文档文本内容
专题五 万有引力与航天
课标解读
考情分析 备考指导
考点 内容
．通过史实 了解万有引力定律的发现 本专题考查的学科素养主要是物理观
１ ，
过程 念 科学思维 具体内容 ．开普勒行 ．本专题是万有引力定律在天体运行
。 ， 。 ：１ １
万有引力定律 ．知道万有引力定律 星运动定律 ．万有引力定律 ．引力常 中的应用 注意同步卫星是与地球相
２ 。 ；２ ；３ ，
及其应用 ．认识发现万有引力定律的重要意义 量 ．利用万有引力定律研究天体运 对静止的卫星 而双星或多星模型有
３ 。 ；４ ；
．认识科学定律对人类探索未知世界 动 ．天体质量和密度的计算 可能没有中心天体
４ ；５ 。 。
的作用 命题趋势 万有引力定律在航空航天领 ．学好本专题有助于学生加深对万有
。 ： ２
域的应用 月球的探测 嫦娥系列 多 引力定律的灵活应用 加深对力和运
、 、 。 ，
以选择题形式出现 几乎每年必考 通 动关系的理解
， 。 。
过航空航天科学技术让考生认识科学 ．需要用到的知识 牛顿第二定律 万
人造卫星、宇宙 ．会计算人造地球卫星的环绕速度 ３ ： 、
１ 。 本质 形成良好的科学态度及社会责 有引力定律 圆周运动规律等
航行 ．知道第二宇宙速度和第三宇宙速度 ， 、 。
２ 。 任感
。
命题立意 解题指导 拓展延伸
本题以 嫦娥四号 探测器围绕月球运行 解答此题的难点在于引力常量Ｇ并不是 万有引力定律的应用一直是高考的重点
“ ” ，
为背景 考查万有引力定律 黄金代换公 已知量 因此应先用已知量表示出引力常 也是高频考点 黄金代换公式 天体表面
， 、 ， ， 、
式 意在考查学生的分析 推理能力 体 量 这就用到了高中物理的一个特殊公 的第一宇宙速度都是近几年高考经常出
， 、 。 ，
现了物理学科核心素养中物质观念 运动 式 黄金代换公式 再根据月球对 嫦 现的题目 本题还可以延伸到关于距离天
、 ——— ； “ ，
与相互作用观念 科学推理等要素 娥四号 的万有引力提供其做圆周运动的 体不同高度处重力加速度的求解 关于不
、 。 ” ，
向心力 列出式子即可求得 嫦娥四号 做 同卫星绕地球运行的轨道参量的比较等
， “ ” 。
圆周运动的速率 答案解析见
。 Ｐ２９２
１３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）专题五 万有引力与航天 １３５
真题多维细目表
考点
真题 涉分 题型 设题情境 学科素养
万有引力定律及其应用 人造卫星 宇宙航行
２０２０课标 １５ ６ 万有引力定律的应用 单选 火星与地球 科学推理
Ⅰ，
２０２０课标 １６ ６ 万有引力与航天 单选 嫦娥四号 模型建构、科学推理
Ⅲ，
２０２０山东 ７ ３ 宇宙航行 单选 天问１号 模型建构、科学推理
，
２０１９课标 ２１ ６ 万有引力定律应用 多选 ａ－ｘ图像 模型建构、科学推理
Ⅰ，
２０１９课标 １４ ６ 万有引力定律 单选 嫦娥四号探测器 科学推理
Ⅱ，
２０１９课标 １５ ６ 万有引力定律应用 单选 行星运动 模型建构、科学推理
Ⅲ，
２０１９浙江４月选考 ７ ３ 人造卫星 单选 地球同步卫星 运动观念、科学推理
，
２０１９北京理综 １８ ６ 人造卫星 单选 地球同步卫星 科学推理、能量观念
，
２０１９江苏单科 ４ ３ 人造卫星 单选 椭圆轨道运行 模型建构、科学推理
，
２０１９海南单科 ４ ４ 人造卫星 单选 卫星运动参量比较 运动观念、科学推理
，
２０１８课标 ２０ ６ 万有引力定律应用 多选 双星运动 模型建构、科学论证
Ⅰ，
２０１８课标 １６ ６ 万有引力定律应用 单选 星体自转 科学推理
Ⅱ，
２０１８北京理综 １７ ６ 万有引力定律应用 单选 月地检验 科学论证
，
２０１８浙江４月选考 ９ ３ 万有引力定律应用 单选 土星的卫星“泰坦” 科学推理
，
２０１８海南单科 ２ ４ 万有引力定律应用 单选 土星与火星 模型建构、科学论证
，
２０１７课标 １４ ６ 宇宙航行 单选 交会对接 模型建构、科学论证
Ⅲ，
２０１７北京理综 １７ ６ 万有引力定律应用 单选 卫星与月球 科学论证
，
２０１７浙江１１月选考 ７ ３ 人造卫星 单选 卫星轨道 科学论证、科学推理
，
２０１６课标 １７ ６ 同步卫星 单选 三颗卫星通信 模型建构、科学推理
Ⅰ，
２０１６课标 １４ ６ 行星运动规律 单选 行星运动规律 物质观念
Ⅲ，
２０１６江苏单科 ７ ４ 万有引力定律应用 多选 两颗人造卫星 运动观念、科学论证
，
２０１６天津理综 ３ ６ 飞船变轨 单选 飞行器对接 模型建构、科学推理
，
２０１６浙江１０月选考 １２ ３ 人造卫星 单选 天宫二号 运动观念、科学论证
，
命题规律与探究
由近几年的考情分析可见 对本专题的考查内容主要有 变轨时各参量的变化规律等热点问题 所用解题方法主要是
， ： 。
万有引力定律的理解和应用 人造卫星的发射 运行和变轨的 公式法 比例法和估算法 考题中所体现的学科核心素养主要
， 、 、 ；
相关知识 命题中常常以我国航空航天技术的发展成果为背 有 运动与相互作用的观念 能量观念 模型建构 科学推理和
。 ： 、 、 、
景 以中心天体为模型 具体考查开普勒行星运动定律 重力 科学论证及严谨认真的科学态度
， ， 、 。
与万有引力的关系 求中心天体的质量和密度 第一宇宙速 本专题的题型以单项选择题为主 多为容易题或中等难
、 、 ，
度 卫星运行中的各种运动参量与卫星轨道半径的关系 卫星 度题 极少有难题
、 、 ， 。
备考方法与策略
本专题为每年必考内容 但题目难度一般不大 复习备考 程中要特别注意培养学生模型建构 科学推理与科学论证的
， ， 、
时要抓住要点 提高复习的效率 要知道开普勒行星运动定 素养 培养学生的运算能力和估算能力 掌握用比例法分析问
， 。 ， ，
律 熟练掌握万有引力定律的基本应用 对于卫星变轨等较难 题的技巧 练习过程中要多关注航空航天的新进展 因为新
， ， 。 ，
问题 知道分析的关键所在即可 不要在此耗时费力 复习过 信息常常用于命题背景
， ， 。 。１３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
在地球同一纬度处 重力加速度随物体离地面高度的增加
，
而减小 因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增加而减
，
Ｍ
小 即 ｇ′ Ｇ
考点一 万有引力定律及其应用 ， ＝ Ｒ ｈ ２。
（ ＋ ）
１．开普勒行星运动定律 ３．天体质量和密度的计算
开普勒第一定律 轨道定律 所有的行星围绕太阳运
（１） （ ）： 方法 已知量 利用公式 表达式 备注
行的轨道都是椭圆 太阳处在所有椭圆的一个焦点上
， 。 Ｍｍ ２ ２ｒ３
（２） 开普勒第二定律 （ 面积定律 ）： 对于每一个行星而言 ， 太 ｒ 、 Ｔ Ｇ ｒ２ ＝ ｍｒ４ Ｔ π ２ Ｍ ＝ ４ Ｇ π Ｔ２
阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积
。 ｒ ｖ Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
Ｍ
ｒｖ２
只能得到
开普勒第三定律 周期定律 所有行星的轨道的半长 利用运行 、 ｒ２ ＝ ｒ ＝ Ｇ
（３） （ ）： 质 中心天体
轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 即 ａ３ ｋ 量 天体 Ｇ Ｍｍ ｍ ｖ２ 的质量
， Ｔ２ ＝ 。 的
计 ｖ Ｔ
ｒ２ ＝ ｒ
Ｍ
ｖ３Ｔ
２．万有引力定律 算 、 Ｇ Ｍｍ ｍｒ４π ２ ＝ ２π Ｇ
万有引力定律
ｒ２ ＝ Ｔ２
（１） 利用天体
自然界中任何两个物体都相互吸引 引力的方向在它们 表面重力 ｇ Ｒ ｍｇ ＧＭｍ Ｍ ｇＲ２
内容 的连线上 引力的大小与物体的质量
，
ｍ 和ｍ 的乘积成 加速度
、 ＝ Ｒ２ ＝ Ｇ —
， １ ２
正比 与它们之间距离ｒ的平方成反比 ｒ３
公式 Ｆ Ｇ ， ｍ １ ｍ ２ 引力常量Ｇ ． －１１ ２ ２ 利用运 ｒ Ｔ Ｒ Ｇ Ｍ ｒ２ ｍ ＝ ｍｒ４ Ｔ π ２ ２ 当 ρ ＝ ｒ Ｇ ３ Ｔ π Ｒ ２Ｒ 时 ３ 利 卫 用 星 近 只 地 需
＝ ｒ２ ， ＝６６７×１０ Ｎ·ｍ ／ｋｇ 密 行天体 、 、 ＝ 测出其运
① 两质点间的作用 度 的 Ｍ ＝ ρ · ４ ３ π Ｒ３ ρ ＝Ｇ ３ Ｔ π ２ 行周期
适用条件 ② 可视为质点的物体间的作用 计 算 利用天体 ｍｇ ＧＭｍ
③
质量分布均匀的球体间的作用
表面重力 ｇ Ｒ
＝ Ｒ２
ρ ３
ｇ
、 ＝ ＧＲ —
（２）
引力常量 加速度 Ｍ
＝
ρ
·
４
π
Ｒ３ ４π
数值 ． －１１ ２ ２ ３
６６７×１０ Ｎ·ｍ ／ｋｇ
测定人 英国物理学家卡文迪什 考点二 人造卫星、宇宙航行
物理 数值上等于两个质量都是 的物体相距 时的相互 一、三个宇宙速度
１ ｋｇ １ ｍ
意义 引力
测定 有力地证明了万有引力的存在
①
意义 使定量计算得以实现
②
实
验
装
置
Ｐ 石英丝 Ｍ 平面镜 Ｏ 光源 Ｎ 刻度尺 Ｑ 倒立 形架
： ： ： ： ： Ｔ
主要思想 放大
实 ： 二、同步卫星的六个“一定”
验 利用四个球间引力
①
思 利用 形架的转动即利用力矩增大引力的可观察效果
想 ② Ｔ
利用小平面镜对光的反射来增大可测量的扭转角度
③
引力与重力的关系
（３）
重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的
；
万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力
。
如图所示 Ｆ 产生两个效果 一是提供
， 引 ：
物体随地球自转所需的向心力 二是产生物
；
体的重力
。
由于Ｆ
向＝
ｍω２ｒ
，
随纬度的增大而
减小 所以物体的重力随纬度的增大而增大
， ，
即重力加速度从赤道到两极逐渐增大 但
。
Ｆ 一般很小 在一般情况下可认为重力和万
向 ，
Ｍｍ Ｍ
有引力近似相等 即Ｇ ｍｇ 常用ｇ Ｇ
， Ｒ２ ＝ ， ＝ Ｒ２
来计算星球表面的重力加速度
。
专题五 万有引力与航天 １３７
电梯仓停在地球同步轨道站 缆绳对它有作用力
Ａ． ，
电梯仓停在地球同步轨道站 缆绳对它无作用力
Ｂ． ，
电梯仓停在中间位置 缆绳对它有沿绳指向地心的作用力
Ｃ． ，
考点一 万有引力定律及其应用
电梯仓停在中间位置 缆绳对它有沿绳背向地心的作用力
Ｄ． ，
１．（２０２０辽宁锦州一轮复习验收）在某行星表面 测得以初速度 １． 答案 ＢＤ
，
竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有 而该行 ２． 年 月 日 时 分我国第一颗电磁检测试验卫星
１０ ｍ／ｓ １ ｍ， ２０１８ ２ ２ １５ ５１
星的半径只有地球的一半 则其平均密度和地球的平均密度之 张衡一号 成功发射 使我国成为世界上少数拥有在轨运行
， “ ” ，
比为 地球表面重力加速度ｇ取 ２ 高精度地球物理场探测卫星的国家之一 已知地球半径为Ｒ
（ １０ ｍ／ｓ ） （ ） ， ，
地球表面处的重力加速度为ｇ 假设一颗距离地面高度为 Ｒ
Ａ．５ ∶ ２ Ｂ．２ ∶ ５ Ｃ．１ ∶ １０ Ｄ．１０ ∶ １ ， ２
１． 答案 Ｄ 的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动 下列关于卫星运动的
，
２．（２０１７北京理综，１７，６分）利用引力常量Ｇ和下列某一组数 说法正确的是
（ ）
据 不能计算出地球质量的是
， （ ） 线速度的大小为 ｇＲ 角速度为 ｇ
地球的半径及重力加速度 不考虑地球自转 Ａ． Ｂ． Ｒ
Ａ． （ ） ２ ２７
人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
Ｂ． ｇ Ｒ
月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 加速度大小为 周期为
Ｃ． Ｃ． Ｄ． ６π ｇ
４
Ｄ．
地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 ２． 答案 Ｂ
２． 答案 Ｄ
３． 多选 中国北斗卫星导航系统 是中国自行研制的全球
（ ） （ＢＤＳ）
３．（２０１８课标Ⅲ，１５，６分）为了探测引力波 天琴计划 预计发
卫星导航系统 是继美国全球定位系统 俄罗斯格洛纳
，“ ”
， （ＧＰＳ）、
射地球卫星Ｐ 其轨道半径约为地球半径的 倍 另一地球卫
斯卫星导航系统 之后第三个成熟的卫星导航系
， １６ ；
（ＧＬＯＮＡＳＳ）
星Ｑ的轨道半径约为地球半径的 倍 Ｐ 与 Ｑ 的周期之比 统 预计 年左右 北斗卫星导航系统将形成全球覆盖能
４ 。
。 ２０２０ ，
约为
力 如图所示是北斗卫星导航系统中部分卫星的轨道示意图
（ ）
。 ，
Ａ．２ ∶ １ Ｂ．４ ∶ １ Ｃ．８ ∶ １ Ｄ．１６ ∶ １ 已知ａ ｂ ｃ三颗卫星均做圆周运动 ａ是地球同步卫星 则
、 、 ， ，
３． 答案 Ｃ
（ ）
４．（２０１９山东师大附中模拟） 年 月 日 国家航天局探
２０１７ １１ ２４ ，
月与航天工程中心副主任裴照宇表示 嫦娥五号任务将是我国
，
首次月球表面采样返回任务 这次任务的完成将标志着我国探
，
月工程 三步走 顺利收官 若已知引力常量Ｇ 那么在下列给
“ ” 。 ，
出的各种情境中 能根据测量的数据求出月球密度的是
，
（ ）
在月球表面使一个小球做自由落体运动 测出落下的高度Ｈ
Ａ． ，
和时间ｔ
卫星ａ的速度小于ｃ的速度
嫦娥五号贴近月球表面做匀速圆周运动 测出运行周期Ｔ Ａ．
Ｂ． ， 卫星ａ的向心加速度大于ｂ的向心加速度
嫦娥五号在高空绕月球做匀速圆周运动 测出距月球表面的 Ｂ．
Ｃ． ， 卫星ｂ的运行速度大于赤道上物体随地球自转的线速度
高度Ｈ和运行周期Ｔ Ｃ．
卫星ｂ的周期小于卫星ｃ的周期
观察月球绕地球的匀速圆周运动 测出月球的直径Ｄ和运 Ｄ．
Ｄ． ， ３． 答案 ＡＣ
行周期Ｔ
４．（２０２０湖北黄石质量监测）如图所示 Ａ为放在地球表面赤道
４． 答案 Ｂ ，
上的物体 Ｂ为一轨道在赤道平面内的实验卫星 Ｃ为在赤道
， ，
上空的地球同步卫星 地球同步卫星Ｃ和实验卫星Ｂ的轨道
考点二 人造卫星、宇宙航行 ，
半径之比为 两卫星的环绕方向相同 那么关于Ａ Ｂ Ｃ的
１．（２０１９海南二模） 多选 用石墨烯制作超级缆绳 人类搭建 ３ ∶ １， ， 、 、
（ ） ， 说法正确的是
太空电梯 的梦想有望在 世纪实现 科学家们设想 通过 （ ）
“ ” ２１ 。 ，
地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站 电梯仓沿着
，
这条缆绳运行实现外太空和地球之间的物资交换 如图所示
， 。
下列有关电梯仓的说法正确的是
（ ） Ｂ Ｃ两颗卫星所受地球万有引力之比为
Ａ． 、 １ ∶ ９
Ｂ卫星的公转角速度大于地面上随地球自转的物体Ａ的角
Ｂ．
速度
同一物体在Ｂ卫星中对支持物的压力比在Ｃ卫星中小
Ｃ．
Ｂ卫星中的宇航员一天内可看到 次日出
Ｄ． ９
４． 答案 Ｂ
１３８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
（ ）地球对同步卫星的万有引力提供同步卫星转动的向心力
２
ＧＭｍ′ ２ ＧＭ ｍ′ ２
ｍ′４π ｒ ， １ ｍ′４π ｒ
ｒ２ ＝ Ｔ２ １ ｒ２ ＝ Ｔ２ ２
拓展一 对重力的理解、重力与万有引力的区别 １ ２
( Ｒ ) ３
１．地球表面物体的重力与万有引力
Ｍ
＝
ρ· ４
３
π
Ｒ３，Ｍ
１＝
ρ· ４
３
π
２
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果 其中一个 ｒ
， 解得 ２ １
分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力 另一个分力等于 ｒ ＝
， １ ２
重力 在两极 向心力等于零 重力等于万有引力 除两
。 （１） ， ， ；（２） 答案 （ ） （ ） １
极外 物体的重力都比万有引力小 在赤道处 物体的万有引 １ ８ ∶ ９ ２
， ；（３） ， ２
力分解为两个分力 Ｆ 和 ｍｇ 两分力在一条直线上 有 Ｆ
（ 向 ）， ， ＝
拓展二 人造卫星的轨道参量
ＧＭｍ
Ｆ
向＋
ｍｇ
，
所以ｍｇ
＝
Ｆ
－
Ｆ
向＝ Ｒ２ －
ｍＲω２
。 １．卫星的轨道参量随轨道半径变化的规律
２．黄金代换公式 Ｍｍ ｖ２
动力学特征 Ｇ ｍａ ｍ ｍω２ｒ ｍ ２π ２ｒ
物体在地球表面附近 脱离地面 绕地球转时 物体所受的 ｒ２ ＝ ｎ＝ ｒ ＝ ＝ （ Ｔ）
（ ） ，
重力等于万有引力 即ｍｇ ＧＭｍ Ｒ为地球半径 ｇ为地球表面 向心加速度ａ ａ Ｇ Ｍ 即ａ １
， ＝ Ｒ２ ， ， ｎ ｎ＝ ｒ２， ｎ∝ｒ２
ＧＭ
附近的重力加速度 上式变形得黄金代换公式ＧＭ ｇＲ２ 线速度ｖ ｖ 即ｖ １
， ＝ 。 ＝ ｒ ， ∝ ｒ
３．距地面一定高度处物体的重力与万有引力
ＧＭ
ＧＭｍ 角速度ω ω 即ω １
物体在距地面一定高度 ｈ 处绕地球转时 ｍｇ′ Ｒ ＝ ｒ３ ， ∝ ｒ３
， ＝ Ｒ ｈ ２，
为地球半径 ， ｇ′为该高度处的重力加速度 ， 可得ＧＭ ＝ ｇ′ （ （ Ｒ ＋ ＋ ｈ ） ） ２ 。 周期Ｔ Ｔ ＝ ４ Ｇ π Ｍ ２ｒ３ ， 即Ｔ ∝ ｒ３
４．在匀质球体
（
质量为 Ｍ
）
内部距离球心 ｒ ２．人造地球卫星的轨道
处的质点 质量为ｍ 受到的万有引力等于球体
由于万有引力提供向心力 因此所有人造地球卫星的轨道
（ ）
，
内半径为ｒ的同心球体 质量为Ｍ′ 对其的万有
圆心都在地心上
（ ）
。
引力 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为
赤道轨道 卫星的轨道在赤道平面内 同步卫星轨道就
（
（１） ： ，
Ｍ′ｍ Ｍ′ Ｍ
即Ｆ Ｇ 而 而该处物体的重力 是其中的一种
０）， ＝ ｒ２ ， ｒ３ ＝Ｒ３，
极地轨
。
道 卫星的轨道过南北两极 即在垂直于赤道的
在数值上等于该处的万有引力 则有
ＧＭｒ３ｍ
ｍｇ′ 得
ＧＭｍ
ｒ 平面
（
内
２）
如极地气象
：
卫星轨道
，
， Ｒ３ｒ２ ＝ ， Ｒ３ ＝ ，
其他轨道 除以上两种
。
轨道外的卫星轨道 轨道平面一
ｍｇ′ 因此球体内距球心ｒ处的重力随着ｒ的增大成正比增加 （３） ： ，
。 。 定通过地球的球心
例１ 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为 。
０。 例２ 年 月 日 我国成功
假设地球是一半径为Ｒ的质量分布均匀的球体 地球表面的重 ２０１８ １ １２ ，
， 发射北斗三号组网卫星 如图为发射卫星
力加速度大小为ｇ 试求 。
。 ： 的示意图 先将卫星发射到半径为ｒ的圆轨
Ｒ ，
在地面上方离地面距离为 处的重力加速度大小与在地 道上做圆周运动 到 Ａ 点时使卫星加速进
（１） ，
２ 入椭圆轨道 到椭圆轨道的远地点Ｂ点时
Ｒ ， ，
面下方地球内部离地面距离为 处的重力加速度大小之比为多少 再次改变卫星的速度 使卫星进入半径为 ｒ的圆轨道 已知卫
？ ， ２ 。
２
星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值 卫星在椭
设想地球的密度不变 自转周期不变 但地球球体半径
，
（２） ， ，
变为原来的一半 仅考虑地球和同步卫星之间的相互作用力 则
圆轨道上Ａ点时的速度为ｖ 卫星的质量为ｍ 地球的质量为Ｍ
， ， ，
， ，
该 设想地球 的同步卫星的轨道半径与以前地球的同步卫星的
引力常量为Ｇ 则发动机在Ａ点对卫星做的功与在Ｂ点对卫星
，
“ ”
轨道半径的比值是多少 做的功之差为 忽略卫星的质量变化
？ （ ） （ ）
