文档文本内容
专题十 计数原理
课标解读
考情分析 备考指导
主题 内容
．从近几年的高考命题情况 ．在处理排列 组合的应用问题时 常采用直接法
．分类加法计数原理 分步乘法计 １ １ 、 ， ，
１ ， 看 考题难度以中低档为主 间接法 在处理二项式问题时常采用公式法．
数原理 ， ， ，
题型以选择题 填空题的形式 ．用排列 组合知识解决计数问题时 如果遇到的情
理解分类加法计数原理和分步 ， ２ 、 ，
（１） 出现． 况较为复杂 即分类较多 标准也较多 同时所求计
乘法计数原理． 会用两个原理 ， ， ，
（２） ．考查内容主要体现以下方 数的结果不太容易计算时 往往利用表格法 树状
一、计数原理、 分析和解决一些简单的实际问题． ２ ， 、
面 利用排列 组合解决实 图法将其所有的可能一一列举出来 这样会更容易
排列、组合 ．排列与组合 ：（１） 、 ，
２ 际问题或利用排列 组合解决 得出结果．
理解排列 组合的概念． 、
（１） 、 概率有关问题 利用二项 ．求解二项式展开式的特定项时 即求展开式中的
能利用计数原理推导排列数公 ；（２） ３ ，
（２） 式展开式的通项求指定项系 某一项 如第ｎ项 常数项 有理项 字母指数为某些
式 组合数公式． ， ， ， ，
、
能解决简单的实际问题．
数或求二项式系数问题
；
特殊值的项
，
先准确写出通项Ｔ
ｒ＋１＝Ｃ
ｒ
ｎ
ａｎ－ｒｂｒ
，
再把系
（３） 利用二项式展开式求二项 数与字母分离出来 注意符号 最后根据题目中指
（３） （ ），
式系数最值问题或求系数最 定的字母的指数所具有的特征 列出关系式求解
，
．能用计数原理证明二项式定理． 值问题 ， 常以这些内容为考查 即可．
二、二项式定理 １ ２ 开 ．会 式 用 有 二 关 项 的 式 简单 定 问 理 题 解 ． 决与二项展 重 在 点 处 ， 理 同 排 时 列 关 、 注 组 分 合 类 问 讨 题 论 中 思想 的 ４ 中 ．关 的 注 应 排 用 列 ， 能 、 组 够 合 在 在 不 解 同 决 背 求 景 离 下 散 抽 型 象 随 的 机 数 变 学 量 本 分 质 布 ， 列 强
应用． 化在知识的形式过程 知识的迁移中渗透学科素养．
，
命题立意 丙场馆的安排方法有 ３ 种．所以共有 区别在于一个与分类有关 一个与分步有
Ｃ３＝１ ６ ，
必备知识 计数原理与排列 组合． 种不同的安排方法．故选 ． 关．这两个计数原理是最基本也是最重要
（１） ： 、 ×１０×１＝６０ Ｃ
考查能力 逻辑推理能力与运算求解 的计数原理 是解答排列与组合问题 尤
（２） ： 易错警示 ， ，
能力． 其是解答较复杂的排列与组合问题的
对于排列 组合问题 首先要分析元素是
核心素养 数学运算． 、 ， 基础．
（３） ： 否可重复 其次要分析是排列问题 还是
方法拓展 解排列问题的主要方法有
， ，
解题过程 组合问题． （
直
２
接
）
法 优先法
：
捆绑法 插空法 间接法．
第一步 安排甲场馆的志愿者 则甲场馆 、 、 、 、
： ， 知能拓展 分配问题有平均分配问题与非平均分配
的安排方法有 Ｃ １ ６＝６ 种 ， 第二步 ： 安排乙 原理解读 分类加法计数原理和分步 问题．
场馆的志愿者 ， 则乙场馆的安排方法有 Ｃ ２ ５ （ 乘 １ 法 ） 计数原理 ： 的共同点是把一个原始事
种 第三步 安排丙场馆的志愿者 则
＝１０ ， ： ， 件分解成若干个事件来完成 两个原理的
，
专题十 计数原理 ７０１７０２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
真题多维细目表
考题 涉分 题型 难度 考点 考向 解题方法 核心素养
单项
２０２０新高考Ⅰ，３ 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
５ 选择题
单项
２０２０新高考Ⅱ，６ 易 排列、组合 分配问题 直接法 数学运算
５ 选择题
数学运算
２０２０课标Ⅰ理，８ 选择题 中 二项式定理 求展开式中指定项的系数 分类讨论法
５ 逻辑推理
数学运算
２０２０北京，３ 选择题 易 二项式定理 求展开式中指定项的系数 公式法
４ 逻辑推理
数学运算
２０２０天津，１１ 填空题 易 二项式定理 求展开式中指定项的系数 公式法
５ 逻辑推理
命题规律与探究
．从 年高考情况来看 考题难度以中低档为主 主要以选择题 填空题的形式出现 分值为 分．
１ ２０２０ ， ， 、 ， ５
．本专题内容在高考试题中以排列组合的综合应用 利用二项式定理求二项式系数或求指定项系数为主 考查了学生处理问题
２ ， ，
的思维严密性和分类讨论的数学思想方法．
．在处理排列组合的应用问题时 常采用直接法 间接法 在处理二项式问题时常采用公式法．
３ ， 、 ；
．本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理．
４
命题变化与趋势
．从 年高考情况来看 考查方式及题目难度与往年变化不大 延续此前的考试风格．
１ ２０２０ ， ，
．考查内容主要体现在以下方面 利用排列 组合解决实际问题 或利用排列 组合解决概率有关问题． 利用二项展开式的通
２ ：① 、 ， 、 ②
项公式求指定项系数或求二项式系数问题． 利用二项式展开式求二项式系数最值问题或求系数最值问题．常以这些内容为考
③
查重点 同时关注分类讨论思想在处理排列 组合问题中的应用．
， 、
．加强关注排列 组合在解决求离散型随机变量分布列中的应用 能够在不同背景下抽象出数学本质．强化在知识的形成过程 知
３ 、 ， 、
识的迁移中渗透学科素养．
真题典例
核心考点 排列 组合 思路分析 这是一个定向的完全不 的综合问题 解题思想是先分组后分配．
（１） 、 ； （１） ，
分组 分配问题． 均匀分配问题 分组问题属于 组合 问题 常见的分组
（２） 、 ； “ ” ，
知识储备 解排列问题的主要方法 先把 名学生按人数分为 三 方法有三种
（１） ： （２） ６ １、２、３ ：
直接法 特殊位置或元素优先考虑法 个小组 再分别去三个场馆． 完全均匀分组 每组元素的个数都
， 、 ， ① ，
相邻捆绑法 不相邻插空法 间接法． 易错警示 本题是一个完全不均匀分组 相等
、 ； ；
分组分配 先分组后分配原则 必须 后再定向分配问题 容易出现分组再分 部分均匀分组 应注意不要重复
（２） ： ， ， ② ， ；
注意是均匀分配还是非均匀分配问题 配的错误． 完全非均匀分组 这种分组不考虑重
； ③ ，
排列 组合问题中注意适当分类后 命题规律 分组 分配问题是排列 组合 复现象．
（３） 、 、 、
可避免重复计数问题．
专题十 计数原理 ７０３
１０．１ 计数原理与排列、组合
§
注意 易混淆排列与排列数 排列是一个具体的排法 不是
， ，
数而是一件事 而排列数是所有排列的个数 是一个正整数．
， ，
３．组合与组合数
考点 计数原理、排列、组合
组合 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素组成一
（１） ： （ ≤ ）
１．两个计数原理的联系与区别 组 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合．
，
原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 组合数 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素的所
（２） ： （ ≤ ）
联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言的 有不同组合的个数 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组
，
每类办法都能独立完成这件 每 果 一 任 步 何 得 一 到 步 的 都 只 不 是 能 中 独 间 立 结 完 合数 ， 记作 Ｃ ｍ ｎ ．
事 它是独立的 一次的 且每 ， 注意 易混淆排列与组合问题 区分的关键是看选出的元
区别一 ， 、 ， 成这件事 缺少任何一步也 ，
次得到的是最后结果 只需一 ， 素是否与顺序有关 排列问题与顺序有关 组合问题与顺序无关．
， 不可 只有各步骤都完成了 ， ，
种方法就可完成这件事 ， ４．排列数、组合数的公式及性质
才能完成这件事
各类办法之间是互斥的 并列 各步之间是相互依存的 并 ｎ！
区别二 、 ， ｍ ｎ ｎ ｎ ｎ ｍ
的 独立的 且既不能重复也不能遗漏 （１）Ａｎ＝ （ －１）（ －２）…（ － ＋１）＝③ （ｎ ｍ）！ ；
