北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
§1.2 常用逻辑用语
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021天津部分区一模,2)设x∈R,则“1<x<2”是“x2<4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A 由“x2<4”得“-2<x<2”,
则由“1<x<2”能推出“x2<4”,
由“x2<4”不能推出“1<x<2”,
∴“1<x<2”是“x2<4”的充分不必要条件.故选A.
2.(2021北京八一学校高三开学考试,3)已知命题p:∃x∈R,x2≥0,则¬p是 ( )
A.∀x∈R,x2<0 B.∀x∉R,x2≥0
C.∃x∈R,x2≥0 D.∃x∈R,x2<0
答案 A 根据存在量词命题的否定是全称量词命题,所以¬p是∀x∈R,x2<0,故选A.
3.(2021广西贺州、崇左、百色三地重点中学3月联考,3)命题p:∃x>0,ln(x+1)>x2,则¬p为( )
A.∃x>0,ln(x+1)≤x2 B.∀x>0,ln(x+1)≤x2
C.∀x≤0,ln(x+1)≤x2 D.∃x≤0,ln(x+1)>x2
答案 B 由于特称命题的否定是全称命题,所以改变量词,否定结论即可.命题p的否定¬p为
“∀x>0,ln(x+1)≤x2”,故选B.
4.(2021河南中原名校联盟3月联考,3)以下有关命题的说法错误的是( )
A.命题“若x2-x-2=0,则x=-1”的逆否命题为“若x≠-1,则x2-x-2≠0”
B.“x2+x-2=0”是“x=1”的必要不充分条件
C.命题p:∃x∈R, -x+1<0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1≥0
0 x2 0
0
D.若p∨q为真命题,则¬p与q至少有一个为真命题
答案 D 对于A,命题“若x2-x-2=0,则x=-1”的逆否命题为“若x≠-1,则x2-x-2≠0”,故A正确;
对于B,x2+x-2=0时,x=1或x=-2,所以“x2+x-2=0”是“x=1”的必要不充分条件,故B正确;
对于C,命题p:∃x∈R, -x+1<0的否命题¬p为∀x∈R,x2-x+1≥0,故C正确;
0 x2 0
0
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对于D,若p∨q是真命题,则p与q中至少有一个为真命题,如p是真命题,q是假命题,但¬p与q都
是假命题,所以D错误,故选D.
5.(2021八省联考,3)关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方
程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 A 若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的一根为3,两根之
和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,两根之和为2,则另一根也
为1,两根同号,不符合题意;
若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根同号,不符
合题意;
若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根为1和3,两根之和为4,
不符合题意.
综上所述,甲命题为假命题.故选A.
6.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,6)“关于x的方程 =|x-m|(m∈R)有解”的一个必要不
√1-x2
充分条件是 ( )
A.m∈[-2,2] B.m∈[-√2,√2]
C.m∈[-1,1] D.m∈[1,2]
答案 A =|x-m|⇔1-x2=(x-m)2⇔2x2-2mx+m2-1=0,
√1-x2
方程有解等价于Δ=4m2-8m2+8≥0,从而有-√2≤m≤√2.
由充要条件的集合判断法可知,仅需找以[-√2,√2]为真子集的集合即可,对照选项,可知选A.
7.(2021浙江名校协作体联考,6)将函数y=sin( π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得
2x+
6
π
图象对应的函数是g(x),则“φ= ”是“g(x)为偶函数”的 ( )
3
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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答案 A 将函数y=sin( π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度所得图象对应的函数为
2x+
6
g(x)=sin[ π].
2(x-φ)+
6
当φ=π时,g(x)=sin[
2
(
x-
π)
+
π]=sin(
2x-
π)=-cos 2x为偶函数;
3 3 6 2
若g(x)=sin[ π]=sin( π )为偶函数,
2(x-φ)+ 2x+ -2φ
6 6
π π π kπ
则 -2φ= +kπ,k∈Z,所以φ=- - ,k∈Z.