ＧＭｍ ＧＭｍ
解析 （
１
）由万有引力等于重力知
Ａ．
３ ｍｖ２
－
３
ｒ Ｂ．
５ ｍｖ２
－
３
ｒ
ＧＭｍ ＧＭ ｍ ４ ４ ８ ４
ｍｇ ， １ ｍｇ ＧＭｍ ＧＭｍ
Ｒ ＝ １ Ｒ ＝ ２ ３ ｍｖ２ ３ ５ ｍｖ２ ３
（Ｒ ）２ （Ｒ ）２ Ｃ． ＋ ｒ Ｄ． ＋ ｒ
＋ － ４ ４ ８ ４
２ ２ Ｍｍ ｖ２
解析 由Ｇ ｍ 可知，卫星在轨道半径为 ｒ 的圆轨
Ｍ
ρ· ４
π
Ｒ３ Ｒ２ ＝ Ｒ
且有 ３ ８
Ｍ １ ＝ ρ· ４ ( Ｒ ) ３ ＝ １ 道上运动的线速度大小ｖ ＧＭ ，在半径为 ｒ的圆轨道上运动
π １＝ ｒ ２
３ ２
ｇ ＧＭ
则 １ ８ 的线速度大小ｖ ，设卫星在椭圆轨道上 Ｂ 点的速度为
ｇ ＝ ２＝ ｒ
２ ９ ２
专题五 万有引力与航天 １３９
ｖ ，已知卫星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值，
Ｂ
拓展四 卫星的变轨问题
ｖ
则有ｖｒ ｖ · ｒ，得卫星在椭圆轨道上Ｂ点时的速度ｖ ，可
＝ Ｂ ２ Ｂ＝ 人造地球卫星的发射过程要经过多次变轨 如图所示 我们
２ ， ，
从以下几个方面讨论
知在Ａ点时发动机对卫星做的功Ｗ １ ｍｖ２ １ ｍｖ２，在Ｂ点时 。
１＝ － １
２ ２
( ｖ ) ２
发动机对卫星做的功 Ｗ １ ｍｖ２ １ ｍ ，可得 Ｗ Ｗ
２＝ ２－ １－ ２＝
２ ２ ２
ＧＭｍ
５ ｍｖ２ ３ ， 正确。
－ ｒ Ｂ
８ ４
答案 Ｂ １．变轨原理及过程
为了节省能量 在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到
（１） ，
拓展三 宇宙速度的理解与计算 圆轨道 上
Ⅰ 。
１．第一宇宙速度的推导 在Ａ点点火加速 由于速度变大 万有引力不足以提供在
（２） ， ，
轨道上做圆周运动的向心力 卫星做离心运动进入椭圆轨道
方法一 ： 由Ｇ Ｍ Ｒ ｍ ２ ＝ ｍ ｖ Ｒ ２ 得ｖ １＝ Ｇ Ｒ Ｍ ＝７ ． ９×１０ ３ ｍ／ｓ。 Ⅰ （３） 在Ｂ点 （ 远地点 ） 再次 ， 点火加速进入圆形轨道 Ⅲ。 Ⅱ。
ｖ２
２．一些物理量的定性分析
方法二 ： 由ｍｇ ＝ ｍ Ｒ 得ｖ １＝ ｇＲ ＝７ ． ９×１０ ３ ｍ／ｓ。 速度 设卫星在圆轨道 和 上运行时的速率分别为ｖ
（１） ： Ⅰ Ⅲ １、
第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度 也是地球 ｖ 在轨道 上过Ａ点和Ｂ点时速率分别为ｖ ｖ 因在Ａ点加速
， ３， Ⅱ Ａ、 Ｂ。 ，
人造卫星的最大环绕速度 则ｖ ｖ 因在Ｂ点加速 则ｖ ｖ 又因ｖ ｖ 故有ｖ ｖ ｖ ｖ
。 Ａ＞ １， ， ３＞ Ｂ， １＞ ３， Ａ＞ １＞ ３＞ Ｂ。
２．宇宙速度与运动轨迹的关系 加速度 因为在Ａ点 卫星只受到万有引力作用 故无论
（２） ： ， ，
ｖ ． 时 卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动 从轨道 还是轨道 上经过Ａ点 卫星的加速度都相同 同理
（１） 发＝７９ｋｍ／ｓ ， 。 Ⅰ Ⅱ ， ， ，
． ｖ ． 时 飞行器绕地球运动的轨迹 从轨道 和轨道 上经过Ｂ点时加速度也相同
（２）７９ ｋｍ／ｓ＜ 发＜１１ ２ ｋｍ／ｓ ， Ⅱ Ⅲ 。
为椭圆 周期 设卫星在 轨道上运行周期分别为Ｔ Ｔ
。 （３） ： Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ １、 ２、
（３）１１
．
２ｋｍ／ｓ≤
ｖ
发＜１６
．
７ｋｍ／ｓ
时
，
飞行器绕太阳做椭圆运动
。 Ｔ 轨道半径分别为ｒ ｒ 半长轴 ｒ 由开普勒第三定律
ａ３
ｋ
ｖ ． 时 卫星将挣脱太阳引力的束缚 飞到太 ３， １、 ２（ ）、 ３， Ｔ２ ＝
（４） 发≥１６７ ｋｍ／ｓ ， ，
阳系以外的空间 可知Ｔ Ｔ Ｔ
。 １＜ ２＜ ３。
例３ 多选 美国国家科学基金会宣布 天文学家发现一 机械能 在一个确定的圆 椭圆 轨道上机械能守恒 若卫
（ ） ， （４） ： （ ） 。
星在 轨道的机械能分别为Ｅ Ｅ Ｅ 则Ｅ Ｅ Ｅ
颗迄今为止与地球最类似的行星
，
该行星绕太阳系外的红矮星 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ １、 ２、 ３， １＜ ２＜ ３。
做匀速圆周运动 这颗行星距离地球约 光年 公转 例４ 多选 如图所示 发射地球同步卫星时 先将卫星
Ｇｌｉｅｓｅ５８１ 。 ２０ ， （ ） ， ，
周期约为 天 它的半径大约是地球的 ． 倍 表面重力加速度 发射至近地圆轨道 然后经点火将卫星送入椭圆轨道 然后
３７ ， １９ ， １， ２，
与地球相近 下列说法正确的是 再次点火 将卫星送入同步轨道 轨道 相切于 Ｑ 点
。 （ ） ， ３。 １、２ ，２、３
该行星的公转角速度比地球大 相切于Ｐ点 则当卫星分别在 轨道上正常运行时 下列说
Ａ． ， １、２、３ ，
该行星的质量约为地球质量的 ． 倍 法中正确的是
Ｂ． ３６ （ ）
该行星第一宇宙速度为 ．
Ｃ． ７９ ｋｍ／ｓ
要在地球上发射航天器到达该星球 发射速度只需达到
Ｄ． ，
地球的第二宇宙速度即可
解析 该行星的公转周期约为 天，而地球的公转周期
３７
为 天，根据ω ２π可知该行星的公转角速度比地球大，选项 卫星在轨道 上的速率小于在轨道 上的速率
３６５ ＝ Ｔ Ａ． ３ １
卫星在轨道 上的角速度大于在轨道 上的角速度
Ａ
正确；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力有Ｇ Ｍ
Ｒ
ｍ
２ ＝
Ｂ
Ｃ
．
． 卫星在轨道 １
３
上经过Ｑ点时的加速度
１
大于它在轨道 ２ 上
经过Ｑ点时的加速度
ＧＭ
ｍｇ，解得ｇ ，这颗行星的重力加速度与地球相近，它的半径
＝Ｒ２
Ｄ．
卫星在轨道
２
上经过Ｐ点时的加速度等于它在轨道
３
上
大约是地球的 ． 倍，所以它的质量约为地球的 ． 倍，故 正 经过Ｐ点时的加速度
１９ ３ ６ Ｂ
确；要在该行星表面发射人造卫星，发射的速度最小为第一宇宙 ＧＭ
解析 由万有引力提供向心力得ｖ ，则半径大的速
＝ ｒ
ＧＭ
速度，第一宇宙速度ｖ ，Ｒ为星球半径，Ｍ为星球质量，所
＝ Ｒ ＧＭ
率小， 正确；由万有引力提供向心力得ω ，则半径大的
以这颗行星的第一宇宙速度大约是地球的 ． 倍，而地球的第 Ａ ＝ ｒ３
一宇宙速度为 ． ，故该星球的第一
１９
宇宙速度约为
角速度小，
Ｂ
错误；在同一点卫星所受的地球引力相等，则加速
． ，故 错
７
误
９
；
ｋ
由
ｍ
于
／ｓ
这颗行星在太阳系外，所以航天器的
度相等，故
Ｃ
错误，
Ｄ
正确。
１０９ ｋｍ／ｓ Ｃ
发射速度至少要达到第三宇宙速度，故 错误。 答案 ＡＤ
Ｄ
答案 ＡＢ
１４０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
拓展一 对重力的理解、重力与万有引力的区别
１．（２０２０天津期末） 多选 雪龙号 南极考察船在由我国驶向
（ ）“ ”
南极的过程中 经过赤道时测得某物体的重力是Ｇ 在南极附
， １；
近测得该物体的重力为Ｇ 已知地球自转的周期为Ｔ 引力常
量为Ｇ 假设地球可视为质
２；
量分布均匀的球体 由此可知
，
同步卫星的质量为
ｇＲ２
， ，
Ａ． Ｇ
（ ） Ｇ
Ｇ 地球的平均密度为 ３
地球的密度为 ３π １ Ｂ． Ｒｇ
Ａ． ＧＴ２ Ｇ Ｇ ４π
（
Ｇ
２－ １）
同步卫星到地心的距离为
３ ｇＲ３Ｔ２
Ｂ． 地球的密度为 ＧＴ２ ３π Ｇ ２ Ｇ Ｃ． ４π ２
（ ２－ １） 地球同步卫星发射的电磁波传到汕头北回归线标志塔的最
Ｇ Ｇ Ｄ．
当地球的自转周期为 ２－ １Ｔ时 放在地球赤道地面上的 ｒ２ Ｒ２ Ｒｒ θ ３ ｇＲ２Ｔ２
Ｃ． Ｇ ， 短时间为 ＋ －２ ｃｏｓ 其中ｒ
２ ｃ （ ＝ ２ ）
物体不再对地面有压力 ４π
２． 答案 Ｄ
Ｇ Ｇ
当地球的自转周期为 ２－ １Ｔ时 放在地球赤道地面上的
Ｄ． Ｇ ， 拓展三 宇宙速度的理解与计算
１
物体不再对地面有压力 １．（２０１９山东日照期末） 多选 年 月 日 中国在西昌
（ ）２０１８ １２ ８ ，
１． 答案 ＢＣ
卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射嫦娥四号探测
２．（２０１９山东泰安二模）假设地球是一半径为Ｒ 质量分布均匀
器 开启了月球探测的新旅程 如图所示 嫦娥四号探测器经
、
， 。 ，
的球体 一矿井深度为ｄ 已知质量分布均匀的球壳对壳内 历地月转移 近月制动 环月飞行 最终实现人类首次月球背面
。 。 、 、 ，
物体的引力为零 矿井底部和地面处的重力加速度大小之 软着陆 开展月球背面就位探测及巡视探测 并通过已在轨道
。 ， ，
比为 运行的 鹊桥 中继星 实现月球背面与地球之间的中继通信
（ ） “ ” ， 。
ｄ ｄ 下列判断正确的是
（ ）
Ａ．１－Ｒ Ｂ．１＋Ｒ
(Ｒ ｄ) ２ ( Ｒ ) ２
－
Ｃ． Ｒ Ｄ． Ｒ ｄ
－
２． 答案 Ａ
３．（２０１９湖北模拟）假设地球可视为质量均匀分布的球体 由于
，
地球的自转 地球表面上不同纬度的重力加速度有所差别 已
， ，
知地球表面的重力加速度在两极的大小为ｇ 在赤道的大小 嫦娥四号在地球上的发射速度一定大于第二宇宙速度
为ｇ 则在纬度为 °的地球表面上重力加速 ０ 度 ， 为 Ａ． 嫦娥四号在Ｐ点进入环月轨道需要减速
１， ３０ （ ） Ｂ．
已知嫦娥四号在近月轨道的周期Ｔ和引力常量Ｇ 可求出月
ｇ２ ｇ２ ｇ２ ｇ２ Ｃ． ，
３ ０＋ １ ０＋３ １ 球的密度
Ａ． Ｂ．
２ ２ 已知嫦娥四号在近月轨道的周期Ｔ和引力常量Ｇ 可求出月
Ｄ． ，
ｇ２ ｇ２ ｇ ｇ ｇ２ ｇ２ ｇ ｇ 球第一宇宙速度
Ｃ． ０＋２ １－ ３ ０ １ Ｄ． ０＋ １－ ３ ０ １
３． 答案 Ｂ １． 答案 ＢＣ
２．宇航员在一行星上以速度ｖ 竖直上抛一质量为ｍ的物体 不
拓展二 人造卫星的轨道参量 ０ ，
计空气阻力 ｔ后落回手中 已知该星球半径为Ｒ
，２ ， 。
１．（２０２０海南模拟） 多选 为了研究某彗星 人类先后发射了两
求出该星球的第一宇宙速度的大小
（ ） ，
（１） 。
颗人造卫星 卫星Ａ在彗星表面附近做匀速圆周运动 运行速
求出该星球的第二宇宙速度的大小 已知取无穷远
。 ，
（２） 。
度为ｖ 周期为Ｔ 卫星Ｂ绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星
处引力势能为零时 物体与星球球心距离为 ｒ 时的引力势能
， ；
，
半径的ｎ倍 引力常量为Ｇ 则下列计算正确的是
ｍＭ
。 ， （ ） 为 Ｅ Ｇ Ｇ为引力常量
彗星的半径为
ｖＴ
彗星的质量为
ｖ３Ｔ ： ｐ＝－ ｒ （ ）。
Ａ． Ｂ． Ｇ
２π ４π ｖ Ｒ ｖ Ｒ
２． 答案 ０ ２ ０
彗星的密度为３π 卫星Ｂ的运行角速度为 ２π （１） ｔ （２） ｔ
Ｃ． ＧＴ２ Ｄ． Ｔ ｎ３
１． 答案 ＡＣＤ 拓展四 卫星的变轨问题
２．（２０１９福建联考）每年 月 日前后是 夏至 时节 太阳几 １．（２０２０山东淄博模拟） 年 月 日 嫦娥四号 月球探
６ ２１ “ ” ， ２０１８ １２ ８ ，“ ”
乎直射北回归线 北半球各地昼最长 夜最短 如图乙所示为 测器在我国西昌卫星发射中心发射成功 并实现人类首次月球
， ， 。 ，
位于广东省汕头市鸡笼山南麓的汕头北回归线标志塔 已知 背面软着陆 嫦娥四号 从环月圆轨道 上的 Ｐ 点实施变
。 。 “ ” Ⅰ
引力常量为Ｇ 地球半径为Ｒ 重力加速度为ｇ 自转周期为Ｔ 轨 进入椭圆轨道 由近月点Ｑ落月 如图所示 关于 嫦娥
， ， ， ， ， Ⅱ， ， 。 “
光速为ｃ 汕头市的纬度为θ 则 四号 下列说法正确的是
， 。 （ ） ”， （ ）
专题五 万有引力与航天 １４１
月轨道 并绕月球做圆周运动 已知月球半径为Ｒ 月球表面
Ⅲ 。 ，
的重力加速度为ｇ 则
０， （ ）
沿轨道 运行至Ｐ点时 需加速才能进入轨道
Ａ． Ⅰ ， Ⅱ 飞行器在Ｂ点处点火后 动能增加
沿轨道 运行的周期大于沿轨道 运行的周期 Ａ． ，
Ｂ． Ⅱ Ⅰ 由已知条件可求出飞行器在轨道 上的运行周期为
沿轨道 运行经Ｐ点时的加速度等于沿轨道 运行经Ｐ点 Ｂ． Ⅱ
Ｃ． Ⅱ Ⅰ Ｒ
时的加速度 ５
５π ｇ
沿轨道 从Ｐ点运行到Ｑ点的过程中 月球对探测器的万 ２ ０
Ｄ． Ⅱ ， 仅在万有引力作用情况下 飞行器在轨道 上通过Ｂ点的加
有引力做的功为零 Ｃ． ， Ⅱ
速度大于在轨道 上通过Ｂ点的加速度
１． 答案 Ｃ Ⅲ
Ｒ
２．（２０１９广东肇庆第二次统一检测） 多选 如图所示 飞行器在 飞行器在轨道 上绕月球运行一周所需的时间为
（ ） ， Ｄ． Ⅲ ２π ｇ
距月球表面高度为 Ｒ的圆形轨道 上运动 到达轨道Ａ点点 ０
３ Ⅰ ， ２． 答案 ＢＤ
火变轨进入椭圆轨道 到达轨道近月点 Ｂ 再次点火进入近
Ⅱ，
２ Ｒ ｃｔ ３ ２ Ｒ ｃｔ ３
π（２ ＋ ） π（４ ＋ ）
Ｃ． ＧＴ２ Ｄ． ＧＴ２
２
答案 Ｂ 由ｘ ｖｔ可得 卫星与地球的距离为ｘ １ ｃ ｔ
１．（２０１８江苏南通月考，４）一物体质量为ｍ 在北京地区它的重 ＝ ： ＝ （２ ）＝
， ２
力为ｍｇ 。 假设地球自转略加快 ， 该物体在北京地区的重力为 ｃｔ 由万有引力公式可得 Ｇ ｍＭ ｍｒ ４π ２ ｒ Ｒ ｘ 计算得出
ｍｇ′ 则下列说法正确的是 ； ： ｒ２ ＝ Ｔ２ ， ＝ ＋ ， ：
。 （ ）
ｍｇ′ ｍｇ ２ Ｒ ｃｔ ３
Ａ． ＞ Ｍ ４π（ ＋ ） 所以 选项是正确的
ｍｇ′ ｍｇ ＝ ＧＴ２ Ｂ 。
Ｂ． ＜
ｍｇ′和ｍｇ的方向都指向地心 ３． 嫦娥之父 欧阳自远透露 我国计划于 年登陆火星 假
Ｃ． “ ” ： ２０２０ 。
ｍｇ′和ｍｇ的方向都指向北京所在纬线圈的圆心 如某志愿者登上火星后将一小球从高为ｈ的地方由静止释放
Ｄ． ，
答案 Ｂ 对物体受力分析如图所示 其中Ｆ 为物体随地球 不计空气阻力 测得经过时间ｔ小球落在火星表面 已知火星
， １ ， ，
转动所需的向心力 Ｆ为万有引力 地球的自转略加快 所以 的半径为Ｒ 引力常量为Ｇ 不考虑火星自转 则下列说法正确
， 。 ， ， ， ，
Ｍｍ 的是
地球自转的角速度增加 根据万有引力定律得 Ｆ Ｇ 其中 （ ）
； ， ＝ Ｒ２ ， ｈＲ
火星的第一宇宙速度为 ２
Ｒ表示地球的半径 Ｍ 表示地球的质量 万有引力不变 根据 Ａ． ｔ
， ， ；
Ｆ ｍω２ｒ 其中ｒ为物体到中心轴的距离 可知 向心力增大 ｈ２Ｒ
１＝ （ ） ， ， 火星的质量为２
所以重力减小 即ｍｇ′ ｍｇ 根据受力分析可知 ｍｇ和ｍｇ′的方 Ｂ． Ｇｔ２
， ＜ ； ，
向既不指向北京所在纬线圈的圆心 也不指向地心 ｈ
， 。 火星的平均密度为 ３
故选 Ｃ． ＲＧｔ２
Ｂ。 ２π
Ｒ
环绕火星表面运行的卫星的周期为ｔ ２
Ｄ． ｈ
答案 Ｃ 由自由落体运动规律 ｈ １ ｇｔ２ 解得火星表面的
， ＝ ，
２
ｈ
重力加速度大小为 ｇ ２ 火星的第一宇宙速度 ｖ ｇＲ
＝ ｔ２ ， １＝ ＝
ｈＲ Ｍｍ ｈＲ２
２．（２０１８雅礼中学月考四，４）我国航天事业取得了突飞猛进的 ２ 错误 由Ｇ ｍｇ 解得火星的质量为Ｍ ２
ｔ ，Ａ ； Ｒ２ ＝ ， ＝ Ｇｔ２ ，Ｂ
发展 航天技术位于世界前列 在航天控制中心对其正上方某
， ， Ｍ ｈＲ２ ｈ
卫星测控时 测得从发送 操作指令 到接收到卫星 已操作 错误 火星的平均密度为ρ ２ ３ ３ 正
， “ ” “ ” 。 ＝ Ｖ ＝ Ｇｔ２ · Ｒ３ ＝ ＲＧｔ２，Ｃ
的信息需要的时间为 ｔ 设卫星接收到 操作指令 后立即操 ４π ２π
２ （ “ ” Ｒ
作 并立即发送 已操作 的信息到控制中心 测得该卫星运 确 。 设环绕火星表面运行的卫星的周期为 Ｔ ， 则 Ｔ ＝ ２ ｖ π ＝π ｔ
， “ ” ），
行周期为Ｔ 地球半径为Ｒ 电磁波的传播速度为ｃ 由此可以 １
， ， ， Ｒ
求出地球的质量为 ２ 错误
（ ） ｈ ，Ｄ 。
２ Ｒ ｃｔ ３ ２ Ｒ ｃｔ ３
π（８ ＋ ） ４π（ ＋ ）
Ａ． ＧＴ２ Ｂ． ＧＴ２
２
１４２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
４．（２０２０江西师大附中模拟）勘探人员常利用 重力加速度反 发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船 测出飞船
“ Ｂ． ，
常 现象探寻金矿区域的位置和金矿储量 如图所示 Ｐ点为 运行的周期Ｔ
” 。 ，
某地区水平地面上的一点 假定在Ｐ 点正下方有一球形空腔 观察月球绕地球的圆周运动 测出月球的直径 Ｄ 和月球绕
， Ｃ． ，
或密度较大的金矿 该地区重力加速度的大小就会与正常情况 地球运行的周期Ｔ
，
有微小偏离 这种现象称为 重力加速度反常 如果球形区 发射一颗绕月球做圆周运动的卫星 测出卫星离月球表面的
， “ ”。 Ｄ． ，
域内储藏有金矿 已知金矿的平均密度为ρ 球形区域周围均 高度Ｈ和卫星的周期Ｔ
， ，
匀分布的岩石密度为ρ 且ρ ρ 已知引力常量为Ｇ 球形空
０， ＞ ０。 ，
腔体积为Ｖ 球心Ｏ深度为ｄ 远小于地球半径 则下列说法 答案 Ｂ 在月球表面使一个小球做自由落体运动 测出下
， （ ）， ，
正确的是
（ ） 落的高度Ｈ和时间ｔ 根据Ｈ １ ｇｔ２ 可算出月球表面的重力
， ＝ ，
２
ＧＭｍ Ｍ ｇ
加速度ｇ 再根据 ｍｇ Ｖ ４ ｒ３ ρ 可得ρ ３ 但
， ｒ２ ＝ ， ＝ π ， ＝ Ｖ， ＝ Ｇｒ，
３ ４π
ＧＭｍ
不知月球半径 故无法算出密度 故 错误 根据
， ， Ａ 。 ｒ２ ＝
２ Ｍ
有金矿会导致Ｐ点重力加速度偏小 ｍ４π ｒ Ｖ ４ ｒ３ ρ 得ρ ３π 已知Ｔ可算出密度 故
Ａ． Ｔ２ ， ＝ π ， ＝ Ｖ， ＝ＧＴ２， ， Ｂ
有金矿不会导致Ｐ点重力加速度变化 ３
Ｂ． 正确 观察月球绕地球的圆周运动 测出月球的直径 Ｄ 和月
Ｇ ρ ρ Ｖ 。 ，
Ｃ．
Ｐ点重力加速度反常值约为
Δ
ｇ
＝
（
ｄ
－
２
０） 球绕地球运行的周期Ｔ
Ｍ ，
无
ｍ
法算出月球质量
，
也就无法算出密
Ｄ． 在图中Ｐ １ 点重力加速度反常值大于Ｐ点重力加速度反常值 度 ， 故 Ｃ 错误 。 由 Ｇ （ ｒ ＋ Ｈ ） ２ ＝ ｍ （ ２ Ｔ π ） ２ （ ｒ ＋ Ｈ ）， Ｖ ＝ ３ ４ π ｒ３ ， ρ ＝
答案 Ｃ 如果将球形空腔填满密度为ρ ０ 的岩石 ， 则该地区 Ｍ 得ρ ３π（ ｒ ＋ Ｈ ） ３ 测出卫星离月球表面的高度Ｈ和卫星周
重力加速度便回到正常值
。
设重力加速度的反常值为
Δ
ｇ
，
填 Ｖ， ＝ ＧＴ２ｒ３ ，
充岩石的质量Ｍ ρ Ｖ 金矿质量Ｍ ρＶ 假设在Ｐ点有一质量 期Ｔ 但不知道月球半径 无法算出密度 故 错误
０＝ ０ ， ＝ ， ， ， ， Ｄ 。
Ｍ Ｍ ｍ Ｍ Ｍ ７．（２０１８山东烟台质检，８，４分）科幻大片 星际穿越 是基于知
为 ｍ 的物体 则 Ｇ（ － ０） ｍ ｇ 得 ｇ Ｇ － ０ Ｇ 《 》
， ｄ２ ＝ Δ ， Δ ＝ ｄ２ ＝ 名理论物理学家基普 索恩的黑洞理论 加入人物和相关情节
· ，
ρ ρ Ｖ 改编而成的 电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的
（ － ０） 由于金矿密度大于岩石密度 金矿对Ｐ处物体的引 。
ｄ２ ， ， 时间 用数千台计算机精确模拟才得以实现 让我们看到了迄
， ，
力大于岩石对它的引力 所以有金矿时会导致重力加速度偏 今为止最真实的黑洞模样 若某黑洞的半径Ｒ约为 质
， 。 ４５ ｋｍ，
ρ ρ Ｖ Ｍ ｃ２
大 故 错误 Ｃ正确 根据公式 ｇ Ｇ（ － ０） 可知重力加 量Ｍ和半径Ｒ的关系满足 其中ｃ ８ Ｇ为引
， Ａ、Ｂ ， ； Δ ＝ ｄ２ Ｒ ＝
２
Ｇ（ ＝３×１０ ｍ／ｓ，
