层货
， １ ，
( ) 方法总结 本题以数学文化为背景考查数列求和 考
物的总价为 ９ 万元 第三层货物的总价为 ９ ２ 万元 （１） ，
２× ， ３× ， 查数学建模 数学抽象 数学运算的核心素养．
１０ １０ 、 、
( )ｎ －１ 认真阅读题意 理解数量关系
第ｎ层货物的总价为ｎ ９ 万元 可设这堆货物的总 （２）① ， ；
……， · ， 建立相应的数学模型
１０ ② ；
( ) ２ 求解数学模型 得出数学结论．
价为Ｗ万元 从而可得到 Ｗ ９ ９ ｎ ③ ，
， ＝１＋２× ＋３× ＋…＋ ·
１０ １０
此人第二天走了九十六里路
Ａ．
此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
Ｂ．
此人第三天走的路程占全程的 １
１．（２０２０山东潍坊６月模拟）在我国古代著名的数学专著 九章 Ｃ．
《 ８
算术 里有一段叙述 今有良马与驽马发长安至齐 齐去长安 此人后三天共走了 里路
》 ： ， Ｄ． ４２
一千一百二十五里 良马初日行一百零三里 日增十三里 驽马 答案 ＡＢＤ
， ， ；
初日行九十七里 日减半里 良马先至齐 复还迎驽马 二马相 ３．（２０２０山东省实验中学期中）古代数学著作 九章算术 有如下问
， ； ， ， 《 》
逢．问相逢时良马比驽马多行 题 今有女子善织 日自倍 五日织五尺 问日织几何 意思是
（ ） ：“ ， ， ， ？”
里 里 一女子善于织布 每天织的布都是前一天的 倍 已知她 天共
Ａ．５４０ Ｂ．４２６ “ ， ２ ， ５
里 里 织布 尺 问这女子每天分别织布多少 根据上述已知条件 若要
Ｃ．９６３ Ｄ．１１４ ５ ， ？” ，
答案 Ａ 使织布的总尺数不少于 尺 则至少需要
３０ ， （ ）
２．（多选题）（２０２１ 届江苏栟茶中学学情调研）在 增减算法统 天 天
《 Ａ．６ Ｂ．７
宗 中有这样一则故事 三百七十八里关 初行健步不为难 天 天
》 ：“ ， ， Ｃ．８ Ｄ．９
次日脚痛减一半 如此六日过其关 ．则下列说法正确的是 答案 Ｃ
， ”
（ ）
３７４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )ｎ
ｎ １ １
＋ｎ
θ ２ ＋１ ．
∴ ｓｉｎ ｎ＝ [ ( )ｎ ]
２
( )ｘ ｎ２ ｎ １ １
例 设函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ １ ＋ｘ １ ， Ｏ为坐标原点 ， Ａ ｎ 为函 (
＋
)ｎ ２
＋ｎ
＋ ( １ )ｎ
２ ＋１
θ １ １ １ １ １ ，
数ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
图象上横坐标为ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
的点
，
向量Ｏ→Ａ
ｎ
与向量ｉ
＝
∴ ｔａｎ ｎ＝
２
＋ｎ（ｎ
＋１
）＝
２
＋ ｎ －ｎ
＋１
因此数列｛ θ ｝的前ｎ项和为
的夹角为θ 则满足 θ θ θ θ ５ 的 ｔａｎ ｎ
（１，０） ｎ， ：ｔａｎ １＋ｔａｎ ２＋ｔａｎ ３＋…＋ｔａｎ ｎ＜ [ ( )ｎ]
３ １ １
最大整数ｎ的值为 ． × １－
θ θ … θ ２ ２ １
( ( )ｎ ) ｔａｎ １＋ｔａｎ ２＋ ＋ｔａｎ ｎ＝ ＋１－ｎ
解析 由题意可得Ａ ｎ，ｎ １ １ ， Ｏ为坐标原点， １ ＋１
ｎ ＋ｎ ∵ １－
２ ＋１ ２
( ( )ｎ ) ( )ｎ ( )ｎ ( )ｎ
Ｏ→Ａ ｎ，ｎ １ １ ， 向量Ｏ→Ａ 与向量ｉ （ ， ）的夹角 １ １ ，令 １ １ ５ ， １ １ １ ，
∴ ｎ＝ ＋ｎ ∵ ｎ ＝ １ ０ ＝２－ －ｎ ２－ －ｎ ＜ ∴ ＋ｎ ＞
２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ ３ ２ ＋１ ３
ｎ 令ｎ ， ， ， ，分别代入验证知，最大整数ｎ的值为 ，故答
为θ ， θ ． ＝１ ２ ３ ４ ３
ｎ ∴ ｃｏｓ ｎ＝ [ ( )ｎ ] 案为 ．
ｎ２ ｎ １ １ ２ ３
＋ ＋ｎ 答案
２ ＋１ ３
首先给出ａ 接着复制该项后 再添
１，１，２，１，１，２，４，８，…， １＝１， ，
加其后继数 于是ａ ａ 然后再复制前面的所有项
２， ２＝１， ３＝２， １，
再添加 的后继数 于是ａ ａ ａ ａ 接下
１．（２０２０ 山东师范大学附中最后一卷）对ｎ个不同的实数 ａ １ 来 ，２ 再 ， 复制前面 ２ 的所有项 ４， ４＝１， ５＝ 再 １， 添 ６ 加 ＝２， ７＝４， 如此
１，
１，１，２，１，１，２，４， ８，……，
ａ
行
２，
的
…
数
， ａ
阵
ｎ
．
可
对
得
第
ｎ
ｉ
！
行
个
ａ
不同
ａ
的排列
ａ
， 每
记
个
ｂ
排列为
ａ
一行
ａ
写成
ａ
一个ｎ ！ 继续 ， 则ａ ２０１９＝ （ ）
ｉ １， ｉ ２，…， ｉｎ， ｉ＝－ ｉ １＋２ ｉ ２－３ ｉ ３＋…＋
Ａ．１６ Ｂ．４ Ｃ．２ Ｄ．１
（－１） ｎｎａ ｉｎ， ｉ ＝１，２，３，…， ｎ ！ ．例如用 １，２，３ 可得数阵如图 ， 对于 答案 Ｄ
此数阵中每一列各数之和都是 所以ｂ ｂ ｂ ３．（２０２０课标Ⅱ理，１２，５分） 周期序列在通信技术中有着
１２， １＋ ２＋…＋ ６＝－１２＋２× ０－１
．那么 在用 形成的数阵中 ｂ ｂ 重要应用．若序列ａ ａ ａ 满足ａ ｉ 且
１２ ｂ －３ 等 ×１ 于 ２＝－２４ ， １，２，３，４，５ ， １＋ ２＋… 存在正整数ｍ 使得 １ ａ ２… ａ ｎ… ｉ ｉ∈｛ 成 ０， 立 １｝ 则 （ 称 ＝１ 其 ，２ 为 ，…）， 周
＋ １２０ （ ） ， ｉ ＋ ｍ＝ ｉ（ ＝１，２，…） ， ０－１
期序列 并称满足ａ ａ ｉ 的最小正整数ｍ为这个
１ ２ ３ ， ｉ ＋ ｍ＝ ｉ（ ＝１，２，…）
序列的周期．对于周期为 ｍ 的 序列 ａ ａ ａ Ｃ ｋ
１ ３ ２ ０－１ １ ２… ｎ…， （ ）＝
ｍ
２ １ ３ １ ａａ ｋ ｍ 是描述其性质的重要指标．下列
２ ３ １
ｍ ∑ｉ＝
１
ｉ ｉ ＋ ｋ（ ＝１，２，…， －１）
３ １ ２ 周期为 的 序列中 满足 Ｃ ｋ １ ｋ 的序
５ ０－１ ， （ ）≤ （ ＝１，２，３，４）
３ ２ １ ５
列是
Ａ．－３６００ Ｂ．－１８００ （ ）
Ｃ．－１０８０ Ｄ．－７２０ Ａ．１１０１０… Ｂ．１１０１１…
答案 Ｃ
Ｃ．１０００１… Ｄ．１１００１…
２．（２０２０上海建平中学期中，１６）数列 ａ 为 答案 Ｃ
｛ ｎ｝ １，１，２，１，１，２，４，
考点一 数列求和 ３．（２０１７课标Ⅱ，１５，５分）等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ａ
｛ ｎ｝ ｎ， ３＝
１．（２０２０浙江，１１，４分）我国古代数学家杨辉 朱世杰等研究过 ｎ
， Ｓ 则 １ ．
高阶等差数列的求和问题 如数列 {ｎ （ ｎ ＋１） } 就是二阶等差数 ３， ４＝１０， ∑ｋ＝ １ Ｓ ｋ ＝
， ｎ
２ 答案 ２
列．数列 {ｎ （ ｎ ＋１） }
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
的前
３
项和是 ．
４．（２０１６ 北
ｎ
京
＋１
，１２，５分）已知 ａ 为等差数列 Ｓ 为其前 ｎ 项
２ ｛ ｎ｝ ， ｎ
答案 和．若ａ ａ ａ 则Ｓ ．
１０ １＝６， ３＋ ５＝０， ６＝
２．（２０２０课标Ⅰ文，１６，５分）数列 ａ 满足ａ ｎａ ｎ 答案
｛ ｎ｝ ｎ ＋２＋（－１） ｎ＝３ － ６
１， 前 １６ 项和为 ５４０， 则ａ １＝ ． ５．（２０２０课标Ⅰ理，１７，１２ 分）设 ｛ ａ ｎ｝ 是公比不为 １ 的等比数
答案 列 ａ 为ａ ａ 的等差中项．
７ ， １ ２， ３
专题六 数列 ３７５
求 ａ 的公比 ｂ ａ ａ Ｓ ｂ ．
（１） ｛ ｎ｝ ； １２， ３＝ ４－２ １， １１＝１１ ４
若ａ 求数列 ｎａ 的前ｎ项和． 求 ａ 和 ｂ 的通项公式
（２） １＝１， ｛ ｎ｝ （１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ；
６．（２０２０课标Ⅲ理，１７，１２分）设数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
１＝３，
ａ
ｎ ＋１＝３
ａ
ｎ （２）
求数列
｛
ａ
２ ｎ
ｂ
２ ｎ －１｝
的前ｎ项和
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
－４
ｎ． １０．（２０１６山东，１８，１２分）已知数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝３
ｎ２
＋
（１） 计算ａ ２， ａ ３， 猜想 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式并加以证明 ； ８ ｎ ，｛ ｂ ｎ｝ 是等差数列 ， 且ａ ｎ＝ ｂ ｎ＋ ｂ ｎ ＋１ ．
求数列 ｎａ 的前ｎ项和Ｓ ． 求数列 ｂ 的通项公式
（２） ｛２ ｎ｝ ｎ （１） ｛ ｎ｝ ；
７．（２０２０天津，１９，１５分）已知 ｛ ａ ｎ｝ 为等差数列 ，｛ ｂ ｎ｝ 为等比数 令ｃ （ ａ ｎ＋１） ｎ ＋１ 求数列 ｃ 的前ｎ项和Ｔ ．
列 ａ ｂ ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ． （２） ｎ＝ ｂ ｎ ， ｛ ｎ｝ ｎ
， １＝ １＝１， ５＝５（ ４－ ３）， ５＝４（ ４－ ３） （ ｎ＋２）
求 ａ 和 ｂ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ；
（２）
记
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
求证
：
Ｓ
ｎ
Ｓ
ｎ ＋２＜
Ｓ２ｎ
＋１（
ｎ
∈
Ｎ∗
）；
考点二 数列的综合应用
ì ａ ｂ １１．（２０１９课标Ⅱ，１９，１２分）已知数列 ａ 和 ｂ 满足ａ
ï（３ ｎ－２） ｎ ｎ为奇数 ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ １＝１，
ï ａ ａ ， ， ｂ ａ ａ ｂ ｂ ｂ ａ ．
对任意的正整数 ｎ 设 ｃ í ｎ ｎ ＋２ 求数列 １＝０，４ ｎ ＋１＝３ ｎ－ ｎ＋４，４ ｎ ＋１＝３ ｎ－ ｎ－４
（３） ， ｎ＝ï
ï
ａ
ｎ －１ ｎ为偶数． （１）
证明
：｛
ａ
ｎ＋
ｂ
ｎ｝
是等比数列
，｛
ａ
ｎ－
ｂ
ｎ｝
是等差数列
；
îｂ ， 求 ａ 和 ｂ 的通项公式．
ｎ ＋１ （２） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝
ｃ 的前 ｎ项和． １２．（２０１９天津，１９，１４分）设 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数
｛ ｎ｝ ２ ｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝
８．（２０１６课标Ⅱ，１７，１２分）Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项和 且 列．已知ａ ｂ ｂ ａ ｂ ａ ．
ｎ ｛ ｎ｝ ， １＝４， １＝６， ２＝２ ２－２， ３＝２ ３＋４
ａ Ｓ ．记ｂ ａ 其中 ｘ 表示不超过ｘ的最大整 求 ａ 和 ｂ 的通项公式
数 １＝ 如 １， ７ ． ＝２８ ｎ＝［ｌｇ ｎ］ ． ， ［ ］ （１） ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ； { ｋ ｎ ｋ ＋１
，
求
［
ｂ
０９
ｂ
］＝０
ｂ
，［ｌｇ９９］＝１
（２）
设数列
｛
ｃ
ｎ｝
满足ｃ
１＝１，
ｃ
ｎ＝ ｂ
１，２
ｎ
＜ ＜
ｋ
２ ，其中ｋ
∈
Ｎ∗．
（１） １， １１， １０１； ｋ， ＝２ ，
求数列 ｂ 的前 项和． 求数列 ａ ｃ 的通项公式
（２） ｛ ｎ｝ １０００ （ｉ） ｛ ２ ｎ（ ２ ｎ－１）｝ ；
９．（２０１７天津，１８，１３分）已知 ａ 为等差数列 前ｎ项和为Ｓ ｎ
（ ｎ ∈ Ｎ∗ ），｛ ｂ ｎ｝ 是首项为 ２ 的
｛
等
ｎ
比
｝
数列 ， 且公比
，
大于 ０， ｂ ２＋ ｂ ３＝
ｎ
（ｉｉ）
求
∑ｉ
２
＝ １
ａ
ｉ
ｃ
ｉ（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
考点一 数列的求和 ２．（２０１４课标Ⅱ文，５，５分）等差数列 ａ 的公差为 若ａ ａ
｛ ｎ｝ ２， ２， ４，
１．（２０１７课标Ⅰ理，１２，５分）几位大学生响应国家的创业号召
，
ａ
８
成等比数列
，
则
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝ （ ）
开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣 他们推出 ．ｎ ｎ ．ｎ ｎ
， Ａ （ ＋１） Ｂ （ －１）
了 解数学题获取软件激活码 的活动．这款软件的激活码为下 ｎ ｎ ｎ ｎ
“ ” ． （ ＋１） ． （ －１）
面数学问题的答案 已知数列 Ｃ Ｄ
： １，１，２，１，２，４，１，２，４，８，１，２，４， ２ ２
８，１６，…， 其中第一项是 ２ ０ ， 接下来的两项是 ２ ０ ，２ １ ， 再接下来的 答案 Ａ ∵ ａ ２， ａ ４， ａ ８ 成等比数列 ，
三项是 ２ ０ ，２ １ ，２ ２ ， 依此类推．求满足如下条件的最小整数Ｎ ： Ｎ ＞ ∴ ａ２ ４＝ ａ ２· ａ ８， 即 （ ａ １＋３ ｄ ） ２ ＝（ ａ １＋ ｄ ）（ ａ １＋７ ｄ ），
且该数列的前Ｎ项和为 的整数幂．那么该款软件的激活 将ｄ 代入上式 解得ａ
１００ ２ ＝２ ， １＝２，
码是 ｎ ｎ
（ ） Ｓ ｎ （ －１）·２ ｎ ｎ 故选 ．
∴ ｎ＝２ ＋ ＝ （ ＋１）， Ａ
Ａ．４４０ Ｂ．３３０ Ｃ．２２０ Ｄ．１１０ ２
答案 Ａ 本题考查了等比数列求和 不等式以及逻辑推理 ３．（２０１２课标文，１２，５分）数列 ａ 满足ａ ｎａ ｎ
、 ｛ ｎ｝ ｎ ＋１＋（－１） ｎ＝２ －１，
能力． 则 ａ 的前 项和为
｛ ｎ｝ ６０ （ ）
不妨设 ｎ －１ ｔ ｍ 其
１＋（１＋２）＋…＋（１＋２＋…＋２ ）＋（１＋２＋…＋２）＝２ （ Ａ．３６９０ Ｂ．３６６０ Ｃ．１８４５ Ｄ．１８３０
中ｍ ｎ ｔ Ｎ ｔ ｎ 答案 Ｄ 当ｎ ｋ时 ａ ａ ｋ
、 、∈ ，０≤≤ ）， ＝２ ， ２ ｋ ＋１＋ ２ ｋ＝４ －１，
