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专题十 计数原理 ７１３
１０．２ 二项式定理
§
对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等
（１） ： “ ” ，
即 ③ Ｃ ｍ ｎ ＝Ｃ ｎ ｎ－ ｍ． ．
增减性与最大值 对于二项式系数 ｒ ｒ ｎ 当ｒ
考点 二项式定理 （２） ： Ｃｎ（ ＝０，１，２，…， ），
ｎ ｎ
＋１时 二项式系数是递增的 当ｒ ＋１时 二项式系数是递减的．
１．二项式定理 ＜ ， ； ＞ ，
２ ２
公式 （ ａ ＋ ｂ ） ｎ ＝Ｃ ０ｎ ａｎ ＋Ｃ １ｎ ａｎ －１ｂ１ ＋…＋Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ ＋…＋Ｃ ｎ ｎ ｂｎ （ ｎ ∈ 当ｎ是偶数时 二项展开式的中间一项 ( 第 ｎ 项 ) 的二
Ｎ∗
）
叫做二项式定理．公式中右边的多项式叫做
（
ａ
＋
ｂ
）
ｎ 的二项 ，
２
＋１
展开 式 ， 其 中 各 项 的 系 数 Ｃ ｋ ｎ （ ｋ ＝ ０， １， …， ｎ ） 叫 做 项式系数最大 ， 即最大的二项式系数为 ④ Ｃｎ ｎ ２ ．
① 二项式系数 ， 式中的 Ｃ ｋ ｎ ａｎ － ｋｂｋ 叫做二项展开式的通项 ， 用Ｔ ｋ ＋１ 当 ｎ 是 奇 数 时 ， 二 项 展 开 式 的 中 间 两 项
表示 即通项为展开式的第 ｋ 项． ( ｎ ｎ )
， ② ＋１ 第 ＋１项和第 ＋３项 的二项式系数相等且最大 即最大的二项
２．二项展开式形式上的特点 ，
２ ２
（１） 项数为ｎ ＋１ ． 式系数为 ⑤ Ｃｎ ｎ－ ２ １ 和 ⑥ Ｃｎ ｎ＋ ２ １ ．
各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ 即ａ与ｂ的指数 二项式系数的和
（２） ， （３）
的和为ｎ． ａ ｂ ｎ 的展开式的各个二项式系数的和等于 ｎ 即
（ ＋ ） ２ ，
（３） 字母ａ按降幂排列 ， 从第一项开始 ， 次数由ｎ逐项减 １ 直到 ⑦ Ｃ ０ｎ＋Ｃ １ｎ＋Ｃ ２ｎ＋ … ＋Ｃ ｒ ｎ＋ … ＋Ｃ ｎ ｎ ＝２ ｎ．
字母ｂ按升幂排列 从第一项起 次数由零逐项增 直到ｎ． 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二
０， ， ， １ ，
（４） 二项式系数为 Ｃ ０ｎ，Ｃ １ｎ，…，Ｃ ｎ ｎ－１ ，Ｃ ｎ ｎ ． 项式系数的和 ， 即 Ｃ １ｎ＋Ｃ ３ｎ＋Ｃ ５ｎ＋…＝Ｃ ０ｎ＋Ｃ ２ｎ＋Ｃ ４ｎ＋…＝⑧ ２ ｎ －１ ．
３．二项式系数的性质
( )ｎ
５．已知 ｘ２ １ 的二项式系数之和等于 那么其展开式中
２ － ｘ １２８，
含 １ 项的系数是
考点 二项式定理 ｘ （ ）
１． （ ｘ ＋ ｙ ）（２ ｘ － ｙ ） ６ 的展开式中ｘ４ｙ３ 的系数为 （ ） Ａ．－８４ Ｂ．－１４
Ａ．－８０ Ｂ．－４０ Ｃ．４０ Ｄ．８０ Ｃ．１４ Ｄ．８４
答案 Ｄ 答案 Ａ
２．
（１＋３
ｘ
）
ｎ 的展开式中ｘ５与ｘ６的系数相等
，
则ｘ４的二项式系数为 ６．若
（１－
ｘ
）
５
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋
ａ
３
ｘ３
＋
ａ
４
ｘ４
＋
ａ
５
ｘ５
，
则
｜
ａ
０｜－｜
ａ
１｜＋｜
ａ
２｜－
ａ ａ ａ
（ ） ｜ ３｜＋｜ ４｜－｜ ５｜＝ （ ）
Ａ．２１ Ｂ．３５ Ｃ．４５ Ｄ．２８ Ａ．０ Ｂ．１
答案 Ｂ
Ｃ．３２ Ｄ．－１
３．将
ａ
多项式ａ
６
ｘ６
＋
ａ
５
ｘ５
＋…＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
０
分解因式得
（
ｘ
－２）（
ｘ
＋２）
５
，
则
æ
答案
öｍ
Ａ
５＝ （ ） ７．
è
ç ５
ｘ －
ｘ
ø
÷ 的展开式中各项系数的和为
２５６，
则该展开式的二项
Ａ．８ Ｂ．１０ Ｃ．１２ Ｄ．１
答案 Ａ 式系数的最大值为 ．
æ ö１８ 答案
４．在 è ç ｘ －３ １ ｘ ø ÷ 的展开式中 ， ｘ的幂指数不是整数的项共有 （ ） ( ６ ) ４
８．在 ｘ １ 的展开式中 常数项为 ．
项 项 项 项 － ｘ －１ ，
Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６
答案 Ｃ 答案
－５
７１４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )ｎ ( )
得 ｎ 即ｎ ｘ３ ２ ｘ３ ２ ５
３ ＝２４３， ＝５，∴ ＋ ｘ ＝ ＋ ｘ ，
( )ｒ
Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ ·（ ｘ３ ） ５－ ｒ · ２ ｘ ＝２ ｒ ·Ｃ５ ｒ · ｘ１５－４ ｒ ，
考点 二项式定理
令 ｒ 得ｒ
１５－４ ＝７， ＝２，
１．（
项
２
的
０２
二
０
项
河
式
南
系
部
数
分
最
重
大
点高
且
中
ｎ
联
为
考
偶
，
数
９）已
则
知 （
ｘ
３ ｘ －１
ｎ
）
展
ｎ 展
开
开
式
式
中
的
ｘ
第
２ 的
５ ∴
思
展
路
开
分析
式中
由
ｘ７
已
的
知
系
可
数
得
为
ｎ
２ ２
的
×Ｃ
值
２ ５＝
写
４０
出
．故
二
选
项
Ｂ
展
．
开式的通项 由ｘ
， ， （３ －１） ， ，
系数为
（ ）
的指数为
７
求得ｒ
，
进而求得含ｘ７ 的项的系数．
解后反思 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的
Ａ．－２５２ Ｂ．２５２ Ｃ．－２８ Ｄ．２８ ，
答案 Ｂ 由题意可得ｎ 则 ｘ ８ 的展开式的通项是 通项公式 体现了转化的数学思想．
＝８， （３ －１） ，
Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ８ ｒ （３ ｘ ） ８－ ｒ ·（－１） ｒ ， 令 ８－ ｒ ＝２， 解得 ｒ ＝６， 则展开式中 ｘ２ ４．（２０１６宁夏银川第一次联考，９）已知 ( ｘ １ )ｎ 的展开式中第
的系数为 ６ ２ ． － ｘ
Ｃ８３ ＝２５２
( ) ９ 项与第 项的二项式系数相等 则展开式中系数最大的项为
２．（２０１９内蒙古包头二模，１０）若 ａｘ２ １ 的展开式中的各项 ３ ６ ，
－ ｘ 第 项．
系数的和为 则该展开式中的常数项为 答案
１， （ ） ５
( )ｎ
Ａ．６７２ Ｂ．－６７２ 解析 ｘ － １ ｘ 展开式的通项Ｔ ｒ ＋１＝（－１） ｒ Ｃ ｒ ｎ ｘｎ －２ ｒ ，
Ｃ．５３７６ Ｄ．－５３７６
答案 Ａ
(
ａｘ２ １
) ９
的展开式中的各项系数的和为 ａ
第
３
项与第
６
项的二项式系数分别为
Ｃ
２ｎ，Ｃ ５ｎ，
∵ － ｘ （ －
∴ Ｃ
２ｎ＝Ｃ ５ｎ，∴ ｎ
＝７，