、 －
２．排列与排列数 公式 （２）Ｃ ｍ ｎ ＝ Ａ ｍ ｎ ｍ ＝ ｎ （ ｎ －１）（ ｎ － ｍ ２）…（ ｎ － ｍ ＋１） ＝ ④ ｍ！ （ ｎ ｎ ！ ｍ）！ ．
排列 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素 按照一 Ａｍ ！ －
（１） ： （ ≤ ） ，
定的 顺序 排成一列 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素
（
ｎ
，
ｍ
∈
Ｎ∗
，
且ｍ
≤
ｎ
）
① ，
的一个排列． 特别地
，Ｃ
０ｎ＝⑤
１
排列数 从ｎ个不同元素中取出ｍ ｍ ｎ 个元素的所
有不 （ 同 ２ 排 ） 列的个 ： 数 叫做从ｎ个不同元素中 （ 取出 ≤ ｍ ） 个元素的排 性质 （１）０！ ＝１；（２）Ａ ｎ ｎ＝ ｎ ！；（３）Ｃ ｍ ｎ＝⑥ Ｃ ｎ ｎ－ｍ ；（４）Ｃ ｍ ｎ＋１＝Ｃ ｍ ｎ＋Ｃ ｍ ｎ－１
，
列数 记作 ｍ ．
， ② Ａｎ
５．用数字 组成没有重复数字的五位数 则比 大的
０，１，２，３，４，５ ， ４００００
偶数共有
（ ）
个 个
Ａ．１１４ Ｂ．１２０
考点 计数原理、排列、组合
个 个
Ｃ．９６ Ｄ．７２
１．已知某公园有 个门 从一个门进 另一个门出 则不同的走法 答案 Ｂ
４ ， ， ，
的种数为 ６．高考结束后 名同学游览某市包括日月湖在内的 个景区 每
（ ） ６ ６ ，
名同学任选一个景区游览 则有且只有两名同学选择日月湖景
Ａ．１６ Ｂ．１３ Ｃ．１２ Ｄ．１０ ，
答案 Ｃ 区的方案有
（ ）
２．满足ａ ， ｂ ∈｛－１，０，１，２｝， 且关于ｘ的方程ａｘ２ ＋２ ｘ ＋ ｂ ＝０ 有实数 Ａ．Ａ ２ ６×Ａ ４ ５ 种 Ｂ．Ａ ２ ６×５ ４ 种
解的有序数对 （ ａ ， ｂ ） 的个数为 （ ） Ｃ．Ｃ ２ ６×Ａ ４ ５ 种 Ｄ．Ｃ ２ ６×５ ４ 种
答案 Ｄ
Ａ．１４ Ｂ．１３ Ｃ．１２ Ｄ．１０
答案 Ｂ ７．如图所示 用五种不同的颜色分别给Ａ Ｂ Ｃ Ｄ四个区域涂色
， 、 、 、 ，
３．中国国家队在 俄罗斯世界杯亚洲区预选赛 强小组赛 相邻区域必须涂不同颜色 若允许同一种颜色多次使用 则不
２０１８ １２ ， ，
中以 比 力克韩国国家队 赛后有六名队员打算排成一排照 同的涂色方法共有 种．
１ ０ ，
相 其中队长主动要求排在排头或排尾 甲 乙两人必须相邻
， ， 、 ，
则满足要求的排法有
（ ）
种 种 种 种
Ａ．３４ Ｂ．４８ Ｃ．９６ Ｄ．１４４
答案 Ｃ
４．某医院拟派 名内科医生 名外科医生和 名护士共 人组
２ 、３ ３ ８ 答案
成两个医疗分队 平均分到甲 乙两个村进行义务巡诊 其中每 １８０
， 、 ， ８．有 女 男共 名志愿者要全部分到 个社区去参加志愿服
个分队都必须有内科医生 外科医生和护士 则不同的分配方 ３ ２ ５ ３
、 ， 务 每个社区 到 人 甲 乙两名女志愿者需到同一社区 男
案有 ， １ ２ ， 、 ，
（ ） 志愿者到不同社区 则不同的分法种数为 ．
种 种 种 种 ，
Ａ．７２ Ｂ．３６ Ｃ．２４ Ｄ．１８ 答案
答案 Ｂ １２
７０４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
分 种情况讨论 选出的 人中没有甲 即选出其他 人参
２ ：① ４ ， ４
赛 有 ４ 种情况 选出的 人中有甲 由于甲不能参加
， Ａ４＝２４ ；② ４ ，
生物竞赛 则甲有 种选法 在剩余 人中任选 人参加剩下
， ３ ， ４ ３
１．（
人
２０
副
２０
队
山
长
西大
人
同
普
开
通
学
队
学
员
情调
人
研，４
组
）
成
从 ６
人
名
知
大学
识
生
竞
中
赛
选
代
出
表
队
队
长
则
１ 的三科竞赛 ， 有 Ａ ３ ４＝２４ 种选法 ， 则此时共有 ３×２４＝７２ 种选法 ，
故共有 种不同的参赛方案．故选
， １ ， ２ ， ４ ， ２４＋７２＝９６ Ｄ．
不同的选法共有
４．（２０１８广东中山一中第五次统测，７）从 名大学毕业生中选
（ ）
１０
种 种 种 种
个人担任村长助理 则甲 乙至少有 人入选 而丙没有入选
Ａ．１５ Ｂ．１８０ Ｃ．３６０ Ｄ．９０
３ ， 、 １ ，
答案 Ｂ 先从 名大学生中选出队长 人 副队长 人 再 的不同选法的种数为
６ １ ， １ ，
（ ）
从剩下的 人中选 人 故有 ２ ２ 种 故选
４ ２ ， Ａ６Ｃ４＝１８０ ， Ｂ．
Ａ．８５ Ｂ．４９ Ｃ．５６ Ｄ．２８
解题关键 解决此类问题的关键是判断问题与顺序有没有 答案 Ｂ 丙没有入选 只需把丙去掉 总的元素个数
∵ ，∴ ，
关系． 变为 ． 甲 乙至少有 人入选 由条件可分为两类 一类是
９∵ 、 １ ，∴ ：
２．（
举
２
办
０１９
组
陕
委
西
会
汉
将
中
甲
二
乙
模
等
，１０）
名
汉
工
中
作
市
人
２
员
０１
分
９ 年
配
油
到
菜
两
花
个
节
不
在
同
汉
的
台
接
区
待
甲 、 乙两人只选一人 ， 选法有 Ｃ １ ２·Ｃ ２ ７＝４２ 种 ； 另一类是甲 、 乙都
， 、 ６ 选 选法有 ２ １ 种 根据分类计数原理知共有
处负责接待工作 每个接待处至少 人 则甲 乙两人不在同一 ， Ｃ２·Ｃ７＝７ ， ４２＋７＝４９
种 故选
， ２ ， 、
接待处的分配方法共有 ， Ｂ．
（ ）
５．一个旅游景区的游览线路如图所示 某人从Ｐ点处进 Ｑ点处
种 种 种 种 ， ，
Ａ．１２ Ｂ．２２ Ｃ．２８ Ｄ．３０ 出 沿图中线路游览 Ａ Ｂ Ｃ 三个景点及沿途风景 则不重复
答案 Ｃ 将
６
名工作人员分成Ａ
，
Ｂ两组
，
对应两个不同的
除
，
交汇点Ｏ外 的游览
，
线
，
路有
，
接待处 由题可分两种情况讨论 （ ） （ ）
， ：
甲在Ａ组 组内分到其他四人中的 人 人或 人 则有 １
① ， １ ，２ ３ ， Ｃ４
２ ３ 种分法
＋Ｃ４＋Ｃ４＝１４ ；
甲在Ｂ组 组内分到其他四人中的 人 人或 人 则有 １
② ， １ ，２ ３ ， Ｃ４
２ ３ 种分法．
＋Ｃ４＋Ｃ４＝１４
一共有 种分法．故选
１４＋１４＝２８ Ｃ． 种 种 种 种
解题关键 本题考查分类加法计数原理 解题的关键是分类 Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．４８
， 答案 Ｄ 从点Ｐ处进入后 参观第一个景点时 有 个路
列出所有可能情况 属于一般题． ， ， ６
， 口可以选择 从中任选一个 有 １ 种选法 参观完第一个景点
３．（２０１８四川德阳三校联考，７）从 名学生中选出 名分别参 ， ， Ｃ６ ； ，
５ ４ 参观第二个景点时 有 个路口可以选择 从中任选一个 有
加数学 物理 化学 生物竞赛 其中甲不能参加生物竞赛 则不 ， ４ ， ，
， ， ， ， ， １ 种选法 参观完第二个景点 参观第三个景点时 有 个路
同的参赛方案种数为 Ｃ４ ； ， ， ２
（ ） 口可以选择 从中任选一个 有 １ 种选法 则共有 １ １ １
， ， Ｃ２ ， Ｃ６Ｃ４Ｃ２＝４８
Ａ．４８ Ｂ．７２ 种 故选 ．
（ ）， Ｄ
Ｃ．９０ Ｄ．９６
答案 Ｄ 根据题意 从 名学生中选出 名分别参加竞赛
， ５ ４ ，
解题导引
考法一 排列、组合问题的解题方法
例１ 有 名男生 名女生 在下列不同要求下 求不同
３ ，４ ， ，
的排列方法总数
：
选其中 人排成一排 解析 （ ）从 个人中选 个人来排列，有 ５
（１） ５ ； １ ７ ５ Ａ７＝７×６×５×４×３
排成前后两排 前排 人 后排 人 （种）方法．
（２） ， ３ ， ４ ； ＝２５２０
（３） 全 全 体 体 排 排 成 成 一 一 排 排 ， 甲 女 不 生 站 必 在 须 排 站 头 在 也 一 不 起 站在排尾 ； （ ２ ）分两步完成，先选 ３ 人排在前排，有 Ａ ３ ７ 种方法，余下 ４
（４） 全体排成一排 ， 男生互不相邻． ； 人
实
排
上
在
，本
后
小
排
题
，有
即为
Ａ ４ ４ 种
人
方
排
法
成
，
一
故
排
共
的
有
全
Ａ
排
３ ７ ·
列
Ａ
，
４ ４
无
＝５
任
０
何
４０
限
（种
制
）
条
方
件
法
）
．（事
（５） ，
７
（ ）（优先法）甲为特殊元素，先排甲，有 种方法，再将其
３ ５
余 人全排列，有 ６ 种方法，故共有 ６ （种）方法．
６ Ａ６ ５×Ａ６＝３６００
（ ）（捆绑法）将女生看成一个整体，与 名男生在一起进
４ ３
行全排列，有 ４ 种方法，再将 名女生进行全排列，有 ４ 种方
Ａ４ ４ Ａ４