ｎ ｎ 当ｎ ｋ 时 ａ ａ ｋ
则有Ｎ （ ＋１） ｔ 因为Ｎ 所以ｎ ． ＝２ －１ ， ２ ｋ－ ２ ｋ －１＝４ －３，
＝ ＋ ＋１， ＞１００， ≥１３ ａ ａ ａ ａ
２ ∴ ２ ｋ ＋１＋ ２ ｋ －１＝２，∴ ２ ｋ ＋１＋ ２ ｋ ＋３＝２，
由等比数列的前ｎ项和公式可得 ｎ ＋１ ｎ ｔ ＋１ ｍ． ａ ａ
２ － －２＋２ －１＝２ ∴ ２ ｋ －１＝ ２ ｋ ＋３，
因为ｎ 所以 ｎ ｎ ａ ａ ａ ．
≥１３， ２ ＞ ＋２， ∴ １＝ ５＝…＝ ６１
所以 ｎ ＋１ ｎ ｎ 即 ｎ ＋１ ｎ ｎ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
因为
２
ｔ ＋１
＞２ ＋ ＋２， ２ － －２＞２ ， ∴ １＋ ２＋ ３＋…＋ ６０＝（ ２＋ ３）＋（ ４＋ ５）＋…＋（ ６０＋ ６１）＝３＋７＋
２ －１＞０， ３０×（３＋１１９） ．
所以 ｍ ｎ ＋１ ｎ ｎ 故ｍ ｎ １１＋…＋（２×６０－１）＝ ＝３０×６１＝１８３０
２ ＞２ － －２＞２ ， ≥ ＋１， ２
因为
２
ｔ ＋１
－１≤２
ｎ ＋１
－１，
所以
２
ｍ
≤２
ｎ ＋２
－
ｎ
－３，
故ｍ
≤
ｎ
＋１
． ４．（２０１５江苏理，１１，５分）设数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
１＝１，
且ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｎ
所以ｍ ｎ 从而有ｎ ｔ ＋１ 因为ｎ 所以ｔ ． { }
＝ ＋１， ＝２ －３， ≥１３， ≥３ ｎ Ｎ∗ 则数列 １ 前 项的和为 ．
当ｔ 时 Ｎ 不合题意 ＋１（ ∈ ）， ａ １０
＝３ ， ＝９５， ； ｎ
当ｔ 时 Ｎ 满足题意 故所求Ｎ的最小值为 ．
＝４ ， ＝４４０， ， ４４０ 答案 ２０
解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出ｍ ｎ
＝ １１
． 解析 由已知得 ａ ａ ａ ａ ａ ａ
＋１ ， ２－ １＝１＋１， ３－ ２＝２＋１， ４－ ３＝３＋１，
一题多解 本题也可以分别把Ｎ 代入 利用排 ａ ａ ｎ ｎ 则有ａ ａ ｎ
＝１１０，２２０，３３０ ， ……， ｎ－ ｎ －１＝ －１＋１（ ≥２）， ｎ－ １＝１＋２＋３＋…＋ －１＋
除法求解． ｎ ｎ 因为ａ 所以ａ ｎ ｎ 即
（ －１）（ ≥２）， １＝１， ｎ＝１＋２＋３＋…＋ （ ≥２），
３７６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ａ
ｎ２
＋
ｎ
ｎ 又当ｎ 时 ａ 也适合上式 故ａ
ｎ２
＋
ｎ
记
{ ａ
ｎ
}
的前ｎ项和为Ｓ ．
ｎ＝ （ ≥２）， ＝１ ， １＝１ ， ｎ＝ （２） ｎ ｎ
２ ２ ２ ＋１
( )
ａ
（ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 所以 ａ １ ｎ ＝ｎ２ ２ ＋ ｎ＝２ １ ｎ －ｎ ＋ １ １ ， 从而 ａ １ １ ＋ａ １ ２ ＋ａ １ ３ ＋…＋ 由 （１） 知 ２ ｎ ＋ ｎ １ ＝ （２ ｎ ＋１） ２ （２ ｎ －１） ＝ ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ １ ＋１ ．
( ) ( ) ( )
ｎ
１ １ １ １ １ １ 则Ｓ １ １ １ １ １ １ ２ ．
ａ ＝ ２ × １－ ＋ ２ × － ＋ ２ × － ＋ … ＋ ２ × ｎ＝ － ＋ － ＋…＋ ｎ － ｎ ＝ ｎ
( １０ ) ２ ( ) ２ ３ ３ ４ １ ３ ３ ５ ２ －１ ２ ＋１ ２ ＋１
思路分析 条件ａ ａ ｎ ａ ｎ的实质就是
１ － １ ＝２× １－ １ ＝ ２０． （１） １＋３ ２＋…＋（２ －１） ｎ＝２
５．（２ １０ ０１８ １１ 天津理，１８， １ １ １ ３分 １ ） １ 设 ａ 是等比数列 公比大于 其 数列 ｛（２ ｎ －１） ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ， 故可利用ａ ｎ 与Ｓ ｎ 的关系求解．
前ｎ项和为Ｓ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），｛
ｂ
ｎ｝
｛ 是 ｎ 等 ｝ 差数列．已知 ， ａ
１＝１，
ａ
３＝
０， ａ
２＋
（
易
２）
错
利
警
用
示
（ １）
（
求
１）
得
要
的
注
｛
意
ａ ｎ｝
ｎ
的
＝１
通
时
项
，
公
是
式
否
，
符
然
合
后
所
用
求
裂
得
项
的
相
通
消
项
法求
公
和
式
．
；
ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ．
２， ４ 求 ＝ ３ ａ ＋ ５ 和 ， ５ ｂ ＝ ４ 的 ＋２ 通 ６ 项公式 （２） 裂项相消后 ， 注意留下了哪些项 ， 避免遗漏．
（ （ １ ２ ） ） 设 ｛ 数列 ｎ｝ ｛ Ｓ ｛ ｎ｝ 的 ｎ｝ 前ｎ项和为 ； Ｔ ｎ（ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ． ７．（ 列 ２０ 且 １７ ｘ 山东 ｘ 理，１ ｘ ９， ｘ １２分 ． ）已知 ｛ ｘ ｎ｝ 是各项均为正数的等比数
求Ｔ ， １＋ ２＝３， ３－ ２＝２
解 （ （ 析 ｉ ｉｉ ） ） 证 本 明 小 ｎ； ∑ 题 ｋ＝ ｎ １ 主 （ （ 要 ｋ Ｔ ＋ 考 ｋ １ ＋ ） 查 ｂ （ ｋ ＋ ｋ 等 ２） ＋ 差 ｂ ２ ｋ ） 数 ＝ 列 ｎ ２ ＋ ｎ ＋ 的 ２ ２ － 通 ２（ 项 ｎ ∈ 公 Ｎ 式 ∗ ） 等 ． 比数列的通 （ （ １ ２ ） ） 求 如 （ ｘ 数 图 ２，２ 列 ， ） 在 ｛ ， 平 … ｘ ｎ｝ 面 ， Ｐ 的 直 ｎ ＋ 通 １ 角 （ 项 ｘ 坐 ｎ ＋ 公 １ 标 ， 式 ｎ 系 ＋ ； １ ｘ ） Ｏ 得 ｙ 到 中 折 ， 依 线 次 Ｐ 连 １ Ｐ 接 ２… 点 Ｐ ｎ Ｐ ＋１ １（ ， 求 ｘ １， 由 １） 该 ， 折 Ｐ ２
， 线与直线ｙ ｘ ｘ ｘ ｘ 所围成的区域的面积Ｔ ．
项公式及其前ｎ项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方 ＝０， ＝ １， ＝ ｎ ＋１ ｎ
法和运算求解能力．
设等比数列 ａ 的公比为ｑ．
（１） ｛ ｎ｝
由ａ ａ ａ 可得ｑ２ ｑ ．
１＝１， ３＝ ２＋２， － －２＝０
因为ｑ
＞０，
可得ｑ
＝２，
故ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
设等差数列 ｂ 的公差为ｄ． 解析 本题考查等比数列基本量的计算 错位相减法求和．
｛ ｎ｝ ，
由ａ ｂ ｂ 可得ｂ ｄ ． 设数列 ｘ 的公比为ｑ 由已知知ｑ ．
４＝ ３＋ ５， １＋３ ＝４ （１） ｛ ｎ｝ ， ＞０
由ａ ｂ ｂ 可得 ｂ ｄ {ｘ ｘ ｑ
５＝ ４＋２ ６， ３ １＋１３ ＝１６， 由题意得 １＋ １ ＝３，
从 所 而 以 ， ｂ 数 １＝ 列 １， ｛ ｄ ａ ＝ ｎ｝ １， 的 故 通 ｂ 项 ｎ＝ 公 ｎ． 式为ａ ｎ＝２ ｎ －１ ， 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式 所以 ３ ｑ２ －５ ｘ ｑ １ － ｑ ２ ２ － ＝ ｘ ０ １ ． ｑ ＝２ ．
为ｂ ｎ＝ ｎ． 因为ｑ
＞０，
（２）（ｉ） 由 ｎ （１）， 有Ｓ ｎ＝ １ １ － － ２ ２ ｎ ｎ ＝２ ｎ －１， ｎ 所 因 以 此数 ｑ ＝ 列 ２ ｛ ， ｘ ｘ １ ｎ｝ ＝ 的 １ ． 通项公式为ｘ ｎ＝２ ｎ －１．
故Ｔ ｎ＝ ∑ｋ＝
１
（２ ｋ － １） ＝ ∑ｋ＝
１
２ ｋ － ｎ ＝ ２×（
１
１
－
－
２
２ ） － ｎ ＝２ ｎ ＋１ － ｎ －２ ． （２）
Ｑ
过 Ｐ
．
１， Ｐ ２，…， Ｐ ｎ ＋１ 向 ｘ 轴作垂线 ， 垂足分别为 Ｑ １， Ｑ ２，
（ｉｉ） 证明 ： 因为（ ｋ Ｔ ｋ＋ ｂ ｋ ＋ ｋ ２） ｂ ｋ ＝ （２ ｋ ＋ ｋ １ － ｋ －２＋ ｋ ｋ ＋２） ｋ … 由 ， （１） ｎ ＋ 得 １ ｘ ｎ ＋１－ ｘ ｎ＝２ ｎ －２ ｎ －１ ＝２ ｎ －１ ，
（ ＋１）（ ＋２） （ ＋１）（ ＋２） 记梯形Ｐ Ｐ Ｑ Ｑ 的面积为ｂ
ｋ ·２ ｋ ＋１ ２ ｋ ＋２ ２ ｋ ＋１ 所 以 ｎ （ Ｔ ｋ＋ ｂ ｋ ＋２） ｂ ｋ ｎ ｎ ＋ ｎ １ ｎ ｎ ＋１ ｎ ｎ，
＝ （ ｋ ＋１）（ ｋ ＋２） ＝ ｋ ＋２ － ｋ ＋１ ， ， ∑ｋ＝ １ （ ｋ ＋１）（ ｋ ＋２） ＝ 由题意ｂ ｎ＝ （ ＋ ＋１） ×２ ｎ －１ ＝（２ ｎ ＋１）×２ ｎ －２ ，
( ) ( ) ( ｎ ｎ ) ｎ ２
２ ３ ２ ２ ２ ４ ２ ３ ２ ＋２ ２ ＋１ ２ ＋２ ． 所以Ｔ ｂ ｂ ｂ
－ ＋ － ＋…＋ ｎ －ｎ ＝ｎ －２ ｎ＝ １＋ ２＋…＋ ｎ
方 ３ 法总 ２ 结 解 ４ 决数 ３ 列求和问题 ＋２ 的两 ＋ 种 １ 思路 ＋２ ＝３×２ －１ ＋５×２ ０ ＋７×２ １ ＋…＋（２ ｎ －１）×２ ｎ －３ ＋（２ ｎ ＋１）×２ ｎ －２ ，①
利用转 化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列 ２ Ｔ ｎ＝３×２ ０ ＋５×２ １ ＋７×２ ２ ＋…＋（２ ｎ －１）×２ ｎ －２ ＋（２ ｎ ＋１）×２ ｎ －１． ②
（１） ， 得
这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成． ①－②
不能转化为等差或等比数列的 往往通过裂项相消法 倒 － Ｔ ｎ＝３×２ －１ ＋（２＋２ ２ ＋…＋２ ｎ －１ ）－（２ ｎ ＋１）×２ ｎ －１
（２） ， 、 ｎ
序相加法等来求和． ３ ２（１－２ －１ ） ｎ ｎ －１．
＝ ＋ －（２ ＋１）×２
６．（２０１７课标Ⅲ文，１７，１２分）设数列 ａ 满足ａ ａ ｎ ２ １－２
｛ ｎ｝ １＋３ ２＋…＋（２ ｎ ｎ
ａ ｎ． 所以Ｔ （２ －１）×２ ＋１．
－１） ｎ＝２ ｎ＝
求 ａ 的通项公式 ２
（１） ｛ ｎ｝ ； 解题关键 记梯形Ｐ Ｐ Ｑ Ｑ 的面积为 ｂ 以几何图形为
求数列 { ａ ｎ } 的前ｎ项和． 背景确定 ｂ 的通项公 ｎ 式 ｎ ＋１ 是 ｎ 关 ＋１ 键 ｎ ． ｎ，
（２） ｎ ｛ ｎ｝
２ ＋１ 方法总结 一般地 如果 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数列
解析 因为ａ ａ ｎ ａ ｎ 故当ｎ 时 ， ｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝ ，
（１） １＋３ ２＋…＋（２ －１） ｎ＝２ ， ≥２ ， 求数列 ａ ｂ 的前ｎ项和时 可采用错位相减法．在写 Ｓ
ａ ａ ｎ ａ ｎ ． ｛ ｎ· ｎ｝ ， “ ｎ”
１＋３ ２＋…＋（２ －３） ｎ －１＝２（ －１） 与 ｑＳ 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一
两式相减得 ｎ ａ ． “ ｎ” “ ”，
（２ －１） ｎ＝２ 步准确写出 Ｓ ｑＳ 的表达式．
“ ｎ－ ｎ”
所以ａ ｎ＝ ２ ｎ ２ －１ （ ｎ ≥２） ． ８．（２０１６课标Ⅱ文，１７，１２分）等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ ３＋ ａ ４＝４， ａ ５＋
又由题设可得ａ
１＝２，
ａ
７＝
求
６
．
ａ 的通项公式
从而
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式为ａ
ｎ＝ ｎ
２
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
． （１）
设
｛
ｂ
ｎ｝
ａ 求数列
；
ｂ 的前 项和 其中 ｘ 表示不超
２ －１ （２） ｎ＝［ ｎ］， ｛ ｎ｝ １０ ， ［ ］
专题六 数列 ３７７
过ｘ的最大整数
，
如
［０
．
９］＝０，［２
．
６］＝２
． 因此ｃ
ｎ＝
ａ
ｎ＋
ｂ
ｎ＝２
ｎ
－１＋３
ｎ －１．
（８
分
）
解析 设数列 ａ 的公差为ｄ 由题意有 ａ ｄ ａ 从而数列 ｃ 的前ｎ项和
（１） ｛ ｎ｝ ， ２ １＋５ ＝４， １＋ ｛ ｎ｝
５ ｄ ＝３ ． Ｓ ｎ＝１＋３＋…＋（２ ｎ －１）＋１＋３＋…＋３ ｎ －１
解得ａ ｄ ２ ． 分 ｎ （１＋２ ｎ －１） １－３ ｎ
１＝１， ＝ （３ ） ＝ ＋
５ ２ １－３
ｎ ｎ
所以 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝ ２ ＋３． （５ 分 ） ＝ ｎ２ ＋ ３ －１． （１３ 分 ）
（２） 由 （１） 知 ， ｂ ｎ＝
[
２
ｎ
＋３
]
．
５
（６ 分 ）
规范解答 ２ 要规范解答过程
，
分步书写
，
这样可按步得分．
５ １１．（２０１６天津理，１８，１３分）已知 ｛ ａ ｎ｝ 是各项均为正数的等差
ｎ
当ｎ
＝１，２，３
时
，１≤
２ ＋３
＜２，
ｂ
ｎ＝１；
数列
，
公差为ｄ．对任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
ｂ
ｎ
是ａ
ｎ
和ａ
ｎ ＋１
的等比中项．
ｎ
５
（１）
设ｃ
ｎ＝
ｂ２ｎ
＋１－
ｂ２ｎ， ｎ
∈
Ｎ∗
，
求证
：
数列
｛
ｃ
ｎ｝
是等差数列
；
当ｎ ＝４，５ 时 ，２≤ ２
５
＋
ｎ
３ ＜３， ｂ ｎ＝２；
（２）
设ａ
１＝
ｄ
，
Ｔ
ｎ＝ ∑ｋ
２
＝
ｎ
１ （－１）
ｋｂ２ｋ， ｎ
∈
Ｎ∗
，
求证
：∑ｋ＝
ｎ
１ Ｔ
１
ｋ ＜ ２
１
ｄ２
．
当ｎ ＝６，７，８ 时 ，３≤ ２
５
＋３ ＜４， ｂ ｎ＝３； 解析 （１） 证明 ： 由题意得ｂ２ｎ＝ ａ ｎ ａ ｎ ＋１， 有ｃ ｎ＝ ｂ２ｎ ＋１－ ｂ２ｎ＝ ａ ｎ ＋１·
当ｎ 时 ２ ｎ ＋３ ｂ ． 分
ａ
ｎ ＋２－
ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋１＝２
ｄａ
ｎ ＋１，
因此ｃ
ｎ ＋１－
ｃ
ｎ＝２
ｄ
（
ａ
ｎ ＋２－
ａ
ｎ ＋１）＝２
ｄ２
，
＝９，１０ ，４≤ ５ ＜５， ｎ＝４ （１０ ） 所以 ｛ ｃ ｎ｝ 是等差数列．
所以数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前