１） ｘ ９ １ ＝ ８－ １ ３ ｒ ，∴ 令 ａ ＝２ ．故 ｒ 展开 求 式 得 的通 ｒ 项公 可 式 得 为 该 Ｔ 展 ｒ ＋１ 开 ＝ 式 Ｃ９ ｒ 中 · 的 （－ 常 １） 数 ｒ · 项 ２ 为 ９－ ｒ ∴ 思 系 路 数 分析 最大的 先 项 由 为 二 第 项式 ５ 项 系 ， 数 Ｔ ５ 性 ＝ 质 （－ 求 １） ｎ ４ Ｃ 再 ４ ７ ｘ 利 －１． 用二项展开式的通
· ， １８－３ ＝０， ＝６， ，
６ ３ 故选 项公式求第ｒ 项的系数 可得结论．
Ｃ９·２ ＝６７２， Ａ． ＋１ ，
３．（２０１８辽宁沈阳育才学校五模，６）已知 ( ｘ３ ２ )ｎ 的展开式的 易错警示 二项式 （ ｂ ＋ ａ ） ｎ 的展开式中的第ｒ ＋１ 项为 Ｃ ｒ ｎ ａｒｂｎ － ｒ ，
各项系数和为 则展开式中ｘ７ 的系数为
＋ ｘ 而非
Ｃ
ｒ ｎ＋１ａｒ ＋１ｂｎ － ｒ －１
，
其中ｒ
∈
Ｎ．
２４３， （ ）
Ａ．５ Ｂ．４０ Ｃ．２０ Ｄ．１０
( )ｎ
答案 Ｂ 由 ｘ３ ２ 的展开式的各项系数和为
＋ ｘ ２４３，
æ öｒ
è
ç
－
１
ｘ ø
÷
＝
（
－１
）ｒａ６－ ｒ·
Ｃ６
ｒｘ６－２ ３ｒ，
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数 令 ３ ｒ ，解得ｒ ．
６－ ＝０ ＝４
２
例１ （２０１９ 安徽合肥第一次教学质量检测，８）若 常数项为（ ）４ａ６－４· ４ ａ２ ．
（１） ∴ －１ Ｃ６＝１５ ＝６０
æ ö６ ａ ，故选 ．
çａｘ １ ÷ 的展开式的常数项是 则ａ的值为 ∴ ＝±２ Ｄ
è － ｘ ø ６０， （ ） æ ｘ ö６
（ ）ç １ ÷ 的展开式有 项，中间项为第 项，即 Ｔ
２ è － ｘ ø ７ ４ ４＝
Ａ．４ Ｂ．±４ Ｃ．２ Ｄ．±２ ２
æ ｘ （２） ö （ ６ ２０２１ 届江西南昌莲塘二中 ３ 月阶段性测试） Ｃ ３ ６ æ è ç ｘ ö ø ÷ ３æ è ç － １ ｘ ö ø ÷ ３ ＝－ ５ ．
ç １ ÷ 的展开式的中间一项为 ． ２ ２
è － ｘ ø
２ 答案 （ ）Ｄ （ ） ５
解题导引
（１）
常数项是指ｘ０ 项的系数
，
展开式的通项是 １ ２ －
２
什么 化简通项时用到什么运算 指数幂的运算性质有哪些 方法总结 求二项展开式中的特定项 一般是利用通项公
？ ， ？ ，
根式如何化成指数幂形式 结合指数幂运算化通项为最简形式 式进行 化简通项后 令字母的指数符合要求 求常数项时 指数
？ ， ， （ ，
再求解． 为零 求有理项时 指数为整数等 解出ｒ 代回通项即可．
； ， ）， ，
共有 项 由通项公式求出中间项Ｔ ．
（２） ７ ， ４ 考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和
æ ö６
解析 （
１
）
è
çａｘ
－
１
ｘ ø
÷ 的展开式的通项为Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ６
ｒ（ａｘ）６－ ｒ·
例２ （２０１９陕西师大附中模拟）在二项式 ｘ ｎ
（１） （１－２ ）
专题十 计数原理 ７１５
的展开式中 偶数项的二项式系数之和为 则展开式的中间
， １２８，
项的系数为
（ ） 例 在 ｘ ｙ ９ 的展开式中 求
（２ －３ ） ， ：
Ａ．－９６０ Ｂ．９６０ 二项式系数之和
（１） ；
Ｃ．１１２０ Ｄ．１６８０ 各项系数之和
( )ｎ （２） ；
若 ｘ２ １ 的展开式中含ｘ的项为第 项 设 ｘ ｎ 所有奇数项系数之和
（２） － ｘ ６ ， （１－３ ） （３） ；
各项系数绝对值的和．
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
则ａ
１＋
ａ
２＋…＋
ａ
ｎ
的值为 ． （
解
４
析
）
设（ ｘ ｙ）９ ａ ｘ９ ａ ｘ８ｙ ａ ｘ７ｙ２ … ａ ｙ９．
解析 （ ）根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为 ２ －３ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ＋ ９
１ （ ）二项式系数之和为 ０ １ ２ … ９ ９．
，所以在（ ｘ）ｎ 的展开式中，二项式系数之和为 ， １ Ｃ９＋Ｃ９＋Ｃ９＋ ＋Ｃ９＝２
１２８ １－２ ２５６ （ ）令ｘ ，ｙ 得各项系数之和为ａ ａ ａ … ａ （
即
２
ｎ
＝２５６
，ｎ
＝８
， ２ ＝１ ＝１ ０＋ １＋ ２＋ ＋ ９＝ ２
则（
１－２
ｘ）８ 的展开式的中间项为第
５
项， －３ ）９ ＝－１ ．
且Ｔ ５＝Ｃ ４ ８ （ －２ ）４ｘ４ ＝１１２０ ｘ４， （ ３ ）令ｘ ＝１ ，ｙ ＝－１ 得ａ ０－ ａ １＋ ａ ２－ ａ ３＋ … ＋ ａ ８－ ａ ９＝５ ９，
所以展开式的中间项的系数为 ． 由（ ）知ａ ａ ａ … ａ ，
１１２０ ２ ０＋ １＋ ２＋ ＋ ９＝－１
( )ｎ ( )ｒ
（ ２ ） ｘ２ － １ ｘ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ （ｘ２）ｎ － ｒ· － １ ｘ 两式相加得ａ ０＋ ａ ２＋ ａ ４＋ ａ ６＋ ａ ８＝ ５ ９ －１．
２
＝Ｃ ｒ ｎ （ －１ ）ｒｘ２ ｎ －３ ｒ，因为含ｘ的项为第 ６ 项，所以ｒ ＝５ ， ２ ｎ －３ ｒ ＝１ ，解 故所有奇数项系数之和为５ ９ －１．
得ｎ ，令ｘ ，得ａ ａ … ａ （ ）８ ８，令ｘ ，得ａ
＝８ ＝１ ０＋ １＋ ＋ ８＝ １－３ ＝２ ＝０ ０＝ ２
１ ，所以ａ １＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ８＝２ ８ －１＝２５５ ． （ ４ ） ∵ Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ９ ｒ（ ２ ｘ）９－ ｒ（ －３ ｙ）ｒ ＝ （ －１ ）ｒ ２ ９－ ｒ· ３ ｒ· Ｃ９ ｒｘ９－ ｒ·ｙｒ，
答案 （ ）Ｃ （ ） ａ ，ａ ，ａ ，ａ ，ａ ， ａ ａ … ａ ａ ａ
１ ２ ２５５ ∴ １＜０ ３＜０ ５＜０ ７＜０ ９＜０ ∴ ｜ ０｜＋｜ １｜＋ ＋｜ ９｜＝ ０－ １
方法总结 １． 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要的 ａ ａ … ａ ａ ．令ｘ ，ｙ 得 ａ ａ ａ … ａ
“ ” ， ＋ ２－ ３＋ ＋ ８－ ９ ＝１ ＝－１ ｜ ０｜＋｜ １｜＋｜ ２｜＋ ＋｜ ９｜
方法 对形如 ａｘ ｂ ｎ ａ ｂ Ｒ 的式子 求展开式中各项系数之 ａ ａ ａ ａ … ａ ａ ９．
， （ ＋ ） （ 、 ∈ ） ， ＝ ０－ １＋ ２－ ３＋ ＋ ８－ ９＝５
和常用赋值法 只需令ｘ 即可 对形如 ａｘ ｂｙ ｎ ａ ｂ Ｒ 的 例 （２０２０ 山东济南外国语学校 ９ 月月考，１６）已知
， ＝１ ； （ ＋ ） （ 、 ∈ ）
式子 求展开式中各项系数之和 只需令ｘ ｙ 即可． ｘ ｘ ８ ａ ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ ９ 则ａ ａ