速度的反常值与到球心Ｏ的距离ｄ有关 在题图中Ｐ 点到球 力常量 则该黑洞表面的重力加速度大约为
， １ ）， （ ）
心Ｏ的距离大于Ｐ点到球心Ｏ的距离 所以在题图中Ｐ 点重 ８ ２ １０ ２
， １ Ａ．１０ ｍ／ｓ Ｂ．１０ ｍ／ｓ
力加速度反常值小于Ｐ点重力加速度反常值 故 错误 １２ ２ １４ ２
Ｃ．１０ ｍ／ｓ Ｄ．１０ ｍ／ｓ
， Ｄ 。
答案 Ｃ 黑洞实际为一天体 天体表面的物体受到的重力
５．卫星绕地球做匀速圆周运动 其轨道半径为ｒ 运动周期为Ｔ
，
， ， ，
近似等于物体与该天体之间的万有引力 设黑洞表面的重力加
地球半径为Ｒ 引力常量为Ｇ 下列说法中正确的是
，
， ， （ ）
ＧＭｍ
Ｒ 速度为ｇ 对黑洞表面的某一质量为ｍ的物体 有 ｍｇ 又
Ａ． 卫星的线速度大小为ｖ ＝ ２π Ｔ ， ， Ｒ２ ＝ ，
Ｂ． 地球的质量为Ｍ ＝ ４ Ｇ π Ｔ ２Ｒ ２ ３ 有 Ｍ Ｒ ＝ ２ ｃ Ｇ ２ ， 联立解得 ｇ ＝ ２ ｃ Ｒ ２ ， 代入数据得重力加速度约为
１２ ２ 故选项 正确
１０ ｍ／ｓ ， Ｃ 。
Ｃ．
地球的平均密度为ρ
＝Ｇ
３
Ｔ
π
２
８．（２０１９湖南六校联考）
（
多选
）
如图所示
，
设地球半径为Ｒ
，
假
设某地球卫星在距地球表面高度为ｈ的圆形轨道 上做匀速
２ｒ３ Ⅰ
Ｄ． 地球表面重力加速度大小为ｇ ＝ ４ Ｔ π ２Ｒ２ 圆周运动 ， 运行周期为Ｔ ， 到达轨道的Ａ点时点火变轨进入椭
圆轨道 到达椭圆轨道的近地点Ｂ时 再次点火进入近地轨
答案 Ｄ 卫星的线速度大小 ｖ ＝ ２ Ｔ π ｒ ， 则 Ａ 错 ； 由 ＧＭ ｒ２ ｍ ＝ 道 Ⅲ 绕 Ⅱ 地 ， 球做匀速圆周运动 ， 引力常量 ， 为Ｇ ， 不考虑其他星球
的影响 则下列说法正确的是
２ ２ｒ３ ， （ ）
ｍ４π ｒ 得地球的质量Ｍ ４π 则 错 地球的平均密度ρ
Ｔ２ ， ＝ ＧＴ２ ， Ｂ ； ＝
Ｍ ｒ３ ＧＭｍ ２ Ｍｍ
３π 则 错 由 ｍ４π ｒ Ｇ ｍｇ 得地球表
＝ＧＴ２Ｒ３， Ｃ ； ｒ２ ＝ Ｔ２ ， Ｒ２ ＝ ，
４ Ｒ３
π
３
２ｒ３
面重力加速度大小ｇ ４π 则 正确
＝ Ｔ２Ｒ２， Ｄ 。
６．已知引力常量Ｇ 那么在下列给出的各种情景中 能根据测量
， ，
的数据求出月球密度的是 ２ Ｒ ｈ ３
（ ） 地球的质量可表示为４π（ ＋ ）
在月球表面使一个小球做自由落体运动 测出落下的高度Ｈ Ａ． ＧＴ２
Ａ． ，
和时间ｔ 该卫星在轨道 上Ｂ点的速率大于在轨道 上Ａ点的速率
Ｂ． Ⅲ Ⅱ
专题五 万有引力与航天 １４３
卫星在圆轨道 和圆轨道 上做圆周运动时 轨道 上动能 需要进行多次轨道调整 如图所示 某次发射任务中先将卫星
Ｃ． Ⅰ Ⅲ ， Ⅰ ， ，
小 引力势能大 机械能小 送至近地轨道 然后再控制卫星进入椭圆轨道 图中Ｏ点为地
， ， ， ，
卫星从远地点Ａ向近地点Ｂ运动的过程中 加速度变小 心 地球半径为Ｒ Ａ点是近地轨道和椭圆轨道的交点 远地
Ｄ． ， 。 ， ，
答案 ＡＢ 本题以人造卫星的变轨过程为物理情境 考查 点Ｂ离地面高度为 Ｒ 设卫星在近地轨道运动的周期为Ｔ 下
， ６ 。 ，
内容涉及人造卫星变轨过程中速度 能量的变化等必备知识 列对卫星在椭圆轨道上运动的分析 其中正确的是
、 ， ， （ ）
主要考查理解能力 推理论证能力 体现物理观念 科学思维的
、 ， 、
学科素养 突出对综合性的考查要求
， 。
在轨道 上运动过程中 万有引力提供向心力 故有
Ⅰ ， ，
ＧＭｍ ２ Ｒ ｈ ２ Ｒ ｈ ３
ｍ４π（ ＋ ） 解得Ｍ ４π（ ＋ ） 故选项 正确
Ｒ ｈ ２ ＝ Ｔ２ ， ＝ ＧＴ２ ， Ａ ；
（ ＋ ）
在轨道 的Ａ点需要减速做近心运动才能进入轨道 所以在
Ⅰ Ⅱ，
ＧＭｍ
轨道 上Ａ点速率小于在轨道 上Ａ点的速率 根据 卫星从Ａ点经 Ｔ的时间刚好能到达Ｂ点
Ⅱ Ⅰ ， ｒ２ ＝ Ａ．
卫星通过Ａ点时
４
的速度是通过Ｂ点时速度的 倍
Ｂ． ６
ｍ
ｒ
ｖ２
可得ｖ
＝
Ｇ
ｒ
Ｍ
，
可知在轨道
Ⅲ
上Ｂ点速率大于在轨道
Ⅰ
上
Ｃ．
卫星通过Ａ点时的加速度是通过Ｂ点时加速度的
６
倍
控制卫星从图中低轨道进入椭圆轨道需要使卫星减速
Ａ点的速率
，
所以该卫星在轨道
Ⅲ
上Ｂ点的速率大于在轨道
Ⅱ
Ｄ．
答案 Ａ 卫星在椭圆轨道上运动的半长轴为 Ｒ 由开普勒
上Ａ点的速率 故选项 正确 卫星从圆轨道 运行到轨道 ４ ，
， Ｂ ； Ⅰ Ⅲ Ｔ２ Ｒ３
上 要在Ａ点 Ｂ点两次减速 同时万有引力做正功 故轨道 第三定律知 １ １ 卫星在椭圆轨道上运行的周期为 Ｔ 卫星
， 、 ， ， Ⅰ Ｔ２ ＝Ｒ３， ８ ，
ＧＭ 从Ａ到Ｂ用时 ２ 为半 ２ 个周期 即 Ｔ 正确 根据开普勒第二定
上引力势能大 机械能大 根据ｖ 可知 轨道半径越大 ， ４ ，Ａ 。
， ， ＝ ｒ ， ，
律 在ｔ时间内有 １ ｓ Ｒ １ ｓ Ｒ 又因为ｓ ｖ ｔ ｓ ｖ ｔ
ＧＭｍ ， Ａ· ＝ Ｂ·７ ， Ａ＝ Ａ ， Ｂ＝ Ｂ ，
速度越小 动能越小 故选项 错误 根据公式 ｍａ可得 ２ ２
， ， Ｃ ； ｒ２ ＝ ｖ ｓ
所以 Ａ Ａ ７ 故 错误 卫星的加速度由万有引力提供
ａ ＝ Ｇ ｒ Ｍ ２ ， 所以轨道半径越大 ， 向心加速度越小 ， 故卫星从远地点 Ｇ ｖ Ｍ Ｂ ＝ ｓ Ｂ ＝ Ｇ １ Ｍ ， Ｂ ； ，
ａ ａ 所以ａ ａ 故 错误 卫星从低轨进
Ａ向近地点Ｂ运动的过程中
，
轨道半径变小
，
加速度变大
，
故选 Ａ＝Ｒ２， Ｂ＝ Ｒ ２， Ａ＝４９ Ｂ， Ｃ ；
（７ ）
项 错误 故选
入椭圆轨道时需要做离心运动 可知需要的向心力增大 所以
Ｄ 。 Ａ、Ｂ。
， ，
９．（２０２０届长沙一中月考，７）卫星从发射到进入预定轨道往往
需要加速才能实现 故 错误
， Ｄ 。
ｍ ｒ
１ ２
ｍ ＝ ｒ
２ １
Ｌ３
应用一 探究天体运动中双星及多星问题的处理方法 双星的运动周期Ｔ
⑤ ＝２π Ｇ ｍ ｍ
１．双星模型
（ １＋ ２）
２Ｌ３
双星的总质量ｍ ｍ ４π
（１） 定义 ： 绕公共圆心转动的两个星体组成的系统 ， 我们称 ⑥ １＋ ２＝ ＧＴ２
之为双星系统
。
如图所示
。
２．多星模型
定义 所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的
（１） ：
向心力 除中央星体外 各星体的角速度和周期相同
， ， 。
三星模型
（２）
三颗星位于同一直线上 两颗环绕星围绕中央星在同一
① ，
半径为Ｒ的圆轨道上运行 如图甲
， 。
三颗质量均为ｍ的星体位于等边三角形的三个顶点上
② ，
如图乙
特点 。
（２） ：
各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供 即
① ，
Ｇｍ ｍ Ｇｍ ｍ
１ ２ ｍ ω２ｒ １ ２ ｍ ω２ｒ
Ｌ２ ＝ １ １ １， Ｌ２ ＝ ２ ２ ２
两颗星的周期及角速度都相同 即
② ，
Ｔ Ｔ ω ω
１＝ ２， １＝ ２
两颗星的运动轨道半径与它们之间的距离关系为
③
ｒ ｒ Ｌ
１＋ ２＝
两颗星到轨道圆心的距离ｒ ｒ 与星体质量成反比
④ １、 ２
四星模型
（３）
１４４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上 沿着外 解析 地球公转周期为Ｔ 年，每过Ｎ年该行星会运行
① ， 地＝１
接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动 如图丙 到日地连线的延长线上，即地球比该行星多运动 圈，有
， 。
１
三颗恒星位于正三角形的三个顶点上 另一颗位于中心
Ｎ Ｎ Ｎ
② ， ，得Ｔ Ｔ
Ｏ 外围三颗星绕Ｏ点做匀速圆周运动 如图丁 Ｔ －Ｔ ＝１ 行＝Ｎ 地
， ， 。 地 行 －１
例１ ２０１６ 年 ２ 月 １１ 日 ， 美国科学家宣布探测到引力波 。 由题意 Ｔ 行 Ｎ ｂ，故 正确， 错误。
双星的运动是产生引力波的来源之一 假设宇宙中有一双星系 Ｔ ＝Ｎ ＝ Ｂ Ｃ
， 地 －１
统由ａ
、
ｂ两颗星体组成
，
这两颗星绕它们连线的某一点在万有
根据开普勒第三定律有
ｒ３行 ｒ３地
，即ａ３
( Ｎ ) ２
引力作用下做匀速圆周运动
，
测得ａ星的周期为Ｔ
，
ａ
、
ｂ两颗星 Ｔ２行 ＝Ｔ２地 ＝ Ｎ
－１
的 于 距 ｂ星 离 的 为ｌ ， ａ 则 、 ｂ两颗星的轨道半径之差为 Δ ｒ （ ａ星的轨道半径大 得ａ ( Ｎ ) ２ ３ ，故 正确， 错误。
）， （ ） ＝ Ｎ Ｄ Ａ
－１
ｌ ｒ
ｂ星的周期为 －Δ Ｔ 答案 ＢＤ
Ａ． ｌ ｒ
＋Δ
ｌ ｒ
ａ星的线速度大小为π（ ＋Δ ） 应用三 “填补法”在万有引力定律中的应用
Ｂ． Ｔ
计算一些不完整球形物体间的万有引力 常采用 填补法
ｌ ， “ ”。
ａ ｂ两颗星的半径之比为 运用 填补法 解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件 先
Ｃ． 、 ｌ ｒ “ ” ，
－Δ
填补 后运算 运用 填补法 解题的过程主要体现了等效的
ｌ ｒ ， 。 “ ”
ａ ｂ两颗星的质量之比为 ＋Δ 思想
Ｄ． 、 ｌ ｒ
－Δ 。
解析 由双星系统的运动规律可知，两星的周期相等，均 例３ 如图所示 在半径为 Ｒ 的铅球中挖出一个球形空
，
穴 空穴直径为Ｒ且与铅球相切 并通过铅球的球心 在未挖出
为Ｔ，则 错。 由ｒ ｒ ｌ，ｒ ｒ ｒ，得ｒ １ （ｌ ｒ），ｒ １ （ｌ ， ， 。
Ａ ａ＋ ｂ＝ ａ－ ｂ＝Δ ａ＝ ＋Δ ｂ＝ － 空穴前铅球质量为Ｍ 引力常量为Ｇ 求挖出空穴后的铅球与距
２ ２ ， 。
ｒ），则ａ星的线速度大小 ｖ ２π
ｒ
ａ π
（ｌ
＋Δ
ｒ）
， 正确。
ｒ
ａ
铅球球心距离为ｄ
、
质量为ｍ的小球
（
可视为质点
）
间的万有引
Δ ａ＝ Ｔ ＝ Ｔ Ｂ ｒ ＝ 力大小
ｂ 。
ｌ ｒ ｍ ｒ ｌ ｒ
＋Δ ，则 错。 双星运动中满足 ａ ｂ －Δ ，则 错。
ｌ ｒ Ｃ ｍ ＝ ｒ ＝ｌ ｒ Ｄ
－Δ ｂ ａ ＋Δ
答案 Ｂ
应用二 探究天体的追及、相遇问题
思路分析 由于题目中没有告知距离ｄ与球的半径Ｒ之
１．相距最近
间的关系 因此不能把挖出球形空穴后的铅球看成质点 故不能
两天体的运转方向相同 与中心的连线在同一直线上 且在 ， ，
， ， 直接利用万有引力定律来计算引力的大小 但是 可以用填补
同侧时 两天体相距最近 从运动关系上 两天体运动关系应满 。 ，
， 。 ， 法求解 即先把挖去的部分 补 上 使其成为半径为Ｒ的完整球
足 ω ω ｔ ｎ ｎ ， “ ” ，
（ Ａ－ Ｂ） ＝２ π（ ＝１，２，３，…）。 体 再根据万有引力定律 分别计算出半径为Ｒ的球体和补上的
２．相距最远 ， ，
球体对小球的万有引力 最后两引力相减即可得到答案
两天体的运转方向相同 与中心的连线在同一直线 且在两 ， 。
， ， 解析 设挖出空穴前铅球与小球间的万有引力为Ｆ ，挖出
侧时 两天体相距最远 从运动关系上 两天体运动关系应满 １
， 。 ，
Ｍ
足
（
ω
Ａ－
ω
Ｂ）
ｔ′
＝（２
ｎ
－１）π（
ｎ
＝１，２，３…）。
的球形实体（由球体的体积公式易知质量为 ，这里不再具体计
例２ （２０１９湖北五校摸底，７，４分） 多选 某行星和地 ８
（ ） 算）与小球间的万有引力为Ｆ ，铅球剩余部分与小球间的万有引
球绕太阳公转的轨道均可视为圆 每过Ｎ年 该行星会运行到日 ２
， ， 力为Ｆ，则有Ｆ Ｆ Ｆ
地连线的延长线上 相距最近 如图所示 该行星与地球的公转 １＝ ＋ ２
（ ）， ， Ｍｍ Ｍｍ
半径之比为ａ
，
公转周期之比为ｂ
，
则
（ ）
根据万有引力定律可得Ｆ
１＝
Ｇ
ｄ２
，Ｆ
２＝
Ｇ
( Ｒ ) ２
ｄ
８ －
２
故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力为
Ｍｍ Ｍｍ ＧＭｍ（ ｄ２ ｄＲ Ｒ２）
Ｆ Ｆ Ｆ Ｇ Ｇ ７ －８ ＋２ 。
＝ １－ ２＝ ｄ２ － ( Ｒ ) ２ ＝ ｄ２（ ｄ Ｒ）２
ｄ ２ ２ －
８ －
２
ＧＭｍ（ ｄ２ ｄＲ Ｒ２）
Ｎ Ｎ 答案 ７ －８ ＋２
ａ ＋１ ｂ ｄ２（ ｄ Ｒ）２
Ａ． ＝ Ｎ Ｂ． ＝Ｎ ２ ２ －
－１
ｂ (Ｎ ＋１ ) ２ ３ ａ ( Ｎ ) ２ ３
Ｃ． ＝ Ｎ Ｄ． ＝ Ｎ
－１
专题五 万有引力与航天 １４５
生一次最大偏离 即轨道半径出现一次最
，
大 根据万有引力定律 天文学家预言形成
， ，
这种现象的原因可能是天王星外侧还存在
应用一 探究天体运动中双星及多星问题的处理
着一颗未知的行星 假设其运动轨道与Ａ在
（
方法 同一平面内 且与Ａ的绕行方向相同 它对
， ），
１．（２０１９福建龙岩摸底，５，４分）双星系统中 两颗星在彼此引 天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离 由此可推测未知行
， ，
力的作用下 绕连线上某点做匀速圆周运动 年物理学 星的运动轨道半径是
， 。 １９７４ （ ）
家约瑟夫 泰勒和拉塞尔 赫尔斯发现由两颗质量不同的星 ｔ ｔ
· · ０ Ｒ Ｒ ０
构成的双星系统 ， 每年两星间的距离减少 ３ ． ５ｍ， 若两星运动的 Ａ．ｔ ０－ Ｔ ０ ０ Ｂ． ０ ｔ ０－ Ｔ ０
周期不变 则该双星系统中
， （ ） ３ ｔ Ｔ ３ ｔ
两星线速度大小始终相等 Ｒ ０－ ０ Ｒ ０ ２
Ａ． Ｃ． ０ ｔ Ｄ． ０ （ｔ Ｔ ）
两星加速度大小始终相等 ０ ０－ ０
Ｂ． １． 答案 Ｄ
每年两星总质量都减小
Ｃ．
２．（２０１９福建泉州摸底，８，４分）当地球位于太阳和木星之间且
每年两星总质量都增加
Ｄ． 二者几乎排成一条直线时 称之为 木星冲日 年 月
１． 答案 Ｃ ， “ ”，２０１６ ３ ８
日出现了一次 木星冲日 已知木星与地球几乎在同一平面
２．（２０２０重庆质检） 多选 如图 天文观测中观测到有三颗星位于 “ ”。
（ ） ， 内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动 木星到太阳的距离
，
边长为ｌ的等边三角形三个顶点上 并沿等边三角形的外接圆做
， 大约是地球到太阳距离的 倍 则下列说法正确的是
５ 。 （ ）
周期为Ｔ的匀速圆周运动 已知引力常量为Ｇ 不计其他星体对
。 ，
它们的影响 关于这个三星系统 下列说法正确的是
， ， （ ）
下一次的 木星冲日 时间肯定在 年
Ａ． “ ” ２０１８
下一次的 木星冲日 时间肯定在 年
Ｂ． “ ” ２０１７
木星运行的加速度比地球的大
Ｃ．
木星运行的周期比地球的小
Ｄ．
三颗星的质量可能不相等 ２． 答案 Ｂ
Ａ．
某颗星的质量为４π ２ｌ３ ３．（２０２０辽宁沈阳质检）
（
多选
）
如图
，
三个质点ａ
、
ｂ
、
ｃ的质量分
Ｂ． ３ ＧＴ２ 别为ｍ ｍ Ｍ Ｍ远大于ｍ 及ｍ 在万有引力作用下 ａ ｂ
１、 ２、 （ １ ２）， ， 、
ｌ 在同一平面内绕ｃ沿逆时针方向做匀速圆周运动 已知轨道半
它们的线速度大小均为２ ３π ，
Ｃ． Ｔ 径之比为ｒ ｒ 则下列说法中正确的有
ａ ∶ ｂ＝１ ∶ ４， （ ）
４ｌ４
它们两两之间的万有引力大小为１６π
Ｄ． ＧＴ４
９
２． 答案 ＢＤ
３．（２０２０山东泰安统考） 多选 宇宙中存在一些质量相等且离
（ ）
其他恒星较远的四颗星组成的四星系统 通常可忽略其他星体
，
对它们的引力作用 设四星系统中每个星体的质量均为ｍ 半
。 ，
径均为Ｒ 四颗星稳定分布在边长为 Ｌ 的正方形的四个顶点
，
上 其中Ｌ远大于Ｒ 已知引力常量为Ｇ 忽略星体的自转 则 ａ ｂ运动的周期之比为Ｔ Ｔ
， 。 ， ， Ａ． 、 ａ ∶ ｂ＝１ ∶ ８
关于四星系统 下列说法正确的是 ａ ｂ运动的周期之比为Ｔ Ｔ
， （ ） Ｂ． 、 ａ ∶ ｂ＝１ ∶ ４
Ｌ 从图示位置开始 在ｂ转动一周的过程中 ａ ｂ ｃ共线 次
四颗星做圆周运动的轨道半径为 Ｃ． ， ， 、 、 １２
Ａ． 从图示位置开始 在ｂ转动一周的过程中 ａ ｂ ｃ共线 次
２ Ｄ． ， ， 、 、 １４
Ｇｍæ ö ３． 答案 ＡＤ
四颗星做圆周运动的线速度均为 ç ２÷
Ｂ． Ｌ è２＋ ø
４ 应用三 “填补法”在万有引力定律中的应用
Ｌ３
四颗星做圆周运动的周期均为 ２ １．某地区的地下发现了天然气资源 如图所示 在水平地面Ｐ点
Ｃ． ２π Ｇｍ ， ，
（４＋ ２） 的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气 假设该地区岩
ｍ 。
四颗星表面的重力加速度均为Ｇ 石均匀分布且密度为ρ 天然气的密度远小于ρ 可忽略不计
Ｄ． Ｒ２ ， ， 。
如果没有该空腔 地球表面正常的重力加速度大小为ｇ 由于
３． 答案 ＣＤ ， ；
空腔的存在 现测得Ｐ点处的重力加速度大小为ｋｇ ｋ 已
， （ ＜１）。
应用二 探究天体的追及、相遇问题 知引力常量为Ｇ
，
球形空腔的球心深度为ｄ
，
则此球形空腔的
体积是
１．如图所示 Ａ为太阳系中的天王星 它绕太阳Ｏ运行的轨道视 （ ）
， ，
为圆时 运动的轨道半径为Ｒ 周期为Ｔ 长期观测发现 天王
， ０， ０， ，
星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离 且每隔ｔ 时间发
， ０
１４６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
从球的正中心挖去
（１） 。
从球心右侧挖去
（２） 。
ｋｇｄ ｋｇｄ２ ｋ ｇｄ ｋ ｇｄ２
（１－ ） （１－ ）
Ａ．Ｇρ Ｂ． Ｇρ Ｃ． Ｇρ Ｄ． Ｇρ
１． 答案 Ｄ
２．（２０２０山东泰安期末统考）如图所示 一个质量为Ｍ的匀质实
，
心球 半径为Ｒ 如果从球中挖去一个直径为Ｒ的小球 放在相 ＧＭ２ ＧＭ２
， ， ， ２． 答案 ７ １０３
距为ｄ ． Ｒ的地方 分别求下列两种情况下挖去部分与剩余 （１） Ｒ２ （２） Ｒ２
＝２５ ， ４００ ６４００
部分的万有引力大小 答案必须用分式表示 已知Ｇ Ｍ Ｒ
。 （ ， 、 、 ）
则有关 嫦娥四号 的下列说法中正确的是
“ ” （ ）
１．（２０２０湘赣皖第二次联考） 多选 在天体运动中 把两颗相距
（ ） ，
很近的恒星称为双星 已知组成某双星系统的两颗恒星Ａ Ｂ
。 、
的质量分别为ｍ 和ｍ 相距为Ｌ 在万有引力作用下各自绕
１ ２， 。 沿轨道 绕地运行过程中 在ａ点的速度小于在ｂ点的速度
它们连线上的某一点 在同一平面内做匀速圆周运动 运动过 Ａ． Ⅰ ，
， ， 沿轨道 绕地运行的机械能与沿轨道 绕地运行的机械能
程中二者之间的距离始终不变 已知引力常量为 Ｇ 恒星 Ａ Ｂ． Ⅰ Ⅱ
。 。 相等
的动能为Ｅ 则恒星Ｂ的动能为
ｋ， （ ） 近月制动后先沿轨道 绕月运行 经过变轨最后才沿轨道
ｍ ｍ ｍ ｍ Ｃ． ① ， ③
Ｇ １ ２ Ｅ Ｇ １ ２ Ｅ 运行
Ａ． Ｌ － ｋ Ｂ． Ｌ － ｋ
２ 沿轨道 绕月运行的周期相同
ｍ ｍ Ｄ． ①②③
１Ｅ ２Ｅ 答案 Ｃ 在沿轨道 绕地运行过程中 轨道 是个椭圆轨道 ａ
Ｃ．ｍ ｋ Ｄ．ｍ ｋ Ⅰ ， Ⅰ ，
２ １ 点是近地点 该点的速度较大 故在ａ点的速度大于在ｂ点的速
ｍ ｍ ， ，
答案 ＢＣ 对双星 都是万有引力提供向心力 故Ｇ １ ２ 度 选项 错误 由图可知 轨道与轨道 的远地点不同 说明轨道
， ， Ｌ２ ＝ ， Ａ ； ， Ⅰ Ⅱ ，
的机械能更大一些 二者的机械能并不相等 选项 错误 近月制
ｍ Ｌ Ⅱ ， ， Ｂ ；
ｍ ω２Ｒ ｍ ω２Ｒ 其中Ｌ Ｒ Ｒ 联立解得 Ｒ ２ Ｒ 动后先沿轨道 绕月运行 经过变轨最后才沿轨道 运行 选项Ｃ
１ １＝ ２ ２， ＝ １＋ ２， １＝ｍ ｍ ， ２＝ ① ， ③ ，
１＋ ２ 正确 沿轨道 绕月运行的周期不相同 的周期最大 的
； ①②③ ，① ，③
ｍ Ｌ ｖ Ｒ ｍ Ｅ Ｅ
１ ｍ
１
ｖ２
１ ｍ
周期最小
，
选项
Ｄ
错误
。