１０
项和为
１×３＋２×２＋３×３＋４×２＝２４
．
（２）
证明
：
Ｔ
ｎ＝（－
ｂ２
１＋
ｂ２
２）＋（－
ｂ２
３＋
ｂ２
４）＋…＋（－
ｂ２
２ ｎ －１＋
ｂ２
２ ｎ）
分 ｄ ａ ａ ａ
（１２ ） ＝２ （ ２＋ ４＋…＋ ２ ｎ）
评析 本题考查了等差数列，同时对考生的创新能力进行了考
ｄ
ｎ
（
ａ
２＋
ａ
２ ｎ） ｄ２ｎ ｎ ．
查，充分理解［ｘ］的意义是解题的关键． ＝２ · ＝２ （ ＋１）
２
９．（２０１６浙江文，１７，１５分）设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ ．已知 所以 ｎ １ １ ｎ １ １ ｎ ( １ １ ) １
Ｓ ２＝４， ａ ｎ ＋１＝２ Ｓ ｎ＋１， ｎ ∈ Ｎ∗． ( ∑ｋ＝ １ ) Ｔ ｋ ＝ ２ ｄ２ ∑ｋ＝ １ ｋ （ ｋ ＋１） ＝ ２ ｄ２ ∑ｋ＝ １ ｋ －ｋ ＋１ ＝ ２ ｄ２·
（
（
１
２
）
）
求
求
通
数
项
列
公
｛｜
式
ａ ｎ－
ａ
ｎ
ｎ
－
；
２｜｝ { 的 ａ 前 ａ ｎ项和． {ａ 评
１
析
－ｎ
＋
１
１ 本小
＜
２ 题
１ ｄ２
主
．
要考查等差数列及其前ｎ项和公式、等比中
解析 由题意得 １＋ ２＝４， 则 １＝１， 项等基础知识．考查数列求和的基本方法、推理论证能力和运
（１） ａ ａ ａ ．
２＝２ １＋１， ２＝３ 算求解能力．
又当ｎ 时 由ａ ａ Ｓ Ｓ ａ
≥２ ， ｎ ＋１－ ｎ＝（２ ｎ＋１）－（２ ｎ －１＋１）＝２ ｎ， １２．（２０１６天津，１８，１３分）已知 ａ 是等比数列 前ｎ项和为Ｓ
得ａ ａ ． ｛ ｎ｝ ， ｎ
ｎ ＋１＝３ ｎ
所以 ， 数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝３ ｎ －１ ， ｎ ∈ Ｎ∗． （ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 且 ａ １ －ａ １ ＝ａ ２ ， Ｓ ６＝６３ ．
（ 当 设 ２ 数 ） ｎ 设 ≥ 列 ３ ｂ ｎ 时 ｂ ＝ ， ｜ 由 的 ３ ｎ － 于 前 １ － ｎ ３ ｎ － ｎ － 项 ２ １ ＞ ｜ 和 ， ｎ ｎ ＋ 为 ∈ ２， Ｔ Ｎ 故 ∗ ， ｂ 则 ｎ 则 ＝ Ｔ ３ ｂ １ ｎ － ＝ １ － ２ ｎ ， Ｔ － ｂ ２ ２ ＝ ， ｎ １ ． ≥ ． ３ ． （ （ １ ２ ） ） 求 若 ｛ 对 ａ 任 ｎ｝ 意 的 的 通 １ 项 ｎ ∈ 公 ２ Ｎ 式 ∗ ； ３ ， ｂ ｎ 是 ｌｏｇ２ ａ ｎ 和 ｌｏｇ２ ａ ｎ ＋１ 的等差中项 ，
｛ ｎ｝
ｎ －２
ｎ，
ｎ
１＝２，
ｎ
２＝３
ｎ ｎ２ ｎ
求数列
｛（－１）
ｎｂ２ｎ｝ 的前
２
ｎ项和．
当ｎ 时 Ｔ ９（１－３ ） （ ＋７）（ －２） ３ － －５ ＋１１
≥３ ， ｎ＝３＋ － ＝ ， 解析 设数列 ａ 的公比为 ｑ．由已知 有 １ １
１－３ ２ ２ （１） ｛ ｎ｝ ， ａ －ａ ｑ＝
{ ｎ １ １
２， ＝１，
所以Ｔ ｎ＝ ３ ｎ － ｎ２ －５ ｎ ＋１１ ｎ ｎ Ｎ∗． ａ ２ ｑ２， 解得ｑ ＝２， 或ｑ ＝－１ ．
， ≥２， ∈ １
２ ｑ６ ６
易错警示 当ｎ 时 得出ａ ａ 要注意ａ 与ａ 是 又由Ｓ ａ １－ 知ｑ 所以ａ １－２ 得ａ
否满 在 足 去 此 掉 关 绝 系 （ 对 １ 式 ） 值 ． 时 ≥ 要 ２ 考虑 ， ｎ ｎ ＋１ 时 ＝ 的 ３ 情 ｎ， 形．在求和 １ 过程 ２ 中 １ ．所以 ６ ａ ＝ ｎ＝ １· ２ ｎ －１ １ ． － ｑ ＝６３， ≠－１， １· １－２ ＝６３， １＝
（ 要 ２ 注 ） 意项数 ， 最后Ｔ ｎ ， 要写成分段 ＝１ 函 ，２ 数的形式． ， （２） 由题意 ， 得ｂ ｎ＝ １ （ｌｏｇ２ ａ ｎ＋ｌｏｇ２ ａ ｎ ＋１）＝ １ （ｌｏｇ２２ ｎ －１ ＋ｌｏｇ２２ ｎ ）
２ ２
１０．（２０１６北京文，１５，１３ 分）已知 ａ 是等差数列 ｂ 是等
｛ ｎ｝ ，｛ ｎ｝ ｎ １
比数列 且ｂ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ． ＝ － ，
， ２＝３， ３＝９， １＝ １， １４＝ ４ ２
求 ａ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝ ； 即 ｂ 是首项为 １ 公差为 的等差数列．
设ｃ ａ ｂ 求数列 ｃ 的前ｎ项和． ｛ ｎ｝ ， １
（２） ｎ＝ ｎ＋ ｎ， ｛ ｎ｝ ２
解析 等比数列 ｂ 的公比ｑ
ｂ
３ ９ 分
设数列
｛（－１）
ｎｂ２ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｔ
ｎ，
则
（１） ｛ ｎ｝ ＝ｂ
２
＝
３
＝３， （１ ） Ｔ
２ ｎ＝（－
ｂ２
１＋
ｂ２
２）＋（－
ｂ２
３＋
ｂ２
４）＋…＋（－
ｂ２
２ ｎ －１＋
ｂ２
２ ｎ）
ｂ ｎ ｂ ｂ
所以ｂ
１＝ ｑ
２
＝１，
ｂ
４＝
ｂ
３
ｑ
＝２７
．
（３
分
） ＝
ｂ
１＋
ｂ
２＋
ｂ
３＋
ｂ
４＋…＋
ｂ
２ ｎ －１＋
ｂ
２ ｎ＝
２ （ １＋ ２ ｎ）
＝２
ｎ２．
２
设等差数列 ａ 的公差为ｄ． 评析 本题主要考查等差数列、等比数列及其前ｎ项和公式
｛ ｎ｝
因为ａ ｂ ａ ｂ 等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．
１＝ １＝１， １４＝ ４＝２７，
所以 ｄ 即ｄ ． 分 １３．（２０１５福建文，１７，１２ 分）等差数列 ａ 中 ａ ａ ａ
１＋１３ ＝２７， ＝２ （５ ） ｛ ｎ｝ ， ２ ＝４， ４＋ ７
所以ａ ｎ ｎ ． 分 ．
ｎ＝２ －１（ ＝１，２，３，…） （６ ） ＝１５
（２）
由
（１）
知
，
ａ
ｎ＝２
ｎ
－１，
ｂ
ｎ＝３
ｎ －１．
（１）
求数列
｛
ａ
ｎ｝
的通项公式
；
３７８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
（２）
设ｂ
ｎ＝２
ａｎ－２
＋
ｎ
，
求ｂ
１＋
ｂ
２＋
ｂ
３＋…＋
ｂ
１０
的值． 评析 本题考查等比数列通项公式及等比数列性质，等比数
解析 设等差数列 ａ 的公差为ｄ． 列求和．
（１） ｛ ｎ｝
{ａ ｄ １６．（２０１５天津理，１８，１３分）已知数列 ａ 满足ａ ｑａ ｑ为
由已知得 １＋ ＝４， ｛ ｎ｝ ｎ ＋２＝ ｎ（
ａ ｄ ａ ｄ 实数 且ｑ ｎ Ｎ∗ ａ ａ 且ａ ａ ａ ａ ａ ａ
{ａ （ １＋３ ）＋（ １＋６ ）＝１５， 成等 ， 差数列 ≠ ． １）， ∈ ， １＝１， ２＝２， ２＋ ３， ３＋ ４， ４＋ ５
解得 １＝３，
ｄ ． 求ｑ的值和 ａ 的通项公式
＝１ （１） ｛ ｎ｝ ；
所以ａ ａ ｎ ｄ ｎ ． ａ
由
ｎ＝
可
１＋
得
（ －
ｂ
１）
ｎ
＝
ｎ
＋
．
２
（２）
设ｂ
ｎ＝
ｌｏ
ａ
ｇ２ ２ ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和．
（２） （１） ｎ＝２ ＋ ２ ｎ －１
所以ｂ ｂ ｂ ｂ ２ ３ １０ 解析 由已知 有 ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
１＋ ２＋ ３＋…＋ １０＝（２＋１）＋（２ ＋２）＋（２ ＋３）＋…＋（２ ＋ （１） ， （ ３＋ ４）－（ ２＋ ３）＝（ ４＋ ５）－（ ３＋
ａ 即ａ ａ ａ ａ
１０） ４）， ４－ ２＝ ５－ ３，
２ ３ １０ 所以ａ ｑ ａ ｑ ．又因为ｑ 故ａ ａ
＝（２＋２ ＋２ ＋…＋２ ）＋（１＋２＋３＋…＋１０） ２（ －１）＝ ３（ －１） ≠１， ３＝ ２＝２，
１０ 由ａ ａ ｑ 得ｑ ．
＝ 评 ＝ ＝ （ ２ ２ 析 （ １ ２ １ １ １ １ ＋ １ － － － ５ 本 ２ ２ ３ ２） ＝ 小 ） ＋ ２ ＋ ５ 题 １ ５ （ ０ 主 １ １ ＋ ． 要 １０ ２ 考 ）× 查 １０ 等差数列、等比数列、数列求和等基础 当 当 ｎ ｎ ３ ＝ ＝ ＝ ２ ２ ｋ ｋ １ （ － · ｋ １ ∈ （ ｋ ， Ｎ ∈ ∗ Ｎ ） ∗ 时 ＝ ） ２ ， 时 ａ ｎ ， ＝ ａ ｎ ａ ＝ ２ ｋ ａ ＝ ２ { ｋ ２ － ｋ １ ｎ ＝ ＝ － ２ １ ２ ２ ｎ ｋ ｎ ２ － 为 １ ． ＝ 奇 ２ ｎ－ ２ 数 １ ；
所以 ａ 的通项公式为ａ ２ ， ，
知识，考查运算求解能力． ，｛ ｎ｝ ｎ＝ ｎ ２ ｎ为偶数．
２ ，
１４．（２０１５课标Ⅰ理，１７，１２分）Ｓ ｎ 为数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和．已知 由 得ｂ ｌｏｇ２ ａ ２ ｎ ｎ ．设 ｂ 的前ｎ项和为Ｓ 则Ｓ
ａ ｎ＞０ 求 ， ａ２ｎ ａ ＋２ ａ 的 ｎ＝ 通 ４ 项 Ｓ ｎ＋ 公 ３ 式 ． （２） （１） ｎ＝ ａ ２ ｎ －１ ＝ ２ ｎ －１ ｛ ｎ｝ ｎ， ｎ
（１） ｛ ｎ｝ ； １ １ １ ｎ １ ｎ １
（２） 设ｂ ｎ＝ａ ａ １ ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和． ＝１× ２ ０ ＋２× ２ １ ＋３× ２ ２ ＋…＋（ －１）× ２ ｎ －２ ＋ × ２ ｎ －１，
ｎ ｎ
解析 （１） 由 ＋１ ａ２ｎ＋２ ａ ｎ＝４ Ｓ ｎ＋３， 可知ａ２ｎ ＋１＋２ ａ ｎ ＋１＝４ Ｓ ｎ ＋１＋３ ． １ ２ Ｓ ｎ＝１× ２ １ １ ＋２× ２ １ ２ ＋３× ２ １ ３ ＋…＋（ ｎ －１）× ２ ｎ １ －１ ＋ ｎ × ２ １ ｎ，
可得ａ２ｎ ＋１－ ａ２ｎ＋２（ ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ）＝４ ａ ｎ ＋１， 即 上述两式相减
，
得
２（
ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ）＝
ａ２ｎ
＋１－
ａ２ｎ＝（ ａ
ｎ ＋１＋
ａ
ｎ）（
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ）
．
１
由于ａ ｎ＞０， 可得ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝２ ．
１ Ｓ １ １ １
ｎ １－
２
ｎ ｎ
２
ｎ
又ａ２ １＋２ ａ １＝４ ａ １＋３， 解得ａ １＝－１（ 舍去 ） 或ａ １＝３ ． ２ ｎ＝１＋ ２ ＋ ２ ２ ＋…＋ ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＝ １ － ２ ｎ ＝２－ ２ ｎ－ ２ ｎ，
所以 ａ 是首项为 公差为 的等差数列 通项公式为ａ １－
｛ ｎ｝ ３， ２ ， ｎ＝ ２
ｎ ． 分 ｎ
２ ＋１ （６ ） 整理得 Ｓ ＋２．
（２） 由ａ ｎ＝２ ｎ ＋１ 可知 ， ｎ＝４－ ２ ｎ －１
( )
ｎ
ｂ
ｎ＝ａ ｎ ａ
１
ｎ ＋１ ＝ （２ ｎ ＋１）
１
（２ ｎ ＋３） ＝ ２
１
２ ｎ
１
＋１ － ２ ｎ
１
＋３
． 所以
，
数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和为
４－ ２
＋
ｎ －
２
１，
ｎ
∈
Ｎ∗．
设数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和为Ｔ
ｎ，
则 评析 本题主要考查等比数列及其前ｎ项和公式、等差中
Ｔ ｎ＝ ｂ １＋ ｂ ２＋…＋ ｂ ｎ 项等基础知识．考查数列求和的基本方法、分类讨论思想和运
[( ) ( ) ( )]
算求解能力．
１ １ １ １ １ １ １
＝ － ＋ － ＋…＋ ｎ － ｎ
２ ｎ ３ ５ ５ ７ ２ ＋１ ２ ＋３ １７．（２０１５山东文，１９，１２分）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 是首项为正数的等
． 分 { } ｎ
＝ ｎ （１２ ） 差数列 数列 １ 的前ｎ项和为 ．
３（２ ＋３） ， ａ ａ ｎ
１５．（２０１５安徽文，１８，１２分）已知数列 ａ 是递增的等比数列 ｎ· ｎ ＋１ ２ ＋１
｛ ｎ｝ ， 求数列 ａ 的通项公式
且ａ ａ ａ ａ ． （１） ｛ ｎ｝ ；
１＋ ４＝９， ２ ３＝８ 设ｂ ａ ａｎ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｔ ．
求数列 ａ 的通项公式 （２） ｎ＝（ ｎ＋１）·２ ， ｛ ｎ｝ ｎ
（１） ｛ ｎ｝ ； 解析 设数列 ａ 的公差为ｄ．
ａ （１） ｛ ｎ｝
设Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和 ｂ ｎ ＋１ 求数列 ｂ 的
（２） ｎ ｛ ｎ｝ ， ｎ＝Ｓ Ｓ ， ｛ ｎ｝ 令ｎ 得 １ １
ｎ ｎ ＋１ ＝１， ａ ａ ＝ ，
前ｎ项和Ｔ ｎ ． 所以ａ ａ １ ． ２ ３
解析 由题设知ａ ａ ａ ａ １ ２＝３
（１） １· ４＝ ２· ３＝８，
{ａ {ａ 令ｎ 得 １ １ ２
又ａ ａ 可解得 １＝１，或 １＝８， 舍去 ． ＝２， ａ ａ ＋ａ ａ ＝ ，
１＋ ４＝９， ａ ａ （ ） １ ２ ２ ３ ５
４＝８ ４＝１ 所以ａ ａ ．
由ａ ４＝ ａ １ ｑ３ 得公比为ｑ ＝２， 故ａ ｎ＝ ａ １ ｑｎ －１ ＝２ ｎ －１． 解得ａ ２ ３＝１ ｄ ５
ａ ｑｎ ａ Ｓ Ｓ １＝１， ＝２，
（２） Ｓ ｎ＝ １（１－ ｑ ） ＝２ ｎ －１， 又ｂ ｎ＝Ｓ Ｓ ｎ ＋１ ＝ Ｓ ｎ ＋１ Ｓ － ｎ ＝Ｓ １ －Ｓ １ ， 所以ａ ｎ＝２ ｎ －１ ．
１－ ( ｎ ｎ ＋１ ) ｎ ｎ ( ＋１ ｎ ) ｎ ＋１ （２） 由 （１） 知ｂ ｎ＝２ ｎ ·２ ２ ｎ －１ ＝ ｎ ·４ ｎ ，
所以 Ｔ ｎ ＝ ｂ １ ＋ ｂ ２ ＋ … ＋ ｂ ｎ ＝ Ｓ １ －Ｓ １ ＋ Ｓ １ －Ｓ １ ＋ … ＋ 所以Ｔ ｎ＝１·４ １ ＋２·４ ２ ＋…＋ ｎ ·４ ｎ ，
( ) １ ２ ２ ３ 所以 ４ Ｔ ｎ＝１·４ ２ ＋２·４ ３ ＋…＋ ｎ ·４ ｎ ＋１ ，
１ １ １ １
Ｓ ｎ －Ｓ ｎ ＋１ ＝Ｓ １ －Ｓ ｎ ＋１ 两式相减 ， 得 －３ Ｔ ｎ＝４ １ ＋４ ２ ＋…＋４ ｎ － ｎ ·４ ｎ ＋１
ｎ
＝１－ ｎ ＋
１
１
．
＝
４（１－４ ）
－
ｎ
·４
ｎ ＋１
２ －１ １－４
专题六 数列 ３７９
ｎ ｎ