， ， ＝ ＝１ （ －２） ＝ ０＋ １（ －１）＋ ２（ －１） ＋…＋ ９（ －１） ， １＋ ２＋…＋
２．一般地
，
对于多项式
（
ａ
＋
ｂｘ
）
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
令 ａ
９＝ ，
ａ
２＝
．
ｇ （ ｘ ）＝ ａ （ ａ ｂ ＋ ｘ ｂｘ ｎ ） 的 ｎ ， 展 则 开式中各项系数的和为ｇ 解析 令ｘ ＝１ ，得ａ ０＝１ ，令ｘ ＝２ ，得ａ ０＋ ａ １＋ ａ ２＋ … ＋ ａ ９＝０ ，
（ ＋ ） （１）， 所以ａ ａ … ａ ．因为 ｘ（ｘ ）８ ［（ｘ ） ］·
１＋ ２＋ ＋ ９＝－１ －２ ＝ －１ ＋１
（
ａ
＋
ｂｘ
）
ｎ 的展开式中奇数项的系数和为 １
［
ｇ
（１） ＋
［（ｘ
－１
）
－１
］８
＝
（ｘ
－１
）·［（ｘ
－１
）
－１
］８
＋
［（ｘ
－１
）
－１
］８，
ｇ （－１）］， ２ 所以ａ ２＝Ｃ １ ８ ·（ －１ ）７ ＋Ｃ ２ ８ ·（ －１ ）６ ＝２０ ．
答案 ；
ａ ｂｘ ｎ 的展开式中偶数项的系数和为 １ ｇ ｇ ． －１ ２０
（ ＋ ） ［ （１）－ （－１）］
２
Ａ． ３ Ｂ．－ ３ Ｃ．６ Ｄ．－６
答案 Ｄ
( ａ )( ) ６
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数 ５．（２０１９江西上饶二模，７） ｘ３ ｘ ２ 的展开式中各项
ｘ ＋ － ｘ
( )
１．（２０１９豫南九校第三次模拟改编，７） ｘ ２
８
的展开式中的
系数的和为
３，
则该展开式中ｘ３的系数是
（ ）
＋ ｘ
Ａ．－１８４ Ｂ．－８４ Ｃ．－４０ Ｄ．３２０
常数项为
答案 Ａ
（ ）
Ａ． 答 ５６ 案 ０ Ｂ Ｂ．１１２０ Ｃ．２２４０ Ｄ．４４８０ ６．（２０ ６ ２ 的 １ 展 届 开 百 式 校 中 联盟 ｘ４ 普 的 通 系 高 数 中 为 教育教学质量监测） （３ ｘ －２） ２ （ ｘ －
２） ， （ ）
２．（２０２０福建毕业班质量检查测试） ｘ ｘ ５ 的展开式
（２ －１）（ ＋２）
Ａ．０ Ｂ．４３２０ Ｃ．４８０ Ｄ．３８４０
中 ｘ３ 的系数是 答案 Ｂ
， （ ）
Ａ．２００ Ｂ．１２０ Ｃ．８０ Ｄ．４０
答案 Ｂ 考法二 求二项式系数和与展开式中各项系数和
３．（２０１９江西红色七校第二次联考，５） ｘ２ ( １ ) ６ 的展 ７．（２０２１ 届广东深圳外国语学校第一次月考） ( ３ ｙ ) ８ 的
（１＋ ）· １－ ｘ ｘ －４ ＋２
开式中 常数项为 展开式中 不含ｘ的各项系数之和为 ．
， （ ） ，
答案
Ａ．－１５ Ｂ．１６ ２５６
Ｃ．１５ Ｄ．－１６
８．（２０２０山东济宁一中一轮复习质量检测，１４）已知
（２－
ｘ２
）（１＋
答案 Ｂ ａｘ
）
３ 的展开式的所有项系数之和为
２７，
则实数ａ
＝ ，
４．（２０１９宁夏银川九中月考）已知
æ
è ç ｘ －
ａ
ｘ
ö
ø ÷
５
的展开式中含ｘ３ ２
展
答
开
案
式中含ｘ２ 的项的系数是 ．
２；２３
的项的系数为 则ａ
３０， ＝ （ ）
７１６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
( )ｒ ( )ｋ
ｘ － １ ｘ 的通项为Ｔ ｋ ＋１＝Ｃ ｋ ｒ ｘｒ － ｋ － １ ｘ ＝（－１） ｋ ·Ｃ ｋ ｒ ｘｒ －２ ｋ （ ｋ ＝０，
ｒ 令ｒ ｋ 即ｒ ｋ． ｒ ｋ ｒ ｋ ．
…， ）， －２ ＝０， ＝２ ∴ ＝２， ＝１； ＝４， ＝２
考法一 求二项展开式中特定项或特定项的系数 常数项为 １ ２ ２ ．
∴ １－Ｃ２×Ｃ４＋Ｃ４×１＝－５
问题
考法二 求二项式系数的和与展开式中各项系数和
æ ö
１．（２０２０河南百校联盟９月联合检测，６） è ç ｘ １ ２ －２ø ÷ （１＋ ｘ ） ５ 的展 １．（２０２０吉林通化梅河口五中等校联考，８）若 （２－３ ｘ ） ６ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ
开式中ｘ２ 的系数为
（ ） ＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
６
ｘ６
，
则ａ
１＋
ａ
２＋
ａ
３＋…＋
ａ
６
等于
（ ）
Ａ．－１５ Ｂ．－５ Ｃ．１０ Ｄ．１５ Ａ．－４ Ｂ．４ Ｃ．－６４ Ｄ．－６３
答案 Ａ （１＋ ｘ ） ５ 展开式的通项公式为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ ×１ ５－ ｒ · ｘｒ ＝ 答案 Ｄ （２－３ ｘ ） ６ ＝ ａ ０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋…＋ ａ ６ ｘ６ ， 令ｘ ＝０， 可得ａ ０
Ｃ５ ｒｘｒ ， 当ｒ ＝２ 时 ， Ｔ ３＝Ｃ ２ ５ ｘ２ ＝１０ ｘ２ ， 当ｒ ＝４ 时 ， Ｔ ５＝Ｃ ４ ５ ｘ４ ＝５ ｘ４ ， 故 再 ＝６ 令 ４， ｘ 可得ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
æ è ç ｘ １ ２ －２ ö ø ÷ （１＋ ｘ ） ５ 的展开式中ｘ２ 的系数为 ５＋（－２）×１０＝－１５ ． －６３， 故 ＝ 选 １， Ｄ． ０＋ １＋ ２＋ ３＋…＋ ６＝１，∴ １＋ ２＋ ３＋…＋ ６＝
２．（２０２０重庆巴蜀中学高考适应月考一，１３）二项式 （２ ｘ ＋１） ６ 的 ２．（２０２０安徽江淮十校第一次联考，１４）已知 （ ｘ ＋１）（２ ｘ ＋ ａ ） ５ 的
展开式中 第 项的系数为 ． 展开式中各项系数和为 则其展开式中含ｘ２ 项的系数是
， ５ ２，
答案 ．
６０
解析 因为二项式 （２ ｘ ＋１） ６ 展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１ ＝Ｃ６ ｒ · 解 答 析 案 本 －３ 题 ０ 考查了二项式中指定项的系数 解题时要充分利
ｘ ６－ ｒ ｒ ，
（
所
２
以
）
Ｔ
·１
４
，
ｘ ２ ｘ２
用展开式的通项求解
，
考查运算求解能力
，
属于中档题．
所以 ５ ｘ ＝Ｃ６· ６ 的 （２ 展 ） 开 ＝ 式 ６０ 中第 ， 项的系数为 ． 由题意可知 ，（ ｘ ＋１）（２ ｘ ＋ ａ ） ５ 的展开式中各项系数和为 （１＋１）
（２ ＋１） ５ ( ) ６０ ａ ５ ａ ５ 解得ａ
４ ·（２×１＋ ） ＝２（２＋ ） ＝２， ＝－１，
３．（２０１７安徽合肥二模，１５）在 ｘ － １ ｘ －１ 的展开式中 ， 常数项 所以 （ ｘ ＋１）（２ ｘ ＋ ａ ） ５ ＝（ ｘ ＋１）（２ ｘ －１） ５ ＝ ｘ （２ ｘ －１） ５ ＋（２ ｘ －１） ５ ，
为
答 案
． 所以
ｒ
展开
ｋ
式的
５－ ｋ
通项为ｘ Ｃ
ｋ
５ ｋ ·（
ｘ
２
６－
ｘ
ｋ
） ５－ ｋ ·
ｒ
（－
５
１
－
）
ｒ
ｋ ＋Ｃ５ ｒ ·（２
ｒ
ｘ ） ５
ｘ
－
５
ｒ
－
·
ｒ
（
令
－
－ ( ５ ) { １） ＝ ｋ Ｃ５·２ {ｋ ·（－１） · ＋Ｃ５·２ ·（－１） · ，