１ 根据ｖ ｒω 则 １ １ ２ 则 ｋ１ ｋ ２ ２ ３．（２０１８雅礼中学月考二，９） 多选 引力波探测在 年获得
ｍ ｍ ， ＝ ， ｖ ＝Ｒ ＝ｍ ， Ｅ ＝Ｅ ＝ ＝ｍ ， （ ） ２０１７
１＋ ２ ２ ２ １ ｋ２ ｋ２ １ ｍ ｖ２ １ 诺贝尔物理学奖 包含中国在内的多国科学家于 年 月
２ ２ ， ２０１７ １０
２
宣布 成功探测到第一例双中子星合并的引力波事件 双中子星
ｍ ｍ ｍ ｖ２ Ｅ
， ，
即Ｅ １Ｅ Ｃ正确 错误 Ｇ １ ２ ｍ ２ ２ ｋ２ 即 Ｅ 合并之前 在相互的万有引力作用下 可看作绕两者连线上某一
ｋ２＝ｍ ｋ， ，Ｄ ； Ｌ２ ＝ ２Ｒ ＝ Ｒ ， ｋ２＝ ， ，
２ ２ ２ 点做半径逐渐减小的圆周运动 由于双中子星相互引力巨大
Ｒ Ｇｍ ｍ Ｒ Ｇｍ ｍ Ｒ Ｒ Ｇｍ ｍ 。 ，
２ １ ２ 同理Ｅ １ １ ２ 则Ｅ Ｅ １＋ ２ １ ２ 其他星体对它们的引力可以忽略 则以下判断正确的是
· Ｌ２ ， ｋ＝ · Ｌ２ ， ｋ＋ ｋ２＝ · Ｌ２ ， （ ）
２ ２ ２
双中子星运动的圆心一定在两者连线的中点
Ｇｍ ｍ ｍ ｍ Ａ．
１ ２ 则Ｅ Ｇ １ ２ Ｅ Ｂ正确 错误 两者运动的角速度大小相同
＝ Ｌ ， ｋ２＝ Ｌ － ｋ， ，Ａ 。 Ｂ．
２ ２ 随着半径减小 他们的周期逐渐变小
技巧点拨 解决双星 多星问题 要抓住四点 Ｃ． ，
、 ， 随着半径减小 它们的线速度大小并不改变
双星或多星的特点 规律 确定系统的中心以及运动 Ｄ． ，
（１） 、 ， 答案 ＢＣ 设双中子星的质量分别为ｍ ｍ 两者间的距离为
的轨道半径
。 ｒ 做匀速 圆周 运动的圆心为Ｏ 轨道半径分别
１、
为
２，
ｒ ｒ 如图所示
（２）
星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供
。
， ， １、 ２， ，
Ｇｍｍ
星体的角速度相等
（３） 星体的轨道半径不 。 是天体间的距离 要利用几何知 两者绕Ｏ点运动的角速度ω相同 ，Ｂ 正确 。 由 ｒ １ ２ ２ ＝ ｍ １ ω２ｒ １＝
（４） 。
识 寻找两者之间的关系 正确计算万有引力 ｒ
２．（２ ， ０２０北京海淀二模） ２０ ， １８ 年 １２ 月 ８ 日 ２ 时 。 ２３ 分 ， 我国成功 ｍ ２ ω２ｒ ２， ｒ １＋ ｒ ２＝ ｒ ， 可得ｒ １＝ｍ １＋ ｍ ２ · ｍ ２， 因ｍ １ 不一定等于ｍ ２， 故ｒ １
发射 嫦娥四号 探测器 嫦娥四号 探测器经历绕地飞行 ｒ Ｇｍ ｍ ｍ ｖ２ ｍ ｖ２
“ ” 。 “ ” 、 不一定等于 错误 对于ｍ 由 １ ２ １ １ １ １ ｍ
地月转移 近月制动 太空刹车 绕月飞行 最终于 年 ，Ａ 。 １， ｒ２ ＝ ｒ ＝ ｒｍ （ １＋
、 （ ）、 ， ２０１９ １ ２ １ ２
月 日 时 分实现了人类首次在月球背面软着陆 其运动 ｍ 可得ｒ 减小 ｖ 增大 同理可得 ｖ 也增大 错误 Ｔ
３ １０ ２６ ， ２） ， １ ， ２ ，Ｄ 。 ＝
轨迹示意图如图所示 假设 嫦娥四号 质量保持不变 其在 ｒ
。 “ ” ， ２π １ ｒ减小 ｒ 减小 而ｖ 增大 故Ｔ减小 正确
绕月圆轨道和绕月椭圆轨道上运动时只受到月球的万有引力 ｖ ， 、 １ ， １ ， ，Ｃ 。
， １
专题五 万有引力与航天 １４７
ｍ２ ｍ２
动 由万有引力定律和向心力公式得 Ｇ Ｇ °
， ： ａ ２ ＋２ ａ２ ｃｏｓ ４５ ＝
（ ２ ）
ｖ２ Ｇｍ ｖ
ｍ 解得 ｖ ２ 角速度为 ω
， ： ＝ （１＋ ） ａ ， ： ＝ ｒ ＝
４．天文学家将相距较近 仅在彼此的引力作用下运行的两颗星称 ２ａ ４
、 （ ）
为双星 若某双星的质量分别为Ｍ ｍ 间距为Ｌ 双星各自围 ２
。 、 ， ，
绕其连线上的某点Ｏ做匀速圆周运动 其角速度分别为 ω Ｇｍ ａ３
ω 质量为Ｍ的恒星轨道半径为Ｒ 已知
，
引力常量为Ｇ 则描述
１、
（ ２＋
１
）ａ３ ，
周期为
：
Ｔ
＝
２
ω
π
＝２π
２
Ｇｍ，
加速度
：
２， ， ， ２ （２ ２＋１）
该双星运动的上述物理量满足
（ ） ａ
ｖ２
（２ ２＋１）
Ｇｍ
故 正确 错误
Ａ．
ω
１＜
ω
２ Ｂ．
ω
１＞
ω
２
＝ ｒ ＝
２
ａ２ ， Ａ、Ｄ ，Ｂ、Ｃ 。
ＧＭ ω２ Ｌ Ｒ Ｌ２ Ｇｍ ω２Ｒ３ 解题思路 星体做匀速圆周运动的轨道半径等于正方形对角
Ｃ． ＝ ２（ － ） Ｄ． ＝ １
线长度的一半 在四颗星体组成的四星系统中 其中任意一颗
。 ，
答案 Ｃ 双星系统中两颗星的角速度相同 ω ω 则 星体受到其他三颗星体对它的万有引力合力提供其做圆周运
， １＝ ２， Ａ、Ｂ
ＧＭｍ 动的向心力 由此求出线速度大小 根据角速度 周期 加速度
项错误 由 ｍω２ Ｌ Ｒ 得ＧＭ ω２ Ｌ Ｒ Ｌ２ 项正确 ， ， 、 、
。 Ｌ２ ＝ ２（ － ）， ＝ ２（ － ） ，Ｃ 。 与线速度的关系 即可求出这些物理量
， 。
ＧＭｍ ６．（２０２０届湖南师大附中摸底，３） 年 月 日发生了火星
由 Ｍω２Ｒ 得Ｇｍ ω２ＲＬ２ 项错误 ２０１８ ７ ２８
Ｌ２ ＝ １ ， ＝ １ ，Ｄ 。 冲日现象 火星冲日即火星 地球和太阳几乎排列成一线 地球
， 、 ，
５．（２０２０届江苏淮安高级中学月考，８） 多选 宇宙间存在离其 位于太阳与火星之间 已知地球和火星绕太阳公转的方向相
（ ） ，
他星体遥远的系统 其中有一种系统如图所示 四颗质量均为 同 火星公转轨道半径约为地球的 ． 倍 若将火星和地球的
， ， ， １ ５ ，
ｍ的星体位于正方形的顶点 正方形的边长为ａ 忽略其他星
， ， 公转轨迹近似看成圆 取 ． 则相邻两次火星冲日的时
， ６＝２ ４５，
体对它们的引力作用 每颗星体都在同一平面内绕正方形对角
， 间间隔约为
（ ）
线的交点Ｏ做匀速圆周运动 引力常量为Ｇ 则
， ， （ ） ． 年 ． 年 ． 年 ． 年
Ａ．０８ Ｂ．１６ Ｃ．２２ Ｄ．３２
Ｍｍ ２
答案 Ｃ 由万有引力充当向心力得 Ｇ ｍ４π ｒ
： ｒ２ ＝ Ｔ２ ，
ｒ３
解得行星公转周期 Ｔ
： ＝２π ＧＭ，
Ｇｍ 则火星和地球的周期关系为
Ｔ
火
ｒ３火
２７ ３
Ａ． 每颗星做圆周运动的线速度大小为 （１＋ ４ ２ ） ａ ：Ｔ 地 ＝ ｒ３地 ＝ ８ ＝ ４ ６，
已知地球的公转周期为 年 则火星的公转周期为
Ｇｍ １ ，
每颗星做圆周运动的角速度大小为
Ｂ． ａ３ ３ 年
２ ６ ，
４
ａ３ 相邻两次火星冲日的时间间隔设为ｔ 则 ω ω ｔ
每颗星做圆周运动的周期为 ２ ， ：（ 地－ 火） ＝２π
Ｃ． ２π Ｇｍ
ｔ ｔ
化简得
每颗星做圆周运动的加速度与质量ｍ有关 ：Ｔ －Ｔ ＝１，
Ｄ． 地 火
答案 ＡＤ 本题考查四颗星所组成系统的研究方法 由星 ｔ ｔ
。 即 ｔ的单位为年
体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知 星体做匀 ： － ＝１（ ），
， １ ３
６
速圆周运动的轨道半径ｒ ２ａ 每颗星体在其他三个星体万 ４
＝ ， 求得ｔ ． 年 故本题选
２ ＝２２ ， Ｃ。
有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运
考点一 万有引力定律及其应用 运动的原因
１．（２０２０课标Ⅰ，１５，６分）火星的质量约为地球质量的 ／ 半 开普勒总结出了行星运动的规律 发现了万有引力定律
１ １０， Ｄ． ，
径约为地球半径的 ／ 则同一物体在火星表面与在地球表面 ２． 答案 Ｂ
１ ２，
受到的引力的比值约为 ３．（２０１８海南单科，２，４分）土星与太阳的距离是火星与太阳距
（ ）
． ． ． ． 离的 倍多 由此信息可知
Ａ．０２ Ｂ．０４ Ｃ．２０ Ｄ．２５ ６ 。 （ ）
１． 答案 Ｂ 土星的质量比火星的小
Ａ．
２．（２０１６课标Ⅲ，１４，６分）关于行星运动的规律 下列说法符合 土星运行的速率比火星的小
， Ｂ．
史实的是 土星运行的周期比火星的小
（ ） Ｃ．
开普勒在牛顿定律的基础上 导出了行星运动的规律 土星运行的角速度大小比火星的大
Ａ． ， Ｄ．
开普勒在天文观测数据的基础上 总结出了行星运动的规律 ３． 答案 Ｂ
Ｂ． ，
开普勒总结出了行星运动的规律 找出了行星按照这些规律 ４．（２０２１辽宁新高考适应卷，８，６ 分） 多选 嫦娥五号 探测
Ｃ． ， （ ）“ ”
１４８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
器绕月球做匀速圆周运动时 轨道半径为ｒ 速度大小为ｖ 已
， ， 。
知月球半径为Ｒ 引力常量为Ｇ 忽略月球自转的影响 下列
， ， 。
选项正确的是
（ ）
ｖ２
月球平均密度为 ３
Ａ． ＧＲ２
４π
月球平均密度为 ３
ｖ２ｒ
Ｍ与Ｎ的密度相等
Ｂ． ＧＲ３ Ａ．
４π Ｑ的质量是Ｐ的 倍
ｖ２ Ｂ． ３
月球表面重力加速度为 Ｑ下落过程中的最大动能是Ｐ的 倍
Ｃ． Ｒ Ｃ． ４
Ｑ下落过程中弹簧的最大压缩量是Ｐ的 倍
ｖ２ｒ Ｄ． ４
月球表面重力加速度为 ９． 答案 ＡＣ
Ｄ． Ｒ２
４． 答案 ＢＤ
考点二 人造卫星、宇宙航行
５．（２０１９课标Ⅱ，１４，６分） 年 月 我国嫦娥四号探测器成
２０１９ １ ， １．（２０２０天津，２，５分）北斗问天 国之夙愿 我国北斗三号系
功在月球背面软着陆 在探测器 奔向 月球的过程中 用 ｈ ， 。
。 “ ” ， 统的收官之星是地球静止轨道卫星 其轨道半径约为地球半径
表示探测器与地球表面的距离 Ｆ表示它所受的地球引力 能 ，
， ， 的 倍 与近地轨道卫星相比 地球静止轨道卫星
够描述Ｆ随ｈ变化关系的图像是 ７ 。 ， （ ）
（ ）
５． 答案 Ｄ
Ａ．
周期大
Ｂ．
线速度大
Ｃ．
角速度大
Ｄ．
加速度大
６．（２０１９课标Ⅲ，１５，６分）金星 地球和火星绕太阳的公转均可 １． 答案 Ａ
、
视为匀速圆周运动 它们的向心加速度大小分别为 ａ ａ
２．（２０２０课标Ⅱ，１５，６分）若一均匀球形星体的密度为ρ 引力
， 金、 地、 ，
ａ 它们沿轨道运行的速率分别为ｖ ｖ ｖ 已知它们的轨 常量为Ｇ 则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的
火， 金、 地、 火。 ，
道半径Ｒ Ｒ Ｒ 由此可以判定 周期是
金＜ 地＜ 火， （ ） （ ）
ａ ａ ａ ａ ａ ａ
Ａ． 金＞ 地＞ 火 Ｂ． 火＞ 地＞ 金 ３π ４π １ １
ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ Ａ． Ｇρ Ｂ． Ｇρ Ｃ． Ｇρ Ｄ． Ｇρ
Ｃ． 地＞ 火＞ 金 Ｄ． 火＞ 地＞ 金 ３π ４π
６． 答案 Ａ ２． 答案 Ａ
７．（２０１８课标Ⅱ，１６，６分） 年 月 我国 口径射电望 ３．（２０２０课标Ⅲ，１６，６分） 嫦娥四号 探测器于 年 月在月
２０１８ ２ ， ５００ ｍ “ ” ２０１９ １
远镜 天眼 发现毫秒脉冲星 其自转周期 Ｔ 球背面成功着陆 着陆前曾绕月球飞行 某段时间可认为绕月做匀
（ ） “Ｊ０３１８＋０２５３”， ＝ ， ，
． 假设星体为质量均匀分布的球体 已知引力常量为 速圆周运动 圆周半径为月球半径的Ｋ倍 已知地球半径Ｒ是月
５１９ｍｓ。 ， ， 。
６ ． ６７×１０ －１１ Ｎ·ｍ ２ ／ｋｇ ２ 。 以周期Ｔ稳定自转的星体的密度最小 球半径的Ｐ倍 ， 地球质量是月球质量的Ｑ倍 ， 地球表面重力加速
值约为 度大小为ｇ 则 嫦娥四号 绕月球做圆周运动的速率为
（ ） 。 “ ” （ ）
９ ３ １２ ３ ＲＫｇ ＲＰＫｇ ＲＱｇ ＲＰｇ
Ａ．５×１０ ｋｇ／ｍ Ｂ．５×１０ ｋｇ／ｍ
Ａ． ＱＰ Ｂ． Ｑ Ｃ． ＫＰ Ｄ． ＱＫ
１５ ３ １８ ３
Ｃ．５×１０ ｋｇ／ｍ Ｄ．５×１０ ｋｇ／ｍ
７． 答案 Ｃ ３． 答案 Ｄ
８．（２０１８课标Ⅰ，２０，６分） 多选 年 人类第一次直接探 ４．（２０２０山东，７，３分）我国将在今年择机执行 天问 号 火星
（ ）２０１７ ， “ １ ”
测到来自双中子星合并的引力波 根据科学家们复原的过程 探测任务 质量为ｍ的着陆器在着陆火星前 会在火星表面
。 ， 。 ，
在两颗中子星合并前约 时 它们相距约 绕二者 附近经历一个时长为ｔ 速度由ｖ 减速到零的过程 已知火
１００ ｓ ， ４００ ｋｍ， ０、 ０ 。
连线上的某点每秒转动 圈 将两颗中子星都看作是质量均 星的质量约为地球的 ． 倍 半径约为地球的 ． 倍 地球表面
１２ 。 ０１ ， ０５ ，
匀分布的球体 由这些数据 引力常量并利用牛顿力学知识 可 的重力加速度大小为ｇ 忽略火星大气阻力 若该减速过程可
， 、 ， ， 。
以估算出这一时刻两颗中子星 视为一个竖直向下的匀减速直线运动 此过程中着陆器受到的
（ ） ，
质量之积 质量之和 制动力大小约为
Ａ． Ｂ． （ ）
速率之和 各自的自转角速度 æ ｖ ö æ ｖ ö
Ｃ． Ｄ． ｍç ． ｇ ０ ÷ ｍç ． ｇ ０ ÷
８． 答案 ＢＣ Ａ． è０４ －ｔ ø Ｂ． è０４ ＋ｔ ø
０ ０
９．（２０１９课标Ⅰ，２１，６分） 多选 在星球Ｍ上将一轻弹簧竖直 æ ｖ ö æ ｖ ö
（ ） ｍç ． ｇ ０ ÷ ｍç ． ｇ ０ ÷
固定在水平桌面上 把物体Ｐ轻放在弹簧上端 Ｐ由静止向下运 Ｃ． è０２ －ｔ ø Ｄ． è０２ ＋ｔ ø
， ， ０ ０
动 物体的加速度ａ与弹簧的压缩量ｘ间的关系如图中实线所 ４． 答案 Ｂ
，
示 在另一星球Ｎ上用完全相同的弹簧 改用物体Ｑ完成同样 ５．（２０２０北京，５，３分）我国首次火星探测任务被命名为 天问
。 ， “
的过程 其ａ ｘ关系如图中虚线所示 假设两星球均为质量均 一号 已知火星质量约为地球质量的 ％ 半径约为地球半
， － 。 ”。 １０ ，
匀分布的球体 已知星球Ｍ的半径是星球Ｎ的 倍 则 径的 ％ 下列说法正确的是
。 ３ ， ５０ ， （ ）
火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
（ ） Ａ．
专题五 万有引力与航天 １４９
火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度 嫦娥五号分别沿轨道 和轨道 运行时 经过Ｑ点的速度
Ｂ． Ｄ． Ⅱ Ⅲ ，
之间 大小相等
火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 ８． 答案 ＢＣ
Ｃ．
火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 ９．（２０１９海南单科，４，４分） 年 月 我国第 颗北斗卫星
Ｄ． ２０１９ ５ ， ４５
５． 答案 Ａ 发射成功 已知该卫星轨道距地面的高度约为 是
。 ３６ ０００ ｋｍ，
６．（２０２０江苏单科，７，４分） 多选 甲 乙两颗人造卫星质量相 天宫二号 空间实验室轨道高度的 倍左右 则
（ ） 、 “ ” ９０ ， （ ）
等 均绕地球做圆周运动 甲的轨道半径是乙的 倍 下列应 ．该卫星的速率比 天宫二号 的大
， ， ２ 。 Ａ “ ”
用公式进行的推论正确的有 ．该卫星的周期比 天宫二号 的大
（ ） Ｂ “ ”
由ｖ ｇＲ可知 甲的速度是乙的 倍 ．该卫星的角速度比 天宫二号 的大
Ａ． ＝ ， ２ Ｃ “ ”
Ｂ．
由ａ
＝
ω２ｒ可知
，
甲的向心加速度是乙的
２
倍
Ｄ
．该卫星的向心加速度比
“
天宫二号
”
的大
Ｍｍ ９． 答案 Ｂ
由Ｆ Ｇ 可知 甲的向心力是乙的 １
Ｃ． ＝ ｒ２ ， １０．（２０１７课标Ⅲ，１４，６ 分） 年 月 我国成功发射的天舟
４ ２０１７ ４ ，
ｒ３ 一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接 对
由 ｋ可知 甲的周期是乙的 倍 ，
Ｄ． Ｔ２ ＝ ， ２ ２ 接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道 可视为圆轨道 运
（ ）
６． 答案 ＣＤ 行 与天宫二号单独运行时相比 组合体运行的
。 ， （ ）
７．（２０２１河北新高考适应卷，３，４分）假定 嫦娥五号 轨道舱绕 周期变大 速率变大
“ ” Ａ． Ｂ．
月飞行时 轨道是贴近月球表面的圆形轨道 已知地球密度为 动能变大 向心加速度变大
， 。 Ｃ． Ｄ．
月球密度的 ｋ 倍 地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 １０． 答案 Ｃ
，
ｎ倍 则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为 １１．（２０１６课标Ⅰ，１７，６ 分）利用三颗位置适当的地球同步卫
，
星 可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信 目前 地
（ ） ， 。 ，
ｋ ｎ３ ｋ ｎ 球同步卫星的轨道半径约为地球半径的
６
．
６
倍
。
假设地球的
Ａ． ｎ３ Ｂ． ｋ Ｃ． ｎ Ｄ． ｋ 自转周期变小 若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的 则地
， ，
７． 答案 Ａ 球自转周期的最小值约为
（ ）
８．（２０２１湖北新高考适应卷，９，４分） 多选 嫦娥五号取壤返回
（ ） Ａ．１ ｈ Ｂ．４ ｈ Ｃ．８ ｈ Ｄ．１６ ｈ
地球 完成了中国航天史上的一次壮举 如图所示为嫦娥五号 １１． 答案 Ｂ
， 。
着陆地球前部分轨道的简化示意图 其中 是月地转移轨道 １２．（２０１９天津理综，１，６分） 年 月 日 肩负着亿万中
， Ⅰ ， ２０１８ １２ ８ ，
在Ｐ点由轨道 变为绕地椭圆轨道 在近地点Ｑ再变为绕 华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射 实现人
Ⅰ Ⅱ， ，“
地椭圆轨道 下列说法正确的是 类航天器首次在月球背面巡视探测 率先在月背刻上了中国
Ⅲ。 （ ） ，
足迹 已知月球的质量为Ｍ 半径为Ｒ 探测器的质量为ｍ
”。 、 ， ，
引力常量为Ｇ 嫦娥四号探测器围绕月球做半径为ｒ的匀速
，
圆周运动时 探测器的
， （ ）
在轨道 运行时 嫦娥五号在Ｑ点的机械能比在Ｐ点的机
Ａ． Ⅱ ，
械能大
２ｒ３ ＧＭｍ
周期为 ４π 动能为
嫦娥五号在轨道 上运行的周期比在轨道 上运行的周 Ａ． ＧＭ Ｂ． Ｒ
Ｂ． Ⅱ Ⅲ ２
期长
Ｇｍ ＧＭ
角速度为 向心加速度为
Ｃ．
嫦娥五号分别沿轨道
Ⅱ
和轨道
Ⅲ
运行时
，
经过 Ｑ 点的向心 Ｃ． ｒ３ Ｄ． Ｒ２
加速度大小相等 １２． 答案 Ａ
１５０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
考点一 万有引力定律及其应用 地球的 倍 地球的半径为Ｒ 由此可知 该行星的半径约为
７ ， 。 ，
１．（２０１８北京理综，１７，６ 分）若想检验 使月球绕地球运动的
“ （ ）
力 与 使苹果落地的力 遵循同样的规律 在已知月地距离约
” “ ” ， １ Ｒ ７ Ｒ
Ａ． Ｂ．
为地球半径６０倍的情况下 需要验证
２ ２
， （ ）
地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 １／
Ａ． Ｒ ７Ｒ
６０２ Ｃ．２ Ｄ．
２
月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 １／ 答案 Ｃ 在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相
Ｂ．
６０２ 同的高度处 以相同的速率平抛一物体 它们经历的时间之比
、 ，
自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 １／ ｔ