＝ １－３ ×４ ｎ ＋１ － ４ ． （２） 由ｄ ＞１， 知ａ ｎ＝２ ｎ －１， ｂ ｎ＝２ ｎ －１ ， 故ｃ ｎ＝ ２ ｎ － －１ １ ，
３ ３ ２
所以Ｔ ｎ＝ ３
ｎ
－１ ×４ ｎ ＋１ ＋ ４ ＝ ４＋（３
ｎ
－１）４
ｎ ＋１
． 于是Ｔ ｎ＝１＋ ３ ＋ ５ ２ ＋ ７ ３ ＋ ９ ４ ＋…＋ ２
ｎ
ｎ － －１ １ ，①
９ ９ ９ ２ ２ ２ ２ ２
１８．（２０１５浙江文，１７，１５分）已知数列 ａ 和 ｂ 满足ａ ｂ ｎ
｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ １＝２， １ １ Ｔ １ ３ ５ ７ ９ ２ －１．
ｎ＝ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋…＋ ｎ ②
＝１，
ａ
ｎ ＋１＝２
ａ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
ｂ
１＋
１ ｂ
２＋
１ ｂ
３＋…＋ ｎ
１ ｂ
ｎ＝
ｂ
ｎ ＋１－１（
ｎ
∈
２
可
２
得
２ ２ ２ ２ ２
２ ３ ①－②
Ｎ∗ ． ｎ ｎ
） １ Ｔ １ １ １ ２ －１ ２ ＋３
（１） 求ａ ｎ 与ｂ ｎ； ２ ｎ＝２＋ ２ ＋ ２ ２ ＋…＋ ２ ｎ －２ － ２ ｎ ＝３－ ２ ｎ ，
记数列 ａ ｂ 的前ｎ项和为Ｔ 求Ｔ ． ｎ
（２） ｛ ｎ ｎ｝ ｎ， ｎ 故Ｔ ２ ＋３．
由
解
题
析
意 知
（
：
１）
由ａ
１＝２，
ａ
ｎ ＋１＝２
ａ
ｎ，
得ａ
ｎ＝２
ｎ
（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
２１．（２０１
ｎ＝
４
６
湖
－
南
２
ｎ －
文
１
，１６，１２ 分）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项和 Ｓ ｎ＝
当ｎ 时 ｂ ｂ 故ｂ ． ｎ２ ｎ
＝１ ， １＝ ２－１， ２＝２ ＋
，
ｎ
∈
Ｎ∗．
当ｎ ≥２ 时 ， １ ｎ ｂ ｎ＝ ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ， 整理得 ｎ ｂ ｎ ＋１ ＝ ｂ ｎ ｎ ， （１ ２ ） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ；
所以ｂ ｎ＝ ｎ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ．
＋１
（２ 解 ） 设 析 ｂ ｎ＝２ ａｎ 当 ＋（ ｎ －１） ｎ 时 ａ ｎ， ａ 求数 Ｓ 列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 ２ ｎ项和．
（２）
由
（１）
知ａ
ｎ
ｂ
ｎ＝
ｎ
·２
ｎ
，
（１） ＝１ ， １＝ １＝１；
因此Ｔ ｎ＝２＋２·２ ２ ＋３·２ ３ ＋…＋ ｎ ·２ ｎ ， 当ｎ ≥２ 时 ， ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ ｎ２ ＋ ｎ － （ ｎ －１） ２ ＋（ ｎ －１） ＝ ｎ．
２ Ｔ ｎ＝２ ２ ＋２·２ ３ ＋３·２ ４ ＋…＋ ｎ ·２ ｎ ＋１ ， 故数列 ａ 的通项公式为 ２ ａ ｎ． ２
所以Ｔ ｎ－２ Ｔ ｎ＝２＋２ ２ ＋２ ３ ＋…＋２ ｎ － ｎ ·２ ｎ ＋１． 由 ｛ ｎ 知 ｝ ｂ ｎ ｎ ｎ ＝ ｎ 记数列 ｂ 的前 ｎ 项和为
故 评析 Ｔ ｎ＝（ ｎ 本 －１ 题 ）２ 主 ｎ ＋１ 要 ＋２ 考 （ ｎ 查 ∈ 数 Ｎ 列 ∗ ） 的 ． 通项公式，等差和等比数列等 （ Ｔ ２ ２ ｎ ） ， 则 （ Ｔ １ ２ ） ｎ＝（ ， ２ １ ＋ ｎ ２ ＝ ２ ２ ＋… ＋（ ＋２ － ２ １ ｎ ） ） ＋（ ， －１＋２－３＋ ｛ ４－ ｎ … ｝ ＋２ ｎ ） ２ ．
基础知 识 ，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证 记Ａ １ ２ ２ ｎ Ｂ ｎ 则Ａ ２（１－２ ２
ｎ
）
＝２ ＋２ ＋…＋２ ， ＝－１＋２－３＋４－…＋２ ， ＝
能力．
ｎ
１－２
２＋１
１９．（２０１５天津文，１８，１３分）已知 ａ 是各项均为正数的等比
＝２ －２，
｛ ｎ｝ Ｂ ｎ ｎ ｎ．
数 （１ 列 ） 求 ，｛ ｛ ｂ ａ ｎ ｎ ｝ ｝ 是 和 等 ｛ ｂ 差 ｎ｝ 数 的 列 通 ， 项 且 公 ａ １ 式 ＝ ； ｂ １＝１， ｂ ２＋ ｂ ３＝２ ａ ３， ａ ５－３ ｂ ２＝７ ． 故 评 ＝ 数 析 （ 列 －１ ｛ 本 ＋ ｂ ２ 题 ｎ ） ｝ 考 ＋ 的 （ 查 前 －３ 数 ＋ ２ 列 ｎ ４） 项 的 ＋ 和 … 前 ＋ Ｔ ｎ ［ ２ ｎ 项 － ＝ （ 和 Ａ ２ ＋ 与 － Ｂ １ ＝ 通 ） ２ ＋ 项 ２ ｎ ２ ＋ 的 １ ＋ ］ 关 ｎ ＝ － 系 ２ ． ，数列求和等知
（２）
设ｃ
ｎ＝
ａ
ｎ
ｂ
ｎ，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
求数列
｛
ｃ
ｎ｝
的前ｎ项和． 识，含有（
－１
）ｎ 的数列求和要注意运用分组求和的方法．
解析 设数列 ａ 的公比为ｑ 数列 ｂ 的公差为ｄ ２２．（２０１４北京文，１５，１３分）已知 ａ 是等差数列 满足ａ
（１） ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝ ， １＝３，
由题意知ｑ ．由已知 有
{
２
ｑ２
－３
ｄ
＝２，消去ｄ 整理得ｑ４ ｑ２
ａ
４＝１２，
数列
｛
ｂ
ｎ｝
满足ｂ
１＝４，
ｂ
４＝２０，
且
｛
ｂ
ｎ－
ａ
ｎ｝
为等比数列．
＞０ ， ｑ４
－３
ｄ
＝１０，
， －２ －
（１）
求数列
｛
ａ
ｎ｝
和
｛
ｂ
ｎ｝
的通项公式
；
．又因为ｑ 解得ｑ 所以ｄ ． 求数列 ｂ 的前ｎ项和．
８＝０ ＞０， ＝２， ＝２ （２） ｛ ｎ｝
所以数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝２ ｎ －１ ， ｎ ∈ Ｎ∗ ； 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的通 解析 （１） 设等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， 由题意得
项公式为ｂ ｎ＝２ ｎ －１， ｎ ∈ Ｎ∗． ｄ ａ ４－ ａ １ １２－３ ．
（２） 由 （１） 有ｃ ｎ＝（２ ｎ －１）·２ ｎ －１ ， 设 ｛ ｃ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 则 所 ＝ 以 ３ ａ ＝ ａ ３ ｎ ＝３ ｄ ｎ ｎ ．
Ｓ ｎ＝１×２ ０ ＋３×２ １ ＋５×２ ２ ＋…＋（２ ｎ －３）×２ ｎ －２ ＋（２ ｎ －１）×２ ｎ －１ ， 设等比 ｎ 数 ＝ 列 １＋（ ｂ － ａ １） 的 ＝ 公 ３ 比 （ 为 ＝１ ｑ ，２ 由 ，… 题 ） 意得
２ Ｓ ｎ＝１×２ １ ＋３×２ ２ ＋５×２ ３ ＋…＋（２ ｎ －３）×２ ｎ －１ ＋（２ ｎ －１）×２ ｎ ， ｂ ａ ｛ ｎ－ ｎ｝ ，
上述两式相减 ， 得 － Ｓ ｎ＝１＋２ ２ ＋２ ３ ＋…＋２ ｎ －（２ ｎ －１）×２ ｎ ＝２ ｎ ＋１ －３ ｑ３ ＝ｂ ４－ ａ ４ ＝ ２０－１２ ＝８， 解得ｑ ＝２ ．
ｎ ｎ ｎ ｎ １－ １ ４－３
所
评
－（
析
以 ２
，
－ Ｓ １
本 ｎ
）
＝
×
小 （
２
２ 题
ｎ ＝
－ 主
－
３
（
） 要
２
· 考
－
２ 查
ｎ ３
＋
）
等 ３
×
，
２
差
ｎ
∈
－
数
３ Ｎ ，
列
∗．
、等比数列及其前ｎ项和公
所
从
以
而
ｂ
ｂ
ｎ
ｎ
－
＝
ａ
３
ｎ
ｎ
＝
＋
（
２
ｂ
ｎ －
１
１
－
（
ａ
ｎ
１
＝
） ｑ
１
ｎ
，
－
２
１
，
＝
…
２ ｎ
）
－１
．
．
式等 基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求解能力． （２） 由 （１） 知ｂ ｎ＝３ ｎ ＋２ ｎ －１ （ ｎ ＝１，２，…） ．
２０．（２０１５湖北文，１９，１２分）设等差数列 ａ 的公差为ｄ 前ｎ 数列 ｎ 的前ｎ项和为 ３ ｎ ｎ 数列 ｎ －１ 的前ｎ项和为
｛ ｎ｝ ， ｛３ ｝ （ ＋１）， ｛２ ｝
项和为Ｓ 等比数列 ｂ 的公比为ｑ．已知ｂ ａ ｂ ｑ ｄ ２
Ｓ
１０＝１００
．
ｎ， ｛ ｎ｝ １＝ １， ２＝２， ＝ ，
１× １
１
－
－
２
２
ｎ
＝２ ｎ －１ ．
求数列 ａ ｂ 的通项公式
（１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ； 所以数列 ｂ 的前ｎ项和为 ３ ｎ ｎ ｎ ．
ａ ｛ ｎ｝ （ ＋１）＋２ －１
当ｄ 时 记ｃ ｎ 求数列 ｃ 的前ｎ项和Ｔ ． ２
（２） ＞１ ， ｎ＝ｂ ， ｛ ｎ｝ ｎ 评析 本题主要考查等差数列与等比数列通项公式及前ｎ项
ｎ
{ ａ ｄ { ａ ｄ 和公式，考查数列综合应用．属基础题．
解析 由题意有 １０ １＋４５ ＝１００，即 ２ １＋９ ＝２０，
（１） ， ａ ｄ ａ ｄ ２３．（２０１４大纲全国理，１８，１２分）等差数列 ａ 的前ｎ项和为
１ ＝２， １ ＝２， ｛ ｎ｝
解得
{ａ
１＝１，或
{ａ １＝９，
故
{ａ
ｎ＝２
ｎ
－１，或
ì
í
ï ï ａ ｎ＝
９
１ （２ ｎ ＋７９）， Ｓ
（
ｎ
１
．
）
已 求 知
｛
ａ ａ
ｎ
１
｝
＝ 的 １０ 通 ， ａ 项 ２ 公 为 式 整
；
数 ， 且Ｓ ｎ≤ Ｓ ４ ．
ｄ ＝２， ｄ ＝ ９ ２ ． ｂ ｎ＝２ ｎ －１ ， î ï ïｂ ｎ＝９· ( ２ )ｎ －１ ． （２） 设ｂ ｎ＝ａ ａ １ ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ．
９ ｎ ｎ ＋１
３８０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
解析 由 ａ ａ 为整数知 等差数列 ａ 的公差 ２５．（２０１４课标Ⅰ文，１７，１２ 分）已知 ａ 是递增的等差数列
（１） １＝１０， ２ ， ｛ ｎ｝ ｛ ｎ｝ ，
ｄ为整数． ａ ａ 是方程ｘ２ ｘ 的根．
２， ４ －５ ＋６＝０
又Ｓ Ｓ 故ａ ａ 求 ａ 的通项公式
ｎ≤ ４， ４≥０， ５≤０， （１） ｛ ｎ｝ ；
于是 ｄ ｄ ． {ａ }
１０＋３ ≥０，１０＋４ ≤０ 求数列 ｎ 的前ｎ项和．
（２） ｎ
解得 １０ ｄ ５ ． ２
因此
－
ｄ
３
≤
．
≤－
２
解
ａ
析
．
（１）
方程ｘ２
－５
ｘ
＋６＝０
的两根为
２，３，
由题意得ａ
２＝
数列 ａ
＝－
的
３
通项公式为ａ ｎ． 分
２， ４＝３
ｂ
｛ ｎ｝
１
ｎ＝１
１
３ ( －３
１ １
)
．
（６
分
） 设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， 则ａ ４－ ａ ２＝２ ｄ ， 故ｄ ＝
２
１ ， 从而ａ １＝
２
３ ．
（２） ｎ＝ ｎ ｎ ＝ ｎ－ ｎ （８ ）
（１３－３ ）（１０－３ ） ３ １０－３ １３－３ 所以 ａ 的通项公式为ａ １ ｎ ．
于是Ｔ ｂ ｂ ｂ ｛ ｎ｝ ｎ＝ ＋１
ｎ＝ １＋ ２＋…＋ ｎ ２
[( ) ( ) ( )] {ａ } ａ ｎ
１ １ １ １ １ １ １ 设 ｎ 的前ｎ项和为Ｓ 由 知 ｎ ＋２ 则
＝
３ ７
－
１０
＋
４
－
７
＋…＋
１０－３
ｎ－
１３－３
ｎ （２） ｎ ｎ， （１） ｎ ＝ ｎ ＋１，
( ) ｎ ２ ２ ２
１ １ １ ． 分 ｎ ｎ
＝ ３ １０－３ ｎ－ １０ ＝ １０（１０－３ ｎ ） （１２ ） Ｓ ｎ＝ ３ ２ ＋ ４ ３ ＋…＋ ＋ ｎ １ ＋ ＋ ｎ ＋ ２ １，
评析 本题考查了等差数列的定义及其前ｎ项和、裂项相 ２ ２ ２ ２
ｎ ｎ
消法求数列前ｎ项和．第（ １ ）问的解题关键在于分析已知条件 １ Ｓ ｎ＝ ３ ３ ＋ ４ ４ ＋…＋ ＋ ｎ ＋ １ １ ＋ ＋ ｎ ＋ ２ ２ ．
“ａ 为整数”“Ｓ Ｓ ”所隐含的条件；在第（ ）问中，对通项 ２ ２ ２ ２ ２
２ ｎ≤ ４ ２ 两式相减得 １ Ｓ ３ æ ç １ １ ö ÷ ｎ ＋２
公式ｂ ｎ 进行裂项过程中易漏了系数 １ 而导致错解． ２ ｎ＝ ４ ＋è ２ ３ ＋…＋ ２ ｎ ＋１ ø－ ２ ｎ ＋２
３ æ ö ｎ
２４．（２０１４山东理，１９，１２分）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为 ２， 前 ＝ ３ ＋ １ è ç １－ ｎ １ －１ ø ÷ － ＋ ｎ ＋ ２ ２ ．
ｎ项和为Ｓ 且Ｓ Ｓ Ｓ 成等比数列． ４ ４ ２ ２
（１） 求数列 ｎ ｛ ， ａ ｎ｝ 的 １， 通 ２ 项 ， 公 ４ 式 ； 所以Ｓ ｎ＝２－ ｎ ＋ ｎ ＋ ４ １ ．
ｎ ２
（２） 令ｂ ｎ＝（－１） ｎ －１ ａ ４ ａ ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｔ ｎ ． 评析 本题考查等差数列及用错位相减法求数列的前 ｎ 项
ｎ ｎ
＋１
和，第（ ）中由条件求首项、公差，进而求出结论是基本题型，
１
解析 因为Ｓ ａ Ｓ ａ ２×１ ａ 第（ ）问中，运算准确是关键．
（１） １＝ １， ２＝２ １＋ ×２＝２ １＋２， ２
２ ２６．（２０１４安徽文，１８，１２ 分）数列 ａ 满足 ａ ｎａ ｎ
｛ ｎ｝ １＝１， ｎ ＋１＝（ ＋
Ｓ
４＝４
ａ
１＋
４×３
×２＝４
ａ
１＋１２， １）
ａ
ｎ＋
ｎ
（
ｎ
＋１），
ｎ
∈
Ｎ∗．
２ {ａ }
由题意得 ａ ２ ａ ａ 证明 数列 ｎ 是等差数列
（２ １＋２） ＝ １（４ １＋１２）， （１） ： ｎ ；
解得ａ
所以ａ １ ｎ ＝ ＝ １ ２ ， ｎ －１ ． （２） 设ｂ ｎ＝３ ｎ · ａ ｎ， 求数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ ．
（２） ｂ ｎ＝（－１） ｎ －１ ａ ４ ａ ｎ ＝（－１） ｎ －１ ｎ ４ ｎ ｎ 解析 （１） 证明 ： 由已知可得 ｎ ａ ｎ ＋１ ＝ ａ ｎ ｎ ＋１， 即 ｎ ａ ｎ ＋１ － ａ ｎ ｎ ＝１ ．
( ｎ ｎ ＋１ ) （２ －１）（２ ＋１） {ａ } ａ ＋１ ＋１
ｎ －１ １ １ ． 所以 ｎ 是以 １ 为首项 为公差的等差数列．
＝（－１） ｎ ＋ ｎ ｎ ＝１ ，１
２ －１ ２ ＋１ １