专题十 计数原理 ７０５
法，故共有 ４· ４ （种）方法．
Ａ４ Ａ４＝５７６ 解析 解法一（间接法）：不同的选取方法有 ５ ５
（ ）（插空法）男生互不相邻，而女生不作要求， 应先排女 Ｃ８－Ｃ６ ＝
５ ∴ 种．
生，有 ４ 种方法，再在女生之间及首尾空出的 个空位中任选 ５０
Ａ４ ５ ３ 解法二：分两种情况，一种情况是 名男教师， 名女教师，
个空位排男生，有 ３ 种方法，故共有 ４· ３ （种）方法． １ ４
Ａ５ Ａ４ Ａ５＝１４４０ 有 １· ４ 种选取方法；另一种情况是 名男教师， 名女
方法总结 Ｃ２ Ｃ６＝３０ ２ ３
教师，有 ２· ３ 种选取方法．所以共有 种不同的选取
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 Ｃ２ Ｃ６＝２０ ５０
方法．
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
答案
相邻问题捆绑处理 即可以把相邻元素看成一个整体 ５０
捆绑法 ，
与其他元素排列 同时注意捆绑元素的内部排列
，
不相邻问题插空处理 即先考虑不受限制元素的排列
插空法 ， ， 考法二 分组分配问题的解题方法
再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中
先整体后局部 小集团 排列问题中 先整体后局部 例２ 按下列要求分配 本不同的书 各有多少种不同的
“ ” ， ６ ，
对于定序问题 可先不考虑顺序限制 排列后 再除以 分配方式
除法 ， ， ， ？
定序元素的全排列 分成三份 份 本 份 本 份 本
（１） ，１ １ ，１ ２ ，１ ３ ；
间接法 正难则反 等价转化的方法 甲 乙 丙三人中 一人得 本 一人得 本 一人得
， （２） 、 、 ， １ ， ２ ，
本
３ ；
平均分成三份 每份 本
例 （２０１９ 广东揭阳一模，５）某班星期一上午安排 节 （３） ， ２ ；
（１） ５ 平均分配给甲 乙 丙三人 每人 本
课 若数学 节 语文 物理 化学各 节 且物理 化学不相邻 （４） 、 、 ， ２ ；
， ２ ， 、 、 １ ， 、 ， 分成三份 份 本 另外两份每份 本
节数学相邻 则星期一上午不同课程安排种数为 （５） ，１ ４ ， １ ；
２ ， （ ） 甲 乙 丙三人中 一人得 本 另外两人每人得 本
（６） 、 、 ， ４ ， １ ；
Ａ．６ Ｂ．１２ Ｃ．２４ Ｄ．４８ 甲得 本 乙得 本 丙得 本．
（２０１９安徽合肥二模，６）某部队在一次军演中要先后 （７） １ ， １ ， ４
（２）
执行六项不同的任务Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 要求是 任务Ａ必须排在 解析 （ ）无序不均匀分组问题．
， ， ， ， ， ， ： １
前三项执行 且执行任务Ａ之后需立即执行任务Ｅ 任务Ｂ 任 先选 本，有 １ 种选法；再从余下的 本中选 本，有 ２ 种
， ， 、 １ Ｃ６ ５ ２ Ｃ５
务Ｃ不能相邻 则不同的执行方案共有 选法；最后余下 本全选，有 ３ 种选法．
， （ ） ３ Ｃ３
种 种 种 种 故共有 １ ２ ３ （种）．
Ａ．３６ Ｂ．４４ Ｃ．４８ Ｄ．５４ Ｃ６Ｃ５Ｃ３＝６０
解题导引 节数学相邻 相邻问题捆绑解决 不相邻 （ ）有序不均匀分组问题．
（１）２ ， ， ２
问题插空解决 优先考虑无限定课程 再将物理 化学插空排． 由于甲、乙、丙是不同的三人，在（ ）题基础上，还应考虑再
， ， 、 １
Ａ Ｅ可看成一项任务 由于 Ａ必须在前三项执行 故先对 分配，共有 １ ２ ３ ３ （种）．
（２） ， ， ， Ｃ６Ｃ５Ｃ３Ａ３＝３６０
Ａ Ｅ分类 最后排Ｂ Ｃ 将Ｂ Ｃ插空排列即可． （ ）无序均匀分组问题．
， ， ， ， ， ３
解析 （ ）根据题意，分 步进行分析： 将两节数学课 先分三步，则应是 ２ ２ ２ 种方法，但是这里出现了重复．不
１ ２ ① Ｃ６Ｃ４Ｃ２
“捆”在一起与语文课先进行排列，有 ２ 种排法； 将物理课、
妨记六本书为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，若第一步取了 ＡＢ，第二步取了
化学课在第一步排后的 个空隙中选 Ａ 两 ２ 个插进去 ② ，有 ２ 种方 ＣＤ，第三步取了ＥＦ，记该种分法为（ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ），则 Ｃ ２ ６Ｃ ２ ４Ｃ ２ ２ 种
３ Ａ３ 分法中还有（ＡＢ，ＥＦ，ＣＤ），（ＣＤ，ＡＢ，ＥＦ），（ＣＤ，ＥＦ，ＡＢ），（ＥＦ，
法，根据分步乘法计数原理得不同课程安排种数为 ２ ２ ，
Ａ２Ａ３＝１２ ＣＤ，ＡＢ），（ＥＦ，ＡＢ，ＣＤ） 种情况，共有 ３ 种情况，而这 ３ 种情
故选 ５ Ａ３ Ａ３
Ｂ． 况仅是ＡＢ，ＣＤ，ＥＦ的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配
（ ） 当Ａ，Ｅ分别排在第一、二位置时，有 ２ ２ 种执
行方案
２
；
① Ａ２Ａ３＝１２
方式有Ｃ
２
６Ｃ
２
４Ｃ
２
２ （种）．
３
＝１５
② 当Ａ，Ｅ分别排在第二、三位置时，有 Ａ １ ２Ａ ３ ３＋Ａ １ ２Ａ ２ ２＝１２＋４ （
４
）有 Ａ３ 序均匀分组问题．
种执行方案；
＝１６ ③ 当Ａ，Ｅ分别排在第三、四位置时，有 Ｃ １ ２Ｃ １ ２Ａ ２ ２Ａ ２ ２＝１６ 种执 在（ ３ ）的基础上再分配给 ３ 个人，共有分配方式Ｃ ２ ６ Ａ Ｃ ２ ４ ３ ３ Ｃ ２ ２· Ａ ３ ３
行方案． ２ ２ ２ （种）．
根据分类加法计数原理得不同的执行方案有 ＝Ｃ６Ｃ （ ４Ｃ ） ２ 无 ＝９ 序 ０ 部分均匀分组问题．
１２＋１６＋１６＝ ５
种，故选 ．
４４ Ｂ 共有Ｃ ４ ６Ｃ １ ２Ｃ １ １ （种）．
答案 （
１
）Ｂ （
２
）Ｂ
Ａ ２ ２
＝１５
例 （２０１８北京延庆一模，１１）无偿献血是践行社会主义 （ ）有序部分均匀分组问题．
６
核心价值观的具体行动．在报名的 名男教师和 名女教师中 ４ １ １
２ ６ 在（ ）的基础上再分配给 个人，共有分配方式Ｃ６Ｃ２Ｃ１· ３
选取 人参加无偿献血 要求男 女教师都有 则不同的选取方 ５ ３ ２ Ａ３
５ ， 、 ， Ａ２
法的种数为 ． 结果用数值表示 （种）．
（ ） ＝９０
解题导引 （ ）直接分配问题．
７
甲选 本，有 １种方法；乙从余下的 本中选 本，有 １ 种方
１ Ｃ６ ５ １ Ｃ５
法；余下 本留给丙，有 ４种方法．共有分配方式 １ １ ４ （种）．
４ Ｃ４ Ｃ６Ｃ５Ｃ４＝３０
方法总结 分组 分配问题是排列组合的综合问题 解题思
、 ，
想是先分组后分配．
分组问题属于 组合 问题 常见的分组方法有三种
（１） “ ” ， ：
７０６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
完全均匀分组 每组元素的个数都相等
① ， ； 再将分好的三组全排列 对应三个社区 有 ３ 种情况
部分均匀分组 应注意不要重复 ， ， Ａ３＝６ ，
② ， ； 则有 种不同的安排方式 故选
完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象． ２５×６＝１５０ ， Ｃ．
③ 分配问题属于 ， 排列 问题 常见的分配方法有三种 （２） 第一类 ：３ 个项目投资在两个城市 ， 有 Ｃ ２ ３·Ｃ １ １·Ａ ２ ４＝３６
（２） “ ” ， ： 种不同方案
相同元素的分配问题 常用 挡板法
；
① ， “ ”；
不同元素的分配问题 利用分步乘法计数原理 先分组 第二类 个项目投资在 个城市 有 ３ 种不
② ， ， ， ：３ ３ ， Ａ４＝４×３×２＝２４
后分配 同方案．
；
有限制条件的分配问题 采用分类法求解． 共有 种不同方案．
③ ， ３６＋２４＝６０
答案 （ ）Ｃ （ ）
１ ２ ６０
例 （２０１９广东广州天河二模，７）安排 名学生去 个社 例 （２０１８浙江稽阳联谊学校联考，１６）现将 个不同的
（１） ５ ３ ７
区进行志愿服务 且每人只去一个社区 要求每个社区至少有 小球放入编号分别为 的三个盒子里 要求每个盒子内的
， ， １、２、３ ，
一名学生进行志愿服务 则不同的安排方式共有 小球数不能小于其编号数 则符合要求的放法有 种．
， （ ） ，
种 种 种 种 用数字作答
Ａ．３６０ Ｂ．３００ Ｃ．１５０ Ｄ．１２５ （ ）
（２０１９江西红色七校第二次联考，１５）某外商计划在 解析 根据题意可知，满足条件的情况共有三类： 编号
