北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§1.2 常用逻辑用语
专题检测
1.(2019北京十四中10月月考,4)设x>0,y∈R,则“x>y”是“ln x>ln y”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B ln x>ln y等价于x>y>0,其构成的集合A={(x,y)|x>y>0};x>0,y∈R且x>y构成的集合B={(x,y)|
x>y,x>0},∵A⊆B且B⊈A,
∴“x>y”是“ln x>ln y”的必要而不充分条件.
故选B.
方法技巧 本题考查充分、必要条件的判断,运用集合关系判断充分、必要条件是解题关键.ln x>ln y等价
于x>y>0,与x>0且x>y比较,根据两种条件下对应的集合关系,利用“谁的范围小谁充分,谁的范围大谁必
要”原则,可得答案.
2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,7)已知命题“函数f(x)=sin 2x+ cos 2x-m在[ π]上有两个不
√3 0,
2
同的零点”是真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.[-√3,2) B.[-√3,√3)
C.[√3,2) D.[0,2)
答案 C 由f(x)=0可得m=sin 2x+ cos 2x=2sin( π),令t=2x+π,则t∈[π 4π],易知y=2sin t
√3 2x+ ,
3 3 3 3
π
的图象有一条对称轴是t= ,结合图象可得√3≤m<2.故选C.
2
3.若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3
C.a<0或a>3 D.0<a<3
答案 A 解法一:若ax2-2ax+3>0恒成立,则a=0或{ a>0, 得0≤a<3,故若命题“ax2-
Δ=4a2-12a<0,
2ax+3>0恒成立”是假命题,则a<0或a≥3.
解法二:设函数f(x)=ax2-2ax+3,若ax2-2ax+3>0恒成立,则f(x) >0.
min
当a=0时,符合题意.
当a>0时,f(x) =3-a>0,得0<a<3.
min
当a<0时,函数f(x)没有最小值,不符合题意.
所以0≤a<3,故若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则a<0或a≥3.
解法三:命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,即不等式ax2-2ax+3≤0有解.
当a=0时,不符合题意.
当a≠0时,Δ=4a2-12a≥0,得a<0或a≥3.
综上,a<0或a≥3.
4.(2017云南民族中学三模)下列说法正确的个数是 ( )
1 1
①f(x)= +α为奇函数,则α= ;
2x+1 2
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②“在△ABC中,若a>b,则A>B”的逆命题是假命题;
③“三个数a,b,c成等比数列”是“b=√ac”的既不充分也不必要条件;
④命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x
0
∈R,
x3
-
x2
+1>0”.
0 0
A.0 B.1 C.2 D.3
1 1
答案 C 对于①,易知f(x)的定义域为R,若f(x)= +α为奇函数,则f(0)=0,计算得出α=- ,所以①不正确;
2x+1 2
对于②,原命题的逆命题为“在△ABC中,若A>B,则a>b”,根据“大角对大边”可知,“若A>B,则a>b”是真
命题,所以②不正确;
对于③,三个数a,b,c成等比数列,则b2=ac,
∴b=±√ac,
若a=b=c=0,满足b=√ac,但三个数a,b,c不成等比数列,
∴“三个数a,b,c成等比数列”是“b=√ac”的既不充分也不必要条件,所以③正确;
对于④,命题“∀x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“∃x
0
∈R,
x3
-
x2
+1>0”,所以④正确.所以C选项是正确的.
0 0
5.(2018天津南开二模,6)下列命题中,正确的是 ( )
A.“ln a>ln b”是“10a>10b”的充要条件
B.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0且n≠0”
C.存在x>0,使得x<sin x
0 0 0
1 π
D.若cos α≠ ,则α≠
2 3
答案 D 对于A,ln a>ln b时,a>b>0,∴10a>10b,充分性成立;10a>10b时,a>b,但a,b不一定为正数,所以ln a>ln
b不一定成立,即必要性不成立,是充分不必要条件,A错误;对于B,命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命
题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”,∴B错误;对于C,设f(x)=x-sin x,则f '(x)=1-cos x,则f '(x)≥0恒成立,∴f(x)
在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(0)=0,即x>sin x在(0,+∞)上恒成立,故存在x>0,使得x<sin x 是假命题,C错误;对
0 0 0
π 1 1 π
于D,α= 时,cos α= 是真命题,∴它的逆否命题:若cos α≠ ,则α≠ 也是真命题,D正确.