Ｃ． 即在水平方向运动的距离之比 所以 １ ２ 竖直方向上做
６ ， ｔ ＝ 。
２ ７
苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的１／６０ ｇ ｈ／ｔ２
Ｄ． 自由落体运动 重力加速度分别为ｇ 和ｇ 因此 １ ２ １
答案 Ｂ 本题考查万有引力定律的应用 设地球半径为 ， １ ２， ｇ ＝ ｈ／ｔ２ ＝
。 ２ ２ ２
Ｒ 质量为Ｍ 月球绕地球公转轨道半径为ｒ 地球对地面附近 ｔ２
， ， 。 ２ ７
的苹果的引力Ｇ
Ｍ
Ｒ
ｍ
２ ＝ｍｇ ， 所以ｇ＝Ｇ Ｒ
Ｍ
２ ① ； 地球对月球的引力
ｔ２
１
＝
设 ４ 行
。
星和地球的质量分别为 Ｍ和Ｍ 行星的半径为ｒ 由
７ ， ，
Ｍｍ Ｍ 牛顿第二定律得
提供月球公转的向心力 即Ｇ 月＝ｍ ａ 所以ａ＝Ｇ ② 比
， ｒ２ 月 ， ｒ２ ； Ｍｍ
Ｇ７ ｍｇ
( Ｒ )２ １ ｒ２ ＝ １
较①②可知ａ＝ ｇ＝ ｇ 故选项 正确
ｒ ６０２ ， Ｂ 。 Ｍｍ
Ｇ ｍｇ
２．（２０１７课标Ⅱ，１９，６分） 多选 如图 海王星绕太阳沿椭圆轨 Ｒ２ ＝ ２
（ ） ，
道运动 Ｐ为近日点 Ｑ为远日点 Ｍ Ｎ为轨道短轴的两个端 解得ｒ Ｒ
， ， ， 、 ＝２
点 运行的周期为Ｔ 若只考虑海王星和太阳之间的相互作 因此 错 对
， ０。 Ａ、Ｂ、Ｄ ，Ｃ 。
用 则海王星在从Ｐ经Ｍ Ｑ到Ｎ的运动过程中 ５．（２０１５江苏单科，３，３分）过去几千年来 人类对行星的认识
， 、 （ ） ，
与研究仅限于太阳系内 行星 的发现拉开了研究太
， “５１ ｐｅｇ ｂ”
阳系外行星的序幕 绕其中心恒星做匀速圆周运
。 “５１ ｐｅｇ ｂ”
动 周期约为 天 轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 １
， ４ ， 。
２０
该中心恒星与太阳的质量比约为
（ ）
从Ｐ到Ｍ所用的时间等于Ｔ ／
Ａ． ０ ４ １
从Ｑ到Ｎ阶段 机械能逐渐变大 Ａ． Ｂ．１ Ｃ．５ Ｄ．１０
Ｂ． ， １０
从Ｐ到Ｑ阶段 速率逐渐变小 ＧＭ ｍ ( )
Ｃ Ｄ ． ． 从Ｍ到Ｎ阶段 ， ， 万有引力对它先做负功后做正功 答案 Ｂ 对行星 “５１ ｐｅｇ ｂ” 有 ｒ １ ２ １ ＝ ｍ １ ２ Ｔ π ２ ｒ １
答案 ＣＤ 本题考查开普勒行星运动定律 机械能守恒条 ＧＭ ｍ ( ) １ １
、 ２
件 ， 考查学生的理解能力 。 海王星绕太阳沿椭圆轨道运动 ， 由 对地球有 ｒ ２ ２ ２ ＝ ｍ ２ ２ Ｔ π ｒ ２
开普勒第二定律可知 从Ｐ Ｑ速度逐渐减小 故从Ｐ到Ｍ所 ２ ２
， → ， Ｍ æＴ ö２ æｒ ö３
用时间小于Ｔ ０ ／ ４， 选项 Ａ 错误 ，Ｃ 正确 ； 从Ｑ到Ｎ阶段 ， 只受太 化简即得 Ｍ １ ＝è ç Ｔ ２ ø ÷ ·è ç ｒ １ ø ÷
阳的引力 故机械能守恒 选项 错误 从Ｍ到Ｎ阶段经过Ｑ ２ １ ２
， ， Ｂ ； Ｍ ( ) ２ ( ) ３
点时速度最小 故万有引力对它先做负功后做正功 选项 代入数据得 １ ３６５ １
， ， Ｄ Ｍ ＝ · ≈１
正确 ２ ４ ２０
。 因此 正确
３．（２０１５重庆理综，２，６分）宇航员王亚平在 天宫 号 飞船内 Ｂ 。
“ １ ” ６．（２０１３福建理综，１３，６分）设太阳质量为Ｍ 某行星绕太阳公
进行了我国首次太空授课 演示了一些完全失重状态下的物理 ，
， 转周期为Ｔ 轨道可视作半径为ｒ的圆 已知引力常量为Ｇ 则
现象 若飞船质量为ｍ 距地面高度为ｈ 地球质量为Ｍ 半径 ， 。 ，
。 ， ， ， 描述该行星运动的上述物理量满足
（ ）
为Ｒ 引力常量为Ｇ 则飞船所在处的重力加速度大小为
， ， ２ｒ３ ２ｒ２
ＧＭ ４π ＧＭ ４π
（ ） Ａ． ＝ Ｔ２ Ｂ． ＝ Ｔ２
ＧＭ ＧＭｍ ＧＭ
２ｒ２ ｒ３
ＧＭ ４π ＧＭ ４π
Ａ．０ Ｂ． （ Ｒ ＋ ｈ ） ２ Ｃ． （ Ｒ ＋ ｈ ） ２ Ｄ．ｈ２ Ｃ． ＝ Ｔ３ Ｄ． ＝ Ｔ２
答案 Ｂ 对飞船应用牛顿第二定律有
：
Ｇ
（ Ｒ
Ｍ
＋
ｍ
ｈ ） ２ ＝
ｍｇ
ｈ，
则
向
答
心
案
力 Ｇ
Ａ
Ｍ ｍ
太
ｍ
阳
４
对
π ２
行
ｒ
星
可得
的万
ＧＭ
有引
４π
力
２ｒ
充
３
当
所以
行星做
正确
圆周运动的
ｇ
ＧＭ
故 正确
： ｒ２ ＝ Ｔ２ ， ＝ Ｔ２ ， Ａ 。
ｈ＝
（
Ｒ
＋
ｈ
）
２， Ｂ 。 ７．（２０１８浙江４月选考，９，３分）土星最大的卫星叫
“
泰坦
”（
如
４．（２０１５海南单科，６，３分）若在某行星和地球上相对于各自的 图 每 天绕土星一周 其公转轨道半径约为 ． ６
）， １６ ， １ ２×１０ ｋｍ。
水平地面附近相同的高度处 、 以相同的速率平抛一物体 ， 它们 已知引力常量Ｇ ＝６ ． ６７×１０ －１１ Ｎ·ｍ ２ ／ｋｇ ２ ， 则土星的质量约为
在水平方向运动的距离之比为 已知该行星质量约为
２ ∶ ７。 （ ）
专题五 万有引力与航天 １５１
． １９ ． ２２
Ｃ．５４×１０ ｋｇ Ｄ．７４×１０ ｋｇ
Ｍｍ
答案 Ｄ 万有引力提供向心力 由 Ｇ
， Ｒ ｈ ２ ＝
（ ＋ ）
２ Ｒ ｈ ２ Ｒ ｈ ３
ｍ４π（ ＋ ）得Ｍ ４π（ ＋ ） 代入数据得Ｍ ． ２２
Ｔ２ ＝ ＧＴ２ ， ＝７ ４×１０ ｋｇ，
正确
Ｄ 。
１７ ２６
Ａ．５×１０ ｋｇ Ｂ．５×１０ ｋｇ １１．（２０２０浙江７月选考，７，３分）火星探测任务 天问一号 的
“ ”
３３ ３６
Ｃ．７×１０ ｋｇ Ｄ．４×１０ ｋｇ 标识如图所示 若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆
答案 Ｂ 卫星 泰坦 绕土星做圆周运动 万有引力提供向 。
“ ” ， 周运动 火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为
Ｍｍ ( ) ２ ２ｒ３ ， ３ ∶
心力 有Ｇ ｍ ２π ｒ 得Ｍ ４π 代入数据得土星质量 则火星与地球绕太阳运动的
， ｒ２ ＝ Ｔ ， ＝ ＧＴ２ ， ２， （ ）
约为 ２６ 故 正确
５×１０ ｋｇ， Ｂ 。
８．（２０１４广东理综，２１，６ 分） 多选 如图所示 飞行器 Ｐ 绕某
（ ） ，
星球做匀速圆周运动 星球相对飞行器的张角为θ 下列说法
， ，
正确的是
（ ）
轨道周长之比为
Ａ． ２ ∶ ３
线速度大小之比为
Ｂ． ３ ∶ ２
角速度大小之比为
Ｃ． ２ ２ ∶ ３ ３
向心加速度大小之比为
轨道半径越大 周期越长 Ｄ． ９ ∶ ４
Ａ．
轨道半径越大
，
速度越大 答案 Ｃ 圆的周长与半径成正比 错 由
ＧＭｍ ｍｖ２
得
Ｂ．
若测得周期和
，
张角 可得到星球的平均密度
，Ａ ； ｒ２ ＝ ｒ ，
Ｃ． ， ｖ
若测得周期和轨道半径 可得到星球的平均密度 线速度大小之比为 错 由ω 得角速度大小之
Ｄ． ， ２ ∶ ３，Ｂ ； ＝ ｒ ，
Ｍｍ ２ Ｒ３
答案 ＡＣ 由Ｇ ｍ４π Ｒ得Ｔ 可知 正 ＧＭｍ
Ｒ２ ＝ Ｔ２ ＝ ＧＭ·２π， Ａ 比为
２ ２ ∶ ３ ３，
故
Ｃ
正确
；
由
ｒ２ ＝
ｍａ
ｎ，
得向心加速度大小
Ｍｍ ｖ２ ＧＭ 之比为 则 错
确 。 由Ｇ Ｒ２ ＝ ｍ Ｒ 得ｖ ＝ Ｒ ， 可知 Ｂ 错误 。 设轨道半径为 １２．（２０１８天 ４ ∶ 津 ９ 理 ， 综 Ｄ ，６，６ 。 分） 多选 年 月 日 我国成功
（ ）２０１８ ２ ２ ，
Ｒ
，
星 球 半 径 为 Ｒ
０，
由 Ｍ
＝
４
Ｇ
π
Ｔ
２Ｒ
２
３ 和 Ｖ
＝ ３
４
π
Ｒ３
０
得 将
界上
电
少
磁
数
监
拥
测
有
试
在
验
轨
卫
运
星
行 “
张
高
衡
精
一
度
号
地 ” 球
发
物
射
理
升
场
空
探 ，
标
测
志
卫
我
星
国
的
成
国
为
家
世
之
ρ ＝Ｇ ３ Ｔ π ２ ( Ｒ Ｒ ０ ) ３ ＝Ｇ ３ Ｔ π ２ æ è ç ç ｓｉｎ １ θ ö ø ÷ ÷ ３ ， 可判定 Ｃ 正确 。 当测得 Ｔ 和 Ｒ 一 的半 。 径 通 和 过 地 观 球 测 表 可 面 以 处 得 的 到 重 卫 力 星 加 绕 速 地 度 球 。 运 若 动 将 的 卫 周 星 期 绕 ， 并 地 已 球 知 的 地 运 球 动
２ 看作是匀速圆周运动 且不考虑地球自转的影响 根据以上数
而不能测得Ｒ 时 不能得到星球的平均密度 故 错误 ， ，
０ ， ， Ｄ 。 据可以计算出卫星的
９．（２０１４课标Ⅱ，１８，６分，０．３７０）假设地球可视为质量均匀分 （ ）
布的球体 已知地球表面重力加速度在两极的大小为 ｇ 在
。 ０，
赤道的大小为ｇ 地球自转的周期为Ｔ 引力常量为Ｇ 地球的
； ， 。
密度为
（ ）
ｇ ｇ ｇ
３π ０－ ３π ０
Ａ．ＧＴ２ ｇ
０
Ｂ．ＧＴ２ ｇ
０－
ｇ
ｇ
３π ３π ０
Ｃ．ＧＴ２ Ｄ．ＧＴ２ ｇ
Ｍｍ Ｍｍ
答案 Ｂ 在地球两极处 Ｇ ｍｇ 在赤道处 Ｇ
， Ｒ２ ＝ ０， ， Ｒ２ － Ａ． 密度 Ｂ． 向心力的大小
离地高度 线速度的大小
Ｒ２ｇ Ｃ． Ｄ．
ｍｇ ＝ ｍ４ Ｔ π ２ ２ Ｒ ， 故Ｒ ＝ （ ｇ ０ ４ － π ｇ ２ ） Ｔ２ ， 则ρ ＝ ４ Ｍ π Ｒ３ ＝ ４ Ｇ π Ｒ ０ ３ ＝ ４π ３ ｇ Ｒ ０ Ｇ＝ 面 答 的 案 高 度 Ｃ 为 Ｄ ｈ ， 本 则 题 有 考 Ｇ 查 Ｒ 万 Ｍｍ 有 ｈ 引 ２ ＝ 力 ｍ 定 ( ２ Ｔ 律 π ) 的 ２ （ 应 Ｒ 用 ＋ ｈ 。 ）， 设 结 卫 合 星 ｍ 离 ０ ｇ 地 ＝
３ ３ （ ＋ ）
ｇ ＧＭｍ ３ ＧＭＴ２ ３ ｇＲ２Ｔ２
３π ０ 正确 ０ 得ｈ Ｒ Ｒ 又ｖ ２π Ｒ ｈ 可见
ＧＴ２ ｇ ０－ ｇ，Ｂ 。 Ｒ２ ， ＝ ４π ２ － ＝ ４π ２ － ， ＝ Ｔ （ ＋ ），
１０．（２０１３大纲全国，１８，６分） 嫦娥一号 是我国首次发射的探 项均正确 因为卫星的质量未知 故无法算出卫星向心力的
“ ” Ｃ、Ｄ 。 ，
月卫星 它在距月球表面高度为 的圆形轨道上运行 大小和卫星的密度 故 错误
， ２００ ｋｍ ， ， Ａ、Ｂ 。
运行周期为 分钟 已知引力常量Ｇ ． －１１ ２／ Ｍｍ Ｍ
１２７ 。 ＝６ ６７×１０ Ｎ·ｍ 易错警示 对地面上的物体有ｍ ｇ Ｇ ０ 结合ρ
ｋｇ ２ ， 月球半径约为 １ ． ７４×１０ ３ ｋｍ。 利用以上数据估算月球的 ０ ＝ Ｒ２ ， ＝ ４ Ｒ３
质量约为 π
（ ） ３
． １０ ． １３ 可求出地球的密度 但题目要求算出卫星的密度 故不细心审
Ａ．８１×１０ ｋｇ Ｂ．７４×１０ ｋｇ ， ，
１５２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
题 可能会被已知地球的半径和地球表面处的重力加速度误 ＧＭｍ
导
，
而错选 Ｄ
皆正确
；
Ｅ
ｋ＝
１ ｍｖ２
＝ Ｒ ∝ Ｒ
１
，
故 Ｅ
ｋ Ａ＜
Ｅ
ｋ Ｂ，Ｂ
错误
；
Ｓ
＝
Ａ。 ２ ２
１３．（２０１８江苏单科，１，３分）我国高分系列卫星的高分辨对地
１ ωＲ２ １ ＧＭＲ Ｒ 故 错误
观察能力不断提高 今年 月 日发射的 高分五号 轨道 ＝ ∝ ， Ｃ 。
。 ５ ９ “ ” ２ ２
高度约为 之前已运行的 高分四号 轨道高度约为 １６．（２０１５福建理综，１４，６分）如图 若两颗人造卫星ａ和ｂ均
７０５ ｋｍ， “ ” ，
它们都绕地球做圆周运动 与 高分四号 相比 绕地球做匀速圆周运动 ａ ｂ到地心Ｏ的距离分别为ｒ ｒ 线
３６０００ ｋｍ， 。 “ ” ， ， 、 １、 ２，
下列物理量中 高分五号 较小的是 速度大小分别为ｖ ｖ 则
“ ” （ ） １、 ２， （ ）
周期 角速度
Ａ． Ｂ．
线速度 向心加速度
Ｃ． Ｄ．
答案 Ａ 本题考查万有引力定律及其应用 宇宙航行
、 。
设地球质量为Ｍ 卫星质量为ｍ 轨道半径为Ｒ 卫星绕地球
， ， ，
Ｍｍ ｍｖ２
做匀速圆周运动 万有引力提供向心力 即Ｇ 结合ｖ
， ， Ｒ２ ＝ Ｒ ，
ｖ２ ＧＭ ＧＭ ２Ｒ３ ｖ ｒ ｖ ｒ
ωＲ ω ２π ａ 解得ｖ ω Ｔ ４π １ ２ １ １
＝ ， ＝ Ｔ ， ＝ Ｒ， ＝ Ｒ ， ＝ Ｒ３ ， ＝ ＧＭ ， Ａ．ｖ ＝ ｒ Ｂ．ｖ ＝ ｒ
２ １ ２ ２
ＧＭ ｖ ｒ ｖ ｒ
ａ ＝Ｒ２， 可知ｖ ∝ １ Ｒ， ω ∝ １ Ｒ３ ， Ｔ ∝ Ｒ３ ， ａ ∝Ｒ １ ２， 由题知 Ｒ 四＞ Ｃ．ｖ １ ＝（ｒ ２ ） ２ Ｄ．ｖ １ ＝（ｒ １ ） ２
２ １ ２ ２
Ｒ 结合上面式子得ｖ ｖ ω ω ａ ａ Ｔ Ｔ 故 答案 Ａ 万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向
五， 五＞ 四， 五＞ 四， 五＞ 四， 五＜ 四， Ｂ、
Ｃ、Ｄ
三项均错
，Ａ
项正确
。 心力 有Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
所以ｖ
ＧＭ ｖ
１
ｒ
２ 项正确
１４．（２０１７江苏单科，６，４ 分）
（
多选
）“
天舟一号
”
货运飞船于 ， ｒ２ ＝ ｒ ， ＝ ｒ ，ｖ ＝ ｒ ，Ａ 。
２ １
年 月 日在文昌航天发射中心成功发射升空 与 １７．（２０１５北京理综，１６，６分）假设地球和火星都绕太阳做匀速
２０１７ ４ ２０ 。
天宫二号 空间实验室对接前 天舟一号 在距地面约 圆周运动 已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离
“ ” ，“ ” ３８０ ， ，
的圆轨道上飞行 则其
那么
ｋｍ ， （ ）
（ ）
角速度小于地球自转角速度
地球公转周期大于火星的公转周期
Ａ．
Ａ．
线速度小于第一宇宙速度
地球公转的线速度小于火星公转的线速度
Ｂ．
Ｂ．
周期小于地球自转周期
Ｃ． 地球公转的加速度小于火星公转的加速度
向心加速度小于地面的重力加速度 Ｃ．
Ｄ． 地球公转的角速度大于火星公转的角速度
答案 ＢＣＤ 本题考查万有引力定律 人造卫星的运行规 Ｄ．
、 答案 Ｄ 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心
律 由于地球自转的角速度 周期等物理量与地球同步卫星
。 、 Ｍｍ ｖ２ ＧＭ
一致
，
故
“
天舟一号
”
可与地球同步卫星比较
。
由于
“
天舟一 力得Ｇ
ｒ２ ＝
ｍ
ｒ ＝
ｍω２ｒ
＝
ｍ
（
２
Ｔ
π
）
２ｒ
＝
ｍａ
向，
解得ｖ
＝ ｒ ，
ω
＝
号 的轨道半径小于同步卫星的轨道半径 所以 角速度是
” ， ，
天舟一号 大 周期是同步卫星大 选项 错 对 第一宇 ＧＭ ｒ３ ＧＭ
Ｔ ａ 由题意知 ｒ ｒ 所以ｖ ｖ
“ 宙速度是近 ” 地卫 ， 星的环绕速度 故 ， 天舟一 Ａ 号 的 ，Ｃ 线速 ； 度小于 ｒ３ ， ＝２π ＧＭ， 向＝ ｒ２ ， ， 地＜ 火， 地＞ 火，
， “ ”
第一宇宙速度 ，Ｂ 对 ； 对 “ 天舟一号 ” 有Ｇ （ Ｒ Ｍ 地 地 ＋ ｍ ｈ ） ２ ＝ ｍａ 向， 所 １８． ω （２ 地 ０ ＞ １ ω ５ 火 天 ， Ｔ 津 地＜ 理 Ｔ 火 综 ， ， ａ ８ 地 ， ＞ ６ ａ 火 分 ，Ｄ ） （ 项 多 正 选 确 ） 。 Ｐ １、 Ｐ ２ 为相距遥远的两颗
Ｍ Ｍ 行星 距各自表面相同高度处各有一颗卫星ｓ ｓ 做匀速圆周
以ａ Ｇ 地 而地面重力加速度ｇ Ｇ 地 故ａ ｇ ， １、 ２
向＝
（
Ｒ
地＋
ｈ
）
２， ＝ Ｒ２地 ， 向＜ ，Ｄ 运动
。
图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生
选项正确 的加速度ａ 横坐标表示物体到行星中心的距离ｒ的平方 两
。 ， ，
１５．（２０１６江苏单科，７，４分） 多选 如图所示 两质量相等的卫 条曲线分别表示Ｐ Ｐ 周围的ａ与ｒ２ 的反比关系 它们左端
（ ） ， １、 ２ ，
星Ａ Ｂ绕地球做匀速圆周运动 用Ｒ Ｔ Ｅ Ｓ分别表示卫星 点横坐标相同 则
、 ， 、 、 ｋ、 。 （ ）
的轨道半径 周期 动能 与地心连线在单位时间内扫过的面
、 、 、
积 下列关系式正确的有
。 （ ）
Ｐ 的平均密度比Ｐ 的大
Ａ． １ ２
Ｐ 的 第一宇宙速度 比Ｐ 的小
Ｂ． １ “ ” ２
ｓ 的向心加速度比ｓ 的大
Ｃ． １ ２
ｓ 的公转周期比ｓ 的大
Ｄ． １ ２
答案 ＡＣ 设行星的半径为Ｒ 质量为Ｍ 卫星的质量为
、 、
Ａ．
Ｔ
Ａ＞
Ｔ
Ｂ Ｂ．
Ｅ
ｋ Ａ＞
Ｅ
ｋ Ｂ Ｃ．
Ｓ
Ａ＝
Ｓ
Ｂ Ｄ．
Ｒ
Ｔ２Ａ
３Ａ
＝
Ｒ
Ｔ２Ｂ
３Ｂ
ｍ
，
对于卫星有
：
Ｇ
Ｍ
ｒ２
ｍ
＝
ｍａ
，
则ａ
＝
Ｇ
ｒ
Ｍ
２ 。
由ａ
－
ｒ２ 图像中两条曲
ＧＭｍ ｖ２ 线左端点横坐标相同可知 ｒ最小值相同 说明两卫星ｓ ｓ 在
答案 ＡＤ 卫星做匀速圆周运动时有 ｍ ， ， １、 ２
Ｒ２ ＝ Ｒ ＝ 两行星表面运行 行星 Ｐ Ｐ 的半径 Ｒ 是相同的 而两颗卫
， １、 ２ ，
ｍＲω２
＝
ｍＲ４
Ｔ
π
２
２
，
则Ｔ
＝２π Ｇ
Ｒ
Ｍ
３
∝
Ｒ３
，
故Ｔ
Ａ＞
Ｔ
Ｂ，Ｔ
Ｔ
２
２
Ｂ
Ａ
＝Ｒ
Ｒ
３
３
Ｂ
Ａ
，Ａ、
星
的
到
距
各
离
自
ｒ是
行
相
星
同
表
的
面
，
的
由
距
图
离
像
也
可
相
知
同
， ｓ
，
１
所
的
以
向
卫
心
星
加
ｓ
速
１、 ｓ
度
２ 到
比
各
ｓ ２
自
的
行
大
星
，
专题五 万有引力与航天 １５３
ＧＭ ｑ ｐ
即
Ｃ
正确
。
由 ａ
＝ ｒ２
可知
，
ｒ 相同时
，
ａ 大说明对应的 Ｍ 也
Ａ．
ｐｑ倍
Ｂ． ｐ
倍
Ｃ． ｑ
倍
Ｄ．
ｐｑ３倍
大 故Ｐ 的平均密度比 Ｐ 的大 即 正确 设在行星表面
， １ ２ ， Ａ 。 答案 Ｃ 对于中心天体的卫星 Ｇ Ｍｍ ｍ ｖ２ ｖ ＧＭ
发射卫星的 第一宇宙速度 为 ｖ 则有 Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
ｖ
， Ｒ２ ＝ Ｒ， ＝ Ｒ ，
“ ” ， Ｒ２ ＝ Ｒ， ＝ 设该行星卫星的环绕速度为ｖ′ 地球卫星的环绕速度为ｖ 则
， ，
ＧＭ 可见Ｒ相同时Ｍ大的对应的ｖ也大 即Ｐ 的 第一宇 ｖ′ Ｍ′ Ｒ ｐ 正确
Ｒ ， ， １ “ ｖ ＝ Ｍ·Ｒ′ ＝ ｑ ，Ｃ 。
宙速度 ” 大 ， 故 Ｂ 错 。 卫星的公转周期设为Ｔ ， 则有 ： Ｇ Ｍ ｒ２ ｍ ＝ ２２．（ 亿 ２ 年 ０１ 前 ４ 地 天 球 津 自 理 转 综 的 ，３ 周 ，６ 期 分 约 ） 为 研究表 小 明 时 ， 地 假 球 设 自 这 转 种 在 趋 逐 势 渐 会 变 持 慢 ， 续 ３
２２ 。
２ ｒ３ 下去 地球的其他条件都不变 未来人类发射的地球同步卫星
ｍ４π ｒ Ｔ 可见ｓ 的公转周期小 故 错 ， ，
Ｔ２ ， ＝２π ＧＭ， １ ， Ｄ 。 与现在的相比
（ ）
１９．（２０１５四川理综，５，６ 分）登上火星是人类的梦想 嫦娥之 距地面的高度变大 向心加速度变大
，“ Ａ． Ｂ．
父 欧阳自远透露 中国计划于 年登陆火星 地球和火 线速度变大 角速度变大
” ： ２０２０ 。 Ｃ． Ｄ．
星公转视为匀速圆周运动 忽略行星自转影响 根据下表 火 答案 Ａ 同步卫星运行周期与地球自转周期相同 由
， 。 ， ，
星和地球相比 （ ） Ｍｍ ( ) ２ ３ ＧＭＴ２
Ｇ ｍ Ｒ ｈ ２π 有ｈ Ｒ 故Ｔ增大时
行星 半径／ 质量／ 轨道半径／ Ｒ ｈ ２ ＝ （ ＋ ）· Ｔ ＝ ２ － ，
ｍ ｋｇ ｍ （ ＋ ） ４π
地 火 球 星 ６ ． ． ４×１０ ６ ６ ６ ． ． ０×１０ ２ ２ ４ ３ １ ． ． ５×１０ １ １ １ １ ｈ也增大 ，Ａ 正确 。 同理由 （ Ｒ ＧＭ ＋ ｈ ｍ ） ２ ＝ ｍａ ＝ ｍ Ｒ ｖ ＋ ２ ｈ＝ ｍ （ Ｒ ＋ ｈ ） ω２
３４×１０ ６４×１０ ２３×１０
ＧＭ ＧＭ ＧＭ
火星的公转周期较小 可得ａ ｖ ω 故ｈ增大后ａ ｖ
Ａ．
