北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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6.4 数列求和
考点 数列的求和
1.(2017课标Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴
趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求
满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440 B.330 C.220 D.110
答案 A 本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.
不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2n-1)+(1+2+…+2t)=2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n),
n(n+1)
则有N= +t+1,因为N>100,所以n≥13.
2
由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m.
因为n≥13,所以2n>n+2,
所以2n+1>2n+n+2,即2n+1-n-2>2n,
因为2t+1-1>0,
所以2m>2n+1-n-2>2n,故m≥n+1,
因为2t+1-1≤2n+1-1,所以2m≤2n+2-n-3,故m≤n+1.
所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n≥13,所以t≥3.
当t=3时,N=95,不合题意;
当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440.
解题关键 解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1.
一题多解 本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.
2.(2014课标Ⅱ文,5,5分)等差数列{a}的公差为2,若a,a,a 成等比数列,则{a}的前n项和S=( )
n 2 4 8 n n
A.n(n+1) B.n(n-1)
n(n+1) n(n−1)
C. D.
2 2
答案 A ∵a,a,a 成等比数列,
2 4 8
∴ a2 =a 2 ·a 8 ,即(a 1 +3d)2=(a 1 +d)(a 1 +7d),
4
将d=2代入上式,解得a=2,
1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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n(n−1)·2
∴S=2n+ =n(n+1),故选A.
n
2
3.(2012课标文,12,5分)数列{a}满足a +(-1)na=2n-1,则{a}的前60项和为( )
n n+1 n n
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
答案 D 当n=2k时,a +a =4k-1,
2k+1 2k
当n=2k-1时,a -a =4k-3,
2k 2k-1
∴a +a =2,∴a +a =2,
2k+1 2k-1 2k+1 2k+3
∴a =a ,
2k-1 2k+3
∴a=a=…=a .
1 5 61
30×(3+119)
∴a+a+a+…+a =(a+a)+(a+a)+…+(a +a )=3+7+11+…+(2×60-1)= =30×61=1 830.
1 2 3 60 2 3 4 5 60 61
2
4.(2019浙江,10,4分)设a,b∈R,数列{a
n
}满足a
1
=a,a
n+1
=
a2
+b,n∈N*,则( )
n
1 1
A.当b= 时,a >10 B.当b= 时,a >10
10 10
2 4
C.当b=-2时,a >10 D.当b=-4时,a >10
10 10
答案 A 本题以已知递推关系式判断指定项范围为载体,考查学生挖掘事物本质以及推理运算能力;考查
的核心素养为逻辑推理,数学运算;体现了函数与方程的思想,创新思维的应用.
令a
n+1
=a
n
,即
a2
+b=a
n
,即
a2
-a
n
+b=0,若有解,
n n
1
则Δ=1-4b≥0,即b≤ ,
4
1 1±√1−4b
∴当b≤ 时,a= ,n∈N*,
4 n 2
1 1+√1−4b 1−√1−4b
即存在b≤ ,且a= 或 ,使数列{a}为常数列,
4 2 2 n
1 1−√1−4b
B、C、D选项中,b≤ 成立,故存在a= <10,
4 2
1−√1−4b
使a= (n∈N*),排除B、C、D.
n
2
对于A,∵b=1,∴a
2
=
a2
+1≥1,a
3
=
a2
+1≥(1) 2 +1=3,a
4
≥(3) 2 +1=17,
2 1 2 2 2 2 2 2 4 4 2 16北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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∴a
5
>(17) 2 ,a
6
>(17) 4 ,…,a
10
>(17) 64 ,
16 16 16
而(17) 64 =( 1+ 1 ) 64 =1+ C1 × 1 + C2 ×( 1 ) 2 +…=1+4+63+…>10.故a 10 >10.
16 16 64 16 64 16 8
5.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a},则{a}的前n项和
n n
为 .
答案
3n2-2n
解析:∵数列{2n-1}的项为1,3,5,7,9,11,13,…,
数列{3n-2}的项为1,4,7,10,13,…,
∴数列{a}是首项为1,公差为6的等差数列,
n
∴a=1+(n-1)×6=6n-5,
n
(1+6n−5)×n
∴数列{a}的前n项和S= =3n2-2n.
n n
2
6.(2015福建文,16,4分)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序
后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .
答案 9
解析 依题意有a,b是方程x2-px+q=0的两根,则a+b=p,ab=q,由p>0,q>0可知a>0,b>0.由题意可知
ab=(-2)2=4=q,a-2=2b或b-2=2a,
将a-2=2b代入ab=4可解得a=4,b=1,此时a+b=5,将b-2=2a代入ab=4可解得a=1,b=4,此时a+b=5,则p=5,故
p+q=9.
评析 本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查函数与方程思想、化归与转化思想.
7.(2015江苏,11,5分)设数列{a}满足a=1,且a -a=n+1(n∈N*),则数列{1 }前10项的和为 .
n 1 n+1 n
a
n
20
答案
11
解析 由已知得,a-a=1+1,a-a=2+1,a-a=3+1,……,a-a =n-1+1(n≥2),则有a-a=1+2+3+…+n-1+(n-1)(n≥2),
2 1 3 2 4 3 n n-1 n 1
n2+n n2+n
因为a=1,所以a=1+2+3+…+n(n≥2),即a= (n≥2),又当n=1时,a=1也适合上式,故a= (n∈N*),所
1 n n 1 n
2 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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以 1 = 2 =2(1 1 ),从而 1 + 1 + 1 +…+ 1 =2×( 1)+2×(1 1)+2×(1 1)+…+2×
− 1− − −
a n2+n n n+1 a a a a 2 2 3 3 4
n 1 2 3 10
( 1 1 )=2×( 1 )=20.
− 1−
10 11 11 11
8.(2016北京,12,5分)已知{a}为等差数列,S 为其前n项和.若a=6,a+a=0,则S= .
n n 1 3 5 6
答案 6
解析 设等差数列{a}的公差为d,∵a=6,a+a=0,
n 1 3 5
6×5
∴6+2d+6+4d=0,∴d=-2,∴S=6×6+ ×(-2)=6.
6
2
9.(2021新高考Ⅰ,16,5分)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对
折.规格为20 dm×12 dm的长方形纸,对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形,它们
的面积之和S=240 dm2,对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形,它们
1
的面积之和S=180 dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ;如果对折n次,
2
n
那么
∑❑S=
dm2.
k
k=1
答案 5;240× ( 3− n+3)
2n
解析
解法一:列举法+归纳法.
由上图可知,对折n次后,共可以得到(n+1)种不同规格的图形,故对折4次可以得到5种不同规格的图形.
归纳上述结论可知,对折n次后得到不同规格的图形的面积之和为[
120(n+1)·
(1) n−1] dm2(n∈N*),
2
故S k = [ 120(k+1)· (1) k−1] dm2(k∈N*),
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记T
n
=
∑❑
n (k+1)(1) k−1 ,
2
k=1
2 3 4 n n+1
∴T=
+ + +…+ +
,①
n 20 21 22 2n−2 2n−1
1 2 3 4 n n+1
Tn= + + +…+ + ,②
2 21 22 23 2n−1 2n
1 1 1 1 n+1
①-②得, Tn=2+ + +…+ −
2 2 22 2n−1 2n
1[ (1) n−1]
1−
=2+2 2 n+1 n+3,
− =3−
1 2n 2n
1−
2
n+3
∴T=6- ,
n 2n−1
∴∑❑
n
Sk=120× ( 6−
n+3)
=
[
240× ( 3−
n+3) ]
dm2.
2n−1 2n
k=1
20 20 12 20 12 12
解法二:对折3次可以得到 dm×12 dm, dm× dm, dm× dm,20 dm× dm,共四
8 4 2 2 4 8
种不同规格的图形,
20 20 12 20 12 20 12
对折4次可以得到 dm×12 dm, dm× dm, dm× dm, dm× dm,20 dm×
16 8 2 4 4 2 8
12
dm,共五种不同规格的图形,
16
20×12
由此可以归纳出对折n次可得到(n+1)种不同规格的图形,每种规格的图形的面积均为 dm2,
2n
∴ ∑❑ n S k = 20×12× 1 ×2+ 1 ×3+ 1 ×4+…+ 1 ×(n+1) dm2,
2 4 8 2n
k=1
2 3 n+1
记T= + +…+ ,
n 2 4 2n
1 2 3 n+1
则
Tn= + +…+
,
2 4 8 2n+1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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∴T n - 1 Tn= 1 Tn=1+ (1 + 1 +…+ 1 ) − n+1 = 3 − 1 − n+1 = 3 − n+3,
2 2 4 8 2n 2n+1 2 2n 2n+1 2 2n+1
∴T n =3-
n+3
,∴∑❑
n
Sk=
[
240× ( 3−
n+3) ]
dm2.