3 2 2 3
6.(2019河南名校联盟 “尖子生”调研考试(二),6)已知m,n∈R,则“m2+n2<16”是“mn-5m>5n-25”的 (
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
{m>5, {m<5,
答案 A 依题意,mn-5m>5n-25⇔m(n-5)-5(n-5)>0⇔(m-5)(n-5)>0⇔ 或 故
n>5 n<5.
“m2+n2<16”⇒“mn-5m>5n-25”,充分性成立;反之不成立,例如m=n=6时,m2+n2>16,必要性不成立.故
“m2+n2<16”是“mn-5m>5n-25”的充分不必要条件,故选A.
突破攻略 解决此类问题应该把握三个方面:一是准确化简条件,也就是求出每个条件对应的充要条件;二是
注意问题的形式,看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”;三是灵活运用所学知识判断两个条件
之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行,即转化为两个命题关系的判断.当较难判断时,可借
助两个集合之间的关系来判断.
7.(2018福建德化一中等三校联考,8)设p:x2-(2a+1)x+a2+a<0,q:lg(2x-1)≤1,若p是q的充分不必要条件,则实数a
的取值范围是 ( )
A.[1 9] B.[1 9) C.(1 9] D.( 9]
, , , -∞,
2 2 2 2 2 2 2
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1 11
答案 A 由lg(2x-1)≤1得0<2x-1≤10,解得 <x≤ .由x2-(2a+1)x+a2+a<0得(x-a)[x-(a+1)]<0,解得a<x<a+1.
2 2
1
{ a≥ ,
若p是q的充分不必要条件,则 2 (两端不能同时相等),解得1≤a≤9,即实数a的取值范围为
11 2 2
a+1≤
2
[1 9],故选A.
,
2 2
8.(2018贵州七校一联,7)以下四个命题中,真命题的个数是 ( )
①“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题;
②存在正实数a,b,使得lg(a+b)=lg a+lg b;
③“所有奇数都是素数”的否定;
④在△ABC中,A<B是sin A<sin B的充分不必要条件.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 对于①,“若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则
a+b≥2”,如a=3≥1,b=-2,但a+b=1<2,故①为假命题;对于②,存在正实数a=2,b=2,使得lg(2+2)=lg 22=2lg 2=lg
2+lg 2,故②为真命题;对于③,“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”,如9是奇数,但
不是素数,故③为真命题;对于④,在△ABC中,A<B⇔a<b⇔2Rsin A<2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半
径)⇔sin A<sin B,故△ABC中,A<B是sin A<sin B的充分必要条件,故④为假命题.综上所述,②③为真命题,故
选C.
评析 本题考查命题真假的判断,综合考查四种命题之间的关系、全称命题与特称命题之间的关系、充分
必要条件的概念及其应用,考查分析、推理能力,属于中档题.
9.(2020广东惠州第一次调研,9)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是
( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案 D 对于A,a∥α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以A不是α∥β的一个充分条件.
对于B,a⊂α,a∥β,则平面α,β可能平行,也可能相交,所以B不是α∥β的一个充分条件.
对于C,由a∥b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α可得α∥β或α,β相交,所以C不是α∥β的一个充分条件.
对于D,存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,如图,在β内过b上一点作c∥a,则c∥α,所以β内有两条相
交直线平行于α,则有α∥β,所以D是α∥β的一个充分条件.故选D.
a
10.(2020北京清华附中摸底,7)已知函数f(x)=ln x+ ,则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的
x
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
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C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C 本题考查函数的零点、充分与必要条件,考查学生的推理论证能力,体现逻辑推理与数学运算的核
心素养.
1 a x-a
f '(x)= - = ,当a≤1时, f '(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递增, f(1)=a≤1,
x x2 x2
若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点,则必须a<0;当a>1时,1<x<a时, f '(x)<0, f(x)在(1,a)上单调递减,x>a时, f
1
'(x)>0, f(x)在(a,+∞)上单调递增,若函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点,则f(x) =f(a)=ln a+1≤0,即a≤ ,与a>1
min
e
矛盾.综上,函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点等价于a<0,因此“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零
点”的充分必要条件,故选C.
思路分析 先求出f(x)的导函数,讨论单调性,然后求出函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点时a的范围,最后由
充分、必要条件的概念即可得正确选项.