（２） ①
个候选城市中投资 个不同的项目 且在同一个城市投资的 为 、 、 的三个盒子分别放入 个、 个、 个小球，此时的放
４ ３ ， １ ２ ３ ２ ２ ３
项目不超过 个 则该外商不同的投资方案有 种． 法数为 ２· ２ ； 编号为 、 、 的三个盒子分别放入
２ ， Ｃ７ Ｃ５＝２１０ ② １ ２ ３ １
解析 （ １ ）分 ２ 步分析：先将 ５ 名学生分成 ３ 组，有两种分 个、 ３ 个、 ３ 个小球，此时的放法数为 Ｃ １ ７ · Ｃ ３ ６＝１４０ ； ③ 编号为 １ 、
组方法，若分成 、 、 的三组，则有 ３ 种分组方法；若分 、 的三个盒子分别放入 个、 个、 个小球，此时的放法数为
３ １ １ Ｃ５＝１０ ２ ３ １ ２ ４
１ ２ ２ １· ２ ．由分类加法计数原理可得满足条件的放法共有
成 、 、 的三组，则有Ｃ５Ｃ４Ｃ２ 种分组方法，则一共有 Ｃ７ Ｃ６＝１０５
１ ２ ２ ２ ＝１５ １０＋ 种．
Ａ２ ２１０＋１４０＋１０５＝４５５
种分组方法． 答案
１５＝２５ ４５５
答案
６０
５．（２０２０广东广州执信中学月考，１４）有 张卡片分别写有数字
６
从中任取 张 可排出的四位数有 个．
１，１，１，２，２，２， ４ ，
考法一 排列、组合问题的解题方法
答案
１４
１．（２０１９重庆万州二模，６）某中学某班主任要从 名同学 其中
７ （
男 女 中选出两名同学 其中一名担任班长 另一名担任学 考法二 分组分配问题的解题方法
３ ４ ） ， ，
习委员 且这两名同学中既有男生又有女生 则不同的安排方 ６．（２０２１届辽宁上学期测试，７）我国即将进入双航母时代 航母
， ， ，
法有 编队的要求是每艘航母配 艘驱逐舰 艘核潜艇．船厂
（ ） ２～３ ，１～２
种 种 种 种 现有 艘驱逐舰和 艘核潜艇全部用来组建航母编队 则不同
Ａ．４２ Ｂ．１４ Ｃ．１２ Ｄ．２４ ５ ３ ，
答案 Ｄ 的组建方法种数为
（ ）
２．（多选题）（２０２１届山东师大附中模拟） 二进制 与我国古代
“ ” Ａ．３０ Ｂ．６０ Ｃ．９０ Ｄ．１２０
的 易经 有着一定的联系 该书中有两类最基本的符号 答案 Ｄ
《 》 ， ：
和 其中 在二进制中记作 ７．（２０１９广东肇庆第一次统测，１１）将甲 乙 丙 丁 戊共 人分
“———” “— —”， “———” “１”，“— —” 、 、 、 、 ５
在二进制中记作 其变化原理与 逢二进一 的法则相通． 配到Ａ Ｂ Ｃ Ｄ共 所学校 每所学校至少一人 且甲不去Ａ学
“０”， “ ” 、 、 、 ４ ， ，
若从两类符号中任取 个符号排列 则可以组成的不同的十进 校 则不同的分配方法有
２ ， ， （ ）
制数为 种 种 种 种
（ ） Ａ．７２ Ｂ．１０８ Ｃ．１８０ Ｄ．３６０
答案 Ｃ
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 ＡＢＣＤ ８．（２０１９福建厦门一中月考，７）小明和小红都计划在国庆节的
３．（２０２０山东烟台期末）为弘扬我国古代的 六艺文化 某夏令 天假期中到厦门 两日游 若他们不同一天出现在厦门 则
“ ”， ７ “ ”， ，
营主办单位计划利用暑期开设 礼 乐 射 御 书 数 他们出游的不同方案共有
“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”“ ” （ ）
六门体验课程 每周一门 连续开设六周．若课程 乐 不排在第 种 种 种 种
， ， “ ” Ａ．１６ Ｂ．１８ Ｃ．２０ Ｄ．２４
一周 课程 御 不排在最后一周 则所有可能的排法种数为 答案 Ｃ
， “ ” ，
９．（２０２１届浙江高考选考科目９月联考，１５）某地需要安排人员
（ ）
分别在上午 下午 前半夜 后半夜四个时间段值班 要求每班
Ａ．２１６ Ｂ．４８０ Ｃ．５０４ Ｄ．６２４ 、 、 、 ，
答案 Ｃ 至少含一名民警和一名医务人员 且至少有一名女性 每人值
， ，
４．（２０１９甘肃嘉峪关一中模拟）在高三某班进行的演讲比赛中 一班．现有民警 人 男 医务人员 人 女 男 其中民
， ４ （４ ）， ６ （５ １ ），
共有 位选手参加 其中 位女生 位男生 如果 位男生不 警甲不排上午 男医生不排上午 下午 则不同的安排方法有
５ ， ３ ，２ ， ２ ， 、 ，
能连续出场 且女生甲不能排第一个 那么出场顺序的排法种 种．
， ，
数为 ． 答案
８６４０
专题十 计数原理 ７０７
个班级的 名同学坐在甲车上 有 １ 种情况 然后再从剩
２ ， Ｃ３＝３ ，
下的 个班级中分别选择 名同学 有 １ １ 种情况 这时
２ １ ， Ｃ２Ｃ２＝４ ，
共有 种情况．根据分类加法计数原理得 共有
考法一 排列、组合问题的解题方法
种
３
不
×
同
４＝
的
１２
乘车方式 故选
， １２＋１２＝
２４ ， Ｂ．
１．（２０１８安徽合肥调研性检测，９）用数字 组成没有 ６．（２０１７江西八所重点中学联合模拟，１３）摄像师要对已坐定一
０，１，２，３，４
重复数字且大于 的四位数 这样的四位数有 排照相的 位小朋友的座位顺序进行调整 要求其中恰有 人
３０００ ， （ ） ５ ， ２
个 个 个 个 座位不调整 则不同的调整方案的种数为 ． 用数字作
Ａ．２５０ Ｂ．２４９ Ｃ．４８ Ｄ．２４ ， （
答案 Ｃ 先考虑四位数的首位 当排数字 时 其他三个 答
， ４，３ ， ）
数位上可从剩余的 个数中任选 个进行全排列 得到的四位 答案
４ ３ ， ２０
２．（ 数 条 ２ 都 件 ０１ 满 的 ７ 足 四 河 题 位 南 设 数 百 条 共 校 件 有 联 ， 考 ２ 因 Ａ 质 ３ ４ 此 ＝ 检 依 ２× ， 据 ７ ４ ） × 分 甲 ３× 类 ２ 乙 加 ＝４ 法 丙 ８ 计 个 丁 数 ， 故 原 戊 选 理 Ｃ 己 可 ． 得 名 满 同 足题 学 设 站 有 思 解 Ｃ 路 １ ２ 析 分 · 析 Ｃ １ １ 从 ·Ｃ ５ 先 １ １ 人 种 考 中 ， 虑 故 任 从 有 选 Ｃ ３ 人 ３ ５ 人 · 中 有 Ｃ 任 １ ２· Ｃ 选 ３ ５ Ｃ 种 １ １· ， 人 将 Ｃ １ １ 的 ＝ ３ 方 ２ 人 ０ 法 种 位 数 调 置 整 全 再 方 部 考 案 进 虑 ． 行调 人 整 位 ，
、 、 、 、 、 ６ ５ ３ ， ３
成一排照毕业相 要求甲不站在两侧 而且乙和丙相邻 丁和戊 置全调的方法数 进而利用分步乘法计数原理得结果．
， ， 、 ，
相邻 则不同的站法种数为 ７．（２０１９北京昌平二模，１２） 年 月 日 昌平 回天 地区
， （ ） ２０１９ ３ ２ ， “ ”
开展了 种不同类型的 三月雷锋月 回天有我 社会服务活
Ａ．６０ Ｂ．９６ Ｃ．４８ Ｄ．７２ ７ “ ， ”
答案 Ｃ 第一步 先把乙和丙 丁和戊看作两个整体 和己 动．其中有 种活动既在上午开展 又在下午开展 种活动只
： ， ， ２ 、 ，３
进行全排列 共有 ３ ２ ２ 种站法 第二步 安排甲 因为甲不 在上午开展 种活动只在下午开展．小王参加了两种不同的
， Ａ３Ａ２Ａ２ ； ： ， ，２
站在两侧 所以从乙和丙 丁和戊 己之间的两个空中任取一 活动 且分别安排在上 下午 那么不同安排方案的种
， ， ， ， 、 ，
个 ， 共有 ２ 种站法 ， 所以共有 ２Ａ ３ ３Ａ ２ ２Ａ ２ ２＝４８ 种不同的站法 ， 选 Ｃ ． 数是 ．
３．（２０２０吉林延边二中９月月考，８）某次演出共有 位演员参 答案
６ １８
加 相 ， 邻 规 的 定 顺 甲 序 只 出 能 场 排在 则 第 不同 一 的 个 演 或 出 最 顺 后 序 一 共 个 有 出场 ， 乙和丙必须排在 ８．（２ 解 ０１ 析 ８ 北 不 京 同 西 安 城 排 一 方 模 案 ，１ 的 ３ 种 ）安 数 排 为 甲 Ｃ １ ５Ｃ 乙 １ ２＋Ｃ 丙 １ ２Ｃ 丁 １ ３＋Ｃ １ ２ 人 Ｃ １ １ 参 ＝１ 加 ８ ． 个运
， （ ） 、 、 、 ４ ３
种 种 种 种 动项目 每人只参加一个项目 每个项目都有人参加．若甲 乙
Ａ．２４ Ｂ．１４４ Ｃ．４８ Ｄ．９６ ， ， 、 ２
答案 Ｄ 把乙 丙看作一个元素 此时有 个元素 若甲排 人不能参加同一个项目 则不同的安排方案的种数
、 ， ５ ， ，
第一个 ， 有 Ａ ４ ４Ａ ２ ２＝４８ 种情况 ， 若甲排最后一个 ， 有 Ａ ４ ４Ａ ２ ２＝４８ 种 为 ． （ 用数字作答 ）
情况 共有 种情况 故选 答案
， ４８＋４８＝９６ ， Ｄ． ３０
以
解
及
题
相
关键
邻问 题
本
捆
题
绑
主
法
要
是
考
解
查
决
排
本
列