当ｎ为偶数时 ａ
( ) (
，
) ( ) ( ) （２）
由
（１）
得
ｎ
ｎ
＝１＋（
ｎ
－１）·１＝
ｎ
，
所以ａ
ｎ＝
ｎ２．
Ｔ １ １ １ １ １ １ １
ｎ＝ １＋ － ＋ ＋…＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ ＋ ｎ 从而ｂ ｎ ｎ．
３ ３ ５ ２ －３ ２ －１ ２ －１ ２ ＋１ ｎ＝ ·３
１ Ｓ ｎ＝１·３ １ ＋２·３ ２ ＋３·３ ３ ＋…＋ ｎ ·３ ｎ ， ①
＝１－ ｎ ２ ｎ ＋１ ３ Ｓ ｎ＝１·３ ２ ＋２·３ ３ ＋…＋（ ｎ －１）·３ ｎ ＋ ｎ ·３ ｎ ＋１． ②
＝ ｎ ２ ． ①－② 得 －２ Ｓ ｎ＝３ １ ＋３ ２ ＋…＋３ ｎ － ｎ ·３ ｎ ＋１
当
２
ｎ
＋
为
１
奇数时 ３·（１－３
ｎ
） ｎ ｎ ＋１ （１－２
ｎ
）·３
ｎ ＋１
－３．
， ＝ － ·３ ＝
( ) ( ) ( ) ( １－３ ２
Ｔ １ １ １ １ １ １ ｎ ｎ ＋１
ｎ＝ １＋ － ＋ ＋…－ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ ＋ 所以Ｓ （２ －１）·３ ＋３．
３ ３ ５ ２ －３ ２ －１ ２ －１ ｎ＝
) ｎ ４
１ １ ２ ＋２． 评析 本题考查等差数列定义的应用，错位相减法求数列的
ｎ ＝１＋ ｎ ＝ ｎ
２ ＋１ ２ ＋１ ２ ＋１ 前ｎ 项和，解题时利用题（ ）提示对递推关系进行变形是
ì ｎ １
ï２ ＋２ ｎ为奇数 关键．
ï ｎ ， ，
所以Ｔ í２ ＋１ ２７．（２０１４山东文，１９，１２分）在等差数列 ａ 中 已知公差ｄ
ｎ＝ï ｎ ｛ ｎ｝ ， ＝
ï ２ ｎ为偶数． ａ 是ａ 与ａ 的等比中项．
( î ｎ ２ ｎ ＋１ ， ｎ －１ ) （ ２， １） ２ 求数列 １ ｛ ａ ｎ｝ ４ 的通项公式 ；
或Ｔ ｎ＝ ２ ＋１ ２ ＋ ｎ （ ＋ － １ １） （２） 设ｂ ｎ＝ ａｎ（ｎ ２ ＋１）， 记Ｔ ｎ＝－ ｂ １＋ ｂ ２－ ｂ ３＋ ｂ ４－…＋（－１） ｎｂ ｎ， 求Ｔ ｎ ．
评析 本题考查等差数列的通项公式，前ｎ项和公式和数列 解析 由题意知 ａ ｄ ２ ａ ａ ｄ
（１） （ １＋ ） ＝ １（ １＋３ ），
的求和，同时考查分类讨论的思想、运算求解能力和逻辑推理 即 ａ ２ ａ ａ
（ １＋２） ＝ １（ １＋６），
能力． 解得ａ
１＝２，
专题六 数列 ３８１
所以数列 ａ 的通项公式为ａ ｎ． ｂ ａ ａ ａ ｎ
｛ ｎ｝ ｎ＝２ （２） ｎ＝ｌｏｇ３ １＋ｌｏｇ３ ２＋…＋ｌｏｇ３ ｎ＝－（１＋２＋…＋ ）
（２）
由题意知ｂ
ｎ＝
ａｎ（ｎ
２ ＋１）＝
ｎ
（
ｎ
＋１）
． ｎ
（
ｎ
＋１）．
所以Ｔ ｎｎ ｎ ． ＝－
ｎ＝－１×２＋２×３－３×４＋…＋（－１） ×（ ＋１） ２
( )
因 所 为 以当 ｂ ｎ ＋ ｎ １－ 为 ｂ ｎ 偶 ＝ 数 ２（ 时 ｎ ＋１）， 故 ｂ １ ｎ ＝－ｎ （ ｎ ２ ＋１） ＝－２ １ ｎ －ｎ ＋ １ １ ，
， [( ) ( ) ( ) ]
Ｔ ｎ＝（－ ｂ １＋ ｂ ２）＋（－ ｂ ３＋ ｂ ４）＋…＋（－ ｂ ｎ －１＋ ｂ ｎ） ｂ １ ＋ｂ １ ＋…＋ｂ １ ＝－２ １－ １ ＋ １ － １ ＋…＋ ｎ １ －ｎ １
＝４＋８＋１２＋…＋２ ｎ １ ｎ ２ ｎ ２ ２ ３ ＋１
ｎ ２ ．
ｎ ＝－ｎ
（４＋２ ） ＋１
２ { } ｎ
＝ 所以数列 １ 的前ｎ项和为 ２ ．
２ ｂ －ｎ
ｎ ｎ ｎ ＋１
（ ＋２） 评析 本题主要考查等比数列的通项公式以及裂项求和的基
＝ ，
２ 本方法，属容易题．
当ｎ为奇数时
，
Ｔ Ｔ ｂ
ｎ＝ ｎ －１＋（－ ｎ） 考点二 数列的综合应用
ｎ ｎ
（ －１）（ ＋１） ｎ ｎ １．（２０１９浙江，１０，４分）设ａ ｂ Ｒ 数列 ａ 满足ａ ａ ａ
＝ － （ ＋１） ， ∈ ， ｛ ｎ｝ １＝ ， ｎ ＋１＝
ｎ
２
２
ａ２ｎ＋ ｂ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
则
（ ）
（ ＋１） ．
＝－ 当ｂ １ 时 ａ 当ｂ １ 时 ａ
２ Ａ． ＝ ， １０＞１０ Ｂ． ＝ ， １０＞１０
所以Ｔ ｎ＝
ì
í
ï ï
ïｎ
－ （
ｎ
ｎ ＋
２
１） ２ ， ｎ为奇数 ， Ｃ．
答
当
案
ｂ ＝ － ２
Ａ
２ 时
本
， ａ
题
１０＞
以
１
已
０
知递推关
Ｄ
系
． 当
式
ｂ
判
＝－ ４
断
４
指
时
定
， ａ
项
１０＞
范
１０
围为载体 ，
î ï （ ＋２） ， ｎ为偶数． 考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力 考查的核心素养为
２ ；
评析 本题考查等比数列和等差数列的综合应用、等差数列 逻辑推理 数学运算 体现了函数与方程的思想 创新思维的
， ； ，
的通项公式及数列的求和，分类讨论思想和逻辑推理能力．
应用．
２８．（２０１３课标Ⅰ文，１７，１２分）已知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 令ａ ｎ ＋１＝ ａ ｎ， 即ａ２ｎ＋ ｂ ＝ ａ ｎ， 即ａ２ｎ－ ａ ｎ＋ ｂ ＝０， 若有解 ，
Ｓ ｎ 满足Ｓ ３＝０， Ｓ ５＝－５ ． 则Δ ＝１－４ ｂ ≥０， 即ｂ ≤ １ ，
求 ａ 的通项公式 ４
（１） ｛ ｎ｝ ；
{ } ｂ
（２） 求数列 ａ １ ａ 的前ｎ项和． ∴ 当ｂ ≤ １ 时 ， ａ ｎ＝ １± １－４ ， ｎ ∈ Ｎ∗ ，
ｎ ｎ ４ ２
２－１ ２＋１
ｎ ｎ ｂ ｂ
解析 设 ａ 的公差为ｄ 则Ｓ ｎａ （ －１）ｄ． 即存在ｂ １ 且ａ １＋ １－４ 或１－ １－４ 使数列 ａ 为常
（１） ｛ ｎ｝ ， ｎ＝ １＋ ≤ ， ＝ ， ｛ ｎ｝
２ ４ ２ ２
{ ａ ｄ 数列
由已知可得 ３ １＋３ ＝０， 解得ａ ｄ ． ，
ａ ｄ ． １＝１， ＝－１ ｂ
５ １＋１０ ＝－５ 选项中 ｂ １ 成立 故存在ａ １－ １－４
故 ａ 的通项公式为ａ ｎ． Ｂ、Ｃ、Ｄ ， ≤ ， ＝ ＜１０，
｛ ｎ｝ ｎ＝２－ ４ ２
( ) ｂ
（２）
由
（１）
知
ａ
１
ａ ＝ ｎ
１
ｎ ＝
１
ｎ
１
－ ｎ
１
，
使ａ
ｎ＝
１－ １－４
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
排除
Ｂ、Ｃ、Ｄ
．
２ ｎ －１ ２ ｎ ＋１ （３－２ ）（１－２ ） ２ ２ －３ ２ －１ ２
{ } ( )
２
从而数列 １ 的前ｎ项和为 对于 ｂ １ ａ ａ２ １ １ ａ ａ２ １ １ １
ａ
２ ｎ －１
ａ
２ ｎ ＋１
Ａ，∵ ＝
２
，∴ ２＝ １＋
２
≥
２
， ３＝ ２＋
２
≥
２
＋
２
＝
( ) ｎ ( ) ２
１ １ １ １ １ １ １ ． ３ ａ ３ １ １７
－ ＋ － ＋…＋ ｎ － ｎ ＝ ｎ ， ４≥ ＋ ＝ ，
２ －１ １ １ ３ ２ －３ ２ －１ １－２ ４ ４ ２ １６
评析 本题考查等差数列的通项公式及前ｎ项和公式，考查 ( ) ２ ( ) ４ ( ) ６４
ａ １７ ａ １７ ａ １７
了裂项求和的方法，考查了运算求解能力与方程思想． ∴ ５＞ ， ６＞ ，…， １０＞ ，
１６ １６ １６
２９．（２０１１课标理，１７，１２分）等比数列 ａ 的各项均为正数 且 ( ) ６４ ( ) ６４ ( ) ２
｛ ｎ｝ ， 而 １７ １ １ １ ２ １ ６３
ａ ａ ａ２ ａ ａ ． １６
＝ １＋
１６
＝１＋Ｃ６４×
１６
＋Ｃ６４×
１６
＋…＝１＋４＋
８
＋
２ １＋３ ２＝１， ３＝９ ２ ６ ．故ａ ．
（１） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； …＞１０ １０＞１０
{ } ２．（２０１８江苏，１４，５分）已知集合Ａ ｘ ｘ ｎ ｎ Ｎ∗ Ｂ
（２） 设ｂ ｎ＝ｌｏｇ３ ａ １＋ｌｏｇ３ ａ ２＋…＋ｌｏｇ３ ａ ｎ， 求数列 ｂ １
ｎ
的前ｎ项和．
｛
ｘ
｜
ｘ
＝２
ｎ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
｝
．将Ａ
∪
Ｂ的所有 ＝ 元 ｛ 素 ｜ 从 ＝ 小 ２ 到 －１ 大 ， 依 ∈ 次排 ｝ 列 ， 构 ＝
解析 （１） 设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ．由ａ２ ３＝９ ａ ２ ａ ６ 得ａ２ ３＝９ ａ２ ４， 成一 ａ 个 成 数 立 列 的 ｛ ａ ｎ ｎ｝ 的 ．记 最小 Ｓ ｎ 值 为 为 数列 ｛ ａ ｎ｝ ． 的前 ｎ 项和 ， 则使得 Ｓ ｎ＞
所以ｑ２ ＝ １ ． １２ 答 ｎ ＋ 案 １
９ ２７
解析 本题考查数列的插项问题．
由条件可知ｑ ＞０， 故ｑ ＝ ３ １ ． 设Ａ ｎ＝ ２ ｎ －１， Ｂ ｎ＝２ ｎ ， ｎ ∈ Ｎ∗ ，
由 ａ ａ 得 ａ ａ ｑ 所以ａ １ ．
当Ａ
ｋ＜
Ｂ
ｌ＜
Ａ
ｋ ＋１（
ｋ
，
ｌ
∈
Ｎ∗
）
时
，
２ １＋３ ２＝１ ２ １＋３ １ ＝１， １＝ ３ ｋ ｌ ｋ 有ｋ １ ｌ －１ ｋ １ 则ｋ ｌ －１
２ －１＜２＜２ ＋１， － ＜２ ＜ ＋ ， ＝２ ，
故数列 ａ 的通项公式为ａ １ ． ２ ２
｛ ｎ｝ ｎ＝ ｎ 设Ｔ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ
３ ｌ＝ １＋ ２＋…＋ ２ ｌ－１＋ １＋ ２＋…＋ ｌ，
３８２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
则共有ｋ ＋ ｌ ＝２ ｌ －１ ＋ ｌ个数 ， 即Ｔ ｌ＝ Ｓ ２ ｌ－１＋ ｌ， 因此 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝２×４ ｎ －１ ＝２ ２ ｎ －１．
ｌ 由 得ｂ ｎ ｎ 因此数列 ｂ 的前ｎ项
而Ａ １＋ Ａ ２＋…＋ Ａ ２ ｌ－１＝ ２×１－１＋２－１ ×２ ｌ －１ ＝２ ２ ｌ －２ ， （ 和 ２ 为 ） （１） ｎ＝ ｎ （２ － ｎ １ ２． ）ｌｏｇ２２＝２ －１， ｛ ｎ｝
２ １＋３＋…＋２ －１＝
ｌ ６．（２０１９天津文，１８，１３分）设 ａ 是等差数列 ｂ 是等比数
Ｂ １＋ Ｂ ２＋…＋ Ｂ ｌ＝ ２（１－２） ＝２ ｌ ＋１ －２ ． 列 公比大于 ．已知ａ ｂ ｛ ｂ ｎ｝ ａ ｂ ａ ，｛ ． ｎ｝
则Ｔ ｌ＝２ ２ ｌ －２ ＋２ ｌ ＋１ －２
１
，
－
则
２
ｌ ， Ｔ ｌ， ｎ ， ａ ｎ ＋１ 的对应关系为 （１
，
） 求 ｛ ａ ｎ｝ 和
０
｛ ｂ ｎ｝ 的通
１＝
项公
１＝
式
３，
；
２＝ ３， ３＝４ ２＋３
ｌ Ｔ ｎ ａ ａ { ｎ为奇数
ｌ ｎ＋１ １２ ｎ＋１
（２）
设数列
｛
ｃ
ｎ｝
满足ｃ
ｎ＝ ｂ
１，
ｎ ｎ为偶数
，
．
求ａ
１
ｃ
１＋
ａ
２
ｃ
２＋…＋
ａ
２ ｎ
ｃ
２ ｎ
１ ３ ２ ３ ３６ ｎ Ｎ∗ ．
２，
（ ∈ ）
２ １０ ４ ５ ６０ 解析 本小题主要考查等差数列 等比数列的通项公式及其
、
３ ３０ ７ ９ １０８ 前ｎ项和公式等基础知识．考查数列求和的基本方法和运算求
解能力 体现了数学运算素养．满分 分．
４ ９４ １２ １７ ２０４ ， １３
设等差数列 ａ 的公差为ｄ 等比数列 ｂ 的公比为ｑ．
５ ３１８ ２１ ３３ ３９６ （１） ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
{ ｑ ｄ {ｄ
６ １１５０ ３８ ６５ ７８０
依题意 得 ３ ＝３＋２ ， 解得 ＝３，
， ｑ２ ｄ ｑ
观察到ｌ 时 Ｔ Ｓ ａ ｌ Ｔ Ｓ ａ ３ ＝１５＋４ ， ＝３，
则ｎ ∈［２ ＝ ２， ５ ３８） ， ， ｎ ｌ ∈ ＝ Ｎ ２１ ∗ ＜ 时 １２ ， 存 ２２， 在 ＝ ｎ ６ ， ， 使 ｌ＝ Ｓ ｎ≥ ３８＞ １２ １ ａ ２ ｎ ＋ ３ １ ９ ， ， 故 所以 ａ ｎ＝３ ａ ＋３ 的 （ ｎ 通 －１ 项 ）＝ 公 ３ 式 ｎ ， 为 ｂ ｎ＝ ａ ３×３ ｎ ｎ －１ ＝ ｂ ３ ｎ． 的通项公式为ｂ ｎ．
此时Ｔ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ ，｛ ｎ｝ ｎ＝３ ，｛ ｎ｝ ｎ＝３
５＝ １＋ ２＋…＋ １６＋ １＋ ２＋ ３＋ ４＋ ５， ａ ｃ ａ ｃ ａ ｃ
ｎ Ａ Ａ （２） １ １＋ ２ ２＋…＋ ２ ｎ ２ ｎ
则当ｎ
∈［２２，３８），
ｎ
∈
Ｎ∗时
，
Ｓ
ｎ＝
Ｔ
５＋
（ －２２＋１）（
２
２２－５＋ ｎ －５）
＝ ＝（
[
ａ
１＋
ａ
３
ｎ
＋
ａ
ｎ
５＋…＋
ａ
２ ｎ
]
－１）＋（
ａ
２
ｂ
１＋
ａ
４
ｂ
２＋
ａ
６
ｂ
３＋…＋
ａ
２ ｎ
ｂ
ｎ）
ｎ２ ｎ ． ｎ （ －１） １ ２ ３ ｎ ｎ
－１０ ＋８７ ＝ ×３＋ ×６ ＋（６×３ ＋１２×３ ＋１８×３ ＋…＋６ ×３ ）
ａ Ａ Ａ ２
ｎ ＋
ａ
１＝ ｎ ＋１－５＝ ｎ
ｎ
－４，
ｎ ＝３
ｎ２
＋６（１×３
１
＋２×３
２
＋…＋
ｎ
×３
ｎ
）
．
１２ ｎ ＋１＝１２［２（ －４）－１］＝２４ －１０８， 记Ｔ ｎ＝１×３ １ ＋２×３ ２ ＋…＋ ｎ ×３ ｎ ，①
Ｓ 则 ｎ－ ｎ １２ ａ ｎ ＋１ 时 ＝ ｎ２ Ｓ －３４ ｎ ＋ ａ １９５＝（ 即 ｎ － ｎ １７） ２ －９４ ． ， 则 ３ Ｔ ｎ＝１×３ ２ ＋２×３ ３ ＋…＋ ｎ ×３ ｎ ＋１ ，②
３．（２０１ ≥ ５ ２ 福 ７ 建 ， 文 ｎ ， － １ １ ６ ２ ，４ ｎ ＋１ 分 ＞ ） ０， 若ａ ， ｍ ｂ ｉｎ 是 ＝２ 函 ７ 数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ （ ｐ ＞０， ｑ ②－① 得 ，２ Ｔ ｎ＝－３－３ ２ －３ ３ －…－３ ｎ ＋ ｎ ×３ ｎ ＋１ ＝－ ３（１－３ ｎ ） ＋ ｎ ×３ ｎ ＋１
＞０） 的两个不同的零点 ， 且ａ ， ｂ ，－２ 这三个数可适当排序后成 ｎ ｎ ＋１
１－３
等差数列 也可适当排序后成等比数列 则 ｐ ｑ 的值 ＝ （２ －１）３ ＋３．
， ， ＋ ２
等
答
于
案
．
所以
，
ａ
１
ｃ
１＋
ａ
２
ｃ
２＋…＋
ａ
２ ｎ
ｃ
２ ｎ＝３
ｎ２
＋６
Ｔ
ｎ＝３
ｎ２
＋３×
（２
ｎ
－１）３
ｎ ＋１
＋３
＝
９ ２
解析 依题意有ａ ， ｂ是方程ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝０ 的两根 ， 则ａ ＋ ｂ ＝ ｐ ， （２ ｎ －１）３ ｎ ＋２ ＋６ ｎ２ ＋９ ｎ Ｎ∗ ．