2n 2n
k=1
10.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1 =1,a n+1
={a
n
+1,n为奇数,
a +2,n为偶数.
n
(1)记b=a ,写出b,b,并求数列{b}的通项公式;
n 2n 1 2 n
(2)求{a}的前20项和.
n
解题指导:(1)由已知条件求出{a}的递推式,从而得出{b}的递推式,再由已知条件求出b,从而求出数列
n n 1
{b}的通项公式.(2)根据题目条件把{a}的前20项分成两组,并用其中偶数项的和表示前20项的和,再用数
n n
列{b}的前10项的和表示,根据等差数列前n项和公式求出结果.
n
解析
(1)由题意得a =a +2,a =a +1,
2n+1 2n 2n+2 2n+1
所以a =a +3,即b =b+3,且b=a=a+1=2,
2n+2 2n n+1 n 1 2 1
所以数列{b}是以2为首项,3为公差的等差数列,
n
所以b=2,b=5,b=2+(n-1)×3=3n-1.
1 2 n
(2)当n为奇数时,a=a -1.
n n+1
设数列{a}的前n项和为S,
n n
则S =a+a+…+a
20 1 2 20
=(a+a+…+a )+(a+a+…+a )
1 3 19 2 4 20
=[(a-1)+(a-1)+…+(a -1)]+(a+a+…+a )
2 4 20 2 4 20
=2(a+a+…+a )-10,
2 4 20
10×9
由(1)可知a+a+…+a =b+b+…+b =10×2+ ×3=155,
2 4 20 1 2 10
2
故S =2×155-10=300,即{a}的前20项和为300.
20 n
解题关键:一是对已知关系式进行转化,进而利用等差数列定义求得数列{b}的通项公式;二是利用分组求
n
和的方式对S 进行重组变形,结合a 与b 的关系求得结果.
20 n n
11.(2020课标Ⅲ理,17,12分)设数列{a}满足a=3,a =3a-4n.
n 1 n+1 n
(1)计算a,a,猜想{a}的通项公式并加以证明;
2 3 n
(2)求数列{2na}的前n项和S.
n n北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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解析
(1)a=5,a=7.
2 3
猜想a=2n+1.由已知可得
n
a -(2n+3)=3[a-(2n+1)],
n+1 n
a-(2n+1)=3[a -(2n-1)],
n n-1
……
a-5=3(a-3).
2 1
因为a=3,所以a=2n+1.
1 n
(2)由(1)得2na=(2n+1)2n,
n
所以S=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n. ①
n
从而2S=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1. ②
n
①-②得
-S=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.
n
所以S=(2n-1)2n+1+2.
n
方法总结 数列求和的5种方法
解决数列的求和问题,首先要得到数列的通项公式,有了通项公式,再根据其特点选择相应的求和方法.数列
1
求和的方法有以下几类:(1)公式法:等差或等比数列的求和用公式法;(2)裂项相消法:形如a= ,
n n(n+k)
可裂项为a
n
=1
·
(1
−
1 );(3)错位相减法:形如c
n
=a
n
·b
n
,其中{a
n
}是等差数列,{b
n
}是等比数列;(4)分
k n n+k
组求和法:形如c=a+b,其中{a}是等差数列,{b}是等比数列;(5)并项求和法.
n n n n n
12.(2016课标Ⅱ,17,12分)S 为等差数列{a}的前n项和,且a=1,S=28.记b=[lg a],其中[x]表示不超过x的最
n n 1 7 n n
大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b,b ,b ;
1 11 101
(2)求数列{b}的前1 000项和.
n
解析 (1)设{a}的公差为d,根据已知有7+21d=28,
n
解得d=1.
所以{a}的通项公式为a=n.
n n
b=[lg 1]=0,b =[lg 11]=1,b =[lg 101]=2.(6分)
1 11 101