11.(2018江西赣州2月联考,12)已知p:关于x的不等式ex-ln x-m≥0(e为自然对数的底数)对任意x∈(0,+∞)恒
成立;q:m∈( 13).那么p是q的 ( )
-∞,
6
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C ex-ln x-m≥0即ex-ln x≥m,
1
设f(x)=ex-ln x,则f '(x)=ex- ,
x
显然f '(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f '(1)= 1-2<0, f '(2)= 2-3>0,
2
e2
3
e3
2
故存在x
0
∈(1
,
2),
2 3
1
使得f '(x
0
)=ex 0-
x
=0,
0
当x∈(0,x)时, f '(x)<0,
0
当x∈(x,+∞)时, f '(x)>0,
0
1
所以f(x)
min
=f(x
0
)=ex 0-ln x
0
=x
0
+
x
,
0
因为x
0
∈(1
,
2),
2 3
1 2 3 13
所以x+ > + = ,
0 x 3 2 6
0
1 13
记n=x+ ,则n> ,
0 x 6
0
由ex-ln x-m≥0(x∈(0,+∞)),得m∈(-∞,n],
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又( 13)⫋(-∞,n],故选C.
-∞,
6
思路分析 首先进行参变量分离,构造函数f(x)=ex-ln x,利用导数判断函数单调性,求得f(x) ,从而求得ex-ln
min
x-m≥0在(0,+∞)上恒成立时,实数m的取值范围,最后利用相应集合间的关系得结论.
12.(2017豫西五校4月联考,4)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是 (
)
A.∀x∈R, f(-x)≠f(x) B.∀x∈R, f(-x)=-f(x)
C.∃x∈R, f(-x)≠f(x) D.∃x∈R, f(-x)=-f(x)
0 0 0 0 0 0
答案 C 由题意知∀x∈R, f(-x)=f(x)是假命题,则其否定为真命题,即∃x∈R, f(-x)≠f(x)是真命题,故选C.
0 0 0
思路分析 利用偶函数的定义,结合命题的否定,即可得到结论.
方法点拨 对于省略量词的命题,否定时应先挖掘命题中的隐含量词,将命题改写成含量词的完整形式,再写
出命题的否定.
13.(2017江西南昌二中、临川一中联考,3)下列命题是真命题的是( )
①如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则命题q一定是假命题;
②已知命题p:∃x∈(-∞,0),2x<3x;命题q:∀x∈( π),tan x>sin x,则(¬p)∧q为真命题;
0,
2
③命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角是真命题;
④若p:|x+1|>2,q:x>2,则¬p是¬q成立的充分不必要条件;
⑤命题“存在x
0
∈R,使得2x 0≤0”的否定是“不存在x
0
∈R,使得2x 0>0”.
A.①③ B.②④ C.③④ D.②⑤
答案 B 对于①,如果命题“p且q是假命题”,“非p”为真命题,则p为假命题,命题q可能是假命题,也可
能是真命题,故错误;
对于②,x∈(-∞,0),(2) x >1⇒2x>3x,故命题p是假命题;命题q:∀x∈( π),tan x=sinx>sin x,故命题q是
0,
3 2 cosx
真命题,故(¬p)∧q为真命题,正确;
对于③,命题p:若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或π,故③错误;
对于④,由p:|x+1|>2,q:x>2⇒q是p的充分不必要条件,则¬p是¬q成立的充分不必要条件,故正确;
对于⑤,命题“存在x
0
∈R,使得2x 0≤0”的否定是“对任意的x∈R,使得2x>0”,故错误.故选B.
14.(2019江西赣州十四县期中联考,4)下列有关命题的说法正确的是 ( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
√6
B.命题p:∃x∈R,使得sin x= ;命题q:∀x∈R,都有x>sin x,则命题p∨q为真”
0 0
2
C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”
D.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
√6
答案 D 命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”.故A错.命题p:∃x∈R,使得sin x=
0 0
2
>1,是假命题.命题q:∀x∈R,都有x>sin x,是假命题,则命题p∨q为假.故B错.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”
的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”.故C错.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.故选D.
辨析比较 命题的否定和命题的否命题的区别:命题p的否定,即¬p,是指对命题p结论的否定;命题p的否命
题,是指对命题p条件和结论同时否定.