ａｂ ｑ 由ｐ ｑ 可知ａ ｂ ．由题意可知ａｂ ２ （ ∈ ）
＝ ， ＞０， ＞０ ＞０， ＞０ ＝（－２） ＝４＝ ２
ｑ ａ ｂ或ｂ ａ 思路分析 利用等差 等比数列的通项公式求出公差 ｄ
， －２＝２ －２＝２ ， （１） 、 ，
将ａ ｂ代入ａｂ 可解得ａ ｂ 此时ａ ｂ 将ｂ 公比ｑ即可． 利用 ｃ 的通项公式 进行分组求和 在计算
－２＝２ ＝４ ＝４， ＝１， ＋ ＝５， －２ （２） ｛ ｎ｝ ， ，
ａ代入ａｂ 可解得ａ ｂ 此时ａ ｂ 则ｐ 故ｐ ｑ 差比数列时采用错位相减法求和．
＝２ ＝４ ＝１， ＝４， ＋ ＝５， ＝５， ＋
． 解题关键 根据ｎ的奇偶性得数列｛ｃ ｝的通项公式，从而选择
＝９ ｎ
评析 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查函 合适的求和方法是求解的关键．
数与方程思想、化归与转化思想． ７．（２０１９江苏，２０，１６分）定义首项为 且公比为正数的等比数
１
４．（２０１４安徽理，１２，５分）数列 ａ 是等差数列 若ａ ａ 列为 数列 ．
｛ ｎ｝ ， １＋１， ３＋ “Ｍ－ ”
３，
ａ
５＋５
构成公比为ｑ的等比数列
，
则ｑ
＝
．
（１）
已知等比数列
｛
ａ
ｎ｝（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
满足
：
ａ
２
ａ
４＝
ａ
５，
ａ
３－４
ａ
２＋４
ａ
１＝
答案 求证 数列 ａ 为 数列
１ ０， ： ｛ ｎ｝ “Ｍ－ ”；
解析 设 ａ 的公差为ｄ 则ａ ａ ｄ ａ ａ
ｄ 由题
｛
意
ｎ
可
｝
得 ａ ２
，
ａ
３＋３＝
ａ
１＋１＋２
．
＋２， ５＋５＝ １＋１
（２）
已知数列
｛
ｂ
ｎ｝（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
满足
：
ｂ
１＝１，Ｓ
１
ｎ ＝ｂ
２
ｎ －ｂ ｎ
２
，
其中Ｓ
ｎ
＋４ ＋４， （ ３＋３） ＝（ １＋１）（ ５＋５）
为数列 ｂ 的前ｎ项和．
＋１
∴ ［（ ａ １＋１）＋２（ ｄ ＋１）］ ２ ＝（ ａ １＋１）［（ ａ １＋１）＋４（ ｄ ＋１）］，
求数
｛
列
ｎ｝
ｂ 的通项公式
ａ ２ ｄ ａ ｄ ２ ａ ２ ａ ① ｛ ｎ｝ ；
５．（ ∴ （ ２ ｄ （ ＋ ０１ １ １ ） ９ ＋ ， １ 课 ∴ ） 标 ｄ ＋ ＝ Ⅱ ４ － （ 文 １， ＋ ， ∴ １ １ ） ８ ａ （ ３ ， ＋ １ １ ３ ２ ＋ ＝ １ 分 ａ ） １ ） ＋ ＋ 已 ［ １ ２ ， 知 （ ∴ ＋ 公 ａ １ 比 ）］ 是 ｑ 各 ＝ ＝ ａ ａ （ 项 ３ １ ＋ ＋ １ 均 ３ １ ＋ ＝ １ 为 ） １ 正 ． ＋ 数 ４（ 的 １ 等 ＋１ 比 ） ② 正 大 设 整 值 数 ． ｍ为 ｋ ， 正 当 整 ｋ 数 ≤ ， ｍ 若 时 存 ， 在 都 “ 有 Ｍ－ ｃ 数 ｋ≤ 列 ｂ ” ｋ≤ ｛ ｃ ｃ ｎ｝ ｋ ＋ （ １ 成 ｎ ∈ 立 Ｎ ， ∗ 求 ）， ｍ 对 的 任意 最
｛ ｎ｝ 解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义 通项公式
数列 ａ ａ ａ ． 、 、
， １＝２， ３＝２ ２＋１６ 性质等基础知识 考查代数推理 转化与化归及综合运用数学
（１） 求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式 ； 知识探究与解决 ， 问题的能力．满分 、 分．
（
和
２ 解
；
）
考
设 析
查
ｂ ｎ
学
本 ＝
生
ｌｏ 题 ｇ
的
２ 主 ａ
运
ｎ 要 ，
算
求 考
求
数 查
解
列 等
能
｛ 比 ｂ
力
ｎ 数 ｝
；
的 列
体
前 的
现
ｎ 概
了
项 念
数
和 及
学
． 运
运
算
算 、 的
等
核
差
心
数
素
列
养
的
．
求 （
由
１
{
）
ａ
设
２ ａ
等
４＝
比
ａ
数
５，
列 ｛ ａ ｎ｝
得
的
{
公
ａ２ １
比
ｑ４
为
＝ ａ
ｑ
１ ｑ
，
４
所
，
１ 以 ６ ａ １≠０
解
，
得
ｑ ≠
{
０
ａ
．
１＝１，
（１）
设
｛
ａ
ｎ｝
的公比为ｑ
，
由题设得
２
ｑ２
＝４
ｑ
＋１６，
即ｑ２
－２
ｑ
－８＝０
． ａ
３－４
ａ
２＋４
ａ
１＝０，
ａ
１
ｑ２
－４
ａ
１
ｑ
＋４
ａ
１＝０，
ｑ
＝２
．
解得ｑ 舍去 或ｑ ． 因此数列 ａ 为 数列 ．
＝－２（ ） ＝４ ｛ ｎ｝ “Ｍ－ ”
专题六 数列 ３８３
解析 本小题主要考查等差和等比数列的定义 通项公式
因为 １ ２ ２ 所以ｂ ． 、 、
（２）① Ｓ ＝ｂ －ｂ ， ｎ≠０ 性质等基础知识 考查代数推理 转化与化归及综合运用数学
ｎ ｎ ｎ ＋１ ， 、
知识探究与解决问题的能力．
由ｂ Ｓ ｂ 得 １ ２ ２ 则ｂ ．
１＝１， １＝ １，
１
＝
１
－ｂ
２
， ２＝２
（１）
由条件知ａ
ｎ＝（
ｎ
－１）
ｄ
，
ｂ
ｎ＝２
ｎ －１．
由 Ｓ １ ｎ ＝ｂ ２ ｎ －ｂ ｎ ２ ＋１ ， 得Ｓ ｎ＝ ２（ ｂ ｂ ｎ ｎ ＋ ｂ １ ｎ － ＋１ ｂ ｎ） ， 因 即 为 ｜（ ｎ ｜ ａ － ｎ １ － ） ｂ ｄ ｎ － ｜≤ ２ ｎ － ｂ １ １ ｜ 对 ≤１ ｎ 对 ＝１ ｎ ，２ ＝ ， １ ３ ， ， ２ ４ ， 均 ３， 成 ４ 均 立 成 ， 立．
ｂ ｂ ｂ ｂ
当ｎ ≥２ 时 ， 由ｂ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１， 得ｂ ｎ＝
２（
ｂ
ｎ
ｎ
＋１
ｎ
－
＋１ ｂ
ｎ）
－
２（
ｂ
ｎ
ｎ －
－
１ ｂ
ｎ
ｎ
－１）
， 即
１≤１，１≤
ｄ
≤３，３≤２
ｄ
≤５，７≤３
ｄ
≤９，
得 ７
３ ≤
ｄ
≤
５
２
．
整 所 理 以 得 数列 ｂ ｎ ｛ ＋１ ｂ ＋ ｎ ｂ ｝ ｎ 是 －１＝ 首 ２ 项 ｂ ｎ ． 和公差均为 １ 的等差数列． 因此 ， ｄ的取值范围为 [ ７ ３ ， ５ ２ ] ．
因此 ， 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式为ｂ ｎ＝ ｎ （ ｎ ∈ Ｎ∗ ） ． （２） 由条件知 ： ａ ｎ＝ ｂ １＋（ ｎ －１） ｄ ， ｂ ｎ＝ ｂ １ ｑｎ －１．
②
由
①
知
，
ｂ
ｋ＝
ｋ
，
ｋ
∈
Ｎ∗． 若存在ｄ
∈
Ｒ
，
使得
｜
ａ
ｎ－
ｂ
ｎ｜≤
ｂ
１（
ｎ
＝２，３，…，
ｍ
＋１）
均成立
，
因 因 为 为 数 ｃ ｋ 列 ≤ ｛ ｂ ｋ ｃ ≤ ｎ｝ ｃ 为 ｋ ＋１ “ ， Ｍ 所 － 以 数列 ｑｋ － ” １ ≤ ， 设 ｋ ≤ 公 ｑ 比 ｋ ， 为 其中 ｑ ， 所 ｋ ＝ 以 １， ｃ ２ １ ， ＝ ３ １ ， ， … ｑ ＞ ， ０ ｍ ． ． 即 即当 ｜ ｂ １ ｎ ＋（ ｎ －１） ｄ － ｂ ｍ １ ｑｎ －１ 时 ｜≤ ｄ ｂ １ 满 （ ｎ 足 ＝２ ｑ ， ｎ － ３ １ ， － … ２ｂ ， ｍ ＋ ｄ １） ． ｑｎ －１ ｂ ．
当ｋ ＝１ 时 ， 有ｑ ≥１； ＝２，３，…， ＋１ ， ｎ －１ １≤ ≤ｎ －１ １
当ｋ ｍ时 有ｌｎ ｋ ｑ ｌｎ ｋ ． 因为ｑ ｍ
＝２，３，…， ， ｋ ≤ｌｎ ≤ｋ ∈（１， ２］，
－１ 所以 ｑｎ －１ ｑｍ
ｘ ｘ １＜ ≤ ≤２，
设ｆ ｘ ｌｎ ｘ 则ｆ ′ ｘ １－ｌｎ ． ｑｎ －１ ｑｎ －１
（ ）＝ ｘ （ ＞１）， （ ）＝ ｘ２ 从而
ｎ
－２ｂ
１≤０，ｎ
ｂ
１＞０，
对ｎ
＝２，３，…，
ｍ
＋１
均成立．
令ｆ ′ ｘ 得ｘ ．列表如下 －１ －１
（ ）＝０， ＝ｅ ： 因此 取ｄ 时 ａ ｂ ｂ 对ｎ ｍ 均成立．
， ＝０ ，｜ ｎ－ ｎ｜≤ １ ＝２，３，…， ＋１
ｘ
（１，ｅ） ｅ （ｅ，＋∞） 下面讨论数列
{ｑｎ
－１ －２
}
的最大值和数列
{ｑｎ
－１
}
的最小值 ｎ
ｆ′ ｘ ｎ ｎ （ ＝
（ ） ＋ ０ － －１ －１
ｆ （ ｘ ） ↗ 极大值 ↘ ２，３，…， ｍ ＋１） ．
ｑｎ ｑｎ
－１
ｎｑｎ ｑｎ ｎｑｎ
－１
当 ｎ ｍ 时 －２ －２ － － ＋２
因为ｌｎ２ ｌｎ８ ｌｎ９ ｌｎ３ 所以ｆ ｋ ｆ ｌｎ３． ① ２ ≤ ≤ ， ｎ － ｎ ＝ ｎ ｎ
＝ ＜ ＝ ， （ ）ｍａｘ＝ （３）＝ －１ （ －１）
２ ６ ６ ３ ３ ｎ ｑｎ ｑｎ －１ ｑｎ
ｋ （ － ）－ ＋２
取ｑ ３ 当ｋ 时 ｌｎ ｑ 即ｋ ｑｋ 经检验知 ＝ ｎ ｎ ，
＝ ３， ＝１，２，３，４，５ ， ｋ ≤ｌｎ ， ≤ ， （ －１）
ｑｋ －１ ≤ ｋ也成立． 当 １＜ ｑ ≤２ ｍ１时 ， 有ｑｎ ≤ ｑｍ ≤２，
因此所求ｍ的最大值不小于 ． 从而ｎ ｑｎ ｑｎ －１ ｑｎ ．
５ （ － ）－ ＋２＞０
若ｍ
≥６，
分别取ｋ
＝３，６，
得
３≤
ｑ３
，
且ｑ５
≤６，
从而ｑ１５
≥２４３，
且
因此 当 ｎ ｍ 时 数列
{ｑｎ
－１
－２
}
单调递增
ｑ１５ 所以ｑ不存在． ， ２≤ ≤ ＋１ ， ｎ －１ ，
因此
≤
所
２１
求
６，
ｍ的最大值小于 ． 故数列
{ｑｎ
－１ －２
}
的最大值为
ｑｍ
－２．
６ ｎ ｍ
综上 所求ｍ的最大值为 ． －１
， ５ 设ｆ ｘ ｘ ｘ 当ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｘ ｘ ．
８．（２０１８北京文，１５，１３分）设 ｛ ａ ｎ｝ 是等差数列 ， 且ａ １＝ｌｎ２， ａ ２＋ ② 所以ｆ （ ｘ ）＝ 单 ２ 调 （ 递 １－ 减 ）， ＞０ ， （ ）＝（ｌｎ２－１－ ｌｎ２）２ ＜０
ａ ． （ ） ，
（ ３ １ ＝ ） 求 ５ｌｎ ｛ ａ ２ ｎ｝ 的通项公式 ； 从而ｆ （ ｘ ）＜ ｆ （０）＝ ｑ １ ｎ ．
（２）
求
ｅ
ａ
１＋ｅ
ａ
２＋…＋ｅ
ａｎ．
ｎ ｑ ｎ ( ) ( )
解析 设 ａ 的公差为ｄ． 当 ｎ ｍ时 （ －１） １ｎ １ ｆ １ ．
（１） ｛ ｎ｝ ２≤ ≤ ，ｑｎ －１ ＝ ｎ ≤２ １－ ｎ ＝ ｎ ＜１
因为ａ ａ
２＋ ３＝５ｌｎ２， ｎ
所以 ａ ｄ ． －１
２ １＋３ ＝５ｌｎ２ {ｑｎ －１ }
又ａ 所以ｄ ． 因此 当 ｎ ｍ 时 数列 单调递减
所 （２ 以 ） 因 １ ａ ＝ 为 ｎ ｌｎ ＝ ｅ ａ ２ ａ １ ， １ ＋ ＝ （ ｅ ｎ ｌｎ － ２ １ ＝ ） ＝ ２ ｄ ， ｌｎ ＝ ｅ ｅ ａ ｎ ２ ａ ｎ－ ｎ ｌ １ ｎ ＝ ２ ｅ ． ａｎ－ ａｎ－１＝ｅ ｌｎ２ ＝２， 故数 ， 列 { ｎ ｑ ２ － ｎ ≤ － １ １ } ≤ 的最 ＋ 小 １ 值 é ， 为 ｂ ｑ ｍ ｑ ｍ ｍ ． ｎ －１ ｂ ｑｍù ，
所以
｛ｅ
ａｎ
｝
是首项为
２，
公比为
２
的等比数列． 因此
，
ｄ的取值范围为
ë
êê １（
ｍ
－２）
，
１
ｍ û
úú．
ｎ
所以
ｅ
ａ
１＋ｅ
ａ
２＋…＋ｅ
ａｎ
＝２×
１－２
＝２（２
ｎ
－１）
． 疑难突破 本题是数列的综合题
，
考查等差数列
、
等比数列的
１－２ 概念和相关性质 第 问主要考查绝对值不等式．第 问要
９．（２０１８江苏，２０，１６分）设 ａ 是首项为ａ 公差为ｄ的等差 ， （１） （２）
数列 ｂ 是首项为ｂ 公比
｛
为
ｎ｝
ｑ的等比数列
１，
．
求ｄ的范围
，
使得
｜
ａ
ｎ－
ｂ
ｎ｜≤
ｂ
１
对ｎ
＝２，３，…，
ｍ
＋１
都成立
，
首
，｛ ｎ｝ １， ｑｎ －１ ｑｎ －１
设ａ ｂ ｑ 若 ａ ｂ ｂ 对ｎ 均成 先把ｄ 分离出来 变成 －２ｂ ｄ ｂ 难点在于讨论
（１） １＝０， １＝１， ＝２， ｜ ｎ－ ｎ｜≤ １ ＝１，２，３，４ ， ｎ １≤ ≤ｎ １，
立 求ｄ的取值范围 －１ －１
， ； ｑｎ －１ ｑｎ －１ {ｑｎ －１ }
（２） 若ａ １＝ ｂ １＞０， ｍ ∈ Ｎ∗ ， ｑ ∈（１， ｍ ２］， 证明 ： 存在ｄ ∈ Ｒ ， 使得 ｎ － － １ ２ｂ １ 的最大值和 ｎ －１ ｂ １ 的最小值．对于数列 ｎ － － １ ２ ， 可以
｜
ａ
ｎ－
ｂ
ｎ｜≤
ｂ
１
对ｎ
＝２，３，…，
ｍ
＋１
均成立
，
并求ｄ的取值范
通过作差讨论其单调性 而对于数列
{ｑｎ
－１
}
要作商讨论单调
围 用ｂ ｍ ｑ表示 ． ， ｎ ，
（ １， ， ） －１
３８４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｑｎ ａ
ｎ ｑ ｎ ( ) 递推关系式 ： ａ ｎ ＋１ ＝ ｑ （ ｑ ≠０）， 常用于等比数列的证明．
性 （ －１） ｑ １ 当 ｎ ｍ时 ｑｎ ｑ ｎ
(
，∵
ｎ
ｑ
) －
ｎ －
１
１ ＝
(
ｎ ＝
)
１－ ｎ ， ２≤ ≤ ，１＜ ≤２，∴ 通项公式 ： ａ ｎ＝ ａ １· ｑ
{
ｎ
ｎ
－１
ａ
．
１（ ｑ ＝１），
１－ ｎ １ ≤２ １ｎ １－ ｎ １ ， 可以构造函数ｆ （ ｘ ）＝ ２ ｘ （１－ ｘ ）， 通过讨 前ｎ项和公式 ： Ｓ ｎ＝ ａ １（１－ ｑｎ ） ｑ ．
ｑ （ ≠１）
( ) １－
论ｆ ｘ 在 上的单调性去证明 ｆ １ 得到数列 在证明ａ ｂ ｃ成等差 等比数列时 还可以利用等差中项
（ ） （０，＋∞） ｎ ＜１， （３） ， ， 、 ， ：
ａ ｃ
{ｑｎ －１ } ＋ ｂ或等比中项 ａ ｃ ｂ２ 来证明．
的单调性 解出最小值．两个数列 一个作差得到单调 ＝ ： · ＝
ｎ ， ， ２
－１ １２．（２０１５ 北京文，１６，１３ 分）已知等差数列 ａ 满足ａ ａ
性 一个作商得到单调性 都是根据数列本身结构而得 方法自 ｛ ｎ｝ １＋ ２＝
， ， ， ａ ａ ．
( ) １０， ４－ ３＝２
然合理 最后构造函数判断 １ｎ １ 与 的大小是难点 平 求 ａ 的通项公式
， ２ １－ ｎ １ ， （１） ｛ ｎ｝ ；
设等比数列 ｂ 满足ｂ ａ ｂ ａ ．问 ｂ 与数列 ａ 的
时多积累 多思考 也是可以得到的． （２） ｛ ｎ｝ ２＝ ３， ３＝ ７ ： ６ ｛ ｎ｝
， ， 第几项相等
１０．（２０１７课标Ⅱ文，１７，１２分）已知等差数列 ａ 的前ｎ项和 ？
｛ ｎ｝ 解析 设等差数列 ａ 的公差为ｄ．
为Ｓ 等比数列 ｂ 的前ｎ项和为 Ｔ ａ ｂ ａ ｂ （１） ｛ ｎ｝
ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ， １＝－１， １＝１， ２＋ ２ 因为ａ ａ 所以ｄ ．
． ４－ ３＝２， ＝２
＝２ 又因为ａ ａ 所以 ａ ｄ 故ａ ．
若ａ ｂ 求 ｂ 的通项公式 １＋ ２＝１０， ２ １＋ ＝１０， １＝４
（１）
若Ｔ