火星做圆周运动的加速度较小
＝
（
Ｒ
＋
ｈ
）
２、 ＝ Ｒ
＋
ｈ、 ＝
（
Ｒ
＋
ｈ
）
３， 、 、
Ｂ． ω都减小 皆错误
火星表面的重力加速度较大 ，Ｂ、Ｃ、Ｄ 。
Ｃ． ２３．（２０１４浙江理综，１６，６分）长期以来 卡戎星 被认
火星的第一宇宙速度较大 “ （Ｃｈａｒｏｎ）”
Ｄ． 为是冥王星唯一的卫星 它的公转轨道半径ｒ 公
答案 Ｂ 设太阳质量为Ｍ 行星质量为ｍ 太阳对行星的 ， １＝１９６００ｋｍ，
， ， 转周期Ｔ ． 天 年 月 天文学家新发现两颗冥王
ＧＭｍ １＝６３９ 。 ２００６ ３ ，
引力提供行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力 星的小卫星 其中一颗的公转轨道半径ｒ 则它的
， ｒ２ ＝ ， ２＝４８０００ｋｍ，
公转周期Ｔ 最接近于
ｍ
（
２
Ｔ
π
）
２ｒ
，
解得 Ｔ
＝２π Ｇ
ｒ
Ｍ
３
，
由于 ｒ
火＞
ｒ
地，
所以 Ｔ
火＞
Ｔ
地， Ａ．１５
天 ２
Ｂ．２５
天
Ｃ．３５
天
Ｄ．４５
天 （ ）
Ｍｍ ２ ｒ３ Ｔ
ＧＭｍ 答案 Ｂ 由Ｇ ｍ４π ｒ 解得Ｔ 所以 ２
Ａ
错误
；
由
ｒ２ ＝
ｍａ得行星绕太阳做匀速圆周运动的加速度 ｒ２ ＝ Ｔ２ ， ＝２π ＧＭ， Ｔ
１
＝
ＧＭ Ｇｍ æｒ ö３
ａ ａ ａ 正确 行星表面重力加速度ｇ 代入表 ç ２ ÷ 解得Ｔ ． 天 所以 项正确
＝ ｒ２ ， 火＜ 地，Ｂ ； ＝ Ｒ２， èｒ ø ， ２≈２４４９ ， Ｂ 。
１
２４．（２０１３上海单科，９，３分）小行星绕恒星运动 恒星均匀地向
Ｇｍ ，
格数据 ， 可知ｇ 地＞ ｇ 火， 第一宇宙速度ｖ ＝ Ｒ ， 代入数据 ， ｖ 地＞ 四周辐射能量 ， 质量缓慢减小 ， 可认为小行星在绕恒星运动一
周的过程中近似做圆周运动 则经过足够长的时间后 小行
ｖ 火，Ｃ、Ｄ 错误 。 。 ，
２０．（２０１４江苏单科，２，３分）已知地球的质量约为火星质量的 星运动的
（ ）
半径变大 速率变大
倍 地球的半径约为火星半径的 倍 则航天器在火星表
Ａ． Ｂ．
１０ ， ２ ，
角速度变大 加速度变大
面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为
Ｃ． Ｄ．
（ ）
答案 Ａ 因恒星质量Ｍ减小 所以万有引力减小 不足以
． ． ． ． ， ，
Ａ．３５ ｋｍ／ｓ Ｂ．５０ ｋｍ／ｓ Ｃ．１７７ ｋｍ／ｓ Ｄ．３５２ ｋｍ／ｓ
答案 Ａ 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运 提供行星所需向心力 行星将做离心运动 半径Ｒ变大 项
， ， ，Ａ
动 由火星对航天器的万有引力提供航天器的向心力得 ＧＭ ＧＭ ＧＭ
， 正确 再由ｖ ω ａ 可知 速率 角速度 加
ＧＭ
火
ｍ ｍｖ２火 ， ＝ Ｒ ， ＝ Ｒ３ ， ＝Ｒ２ ， 、 、
Ｒ２火 ＝ Ｒ
火
速度均变小
，
故
Ｂ、Ｃ、Ｄ
均错误
。
２５．（２０１３广东理综，１４，４分）如图 甲 乙两颗卫星以相同的轨
同理 ＧＭ
Ｒ
地
２地
ｍ
＝
ｍ
Ｒ
ｖ
地
２地 道半径分别绕质量为Ｍ和
２
Ｍ的 ， 行星 、 做匀速圆周运动
。
下列
说法正确的是
所以 Ｍ 火 Ｒ 地 æ ç ｖ 火 ö ÷ ２ 甲的向心加速度比乙的小 （ ）
Ｍ 地 ·Ｒ 火 ＝èｖ 地 ø Ａ．
甲的运行周期比乙的小
Ｂ．
ｖ １ ｖ 而ｖ ． 甲的角速度比乙的大
火＝ · 地， 地＝７９ ｋｍ／ｓ Ｃ．
５ 甲的线速度比乙的大
． Ｄ．
故ｖ 火＝ ７９ ｋｍ／ｓ≈３ ． ５ ｋｍ／ｓ， 选项 Ａ 正确 。 答案 Ａ 由 ＧＭｍ ｍａ 知 ａ ＧＭ 因甲的中心天体质量
５ ｒ２ ＝ ＝ ｒ２ ，
２１．（２０１４福建理综，１４，６分）若有一颗 宜居 行星 其质量为
“ ” ， Ｍ Ｍ 乙的中心天体质量Ｍ Ｍ ｒ ｒ 故ａ ａ 项
地球的ｐ倍 半径为地球的ｑ倍 则该行星卫星的环绕速度是 甲＝ ， 乙＝２ ， 甲＝ 乙， 甲＜ 乙，Ａ
， ，
地球卫星环绕速度的
（ ）
正确
。
由 ＧＭ
ｒ２
ｍ
＝
ｍ
·
４
Ｔ
π
２
２
·
ｒ知Ｔ２
＝
４
Ｇ
π
Ｍ
２ｒ３
，
据已知条件得Ｔ
甲＞
１５４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ＧＭｍ ＧＭ 爱好者提出 玉兔 回家的设想 如图 将携带 玉兔 的返回
Ｔ
乙，Ｂ
项错误
。
由
ｒ２ ＝
ｍω２ｒ知ω２
＝ ｒ３ ，
据已知条件得ω
甲＜ 系统由月球表
“
面发
”
射到ｈ高度的
：
轨道
，
上 与在
“
该轨道
”
绕月球
，
ＧＭｍ ｍｖ２ ＧＭ 做圆周运动的飞船对接 然后由飞船送 玉兔 返回地球 设
ω
乙，Ｃ
项错误
。
由
ｒ２ ＝ ｒ
知 ｖ２
＝ ｒ ，
据已知条件得 ｖ
甲＜
“
玉兔
”
质量为 ｍ
，
月球半
，
径为 Ｒ
，
月面
“
的重力
”
加速度为
。
ｇ
月。
ｖ 项错误 以月面为零势能面 玉兔 在 ｈ 高度的引力势能可表示为
乙，Ｄ 。 ，“ ”
２６．（２０１５课标Ⅰ，２１，６分，０．４３９） 多选 我国发射的 嫦娥三 ＧＭｍｈ
（ ） “ Ｅ 其中Ｇ为引力常量 Ｍ为月球质量 若忽略月
号 登月探测器靠近月球后 先在月球表面附近的近似圆轨 ｐ＝Ｒ Ｒ ｈ ， ， 。
” ， （ ＋ ）
道上绕月运行 然后经过一系列过程 在离月面 高处做一 球的自转 从开始发射到对接完成需要对 玉兔 做的功为
； ， ４ ｍ ， “ ”
次悬停 可认为是相对于月球静止 最后关闭发动机 探测
（ ）； ， （ ）
器自由下落 已知探测器的质量约为 ． ３ 地球质量
。 １ ３×１０ ｋｇ，
约为月球的 倍 地球半径约为月球的 ． 倍 地球表面的
８１ ， ３ ７ ，
重力加速度大小约为 ． ２ 则此探测器
９８ ｍ／ｓ 。 （ ）
在着陆前的瞬间 速度大小约为 ．
Ａ． ， ８９ ｍ／ｓ
悬停时受到的反冲作用力约为 ３
Ｂ． ２×１０ Ｎ
ｍｇ Ｒ ｍｇ Ｒ
从离开近月圆轨道到着陆这段时间内 机械能守恒 月 月
Ｃ． ， Ａ． Ｒ ｈ （ ｈ ＋２ Ｒ ） Ｂ． Ｒ ｈ （ ｈ ＋ ２ Ｒ ）
在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道 ＋ ＋
Ｄ． ｍｇ Ｒæ ö ｍｇ Ｒ( )
上运行的线速度 月 月
çｈ ２Ｒ÷ ｈ １ Ｒ
Ｃ． Ｒ ｈ è ＋ ø Ｄ． Ｒ ｈ ＋
答案 ＢＤ 月球表面重力加速度大小ｇ Ｇ Ｍ 月 ３ ． ７ ２ ＋ ２ ＋ ２
月＝ Ｒ２月 ＝
８１
·
答案 Ｄ 对 玉兔 由Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
得ｖ
ＧＭ
Ｇ Ｍ Ｒ２地 地 ＝ ３ ８ ． ７ １ ２ ｇ 地＝１ ． ６６ ｍ／ｓ ２ ， 则探测器在月球表面着陆前的速 动能Ｅ ｋ＝ １ ｍｖ２ ， “ 势能 ” Ｅ ， ｐ＝Ｒ ＧＭ Ｒ （ ｍ Ｒ ｈ ｈ ＋ ｈ 且 ） ２ Ｇ ＝ Ｍ ＝ Ｒ Ｒ ＋ ２ｇ ｈ 月， 由 ＝ 功能 Ｒ 关 ＋ ｈ 系 ，
度大小ｖ ｇ ｈ ． 项错 悬停时受到的反冲作 ２ （ ＋ ）
ｔ＝ ２ 月 ＝３ ６ ｍ／ｓ，Ａ ； ｍｇ Ｒ( Ｒ )
用力Ｆ ＝ ｍｇ 月＝２×１０ ３ Ｎ，Ｂ 项正确 ； 从离开近月圆轨道到着陆 知对 “ 玉兔 ” 做的功Ｗ ＝ Ｅ ｋ＋ Ｅ ｐ＝ Ｒ 月 ｈ ｈ ＋ ， 故 Ｄ 项正确 。
过程中 有发动机工作阶段 故机械能不守恒 项错 在近月 ＋ ２
， ， ，Ｃ ； ２９．（２０１３四川理综，４，６分）迄今发现的二百余颗太阳系外行
圆轨道上运行的线速度 ｖ ｇ Ｒ ｇ Ｒ 故 项
月 ＝ 月 月 ＜ 地 地， Ｄ 星大多不适宜人类居住 绕恒星 运行的行星
， “Ｇｌｉｅｓｅ５８１” “Ｇｌ－
正确
却很值得我们期待 该行星的温度在 到 之
。
５８１ｃ” 。 ０ ℃ ４０ ℃
解题关键 求解探测器着陆前的瞬时速度和悬停时受到
① 间 质量是地球的 倍 直径是地球的 ． 倍 公转周期为
、 ６ 、 １ ５ 、 １３
的反冲作用力 ， 都需要先求出月球表面的重力加速度 ｇ 月； 个地球日 。 “Ｇｌｉｅｓｅ５８１” 的质量是太阳质量的 ０ ． ３１ 倍 。 设该
从离开近月圆轨道到着陆的过程中 有一部分时间发动机 行星与地球均视为质量分布均匀的球体 绕其中心天体做匀
② ， ，
ｍｖ２ 速圆周运动 则
处于工作状态 机械能不守恒 由ｍｇ 得ｖ ｇＲ是一 ， （ ）
， ；③ ＝ Ｒ ＝
在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
Ａ．
个重要的关系式
。
如果人到了该行星 其体重是地球上的 ２ 倍
２７．（２０１５广东理综，２０，６分） 多选 在星球表面发射探测器 Ｂ． ， ２
（ ） ， ３
当发射速度为ｖ时 探测器可绕星球表面做匀速圆周运动 当
， ；
该行星与 的距离是日地距离的 １３ 倍
发射速度达到 ｖ时 可摆脱星球引力束缚脱离该星球 已 Ｃ． “Ｇｌｉｅｓｅ５８１”
２ ， 。 ３６５
知地球 火星两星球的质量比约为 半径比约为 由于该行星公转速率比地球大 地球上的米尺如果被带上
、 １０ ∶ １， ２ ∶ １， Ｄ． ，
下列说法正确的有 该行星 其长度一定会变短
（ ） ，
Ａ．
探测器的质量越大
，
脱离星球所需要的发射速度越大
答案 Ｂ 由Ｇ
Ｍｍ
ｍ
ｖ２
得第一宇宙速度ｖ
ＧＭ
则
ｖ
Ｇ
Ｂ．
探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 Ｒ２ ＝ Ｒ ＝ Ｒ ， ｖ
地
Ｃ Ｄ ． ． 探 探 测 测 器 器 分 脱 别 离 脱 星 离 球 两 的 星 过 球 程 所 中 需 ， 势 要 能 的 逐 发 渐 射 增 速 大 度相等 ＝２，Ａ 错误 ； 由Ｇ 重＝ Ｇ Ｒ Ｍ ２ ｍ 有 Ｇ Ｇ 地 Ｇ 重 重 ＝ ３ ８ ， 故 Ｂ 正确 ； 由Ｇ Ｍ ｒ ′ ２ Ｍ ＝
答案 ＢＤ 设星球的质量为Ｍ 探测器的质量为ｍ 则当
， ， ３ ＧＭ′Ｔ２ ｒ ３ ． ２
探测器绕星球表面做圆周运动时有 Ｇ Ｒ Ｍ ２ ｍ ＝ ｍ ｖ Ｒ ２ ， Ｒ是星球半 Ｍｒ （ ２ Ｔ π ） ２有ｒ ＝ ４π ２ ， 则 ｒ 地 Ｇ ＝ ０３ ３ １ ６ × ５ １ ２ ３ ， 故 Ｃ 错误 ； 相对
论的 尺缩效应 是指物体在沿与观察者发生相对运动的方
“ ”
ＧＭ ＧＭ
径 可见ｖ ｖ ２ 探测器脱离星球所需要的发 向上长度缩短 故 错误
， ＝ Ｒ ， ２ ＝ Ｒ ， ， Ｄ 。
３０．（２０１１全国，１９，６分）卫星电话信号需要通过地球同步卫星
射速度与探测器质量无关 ｖ 地 Ｍ 地 Ｒ 火 皆错误 传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话 ， 则从你发出信
，ｖ 火 ＝ Ｍ 火 Ｒ 地 ＝ ５，Ａ、Ｃ ； 号至对方接收到信号所需最短时间最接近于 可能用到的数
（
由Ｆ ＧＭｍ 有 Ｆ 地 Ｍ 地 Ｒ２火 ５ 故 正确 探测器脱离星球的 据 ： 月球绕地球运动的轨道半径约为 ３ ． ８×１０ ５ ｋｍ， 运行周期约
＝ Ｒ２ Ｆ
火
＝Ｍ
火
Ｒ２地 ＝
２
， Ｂ ； 为
２７
天
，
地球半径约为
６４００ｋｍ，
无线电信号的传播速度为
３
过程中 星球对探测器的万有引力做负功 故其势能增大 ８ ．
， ， ，Ｄ ×１０ ｍ／ｓ） （ ）
正确 ． ． ．
。 Ａ．０１ ｓ Ｂ．０２５ ｓ Ｃ．０５ ｓ Ｄ．１ ｓ
２８．（２０１４山东理综，２０，６分） 年我国相继完成 神十 与 ３１．［２０１７天津理综，９（１）］我国自主研制的首艘货运飞船 天舟
２０１３ “ ” “
天宫 对接 嫦娥 携 玉兔 落月两大航天工程 某航天 一号 发射升空后 与已经在轨运行的 天宫二号 成功对接
“ ” 、“ ” “ ” 。 ” ， “ ”
专题五 万有引力与航天 １５５
形成组合体 假设组合体在距地面高为ｈ的圆形轨道上绕地 半径和表面附近的重力加速度分别为Ｍ′ Ｒ′和ｇ′ 探测器刚
。 、 ，
球做匀速圆周运动 已知地球的半径为Ｒ 地球表面处重力加 Ｍ Ｒ
， ， 接触月面时的速度大小为ｖ 则 ｋ ｋ
速度为ｇ 且不考虑地球自转的影响 则组合体运动的线速 ｔ。 Ｍ′＝ ２，Ｒ′＝ １
， 。
度大小为 向心加速度大小为 Ｍ′ｍ Ｍｍ ｋ２
， 。 由ｍｇ′ Ｇ 和ｍｇ Ｇ 得ｇ′ １ｇ
＝ Ｒ′２ ＝ Ｒ２ ＝ｋ
２
ｋ２ｇｈ
由ｖ２ｔ－ ｖ２
＝２
ｇ′ｈ
２
得ｖ
ｔ＝
ｖ２
＋
２
ｋ
１ ２
２
设机械能变化量为 Ｅ 动能变化量为 Ｅ 重力势
（２） Δ ， Δ ｋ，
能变化量为 Ｅ
答案 Ｒ
ｇ Ｒ２
ｇ 由 Ｅ
Δ
Ｅ
ｐ。
Ｅ
解析
设 组
本
合
题
体
Ｒ 考
的
＋ 查 ｈ
质
天
量
（ 体
为
Ｒ ＋ 运
ｍ
ｈ 动 ）
运
２
、
万
转
有
线
引
速
力
度
定
为
律
ｖ
的
地
应
球
用
质 。 量为Ｍ 则
有 Δ
Δ
Ｅ ＝
＝
Δ
２
１ ｍ ｋ＋ ｖ２ｔ Δ
－
ｍ ｐ ｇ′ｈ
１＝ ２
１ ｍ
（
ｖ２
＋
２ ｋ
ｋ
２ １ ｇ
２
ｈ ２
）－
ｍ ｋ
ｋ
２ １
２
ｇｈ
１
Ｇ （ Ｒ Ｍ ＋ ｍ ｈ ） ２ ＝ ｍａ 向＝ ｍ Ｒ ｖ ＋ ２ ｈ① 、 ， 又有Ｇ Ｍ Ｒ ｍ ２ ＝ ｍｇ 、 ②， 联立上述两 ， 式 ３４（２０１ 得 ４四 Δ Ｅ 川 ＝ 理 ２ １ 综 ｍ ， ｖ ９ ２ － ，１ ｋ ｋ ５ ２ １ ２ ｍ 分 ｇ （ ） ｈ 石 １－ 墨 ｈ ２ 烯 ） 是近些年发现的一种新材
Ｒ２ ｇ
得ａ ｇ ｖ Ｒ 料 其超高强度及超强导电 导热等非凡的物理化学性质有望
向＝ （ Ｒ ＋ ｈ ） ２ ， ＝ Ｒ ＋ ｈ。 使 ， 世纪的世界发生革命性 、 的变化 其发现者由此获得
试题评析 本题为万有引力定律在天体运动中的应用 考生 ２１ ， ２０１０
， 年诺贝尔物理学奖 用石墨烯制作超级缆绳 人类搭建 太空
只要应用天体运动中万有引力充当向心力这一规律 就可顺 。 ， “
， 电梯 的梦想有望在本世纪实现 科学家们设想 通过地球同
利作答 本题难度为易 ” 。 ，
， 。 步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站 电梯仓沿着这条
３２．［２０１３天津理综，９（１）］ 嫦娥一号 和 嫦娥二号 卫星相继 ，
“ ” “ ” 缆绳运行 实现外太空和地球之间便捷的物资交换
完成了对月球的环月飞行 标志着我国探月工程的第一阶段 ， 。
，
已经完成 设 嫦娥二号 卫星环绕月球的运动为匀速圆周
。 “ ”
运动 它距月球表面的高度为ｈ 已知月球的质量为Ｍ 半径
， ， 、
为Ｒ 引力常量为 Ｇ 则卫星绕月球运动的向心加速度 ａ
， ，
线速度 ｖ
＝ ， ＝ 。
ＧＭ ＧＭ
答案
（ Ｒ ＋ ｈ ） ２ Ｒ ＋ ｈ
解析 设卫星的质量为ｍ 卫星环绕月球作匀速圆周运动
， ，
ＧＭ
所以卫星的向心力由万有引力提供 所以有 ｍａ 和
， Ｒ ｈ ２ ＝
（ ＋ ）
若 太空电梯 将货物从赤道基站运到距地面高度为
ＧＭ ｖ２ ＧＭ ＭＧ （１） “ ”
ｍ 解得 ａ ｖ ｈ 的同步轨道站 求轨道站内质量为ｍ 的货物相对地心运动
（ Ｒ ＋ ｈ ） ２ ＝ （ Ｒ ＋ ｈ ） ２， ： ＝ （ Ｒ ＋ ｈ ） ２， ＝ Ｒ ＋ ｈ。 的 １ 动能 设地球自 ， 转角速度为ω 地球半 １ 径为Ｒ
３３．（２０１４重庆理综，７，１５分）如图为 嫦娥三号 探测器在月球 。 ， 。
“ ” 当电梯仓停在距地面高度ｈ Ｒ的站点时 求仓内
上着陆最后阶段的示意图 首先在发动机作用下 探测器受 （２） ２＝４ ，
。 ， 质量ｍ 的人对水平地板的压力大小 取地面附近重
到推力在距月面高度为ｈ 处悬停 速度为 ｈ 远小于月球 ２＝５０ ｋｇ 。
１ （ ０， １ 力加速度ｇ ２ 地球自转角速度ω ． －５ 地
半径 接着推力改变 探测器开始竖直下降 到达距月面高 ＝１０ ｍ／ｓ ， ＝７ ３×１０ ｒａｄ／ｓ，
）； ， ， 球半径Ｒ ． ３
度为ｈ 处的速度为ｖ 此后发动机关闭 探测器仅受重力下落 ＝６４×１０ ｋｍ。
２ ； ，
至月面 已知探测器总质量为ｍ 不包括燃料 地球和月球 答案 １ ｍ ω２ Ｒ ｈ ２ ．
。 （ ）， （１） １ （ ＋ １） （２）１１５ Ｎ
的半径比为ｋ 质量比为ｋ 地球表面附近的重力加速度为 ２
１， ２， 解析 设货物相对地心的距离为ｒ 线速度为ｖ 则
ｇ 求 （１） １， １，
， ： ｒ Ｒ ｈ
１＝ ＋ １ ①
ｖ ｒ ω
１＝ １ ②
货物相对地心运动的动能为Ｅ １ ｍ ｖ２
ｋ＝ １ １ ③
２
联立 得Ｅ １ ｍ ω２ Ｒ ｈ ２
①②③ ｋ＝ １ （ ＋ １） ④
２
说明 式各 分
：①②③④ １
设地球质量为Ｍ 人相对地心的距离为ｒ 向心加速
月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月
（２） ， ２，
（１）
度为ａ 受地球的万有引力为Ｆ 则
， ，
面时的速度大小
ｒ Ｒ ｈ
从开始竖 ； 直下降到刚接触月面时 探测器机械能的 ２＝ ＋ ２ ⑤
（２） ， ａ ω２ｒ
变化 ＝ ２ ⑥
。 ｍ Ｍ
Ｆ Ｇ ２
ｋ２ ｋ２ｇｈ ｋ２ ＝ ｒ２ ⑦
答案 １ｇ ｖ２ ２ １ ２ １ ｍｖ２ １ｍｇ ｈ ｈ ２
（１）ｋ ＋ ｋ （２） －ｋ （ １－ ２） ＧＭ
２ ２ ２ ２ ｇ
解析 设地球质量和半径分别为Ｍ和Ｒ 月球的质量 ＝Ｒ２ ⑧
（１） ， 、
１５６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
设水平地板对人的支持力大小为 Ｎ 人对水平地板的压 号 是我国第一颗人造地球卫星 该卫星至今仍沿椭圆轨
， ” ，
力大小为Ｎ′ 则 道绕地球运动 如图所示 设卫星在近地点 远地点的速度
， 。 ， 、
Ｆ Ｎ ｍ ａ 分别为ｖ ｖ 近地点到地心的距离为 ｒ 地球质量为 Ｍ 引
－ ＝ ２ ⑨ １、 ２， ， ，
Ｎ′ Ｎ 力常量为Ｇ 则
＝ ⑩ 。 （ ）
联立 式并代入数据得Ｎ′ ．
⑤～⑩ ＝１１５ Ｎ
说明 式各 分 式各 分
：⑥⑦⑧⑨ ２ ，⑤⑩ １
考点二 人造卫星、宇宙航行
１．（２０１６四川理综，３，６分）国务院批复 自 年起将 月
， ２０１６ ４ ２４
日设立为 中国航天日 年 月 日我国首次成功发
“ ”。 １９７０ ４ ２４
射的人造卫星东方红一号 目前仍然在椭圆轨道上运行 其轨 ＧＭ ＧＭ
， ， ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ
道近地点高度约为 远地点高度约为 年 Ａ． １＞ ２， １＝ ｒ Ｂ． １＞ ２， １＞ ｒ
４４０ ｋｍ， ２０６０ ｋｍ；１９８４
月 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 ＧＭ ＧＭ
４ ８ ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ ｖ
的地球同步轨道上 设东方红一号在远地点的加速 Ｃ． １＜ ２， １＝ ｒ Ｄ． １＜ ２， １＞ ｒ
３５７８６ ｋｍ 。
度为ａ 东方红二号的加速度为ａ 固定在地球赤道上的物体 答案 Ｂ 本题考查人造卫星沿椭圆轨道运动内容 培养了
１， ２， ，
随地球自转的加速度为ａ 则ａ ａ ａ 的大小关系为 理解能力和推理能力 体现了核心素养中的能量观念及模型建
３， １、 ２、 ３ （ ） ，
构要素 有利于培养学生爱国主义价值观
， 。
卫星沿椭圆轨道运动时 只受万有引力作用 机械能守恒
， ， ，
在卫星由近及远的运动过程中 卫星的部分动能转化为势能
， ，
速度逐渐减小 故ｖ ｖ 若卫星过近地点做半径为ｒ的匀速
， １＞ ２。
Ｍｍ ｖ２ ＧＭ
圆周运动 则满足Ｇ ｍ 可得ｖ 现卫星过近地
， ｒ２ ＝ ｒ ， ＝ ｒ 。