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15.(2019河北武邑中学期末,3)已知命题p:∀x∈N*,(1) x ≥(1) x ,命题q:∃x∈R,2x+21-x=2 ,则下列命题中
√2
2 3
是真命题的是 ( )
A.p∧q B.(¬p)∧q
C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)
答案 A 因为y=xn(n∈N*)在(0,+∞)上是增函数,又1>1,所以∀x∈N*,(1) x ≥(1) x 成立,p为真命题;
2 3 2 3
1
因为2x>0,21-x>0,所以2x+21-x≥2√2x×21-x=2√2,当且仅当2x=21-x,即x= 时等号成立,所以q为真命题,则p∧q
2
为真命题,故选A.
一题多解 对于命题p:(1) x ≥(1) x ,即(3) x ≥1,因为x∈N*时,(3) x ≥1恒成立,所以命题p为真命题;当x=
2 3 2 2
1 1 1
时, + 1- =2√2,所以命题q为真命题,故p∧q为真命题,故选A.
2 22 2 2
16.(2018陕西西安长安质检,5)下列命题中,真命题是 ( )
x x 1
A.∃x∈R,sin2 0+cos2 0=
0 3 3 3
B.∀x∈(0,π),sin x>cos x
C.∃x
0
∈R,
x2
+x
0
=-2
0
D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1
答案 D ∀x∈R,sin2x+cos2x=1,故A是假命题;当x∈( π]时,sin x≤cos x,故B是假命题;
0,
3 3 4
1
∀x∈R,x2+x≥- ,故C是假命题;令f(x)=ex-x-1,则f '(x)=ex-1,当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0,则f(x)为增函数,故
4
f(x)>f(0)=0,即∀x∈(0,+∞),ex>x+1,故D是真命题.故选D.
17.(2017广东七校5月联考,5)已知命题p:∃a∈( 1),函数f(x)=| a |在[1 ]上单调递增;
-∞,- x+ ,3
4 x+1 2
命题q:函数g(x)=x+log
2
x在区间(1
,+∞
)上无零点.则下列命题中是真命题的是 ( )
2
A.¬p B.p∧q C.(¬p)∨q D.p∧(¬q)
答案 D 设h(x)=x+ a .易知当a=-1时,函数h(x)为增函数,且h(1)=1>0,则此时函数f(x)在[1 ]上
,3
x+1 2 2 6 2
必单调递增,即p是真命题;∵g(1)=-1<0,g(1)=1>0,∴g(x)在(1 )上有零点,即q是假命题,根据真值表
,+∞
2 2 2
可知p∧(¬q)是真命题,故选D.
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思路分析 先判断出命题p,q的真假,然后根据真值表对选项进行逐一判定.
解题关键 判断出简单命题的真假是解题的关键.
18.(2019云南师范大学附属中学第四次月考,7)给出下列两个命题,命题p:函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,
1
当x∈(0,2)时,f(x)=2x-1,则f(
log
1)的值为-2;命题p
2
:函数f(x)=ln 1+x是偶函数,则下列命题是真命题的
23 1-x
是 ( )
A.p∧p B.p∧(p)
1 2 1 2
C.(p)∧p D.(p)∧(p)
1 2 1 2
答案 B 对于命题p
1
,因为-2<log
2
1<0,且f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数,所以f(
log
1)=-f(
-log
1)=-
3 23 23
f(log
2
3)=-2,故p
1
为真命题;对于命题p
2
,函数f(x)=ln 1+x的定义域为(-1,1),且f(-x)=ln 1-x=ln(1+x) -1 =-
1-x 1+x 1-x
1+x
ln =-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故p 为假命题,所以p∧(p)为真命题,故选B.
1-x 2 1 2
1
19.(2018四川德阳二诊,9)命题p:∃x∈R,使得ex-mx=0,命题q: f(x)= x3-mx2-2x在[-1,1]上递减,若p∨(q)为假
3
命题,则实数m的取值范围为 ( )
A.[-3,e) B.[-3,0]
C.[ 1] D.[0,e)
0,
2
答案 C 由ex-mx=0知x≠0,因此m=ex ,设g(x)=ex ,x≠0;则g'(x)=ex(x-1),令g'(x)=0,解得x=1,易知g(x)
x x x2
在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,所以当x>0时,g(x) =g(1)=e,因此当x>0时,g(x)≥e,又易知当
min
x<0时,g(x)的值域为(-∞,0),所以g(x)的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),若p为真,则m的取值范围是(-∞,0)∪[e,+∞);f
{f '(-1)≤0,
'(x)=x2-2mx-2,若f(x)在[-1,1]上递减,则x∈[-1,1]时, f '(x)≤0恒成立,所以有 即
f '(1)≤0,
{(-1)2-2m×(-1)-2≤0,解得-1≤m≤1,所以,若q为真,则m的取值范围是[ 1 1].若p∨(q)
- ,
1-2m-2≤0, 2 2 2 2
{
0≤m<e,
为假命题,则p假q真,所以 解得0≤m≤1,故选C.