题
的
的
应
关
用
键
，
．
结合特殊元素优先法 解析 不同的安排方案的种数为 Ｃ １ ３×Ｃ １ ２×（Ｃ １ ２＋Ｃ １ ３）＝３０ ．
４．（２０１８福建福州二模，８）福州西湖公园花展期间 安排 位志 考法二 分组、分配问题的解题方法
， ６
愿者到 个展区提供服务 要求甲 乙两个展区各安排一个人 １．（２０１８广东珠海模拟，７）将 个不同的球放入 个不同的盒
４ ， 、 ， ５ ４
剩下两个展区各安排两个人 不同的安排方案共有 子中 每个盒子至少放一个球 则不同放法共有
， （ ） ， ， （ ）
种 种 种 种 种 种 种 种
Ａ．９０ Ｂ．１８０ Ｃ．２７０ Ｄ．３６０ Ａ．４８０ Ｂ．３６０ Ｃ．２４０ Ｄ．１２０
答案 Ｂ 根据题意 分 步进行分析 在 位志愿者中任 答案 Ｃ 根据题意 将 个不同的球放入 个不同的盒子
， ３ ：① ６ ， ５ ４
选 位 安排到甲展区 有 １ 种情况 在剩下的 位志愿 中 每个盒子至少放一个球 则必须有 个小球放入 个盒子
１ ， ， Ｃ６＝６ ；② ５ ， ， ２ １ ，
者中任选 位 安排到乙展区 有 １ 种情况 将剩下的 其余的小球各单独放入一个盒子 分 步进行分析 先将
１ ， ， Ｃ５＝５ ；③ ４ ， ２ ：① ５
２ ２ 个小球分成 组 有 ２ 种分法 将分好的 组全排列
位志愿者平均分成 组 然后安排到剩下的 个展区 有Ｃ４Ｃ２ ４ ， Ｃ５＝１０ ；② ４ ，
２ ， ２ ， ２ × 放入 个盒子 有 ４ 种情况 则不同的放法有
Ａ２ ４ ， Ａ４＝２４ ， １０×２４＝２４０
Ａ ２ ２＝６ 种情况 ， 则一共有 ６×５×６＝１８０ 种不同的安排方案 ， 故 种．故选 Ｃ．
选 思路分析 根据题意 分 步进行分析 先将 个小球分成
Ｂ． ， ２ ：① ５
５．（２０１８豫北名校联考，９） 年元旦假期 某校高三的 名 组 将分好的 组全排列 放入 个盒子 由分步乘法计数
２０１８ ， ８ ４ ，② ４ ， ４ ，
同学准备拼车去旅游 其中 班 班 班 班每班 原理计算可得答案．
， （１） 、（２） 、（３） 、（４）
各两名． 名同学分乘甲 乙两辆汽车 每车限坐 名同学 乘 方法总结 本题中涉及分组分配问题 先分组再分配．若涉及
８ 、 ， ４ （ ：
同一辆车的 名同学不考虑位置 其中 班两位同学是孪 均匀分组问题 在均匀分成ｎ组时 注意除以 ｎ．
４ ）， （１） ， ， Ａｎ
生姐妹 需乘同一辆车 则乘坐甲车的 名同学中恰有 名同 ２．（２０１９辽宁大连模拟，７）把标号为 的四个小球分别
， ， ４ ２ １，２，３，４
学是来自同一个班的乘坐方式共有 放入标号为 的四个盒子中 每个盒子只放一个小球
（ ） １，２，３，４ ， ，
种 种 种 种 则 号球不放入 号盒子的方法共有
Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．４８ Ｄ．３６ １ １ （ ）
答案 Ｂ 由题意 有两类 第一类 班的 名同学在甲 种 种 种 种
， ： ，（１） ２ Ａ．１８ Ｂ．９ Ｃ．６ Ｄ．３
车上 甲车上剩下 名同学要来自不同的班级 从 个班级中 答案 Ａ 由于 号球不放入 号盒子 则 号盒子有
， ２ ， ３ １ １ ， １ ２、３、
选 个班级 有 ２ 种情况 然后分别从选择的班级中再选 号球三种选择 剩余的三个球可以任意放入 号盒子
２ ， Ｃ３＝３ ， ４ ， ２、３、４
择 １ 班 名 的 同学 名 ， 有 同 Ｃ 学 １ ２Ｃ 不 １ ２ 在 ＝４ 甲 种 车 情 上 况 ， 则 故 从 有 剩 ３ 下 ×４ 的 ＝１２ 个 种 班 情 级 况 中 ．第 选 二 择 类 ， 中 只 ， 有 则 一 ２ 种 号 选 盒 择 子 故 有三 号 种 球 选 不 择 放 ，３ 入 号盒 号 子 盒 还 子 剩 的 两 方 种 法 选 有 择 ，４ １ 号盒 １ 子
（１） ２ ， ３ １ ， １ １ Ｃ３·Ｃ３·
７０８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１ 种．故选 解析 当一个社区 人 其他社区各 人时 方案有 ３ ３
Ｃ２·１＝１８ Ａ． ３ ， １ ， Ｃ５Ａ３＝
３．（２０１９山西高考考前适应性模拟（三），１５）将 名学生分配
１ ２ ２
５ 种 当一个社区 人 其他社区各 人时 方案有Ｃ５Ｃ４Ｃ２
到 同
答
的 ３
案
分 个 配 社 方 区 案 参 有 加 社 会 实 践 种 活 ． 动 （ 填 ， 每 写 个 数 社 字 区 ） 至少分配一人 ， 则不 Ａ ６０ ３ ３＝９ ； ０ 种．故不同的 １ 分配 ， 方案共有 １５０ ２ 种． ， Ａ ２ ２ ·
１５０
考点 计数原理、排列、组合 共有 ｍ项 其中ｍ项为 ｍ项为 且对任意ｋ ｍ ａ ａ
２ ， ０， １， ≤２ ， １， ２，
１．（２０２０新高考Ⅱ，６，５分）
３
名大学生利用假期到
２
个山村参
…，
ａ
ｋ
中
０
的个数不少于
１
的个数
，
若 ｍ
＝４，
则不同的
“
规范
加扶贫工作 每名大学生只去 个村 每个村至少去 人 则不 数列 共有
， １ ， １ ， ０１ ” （ ）
同的分配方案共有 个 个 个 个
（ ） Ａ．１８ Ｂ．１６ Ｃ．１４ Ｄ．１２
种 种 种 种 答案 Ｃ
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．８
答案 Ｃ ５．（２０２０课标Ⅱ理，１４，５分） 名同学到 个小区参加垃圾分类
４ ３
２．（２０１７课标Ⅱ，６，５分）安排 名志愿者完成 项工作 每人至少完 宣传活动 每名同学只去 个小区 每个小区至少安排 名同
３ ４ ， ， １ ， １
成 项 每项工作由 人完成 则不同的安排方式共有 学 则不同的安排方法共有 种．
１ ， １ ， （ ） ，
种 种 种 种 答案
Ａ．１２ Ｂ．１８ Ｃ．２４ Ｄ．３６ ３６
答案 Ｄ ６．（２０１８课标Ⅰ，１５，５分）从 位女生 位男生中选 人参加
２ ，４ ３
３．（２０１６课标Ⅱ，５，５分）如图 小明从街道的 处出发 先到 科技比赛 且至少有 位女生入选 则不同的选法共有
， Ｅ ， Ｆ ， １ ，
处与小红会合 再一起到位于 处的老年公寓参加志愿者活 种． 用数字填写答案
， Ｇ （ ）
动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 答案
， （ ） １６
７．（２０１７天津，１４，５分）用数字 组成没有
１，２，３，４，５，６，７，８，９
重复数字 且至多有一个数字是偶数的四位数 这样的四位数
， ，
一共有 个． 用数字作答
（ ）
答案
１０８０
８．（２０１７浙江，１６，４分）从 男 女共 名学生中选出队长
６ ２ ８ １
人 副队长 人 普通队员 人组成 人服务队 要求服务队中
Ａ．２４ Ｂ．１８ Ｃ．１２ Ｄ．９ ， １ ， ２ ４ ，
答案 Ｂ 至少有 名女生 共有 种不同的选法． 用数字作答
１ ， （ ）
４．（２０１６课标Ⅲ，１２，５分）定义 规范 数列 ａ 如下 ａ 答案
“ ０１ ”｛ ｎ｝ ：｛ ｎ｝ ６６０
考点 计数原理、排列、组合 何两人不相邻的坐法种数为
（ ）
１．（２０１６四川理，４，５分）用数字 组成没有重复数字
１，２，３，４，５ Ａ．１４４ Ｂ．１２０ Ｃ．７２ Ｄ．２４
的五位数 其中奇数的个数为 答案 Ｄ 先把三把椅子隔开摆好 它们之间和两端有 个
， （ ） ， ４
位置 再把三人带椅子插放在四个位置 共有 ３ 种放法
Ａ．２４ Ｂ．４８ Ｃ．６０ Ｄ．７２ ， ， Ａ４＝２４ ，
２．（２
答
０１
案
５ 四
Ｄ
川 理
奇
，
数
６，
的
５
个
分
数
）用
为
数
Ｃ
字
１ ３Ａ ４ ４＝７２ ．
组成没有重复数
故
评析
选 Ｄ ．
本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力，解决
０，１，２，３，４，５
字的五位数 其中比 大的偶数共有 不相邻问题常采用插空法．
， ４００００ （ ）
个 个 个 个 ５．（２０１４四川理，６，５分）六个人从左至右排成一行 最左端只
Ａ．１４４ Ｂ．１２０ Ｃ．９６ Ｄ．７２ ，
答案 Ｂ 数字 中仅有 三个偶数 比 能排甲或乙 最右端不能排甲 则不同的排法共有
０，１，２，３，４，５ ０，２，４ ， ， ， （ ）
大的偶数为以 开头与以 开头的数．其中以 开头的 种 种 种 种
４００００ ４ ５ ４ Ａ．１９２ Ｂ．２１６ Ｃ．２４０ Ｄ．２８８