6 2 6 2
π
综上,“φ= ”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件,故选A.
3
8.(2021江西宜春中学、万载中学、樟树中学第一次联考,6)下列命题错误的是 ( )
A.“x=2”是“x2-4x+4=0”的充要条件
B.若等比数列{a}的公比为q,则“q>1”是“{a}为递增数列”的充要条件
n n
C.在△ABC中,若“A>B”,则“sin A>sin B”
1
D.命题“若m≥- ,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
4
答案 B 对于A:x2-4x+4=0⇔(x-2)2=0⇔x=2,∴A正确;
对于B:数列-1,-2,-4,-8,…是公比q>1的数列,但是是递减数列,故B错误;
a b
对于C:在△ABC中,根据大边对大角,A>B⇔a>b,又由正弦定理 = 得a>b⇔sin A>sin B,
sin A sinB
所以A>B⇔a>b⇔sin A>sin B,即若“A>B”,则“sin A>sin B”,故C正确;
1
对于D:命题“若m≥- ,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题是“若方程x2+x-m=0有实根,则m≥-
4
1 1
”,∵方程x2+x-m=0有实根,∴Δ=1+4m≥0,解得m≥- ,故D正确.故选B.
4 4
9.(2021云南师大附中适应性考试,6)命题p:存在实数a,使得对任意实数x,cos(x-a)=-cos x恒成立;
b-x
命题q:∀b>0, f(x)=ln 为奇函数,则下列命题是真命题的是 ( )
b+x
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A.p∧(¬q) B.(¬p)∧q
C.p∧q D.(¬p)∨(¬q)
b-x
答案 C 对于p,当a=-π时,cos(x-a)=cos(x+π)=-cos x,p是真命题.对于q,由f(x)=ln (b>0)有意
b+x
b-x b+x b-x
义得 >0,解得-b<x<b,即函数的定义域为(-b,b),关于原点对称,又f(-x)=ln =-ln =-f(x),
b+x b-x b+x
则函数f(x)为奇函数,q为真命题.
则p∧q为真命题,p∧(¬q)、(¬p)∧q、(¬p)∨(¬q)均为假命题.故选C.
方法总结 “p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的判断步骤:
(1)确定命题构成形式;
(2)判断命题p,q的真假;
(3)根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题的真假.
二、多项选择题
10.(2021届百师联盟一轮复习联考(二),9)下面命题正确的是 ( )
1
A.“a>1”是“ <1”的充分不必要条件
a
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
1 1 1
答案 ABD 选项A,由a>1,能推出 <1,但是由 <1,不能推出a>1,例如当a<0时,符合 <1,但是
a a a
不符合a>1,选项A正确;
选项B,根据命题的否定的定义可知:命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,使得x2≥1”,选项
B正确;
选项C,由x≥2且y≥2能推出x2+y2≥4,而由x2+y2≥4推不出x≥2且y≥2,选项C不正确;
选项D,因为b可以等于零,所以由a≠0不能推出ab≠0,而由ab≠0能推出a≠0,所以“a≠0”是
“ab≠0”的必要不充分条件,选项D正确.故选ABD.
11.(2021届广东仲元中学、中山一中等七校联合体第一次联考,9)下列四个条件中,p是q的充分
条件的是( )
A.p:a>b,q:a2>b2
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B.p:ax2+by2=c为双曲线,q:ab<0
C.p:a>b,q:2a>2b
c b
D.p:ax2+bx+c>0,q: - +a>0
x2 x
答案 BC A.p既不是q的充分条件,也不是必要条件;
B.p是q的充分条件,不是必要条件;
C.p是q的充要条件;
D.p是q的必要不充分条件.故选BC.