1 1
- ≤m≤ , 2
2 2
20.(2018辽宁辽南协作校一模,8)已知D={(x,y)||x|+|y|≤1},给出下列四个命题:
p:∃(x,y)∈D,x+y≥0;
1
p:∀(x,y)∈D,x-y+1≤0;
2
p:∀(x,y)∈D,| y |≤1;
3
x+2 2
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p:∃(x,y)∈D,x2+y2≥2.
4
其中真命题是 ( )
A.p,p B.p,p C.p,p D.p,p
1 2 1 3 3 4 2 4
答案 B |x|+|y|≤1表示的可行域如图中阴影部分所示:
对于p,A(1,0),1+0=1≥0,故∃(x,y)∈D,x+y≥0为真命题;对于p,A(1,0),1-0+1=2>0,故∀(x,y)∈D,x-y+1≤0为假命
1 2
题;对于p, y 表示的几何意义为点(x,y)与点(-2,0)连线的斜率,由图可得, y 的取值范围为[ 1 1],故
3 - ,
x+2 x+2 2 2
∀(x,y)∈D,| y |≤1为真命题;对于p,x2+y2表示的几何意义为点(x,y)到原点的距离的平方,由图可得
4
x+2 2
x2+y2≤1,故∃(x,y)∈D,x2+y2≥2为假命题.故选B.
21.(2019江苏东台中学检测)已知集合A={
x|
1
<2x<8,x∈R
},B={x|-1<x<m+1,x∈R},若x∈B成立的一
2
个充分不必要的条件是x∈A,则实数m的取值范围是 .
答案 (2,+∞)
解析 A={ x| 1 <2x<8,x∈R }={x|-1<x<3},
2
因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
所以A⫋B,所以m+1>3,即m>2.
x
22.(2019云南昆明诊断性测试,14)设m>0,p:0<x<m,q: <0,若p是q的充分不必要条件,则m的值可以是
x-1
.(只需填写一个满足题意的值即可)
1
答案 ((0,1)内的任意数均可)
2
x
解析 由 <0得0<x<1,所以q:0<x<1.
x-1
又m>0,p:0<x<m,
若p是q的充分不必要条件,则0<m<1,
1
所以满足题意的一个m的值是 ((0,1)内的任意数均可).
2
23.下面有四个关于充要条件的命题:
①“若x∈A,则x∈B”是“A⊆B”的充要条件;
②“b=0”是“函数y=x2+bx+c为偶函数”的充要条件;
③“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件;
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1
④“a>1”是“ <1”的充要条件.
a
其中真命题的序号是 .
答案 ①②③
解析 由子集的定义知,①为真命题.当b=0时,y=x2+bx+c=x2+c,显然为偶函数,反之,y=x2+bx+c是偶函数,则(-
x)2+b(-x)+c=x2+bx+c恒成立,即bx=0恒成立,得b=0,因此②为真命题.当x=1时,x2-2x+1=0成立,反之,当x2-
1 a-1 1
2x+1=0时,x=1,所以③为真命题.由于 <1⇔ >0,即a>1或a<0,故a>1是 <1的充分不必要条件,所以④
a a a
为假命题.
24.(2018湖南浏阳三校联考,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q:实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0
且¬p是¬q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
解析 由p得(x-3a)(x-a)<0,
当a<0时,3a<x<a.
由q得x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,则-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2.
∵¬p是¬q的必要不充分条件,∴p是q的充分不必要条件.
设A=(3a,a),B=(-∞,-4)∪[-2,+∞),
2
可知A⫋B,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥- .
3
2
又∵a<0,∴a≤-4或- ≤a<0,
3
即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪[ 2 ).
- ,0
3
方法点拨 (1)解决根据充要条件求参数取值范围的问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集
合之间的关系,然后根据集合之间的包含、相等关系列出关于参数的不等式(组)求解;有时也采用等价转化思
想把复杂、疑难问题转化为简单、熟悉的问题来解决.