解析 ｘ － １ ｘ －１ ４ 的展开式中的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ４ ｒ （－１） ４－ ｒ · ６
５
－
－
ｒ
＝
＝
２
２
，
，得 ｒ
＝
＝
３
４
，
，因此 ， 展开式中含ｘ２ 项的系数为 Ｃ ４ ５·２ １ ·
( )ｒ ４ ３ ２ ３ ．
ｘ １ ｒ ．当 ｒ 时 Ｔ 当 ｒ 时 （－１） ＋Ｃ５·２ ·（－１） ＝１０－４０＝－３０
－ ｘ （ ＝ ０，１，２，３，４） ＝ ０ ， １ ＝ １， ≠０ ，
考点 二项式定理
Ａ．１５ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．３５
１．（２０２０课标Ⅰ理，８，５分）
(
ｘ ＋
ｙ
ｘ
２ )
（ ｘ ＋ ｙ ） ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ 的 ６．（２
答
０１
案
７ 课
Ｃ
标Ⅲ，４，５分） ｘ ｙ ｘ ｙ ５ 的展开式中ｘ３ｙ３ 的系
（ ＋ ）（２ － ）
系数为 数为
（ ） （ ）
Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２０ Ａ．－８０ Ｂ．－４０ Ｃ．４０ Ｄ．８０
答案 Ｃ 答案 Ｃ
２．（２０２０北京，３，４分）在
（
ｘ
－２）
５的展开式中
，
ｘ２的系数为
（ ）
７．（２０２１新高考适应卷，６，５分）
（１＋
ｘ
）
２
＋（１＋
ｘ
）
３
＋…＋（１＋
ｘ
）
９
的展开式中ｘ２ 的系数是
Ａ．－５ Ｂ．５ Ｃ．－１０ Ｄ．１０ （ ）
答案 Ｃ
Ａ．６０ Ｂ．８０ Ｃ．８４ Ｄ．１２０
３．（２０１９课标Ⅲ，４，５分）
（１＋２
ｘ２
）（１＋
ｘ
）
４ 的展开式中ｘ３ 的系 答案 Ｄ
( )
数为 ６
（ ） ８．（２０２０ 课标Ⅲ，１４，５ 分） ｘ２ ２ 的展开式中常数项是
＋ ｘ
Ａ． 答 １２ 案 Ａ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４ 用数字作答 ．
（ ）
( ) 答案
４．（２０１８课标Ⅲ，５，５分） ｘ２
＋ ｘ
２ ５ 的展开式中ｘ４的系数为
（ ）
２４０
æ ö５
９．（２０２０天津，１１，５ 分）在çｘ ２ ÷ 的展开式中 ｘ２ 的系数是
è ＋ｘ２ ø ，
Ａ．１０ Ｂ．２０ Ｃ．４０ Ｄ．８０
答案 Ｃ ．
答案
æ ö
５．（２０１７课标Ⅰ，６，５分）ç １ ÷ ｘ ６ 展开式中ｘ２ 的系数为 １０
è１＋ｘ２ ø（１＋ ） １０．（２０１６课标Ⅰ，１４，５ 分） ｘ ｘ ５ 的展开式中 ｘ３ 的系数
（２ ＋ ） ，
是 ． 用数字填写答案
（ ） （ ）
专题十 计数原理 ７１７
答案 答案
１０ ７
æ ö８ １５．（２０１７山东，１１，５分）已知 ｘ ｎ 的展开式中含有 ｘ２ 项
１１．（２０１９天津，１０，５ 分）ç ｘ １ ÷ 的展开式中的常数项为 （１＋３ ）
è２ － ｘ３ ø 的系数是 则ｎ ．
８ ５４， ＝
． 答案
４
答案 １６．（２０１７浙江，１３，６分）已知多项式 ｘ ３ ｘ ２ ｘ５ ａ ｘ４
２８ （ ＋１） （ ＋２） ＝ ＋ １ ＋
１２．（２０１９浙江，１３，６分）在二项式 （ ２＋ ｘ ） ９ 的展开式中 ， 常数 ａ ２ ｘ３ ＋ ａ ３ ｘ２ ＋ ａ ４ ｘ ＋ ａ ５， 则ａ ４＝ ， ａ ５＝ ．
项是 系数为有理数的项的个数是 ． 答案
， １６；４
答案 æ ö５
１６ ２；５ æ ö５ １７．（２０１６ 山东，１２，５ 分）若 è çａｘ２ ＋ １ ｘ ø ÷ 的展开式中ｘ５ 的系数
１３．（２０１８ 天津，１０，５ 分）在 è çｘ － １ ｘø ÷ 的展开式中 ， ｘ２ 的系 是
－８０，
则实数ａ
＝
．
２ 答案
数为 ． －２
答案 ５
１８．（２０１９江苏，２２，１０分）设
（１＋
ｘ
）
ｎ
＝
ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ
，
ｎ
ｎ Ｎ∗ 已知ａ２ ａ ａ ．
２ ≥４， ∈ ， ３＝２ ２ ４
( ) 求ｎ的值
１４．（２０１８浙江，１４，４分）二项式 ３ｘ １ ８ 的展开式的常数项 （１） ；
＋
２
ｘ
（２）
设
（１＋ ３）
ｎ
＝
ａ
＋
ｂ
３，
其中ａ
，
ｂ
∈
Ｎ∗
，
求ａ２
－３
ｂ２ 的值．
是 ．
考点 二项式定理
答案 Ａ 展开式的通项为 Ｔ ｋ
(
１ ｘ
) ５－ ｋ
ｙ ｋ
１．（ 中 ２ 含 ０１ ｘ ６ ４ 四 的 川 项 理 为 ，２，５分）设 ｉ 为虚数单位 ， 则 （ ｘ ＋ｉ） ６ 的 （ 展 开 式 ） （－１） ｋ · ２ ２ ｋ － ５ Ｃ５ ｋｘ５－ ｋ · ｙｋ ， 令 ５－ ｋ ＝２ ｋ ， ＋１ 得 ＝ ｋ Ｃ ＝ ５ ３ ． ２ 则展开 · 式中 （－ ｘ ２ ２ｙ ） ３ 的 ＝
Ａ．－１５
ｘ４
Ｂ．１５
ｘ４
Ｃ．－２０ｉ
ｘ４
Ｄ．２０ｉ
ｘ４ 系数为
（－１）
３
·２
２×３－５
Ｃ
３
５＝－２０，
故选
Ａ
．
易
答
错
案
警 示
Ａ
易
Ｔ
３ 误 ＝ 认 Ｃ
２
６ 为
ｘ４
ｉ
２
２ ＝－１ 而 ５
ｘ
致
４
，
故
错
选
． Ａ
． 评
考
析
查 学
本
生
题
的
考
运
查
算
由
求
二
解能
项
力
式
，
定
属
理
于
求
中
指
档
定
题
项
．
系数、组合数的计算，
ｉ ＝１
２．（２０１５湖北理，３，５分）已知 ｘ ｎ 的展开式中第 项与第 ７．（２０１４浙江理，５，５分）在 ｘ ６ ｙ ４ 的展开式中 记ｘｍｙｎ
（１＋ ） ４ ８ （１＋ ） （１＋ ） ，
项的二项式系数相等 则奇数项的二项式系数和为 项的系数为ｆ ｍ ｎ 则ｆ ｆ ｆ ｆ
， （ ） （ ， ）， （３，０）＋（２，１）＋（１，２）＋（０，３）＝
１２ １１ １０ ９
Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．２ Ｄ．２ （ ）
答案 Ｄ ｘ ｎ 的展开式中第 项与第 项的二项式
∵ （１＋ ） ４ ８ Ａ．４５ Ｂ．６０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０
系数分别为
Ｃ
３ｎ，Ｃ ７ｎ，∴
Ｃ
３ｎ＝Ｃ ７ｎ， 得ｎ
＝１０
． 答案 Ｃ 在
（１＋
ｘ
）
６ 的展开式中
，
ｘｍ 的系数为
Ｃ６
ｍ
，
在
（１＋
从而有 ０ １ ２ ３ １０ １０ ｙ ４ 的展开式中 ｙｎ 的系数为 ｎ 故 ｆ ｍ ｎ ｍ ｎ．从而
Ｃ１０＋Ｃ１０＋Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０＝２ ， ） ， Ｃ４， （ ， ）＝ Ｃ６·Ｃ４
又 ０ ２ １０ １ ３ ９ ｆ ３ ｆ ２ １ ｆ １ ２
Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０＝Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０， （３，０）＝Ｃ６＝２０， （２，１）＝Ｃ６·Ｃ４＝６０， （１，２）＝Ｃ６·Ｃ４＝３６，