３＋ ３＝５
求
，
Ｓ
｛
．
ｎ｝ ； 所以ａ
ｎ＝４＋２（
ｎ
－１）＝２
ｎ
＋２ （
ｎ
＝１，２，…）
．
（２ 解 ） 析 ３ 本 ＝２ 题 １， 考查了 ３ 等差 等比数列． （２） 设等比数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的公比为ｑ．
、 因为ｂ ａ ｂ ａ
设 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ，｛ ｂ ｎ｝ 的公比为ｑ ， 则ａ ｎ＝－１＋（ ｎ －１） ｄ ， ｂ ｎ 所以ｑ ２＝ ３ ｂ ＝８， ． ３＝ ７＝１６，
＝ ｑｎ －１． 所以ｂ ＝２， １＝ ６－ ４ １ ．
由ａ ２＋ ｂ ２＝２ 得ｄ ＋ ｑ ＝３ ． ① 由 １２８ ６ ＝ ＝ ２ ４ ｎ × ＋ ２ ２ 得 ＝ ｎ １ ＝ ２８ ６３ ．
由ａ ｂ 得 ｄ ｑ２ ． 所以ｂ 与数列 ａ 的第 项相等．
（１） ３＋ ３＝５ {ｄ ２ ＋ ＝６② {ｄ １３．（２０１５ ６ 重庆文， ｛ １６ ｎ｝ ，１３分 ６ ） ３ 已知等差数列 ａ 满足ａ 前
联立 和 解得 ＝３， 舍去 或 ＝１， ｛ ｎ｝ ３＝２，
① ② ｑ （ ）， ｑ ．
＝０ ＝２ 项和Ｓ ９ ．
因此
｛
ｂ
ｎ｝
的通项公式为ｂ
ｎ＝２
ｎ －１． ３ ３＝
２
（ 解 ２ 得 ）
由
ｑ ＝
ｂ
１ － ＝ ５ １ 或 ，
Ｔ
ｑ ３＝ ＝ ２ ４ １ ．
得ｑ２
＋
ｑ
－２０＝０
．
（ （ １ ２ ） ）
求
设 ｛ 等
ａ
比 ｎ｝ 数
的通
列
项
｛ ｂ
公
ｎ｝
式
满 ； 足 ｂ １＝ ａ １， ｂ ４＝ ａ １５， 求 ｛ ｂ ｎ｝ 的前 ｎ 项
当ｑ 时 由 得ｄ 则Ｓ ． 和Ｔ ｎ ．
当ｑ ＝ ＝ － ４ ５ 时 ， 由 ， ① ① 得ｄ ＝ ＝ － ８ １ ， ， 则Ｓ ３ ３ ＝ ＝－ ２１ ６ ． 解析 （１） 设 ｛ ａ ｎ｝ 的公差为ｄ ， 则由已知条件得
１１．（
和
２
．
０
已
１
知
７课
Ｓ
标Ⅰ文
Ｓ
，１７，
．
１２分）记Ｓ ｎ 为等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项 ａ １＋２ ｄ ＝２，３ ａ １＋ ３×
２
２ｄ ＝
２
９ ，
２＝２， ３＝－６
求 ａ 的通项公式 化简得ａ ｄ ａ ｄ ３
（１） ｛ ｎ｝ ； １＋２ ＝２， １＋ ＝ ，
求Ｓ 并判断Ｓ Ｓ Ｓ 是否成等差数列． ２
（２） ｎ， ｎ ＋１， ｎ， ｎ ＋２
解析 本题考查等差 等比数列． 解得ａ ｄ １
、 １＝１， ＝ ，
设 ａ 的公比为ｑ 由题设可得 ２
（１） ｛ ｎ｝ ， ｎ ｎ
{ａ １（１＋ ｑ ）＝２， 故通项公式ａ ｎ＝１＋ －
２
１ ， 即ａ ｎ＝ ＋
２
１．
ａ ｑ ｑ２ ．
１（１＋ ＋ ）＝－６ 由 得ｂ ｂ ａ １５＋１ ．
解得ｑ ａ ． （２） （１） １＝１， ４＝ １５＝ ＝８
＝－２， １＝－２ ２
故 ａ 的通项公式为ａ ｎ． ｂ
（２
｛
） 由
ｎ｝
（１） 可得Ｓ ｎ＝ ａ １（ １ １
ｎ
－ －
＝
ｑ ｑ
（
ｎ
－
）
２
＝
）
－ ３ ２ ＋（－１） ｎ · ２ ３ ｎ ＋１ ．
设
故 ｛ ｛
ｂ
ｂ ｎ ｎ ｝ ｝
的
的
公
前
比
ｎ
为
项和
ｑ
，
则ｑ３
＝ｂ
４
１ ＝８，
从而ｑ
＝２，
ｎ ｎ ｂ ｑｎ ｎ
由于Ｓ Ｓ ４ ｎ ２ ＋３ －２ ＋２ Ｔ １（１－ ） １×（１－２ ） ｎ ．
ｎ ＋２＋ ｎ ＋１＝－
３
＋（－１） ·
３
ｎ＝
１－
ｑ ＝
１－２
＝２ －１
[ ｎ ] １４．（２０１４福建文，１７，１２分）在等比数列 ａ 中 ａ ａ ．
２ ｎ ２ ＋１ Ｓ ｛ ｎ｝ ， ２＝３， ５＝８１
＝２ － ＋（－１） · ＝２ ｎ， 求ａ
３ ３ （１） ｎ；
故Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列． 设ｂ ａ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｓ ．
方法 ｎ ＋ 总 １， 结 ｎ， 等 ｎ ＋２ 差 等比数列的常用公式 （２） ｎ＝ｌｏｇ３ ｎ， ｛ ｎ｝ { ｎ ａ ｑ
、 ： 解析 设 ａ 的公比为ｑ 依题意得 １ ＝３，
等差数列 （１） ｛ ｎ｝ ， ａ ｑ４
（１） ： １ ＝８１，
递推关系式 ａ ａ ｄ 常用于等差数列的证明． {ａ
通项公式 ａ
： ｎ
ａ
＋１－ ｎ
ｎ
＝ ，
ｄ．
解得
ｑ
１＝１
．
，因此
，
ａ
ｎ＝３
ｎ －１．
： ｎ＝ １＋（ －１） ＝３
ａ ａ ｎ ｎ ｎ 因为ｂ ａ ｎ
前ｎ项和公式 Ｓ （ １＋ ｎ） ｎａ （ －１）ｄ． （２） ｎ＝ｌｏｇ３ ｎ＝ －１，
： ｎ＝
２
＝ １＋
２ 所以数列 ｂ 的前ｎ项和Ｓ
ｎ
（
ｂ
１＋
ｂ
ｎ）
ｎ２
－
ｎ
．
等比数列 ｛ ｎ｝ ｎ＝ ＝
（２） ： ２ ２
专题六 数列 ３８５
时间： 分钟 分值： 分
８０ １００
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２０ ） 若ａ ａ ａ ａ 则 １ １６的最小值为２５
１．（２０１９江西宜春 ３ 月联考，１２）已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ Ｄ． ｍ＋ ｎ＝ ２＋ １０， ｍ＋ ｎ
（ ）＝ ｅ （ｓｉｎ － １２
ｘ 记ｆ ′ ｘ 是ｆ ｘ 的导函数 将满足ｆ ｘ 的所有正数 答案 ＡＢ
ｃｏｓ ）， （ ） （ ） ， （ ）＝０
ｘ从小到大排成数列
｛
ｘ
ｎ｝，
ｎ
∈
Ｎ∗
，
则数列
｛
ｆ ′
（
ｘ
ｎ）｝
的通项公
式是 三、填空题 每题 分 共 分
（ ） （ ５ ， １０ ）
ｎ ｎ ｎ ｎ π ｎ ７．（２０２１届广东深圳外国语学校第一次月考，１３）已知等差数列
４＋（ －１）π ＋１ ４＋（ －１）π
Ａ． ２（－１） ·ｅ Ｂ． ２（－１） ·ｅ ａ 的前ｎ项和Ｓ 前三项和为 后三项和为 则该
ｎ π ４＋ ｎ π ｎ ＋１ π ４＋ ｎ π ｛ ｎ｝ ｎ＝２２５， ６， ３９，
Ｃ． ２（－１） ·ｅ Ｄ． ２（－１） ·ｅ 数列有 项．
答案 Ｂ
答案
２．（２０１９河南郑州一模，１０）已知数列 ａ 满足 ａ ａ ｎ ３０
｛ ｎ｝ ２ ｎ ＋１＋ ｎ＝３（
８．（２０２０浙江丽水四校联考，１４）已知数列 ａ 满足 ａ １
∈
Ｎ∗
），
且 ａ
３ ＝
１３
，
其前 ｎ 项之和为 Ｓ
ｎ，
则满足不等式 ｛ ｎ｝ ： １＝
２
，
Ｓ ｎ １ 的最
４
小整数ｎ是
ａ
[
ｎ ＋１ ＝
ａ２ｎ
＋
ａ
ｎ，
用
［
ｘ
］
表
]
示不超过 ｘ 的最大整数
，
则
｜ ｎ－ －６｜＜ （ ） １ １ １ 的值等于 ．
１２３ ａ ＋ａ ＋…＋ａ
１＋１ ２＋１ ２０１２＋１
Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１１ 答案
答案 Ｃ １
３．（２０１９广东广州天河二模，１２）已知数列 ａ 是以 为首项 四、解答题 共 分
｛ ｎ｝ １ ，２ （ ６０ ）
为公差的等差数列 ｂ 是以 为首项 为公比的等比数列 ９．（２０２０ 山东夏季高考模拟，１７）在 ｂ ｂ ａ ａ ｂ
，｛ ｎ｝ １ ，２ ， ① １＋ ３ ＝ ２，② ４ ＝ ４，
设ｃ
ｎ＝
ａ
ｂｎ，
Ｔ
ｎ＝
ｃ
１＋
ｃ
２＋…＋
ｃ
ｎ（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则当Ｔ
ｎ＜２ ０１９
时
，
ｎ的最
③
Ｓ
５＝－２５
这三个条件中任选一个
，
补充在下面问题中
，
若问题
大值是 中的ｋ存在 求出ｋ的值 若ｋ不存在 说明理由．设等差数列
（ ） ， ； ，
ａ 的前ｎ项和为Ｓ ｂ 是等比数列 ｂ ａ ｂ
Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ｛ ｎ｝ ｎ，｛ ｎ｝ ， ， １＝ ５， ２＝
答案 Ａ ｂ 是否存在ｋ 使Ｓ Ｓ 且Ｓ Ｓ
３， ５＝－８１， ， ｋ＞ ｋ ＋１ ｋ ＋１＜ ｋ ＋２？
４．（２０２１届浙江高考选考科目９ 月联考）数列 ａ 中 ａ ａ 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分．
｛ ｎ｝ ， １＝ ， ： ，
ａ ｎ ＋１＝ ａ２ｎ＋２ ａ ｎ， 则下列命题为真命题的是 （ ） １０．（２０２１届广东深圳外国语学校第一次月考）设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前
Ａ．
不存在实数ａ
，
使得数列
｛
ａ
ｎ｝
为常数列 ｎ项和为Ｓ
ｎ，∀
ｍ
∈
Ｎ∗
，
都有ａ
ｍ ＋１－
ａ
ｍ＝－１，
且ａ
２＋
Ｓ
２＝－５
．
有且只有一个实数ａ 使得数列 ａ 为常数列 求数列 ａ 的通项公式
Ｂ． ， ｛ ｎ｝ （１） ｛ ｎ｝ ；
若数列 ａ 为递增数列 则实数ａ
Ｃ． ｛ ｎ｝ ， ＞０ 求证 １ １ １ ．
Ｄ． 若实数ａ ＞０， 则数列 ｛ ａ ｎ｝ 为递增数列 （２） ：ａ １ ａ ２ ＋ａ ２ ａ ３ ＋…＋ａ ｎ ａ ｎ ＋１ ＜１
答案 Ｄ １１．（２０２１届安徽太和第一中学开学摸底检测）已知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的
二、多项选择题 每题 分 共 分
前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
点
（
ｎ
＋１，
Ｓ
ｎ＋３）
在抛物线ｙ
＝
ｘ２ 上．
（ ５ ， １０ ） 求ａ
５．（２０２１届山东滨州博兴第三中学月考，１１）记数列 ａ 的前ｎ （１） ｎ；
｛ ｎ｝ 求数列 ａ 的前ｎ项和Ｔ ．
项和为Ｓ
ｎ，
若存在实数Ｈ
，
使得对任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
都有
｜
Ｓ
ｎ｜＜
Ｈ
， １２．
（
（
２
２
）
０２１届山
｛
东
｜
青
ｎ－９
岛
｜｝
期初调研）已知
ｎ
数列 ａ 的前 ｎ 项和为
则称数列 ａ 为 和有界数列 ．下列说法正确的是 ｛ ｎ｝
｛ ｎ｝ “ ” （ ） Ｓ ａ 且ａ 为ａ 与Ｓ 的等差中项 当ｎ 时 总有 Ｓ
若 ａ 是等差数列 且公差ｄ 则 ａ 是 和有界数列 ｎ， １＝１， １ ２ ２ ， ≥２ ， ２ ｎ ＋１
Ａ． ｛ ｎ｝ ， ＝０， ｛ ｎ｝ “ ” Ｓ Ｓ ．
若 ａ 是等差数列 且 ａ 是 和有界数列 则公差ｄ －３ ｎ＋ ｎ －１＝０
Ｂ． ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝ “ ”， ＝０ 求数列 ａ 的通项公式
若 ａ 是等比数列 且公比 ｑ 则 ａ 是 和有界数列 （１） ｛ ｎ｝ ；
Ｃ． ｛ ｎ｝ ， ｜ ｜＜１， ｛ ｎ｝ “ ” { }
Ｄ． 若 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列 ， 且 ｛ ａ ｎ｝ 是 “ 和有界数列 ”， 则 ｛ ａ ｎ｝ 的公比 （２） 记ｂ ｍ 为 ａ １ 在区间 （０，４ ｍ －１ ］（ ｍ ∈ Ｎ∗ ） 内的个数 ， 记数
ｎ
ｑ
答
｜
案
｜＜１
ＢＣ
列
｛（－１）
ｍ
·
ｂ２ｍ｝ 的前ｍ项和为Ｗ
ｍ，
求Ｗ
２０
．
１３．（２０２１届浙江高考选考科目９月联考）已知首项为 公差不
６．（２０２１届江苏南京航空航天大学附中期中，１１）已知等差数列 １，
为零的等差数列 ａ ａ 为ａ ａ 的等比中项 数列 ｂ
ａ 的首项为 公差ｄ 前ｎ项和为Ｓ 则下列结论成立的 ｛ ｎ｝， ２ １， ４ ， ｛ ｎ＋１｝
｛
是
ｎ｝ １， ＝４， ｎ， 的前ｎ项和为Ｓ
ｎ，
且ａ
ｎ＝ｌｏｇ４（
Ｓ
ｎ＋１），
ｎ
∈
Ｎ∗．
（ ） 求数列 ａ ｂ 的通项公式
{Ｓ } （１） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝ ；
数列 ｎ 的前 项和为
Ａ． ｎ １０ １００ 若ｃ １ 数列 ｃ 的前 ｎ 项和为 Ｔ 求证 Ｔ
（２） ｎ＝ｂ ａｎ， ｛ ｎ｝ ｎ， ： ２ ｎ
若ａ ａ ａ 成等比数列 则ｍ ｎ＋（－１）
Ｂ． １， ３， ｍ ， ＝２１
ｎ ６ ．
若 １ ６ 则ｎ的最小值为 ＜
Ｃ． ∑ｉ＝ １ ａ ｉ ａ ｉ ＋１ ＞ ２５ ， ６ ５
３８６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１．（２０２０百校联盟普通高中教育教学质量监测）数列 ａ 是等 误 因为 月 日新增确诊病例数为 所以Ｓ Ｓ 所以数
｛ ｎ｝ ； ２ ２３ ０， ３３＝ ３４，
比数列 Ｓ 是其前ｎ项和 ａ ａ ａ ａ ａ 则Ｓ 列 Ｓ 不是递增数列 所以选项 错误 因为 月 日新增
， ｎ ， ｎ＞０， ２＋ ３＝４， ３＋３ ４＝２， ３＝ ｛ ｎ｝ ， Ｂ ； １ ３１
确诊病例数最多 从 月 日算起 月 日是第 天 所以
（ ） ， １ ２１ ，１ ３１ １１ ，
数列 ａ 的最大项是ａ 所以选项 正确 数列 Ｓ 的最大
２８ ３８ ｛ ｎ｝ １１， Ｃ ， ｛ ｎ｝
Ａ． Ｂ．１２ Ｃ． Ｄ．１３ 项是最后一项 所以选项 错误 故选 ．
３ ３ ， Ｄ ， Ｃ
{ａ ａ
答案 Ｄ 设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的公比为ｑ ， 由 ａ ２＋ ３ ａ ＝４， ５．（多选题）已知数列 ｛ ａ ｎ｝： １ ， １ ＋ ２ ， １ ＋ ２ ＋ ３ ，……， １ ＋
３＋３ ４＝２， ２ ３ ３ ４ ４ ４ １０
即 {ａ ２（１＋ ｑ ）＝４， 解得ｑ １ 或ｑ １ 舍 ２ ＋…＋ ９ ，……， 若ｂ ｎ＝ａ ａ １ ， 数列 ｛ ｂ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 则
ａ ２（ ｑ ＋３ ｑ２ ）＝２， ＝ ３ ＝－ ２ （ ）， １０ １０ ｎ ｎ ＋１
ａ ａ ａ Ｓ ． （ ）
∴ ２＝３，∴ １＝９， ３＝１，∴ ３＝１３ ｎ ｎ ｎ ｎ
２．（２０２０广东揭阳摸底，１４）已知数列 ａ 满足 ａ ｎ ａ ＋１ ａ Ｓ ４ Ｓ
｛ ｎ｝ ｌｏｇ２ ｎ ＝ ＋ Ａ． ｎ＝ Ｂ． ｎ＝ Ｃ． ｎ＝ｎ Ｄ． ｎ＝ｎ
则ａ ａ ａ ａ 的值为 ２ ２ ＋１ ＋１
ｌｏｇ２３， ２＋ ４＋ ６＋…＋ ２０ （ ） ｎ ｎ
１１ １２ ４ １１ －４ １１ 答案 ＢＣ ∵ ａ ｎ＝ １＋２＋ ｎ ３＋…＋ ＝ ，
Ａ．３×（２ －４） Ｂ．３×（２ －４） Ｃ． Ｄ．４ －４ ＋１ ２
５ ( )