(2)在解求参数的取值范围的题目时,一定要注意区间端点值的检验,在利用集合关系列不等式时,不等式是否
能取到等号直接决定着端点值的取舍,在这里容易产生增解或漏解的情况.
25.(2017广东深圳一模,17)设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若a>0且¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解析 (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
当a=1时,1<x<3,即p为真时,实数x的取值范围是(1,3).
由|x-3|<1得-1<x-3<1,解得2<x<4,
即q为真时,实数x的取值范围是(2,4).
若p∧q为真,则p真且q真,
∴实数x的取值范围是(2,3).
(2)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0,
∵a>0,∴a<x<3a.
若¬p是¬q的充分不必要条件,
则¬p⇒¬q,且¬q⇒/ ¬p,
设A={x|¬p},B={x|¬q},则A⫋B,
又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≥4或x≤2},
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{a>0,
{
a>0,
∴ a≤2,或 a<2,
3a>4 3a≥4,
4
解得 ≤a≤2,
3
∴实数a的取值范围是{ 4 }.
a| ≤a≤2
3
方法总结 根据充分必要条件求解参数的取值范围,解决这类问题一般把充分条件、必要条件或充要条件
转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.
26.(2019泰州中学、宜兴中学检测,6)命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,则λ的取值范围是
.
答案 [0,4]
解析 命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”为假命题,
则其否定“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”为真命题.
①当λ=0时,1≥0恒成立,即λ=0满足题意;
②当λ≠0时,由题意有{ λ>0, 解得0<λ≤4.
λ2-4λ≤0,
综合①②得:实数λ的取值范围是[0,4].
名师点睛 特称命题“∃x∈R,使得λx2-λx+1<0成立”的否定为“∀x∈R,λx2-λx+1≥0成立”,原命题为假命
题,则其否定为真命题,分两种情况:λ=0和λ≠0,讨论可得解.
27.(2018衡水金卷调研卷五,14)已知命题P:∀x∈R,log
2
(x2+x+a)>0恒成立,命题Q:∃x
0
∈[-2,2],2a≤2x 0,若命题
P∧Q为真命题,则实数a的取值范围为 .
答案 (5 ]
,2
4
5
解析 当P为真命题时,x2+x+a>1,即x2+x+a-1>0恒成立,所以1-4(a-1)<0,解得a> .
4
当Q为假命题时,¬Q为真命题,即∀x∈[-2,2],2a>2x,所以a>2.
{ 5
又命题P∧Q为真命题,所以命题P,Q都为真命题,则 a> , 即5<a≤2.故实数a的取值范围是(5 ].
4 ,2
4 4
a≤2,
方法总结 解决这类问题时,应先根据题目条件,即复合命题的真假情况,推出每一个命题的真假(有时不一定
只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况求出参数的
取值范围.
28.(2017青海西宁一模)在下列结论中:①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是
“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∧q”为真是“¬p”为假的充分不必要条件;④“¬p”为真是“p∧q”
为假的充分不必要条件.正确的是 .(填序号)
答案 ①③④
解析 结论①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“p∨q”为真,说明p,q中至少一个为
真,不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故①正确;结论②“p∧q”为假,说明p,q中至少一
个为假,不能推出“p∨q”为真,“p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条
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件,故②错误;结论③“p∧q”为真,说明p,q都为真,故能推出“¬p”为假,“¬p”为假,则p为真,不能推出p∧q
为真,故前者是后者的充分不必要条件,故③正确;结论④“¬p”为真,则p为假,可推出“p∧q”为假,而只要满
足q假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“¬p”为真,故前者是后者的充分不必要条件,
故④正确,综上可得结论①③④正确.
30.已知c>0且c≠1,设命题p:函数y=cx在R上单调递减;命题q:对任意实数x,不等式x2-√2x+c>0恒成立.
(1)写出命题q的否定,并求非q为真时,实数c的取值范围;
(2)如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数c的取值范围.
解析 (1)¬q:存在x∈R,不等式 - x+c≤0成立.
0 x2 √2 0
0
1
若非q为真,则Δ=(-√2)2-4c≥0,即c≤ ,
2
1
又c>0且c≠1,∴0<c≤ .
2
(2)因为命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p与q一真一假.
若p为真命题,则0<c<1;
1
若q为真命题,则Δ=(-√2)2-4c<0,即c> 且c≠1.