奇数项的二项式系数和为 ０ ２ １０ ９． ｆ ３ 故选 ．
∴ Ｃ１０＋Ｃ１０＋…＋Ｃ１０＝２ （０，３）＝Ｃ４＝４， Ｃ
评析 本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数 ８．（２０１３课标Ⅱ理，５，５分）已知
（１＋
ａｘ
）（１＋
ｘ
）
５ 的展开式中ｘ２
性质，考查运算求解能力． 的系数为 则ａ
５， ＝ （ ）
３．（２０１５陕西理，４，５分）二项式 ｘ ｎ ｎ Ｎ 的展开式中ｘ２
（ ＋１） （ ∈ ＋） Ａ．－４ Ｂ．－３ Ｃ．－２ Ｄ．－１
的系数为 １５， 则ｎ ＝ （ ） 答案 Ｄ 由二项式定理得 （１＋ ｘ ） ５ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝
Ａ． 答 ４ 案 Ｃ 因 Ｂ 为 ．５ （ ｘ ＋１） ｎ 的展 Ｃ 开 ．６ 式中ｘ２ 的系数 Ｄ． 为 ７ Ｃ ｎ ｎ－２ ， Ｃ 为 ５ ｒ · ２ ｘｒ 当 ， 所 ｒ 以当 时 ｒ ＝ ｘ ２ ２ 时 的 ， 系 （１ 数 ＋ ａ 为 ｘ ）（ １ １＋ ｘ ａ ） ５ 所 的 以 展开 ２ 式中 １ ｘ ａ ２ 的系 ａ 数
所以 Ｃ ｎ ｎ－２ ＝１５， 即 Ｃ ２ｎ＝１５， 亦即ｎ２ － ｎ ＝３０， 解得ｎ ＝６（ ｎ ＝－５ 舍 ） ． Ｃ 故 ５， 选 ＝ ． １ ， Ｃ５· ， Ｃ５＋Ｃ５· ＝５， ＝
４．（２０１５课标Ⅰ理，１０，５分） （ ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｙ ） ５的展开式中 ， ｘ５ｙ２的系数为 －１， Ｄ æ öｎ
９．（２０１３辽宁理，７，５ 分）使ç ｘ １ ÷ ｎ Ｎ 的展开式中含
（ ） è３ ＋ｘ ｘø （ ∈ ＋）
Ａ．１０ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．６０ 有常数项的最小的ｎ为
答案 Ｃ ｘ２ ｘ ｙ ５ ｘ２ ｘ ｙ ５ 的展开式中只有 （ ）
（ ＋ ＋ ） ＝［（ ＋ ）＋ ］
２ ｘ２ ｘ ３ｙ２中含ｘ５ｙ２ 易知ｘ５ｙ２ 的系数为 ２ １ 故选 ． Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
５． Ｃ （ 数 ２ ５（ 为 ０１４ ＋ 四 ） 川理，２，５分 ， ）在ｘ （１＋ ｘ ） ６ 的展开 Ｃ 式 ５Ｃ 中 ３＝ ， ３ 含 ０， ｘ３ （ 项 的 Ｃ 系 ） · 答 ｘｎ － 案 ５ ２ ｒ （ ｒ ＝ Ｂ ０ ，１ Ｔ ， ｒ ＋ ２ １ ， ＝ … Ｃ ， ｒ ｎ（ ｎ ３ ） ｘ ， ） ｎ － ｒ · ｘ－２ ３ｒ ＝Ｃ ｒ ｎ·３ ｎ － ｒ · ｘｎ － ｒ －２ ３ｒ ＝Ｃ ｒ ｎ·３ ｎ － ｒ
Ａ． 答 ３０ 案 Ｃ 在 Ｂ （ ． １ ２ ＋ ０ ｘ ） ６ 的展开式 Ｃ．１ 中 ５ ， 含ｘ２ 的项 Ｄ 为 ．１０ Ｔ ３＝Ｃ ２ ６· ｘ２ ＝ 若Ｔ ｒ ＋１ 是常数项 ， 则有ｎ － ２ ５ ｒ ＝０， 即 ２ ｎ ＝５ ｒ （ ｒ ＝０，１，…， ｎ ）， 当ｒ
评 １５ 析 ｘ２ ， 故 本 在 题 ｘ （ 考 １＋ 查 ｘ ） 二 ６的 项 展 展 开 开 式 式 中 中 ， 求 含 指 ｘ３ 定 的 项 项 的 的 系 系 数 数 ， 为 属 １ 容 ５ ． 易题．但 ＝０，１ 时 ， ｎ ＝０， ５
２
， 不满足条件 ； 当ｒ ＝２ 时 ， ｎ ＝５， 故选 Ｂ ．
在（ １ ＋ ｘ）６ 前面乘以ｘ后 ( ，易误求Ｔ ) ４＝Ｃ ３ ６ ｘ３． １０．（ 的 ２ 系 ０１ 数 ３ 是 大纲全国理，７，５分） （１＋ ｘ ） ８ （１＋ ｙ ） ４ 的展开式中ｘ２ｙ２
６．（２０１４湖南理，４，５分） １ ｘ ｙ ５ 的展开式中ｘ２ｙ３ 的系数是 （ ）
－２
２ Ａ．５６ Ｂ．８４ Ｃ．１１２ Ｄ．１６８
答案 Ｄ ｘ ８ ｙ ４ 的展开式中ｘ２ｙ２ 的系数为 ２
（ ） （１＋ ） ·（１＋ ） Ｃ８
２ 选 ．
Ａ．－２０ Ｂ．－５ Ｃ．５ Ｄ．２０ ·Ｃ４＝２８×６＝１６８， Ｄ
７１８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
１１．（２０１３课标Ⅰ理，９，５分）设ｍ为正整数 ｘ ｙ ２ ｍ展开式的 æ öｒ
二项式系数的最大值为ａ ｘ ｙ ２ ｍ ＋１展开 ， 式 （ 的 ＋ 二 ） 项式系数的 解析 二项展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ （ ｘ３ ） ５－ ｒ ·è ç １ ｘø ÷ ＝
，（ ＋ ） ２
最大值为ｂ．若 ａ ｂ 则ｍ ｒ
１３ ＝７ ， ＝ （ ） １ ｒＣ５ ｒ · ｘ１５－３ ｒ － ２ ｒ ， 令 １５－３ ｒ － ＝８， 得ｒ ＝２， 于是展开式中ｘ８ 的
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ２ ２
答案 Ｂ 由题意得 ａ ｍ ｂ ｍ 所以 ｍ ｍ
： ＝Ｃ２ ｍ， ＝Ｃ２ ｍ ＋１， １３Ｃ２ ｍ＝７Ｃ２ ｍ ＋１， 系数为 １ ２ １ ５ ．
ｍ ｍ ｍ ２ ×Ｃ５＝ ×１０＝
１３·（２ ）！ ７·（２ ＋１）！ ７（２ ＋１） 解得 ｍ ２ ４ ２
∴ ｍ ｍ ＝ｍ ｍ ，∴ ｍ ＝１３， ＝６， １８．（２０１５课标Ⅱ理，１５，５分） ａ ｘ ｘ ４ 的展开式中ｘ的奇
！· ！ ！·（ ＋１）！ ＋１ （ ＋ ）（１＋ ）
经检验ｍ 为原方程的解．选 ． 数次幂项的系数之和为 则ａ ．
＝６ Ｂ ３２， ＝
１２．（２０１２湖北理，５，５分）设ａ Ｚ 且 ａ 若 ２０１２ ａ能 答案
∈ ， ０≤ ＜１３， ５１ ＋ ３
被 整除 则ａ 解析 设ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ４ 则其所有项的系数和为
１３ ， ＝ （ ） （ ）＝ （ ＋ ）（１＋ ） ，
ｆ ａ ４ ａ 又奇数次幂项的系数和
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．１１ Ｄ．１２ （１）＝（ ＋１）·（１＋１） ＝（ ＋１）×１６，
（－ 答 １） 案 ＋ … Ｄ ＋Ｃ ２ ２ ５ ０ ０ １ １ １ １ ２× ２０ ５ １２ ２ ＋ × ａ （ ＝ － （ １ ５ ） ２ ２ － ０１１ １ ＋ ） （ ２０ － １２ １ ＋ ） ａ ２０ ＝ １２ ５ ＋ ２ ａ ２０ 能 １２ ＋ 被 Ｃ １ ２ １ ０１ ３ ２× 整 ５２ 除 ２０ ， １１ 只 × 为 评析 １ ２ ［ ｆ （ 二 １） 项 － 展 ｆ （ 开 －１ 式 ）］ 问 ，∴ 题 １ ２ 中 × ， （ 涉 ａ ＋ 及 １ 系 ）× 数 １６ 和 ＝３ 的 ２， 问 ∴ 题 ａ ， ＝ 通 ３ ． 常采用赋
需 ２０１２ ａ ａ能被 整除即可． ａ ａ
（－１） ＋ ＝１＋ １３ ∵ ０≤ ＜１３，∴ ＝１２， 值法．
故选 ．
Ｄ １９．（２０１４ 安徽理，１３，５ 分）设 ａ ｎ 是大于 的自然数
评析 本题考查二项式定理及整除等知识，考查学生应用意 ≠０， １ ，