偶数又分以 ０ 结尾与以 ２ 结尾 ， 有 ２Ａ ３ ４＝４８ 个 ； 同理 ， 以 ５ 开头 答案 Ｂ 若最左端排甲 ， 其他位置共有 Ａ ５ ５＝１２０ 种排法 ； 若
的有 ３ 个．于是共有 个 故选 ． 最左端排乙 最右端共有 种排法 其余 个位置有 ４ 种
３Ａ４＝７２ ４８＋７２＝１２０ ， Ｂ ， ４ ， ４ Ａ４＝２４
评析 本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识． 排法 所以共有 种排法．
， １２０＋４×２４＝２１６
考查学生分析问题、解决问题的能力． ６．（２０１４重庆理，９，５分）某次联欢会要安排 个歌舞类节目
３ 、２
３．（２０１４大纲全国理，５，５分）有 名男医生 名女医生 从中 个小品类节目和 个相声类节目的演出顺序 则同类节目不相
６ 、５ ， １ ，
选出 名男医生 名女医生组成一个医疗小组．则不同的选法 邻的排法种数是
２ 、１ （ ）
共有
（ ） Ａ．７２ Ｂ．１２０ Ｃ．１４４ Ｄ．１６８
种 种 种 种 答案 Ｂ 先不考虑小品类节目是否相邻 保证歌舞类节目
Ａ．６０ Ｂ．７０ Ｃ．７５ Ｄ．１５０ ，
答案 Ｃ 从 名男医生中选出 名有 ２ 种选法 从 名女 不相邻的排法共有 ３ ３ 种 再剔除小品类节目相邻的
６ ２ Ｃ６ ， ５ Ａ３·Ａ４＝１４４ ，
医生中选出 名有 １ 种选法 由分步乘法计数原理得不同的 情况 共有 ３ ２ ２ 种 于是符合题意的排法共有
１ Ｃ５ ， ， Ａ３·Ａ２·Ａ２＝２４ ， １４４
选法共有 ２ １ 种．故选 ． 种．
Ｃ６·Ｃ５＝７５ Ｃ －２４＝１２０
４．（２０１４辽宁理，６，５分） 把椅子摆成一排 人随机就座 任 ７．（２０１３山东理，１０，５分）用 十个数字 可以组成有
６ ，３ ， ０，１，…，９ ，
专题十 计数原理 ７０９
重复数字的三位数的个数为 个 故一共可以组成 个没有重复数字的
（ ） ７２０ ， ５４０＋７２０＝１ ２６０
四位数．
Ａ．２４３ Ｂ．２５２ Ｃ．２６１ Ｄ．２７９
答案 Ｂ 由分步乘法计数原理知 用 十个数字组 易错警示 数字排成数时 容易出错的地方
： ０，１，…，９ ， ：
成三位数 可有重复数字 的个数为 组成没有 数字是否可以重复
（ ） ９×１０×１０＝９００， （１） ；
重复数字的三位数的个数为 则组成有重复数字 数字 不能排首位．
９×９×８＝６４８， （２） ０
的三位数的个数为 故选 ． １２．（２０１５广东理，１２，５分）某高三毕业班有 人 同学之间两
９００－６４８＝２５２， Ｂ ４０ ，
评析 本题考查分步乘法计数原理，考查学生的推理运算 两彼此给对方仅写一条毕业留言 那么全班共写了
，
能力． 条毕业留言． 用数字作答
（ ）
８．（２０１２课标理，２，５分）将 名教师 名学生分成 个小组 答案
２ ，４ ２ ， １５６０
分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由 名教 解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言 且
、 ， １ ∵ ，
师和 名学生组成 不同的安排方案共有 全班共有 人 全班共写了 条毕业留言．
２ ， （ ） ４０ ，∴ ４０×３９＝１５６０
种 种 种 种 １３．（２０１３北京理，１２，５分）将序号分别为 的 张参
Ａ．１２ Ｂ．１０ Ｃ．９ Ｄ．８ １，２，３，４，５ ５
答案 Ａ 名教师各在 个小组 给其中 名教师选 名 观券全部分给 人 每人至少 张．如果分给同一人的 张参
２ １ ， １ ２ ４ ， １ ２
学生 有 ２ 种选法 另 名学生分配给另 名教师 然后将 观券连号 那么不同的分法种数是 ．
， Ｃ４ ， ２ １ ， ２ ，
个小组安排到甲 乙两地 有 ２ 种方案 故不同的安排方案共 答案
、 ， Ａ２ ， ９６
有 Ｃ ２ ４Ａ ２ ２＝１２ 种 ， 选 Ａ ． 解析 ５ 张参观券分成 ４ 份 ，１ 份 ２ 张 ， 另外 ３ 份各 １ 张 ， 且
评析 本题考查了排列组合的实际应用，考查了先分组再分配 张参观券连号 则有 种分法 把这 份参观券分给 人
２ ， ４ ， ４ ４ ，
的方法． 则不同的分法种数是 ４ ．
４Ａ４＝９６
９．（２０１２辽宁理，５，５分）一排 个座位坐了 个三口之家．若每 １４．（２０１３大纲全国理，１４，５分） 个人排成一行 其中甲 乙两
９ ３ ６ ， 、
家人坐在一起 则不同的坐法种数为 人不相邻的不同排法共有 种． 用数字作答
， （ ） （ ）
答案
Ａ．３×３！ Ｂ．３×（３！） ３ Ｃ．（３！） ４ Ｄ．９！ ４８０
答案 Ｃ 第 步 个家庭的全排列 方法数为 解析 先将除甲 乙两人以外的 人排成一行 有 ４
１ ：３ ， ３！； 、 ４ ， Ａ４＝２４
第 步 家庭内部 个人全排列 方法数为 共 个家庭 方 种排法 再将甲 乙插入有 ２ 种 所以 人排成一行 甲
２ ： ３ ， ３！， ３ ， ， 、 Ａ５＝２０ ， ６ ， 、
法数为 ３ 总数为 ３ ４ 故选 ． 乙不相邻的排法共有 种．
（３！） ，∴ （３！）×（３！） ＝（３！） ， Ｃ ２４×２０＝４８０
评析 本题主要考查计数原理的基础知识，考查学生分析、解 １５．（２０１３浙江理，１４，４分）将Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ六个字母排成一
， ， ， ， ，
决问题的能力． 排 且Ａ Ｂ均在Ｃ的同侧 则不同的排法共有 种 用
， ， ， （
１０．（２０１２安徽理，１０，５分） 位同学在毕业聚会活动中进行纪 数字作答 ．
６ ）
念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两 答案
， ， ４８０
位同学互赠一份纪念品．已知 位同学之间共进行了 次交 解析 从左往右看 若 Ｃ 排在第 位 共有排法 ５
６ １３ ， １ ， Ａ５＝１２０
换 则收到 份纪念品的同学人数为 种 若Ｃ排在第 位 共有排法 ２ ３ 种 若Ｃ排在第
， ４ （ ） ； ２ ， Ａ４·Ａ３＝７２ ； ３
或 或 或 或 位 则Ａ Ｂ可排Ｃ的左侧或右侧 共有排法 ２ ３ ２ ３
Ａ．１ ３ Ｂ．１ ４ Ｃ．２ ３ Ｄ．２ ４ ， 、 ， Ａ２·Ａ３＋Ａ３·Ａ３
答案 Ｄ 由题意及 ２ 知只需少交换 次．记 位同 种 若Ｃ排在第 位时 其排法数与排在第 位
Ｃ６＝１５ ２ ６ ＝４８ ； ４，５，６ ， ３，２，１
学为Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ Ａ 不妨讨论 Ａ 少交换 次 如Ａ 未 相同 故共有排法 种．
１、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６， ① １ ２ ， １ ， ２×（１２０＋７２＋４８）＝４８０
与Ａ Ａ 交换 则收到 份纪念品的同学仅为 Ａ Ａ 人 １６．（２０１１北京理，１２，５分）用数字 组成四位数 且数字
２、 ３ ， ４ ２、 ３ ２ ； ２，３ ， ２，３
Ａ Ａ 各少交换 次 如Ａ 与Ａ 未交换 Ａ 与Ａ 未交换 至少都出现一次 这样的四位数共有 个． 用数字作答
② １、 ２ １ ， １ ３ ， ２ ４ ， ， （ ）
则收到 份纪念品的同学有 人 为Ａ Ａ Ａ Ａ ．故选 ． 答案
４ ４ ， １、 ２、 ３、 ４ Ｄ １４
评析 本题考查了计数原理等知识，考查学生应用数学知识， 解析 解法一 数字 只出现一次的四位数有 １ 个 数
： ２ Ｃ４＝４ ；
分类讨论思想，利用符号标记具体分析是顺利解题的关键． 字 出现两次的四位数有 ２ ２ 个 数字 出现三次的四
１１．（２０１８
中
浙
任
江
取
，１６，
个
４
数
分
字
）从
一
１
共
，３
可
，５
以
，７
组
，９
成
中任取 ２ 个
个
数
没
字
有
， 从
重
０
复
， 位数 ２ 有 Ｃ ３ ４＝４ 个．故总共有 Ｃ ４＋ ４Ｃ ６ ２ ＋ ＝ ４ ６ ＝１４ ； 个． ２
２，４，６ ２ ， 解法二 ： 由数字 ２，３ 组成的四位数共有 ２ ４ ＝１６ 个 ， 其中没有
数字的四位数． 用数字作答
数字 的四位数只有 个 没有数字 的四位数也只有 个
（ ）
答案 ２ １ ， ３ １ ，
解析
１
本
２６
小
０
题考查排列 组合及其运用 考查分类讨论
故符合条件的四位数共有
１６－２＝１４
个．
、 ，
评析 本题考查排列组合的基础知识，考查分类讨论思想，解
思想．
题关键是准确分类，并注意相同元素的排列数等于不同元素
含有数字
０
的没有重复数字的四位数共有
Ｃ
２
５Ｃ
１
３Ａ
１
３Ａ