2
1
则p真q假时,0<c≤ ;p假q真时,c>1.
2
∴实数c的取值范围是( 1]∪(1,+∞).
0,
2
31.(2019江苏大桥实验中学检测)
(1)已知命题p:“∀x∈[1,3],kx+2>0”为假命题,求实数k的取值范围;
(2)已知命题q:“∃x∈R,使得ax2+2x+1<0”为真命题,求实数a的取值范围.
解析 (1)当k=0时,kx+2=2>0,此时对任意x都成立,即命题p为真命题,不合题意.
当k≠0时,要使命题p为假命题,则∃x∈[1,3],有kx+2≤0.设y=kx+2,此函数具有单调性.
可知必有k+2≤0或3k+2≤0,
2 2
解得k≤-2或k≤- ,即k≤- .
3 3
综上可知k的取值范围为( 2].
-∞,-
3
(2)当a=0时,不等式ax2+2x+1<0为2x+1<0.
1
解得x<- ,结论成立.
2
当a≠0时,令f(x)=ax2+2x+1,
当a<0时,显然ax2+2x+1<0有解,即存在x,使命题p为真.
{a>0, { a>0,
当a>0时,必须有 即
Δ>0, 4-4a>0,
解得0<a<1.
综上可知a的取值范围为(-∞,1).
32.(2019湖北黄冈9月质检,20)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程
f(x)=2x有两相等实根.
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(1)求f(x)的解析式;
(2)设命题p:“函数y=2f(x)-t在(-∞,2)上有零点”,命题q:“函数g(x)=f(x)+tx-3在(-∞,2)上单调递增”,若命题
“p∨q”为真命题,求实数t的取值范围.
解析 (1)∵方程f(x)=2x有两相等实根,即ax2+(b-2)x=0有两相等实根,∴Δ=(b-2)2=0且a≠0,解得b=2.
x-1+3-x
由f(x-1)=f(3-x),得 =1,
2
∴直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.
b b
又此函数图象的对称轴是直线x=- ,∴- =1,∴a=-1,
2a 2a
故f(x)=-x2+2x.
(2)由y= -t,x∈(-∞,2),得 ∈(0,2],
2-x2+2x 2-x2+2x
∴p为真命题时,0<t≤2.
2+t
由g(x)=-x2+(2+t)x-3在(-∞,2)上单调递增,得 ≥2,
2
∴t≥2.∴q为真命题时,t≥2.
若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真命题,
{0<t≤2, {t≤0或t>2, {0<t≤2,
∴ 或 或 解得t>0.
t<2 t≥2 t≥2,
故实数t的取值范围为(0,+∞).
1 3(3-a)
33.(2017湖北襄阳五中模拟,19)设p:实数a满足不等式3a≤9,q:函数f(x)= x3+ x2+9x无极值点.
3 2
(1)若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围;
(2)已知“p∧q”为真命题,并记为r,且t:a2-( 1)a+m( 1)>0,若r是¬t的必要不充分条件,求正整
2m+ m+
2 2
数m的值.
解析 (1)若p为真,则3a≤9,得a≤2.
若q为真,则函数f(x)无极值点,∴f '(x)=x2+3(3-a)x+9≥0恒成立,
得Δ=9(3-a)2-4×9≤0,解得1≤a≤5.
∵“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,
∴p与q一真一假.
{ a≤2,
若p为真命题,q为假命题,则 ⇒a<1;
a<1或a>5
{ a>2,
若q为真命题,p为假命题,则 ⇒2<a≤5.
1≤a≤5
综上,实数a的取值范围为{a|a<1或2<a≤5}.
(2)∵“p∧q”为真命题,∴p、q都为真命题,
{ a≤2,
∴ ⇒1≤a≤2.
1≤a≤5
∵a2-( 1)a+m( 1)>0,
2m+ m+
2 2
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∴(a-m)[ ( 1)]>0,∴a<m或a>m+1,
a- m+
2 2
1 1
即t:a<m或a>m+ ,从而¬t:m≤a≤m+ .
2 2
∵r是¬t的必要不充分条件,∴¬t⇒r,r⇒/ ¬t,
{
m≥1,
{
m>1,
∴ 或
1 1
m+ <2 m+ ≤2,
2 2
3
解得1≤m≤ ,又∵m∈N*,∴m=1.
2
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