( ｘ )ｎ
识和运算求解能力．
１＋ ａ
的展开式为ａ
０＋
ａ
１
ｘ
＋
ａ
２
ｘ２
＋…＋
ａ
ｎ
ｘｎ．若点Ａ
ｉ（
ｉ
，
ａ
ｉ）（
ｉ
æ ö５
１３．（２０１２安徽理，７，５分） ｘ２ ç １ ÷ 的展开式的常数项是 的位置如图所示 则ａ ．
（ ＋２）èｘ２ －１ø ＝０，１，２） ， ＝
（ ）
Ａ．－３ Ｂ．－２ Ｃ．２ Ｄ．３
答案 Ｄ 由题意知展开式的常数项为 ５ １
２×（－１） ＋Ｃ５×
４ 故选 ．
（－１） ＝－２＋５＝３， Ｄ
评析 本题考查二项式定理的应用，抓住常数项的构成特征
是顺利解题的关键．
１４．（２０１８上海，３，４分）在 ｘ ７ 的二项展开式中 ｘ２ 项的系 答案
（１＋ ） ，
数 答 为 案 （ 结果用数值表示 ） ． 解析 ３ 根据题意知ａ ０＝１， ａ １＝３， ａ ２＝４，
解析 ２ 本 １ 题主要考查二项展开式． ì ï ïＣ １ｎ· １ ａ ＝３， { ｎ ８ ａ
结合二项式定理得í 即 －１＝ ，解得ａ ．
（１＋ ｘ ） ７ 的二项展开式中 ， ｘ２ 项的系数为 Ｃ ２ ７＝ ７× ２ ６ ＝２１ ． î ï ï Ｃ ２ｎ·ａ １ ２ ＝４， ｎ ＝３ ａ ， ３ ＝３
( )
１５．（２０１６天津理，１０，５ 分） ｘ２ １ ８ 的展开式中 ｘ７ 的系数 ２０．（２０１４课标Ⅰ理，１３，５分） （ ｘ － ｙ ）（ ｘ ＋ ｙ ） ８ 的展开式中ｘ２ｙ７ 的
－ ｘ 系数为 ． 用数字填写答案
（ ）
为 ． 用数字作答 答案
（ ） －２０
答案
－５６
解析 由二项展开式公式可知
，
含ｘ２ｙ７ 的项可表示为ｘ
·
解析 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ８ ｒｘ１６－２ ｒ （－ ｘ ） － ｒ ＝（－１） － ｒ Ｃ８ ｒｘ１６－３ ｒ ， 令 １６－３ ｒ ＝７， 得 Ｃ ７ ８ ｘｙ７ － ｙ ·Ｃ ６ ８ ｘ２ｙ６ ， 故 （ ｘ － ｙ ）（ ｘ ＋ ｙ ） ８ 的展开式中ｘ２ｙ７ 的系数为
ｒ ＝３， 所以ｘ７ 的系数为 （－１） －３ Ｃ ３ ８＝－５６ ． Ｃ ７ ８－Ｃ ６ ８＝Ｃ １ ８－Ｃ ２ ８＝８－２８＝－２０ ．
易错警示 本题中 展开式的通项易写错 尤其是符号 正负 ２１．（２０１４课标Ⅱ理，１３，５分） ｘ ａ １０的展开式中 ｘ７ 的系数为
， ， ， （ ＋ ） ，
易混 需引起注意． 则ａ ． 用数字填写答案
， １５， ＝ （ ）
评析 本题主要考查二项式定理，对运算求解能力要求较高．
答案 １
属中档题．
２
１６．（２０１５天津，１２，５分）在 ( ｘ １ ) ６ 的展开式中 ｘ２ 的系数为 解析 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ１ ｒ ０ ｘ１０－ ｒａｒ ， 令 １０－ ｒ ＝７， 得ｒ ＝３，
－ ｘ ，
４ ３ ａ３ 即１０×９×８ａ３ ａ３ １ ａ １ ．
． ∴ Ｃ１０ ＝１５， ＝１５，∴ ＝ ，∴ ＝
３×２×１ ８ ２
æ ö５
答案 １５ ２２．（２０１３浙江理，１１，４分）设二项式ç ｘ １ ÷ 的展开式中常
è －３ｘ ø
１６
解析 ( ｘ
－
１
ｘ
) ６ 的展开式的通项为 Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ６
ｒｘ６－ ｒ (
－
１
ｘ
)ｒ
＝
数
答
项
案
为Ａ ， 则Ａ ＝ ．
４ ４ －１０
( )ｒ æ öｒ
－ １ Ｃ６ ｒｘ６－２ ｒ ， 令 ６－２ ｒ ＝２， 得 ｒ ＝２， 所以 ｘ２ 的系数为 Ｃ ２ ６× 解析 展开式通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ５ ｒ ·（ ｘ ） ５－ ｒ è ç －３ １ ｘ ø ÷
４
( )
－ １ ２ ＝ １５． ＝Ｃ５ ｒ （－１） ｒｘ５ ２－５ ６ ｒ．令 ５ － ５ ｒ ＝０， 得ｒ ＝３ ．
４ １６ ２ ６
æ ö５ 当ｒ 时 Ｔ ３ ３ ．故Ａ ．
１７．（２０１５重庆理，１２，５ 分）
è
çｘ３
＋
１
ｘø
÷ 的展开式中 ｘ８ 的系数
２３．（２０
＝
１２
３
福
，
建理
４＝
，
Ｃ
１
５
１
（
，
－
４
１）
分
＝
）
－
ａ
１０
ｘ ４ 的
＝
展
－１
开
０
式中ｘ３ 的系数等于
２ （ ＋ ）
是 用数字作答 ． 则实数ａ ．
（ ） ８， ＝
答案
答案 ５ ２
解析 Ｔ ３ａ１ｘ３ ａｘ３ ａ ａ ．
２ ３＋１＝Ｃ４ ＝４ ，∴４ ＝８，∴ ＝２
专题十 计数原理 ７１９
评析 本题考查二项展开式的通项公式，也考查了学生的运 ( )ｎ
２５．（２０１２大纲全国理，１５，５分）若 ｘ １ 的展开式中第 项
算求解能力． ＋ ｘ ３
２４．（２０１２浙江理，１４，４分）若将函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ５ 表示为ｆ
（
ｘ
）＝
ａ
０ 与第 项的二项式系数相等 则该展开式中 １ 的系数
ａ ｘ ａ ｘ ２ ａ ｘ ５ 其中ａ ａ ａ ａ 为 ７ ， ｘ２
实 ＋ 数 １（１ 则 ＋ ） ａ ＋ ２（１＋ ） ＋… ． ＋ ５（１＋ ） ， ０， １， ２，…， ５ 为 ．
答案
， ３＝
答 案
１０ ５６
解 ． 析 由于 ｆ （ ｘ ）＝ ｘ５ ＝［（１＋ ｘ ）－１］ ５ ， 所以 ａ ３＝Ｃ ３ ５（－１） ２ 解析 由 Ｃ ２ｎ＝Ｃ ６ｎ 得ｎ ＝８， Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ８ ｒｘ８－ ｒ · ( １ ｘ )ｒ ＝Ｃ８ ｒｘ８－２ ｒ ， 令 ８
＝１０
评析 本题考查二项式定理的运用，考查整体思想、转化与化 ｒ 解得ｒ 故所求系数为 ５ ３ ．
－２ ＝－２， ＝５， Ｃ８＝Ｃ８＝５６
归思想，可利用构造法解决问题． 评析 本题考查了二项式定理，运用二项展开式的通项公式
求指定项的系数．
时间： 分钟 分值： 分
４０ ８０
一、单项选择题 每题 分 共 分
２００９
（ ５ ， ４０ ） ａ ａ ａ ａ ３ ＋１
１．（２０２０山东夏季高考模拟，４）
(
１ ｘ
) １０
的展开式中ｘ４的系数是
Ｂ． １＋ ３＋ ５＋…＋ ２００９＝
２
ｘ － ２００９
ａ ａ ａ ａ ３ －１
Ｃ． ０＋ ２＋ ４＋…＋ ２００８＝
（ ） ２
ａ ａ ａ ａ
Ａ． 答 －２ 案 １０ Ｂ Ｂ．－１２０ Ｃ．１２０ Ｄ．２１０ Ｄ．
２
１ ＋
２
２ ２ ＋
２
３ ３ ＋…＋
２
２ ２ ０ ０ ０ ０ ９ ９ ＝－１
æ ａ ö５ 答案 ＡＣＤ
２．（２０２０福建厦门一中月考，８）已知 ｘ２ ｘ ç ÷ 的
（２ ＋３ ＋１）·èｘ２ －１ø １０．（２０２１届广东东华高级中学模拟）若 ｘ ｎ 的展开式中
展开式中各项系数之和为 则该展开式中的常数项是 （ ２＋ ３ ）
所有项的二项式系数之和为 则
０， （ ）
２５６， （ ）
Ａ．－１０ Ｂ．－７ Ｃ．１０ Ｄ．９ ｎ ｎ
答案 Ｄ Ａ． ＝８ Ｂ． ＝９
第 项为 ｘ４ 第 项为 ｘ５