ａ ａ ａ ａ ａ ａ
Ａ． ２＞ １＞ ３ Ｂ． ３＞ ２＞ １ ＧＭ
ａ ａ ａ ａ ａ ａ 点做离心运动 则ｖ 故选项 正确 错误
Ｃ． ３＞ １＞ ２ Ｄ． １＞ ２＞ ３ ， １＞ ｒ ， Ｂ ，Ａ、Ｃ、Ｄ 。
Ｍｍ
答案 Ｄ 对于东方红一号与东方红二号 由Ｇ ｍａ得 ４．（２０１６天津理综，３，６分）我国即将发射 天宫二号 空间实验
， ｒ２ ＝ ： “ ”
室 之后发射 神舟十一号 飞船与 天宫二号 对接 假设 天
ＧＭ ， “ ” “ ” 。 “
ａ 由此式可知ａ ａ 对于地球同步卫星东方红二号和 宫二号 与 神舟十一号 都围绕地球做匀速圆周运动 为了实
＝ ｒ２ ， １＞ ２。 ” “ ” ，
现飞船与空间实验室的对接 下列措施可行的是
( ) ２ ， （ ）
地球赤道上的物体 由 ａ ω２ｒ ２π ｒ 可知 ａ ａ 综上可
， ＝ ＝ Ｔ ， ２＞ ３。
见 ａ ａ ａ 故 正确
， １＞ ２＞ ３， Ｄ 。
ＧＭ
易错点拨 由ａ 比较加速度的大小 只适用于正常运行
＝ ｒ２ ，
的卫星 对赤道上的物体是不成立的
， 。
２．（２０１５山东理综，１５，６分）如图 拉格朗日点 位于地球和 使飞船与空间实验室在同一轨道上运行 然后飞船加速追上
， Ｌ１ Ａ． ，
月球连线上 处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用 空间实验室实现对接
，
下 可与月球一起以相同的周期绕地球运动 据此 科学家设 使飞船与空间实验室在同一轨道上运行 然后空间实验室减
， 。 ， Ｂ． ，
想在拉格朗日点 建立空间站 使其与月球同周期绕地球运 速等待飞船实现对接
Ｌ１ ，
动 以ａ ａ 分别表示该空间站和月球向心加速度的大小 ａ 飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速 加速后飞船逐
。 １、 ２ ， ３ Ｃ． ，
表示地球同步卫星向心加速度的大小 以下判断正确的是 渐靠近空间实验室 两者速度接近时实现对接
。 ，
飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速 减速后飞船逐
（ ） Ｄ． ，
渐靠近空间实验室 两者速度接近时实现对接
，
ＧＭｍ
答案 Ｃ 对于绕地球做圆周运动的人造天体 由
， ｒ２ ＝
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｖ２ ＧＭ
Ａ． ２＞ ３＞ １ Ｂ． ２＞ １＞ ３ ｍ 有ｖ １ 可见ｖ与ｒ是一一对应的 在同一轨
ａ ａ ａ ａ ａ ａ ｒ ， ＝ ｒ ∝ ｒ ， 。
Ｃ． ３＞ １＞ ２ Ｄ． ３＞ ２＞ １
答案 Ｄ 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计 表明地 道上运行速度相同 不能对接 而从同一轨道上加速或减速时
， ， ；
球同步卫星距离月球要比空间站距离月球更远 则地球同步卫 由于发生变轨 二者不能处于同一轨道上 亦不能对接
， ， ， ，Ａ、Ｂ
星轨道半径ｒ 空间站轨道半径ｒ 月球轨道半径ｒ 之间的关 皆错误 飞船处于半径较小的轨道上 要实现对接 需增大飞
３、 １、 ２ 。 ， ，
ＧＭｍ ＧＭ ＧＭ 船的轨道半径 飞船加速 则轨道半径变大 飞船减速 则轨道
系为ｒ ｒ ｒ 由 ｍａ知 ａ ａ 所以ａ ａ 由 ， ， ； ，
２＞ １＞ ３， ｒ２ ＝ ， ３＝ ｒ２ ， ２＝ ｒ２ ， ３＞ ２； 半径变小 正确 错误
３ ２ ，Ｃ ，Ｄ 。
( ) ２ ５．（２０１６北京理综，１８，６分）如图所示 一颗人造卫星原来在椭
题意知空间站与月球周期相等 由 ｍａ ｍ ２π ｒ 知 ａ ，
， ＝ Ｔ ， １＝ 圆轨道１绕地球Ｅ运行 在Ｐ点变轨后进入轨道２做匀速圆
( ) ( ) ，
２ ２ 周运动 下列说法正确的是
２ Ｔ π ｒ １， ａ ２＝ ２ Ｔ π ｒ ２， 所以ａ ２＞ ａ １。 因此ａ ３＞ ａ ２＞ ａ １，Ｄ 正确 。 。 （ ）
３．（２０１９ 江苏单科，４，３ 分） 年成功发射的 东方红一
１９７０ “
专题五 万有引力与航天 １５７
由于地球引力做正功 引力势能一定减小
Ｂ． ，
由于气体阻力做负功 地球引力做正功 机械能保持不变
Ｃ． ， ，
卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
Ｄ．
答案 ＢＤ 卫星轨道半径逐渐减小 线速度可认为依然满
，
ＧＭ ＧＭｍ
足ｖ 则卫星的动能Ｅ １ ｍｖ２ １ 逐渐增大
＝ Ｒ ， ｋ＝ ＝ × Ｒ ，Ａ
２ ２
不论在轨道１还是轨道２运行 卫星在Ｐ点的速度都相同 错误 由于Ｗ 则引力势能减小 正确 由于Ｗ 有
Ａ． ， 。 引＞０， ，Ｂ 。 ｆ≠０，
不论在轨道 １ 还是轨道 ２ 运行 卫星在 Ｐ 点的加速度都 非重力做功 则机械能不守恒 错误 由Ｗ Ｗ Ｅ 所
Ｂ． ， ， ，Ｃ 。 引－ ｆ＝Δ ｋ＞０，
相同 以Ｗ Ｗ Ｅ 可知 正确
ｆ＜ 引＝｜Δ ｐ｜， Ｄ 。
卫星在轨道１的任何位置都具有相同加速度 考查点 功 人造卫星
Ｃ． 、
卫星在轨道２的任何位置都具有相同动量 审题技巧 审题的关键词 轨道可近似为圆 轨道半径逐
Ｄ． ：“ ”、“
答案 Ｂ 卫星在轨道１上运行到Ｐ点 经加速后才能在轨 渐变小 稀薄气体阻力的作用
， ”、“ ”。
道２上运行
，
故
Ａ
错误
。
由Ｇ Ｍ
ｒ２
ｍ ＝ｍａ得
：
ａ＝ Ｇ
ｒ
Ｍ
２ ，
由此式可知
８．（
易
２０
错
１
警
３
示
安 徽
气
理
体
综
阻
，１
力
７，
做
６
负
分
功
）质 ，
机
量
械
为
能
ｍ
减
的
少
人 ，
动
造
能
地
不
球
一
卫
定
星
减
与
小
地 。 心
正确 错 卫星在轨道２上的任何位置具有的动量大小相
Ｂ 、Ｃ 。 ＧＭｍ
等
，
但方向不同
，
故
Ｄ
错
。
的距离为ｒ时
，
引力势能可表示为Ｅ
ｐ＝－ ｒ ，
其中Ｇ为引力
易错点拨 卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分
常量 Ｍ为地球质量 该卫星原来在半径为Ｒ 的轨道上绕地
ｖ２ ＧＭ ｖ２ ， 。 １
析 与 相等时 卫星才可以做稳定的匀速圆周运动 ＞ 球做匀速圆周运动 由于受到极稀薄空气的摩擦作用 飞行一
。 ｒ ｒ２ ， ； ｒ ， ，
段时间后其圆周运动的半径变为Ｒ 此过程中因摩擦而产生
ＧＭ
２，
时 卫星将做离心运动 的热量为
ｒ２ ， 。 （ ）
６．（２０１３课标Ⅰ，２０，６分，０．４９６） 多选 年 月 日 神 ＧＭｍ １ １ ＧＭｍ １ １
（ ）２０１２ ６ １８ ， Ａ． （Ｒ －Ｒ ） Ｂ． （Ｒ －Ｒ ）
舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面 的近圆形 ２ １ １ ２
３４３ ｋｍ ＧＭｍ ＧＭｍ
轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接 对接轨道所 １ １ １ １
。 Ｃ． （Ｒ －Ｒ ） Ｄ． （Ｒ －Ｒ ）
处的空间存在极其稀薄的大气 下列说法正确的是 ２ ２ １ ２ １ ２
。 （ ） Ｍｍ ｖ２
为实现对接 两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和 答案 Ｃ 卫星绕地球做匀速圆周运动满足Ｇ ｍ
Ａ． ， ｒ２ ＝ ｒ ，
第二宇宙速度之间
ＧＭｍ ＧＭｍ
如不加干预 在运行一段时间后 天宫一号的动能可能会 动能 Ｅ １ ｍｖ２ 机械能 Ｅ Ｅ Ｅ 则 Ｅ
Ｂ． ， ， ｋ ＝ ＝ ｒ ， ＝ ｋ＋ ｐ， ＝ ｒ －
２ ２ ２
增加
ＧＭｍ ＧＭｍ
如不加干预 天宫一号的轨道高度将缓慢降低 卫星由半径为Ｒ 的轨道降到半径为Ｒ 的轨道
Ｃ． ， ｒ ＝－ ｒ 。 １ ２
２
航天员在天宫一号中处于失重状态 说明航天员不受地球引
Ｄ． ， ＧＭｍ
力作用 过程中损失的机械能 Δ Ｅ ＝ Ｅ １－ Ｅ ２＝ （Ｒ １ －Ｒ １ ）， 即下降过程
答案 ＢＣ 可认为目标飞行器是在圆形轨道上做匀速圆周 ２ ２ １
中因摩擦而产生的热量 所以 项正确
， Ｃ 。
ＧＭ 评析 考查学生综合应用万有引力定律的能力 需明确
运动 由ｖ 知轨道半径越大时运行速度越小 第一宇 ，
， ＝ ｒ 。 引力势能和动能的相关表达式及能量之间的关系 同时要求
。
宙速度为当ｒ等于地球半径时的运行速度 即最大的运行速
考生具有一定的数学计算能力 难度稍大 区分度较高
，
。 ， 。
度 故目标飞行器的运行速度应小于第一宇宙速度 错误 如 ９．（２０１３山东理综，２０，５分）双星系统由两颗恒星组成 两恒星
， ，Ａ ；
，
不加干预 稀薄大气对天宫一号的阻力做负功 使其机械能减
在相互引力的作用下 分别围绕其连线上的某一点做周期相同
， ，
，
小 引起高度的下降 从而地球引力又对其做正功 当地球引力
的匀速圆周运动 研究发现 双星系统演化过程中 两星的总
， ， ，
。 ， ，
所做正功大于空气阻力所做负功时 天宫一号的动能就会增
， 质量 距离和周期均可能发生变化 若某双星系统中两星做圆
、 。
加 故 皆正确 航天员处于完全失重状态的原因是地球对
， Ｂ、Ｃ ； 周运动的周期为Ｔ 经过一段时间演化后 两星总质量变为原
， ，
航天员的万有引力全部用来提供使航天员随天宫一号绕地球
来的ｋ倍 两星之间的距离变为原来的ｎ倍 则此时圆周运动
， ，
运行的向心力了 而非航天员不受地球引力作用 故 错误
， ， Ｄ 。 的周期为
（ ）
解题关键 关键词 近圆形轨道 交会对接 存在极其稀薄的
： ， ， ｎ３ ｎ３ ｎ２ ｎ
大气 Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ
。 Ａ． ｋ２ Ｂ． ｋ Ｃ． ｋ Ｄ． ｋ
审题指导 题目中的 近圆形轨道 说明可认为神舟九号
（１） “ ” 答案 Ｂ 设双星质量各为ｍ ｍ 相距Ｌ 做圆周运动的半
飞船和天宫一号目标飞行器绕地球做匀速圆周运动 １、 ２， ，
。 径分别为ｒ ｒ 则
极其稀薄的大气 说明天宫一号在运动过程中受阻 １、 ２，
７． 力 （２ ， ０ 要 １ （ ３ 损 ２） 课 失 “ 标 能 Ⅱ 量 ， 。 ２０，６ 分，０ ” ．５１５） 多选 目前 在地球周围有 Ｇ ｍ Ｌ １ ｍ ２ ２ ＝ ｍ １ ４π Ｔ ２ ２ ｒ １
（ ） ，
许多人造地球卫星绕着它运转 其中一些卫星的轨道可近似为 ｍ ｍ ２ｒ
， Ｇ １ ２ ｍ ４π ２
圆 且轨道半径逐渐变小 若卫星在轨道半径逐渐变小的过程 Ｌ２ ＝ ２ Ｔ２
， 。
中 只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用 则下列判断正确 ｒ ｒ Ｌ
， ， １＋ ２＝
的是
（ ） 可得
Ｇ
（
ｍ
１＋
ｍ
２） ４π
２Ｌ
卫星的动能逐渐减小 Ｌ２ ＝ Ｔ２
Ａ．
１５８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
． Ｔ 设地外行星连续两次冲日的时间间隔为 ｔ 则
Ｔ ４π ２Ｌ３ １６４３２ 地。 ，
＝ Ｇ （ ｍ １＋ ｍ ２）
Ｔ
２πｔ
－Ｔ
２πｔ
＝２π，
解得ｔ
＝Ｔ
Ｔ 地 Ｔ
Ｔ
星
＝
Ｔ
Ｔ
地
＞
Ｔ
地＝１
年
，
故各地外行
ｎ３ 地 星 星－ 地 地
所以Ｔ′
＝ ｋ
Ｔ １－Ｔ
星
评 故 析 Ｂ 正确 本 ， 题 Ａ 以 、Ｃ 双 、Ｄ 星 错 问 误 题 。 为背景 考查万有引力定律在天 星不会每年都出现冲日现象 ，Ａ 项错误 ； ｔ 木 ＝ Ｔ Ｔ 木 地 － Ｔ Ｔ 木 地 ＝
，
体运动中的应用 掌握双星运动的特点和规律是解决本题的关 年 ． 年
， １ ×１１８６ ． 年 而 年木星冲日时间为 月
． 年≈１ ０９ ， ２０１４ １ ６
键 难度中等 （１１８６－１）
。 。
１０．（２０１３浙江理综，１８，６分） （ 多选 ） 如图所示 ， 三颗质量均为ｍ 日 ， 下次冲日时间应为 ２０１５ 年 ２ 月 ，Ｂ 项正确 ； ｔ 天王 ＝
的地球同步卫星等间隔分布在半径为ｒ的圆轨道上 ， 设地球质量 Ｔ 地 Ｔ 天王 １×８２ ． ８２年 ． 年 ｔ Ｔ 地 Ｔ 土 １×２９ ． ２８年
为Ｍ ， 半径为Ｒ 。 下列说法正确的是 （ ） Ｔ 天王－ Ｔ 地 ＝ ８２ ． ８２－１ ≈１ ０１ ， 土 ＝Ｔ 土－ Ｔ 地 ＝ ２９ ． ２８－１ ≈
Ｔ
． 年 项错误 由 ｔ 地 知 Ｔ 越大 ｔ 越小 故 项
１０４ ，Ｃ ； ＝ Ｔ 星 ， ， Ｄ
地
１－Ｔ
星
正确
。
１２．（２０１５安徽理综，２４，２０分）由三颗星体构成的系统 忽略其
，
他星体对它们的作用 存在着一种运动形式 三颗星体在相互
， ：
之间的万有引力作用下 分别位于等边三角形的三个顶点上
ＧＭｍ ， ，
地球对一颗卫星的引力大小为
绕某一共同的圆心Ｏ在三角形所在的平面内做相同角速度
Ａ． ｒ Ｒ ２
（ － ）
的圆周运动 图示为Ａ Ｂ Ｃ三颗星体质量不相同时的一般情
ＧＭｍ （ 、 、
一颗卫星对地球的引力大小为
Ｂ． ｒ２ 况 ）。 若Ａ星体质量为 ２ ｍ ， Ｂ 、 Ｃ两星体的质量均为ｍ ， 三角形
的边长为ａ 求
两颗卫星之间的引力大小为 Ｇｍ２ ， ：
Ｃ． ｒ２
３
ＧＭｍ
三颗卫星对地球引力的合力大小为３
Ｄ． ｒ２
答案 ＢＣ 根据万有引力定律 地球对一颗卫星的引力大小
，
Ｍｍ
Ｆ Ｇ 项错误 由牛顿第三定律知 项正确 三颗卫星
万＝ ｒ２ ，Ａ 。 Ｂ 。
等间距分布 任意两星间距为 ｒ 故两星间引力大小 Ｆ ′
， ３ ， 万 ＝ Ａ星体所受合力大小Ｆ
ｍ２ （１） Ａ；
Ｇ 项正确 任意两星对地球引力的夹角为 ° 故任意两 Ｂ星体所受合力大小Ｆ
ｒ２，Ｃ 。 １２０ ， （２） Ｂ；
３ Ｃ星体的轨道半径Ｒ
星对地球引力的合力与第三星对地球的引力大小相等 方向相 （３） Ｃ；
， 三星体做圆周运动的周期Ｔ
反 三星对地球引力的合力大小为零 项错误 （４） 。
， ，Ｄ 。
１１．（２０１４课标Ⅰ，１９，６ 分，０．３５９） 多选 太阳系各行星几乎 答案 Ｇ ｍ２ Ｇ ｍ２ ７ａ ａ３
在同一平面内沿同一方向绕太阳做
（
圆周
）
运动 当地球恰好运
（１）２ ３ ａ２ （２） ７ ａ２ （３）
４
（４）π Ｇｍ
。
行到某地外行星和太阳之间 且三者几乎排成一条直线的现
解析 由万有引力定律 Ａ星体所受Ｂ Ｃ星体引力大
（１） ， 、
，
小为
象 天文学称为 行星冲日 据报道 年各行星冲日时
， “ ”。 ，２０１４
间 星冲 分 日 别是 ： 月 １ 月 ６ 日 日 海 木 王 星 星 冲 冲 日 日 ；４ 月 ９ 月 日火 日 星 天 冲 王 日 星 ；５ 冲 月 日 １１ 已 日土 知 Ｆ ＢＡ＝ Ｇ ｍ Ａ ｒ ｍ ２ Ｂ ＝ Ｇ２ ａ ｍ ２ ２ ＝ Ｆ ＣＡ， 方向如图
；８ ２９ ；１０ ８ 。
地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示 则下
，
列判断正确的是
（ ）
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 ． ． ． ．
（ＡＵ） １０ １５ ５２ ９５ １９ ３０
各地外行星每年都会出现冲日现象
Ａ．
在 年内一定会出现木星冲日
Ｂ． ２０１５ ｍ２
则合力大小为Ｆ Ｇ
Ｃ． 天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 Ａ＝２ ３ ａ２
地外行星中 海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
Ｄ． ， 同上 Ｂ星体所受Ａ Ｃ星体引力大小分别为
答案 ＢＤ 设地球和地外行星的公转周期分别为 Ｔ 和 （２） ， 、
地
Ｆ Ｇ
ｍ
Ａ
ｍ
Ｂ Ｇ２
ｍ２
Ｆ Ｇ
ｍ
Ｃ
ｍ
Ｂ Ｇ
ｍ２
方向如图
Ｔ 公转轨道半径分别为ｒ 和ｒ 由Ｇ Ｍｍ ｍ４π ２ ｒ解得Ｔ ＡＢ＝ ｒ２ ＝ ａ２ ， ＣＢ＝ ｒ２ ＝ ａ２，
星， 地 星， ｒ２ ＝ Ｔ２ ＝
ｍ２
由Ｆ Ｆ ° Ｆ Ｇ Ｆ Ｆ °
２π Ｇ ｒ Ｍ ３ ， 所以 Ｔ Ｔ 星 地 ＝ æ è ç ｒ ｒ 星 地 ö ø ÷ ３ ， 结合题给数据得 Ｔ 火 ≈ ｍ２ Ｂｘ ＝ ＡＢ ｃｏｓ ６０ ＋ ＣＢ ＝ ２ ａ２， Ｂｙ ＝ ＡＢ ｓｉｎ ６０ ＝
Ｇ
１
．
８４
Ｔ
地，
Ｔ
木≈１１
．
８６
Ｔ
地，
Ｔ
土≈２９
．
２８
Ｔ
地，
Ｔ
天王≈８２
．
８２
Ｔ
地，
Ｔ
海王≈
３ ａ２
专题五 万有引力与航天 １５９
ｍ２
可得Ｆ Ｂ＝ Ｆ２Ｂｘ＋ Ｆ２Ｂｙ ＝ ７ Ｇ ａ２ 可得Ｒ Ｃ＝ ７ａ
４
通过分析可知 圆心 Ｏ 在中垂线 ＡＤ 的中点 三星体运动周期相同 对 Ｃ 星体 由Ｆ Ｆ
（３） ， ， （４） ， ， Ｃ＝ Ｂ＝
Ｒ Ｃ＝ æ è ç ３ａ ö ø ÷ ２ ＋ ( １ ａ ) ２ ７ Ｇ ｍ ａ２ ２ ＝ ｍ （ ２ Ｔ π ） ２Ｒ Ｃ
４ ２
或 由对称性可知ＯＢ ＯＣ Ｒ ＯＢＤ
Ｆ
Ｂｘ
ＤＢ
可得Ｔ
ａ３
（ ： ＝ ＝ Ｃ ｃｏｓ∠ ＝Ｆ ＝ＯＢ＝ ＝π Ｇｍ
Ｂ
１ ａ
２
Ｒ ）
Ｃ
时间： 分钟 分值： 分
５０ ５０
一、单项选择题 每题 分 共 分 ３． 答案 Ａ
（ ３ ， １８ ）
１．（２０２１届河北石家庄第一次质量检测） 年牛顿在总结了 ４．（２０２０北京西城一模，１２） 年 月 日 我国成功发射
１６８７ ２０１９ １１ ５ ，
前人研究成果的基础上提出了万有引力定律 并通过月 地检 了 北斗三号卫星导航系统 的第 颗倾斜地球同步轨道卫
， — “ ” ３
验证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相 星 北斗三号卫星导航系统 由静止地球同步轨道卫星 倾
。 “ ” 、
同的性质 当时牛顿掌握的信息有 地球表面的重力加速度 斜地球同步轨道卫星 中圆地球轨道卫星组成 同步轨道
。 ： 、 。 “ ”
ｇ 月球轨道半径为地球半径的 倍 月球的公转周期约为 卫星的公转周期等于地球自转周期 卫星运行轨道面与地球赤
， ６０ ， ，
． 天 下列关于月 地检验的说法中正确的是 道面的夹角叫作轨道倾角 根据轨道倾角的不同 可将 同步
２７３ 。 — （ ） 。 ， “
牛顿计算出了地球对月球的万有引力的数值 从而完成了 轨道 分为静止轨道 倾角为零 倾斜轨道 倾角不为零 和极
Ａ． ， ” （ ）、 （ ）
月 地检验 地轨道 根据以上信息 下列说法中正确的是
— 。 ， （ ）
牛顿计算出了月球对月球表面物体的万有引力的数值 从而 倾斜地球同步轨道卫星的高度大于静止地球同步轨道卫星
Ｂ． ， Ａ．
完成了月 地检验 的高度
—
牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加 倾斜地球同步轨道卫星的线速度小于静止地球同步轨道卫
Ｃ． Ｂ．
星的线速度
速度的 １ 从而完成了月 地检验
， — 可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星 静止在北京上空
６ Ｃ． ，
牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表 可以发射一颗倾斜地球同步轨道卫星 每天同一时间经过北
Ｄ． Ｄ． ，
京上空
面重力加速度的 １ 从而完成了月 地检验
， — ４． 答案 Ｄ
３６００
１． 答案 Ｄ ５．（２０１９湖北宜昌模拟）军用卫星指的是用于各种军事目的的
２．（２０２１届湖北宜昌期中联考）如图所示 人造卫星甲 乙分别 人造地球卫星 在现代战争中大显身手 作用越来越重要 一颗
， 、 ， ， ，
绕地球做匀速圆周运动 卫星甲 乙的轨道平面互相垂直 乙的 军事卫星在距离地面高度为地球半径的圆形轨道上运行 卫星