３
３＝５４０
的组合数．属于中等难度题．
个 不含有数字 的没有重复数字的四位数共有 ２ ２ ４
， ０ Ｃ５Ｃ３Ａ４＝
时间： 分钟 分值： 分
３０ ６０
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ３５ ） Ａ．２１００ Ｂ．２２００ Ｃ．２１６０ Ｄ．２４００
１．（２０２０九师联盟９月质量检测，８）从 中任取两个 答案 Ｃ
１，３，５，７，９
数 从 中任取两个数 则组成没有重复数字的四位 ２．（２０２０湖南长沙一中第一次月考，８）中国有十二生肖 又叫十
， ０，２，４，６，８ ， ，
数的个数为 二属相 每一个人的出生年份对应了十二种动物 鼠 牛 虎 兔
（ ） ， （ 、 、 、 、
７１０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 中的一种 现有十二生肖的吉祥物 二、多项选择题 共 分
、 、 、 、 、 、 、 ） ， （ ５ ）
各一个 甲 乙 丙三位同学依次选一个作为礼物 甲同学喜欢牛 ８．（２０２１届江苏启东中学检测，９）在 件产品中 有 件合
， 、 、 ， １００ ， ９８
和马 乙同学喜欢牛 兔 狗和羊 丙同学哪个吉祥物都喜欢 如 格品 件不合格品．从这 件产品中任意抽出 件 则下列
， 、 、 ， ， ，２ １００ ３ ，
果让三位同学选取礼物都满意 那么不同的选法有 结论正确的有
， （ ） （ ）
种 种 种 种 抽出的 件产品中恰好有 件是不合格品的抽法有 １ ２ 种
Ａ．５０ Ｂ．６０ Ｃ．７０ Ｄ．９０ Ａ． ３ １ Ｃ２Ｃ９８
答案 Ｃ 抽出的 件产品中恰好有 件是不合格品的抽法有 １ ２ 种
Ｂ． ３ １ Ｃ２Ｃ９９
３．（
张
２
合
０２
影
０
，
广
其
东
中甲
深
、
圳
乙
七
要
中
求
第
相
二
邻
次
， 丙
月
、 丁
考
要
，４
求
）
分
７ 个
开
人
， 则
排
不
成
同
一
的
排
排
准
法
备
有
照一 Ｃ． 抽
Ｃ ２ ２
出
Ｃ １ ９８
的
） 种
３ 件中至少有 １ 件是不合格品的抽法有 （Ｃ １ ２Ｃ ２ ９８＋
种 种 种 种
（ ） Ｄ． 抽出的 ３ 件中至少有 １ 件是不合格品的抽法有 （Ｃ ３ １００－Ｃ ３ ９８） 种
答案 ＡＣＤ
Ａ．４８０ Ｂ．７２０ Ｃ．９６０ Ｄ．１２００
答案 Ｃ 三、填空题 每题 分 共 分
（ ５ ， ２０ ）
４．（２０２０湖北洪湖二中月考，９） 学习强国 学习平台是由中宣 ９．（２０２１届新高考省份 ８联考，１４）武汉某学校的四名党员教师积
“ ”
Ｔ
部主管 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想
极参加党员干部下沉社区的活动 在活动中他们会被随机分配到
，
，
为主要内容 立足全党员 面向全社会的优质平台 现日益成为
Ａ Ｂ Ｃ三个社区．若每个社区至少分配一名党员教师 且教师甲必
， 、 ，
、 、 ，
老百姓了解国家动态 紧跟时代脉搏的热门 ．该款软件主
须分配到Ａ社区 则共有 种不同的分配方案．
、 ＡＰＰ
，
要设有 阅读文章 视听学习 两个学习版块和 每日答题
答案
“ ”“ ” “ ”
１２
每周答题 专项答题 挑战答题 四个答题版块．某人在学
１０．（２０２０浙江东阳中学月考，１４）安排甲 乙 丙 丁 戊 名大
“ ”“ ”“ ”
、 、 、 、 ５
习过程中 阅读文章 与 视听学习 两个学习版块之间最多
学生去杭州 宁波 金华三个城市进行暑期社会实践 每个城
，“ ” “ ”
、 、 ，
间隔一个答题版块的学习方法有
市至少安排一人 则不同的安排方式共有 种 其中学
（ ）
， ；
种 种 种 种
生甲被单独安排去金华的概率是 ．
Ａ．１９２ Ｂ．２４０ Ｃ．４３２ Ｄ．５２８
答案 Ｃ
答案 ７
５．（２０２０浙江温州中学３月高考模拟）某次模拟考试结束后 班 １５０；
， ７５
级要排一张语文 数学 英语 物理 化学 生物六科试卷讲评顺 １１．（２０２１届福建三明第一中学第一次月考）来自甲 乙 丙 个
、 、 、 、 、 、 、 ３
序表 若化学排在生物前面 数学与物理不相邻且都不排在最 班级的 名同学站在一排照相 其中甲班有 名同学 乙班有
， ， ５ ， ２ ，
后 则不同的排表方法共有 名同学 丙班有 名同学 则仅有甲班的同学相邻的站法种
， （ ） ２ ， １ ，
种 种 种 种 数为 ．
Ａ．７２ Ｂ．１４４ Ｃ．２８８ Ｄ．３６０
答案 Ｂ 答案
２４
６．（２０１９河南郑州一模）如图所示的几何体由三 １２．（２０２１届湖北宜昌葛洲坝中学９ 月月考，１４）为贯彻 科学
“
棱锥Ｐ ＡＢＣ与三棱柱ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 组合而成 防疫 理念 学校实行 佩戴口罩 间隔而坐 的措施．一排
－ － １ １ １ ， ” ， “ ， ” ８
现用 种不同颜色对这个几何体的表面涂色 个座位 安排 名同学就座 共有 种不同的安排方
３ ， ４ ，
底面Ａ Ｂ Ｃ 不涂色 要求相邻的面均不同 法． 用数字作答
（ １ １ １ ）， （ ）
色 则不同的涂色方案共有 答案
， （ ） １２０
种 种
Ａ．６ Ｂ．９
种 种
Ｃ．１２ Ｄ．３６
答案 Ｃ
７．（２０２１届浙江“山水联盟”开学考试，９）新冠肺炎疫情期间
，
某村有 个路口 每个路口需要 个人负责检查体温．现有
３ ， ２ ８
名志愿者 其中 名为党员 从中抽取 人安排到这 个路口
， ４ ， ６ ３ ，
要求每个路口至少有一名党员 则不同的安排方法有
， （ ）
种 种
Ａ．４３２ Ｂ．５７６
种 种
Ｃ．１００８ Ｄ．１４４０
答案 Ｃ
专题十 计数原理 ７１１
１．（２０２０安徽马鞍山二模，６）为抗击新冠病毒 社会各界积极捐 第 回中有这样一段情节 洪七公道 肉只五种 但猪
， １２ ，“…… ： ，
赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了 箱相同规格的医用外科 羊混咬是一般滋味 獐牛同嚼又是一般滋味 一共有几般变化
６ ， ， ，
口罩 现需将这 箱口罩分配给 家医院 每家医院至少 箱 我可算不出了 ．现有五种不同的肉 任何两种 含两种 以上
， ６ ４ ， １ ， ” ， （ ）
则不同的分法共有 的肉混合后的滋味都不一样 则混合后可以组成的所有不同的
（ ） ，
种 种 种 种 滋味种数为
Ａ．１０ Ｂ．４０ Ｃ．８０ Ｄ．２４０ （ ）
答案 Ａ 根据题意 将 箱相同规格的医用外科口罩分成
， ６ Ａ．２０ Ｂ．２４ Ｃ．２５ Ｄ．２６
四份 每一份依次对应一家医院即可． 答案 Ｄ 现有五种不同的肉 若两种不同的肉混合后 有
， ， ，
将 箱相同规格的医用外科口罩排成一排 其中间有 个空 ２ 种不同的滋味 若三种不同的肉混合后 有 ３ 种不
６ ， ５ Ｃ５＝１０ ； ， Ｃ５＝１０
位 在 个空位中任选 个 插入挡板 即可将其分为四份 则 同的滋味 若四种不同的肉混合后 有 ４ 种不同的滋味 若
， ５ ３ ， ， ， ； ， Ｃ５＝５ ；
有 Ｃ ３ ５＝１０ 种分组方法 ， 故选 Ａ． 五种不同的肉混合后 ， 有 １ 种不同的滋味 ， 则共有 １０＋１０＋５＋１
名师点睛 根据题意 原问题转化为 将 箱相同规格的医用 种不同的滋味 故选 ．
， “ ６ ＝２６ ， Ｄ
外科口罩分成四份 每一份依次对应一家医院 的问题 由挡 解题关键 根据题意 按混合的肉的种数不同分 种情况讨
， ” ， ， ４
板法分析可得答案． 论 求出每种情况下不同的滋味的数目是解决本题的关键．
，
２．（２０２０河南郑州二模，６） 年 月 日是中华人民共和国 ６．（２０２０河南第一次联考，１０） 年 月 日迎来了我国建
２０１９ １０ １ ２０１９ ７ １
成立 周年国庆日 将 按照任意次序排成一行 党 周年 名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏
７０ ， ２，０，１，９，１０ ， ９８ ，６
拼成一个 位数 则产生的不同的 位数的个数为 坡． 名老党员中有 名当年在同一个班 他们站成一排拍照留
６ ， ６ （ ） ６ ３ ，
念时 要求同班的 名老党员站在一起 且满足条件的每种排
Ａ．９６ Ｂ．８４ Ｃ．１２０ Ｄ．３６０ ， ３ ，
答案 Ｂ 根据题意 将 按照任意次序排成一 法都要拍一张照片 若将照片洗出来 每张照片 ． 元 不含过
， ２，０，１，９，１０ ， ， ０５ （
行 ，“１０” 是一个整体 ， 有 Ａ ５ ５＝１２０ 种情况 ， 塑
这