３．（２０２０广东百校联考，７） （２ ｘ －１） ８ 的展开式中ｘ３ 的系数为 Ｃ． 答案 ５ ＡＣ ２５２０ Ｄ． ５ １００８ ６
（ ） ( ) ６
１１．（２０２１届河北唐山一模）若 ｘ２ １ 的展开式中ｘ３ 的系数
Ａ．－４４８ Ｂ．－５６ Ｃ．５６ Ｄ．４４８ ＋ａｘ
答案 Ａ
是 则
４．（２０２１届五省新高考联合质量测评１２月联考，６）已知 ｘ －１６０， （ ）
（２ －
１）（ ｘ ＋ ａ ） ６ （ ａ ∈ Ｒ ） 的展开式的各项系数之和为 ６４， 则展开式中 Ａ． ａ ＝－ １ Ｂ． 所有项系数之和为 １
ｘ３ 的系数为
（ ） 二项式
２
系数之和为 常数项为
或 或 Ｃ． ６４ Ｄ． －３２０
Ａ．１０ ２９７０ Ｂ．１０ １８９０ 答案 ＡＢＣ
Ｃ．１０ Ｄ．１８９０ １２．（２０２１届山东师范大学附属中学一模）关于 ａ ｂ １１的说法
答案 Ａ （ － ） ，
正确的是
５．（２０１９ 安徽蚌埠二模，６）设 ａ ∈ Ｒ ， 若 ( ｘ２ ＋ ２ ｘ ) ９ 与 æ è çｘ ＋ｘ ａ ２ ö ø ÷ ９ Ａ． 展 展 开 开 式 式 中 中 只 的 有 二 第 项式 项 系 的 数 二 之 项 和 式 为 系 ２ 数 ０４ 最 ８ 大 （ ）
的展开式中的常数项相等 则ａ Ｂ．
展开式中第 项和
６
第 项的二项式系数最大
， ＝ （ ）
Ｃ． ６ ７
展开式中第 项的系数最小
Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．－２
答案 Ａ Ｄ． 答案 ＡＣＤ ６
６．（２０１９广东广州一模，６） ｘ３ ｘ ａ ５ 的展开式的各项系数
（２－ ）（ ＋ ） 三、填空题 每题 分 共 分
和为 则该展开式中ｘ４ 的系数是 （ ５ ， ２０ ）
３２， （ ） æ öｎ
１３．（２０２１届浙江高考选考科目９月联考，１２）在çｘ ２ ÷ 的展
Ａ． 答 ５ 案 Ａ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２０ è － ｘ ø
７．（２０１９ 湖北宜昌模拟，８）若 ｘ ５ ｘ４ ａ ａ ｘ ａ ｘ
开式中
，
二项式系数和为
６４，
则ｎ
＝ ；
中间项的系数
（ －２） －３ ＝ ０＋ １（ －３）＋ ２（ － 为 ．
２ ａ ｘ ３ ａ ｘ ４ ａ ｘ ５ 则ａ
３） ＋ ３（ －３） ＋ ４（ －３） ＋ ５（ －３） ， ３＝ （ ） 答案
６；－１６０
Ａ． 答 －７ 案 ０ Ｃ Ｂ．２８ Ｃ．－２６ Ｄ．４０ １４．（２０２０浙江东阳中学月考，１２） （ ｘ ＋２）（ ｘ ＋１） ６ 的展开式中 ，
( ) ｘ３ 项的系数为 所有项系数的和为 ．
７ ；
８．（２０２０广东广州十六中质量检测（一），６）在 ｘ２ ２ 的 答案
１－ ＋ ｘ ５５；１９２
１５．（２０２１届山东师范大学附属中学第一次模拟，１５）在
展开式中 ｘ３ 的系数为 （１－
， （ ） ｘ ５ ｘ 的展开式中 ｘ４ 的系数为 ．
２ ） （２＋ ） ，
Ａ．２１０ Ｂ．－２１０ Ｃ．－９１０ Ｄ．２８０ 答案
答案 Ｃ ８０
( ｂ ) ６
二、多项选择题 每题 分 共 分 １６．（２０２１届新教材地区第一次月考）已知ａ
＞０，
ｂ
＞０，
ａｘ
＋ ｘ
（ ５ ， ２０ ）
９．（２０２０山东泰安６月三模，１１）若 ｘ ２００９ ａ ａ ｘ ａ ｘ２
（１－２ ） ＝ ０＋ １ ＋ ２ ＋ 的展开式的常数项为 ５ 则ａ ｂ的最小值为 ．
ａ ｘ３ ａ ｘ２００９ ｘ Ｒ 则 ， ＋２
３ ＋…＋ ２００９ （ ∈ ）， （ ） ２
ａ 答案
Ａ． ０＝１ ２
７２０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
æ öｎ ．
１．（２０２０山西大同开学学情调研，６）若 è ç ｘ －ｘ ２ ２ ø ÷ 的展开式中 ＝１ æ ８ ö１８ æ öｒ
只有第六项的二项式系数最大 则展开式中的常数项是 则 è ç ｘ －３ １ ｘ ø ÷ 的展开式的通项为 Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ１ ｒ ８（ ｘ ） １８－ ｒ è ç －３ １ ｘ ø ÷ ＝
，
（ ） ｒ ｒ ｘ９－ ５ ６ ｒ ｒ ．只有ｒ 时 ｘ的
（－１） Ｃ１８· （ ＝０，１，２，…，１８） ＝０，６，１２，１８ ，
Ａ．２１０ Ｂ．１８０ Ｃ．１６０ Ｄ．１７５
幂指数是整数 因此ｘ的幂指数不是整数的项共有
答案 Ｂ ∵ æ è ç ｘ －ｘ ２ ２ ö ø ÷ ｎ 的展开式中只有第六项的二项式系 项．故选 Ｃ ． ， æ öｎ １９－４＝１５
数最大 ，∴ 展开式中共有 １１ 项 ， ｎ ＝１０ ． ∴ 展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１ ７．（２０１８安徽马鞍山二模，１０）二项式 è ç ３ ｘ ＋３ １ ｘ ø ÷ 的展开式中
＝Ｃ１ ｒ ０（ ｘ ） １０－ ｒ · æ è ç －ｘ ２ ２ ö ø ÷ ｒ ＝Ｃ１ ｒ ０（－１） ｒ ·２ ｒ · ｘ５－５ ２ ｒ．令 ５－ ５ ｒ ＝０， 得ｒ 只 的 有 项 第 的个 １１ 数 项 为 的二项式系数最大 ， 则展开式中ｘ的指数为整数
２
常数项是Ｔ ２ ２ 故选 （ ）
２．（ ａ ＝ ２ ２ （ ２ ０ ， ｘ １ ∴ － ８ １） 辽 ２ ＋ 宁 ａ ３ 鞍 （ ｘ 山 －１ 鞍 ） ２＋ ３ 钢 １ ＋ ＝ ａ 三 ２ ４（ 模 · ｘ － ， Ｃ １ ８ １ ） ０ ） ＝ ４ ， 已 １ 则 ８ 知 ０ ａ ， （ ２ ２ ＝ ｘ －１ Ｂ ） ． ４ ＝ ａ ０＋ ａ １（ （ ｘ －１ ）＋ ） Ａ． 答 ３ 案 Ｄ 根 Ｂ 据 ．５ æ è ç ３ ｘ ＋３ １ ｘ ö ø ÷ ｎ 的 Ｃ． 展 ６ 开式中只有 Ｄ 第 ．７ １１ 项的二项
Ａ．１８ Ｂ．２４ Ｃ．３６ Ｄ．５６ æ öｎ
答案 Ｂ （２ ｘ －１） ４ ＝［１＋２（ ｘ －１）］ ４ 式系数最大 ， 得ｎ ＝２０，∴ è ç ３ ｘ ＋３ １ ｘ ø ÷ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝
∴ ＝ ａ ａ ０ ２ ＋ ＝ ａ Ｃ １（ ２ ４ ｘ · － ２ １ ２ ） ＝ ＋ ２ ａ ４ ２（ ， ｘ 故 － 选 １） ２ Ｂ ＋ ． ａ ３（ ｘ －１） ３ ＋ ａ ４（ ｘ －１） ４ ， Ｃ２ ｒ ０·（ ３ ｘ ） ２０－ ｒ · æ è ç ３ １ ｘ ö ø ÷ ｒ ＝（ ３） ２０－ ｒ ·Ｃ２ ｒ ０· ｘ２０－４ ３ ｒ ， 要使ｘ的指数
( )
３．（２０２０四川五校联考，６） ｘ３ ｘ４ １ ８ 的展开式中ｘ２ 的 是整数 需ｒ是 的倍数 ｒ ｘ的指数
（３ ＋ ） ２－ ｘ ， ３ ，∴ ＝０，３，６，９，１２，１５，１８，∴
是整数的项共有 项．故选
系数为 ７ Ｄ．
（ ） 思路分析 根据二项展开式中中间项的二项式系数最大求出
Ａ．－１２８０ Ｂ．４８６４ Ｃ．－４８６４ Ｄ．１２８０ ｎ的值 再利用展开式的通项求得ｘ的指数是整数的项数．