12.(2020山东济宁期末,9)下列命题中的真命题是( )
A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0
C.∃x∈R,lg x<1 D.∃x∈R,tan x=2
0 0 0 0
答案 ACD A.∀x∈R,2x-1>0,根据y=2x-1的图象知A正确;
B.∀x∈N*,(x-1)2>0,取x=1,计算知(x-1)2=0,B错误;
C.∃x∈R,lg x<1,取x=1,计算lg x=0<1,故C正确;
0 0 0 0
D.∃x∈R,tan x=2,y=tan x的值域为R,故D正确.故选ACD.
0 0
13.(2020山东百师联盟测试五,1)下列命题是真命题的是 ( )
1 1
A.若ab>0,a>b,则 <
a b
B.若a,b∈R,则a(a-b)≥(a-2b)b恒成立
C.若√a>√b,则ab>b2
D.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0
1 1 1
答案 ABD ab>0,则 >0,又因为a>b,所以 < ,故A正确.a,b∈R,a(a-b)-(a-2b)b=a2-ab-
ab a b
ab+2b2=(a-b)2+b2≥0,即a(a-b)≥(a-2b)b,故B正确.√a>√b,当a=1,b=0时,ab=b2,故C不正确.若
a>b>0,c>d>0,则ac>bd>0,D正确.故选ABD.
三、填空题
14.(2021东北三省四市教研联合体二模,14)根据事实1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;……,写出
一个含有量词的全称命题: .
答案 ∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2
解析 1=12,1+(2×2-1)=22,1+3+(2×3-1)=32,1+3+5+(2×4-1)=42,……
由此可归纳得出∀n∈N*,1+3+5+…+(2n-1)=n2.
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b+m b
15.(2021北京丰台二模,12)能够说明“若a,b,m均为正数,则 > ”是假命题的一组整数a,b
a+m a
的值依次为 .
答案 1,1(答案不唯一)
b+m b b+m b
解析 若 > 是假命题,则 ≤ ,
a+m a a+m a
又a,b,m都是正数,∴a(b+m)≤b(a+m),
∴am≤bm,∴a≤b,
b+m b
故当a=b=1时, > 是假命题,
a+m a
故答案为1,1(答案不唯一).
16.(2021江西宜春重点中学第七次月考,13)已知命题“存在x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,则实数
a的取值范围是 .
答案 (1 )
,+∞
8
{ a>0 1
解析 由题意可知,“∀x∈R,ax2-x+2>0”是真命题,则有 解得a> ,所以实数a的
Δ=1-8a<0, 8
取值范围为(1 ).
,+∞
8
17.(2021江西八所重点中学4月联考,15)给出下列命题:
①垂直于同一个平面的两个平面平行;②“a·b<0”是“a与b的夹角为钝角”的充分不必要条件;
4
③边长为2的正方形的直观图的面积为√2;④函数f(x)= +sin2x的最小值为4;⑤已知tan α=
sin2x
4 1
,tan(α-β)=- ,则tan β=3.
3 3
其中正确的有 .(填上你认为正确命题的序号)
答案 ③⑤
解析 对于①,直棱柱的侧面都与底面垂直,但侧面之间不一定平行,故①错;
对于②,当a与b反向共线时,a·b<0,但a与b的夹角不是钝角,故充分性不成立,故②错;
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√2
对于③,由于在斜二测画法中,直观图面积是原图形面积的 ,而边长为2的正方形的面积为4,所
4
√2
以其直观图的面积为 ×4=√2,故③正确.
4
4 4
对于④,令sin2x=t,0<t≤1,则y= +t,0<t≤1,易证y= +t在(0,1]上单调递减,故其最小值为5.故④错;
t t
4 ( 1)
- -
对于⑤,当tan α=4,tan(α-β)=-1时,tan β=tan[α-(α-β)]= tanα-tan(α-β) = 3 3 =
3 3 1+tanα·tan(α-β) 4 ( 1)
1+ × -
3 3
5 9
× =3,故⑤正确,综上可知,正确命题的序号为③⑤.
3 5
7 / 7