， 、 ， ，
轨道平面与赤道平面重合 侦察信息通过无线电传输方式发送
轨道半径是甲轨道半径的 ３ 倍 某时刻两卫星和地心在同 ，
２５ ，
到位于赤道上的地面接收站 已知人造地球卫星的最小周期约
一直线上 且乙在甲的正上方 称为相遇 在这以后 甲运动
，
， （ ）。 ，
为 则下列判断正确的是
周的时间内 它们相遇了
８５ ｍｉｎ， （ ）
６ ， （ ）
该军事卫星的周期约
Ａ． ４８０ ｍｉｎ
该军事卫星的运行速度约为
Ｂ． ７ ｋｍ／ｓ
该军事卫星连续两次通过接收站正上方的时间间隔约为
Ｃ．
５７６ ｍｉｎ
地面接收站能连续接收信息的时间约为
Ｄ． ９６ ｍｉｎ
５． 答案 Ｄ
６．（２０２０河北冀州中学期中，３）宇航员乘坐航天飞船在距月球
表面高度为Ｈ的圆轨道上绕月运行 经过多次变轨 最后登
次 次 次 次 。 ，
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 上月球 宇航员在月球表面做了一个实验 将一片羽毛和一个
２． 答案 Ｂ 。 ：
铅球从高度为ｈ处同时以速度ｖ 平抛 二者同时落到月球表
３．（２０２０山东等级考模拟，５） 年 月 日发生了天王星 ０ ，
２０１９ １０ ２８ 面 测量其水平位移为ｘ 已知引力常量为Ｇ 月球半径为Ｒ
冲日现象 即太阳 地球 天王星处于同一直线 此时是观察天 ， 。 ， ，
， 、 、 ， 则下列说法不正确的是
王星的最佳时间 已知日地距离为Ｒ 天王星和地球的公转 （ ）
。 ０， ｈｖ２Ｒ２
周期分别为Ｔ和Ｔ 则天王星与太阳的距离为 月球的质量Ｍ ２ ０
０， （ ） Ａ． ＝ Ｇｘ２
３ Ｔ２
Ｒ
Ｔ３
Ｒ ｖ
Ａ． Ｔ２
０
０ Ｂ． Ｔ３
０
０ Ｂ． 月球的第一宇宙速度大小ｖ １＝ ｘ ０ ２ ｈＲ
３ Ｔ２ Ｔ３ ｈｖ２
０ Ｒ ０ Ｒ 月球的密度ρ ３ ０
Ｃ． Ｔ２ ０ Ｄ． Ｔ３ ０ Ｃ． ＝ ＧＲｘ２
４π
１６０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
ｘ ｈＲ Ｓ 的质量比Ｓ 的大
卫星绕月球表面运行周期Ｔ π ２ Ａ． １ ２
Ｄ． ＝ ｖ ｈ Ｐ 的质量比Ｐ 的大
０ Ｂ． １ ２
６． 答案 Ｃ Ｓ 的线速度比Ｓ 的线速度小
Ｃ． １ ２
Ｓ 的线速度比Ｓ 的线速度大
二、多项选择题 每题 分 共 分 Ｄ． １ ２
（ ４ ， １６ ） ９． 答案 ＢＤ
７．（２０２１届辽宁新高考联合调研，１０）地球赤道上物体Ａ随地球
１０．（２０１９福建厦门模拟）物体在万有引力场中具有的势能叫作
自转做匀速圆周运动 卫星Ｂ绕地球在椭圆轨道上运动 两者
， ， 引力势能 若取两物体相距无穷远时的引力势能为零 一个
在同一平面内且运动的周期相等 地球表面的重力加速度为 。 ，
， 质量为ｍ 的质点距质量为Ｍ 的引力中心为ｒ 时 其引力势
ｇ 则下列说法正确的是 ０ ０ ０ ，
， （ ） ＧＭ ｍ
能Ｅ ０ ０ 式中Ｇ为引力常量 一颗质量为ｍ的人造
ｐ＝－ ｒ （ ）。
０
地球卫星以半径为ｒ 的圆形轨道环绕地球飞行 已知地球的
１ ，
质量为Ｍ 要使此卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径增
，
大为ｒ 则在此过程中
２， （ ）
卫星势能增加了ＧＭｍ １ １
物体Ａ的加速度等于ｇ Ａ． （ｒ －ｒ ）
Ａ． １ ２
若卫星Ｂ在近地点时正在Ａ的正上方 则卫星Ｂ在远地点 卫星动能减少了 ＧＭｍ １ １
Ｂ． ， Ｂ． （ｒ －ｒ ）
时也正在Ａ的正上方 ３ １ ２
ＧＭｍ
当地球对卫星 Ｂ 的引力做负功时 卫星 Ｂ 的机械能不断 卫星机械能增加了 １ １
Ｃ． ， Ｃ． （ｒ －ｒ ）
减小 ２ １ ２
ＧＭｍ
卫星Ｂ的最高点比地球同步卫星的高度高 卫星上的发动机所消耗的最小能量为２ １ １
Ｄ． Ｄ． （ｒ －ｒ ）
７． 答案 ＢＤ ３ ２ １
１０． 答案 ＡＣ
８．（２０２０湖北宜昌部分示范高中教学协作体期中联考，９）双星
系统中两颗星球Ａ Ｂ的质量都是ｍ 相距Ｌ 它们正围绕两者 三、计算题 共 分
、 ， ， （ １６ ）
连线上某一点做匀速圆周运动 实际观测该系统的周期Ｔ要 １１．（２０２０湖北部分重点中学第一次联考，１３） 分 年
。 （８ ）２０１９ ４
Ｔ 月 日 时 分 我国在西昌卫星发射中心用 长征三号
小于按照力学理论计算出的周期理论值Ｔ 且 ｋ ｋ 于 ２０ ２２ ４１ ， “ ”
０， Ｔ ＝ （ ＜１）， 乙运载火箭 成功发射第四十四颗北斗卫星 卫星入轨后绕地
０ ， ，
是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球 Ｃ 的影响 并 球做半径为ｒ的匀速圆周运动 卫星的质量为ｍ 地球的半
， 。 ，
认为Ｃ位于Ａ Ｂ的连线正中间 相对Ａ Ｂ静止 则下列说法正 径为Ｒ 地球表面的重力加速度大小为ｇ 不计地球自转的影
、 ， 、 ， ， ，
确的是 响 求
（ ） 。 ：
卫星进入轨道后的加速度大小ｇ
Ｌ２ （１） 卫；
Ａ Ｂ组成的双星系统周期理论值Ｔ
Ａ． 、 ０＝２π Ｇｍ
（２）
卫星的动能Ｅ
ｋ。
Ｌ３ １１． 答案
ｇＲ２ ｍｇＲ２
Ｂ．
Ａ
、
Ｂ组成的双星系统周期理论值Ｔ
０＝２π Ｇｍ
（１） ｒ２ （２）
２
ｒ
２ １２．（２０２０湖北荆州质检一，２６） 分 引力波探测于 年获
ｋ２ （８ ） ２０１７
Ｃ星的质量为１＋ ｍ 得诺贝尔物理学奖 双星的运动是引力波的来源之一 假设
Ｃ． ｋ
４ 。 ，
Ｃ星的质量为１－
ｋ２
ｍ
宇宙中有一双星系统由Ｐ
、
Ｑ两颗星体组成
，
这两颗星绕它们
Ｄ．
４
ｋ２ 连线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动
，
测得
８． 答案 ＢＤ Ｐ星的周期为Ｔ Ｐ Ｑ两颗星的距离为ｌ Ｐ Ｑ两颗星的轨道
， 、 ， 、
９．（２０２０河北衡水模拟）两颗互不影响的行星Ｐ Ｐ 各有一颗 半径之差为 ｒ Ｐ星的轨道半径大于Ｑ星的轨道半径 引力
卫星Ｓ Ｓ 绕其表面附近做匀速圆周运动 图中
１、
纵轴
２，
表示行星 常量为Ｇ 求
Δ （ ），
周围空 １ 间 、 某 ２ 位置的引力加速度ａ 横轴表示 ， 某位置到行星中心 Ｑ ， Ｐ ： 两颗星的线速度之差 ｖ
， （１） 、 Δ ；
Ｑ Ｐ两颗星的质量之差 ｍ
距离的平方的倒数 １ ａ １ 关系图像如图所示 卫星Ｓ Ｓ 表 （２） 、 Δ 。
ｒ２， －ｒ２ ， １、 ２ １２． 答案 ２πΔ ｒ ４π ２ｌ２ Δ ｒ
面处的引力加速度大小均为ａ 则 （１） Ｔ （２） ＧＴ２
０。 （ ）
专题五 万有引力与航天 １６１
Ａ 组
一、选择题 Ｍｍ ｖ２ ＧＭｍ
确 卫星在轨道 上 Ｇ ｍ 又 ｍｇ 解得
１．（２０１９辽宁大连模拟） ２０１７ 年 ８ 月 ２８ 日 ， 中科院南极天文中 ； Ⅰ ， （ Ｒ ＋ ｈ １） ２ ＝ Ｒ ＋ ｈ １ ， Ｒ２ ＝ ，
心的巡天望远镜观测到一个由双中子星构成的孤立双星系统
ｖ
ｇＲ２
选项 正确 根据开普勒第三定律可得（
Ｒ
＋
ｈ
１）
３
产生的引力波
。
该双星系统以引力波的形式向外辐射能量
，
使 ＝ Ｒ
＋
ｈ
１
， Ｂ ； Ｔ２
１
＝
得圆周运动的周期 Ｔ极其缓慢地减小 双星的质量 ｍ 与 ｍ Ｒ ｈ ｈ
均不变 则下列关于该双星系统变化的说 ， 法正确的是 １ ２ （ ２ ＋ １＋ ２ ） ３ ｈ ｈ Ｒ ３
， （ ） ２ 解得Ｔ Ｔ （ １＋ ２＋２ ） 选项 正确 根据
Ｔ２ ， ２＝ １ Ｒ ｈ ３ ， Ｃ ；
２ ８（ ＋ １）
ｈ Ｒ
开普勒第二定律得ｖ ｈ Ｒ ｖ ｈ Ｒ 解得ｖ １＋ ｖ 选
Ａ（ １＋ ）＝ Ｂ（ ２＋ ）， Ｂ＝ｈ Ｒ Ａ，
２＋
项 错误
Ｄ 。
３．（２０２０湖北八校一联）中国志愿者王跃参与人类历史上第一
次全过程模拟从地球往返火星的试验 火星 假设将来
双星的间距逐渐增大 “ －５００”。
Ａ． 人类一艘飞船从火星返回地球时 经历如图所示的变轨过程
双星间的万有引力逐渐增大 ， ，
Ｂ． 则下列说法不正确的是
双星的线速度逐渐增大 （ ）
Ｃ．
双星系统的引力势能逐渐增大
Ｄ．
１． 答案 ＢＣ 万有引力提供向心力 由牛顿第二定律得
，
Ｇｍ ｍ ｖ２ ｖ２
１ ２ ｍ ２π ２ｒ ｍ ２π ２ｒ ｍ １ ｍ ２ 其中ｒ ｒ
Ｌ２ ＝ １（ Ｔ ） １＝ ２（ Ｔ ） ２＝ １ ｒ ＝ ２ ｒ ， １＋ ２＝
１ ２
２Ｌ３ 飞船在轨道 上运动时 在Ｐ点的速度大于在Ｑ点的速度
Ｌ 解得周期Ｔ ４π 周期减小 则双星的间距 Ｌ 减 Ａ． Ⅱ ，
， ＝ Ｇ ｍ ｍ ， ， 飞船在轨道 上运动时 在Ｐ点的速度大于在轨道 上运动
（ １＋ ２） Ｂ． Ⅰ ， Ⅱ
小 万有引力增大 万有引力对双星做正功 双星系统引力势能 时在Ｐ点的速度
， ， ，
Ｇｍ２ Ｇｍ２
Ｃ．
飞船在轨道
Ⅰ
上运动到Ｐ点时的加速度等于飞船在轨道
Ⅱ
减小 ， ｖ １＝ ｍ ｍ ２ Ｌ， ｖ ２ ＝ ｍ ｍ １ Ｌ， 双星的间距 Ｌ 减 上运动到Ｐ点时的加速度
小 双星各自 （ 的线 １＋ 速 ２ 度 ） 增大 故 （ １ 正 ＋ 确 ２） 错误 若轨道 贴近火星表面 测出飞船在轨道 上运动的周期
， ， Ｂ、Ｃ ，Ａ、Ｄ 。 Ｄ． Ⅰ ， Ⅰ ，
２．（２０１９重庆江津模拟）北斗导航已经应用于多种手机 如图所 就可以推知火星的密度
，
示 导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道 上飞行 到 ３． 答案 Ｂ 在轨道 上 由Ｑ点到Ｐ点 万有引力做正功 根
， Ⅱ ， Ⅱ ， ， ，
达Ａ点时转移到圆轨道 上 若圆轨道 离地球表面的高度 据动能定理知 速度增大 则在 Ｐ 点的速度大于在 Ｑ 点的速
Ⅰ 。 Ⅰ ， ，
为ｈ 椭圆轨道 近地点离地球表面的高度为ｈ 地球表面 度 故 正确 飞船在轨道 上的Ｐ点进入轨道 要做离心
的重
１
力
，
加速度为
Ⅱ
ｇ 地球半径为Ｒ 则下列说法正确
２。
的是
运 ， 动 需 Ａ 加速 ； 可知在轨道 Ⅰ 上时在Ｐ点的速度大 Ⅱ 于 ， 在轨道
， ， Ⅱ Ⅰ
， ，
上时在Ｐ点的速度 故Ｂ错误 在不同轨道上的Ｐ点 由于所
（ ） ， ； ，
受的万有引力相等 根据牛顿第二定律知 加速度大小相等 故
， ， ，
Ｍｍ ２
正确 设火星的半径为Ｒ 根据Ｇ ｍＲ４π 得火星的质量
Ｃ ； ， Ｒ２ ＝ Ｔ２
２Ｒ３ Ｍ Ｍ
Ｍ ４π 则火星的密度ρ ３π 故 正确
＝ ＧＴ２ ， ＝ Ｖ ＝ Ｒ３ ＝ＧＴ２， Ｄ 。
４π
３
４．（２０２０江苏四市联合一模） 多选 如图所示 为地月拉格朗
（ ） ，Ｌ
日点 该点位于地球和月球连线的延长线上 处于此处的某卫
卫星在轨道 上的机械能大于在轨道 上的机械能
， ，
Ａ． Ⅰ Ⅱ
星无须动力维持即可与月球一起同步绕地球做圆周运动 已
ｇＲ２ 。
卫星在轨道 上的运行速率ｖ 知该卫星与月球中心 地球中心的距离分别为ｒ ｒ 月球公转
Ｂ． Ⅰ ＝ Ｒ
＋
ｈ
１ 周期为Ｔ 引力常量为
、
Ｇ 则
１、 ２，
若卫星在圆轨道 上运行的周期是Ｔ 则卫星在轨道 上 ， 。 （ ）
Ｃ． Ⅰ １， Ⅱ
ｈ ｈ Ｒ ３
的周期Ｔ Ｔ （ １＋ ２＋２ ）
２＝ １ Ｒ ｈ ３
８（ ＋ １）
若卫星沿轨道 运行到Ａ点的速度大小为ｖ 则 卫星 运
Ｄ． Ⅱ Ａ， “ ”
Ｒ ｈ
行到Ｂ点的速度ｖ ＋ １ｖ
Ｂ＝ Ｒ ｈ Ａ
＋ ２
２． 答案 ＡＢＣ 卫星从轨道 进入轨道 要在Ａ点加速 则卫 该卫星的周期大于地球同步卫星的周期
Ⅱ Ⅰ ， Ａ．
星在轨道 上的机械能大于在轨道 上的机械能 选项 正 该卫星的加速度小于月球公转的加速度
Ⅰ Ⅱ ， Ａ Ｂ．
１６２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
根据题述条件 不能求出月球的质量 位有效数字 的推导结论用字母表达
Ｃ． ， ；③ ）
根据题述条件 可以求出地球的质量 试估算地球的质量
Ｄ． ， ① ；
４． 答案 ＡＤ 处于拉格朗日点的卫星的周期与月球公转的周 试估算太阳表面的重力加速度
② ；
期相同 故Ａ正确 该卫星与月球角速度相等 根据ａ ω２ｒ 该 已知某星体演变为黑洞时的质量为Ｍ 求该星体演变为
， ； ， ＝ ， ③ ，
卫星的轨道半径大 所以该卫星的加速度就大 故 错误 设 黑洞时的临界半径Ｒ
， ， Ｂ ； 。
月球的质量为Ｍ 地球的质量为Ｍ 卫星的质量为ｍ 对月球 ＧＭ
月， ， ， ５． 答案 ２４ ２ ２ ２
有Ｇ ＭＭ 月 Ｍ ４π ２ ｒ ｒ 对卫星有 Ｇ Ｍｍ Ｇ Ｍ 月 ｍ ｍ ①６×１０ ｋｇ ②３×１０ ｍ／ｓ ③ ｃ２
（ ｒ ２－ ｒ １） ２ ＝ 月 Ｔ２ （ ２－ １）， ｒ２ ２ ＋ ｒ２ １ ＝ 解析 ① 物体绕地球表面做匀速圆周运动时有
４π ２ ｒ 联立可以解出Ｍ和Ｍ 故 错误 Ｄ正确 ＧＭ 地 ｍ ｍ ｖ２
Ｔ２ ２， 月， Ｃ ， 。 Ｒ２地 ＝ Ｒ 地
二、非选择题 解得Ｍ 地＝
Ｒ
地 Ｇ
ｖ２
＝６×１０ ２４ ｋｇ
５．（２０１９辽宁省实验中学、大连八中、东北育才等五校联考，１６）
ＧＭ ｍ
阅读资料 并根据资料中有关信息回答问题 在地球表面 地 ｍｇ
（ ）以
，
下是地球和太阳的有关数据
。 ② Ｒ２地 ＝ 地
１
ＧＭ
平均半径 Ｒ 地＝６ ． ３７１×１０ ６ ｍ Ｒ 日＝１１０ Ｒ 地 解得ｇ 地＝ Ｒ２地 地
质量 Ｍ 地 Ｍ 日＝３３３０００ Ｍ 地 同理在太阳表面ｇ ＧＭ 日
平均密度 ρ
地
ρ
日＝
ρ
地
／
４
日＝ Ｒ２日
自转周期 天 赤道附近 天，两极附近大于 天
Ｍ
日
Ｒ２地
已知物体
１
绕地球表面做匀速
２６
圆周运动的速度
３
为
０
ｖ
ｇ 日＝Ｍ
地
Ｒ２日 ｇ 地≈３×１０ ２ ｍ／ｓ ２
（２） ＝ ＧＭｍ ｖ２
． 引力常量Ｇ ． －１１ ３ －１ －２ 光速ｃ 在星体表面有 ｍ １
７９
８
ｋｍ／ｓ，
－１ 地球表面的
＝６
重
６
力
７×
加
１
速
０
度
ｍ
取
·ｋｇ ·
２
ｓ ， ＝３× ③ Ｒ２ ＝ Ｒ
１０ ｍ·ｓ ， １０ ｍ／ｓ ；
大约 年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预 该星体演变为黑洞时的逃逸速度ｖ ｃ ｖ
（３） ２００ ２＝ ＝ ２ １
言一个密度如地球 直径为太阳 倍的发光星体由于其引力 ＧＭ
， ２５０ 解得Ｒ ２
作用不允许任何光线离开它 其逃逸速度大于真空中的光速 ＝ ｃ２
，
温馨提示 本题考查了万有引力定律及圆周运动向心力公式
逃逸速度为第一宇宙速度的 倍 这一奇怪的星体就叫做
（ ２ ）， 的直接应用 要注意任何物体 包括光子 都不能脱离黑洞的
黑洞 ， （ ）
。 束缚 那么黑洞表面脱离的速度应大于光速
在下列问题中 把星体 包括黑洞 看作是一个质量分布 ， 。
， （ ）
均匀的球体 的计算结果用科学计数法表达 且保留一
。 （①② ，
Ｂ 组
一、选择题 要经过多次变轨 最终降落到月球表面上 如图所示 轨道
， 。 ， Ⅰ
１．若 嫦娥五号 卫星在距月球表面Ｈ处的环月轨道 上做匀速 为圆形轨道 其半径为Ｒ 轨道 为椭圆轨道 半长轴为ａ 半短
“ ” Ⅰ ， ； Ⅱ ， ，
圆周运动 其运行的周期为Ｔ 随后 嫦娥五号 在该轨道上某 轴为ｂ 如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时
， ； “ ” 。
点采取措施 使卫星降至椭圆轨道 上 如图所示 若近月点 间的比值定义为扫过的面积速率 则探测器绕月球运动过程中
， Ⅱ ， 。 ，
接近月球表面 而Ｈ等于月球半径 忽略月球自转及地球对卫 在轨道 和轨道 上扫过的面积速率之比是 已知椭圆的面
， ， Ⅰ Ⅱ （
星的影响 则 嫦娥五号 在轨道 上的运行周期为 积Ｓ ａｂ
， “ ” Ⅱ （ ） ＝π ） （ ）
ａｂ Ｒ
Ａ． Ｒ Ｂ． ａ
３ Ｔ ３Ｔ ３ ３Ｔ ３Ｔ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ８ ８ ４ ａＲ ｂＲ
１． 答案 Ｃ 在轨道 上 轨道半径ｒ Ｒ Ｈ Ｈ 在轨道 上
Ⅰ ， ＝ ＋ ＝２ ， Ⅱ ， Ｃ． ｂ Ｄ． ａ
半长轴为ａ ２ Ｒ ＋ Ｈ ３ Ｈ 根据开普勒第三定律知（２ Ｈ ） ３ ２． 答案 Ｃ 设探测器在轨道 上运动的周期为Ｔ 在轨道
＝
２
＝
２
， Ｔ２ ＝ Ⅰ １，
Ｒ２
Ⅱ
上运动的周期为Ｔ 则在轨道 上扫过的面积速率为 π 在
（ ３ Ｈ ） ３
２， Ⅰ ： Ｔ
１
，
２ 解得Ｔ ３ ３Ｔ 故Ｃ正确 ａｂ Ｒ３
Ｔ２ １ ， １＝ ８ ， 。 轨道 Ⅱ 上扫过的面积速率为π Ｔ ， 由开普勒第三定律可知 Ｔ２ ＝
２．（２０２０湖北武汉起点考试） 年 月 日 时 分 在月 ２ １
２０２０ ７ １５ ５ ４８ ，
球背面的 嫦娥四号 着陆器被顺利唤醒 标志着 嫦娥 携手
“ ” ， “ ”
玉兔 进入第 月昼工作期 不断创造着新的纪录 探测器
“ ” ２０ ， 。
专题五 万有引力与航天 １６３
Ｒ２ 工作 将小探测器射出 并使它能脱离地球引力范围 即探测
π ， ， （
ａ３ Ｔ Ｒ２ Ｔ Ｒ２ ａ３ ａＲ 器可以到达离地心无穷远处 则探测器离开飞船时的速度ｖ
由以上三式联立解得 １ ２ 故 ）， ３
Ｔ２， ａｂ＝ａｂ·Ｔ ＝ａｂ· Ｒ３ ＝ ｂ ， 相对于地心 至少是多少 探测器离开地球的过程中只有
２ π １ （ ） ？ （
Ｔ 引力做功 动能转化为引力势能
２ ， ）
Ｃ正确
。 ＧＭｍ ＧＭ ＧＭ ＧＭ
３． 答案 ｖ２ ２ ２ ２
二、非选择题 （１） Ｒ （２） １＋Ｒ ｈ－ Ｒ （３） Ｒ
２ ＋
３．（２０１９北京东城期末，１９）如图 圆轨道 为地球同步卫星轨 解析 在近地轨道 离地高度忽略不计 上运行时 飞
， Ⅲ （１） Ⅰ（ ） ，
道 发射同步卫星的过程可以简化为以下模型 先让飞船进入 船在万有引力作用下做匀速圆周运动
， ：
一个近地圆轨道 离地高度可忽略不计 经过轨道上Ｐ点 Ｍｍ ｖ２
Ⅰ（ ）， 有 Ｇ ｍ
时点火加速 进入椭圆形转移轨道 该椭圆轨道 的近地点 ： Ｒ２ ＝ Ｒ
， Ⅱ， Ⅱ
为圆轨道 上的Ｐ点 远地点为圆轨道 上的Ｑ点 到达远地 ＧＭｍ
Ⅰ ， Ⅲ ， 则飞船的动能为Ｅ １ ｍｖ２
点Ｑ时再次点火加速 进入轨道 ｋ＝
２
＝
２
Ｒ
， Ⅲ。
飞船在转移轨道 上运动过程中 只有引力做功 引
已知引力常量为Ｇ 地球质量为Ｍ 地球半径为Ｒ 飞船质
（２） Ⅱ ， ，
， ， ，
力势能和动能相互转化 由能量守恒定律可知动能的减少量
量为ｍ 同步卫星轨道距地面高度为ｈ
。
当 ， 飞船距离地
Ｇ
心
Ｍ
的
ｍ
距离为ｒ时
，
地 。 球与飞船组成的系统的 等于引力势能的增加量
，
１
２
ｍｖ２
１－
２
１ ｍｖ２
２＝－
Ｇ
Ｒ
Ｍ
＋
ｍ
ｈ－
(
－
ＧＭ
Ｒ
ｍ)
引力势能为Ｅ
ｐ＝－ ｒ （
取无穷远处的引力势能为零
），
忽略地 飞船在椭圆轨道上运行
，
经过Ｐ点时速率为ｖ
１，
则经过Ｑ
球自转和喷气后飞船质量的变化 问 ＧＭ ＧＭ
， ： 点时速率为ｖ ｖ２ ２ ２
２＝ １＋Ｒ ｈ－ Ｒ
＋
若在近地圆轨道 上运行时 飞船上的发射装置短暂
（３） Ⅰ ，
工作 将小探测器射出 并使它能脱离地球引力范围 即探测
， ， （
器可以到达离地心无穷远处 动能全部用来克服引力做功
）， ，
转化为引力势能
。
Ｍｍ′
则 Ｇ １ ｍ′ｖ２
： Ｒ ＝ ３
在近地轨道 上运行时 飞船的动能是多少 ２
（１） Ⅰ ， ？ 则探测器离开飞船时的速度 相对于地心 至少是 ｖ
若飞船在转移轨道 上运动过程中 只有引力做功 （ ） ３＝
（２） Ⅱ ， ， ＧＭ
引力势能和动能相互转化 已知飞船在椭圆轨道 上运行时 ２
。 Ⅱ ， Ｒ 。
经过Ｐ点时的速率为ｖ 则经过Ｑ点时的速率ｖ 为多大
１， ２ ？
若在近地圆轨道 上运行时 飞船上的发射装置短暂
（３） Ⅰ ，