( 答 １ 案 )ｒ 所 Ａ 以 ｘ ( ２ ２ 项 － １ ｘ 为 ) ８ ｘ 的 ３ [ 展 １ 开式 ７ 的 ( 通 １ 项 ) 为 ] Ｔ ｘ ｒ ４ ＋１ [ ＝Ｃ ２ ８ ｒ ２ ８－ ６ ｒ · 依 规 据 律 ： 总 若 ， 结 ｎ 为 （ 偶 ａ ＋ 数 ｂ ） ， ｎ 则 的 第 展 ( 开 ｎ ＋ 式 １ 中 ) 项 二 的 项 二 式 项 系 式 数 系 最 数 大 最 问 大 题 ， 的 为 处 Ｃｎ 理 ｎ ２ ；
－ ｘ ， ３ Ｃ８·２ · － ｘ ＋ Ｃ８·２ · ２
( １ ) ２ ] ｘ２ 故选 ． 若ｎ为奇数 ， 则第 ｎ ＋１ ， ｎ ＋３项的二项式系数最大 ， 为 Ｃｎ ｎ－ ２ １ ，Ｃｎ ｎ＋ ２ １．
－ ｘ ＝－１２８０ ， Ａ ２ ２
４．（２０１８海南国兴中学３月模拟，７）设 ｘ ６ ａ ａ ｘ ａ ｘ２ ８．（２０１６全国百所名校联考，６） （１－ ｘ ） ６ （１－ ３ｘ ） ４ 的展开式中 ，
…＋
ａ
６
ｘ６
，
其中ｘ
，
ａ
ｉ∈
Ｒ
，
ｉ
＝０，１，…，６，
则
（１
ａ
＋
１＋
ａ
）
３＋
＝
ａ
５＝
０＋ １
（
＋ ２
）
＋ ｘ２ 的系数是
（ ）
Ａ．－７５ Ｂ．－４５ Ｃ．４５ Ｄ．７５
Ａ． 答 １６ 案 Ｂ 令 Ｂ ｘ ． ＝ ３２ １， 则 ２ ６ ＝ ａ ０＋ Ｃ ａ ．６ １ ４ ＋ ａ ２＋ ａ ３＋ ａ ４＋ ａ Ｄ ５ ． ＋ １２ ａ ８ ６＝６４， 答案 Ｂ （１－ ｘ ） ６ （１－ ３ｘ ） ４ ＝（１－６ ｘ ＋１５ ｘ －２０ ｘ ｘ ＋１５ ｘ２ －
令ｘ ＝ ａ －１ ａ ， 则 ａ （１－１） ６ ＝ ａ ０ ａ － ａ １ ａ ＋ ａ ２ ａ － ａ ３＋ ａ ． ４ 故 － ａ 选 ５＋ ａ ６ ． ＝０， 的 ６ ｘ 展 ２ ｘ 开 ＋ 式 ｘ３ ） 中 · ｘ （ ２ １ 的 －４ 系 ３ｘ 数 ＋ 是 ６ ３ｘ２ －４ ｘ ＋ ３ｘ４ ），∴ （ ． １ 故 － 选 ｘ ） ６ ． （１－ ３ｘ ） ４
∴２（ １＋ ３＋ ５）＝６４，∴ １＋ ３＋ ５＝３２ Ｂ ， １５·（－４）＋１５＝－４５ Ｂ
æ öｎ 思路分析 把 ｘ ６ 和 ３ｘ ４ 利用二项式定理分别展
５．（２０１９广东佛山二模，８）已知 ｘ çｘ １ ÷ ｎ Ｎ∗ ｎ （１－ ） （１－ ）
（１＋ ）è ＋ｘ２ ø （ ∈ ， ＜１０） 开 进而可得 ｘ ６ ３ｘ ４ 的展开式中ｘ２ 的系数．
， （１－ ） （１－ ）
的展开式中没有常数项 则ｎ的最大值是 ( )ｎ
， （ ） ９．（２０１８重庆万州二模，１５）已知二项式 ｘ２ １ 的所有二项
２ － ｘ
Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９
æ öｎ
答案 Ｂ ｘ çｘ １ ÷ ｎ Ｎ∗ ｎ 的展开式中没 式系数之和等于 那么其展开式中含１ 项的系数是 ．
∵ （１＋ ）è ＋ｘ２ ø （ ∈ ， ＜１０） １２８， ｘ
æ öｎ 答案
有常数项 ，∴ è çｘ ＋ｘ １ ２ ø ÷ 的展开式中没有 ｘ－１项和常数项． －８４ ( )ｎ
解析 由二项式 ｘ２ １ 的展开式中所有二项式系数的
æ öｎ ２ － ｘ
∵ è çｘ ＋ｘ １ ２ ø ÷ 的展开式的通项为Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ ｒ ｎ· ｘｎ －３ ｒ ， 故ｎ －３ ｒ ≠０， 且 和是 得 ｎ ｎ ( ｘ２ １ )ｎ ( ｘ２ １ ) ７
ｎ ｒ 即ｎ ｒ 且ｎ ｒ ｎ 且ｎ 故 １２８， ２ ＝１２８，∴ ＝７，∴ ２ － ｘ ＝ ２ － ｘ ，
ｎ － 的 ３ 最 ≠ 大 －１ 值 ， 为 ≠ 故 ３ 选 ， ≠３ －１，∴ ≠３，６，９， ≠２，５，８， ( )ｒ
思路分析 先 ７ 将 ， 问题转 Ｂ． 化成二项展开式中没有常数项和 ｘ－１ Ｔ ｒ ＋１＝Ｃ７ ｒ ·（２ ｘ２ ） ７－ ｒ · － １ ｘ ＝（－１） ｒ ·２ ７－ ｒ ·Ｃ７ ｒ · ｘ１４－３ ｒ．
项 利用二项展开式的通项求出第ｒ 项 再根据ｘ的指数不
， ＋１ ， 令 ｒ 得ｒ ． 展开式中含１ 项的系数是 ５ ．
能为 和 求得ｎ的最大值． １４－３ ＝－１， ＝５∴ ｘ －４×Ｃ７＝－８４
０ －１，
思路分析 由已知可得ｎ的值 写出二项展开式的通项 由ｘ
６．（２０１７ 山西晋中一模，９）若 ａ ３ ｘ ｘ ｘ 则在 ， ，
＝ ２ ∫－ ３ （ ＋｜ ｜）ｄ ， 的指数为 求得ｒ 进而求含 １ 项的系数．
æ öａ －１ ， ｘ
ç ｘ １ ÷ 的展开式中 ｘ的幂指数不是整数的项共有
è －３ｘ ø ， （ ） 易错警示 注意二项式系数与项的系数的区别 以及二项式
，
项 项 项 项 系数之和与所有项的系数之和的区别．
Ａ．１３ Ｂ．１４ Ｃ．１５ Ｄ．１６ ( )ｎ
答案 Ｃ ａ ３ ｘ ｘ ｘ ０ ｘ ｘ ｘ ３ ｘ ｘ １０．（２０１７江西赣州十四县联考，１４）若 ｘ １ 的展开式中前
＝２ ∫－ （ ＋｜ ｜）ｄ ＝２ ∫－ （ － ）ｄ ＋２ ∫ ２ ｄ ＋ ｘ
３ ３ ０ ３
专题十 计数原理 ７２１
三项的系数分别为Ａ Ｂ Ｃ 且满足 Ａ Ｃ Ｂ 则展开式中 解析 令ｘ ｔ 则ｘ ｔ ｘ１０ ｘ５ ｔ １０ ｔ ５ ａ
， ， ， ４ ＝９（ － ）， －１＝ ， ＝ ＋１， － ＝（ ＋１） －（ ＋１） ＝ ０＋
ｘ２ 的系数为 ． ａ ｔ ａ ｔ２ ａ ｔ１０ ａ 为ｔ５ 的系数 其中 ｔ １０的展开式中
１ ＋ ２ ＋…＋ １０ ， ５ ， （ ＋１）
答案 ５
２
６
７
ｔ
Ｃ
５
５ １０
的
－Ｃ
系
０ ５
数
＝２
为
５２
Ｃ
－
５ １
１
０，
＝
（
２
ｔ
５
＋
１
１
．
） ５ 的展开式中ｔ５ 的系数为 Ｃ ０ ５， 则ａ ５＝
９
( 解 ｎ２ 析
－
ｎ
－
ｎ 易 ) 得
， 即
Ａ
ｎ
＝
２
１
－
，
７
Ｂ
ｎ －
＝
８
３
ｎ
＝
，
０，
Ｃ
解
＝
得
Ｃ ９
２ｎ
ｎ
＝
＝
ｎ
８
（
ｎ
１
或
－ ８ １
ｎ
） ，
＝
所
－１
以
（ 舍
有
）
４
．在
＝ １２．若
ａ ２０
（
２０
１－４ ｘ ） ２０２０ ＝ ａ
．
０＋ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋…＋ ａ ２０２０· ｘ２０２０ ， 则
ａ
２ １ ＋ ２
ａ
２ ２ ＋…＋
１８ ３ ２０２０ ＝
( ) ( )ｒ ｒ ２
ｘ
＋
３
１
ｘ
８ 中
，
因为通项Ｔ
ｒ ＋１＝Ｃ８
ｒｘ８－ ｒ
３
１
ｘ ＝
Ｃ
３
ｒ
８
·
ｘ８－２ ｒ
，
令
８－２
ｒ 答
解
案
析
０
取ｘ
＝０，
则ａ
０＝１；
＝２，
得ｒ
＝３，
所以展开式中ｘ２ 的系数为５６．
取ｘ １ 则 ２０２０ ａ
ａ
１
ａ
２
ａ
２０２０
２７ ＝ ， （－１） ＝ ０＋ ＋ ２ ＋…＋ ２０２０，
１１．（２０１８湖南长沙第二次模拟，１４）若ｘ１０ ｘ５ ａ ａ ｘ ２ ２ ２ ２
－ ＝ ０＋ １（ －１）＋ ａ ａ ａ
ａ ｘ ２ ａ ｘ １０ 则ａ ． 所以 １ ２ ２０２０ ａ ．
２（ 答案 －１） ＋…＋ １０（ －１） ， ５＝ ２ ＋ ２ ２ ＋…＋ ２ ２０２０ ＝１－ ０＝０
２５１