费
些
）
照
，
片
且
平
有
均
一
分
半
给
的照
每
片
名
需
老
要
党
过
员
塑
过
， 每
塑
张
的
过
照
塑
片
费
也
为
要
０
平
． ７
均
５ 元
分
．若将
则
其中数字 在首位的情况有 ４ 种 （ ），
“０” Ａ４＝２４ ， 每名老党员需要支付的照片费为
数字 和 相邻且 在 之前的排法有 ４ 种 （ ）
“１” “０” “１” “０” Ａ４＝２４ ， ． 元 元 ． 元 元
则可以产生 个不同的 位数 故选 ． Ａ．２０５ Ｂ．２１ Ｃ．２１５ Ｄ．２２
１２０－２４－２４＋１２＝８４ ６ ， Ｂ 答案 Ｂ 由排列组合中的相邻问题捆绑法可得 照片的总
思路分析 根据题意 由排除法分析 先计算将 ，
， ： ２，０，１，９，１０ 数为 ３ ４ 则每名老党员需要支付的照片费为
按照任意次序排成一行的排法数目 排除其中 在首位和数 Ａ３Ａ４＝１４４，
， “０” ． ．
字 和 相邻且 在 之前中重复的情况数目 分析可 １４４×０５＋７２×０７５ 元 故选 ．
“１” “０” “１” “０” ， ＝２１ ， Ｂ
得答案． ６
７．（２０１９四川成都第二次适应性考试，１１）用数字 组成
３．（２０１７江西新余二模，９） 年 月 日 中国国家队在 ０，２，４，７，８，９
２０１７ ３ ２５ ， 没有重复数字的六位数 其中大于 的正整数个数为
俄罗斯世界杯亚洲区预选赛 强小组赛中以 比 力克 ， ４２０７８９
２０１８ １２ １ ０
韩国国家队 赛后有六名队员打算排成一排照相 其中队长主 （ ）
， ，
动要求排在排头或排尾 甲 乙两人必须相邻 则满足要求的排 Ａ．４７９ Ｂ．４８０ Ｃ．４５５ Ｄ．４５４
， 、 ， 答案 Ｃ 分情况讨论．第一种 首位从 中选一个数
法有 ， ７、８、９ ，
（ ） 其他数位任意排列 有 １ ５ 个
种 种 种 种 ， Ｃ３Ａ５ ，
Ａ．３４ Ｂ．４８ Ｃ．９６ Ｄ．１４４ 第二种 首位是 第二位从 中选一个数 其他数位任意
答案 Ｃ 根据题意 分 步进行分析 ， ４， ７、８、９ ，
， ３ ： 排列 有 １ ４ 个
队长主动要求排在排头或排尾 则队长有 种站法 ， Ｃ３Ａ４ ，
① ， ２ ； 第三种 前两位是 第三位从 中选一个数 其他数位
甲 乙两人必须相邻 将 人看成一个整体 考虑 人的左右 ， ４２， ７、８、９ ，
② 、 ， ２ ， ２ 任意排列 有 １ ３ 个
顺序 ， 有 Ａ ２ ２＝２ 种情况 ； 第四种
，
前 ， 三位 Ｃ３ 是 Ａ３
４２０
，
，
第四位从
８、９
中选一个数
，
其他数位任
③ 则 将 满 甲 足 乙 要 整 求 体 的 与 排 其 法 余 有 ３ 人进行全排 种 列 ．故 ， 有 选 Ａ ４ ４ ． ＝２４ 种情况 ， 意 第 排 五 列 种 ， 有 只有 Ｃ １ ２Ａ ２ ２ 个 ，
２×２×２４＝９６ Ｃ ， ４２０７９８，
４．（ 的 ２ 人 ０２ 站 ０ 成 重 两 庆 排 巴 后 蜀 排 中 每 学 个 高 人 三 都 适 高 应 于 性 站 月 在 考 他 一 前 ， 面 ８） 的 ６ 同 个 学 高 的 矮 概 互 率 不 为 相同 所 个 以 符 共 合 有 要求 Ｃ １ ３ 的 Ａ ５ ５ 正 ＋Ｃ 整 １ ３Ａ 数 ４ ４ ． ＋Ｃ １ ３Ａ ３ ３＋Ｃ １ ２Ａ ２ ２＋１＝３６０＋７２＋１８＋４＋１＝４５５
，
８．（２０２０广东广州天河一模，７）中国古代十进制的算筹计数法
（ ） ，
在数学史上是一个伟大的创造 算筹实际上是一根根同长短的
１ １ １ １ ，
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 小木棍．如图是利用算筹表示数 的一种方法．例如 可表
４ ６ ８ １２ １～９ ：３
答案 Ｃ 后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数 示为 可表示为 ．现有 根算筹 据此表示方法
“≡”，２６ “＝⊥” ６ ， ，
２ ２ ２ 若算筹不能剩余 则可以用 这 个数字表示两位数的个
为Ｃ６Ｃ４Ｃ２ ３ 基本事件的总数是 ６ 所以Ｐ ９０ １ 故 ， １～９ ９
３ ·Ａ３＝９０， Ａ６， ＝ ６ ＝ ， 数为
Ａ３ Ａ６ ８ （ ）
选
Ｃ．
解题关键 本题考查了求古典概型的概率 以及排列和组合
， ，
解决本题的关键是将满足条件的排列看成 个人均分成 组
６ ３ ，
然后 组再排列．
３
５．（２０２０四川泸州模拟，７）金庸先生的武侠小说 射雕英雄传
《 》 Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６
７１２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 Ｄ 根据题意 现有 根算筹 可以表示的数字组合为 １０．（２０２０河南八市重点高中联盟９月“领军考试”，１５）甲 乙
， ６ ， 、 、
．数字组合 丙 丁四名同学申报 所不同的 高校的自主招生 要求每名
１、５，１、９，２、４，２、８，６、４，６、８，３、３，３、７，７、７ １、５，１、９， 、 ３ ９８５ ，
中 每组可以表示 个两位数 则可以 同学只能申报一所学校 每所学校必须有同学申报 甲 乙或甲
２、４，２、８，６、４，６、８，３、７ ， ２ ， ， ， 、 、
表示 个两位数 数字组合 中 每组可以表示 丙均不能申报同一所学校 则不同的申报方案有 种．
２×７＝１４ ； ３、３，７、７ ， １ ，
个两位数 则可以表示 个两位数．则一共可以表示 答案
， ２×１＝２ １４＋ ２４
个两位数．故选 解析 根据题意 必定有两个人报一所学校 有 种可能
２＝１６ Ｄ． ， ， ４ ：
９．（２０１９江西南昌模拟，８）已知三棱锥的 条棱代表 种不同 甲丁 丙丁 乙丁 乙丙 所以总共有 ３ 种申报方案．
６ ６ ， ， ， ， Ａ３×４＝２４
的化工产品 有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓 １１．（２０１９山西太原模拟，１４）如图所示 玩具计数算盘的三档上
， ，
库是安全的 没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一 各有 个算珠 现将每档算珠分为左 右两部分 左侧的每个
， ７ ， 、 ，
仓库是危险的．现用编号为 的三个仓库存放这 种化工 算珠表示数 右侧的每个算珠表示数 允许一侧无珠 记
１，２，３ ６ ２， １（ ），
产品 每个仓库放 种 那么安全存放的不同方法种数为 上 中 下三档的数字和分别为ａ ｂ ｃ．例如 图中上档的数字
， ２ ， （ ） 、 、 ， ， ，
和ａ ．若 ａ ｂ ｃ 成等差数列 则不同的分珠计数法有
Ａ．１２ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．４８ ＝ ９ ， ， ，
答案 Ｄ 如图所示的三棱锥中 设 条棱为ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ 种．
， ６ ， ， ， ， ， ，
分析可得ａ与ｄ ｂ与ｆ ｃ与ｅ不能分到同一组 分 步进行分
， ， ， ２
析 将 种化工产品分成 组 其中ａ与ｄ ｂ与ｆ ｃ与ｅ不能
：① ６ ３ ， ， ，
２ ２ ２
分到同一组 有Ｃ６Ｃ４Ｃ２ 种分组方法 将分好的三
， ３ －３×２－１＝８ ；②
Ａ３
组全排列 对应 个仓库 有 ３ 种情况 则不同的安全存放
， ３ ， Ａ３＝６ ， 答案
的种数有 种 故选 ３２
８×６＝４８ ， Ｄ． 解析 根据题意知 ａ ｂ ｃ的取值范围都是区间 中
， ， ， ［７，１４］
的 个整数 故公差ｄ的范围是区间 中的整数． 当公
８ ， ［－３，３］ ①
差ｄ 时 有 １ 种 当公差ｄ 时 ｂ不取 和 有
＝０ ， Ｃ８＝８ ；② ＝±１ ， ７ １４，
１ 种 当公差ｄ 时 ｂ不取 有 １
２×Ｃ６＝１２ ；③ ＝±２ ， ７，８，１３，１４， ２×Ｃ４＝
种 当公差ｄ 时 ｂ只能取 或 有 １ 种．综
８ ；④ ＝±３ ， １０ １１， ２×Ｃ２＝４
上 共有 种不同的分珠计数法．
， ８＋１２＋８＋４＝３２
思路分析 ａ ｂ ｃ的取值范围都是 内的整数 可以根
， ， ［７，１４］ ，
据公差ｄ的情况进行讨论．
解后反思 本题考查排列 组合的应用 要表示的有 项 做
、 ， ３ ，
题时容易找不到切入点 本题的切入点是考虑等差中项的选
名师点拨 本题考查排列
、
组合的应用
，
注意先按照题意进行 取方法． ，
分组 再进行排列．
，