答案 Ｄ ａ ｎ ｎ 故ａ ｎ ｂ １ ４ １ １
ａ ２ ｎ＝３· ２ ２ ｎ ＝３ ｌｏ · ｇ２ ４ ｎ ｎ ， ＝ 所 ｌｏ 以 ｇ２２ ａ ２ ＋ ＋ ｌｏ ａ ｇ ４ ２ ＋ ３ ａ ＝ ６＋ ｌｏ … ｇ２ ＋ （ ａ ２ ２０ · ＝ ３ ３ ） × ， （４＋４ ｎ ２ ＋ ＝ ４ ３ ３ · ＋… ２ ＋ ， ∴ Ｓ ｎ＝ａ ｎ [ ａ ( ｎ ＋１ ＝ｎ １ （ ) ｎ ＋１ ( ） １ ＝４ １ ｎ ) －ｎ ＋１ ( ， １ １ )]
４ １０ ）＝３× ４（１ １ － － ４ ４ １０ ） ＝４ １１ －４， 故选 Ｄ ． ∴ ( ｎ＝４ １ ) － ２ ｎ ＋ ２ － ３ ＋…＋ ｎ －ｎ ＋１
３．（２０１８江西南昌二中模拟， { ４）已 } 知等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和 ＝４ １－ｎ ＋ １ １ ＝ｎ ４ ＋１ ．
为Ｓ ｎ， ａ ３＝３， Ｓ ４＝１０， 则数列 Ｓ １
ｎ
的前 １００ 项的和为 （ ） ６．（
æ
多
Ｓ
选
Ｓ
题）
ö
在数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ， ａ １ ＝ ２， 其前 ｎ 项和为 Ｓ ｎ， 若点
ç ｎ ｎ ＋１÷在直线ｙ ｘ 上 则有
２００ １００ １ ２ è ｎ ，ｎ ø ＝２ －１ ， （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＋１
答 １０ 案 １ Ａ ∵ Ｓ ４ １ ＝ ０ ４ １ （ ａ １ ２ ＋ ａ ４） ＝１０ １ ， ０ ∴ １ ａ １＋ ａ ４＝５， １０１ Ａ Ｃ． ． Ｓ Ｓ ｎ ｎ ＝ ＝ ｎ ｎ （ （ １ １ ＋ ＋ ２ ２ ｎ ｎ － ） １ ） Ｂ Ｄ ． ． ａ 数 ｎ＝ 列 （ { ｎ Ｓ ＋ ｎ ｎ １ － ） １ ２ } ｎ － 是 ２ ＋ 等 １ 比数列
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ．
∵ 等 １＋ 差数 ４＝ 列 ２＋ ａ ３， 的 ３ 公 ＝３ 差 ，∴ ｄ ２ ａ ＝２ ａ ａ ａ ｄ 答案 ＡＢＤ 由已知得 Ｓ ｎ ＋１ ２ Ｓ ｎ 则 Ｓ ｎ ＋１ æ ç Ｓ ｎ ö ÷
∴
ａ ｎ
｛ ｎ｝
ｎ
＝ ３－ ２＝１，∴ １＝ ２－ ＝１， ｎ
＋１
＝ ｎ －１， ｎ
＋１
－１＝２è ｎ －１ø，
∴ ｎ＝１＋（ －１）·１＝ ， Ｓ
ｎ ｎ ( ) 又 １ ａ
Ｓ （ ＋１） １ ２ １ １ ． ∵ －１＝ １－１＝１，
∴ ｎ＝ ，∴ Ｓ ＝ｎ ｎ ＝２ ｎ －ｎ １
２ ｎ （ ＋１） ＋１ {Ｓ }
{ } ( 数列 ｎ 是首项为 公比为 的等比数列
则数列 １ 的前 项的和为 １ １ １ １ ∴ ｎ －１ １， ２ ，
Ｓ １００ ２ １－ ＋ － ＋…＋ －
ｎ ２ ２ ３ １００ Ｓ
１ ) ( １ ) ２００．故选 ∴ ｎ ｎ －１＝２ ｎ －１ ，∴ Ｓ ｎ＝ ｎ （１＋２ ｎ －１ ），
＝２× １－ ＝ Ａ．
４． １ （ 日 ０ ２ １ 至 ０２ ２ ０ 月 福建 ２４ 漳 日 １ 州 的 ０１ 第 新 二 冠 １ 次 肺 ０１ 适 炎 应 每 性 日 测 新 试 增 ， 确 ３） 诊 下 病 图 例 是 变 某 化 省 曲 从 线 １ 图 月 ． ２１ 当 当 ∴ ａ ｎ ｎ ｎ ≥ ＝ ＝ １ （ ２ ｎ 时 时 ＋ ， １ ， （ ） ａ １ ｎ ２ ＋ ＝ ｎ － １ ２ Ｓ ） ＋ ｎ－ × １ Ｓ ， ２ ｎ ｎ １ － － ∈ １ ２ ＋ ＝ Ｎ １ （ ∗ ＝ ｎ ， ＋ ２ 故 １ ＝ ） ａ 选 ２ １ ｎ ， － Ａ ２ ＋ Ｂ １ Ｄ ， ．
７．（２０２０浙江五校十月联考，１４ ）设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ
｛ ｎ｝ ｎ，
( )ｎ
且满足 Ｓ
ｎ＝（－１）
ｎａ
ｎ－
１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则 ａ
３ ＝ ，
Ｓ
７
２
．
＝
答案 １ １
－ ；－
１６ ２５６
若该省从 月 日至 月 日的新冠肺炎每日新增确诊人 解析 解法一 当ｎ 时 Ｓ ａ １ 解得ａ １
１ ２１ ２ ２４ ： ＝１ ， １＝－ １－ ， １＝－ ，
数按日期顺序排列构成数列 ａ ａ 的前ｎ项和为Ｓ 则下 ２ ４
列说法中正确的是
｛ ｎ｝，｛ ｎ｝
（
ｎ ，
）
当ｎ
≥２
时
，
Ｓ
ｎ＝（－１）
ｎａ
ｎ－
(
１
)ｎ
，
Ｓ
ｎ －１＝（－１）
ｎ －１ａ
ｎ －１－
(
１
)ｎ －１
，
Ａ Ｂ． ． 数 数 列 列 ｛ ｛ Ｓ ａ ｎ ｎ ｝ ｝ 是 是 递 递 增 增 数 数 列 列 两式相减得ａ ｎ＝（－１） ｎａ ｎ－（－ ２ １） ｎ －１ａ ｎ －１＋ ( ２ １ )ｎ ， ２
数列 ａ 的最大项是ａ ( )ｎ
Ｃ． ｛ ｎ｝ １１ 即 ｎ ａ ｎａ １
Ｄ． 数列 ｛ Ｓ ｎ｝ 的最大项是Ｓ １１ ［１－（－１） ］ ｎ＝（－１） ｎ －１＋ ２ ，
答案 Ｃ 因为 月 日新增确诊人数小于 月 日新增 ( )ｎ
１ ２８ １ ２７ 当ｎ为偶数时 ａ １ 即ｎ为奇数时 ａ １
确诊人数
，
即ａ
７＞
ａ
８，
所以
｛
ａ
ｎ｝
不是递增数列
，
所以选项
Ａ
错 ， ｎ －１＝－
２
， ， ｎ＝－
２
ｎ ＋１，
专题六 数列 ３８７
所以ａ ａ ａ ａ 解得ａ ．所以ａ ａ ．
所以ａ １ １ ３＋ ４＋ ５＝３ ４＋４＝２８， ４＝８ ３＋ ５＝２０
３＝－ ４ ＝－ ， ( )
２ １６ 由ａ ａ 得 ｑ １ 解得ｑ 或ｑ １
æ ö ３＋ ５＝２０ ８ ＋ ｑ ＝２０， ＝２ ＝ ，
Ｓ ７ ç １ ÷ １ １ １ ． ２
７＝（－１） ×è－ ２ ８ ø－ ２ ７ ＝－ ２ ８ ＝－ ２５６ 因为ｑ ＞１， 所以ｑ ＝２ ．
设ｃ ｂ ｂ ａ 数列 ｃ 的前ｎ项和为Ｓ ．
解法二 当ｎ 时 Ｓ ａ １ 解得ａ １ （２） ｎ＝（ ｎ ＋１－ ｎ） ｎ， ｛ ｎ｝ ｎ
当ｎ ≥２ ： 时 ， Ｓ ＝ ｎ＝ １ （－ ， １） １ ｎ （ ＝ Ｓ － ｎ ( － １ Ｓ － ｎ － ２ ) １） ｎ ， － ( ２ １ ) １ ｎ ， ＝－ ４ ， 则 当 当 Ｓ ｎ ｎ ≥ ｎ ＝ ＝ １ ２ ２ 时 ｎ 时 ２ ， ＋ ， ｃ ｎ ｃ １ ｎ ， ＝ ＝ 当 ３ Ｓ ｎ 符 ｎ － ＝ Ｓ 合 １ ｎ － 上 １ 时 ＝ 式 ， ２ ｃ ｎ ， １ ２ ∴ ＝ ＋ Ｓ ｎ ｃ １ － ｎ ＝ ［ ＝ ３ ２ ４ ， （ ｎ ｎ － － １ １ ， ） ｎ ∈ ２ ＋（ Ｎ ｎ ∗ － ． １）］＝４ ｎ －１ ．
当ｎ为偶数时
，
有Ｓ
ｎ －１＝－ ２
１
， 由 （１） 可知ａ ｎ＝２ ｎ －１ ， 所以ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ＝（４ ｎ －１）·
(
１
)ｎ －１
，
( )ｎ ( ) ２
即ｎ为奇数时 Ｓ １ ＋１ 所以Ｓ １ ８ １ ( )ｎ －２
， ｎ＝－
２
， ７＝－
２
＝－
２５６
， 故ｂ
ｎ－
ｂ
ｎ －１＝（４
ｎ
－５）·
１
，
ｎ
≥２，
( ) ( ) ( ) ( ) ２
Ｓ ａ １ ３ 即ａ Ｓ １ ３ １ ４ １ ３ １ ． ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ ｂ
３＝－ ３－
２
， ３＝－ ３－
２
＝
２
－
２
＝－
１６
ｎ－ １＝（ ｎ－
(
ｎ －１）
)
＋
ｎ
（
－２
ｎ －１－ ｎ －２）＋…
(
＋（
)
３
ｎ
－
－３
２）＋（ ２－ １）
８．（２０１８山西太原一模，１５）在数列 ａ 中 ａ ａ ａ ｎ １ ｎ １ １ ．
｛ ｎ｝ ， １＝０， ｎ－ ｎ －１－１＝ ＝（４ －５）· ＋（４ －９）· ＋…＋７· ＋３
２ ２ ２
２ ( （
ｎ
－ ) １ ｎ ）（
ｎ
∈
Ｎ∗
，
ｎ
≥２），
若数列
｛
ｂ
ｎ｝
满足 ｂ
ｎ ＝
ｎ ａ
ｎ ＋１＋１× 设Ｔ ｎ＝３＋７· １ ＋１１·
(
１
)
２ ＋…＋（４ ｎ －５）·
(
１
)ｎ
－２ ， ｎ ≥２，
８ 则数列 ｂ 的最大项为第 项． ２ ２ ２
， ｛ ｎ｝ ( ) ( )
１１ １ Ｔ １ １ ２ １ ３ ｎ
答案 ｎ ＝３· ＋７· ＋１１· ＋…＋（４ －９）·
６ ２ ２ ２ ２
解析 因为ａ ｎ－ ａ ｎ －１－１＝２（ ｎ －１）（ ｎ ∈ Ｎ∗ ， ｎ ≥２）， 所以 ａ ｎ－ ( １ )ｎ －２ ｎ ( １ )ｎ －１
ａ （ ｎ ２ － ｎ １ － ＝ ３ ２ ） ｎ ＋ － … １（ ＋ ｎ ３ ∈ ＋ ａ Ｎ １ ∗ ＝ ， ｎ ｎ ２ ≥ －１ ２ （ ） ｎ ， ≥ 所 ２ 以 ）， 根 又 据 ｎ 累 ＝１ 加 时 法 ， ( 得 ａ １＝ ａ ) ｎ ０ ｎ ＝ 满 （ 足 ２ ｎ 上 － ｂ １ 式 ）＋ ， 所 ２ 以 １ Ｔ ＋ ｎ （ ＝ ４ ３＋ － ４ ５ · ）· １ ＋ ２ ４· ( １ ， ) ２ ＋…＋４· ( １ )ｎ －２ －（４ ｎ －５）·
所以ａ ｎ＝ ｎ２ －１（ ｎ ∈ Ｎ∗ ）， 所以ｂ ｎ＝ ｎ （ ｎ ＋１）× １ ８ １ ， 因为 ｂ ｎ ＋ ｎ １ ＝ ( １ ) ２ ｎ －１ ， 因此Ｔ ｎ＝ ２ １４－（４ ｎ ＋ ２ ３）· ( １ )ｎ －２ ， ｎ ２ ≥２，
９． 列 （ ８（ ２ １ ｛ ｎ ０ １ ｂ ＋ ２ ｎ ｎ ２ ０ ｝ ） 的 天 ， 所 最 津 以 大 静 当 项 海 为 ｎ 大 ≤ 第 邱 ５ 庄 ６ 时 项 中 ， ． ｂ 学 ｎ ＋１ 第 ＞ 一 ｂ ｎ， 次 当 质 ｎ 量 ≥ 检 ６ 测 时 ， ， １ ｂ ９ ｎ ＋ ） １＜ 已 ｂ 知 ｎ， 因 等 此 差 数 数 １１． 又 （２ ２ ０ ｂ １ ２ ＝ ０ １ 天 ， 所 津 以 杨 ｂ 村 ｎ＝ 一 １ 中 ５－ 第 （４ 一 ｎ ＋ 次 ３） 月 · 考 ( ， １ ２ １ ２ ９ ) ） ｎ － 已 ２ ． 知数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ
列 （１ ｛ ） ａ 求 ｎ｝ ａ 满 ｎ 及 足 ： Ｓ ａ ｎ ３ ； ＝７， ａ ５＋ ａ ７＝２６，｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ ． 项 （１ 和 ） 求 为 数 Ｓ 列 ｎ， 且 ｛ ａ ｎ Ｓ ｝ ｎ 的 ＝２ 通 ａ ｎ 项 －１ 公 （ 式 ｎ ∈ ； Ｎ∗ ） ．
令ｂ ｎａ 求数列 ｂ 的前ｎ项和Ｔ
（２）
令ｂ
ｎ＝ａ２ｎ
１
－１
（
ｎ
∈
Ｎ∗
），
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｔ
ｎ
． （
（
２
３
）
）
记ｃ
ｎ
ｎ
＝
＝
３
ｎ
－
ｎ，
２·（－１）
｛
ｎλ
ｎ
ａ
｝
ｎ（
λ
≠０），
是否
ｎ
存
；
在实数λ使得对
解析
（１）
设等差数列
｛
ａ
ｎ｝
的公差为ｄ
，
任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
恒有 ｃ
ｎ ＋１＞
ｃ
ｎ？
若存在
，
求出 λ 的取值范
因为ａ ａ ａ 围 若不存在 说明理由．
３＝７， ５＋ ７＝２６， ； ，
{ａ ｄ {ａ 解析 当ｎ 时 ａ ａ 即ａ
所以 １＋２ ＝７， 解得 １＝３， （１） ＝１ ， １＝２ １－１， １＝１，
２ ａ １＋１０ ｄ ＝２６， ｄ ＝２， 当ｎ ≥２ 时 ， Ｓ ｎ －１＝２ ａ ｎ －１－１，
所以ａ
ｎ＝３＋２（
ｎ
－１）＝２
ｎ
＋１，
Ｓ
ｎ＝３
ｎ
＋
ｎ （ ｎ
２
－１）
×２＝
ｎ２
＋２
ｎ． ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１＝２
ａ
ｎ－２
ａ
ｎ －１，
即
ａ
ａ
ｎ －
ｎ
１
＝２，
（２）
由
（１）
知ａ
ｎ＝２
ｎ
＋１， ∴
数列
｛
ａ
ｎ｝
是首项为
１，
公比为
２
的等比数列
，
故ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
所以ｂ １ １ １ １ （２） 由 （１） 得ｂ ｎ＝ ｎａ ｎ＝ ｎ ·２ ｎ －１ ， 可得Ｔ ｎ＝１·２ ０ ＋２· ２ １ ＋３·２ ２
ｎ＝ａ２ｎ－１ ＝ （２ ｎ ＋１） ２ －１ ＝ ４ ·ｎ （ ｎ ＋１） ＋…＋ ｎ ·２ ｎ －１ ，２ Ｔ ｎ＝１·２ １ ＋２·２ ２ ＋３·２ ３ ＋…＋ ｎ ·２ ｎ ，
１ ( １ １ ) 两式相减得 － Ｔ ｎ＝２ ０ ＋２ １ ＋２ ２ ＋…＋２ ｎ －１ － ｎ ·２ ｎ ，
＝ ４ · ｎ －ｎ ＋ ( １ ， ) ∴ Ｔ ｎ＝（ ｎ －１）·２ ｎ ＋１ ．
所以Ｔ １ １ １ １ １ １ 存在．由 得ｃ ｎ ｎλａ ｎ ｎλ ｎ．假
ｎ＝ · １－ ＋ － ＋…＋ ｎ －ｎ （３） （１） ｎ＝３ －２·（－１） ｎ＝３ －（－１） ·２
(
４
)
２
ｎ
２ ３ ＋１ 设存在实数λ使得对任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
恒有ｃ
ｎ ＋１＞
ｃ
ｎ，
１０ ＝ ．（２ ４ １ ０ · ２０ １ 河 －ｎ 北 ＋ １ １ 邯郸 ＝ ４ 大 （ ｎ 名 ＋１ 一 ） ． 中第六周周测，１９）已知等比数列 ２ 即 · ｃ ３ ｎ ＋ ｎ １ － － （ ｃ － ｎ＞ ２ ０ ） ， ｎ 则 ·（ ３ － ｎ ＋ ２ １ ） － λ （ ＋ － （ ２） － ｎ ２ ＋ ） １λ ｎλ － ＞ ３ ｎ ０ ＋ ， （－２） ｎλ ＞０，
｛ ａ ｎ｝ 的公比ｑ ＞１， 且ａ ３＋ ａ ４＋ ａ ５＝２８， ａ ４＋２ 是ａ ３， ａ ５ 的等差中 即 （－２） ( ｎλ ＞ ) － ｎ ３ ｎ －１ ·２ ．当ｎ为偶数时 ，２ ｎλ ＞－３ ｎ －１ ·２，
项．数列 ｛ ｂ ｎ｝ 满足 ｂ １＝１， 数列 ｛（ ｂ ｎ ＋１－ ｂ ｎ） ａ ｎ｝ 的前 ｎ 项和为 则λ ＞－ ３ －１ ， ｎ ∈ Ｎ∗ ，∴ λ ＞－ ３ ，
ｎ２ ｎ． ２ ２
２ ＋
求ｑ的值
当ｎ为奇数时
，－２
ｎλ
＞－３
ｎ －１
·２，
（１） ； ( )ｎ
（２）
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的通项公式． λ
＜
３
－１
，
ｎ
∈
Ｎ∗
，∴
λ
＜１
．综上所述
，－
３
＜
λ
＜１
．
解析 由ａ 是ａ ａ 的等差中项得ａ ａ ａ ２ ２
（１） ４＋２ ３， ５ ３＋ ５＝２ ４＋４，
